Как найти угол преломления линзы - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Содержание:

Линзы:

На уроках природоведения вы. наверное, пользовались микроскопом. Кое-кто из ваших друзей (а может, и вы сами) имеет очки. Вероятнее всего, большинство из вас знакомы с биноклем, зрительной тру бой, телескопом. У всех этих приборов есть общее: их основной частью является линза.

Равные виды линз

Линзой (сферической*) называют прозрачное тело, ограниченное с двух сторон сферическими поверхностями (в частности, одна из поверхностей может быть плоскостью). По форме линзы делятся на выпуклые (рис. 3.50) и вогнутые (рис. 3.51).

Если толщина линзы d во много раз меньше радиусов

Обычно выпуклые линзы являются собирающими: параллельные лучи, которые падают на собирающую линзу, пройдя сквозь нее, пересекаются в одной точке (рис. 3.53).

Вогнутые линзы чаще всего бывают рассеивающими: параллельные лучи после прохождения сквозь рассеивающую линзу выходят расходящимся пучком (рис. 3.54).

Линзы также бывают цилиндрическими, но встречаются такие линзы редко.

Характеристики линз

Проведем прямую, которая проходит через центры сферических поверхностей, ограничивающих линзу. Эту прямую называют главной оптической осью линзы. Точку линзы, которая расположена на главной оптической оси и через которую луч света проходит, не изменяя своего направления, называют оптическим центром линзы (рис. 3.55). На рисунках оптический центр линзы обычно обозначают буквой О.

Точку, в которой собираются после преломления лучи, параллельные главной оптической оси собирающей линзы, называют действительным фокусом собирающей линзы (рис. 3.56).

Если пучок лучей, параллельных главной оптической оси, направить на рассеивающую линзу, то после преломления они выйдут расходящимся пучком.

Однако их продолжения соберутся в одной точке на главной оптической оси линзы (рис. 3.57). Эту точку называют мнимым фокусом рассеивающей линзы.

На рисунках фокус линзы обозначают буквой F.

Расстояние от оптического центра линзы до фокуса называют фокусным расстоянием линзы.

Фокусное расстояние обозначается символом F и измеряется в метрах. Фокусное расстояние собирающей линзы договорились считать положительным (F>0), а рассеивающей — отрицательным (F<0).

Очевидно, что чем сильнее преломляющие свойства линзы, тем меньшим будет ее фокусное расстояние (рис. 3.58).

Физическая величина, характеризующая преломляющие свойства линзы и обратная фокусному расстоянию, называется оптической силой линзы.

Оптическая сила линзы обозначается символом D и вычисляется по формуле
где F — фокусное расстояние линзы.

Единицей оптической силы является диоптрия

1 диоптрия (дптр) — это оптическая сила такой линзы, фокусное рас стояние которой равняется 1 м.

Если линза собирающая, то ее оптическая сила положительна. Оптическая сила рассеивающей линзы отрицательна. Например, оптическая сила линз в бабушкиных очках +3 дптр, а в маминых -3 дптр. Это означает, что в бабушкиных очках стоят собирающие линзы, а в маминых — рассеивающие.

Пример №1

Оптическая сила линзы равняется -1,6 дптр. Каково фокусное расстояние этой линзы? Эта линза собирающая или рассеивающая?

Дано:

Анализ физической проблемы

Для определения фокусного расстояния этой линзы воспользуемся формулой для вычисления оптической силы линзы. Поскольку 1)< 0, то линза рассеивающая.

Поиск математической модели, решение:

Определим числовое значение искомой величины:

Ответ: F = -62,5 см, линза рассеивающая.

Итоги:

Прозрачное тело, ограниченное с двух сторон сферическими поверхностями, называют линзой. Линзы бывают собирающими и рассеивающими, а по форме — выпуклыми и вогнутыми.

Линза называется собирающей, если пучок параллельных лучей, падающий на нее, после преломления в линзе пересекается в одной точке. Эту точку называют действительным фокусом линзы.

Линза называется рассеивающей, если параллельные лучи, падающие на нее, после преломления в линзе идут расходящимся пучком, однако продолжения этих преломленных лучей пересекаются в одной точке. Эта точка называется мнимым фокусом линзы.

Физическая величина, характеризующая преломляющие свойства линзы и являющаяся обратной фокусному расстоянию линзы, называется оптической силой линзы = Оптическая сила линзы измеряется в диоптриях (дптр).

Формула тонкой линзы

Сейчас никого не удивляет, что можно увидеть бактерии и другие микроорганизмы, рассмотреть невидимые невооруженным глазом детали рельефа поверхности Луны или полюбоваться портретом, нарисованным на маковом зернышке. Все это стало возможным потому, что с по мощью линзы получают разные по размеру изображения предметов.

Изображение предмета, полученное с помощью линзы

Расположив последовательно зажженную свечу, собирающую линзу и экран, получим на экране четкое изображение пламени свечи (рис. 3.59). Изображение может быть как большим, так и меньшим, чем само пламя, или равным ему — в зависимости от расстояния между свечой и экраном. Чтобы выяснить, при каких условиях с помощью линзы образуется то или иное изображение предмета, рассмотрим приемы его построения.

Строим изображение предмета, которое дает тонкая линза

Любой предмет можно представить как совокупность точек. Каждая точка предмета, который светится собственным или

— луч, проходящий через оптический центр О линзы (не преломляется и не изменяет своего направления);
— луч, параллельный главной оптической оси / линзы (после преломления в линзе идет через фокус F);
— луч, проходящий через фокус F (после преломления в линзе идет параллельно главной оптической оси/линзы)
отраженным светом, испускает лучи во всех направлