Угол между двумя пересекающимися кривыми определяется как угол между двумя прямыми, касательными к кривым в точке их пересечения (рис. 1) по формуле
где и — угловые коэффициенты касательных к кривым в точке их пересечения ,
т. е. частные значения в точке производных от по из уравнений этих кривых:
Рис.1
Пример 1. Найти углы, под которыми пересекаются следующие линии:
1) прямая и парабола ;
2) эллипс и парабола ;
3) синусоида и косинусоида .
Решение.
1) Совместно решая уравнения параболы и прямой, находим, что они пересекаются в двух точках: и , рис.2.
Рис.2
Далее находим производную от по из уравнения параболы: и определяем угловые коэффициенты касательных к параболе в точках и , как частные значения этой производной:
Угловой коэффициент прямой один и тот же во всех ее точках; у данной прямой он равен — 1.
Согласно формуле (2) получим
2) Решая совместно уравнения кривых, находим их общие точки: и рис.3. Затем определяем угловые коэффициенты и касательных в любой точке эллипса и параболы как производные от по из их уравнений
Рис.3
Подставляя координаты точки , получим и . Следовательно, в точке :
Под таким же углом кривые пересекаются и в точке вследствие их симметричности относительно оси .
В точке имеем: , следовательно, в точке кривые имеют общую касательную, т. е. касаются друг друга. В этой точке угол между кривыми равен нулю.
3) Абсциссы точек пересечения кривых (рис.4) определяются уравнением , решая которое, получим
Дифференцированием находим угловые коэффициенты касательных к синусоиде и косинусоиде:
Рис.4
Искомый угол между кривыми определяем по общей формуле (2)
Положительному знаку соответствует острый угол , отрицательному — тупой, смежный с ним угол .
Угол между прямыми онлайн
С помощью этого онлайн калькулятора можно найти угол между прямыми. Дается подробное решение с пояснениями. Для вычисления угла между прямыми, задайте размерность (2-если рассматривается прямая на плоскости, 3- если рассматривается прямая в пространстве), выберите вид уравнения (канонический, параметрический, общий (для двухмерного пространства)), введите данные в ячейки и нажмите на кнопку «Решить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.
Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.
1. Угол между прямыми на плоскости
Прямые заданы каноническими уравнениями
1.1. Определение угла между прямыми
Пусть в двухмерном пространстве прямые L1 и L2 заданы каноническими уравнениями
и
где q1=(m1, p1) направляющий вектор прямой L1, а q2=(m2, p2) направляющий вектор прямой L2.
Задача об определении угла между прямыми L1 и L2 сводится к задаче об определении угла между направляющими векторами q1 и q2 (рис.1).
Из определения скалярного произведения:
где |q1| и |q2| модули направляющих векторов q1 и q2 соответственно, φ -угол между векторами q1 и q2.
Из выражения (1.3) получим:
Таким образом, из формулы (1.4) можно найти угол между прямыми L1 и L2. Как видно из Рис.1 пересекающиеся прямые образуют смежные углы φ и φ1. Если найденный угол больше 90°, то можно найти минимальный угол между прямыми L1 и L2: φ1=180-φ.
Из формулы (1.4) можно вывести условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.
Пример 1. Определить угол между прямыми
и
Решение. Прямая (1.5) имеет направляющий вектор q1=(m1, p1)=(3, 4), а прямая (1.6) − q2=(m2, p2)=(− 3, 1). Для определения угла между прямыми (1.5) и (1.6) подставим значения m1, p1, m2, p2 в (1.4):
Упростим и решим:
Найдем угол φ
Данный угол больше 90°. Найдем минимальный угол между прямыми. Для этого вычтем этот угол из 180:
Ответ.
Угол между прямыми равен:
1.2. Условие параллельности прямых
Пусть φ=0. Тогда cosφ=1. При этом выражение (1.4) примет следующий вид:
Сделаем преобразования с выражением (1.7):
Таким образом условие параллельности прямых L1 и L2 имеет вид (1.8). Если m2≠0 и p2≠0, то (1.8) можно записать так:
Пример 2. Определить, параллельны ли прямые
и
Решение. Прямая (1.10) имеет направляющий вектор q1=(m1, p1)=(3, 3), а прямая (1.11) − q2=(m2, p2)=(−2, −2). Тогда
Удовлетворяется равенство (1.9), следовательно прямые (1.10) и (1.11) параллельны.
Ответ. Прямые (1.10) и (1.11) параллельны.
1.3. Условие перпендикулярности прямых
Пусть φ=90°. Тогда cosφ=0. При этом выражение (1.4) примет следующий вид:
Правая часть выражения (1.12) равно нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю. Следовательно, для того, чтобы прямые L1 и L2 были перпендикулярны , должно выполняться условие
Пример 3. Определить, перпендикулярны ли прямые
и
Решение. Прямая (1.14) имеет направляющий вектор q1=(m1, p1)=(3, 1), а прямая (1.15) − q2=(m2, p2)=(−2, 6). Тогда
Удовлетворяется условие (1.13), следовательно прямые (1.14) и (1.15) перпендикулярны.
Ответ. Прямые (1.14) и (1.15) перпендикулярны.
Прямые заданы общими уравнениями
1.4. Определение угла между прямыми
Пусть две прямые L1 и L2 заданы общими уравнениями
и
Так как нормальным вектором прямой L1 является n1=(A1, B1), а нормальным вектором прямой L2 является n2=(A2, B2), то задача об определении угла между прямыми L1 и L2 сводится к определению угла φ между векторами n1 и n2 (Рис.2).
Из определения скалярного произведения двух векторов, имеем:
где |n1| и |n2| модули нормальных векторов n1 и n2 соответственно, φ -угол между векторами n1 и n2.
Из уравнения (19) получим
Пример 4. Найти угол между прямыми
и
Решение. Прямая (1.21) имеет нормальный вектор n1=(A1, B1)=(5, −2), а прямая (1.22) − n2=(A2, B2)=(1, 3). Задача определения угла между прямыми L1 и L2 сводится к определению угла между векторами n1 и n2. Из определения скалярного произведения векторов имеем: (n1,n2)=|n1||n2|cosφ. Тогда
Подставляя значения A1, B1, A2, B2 в (1.23), получим:
Упростим и решим:
Найдем угол φ:
Данный угол больше 90°. Найдем минимальный угол между прямыми. Для этого вычтем этот угол из 180:
1.5. Условие параллельности прямых
Так как угол между паралленьными прямыми равен нулю, то φ=0, cos(φ)=1. Тогда сделав преобразования, представленные выше для канонических уравнений прямых получим условие параллельности:
С другой стороны условие параллельности прямых L1 и L2 эквивалентно условию коллинеарности векторов n1 и n2 и можно представить так:
Как видим уравнения (1.24) и (1.25) эквивалентны при A2≠0 и B2≠0. Если в координатах нормальных векторов существует нулевой коэффициент, то нужно использовать уравнение (1.24).
Пример 5. Определить, параллельны ли прямые
и
Решение. Прямая (1.26) имеет нормальный вектор n1=(A1, B1)=(4, 2), а прямая (1.27) − n2=(A2, B2)=(2, 1). Тогда подставляя значения A1, B1, A2, B2 в (1.24), получим
Удовлетворяется равенство (1.24), следовательно прямые (1.26) и (1.27) параллельны.
Ответ. Прямые (1.26) и (1.27) параллельны.
1.6. Условие перпендикулярности прямых
Условие перпендикулярности прямых L1 и L2 можно извлекать из формулы (1.20), подставляя cos(φ)=0. Тогда скалярное произведение (n1,n2)=0. Откуда
Таким образом условие перпендикулярности прямых определяется равенством (1.28).
Пример 6. Определить, перпендикулярны ли прямые
и
Решение. Прямая (1.29) имеет нормальный вектор n1=(A1, B1)=(4, −1), а прямая (1.30) − n2=(A2, B2)=(2, 8). Тогда подставляя значения A1, B1, A2, B2 в (28), получим
Удовлетворяется равенство (1.28), следовательно прямые (1.29) и (1.30) перпендикулярны.
Ответ. Прямые (1.29) и (1.30) перпендикулярны.
2. Угол между прямыми в пространстве
2.1. Определение угла между прямыми
Пусть в пространстве прямые L1 и L2 заданы каноническими уравнениями
и
где q1=(m1, p1, l1) направляющий вектор прямой L1, а q2=(m2, p2, l2) направляющий вектор прямой L2.
Задача об определении угла между прямыми L1 и L2 сводится к задаче об определении угла между направляющими векторами q1 и q2 .
Из определения скалярного произведения:
где |q1| и |q2| модули направляющих векторов q1 и q2 соответственно, φ -угол между векторами q1 и q2.
Из выражения (2.3) получим:
Таким образом, из формулы (2.4) можно найти угол между прямыми L1 и L2. Если найденный угол больше 90°, то можно найти минимальный угол между прямыми L1 и L2: φ1=180-φ.
Из формулы (2.4) можно вывести условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.
Пример 1. Определить угол между прямыми
и
Решение. Прямая (2.5) имеет направляющий вектор q1=(m1, p1, l1)=(1, 1, 3), а прямая (2.6) − q2=(m2, p2, l2)=(− 3, 1, 2). Для определения угла между прямыми (2.5) и (2.6) подставим значения m1, p1, l1, m2, p2, l2 в (2.4):
Упростим и решим:
Найдем угол φ
Ответ.
Угол между прямыми равен:
2.2. Условие параллельности прямых
Условие параллельности прямых эквивалентно условию коллинеарности направляющих векторов q1 и q2, т.е. соответствующие координаты этих векторов пропорциональны. Пусть
где α − некоторое число. Тогда соответствующие координаты векторов q1 и q2 пропорциональны, и, следовательно прямые L1 и L2 параллельны.
Условие параллельности прямых можно представить и так:
Отметим, что любую пропорцию нужно понимать как равенство ad=bc.
Пример 2. Определить, параллельны ли прямые
и
Решение. Прямая (2.9) имеет направляющий вектор q1=(m1, p1, l1)=(3, 2, 4), а прямая (2.10) − q2=(m2, p2, l2)=(6, 4, 8). Тогда
Удовлетворяется равенство (2.8) (или (2.7)), следовательно прямые (2.9) и (2.10) параллельны.
Ответ. Прямые (2,9) и (2,10) параллельны.
Пример 3. Определить, параллельны ли прямые
и
Решение. Прямая (2.9) имеет направляющий вектор q1=(m1, p1, l1)=(1, 2, 0), а прямая (2.10) − q2=(m2, p2, l2)=(2, 4, 0). Подставляя значения m1, p1, l1, m2, p2, l2 в (2.8), получим
Выражение (2.13) нужно понимать так:
Как мы видим из (2.14) условия (2.13) выполняются. Следовательно прямые (2.11) и (2.12) параллельны.
Ответ. Прямые (2.11) и (2.12) параллельны.
2.3. Условие перпендикулярности прямых
Пусть φ=90°. Тогда cosφ=0. При этом выражение (2.4) примет следующий вид:
Правая часть выражения (2.15) равно нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю. Следовательно, для того, чтобы прямые L1 и L2 были перпендикулярны , должно выполняться условие
Пример 3. Определить, перпендикулярны ли прямые
и
Решение. Прямая (2.16) имеет направляющий вектор q1=(m1, p1, l1)=(3, 2, 1), а прямая (2.17) − q2=(m2, p2, l2)=(4, −6, 0). Тогда
Удовлетворяется условие (2.16), следовательно прямые (2.17) и (2.18) перпендикулярны.
Ответ. Прямые (2.17) и (2.18) перпендикулярны.
Не такая тривиальная задача, скажу я вам. Всякий раз, когда возникает необходимость посчитать координату пересечения пары прямых, каждая из которых задана парой точек, снова беру блокнот и вывожу пару формул. И всякий раз – блин, ну это уже когда-то было, опять надо что-то делать с параллельными прямыми, опять появляется пакостная строго вертикальна линия, когда на (x1-x2) никак не разделить и т.д.
Поэтому – в подборку теории и практики, пригодится, сэкономим блокнот, спасем дерево.
Коэффициенты А, B, C
Все помним со школы формулу:
Тоже самое, но с претензией на образование (некоторые индивидуумы утверждают, что существует такая, и только такая, и никакая другая, формулировка):
Те же фаберже, только сбоку.
В теории надо составить и решить систему уравнений для первой и второй линии, где переменными будут X и Y точки пересечения.
Загвоздка в том, что мы не знаем коэффициенты для обеих линий.
В нашем случае известны координаты двух точек, по которым проходит линия. Поэтому мне, как последователю геометрического агностицизма, более привлекательная следующая формула:
Путем несложных операций приходим к следующей записи:
Глядя на вариант в исполнении высшего образования, получаем следующие формулы для нахождения коэффициентов:
Пока все идет отлично, нигде вероятного деления на ноль не встретилось.
Итак, мы можем легко найти два набора коэффициентов для первой и второй прямых. Переходим к системе уравнений.
Система уравнений
Как правило, подобная система уравнений решается путем выражения одной переменной через другую, подстановкой во второе уравнение, получая таким образом уравнение одной переменной. Далее переменная находится, подставляется, решается. Или определяется, что система решения не имеет.
Но нас интересует метод Крамера. Потому что с помощью этого метода можно получить сразу значения для обеих переменных, без дополнительных телодвижений.
Сразу же запишем метод под нашу систему.
Имеем следующую систему:
Определители будут такими:
Исходя из метода, решение выглядит так:
Ага! Вот и возможное деление на ноль, скажете вы. И правильно! В этой, в высшей степени непозволительной ситуации, когда знаменатель равен нулю, решения нет, прямые либо параллельны, либо совпадают (что, впрочем, частный случай параллельности). В коде, естественно, этот момент надо учитывать.
Практика 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 |
//******************************************************* // Нахождение точки пересечения прямых (p1,p2) и (p3,p4) // Результат — факт пересечения //******************************************************* function CrossLines(const p1,p2,p3,p4: TxPoint; var res: TxPoint): Boolean; const Prec = 0.0001; var a1, a2: Extended; b1, b2: Extended; c1, c2: Extended; v: Extended; begin a1 := p2.y — p1.y; a2 := p4.y — p3.y; b1 := p1.x — p2.x; b2 := p3.x — p4.x; v := a1*b2 — a2*b1; Result := (abs(v) > Prec); if Result then begin c1 := p2.x*p1.y — p1.x*p2.y; c2 := p4.x*p3.y — p3.x*p4.y; res.X := —(c1*b2 — c2*b1)/v; res.Y := —(a1*c2 — a2*c1)/v; end; end; |
Частные случаи
- Прямые параллельны: ∆ab = 0
- (A1B2 – B1A2 = 0);
- Прямые совпадают: ∆ab = ∆X = ∆Y = 0
- (A1B2 – B1A2 = 0) И (A1C2 — A2C1 = 0) И (C1B2 -B1C2 = 0);
- Прямые перпендикулярны:
- (A1 A2 + B1 B2 = 0).
Принадлежность точки отрезку
В общем случае, чтобы определить принадлежность точки отрезку, надо установить две вещи:
- Точка принадлежит прямой, проходящей через конечные точки отрезка. Для этого достаточно подставить значение X и Y в уравнение прямой и проверить получившееся равенство. В нашем случае, этот пункт уже выполнен, т.к. точка пересечения априори принадлежит обеим прямым.
- Проверить факт нахождения точки между концами отрезка.
Займемся пунктом 2. Данный факт можно установить двумя способами:
- Логически, т.е. (x1 <= x <= x2) ИЛИ (x1 >= x >= x2). На случай «вертикальности» линии добавить проверку на Y:
- (y1 <= y <= y2) ИЛИ (y1 >= y >= y2).
- Арифметически. Сумма отрезков |x-x1| + |x-x2| должна быть равна длине отрезка |x1-x2|. Аналогично, на случай «вертикальности» , добавить проверку:
- |y-y1| + |y-y2| = |y1-y2|
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 |
//***************************************************** // Проверка факта нахождения точки res между // концами отрезка (p1,p2). // Решение с помощью условных операторов и // коэффициентов A=(y2-y1) B=(x1-x2). // Выступают в качестве параметров, чтобы не тратить // время на их подсчет, т.к. в вызывающей стороне // они уже посчитаны //***************************************************** function CheckCrossPoint(const p1, p2, res: TxPoint; const A,B: Extended): Boolean; begin Result := (((B<0) and (p1.X < res.X) and (p2.X > res.X)) or ((B>0) and (p1.X > res.X) and (p2.X < res.X)) or ((A<0) and (p1.y > res.Y) and (p2.Y < res.Y)) or ((A>0) and (p1.y < res.Y) and (p2.Y > res.Y))); end; //***************************************************** // Проверить факт нахождения точки res между // концами отрезка (p1,p2) // Арифметическое решение без коэффициентов //***************************************************** function CheckCrossPoint(const p1, p2, res: TxPoint): Boolean; begin Result := (abs(p2.x—p1.x)>= abs(p2.x—res.x) + abs(p1.x—res.x)) and (abs(p2.y—p1.y)>= abs(p2.y—res.y) + abs(p1.y—res.y)); end; |
Практика показывает, что арифметический способ быстрее примерно в 3 раза. Когда-то я считал, что операции сравнения самые быстрые. Это давно уже не так.
Задача нахождения принадлежности точки P(x,y) отрезку, заданного двумя точками с координатами P1(x1, y1) и P2(x2, y2) подробно рассмотрена в отдельной статье.
Угол пересечения прямых
Угол пересечения прямых — это угол пересечения направляющих векторов. Т.е., взяв уже знакомые ранее точки p1 и p2, получим направляющий вектор V(p1,p2), и аналогично второй вектор M(p3,p4). В теории мы должны вычислить достаточно «затратную» функцию, с корнями, квадратами, дробями и арккосинусом.
Давайте не будем останавливаться на ней, она долгая, нудная и в нашем случае ненужная. Рассмотрим вектор:
α — угол наклона вектора к оси X, который можно найти, как:
α = arctan (A1 / B1)
Где расстояния:
A1 = (y1 — y2)
B1 = (x2 — x1)
Что-то знакомое? Да это ни что иное, как коэффициенты в уравнении прямой от образованных фанатов. Может они и правы в своем испепеляющем фанатизме…
Одним словом, коэффициенты (расстояния) у нас уже есть по обеим прямым.
Судя по рисунку, угол между векторами, это сумма углов наклона векторов к оси X. Ммм… не совсем так, на самом деле это разность.
По рисунку явно видно, что угол между векторам это γ = (β — α).
В предыдущем примере все правильно, просто знаки углов разные, т.к. находятся по разные стороны от оси X, а формула работает та же.
От теории к практике
Теперь в плане практического применения. Мне нужно точно знать, откуда, куда и в каком направлении этот угол. В теории, углом между прямыми считается наименьший из пары γ и (180-γ). Так вот, нам это не надо. Какой угол получится – такой нам и нужен.
Поэтому, под углом между векторами понимаем угол от вектора V(p1,p2) к вектору M(p3,p4). Если знак угла – отрицательный, понимаем, что он против часовой стрелки, иначе – по часовой стрелке.
Следует заметить, что, зная коэффициенты, для нахождения угла пересечения, координаты уже не нужны. Листинг таков:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 |
//********************************************************** // Посчитать угол пересечения векторов по коэфф-ам А и B //********************************************************** function CalcCrossAngle(const a1,b1: Extended; const a2,b2: Extended): Extended; var c1, c2: Extended; begin c1 := ArcTan2(a1,b1); c2 := ArcTan2(a2,b2); Result := c2—c1; if Result < —pi then Result := 2*pi + Result; if Result > pi then Result := Result — 2*pi; end; |
Тут ситуация с вертикальной прямой, т.е. когда теоретически происходит деление на ноль, явно не обрабатывается. Она корректно обрабатывается функцией ArcTan2, которая вернет в этом случае и знак, и 90 градусов.
Практика 2
В дополнение к функции нахождения точки пересечения, напишем «продвинутую» функцию, которая находит эту точку, определяет нахождение на каждом из отрезков, и определяет угол между направляющими векторами. Или же определяет, что прямые параллельны/совпадают.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 |
//********************************************************** // Тип пересечения прямых (p1,p2) и (p3,p4) //********************************************************** type TxCrossLineResult = ( xclrEqual = —32// эквивалентны ,xclrParallel = —16// параллельны ,xclrOk = 0 // как минимум пересечение есть ,xclrFirst = 1 // попадает в первый отрезок ,xclrSecond = 2 // попадает во второй отрезок ,xclrBoth = 3 // попадает в оба ,xclrPerpend = 4 // перпендикулярны // можно найти по маске через AND, но для полноты картины ,xclrFirstP = 5 // перпендикулярны и попадает в первый ,xclrSecondP = 6 // перпендикулярны и попадает в второй ,xclrBothP = 7 // перпендикулярны и попадает в оба ); //********************************************************** // Нахождение точки пересечения прямых (p1,p2) и (p3,p4) // Определяет параллельность, совпадение, // перпендикулярность, пересечение. // Определяет, каким отрезкам принадлежит. // Находит угол(рад.) от (p1,p2) к (p3,p4): // отрицательное значение — против часовой // положительное — по часовой //********************************************************** function CrossLines(const p1,p2,p3,p4: TxPoint; var res: TxPoint; var Angle: Extended): TxCrossLineResult; const Prec = 0.0001; var a1, a2: Extended; b1, b2: Extended; c1, c2: Extended; v: Extended; begin Angle := 0; a1 := p2.y — p1.y; a2 := p4.y — p3.y; b1 := p1.x — p2.x; b2 := p3.x — p4.x; c1 := p2.x*p1.y — p1.x*p2.y; c2 := p4.x*p3.y — p3.x*p4.y; v := a1*b2 — a2*b1; if abs(v) > Prec then begin Result := xclrOk; res.X := —(c1*b2 — c2*b1)/v; res.Y := —(a1*c2 — a2*c1)/v; if CheckCrossPoint(p1,p2,res) then Result := TxCrossLineResult(Integer(Result) + Integer(xclrFirst)); if CheckCrossPoint(p3,p4,res) then Result := TxCrossLineResult(Integer(Result) + Integer(xclrSecond)); if (abs(a1*a2 + b1*b2) < Prec) then Result := TxCrossLineResult(Integer(Result) + Integer(xclrPerpend)); Angle := CalcCrossAngle(a1,b1,a2,b2); end else begin Result := xclrParallel; if ((abs(c1*b2 — c2*b1) < Prec) and (abs(a1*c2 — a2*c1) < Prec)) then Result := xclrEqual; end; end; |
Исходники
Небольшие комментарии по интерфейсу.
Скачать (219 Кб): Исходники (Delphi XE 7-10)
Скачать (1.14 Мб): Исполняемый файл
При запуске генерируется случайным образом 4 точки, по две на прямую. Точки и отрезки можно перетаскивать мышкой. Также, слева присутствует панель, на которой можно ввести координаты точек или коэффициенты уравнения прямой. При нажатии «Enter» или когда элемент ввода теряет фокус, происходит перерасчет и перерисовка.
Внизу есть 4 кнопки переключения режимов отображения. Начиная со второй, помимо координат точки пересечений в верхнем левом углу будет отображаться текущий угол пересечения между направляющими векторами.
Если точка пересечений попадает в какой-либо из отрезков, соответствующий заголовок линии отрезка станет жирным. На рисунке это зеленая линия 2.
По умолчанию, рабочее поле системы координат имеет размерность [-10..10], которую можно изменить ползунком в нижнем правом углу.
Определение угла между прямыми
Две прямые называются пересекающимися, если они имеют единственную общую точку. Эта точка называется точкой пересечения прямых. Прямые разбиваются точкой пересечения на лучи, которые образуют четыре неразвернутых угла, среди которых две пары вертикальных углов и четыре пары смежных углов. Если известен размер одного из углов, образованных пересекающимися прямыми, то легко определить размер остальных углов. Если один из углов прямой, то все остальные тоже прямые, а прямые перпендикулярны.
Определение Угол между прямыми — размер наименьшего из углов, образованных этими прямыми.
Угол между прямыми на плоскости
Угол между прямыми заданными уравнениями с угловым коэффициентом
Если две прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом
y = k1x + b1,
y = k2x + b2,
то угол между ними можно найти, используя формулу:
Если знаменатель равен нулю (1 + k1·k2 = 0), то прямые перпендикулярны.
Доказательство. Если прямые заданы уравнениями с угловыми коэффициентами, то легко найти углы между этими прямыми и осью OX
tg α = k1
tg β = k2
Соответственно легко найти угол между прямыми
γ = α — β
tg γ = tg (α — β) = tg α — tg β1 + tg α ·tg β = k1 — k21 + k1·k2
Угол между прямыми через направляющие векторы этих прямых
Если a — направляющий вектор первой прямой и b — направляющий вектор второй прямой, то, используя скалярное произведение векторов, легко найти угол между прямыми:
cos φ = |a · b||a| · |b|
Если уравнение прямой задано параметрически
x = l t + ay = m t + b
то вектор направляющей имеет вид {l; m}
Если уравнение прямой задано как
A x + B y + C = 0
то для вычисления направляющего вектора, можно взять две точки на прямой.
Например, если C ≠ 0, A ≠ 0, C ≠ 0 , при x = 0 => y = -CB значит точка на прямой имеет координаты K(0, -CB), при y = 0 => x = -CA значит точка на прямой имеет координаты M(-CA, 0). Вектор направляющей KM = {-CA; CB}.
Если дано каноническое уравнение прямой
x — x0 l = y — y0m
то вектор направляющей имеет вид {l; m}
Если задано уравнение прямой с угловым коэффициентом
y = kx + b
то для вычисления направляющего вектора, можно взять две точки на прямой, например, при x = 0 => y = b значит точка на прямой имеет координаты K(0, b), при x = 1 => y = k + b значит точка на прямой имеет координаты M(1, k + b). Вектор направляющей KM = {1; k}
Угол между прямыми через векторы нормалей этих прямых
Если a — вектор нормали первой прямой и b — вектор нормали второй прямой, то, используя скалярное произведение векторов, легко найти угол между прямыми:
cos φ = |a · b||a| · |b|
Если уравнение прямой задано как
A x + B y + C = 0
то вектор нормали имеет вид {A; B}
Если задано уравнение прямой с угловым коэффициентом
y = kx + b
то вектор нормали имеет вид {1; —k}
Угол между прямыми через направляющий вектор и вектор нормали этих прямых
Если a — направляющий вектор первой прямой и b — вектор нормали второй прямой, то, используя скалярное произведение векторов, легко найти угол между прямыми:
sin φ = |a · b||a| · |b|
Примеры задач на вычисления угла между прямыми на плоскости
Пример 1. Найти угол между прямыми y = 2x — 1 и y = -3x + 1.
Решение: Воспользуемся формулой для вычисления угла между прямыми заданными уравнениями с угловым коэффициентом:
tg γ =
k1 — k21 + k1·k2
=
2 — (-3)1 + 2·(-3)
=
5-5
= 1
Ответ. γ = 45°
Пример 2. Найти угол между прямыми y = 2x — 1 и x = 2t + 1y = t.
Решение: Воспользуемся формулой для вычисления угла между прямыми у которых известны направляющие векторы.
Для первой прямой направляющий вектор {1; 2}, для второй прямой направляющий вектор {2; 1}
cos φ =
|1 · 2 + 2 · 1|12 + 22 · 22 + 12
=
45 · 5
= 0.8
Ответ. φ ≈ 36.87°
Пример 3 Найти угол между прямыми 2x + 3y = 0 и
x — 23
=
y4
.
Решение: Для решения этой задачи можно найти направляющие векторы и вычислить угол через направляющие векторы или преобразовать уравнения в уравнения с угловым коэффициентом и вычислить угол через угловые коэффициенты.
Преобразуем имеющиеся уравнения в уравнения с угловым коэффициентом.
2x + 3y = 0 => y = -23x (k1 = -23)
x — 23 = y4 => y = 43x — 83 (k2 = 43)
tg γ =
k1 — k21 + k1·k2
=
-23 — 431 + (-23)·43
=
-631 — 89
= 18
Ответ. γ ≈ 86.82°
Угол между прямыми в пространстве
Если a — направляющий вектор первой прямой, а b — направляющий вектор второй прямой, то, используя скалярное произведение векторов, легко найти угол между прямыми:
cos φ = |a · b||a| · |b|
Если дано каноническое уравнение прямой
x — x0 l = y — y0m = z — z0n
то направляющий вектор имеет вид {l; m; n}
Если уравнение прямой задано параметрически
x = l t + ay = m t + bz = n t + c
то направляющий вектор имеет вид {l; m; n}
Пример 4. Найти угол между прямыми
x = 2t + 1y = tz = -t — 1
и
x = t + 2y = -2t + 1z = 1
.
Решение: Так как прямые заданы параметрически, то {2; 1; -1} — направляющий вектор первой прямой, {1; -2; 0} направляющий вектор второй прямой.
cos φ =
|2 · 1 + 1 · (-2) + (-1) · 0|22 + 12 + (-1)2 · 12 + (-2)2 + 02
=
06 · 5
= 0
Ответ. φ = 90°
Пример 5 Найти угол между прямыми
x — 23
=
y4
=
z — 35
и —
x — 22
= 1 — 3y =
3z — 52
.
Решение: Для решения этой задачи найдем направляющие векторы этих прямых.
Уравнение первой прямой задано в канонической форме, поэтому направляющий вектор {3; 4; 5}.
Преобразуем второе уравнение к каноническому вид.
—x — 22 = x — 2-2
1 — 3y = 1 + y-1/3 = y — 1/3-1/3
3z — 52 = z — 5/32/3
Получено уравнение второй прямой в канонической форме
x — 2-2 = y — 1/3-1/3 = z — 5/32/3
{-2; -13; 23} — направляющий вектор второй прямой.
cos φ =
3·(-2) + 4·(-13) + 5·2332 + 42 + 52 · (-2)2 + (-13)2 + (23)2
=
-6 — 43 + 1039 + 16 + 25 · 4 + 19 + 49
=
-450 · 41/9
=
12582
=
682205
Ответ. φ ≈ 74.63°
Параметры первой прямой линии |
Параметры второй линии |
Параметры пересечения двух прямых |
Перпендикулярная прямая
Это задача наверное одна из самых популярных и востребованных в школьных учебниках. Задачи, основанные на эту тему многообразны. Это и определение точки пересечения двух прямых, это и определение уравнения прямой, проходящяя через точку на исходной прямой под каким либо углом.
Эту тему мы раскроем, используя в своих вычислениях данные полученные с помощью Расчет параметров прямой линии по заданным параметрам
Именно там было рассмотрено преобразование общего уравнения прямой, в уравнение с угловым коэффициентом и обратно, и определения остальных парметров прямой по заданным условиям.
Что же нам не хвататет для того, что бы решать те задачи, которым посвящена эта страница?
1. Формулы вычисления одного из углов между двумя пересекающимися прямыми.
Если мы имеем две прямые которые заданы уравнениями:
и
то один из углов вычисляется так:
2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом, проходящяя через заданную точку
Из формулы 1, мы можем увидеть два пограничных состояния
а) когда тогда и следовательно эти две заданные прямые паралельны ( или совпадают)
б) когда , тогда , и следовательно эти прямые перпендикулярны, то есть пересекаются под прямым углом.
Какие могут быть исходные данные для решения подобных задач, кроме заданной прямой?
— точка на прямой и угол под которым вторая прямая его пересекает
— второе уравнение прямой
Какие же задачи может позволить решить бот ?
1. Заданы две прямые ( явным или не явным образом например по двум точкам). Вычислить точку пересечения и углы по которыми они пересекаются.
2. Задана одна прямая , точка на прямой и один угол. Определить уравнение прямой, перескающую заданную под указанным углом
Примеры
Две прямые заданы уравнениями. Найти точку пересечения этих прямых и углы под которым они пересекаются
line_p A=11;B=-5;C=6,k=3/7;b=-5
получаем следующий результат
Уравнение первой прямой
y = 2.2 x + ( 1.2 )
Уравнение второй прямой
y = 0.4285714285714 x + ( -5 )
Угол пересечения двух прямых(в градусах)
-42.357454705937
Точка пересечения двух прямых
x = -3.5
y = -6.5
Не забудьте что параметры двух линий разделяются запятой, а параметры каждой линии точкой с запятой.
Прямая проходит через две точки (1:-4) и (5:2) . Найти уравнение прямой, которая проходит через точку (-2:-8) и пересекает исходную прямую под углом 30 градусов.
Одна прямая нам известна, так как известны две точки через которые она проходит.
Осталось определить уравнение второй прямой . Одна точка нам известна, а вместо второй указан угол, под которым первая прямая пересекает вторую.
Вроде все известно, но тут главное не ошибится. Речь идет об угле(30 градусов) не между осью абсцисс и линией, а между первой и второй линией.
Для этого мы постим так. Определим параметры первой линии, и узнаем под каким углом она пересекает ось абсцисс.
Для этого воспользуемся Расчет параметров прямой линии по заданным параметрам
line xa=1;xb=5;ya=-4;yb=2
Параметры прямой линии по заданным параметрам
Общее уравнение Ax+By+C = 0
Коэффициент А = -6
Коэффициент B = 4
Коэффициент C = 22
Уравнение прямой в отрезках x/a+y/b = 1
Коэффициент a= 3.6666666666667
Коэффициент b = -5.5
Уравнение прямой c угловым коэфициентом y = kx + b
Коэффициент k = 1.5
Угол наклона к оси ( в градусах) f = 56.309932474019
Нормальное уравнение прямой x*cos(q)+y*sin(q)-p = 0
Коэффициент p = 3.0508510792386
Коэффициент q = 2.5535900500422
Расстояние между точками=7.211102550928
Расстояние от точки до прямой li =
Видим что первая линия пересекает ось под углом 56.309932474019 градусов.
В искходных данных не сказано как именно пересекает вторая линия, первую. Можно ведь построить две линии удовлетворяющих условиям, первая повернутая на 30 градусов ПО часовой стрелке, а вторая на 30 градусов ПРОТИВ часовой стрелке.
Давайте их и посчитаем
Если вторая линия повернута на 30 градусов ПРОТИВ часовой стрелке, то вторая линия будет иметь градус пересечения с осью абсцисс 30+56.309932474019 = 86.309932474019 градусов
Тогда мы можем посчитать любым способом уравнение второй прямой
line_p xa=-2;ya=-8;f=86.309932474019
Параметры прямой линии по заданным параметрам
Общее уравнение Ax+By+C = 0
Коэффициент А = 23.011106998916
Коэффициент B = -1.4840558255286
Коэффициент C = 34.149767393603
Уравнение прямой в отрезках x/a+y/b = 1
Коэффициент a= -1.4840558255286
Коэффициент b = 23.011106998916
Уравнение прямой c угловым коэфициентом y = kx + b
Коэффициент k = 15.505553499458
Угол наклона к оси ( в градусах) f = 86.309932474019
Нормальное уравнение прямой x*cos(q)+y*sin(q)-p = 0
Коэффициент p = -1.4809790664999
Коэффициент q = 3.0771888256405
Расстояние между точками=23.058912962428
Расстояние от точки до прямой li =
то есть наше уравнение второй линии есть y=15.505553499458x+23.011106998916
Проверим??
узнаем угол пересечения двух прямы х что мы нашли y=15.505553499458x+23.011106998916 и y=1.5x-5.5
line_p k=15.505553499458;b=23.011106998916,k=1.5;b=-5.5
Уравнение первой прямой
y = 15.505553499458 x + ( 23.011106998916 )
Уравнение второй прямой
y = 1.5 x + ( -5.5 )
Угол пересечения двух прямых(в градусах)
-29.999999999998
Точка пересечения двух прямых
x = -2.0357001242414
y = -8.553550186362
Как видно угол межуд прямыми именно такой какой нам задали в задании.
Задача решена.
Да, аналогично можно посчитать уравнение прямой которое было бы повернуто на 30 градусов по часовой стрелке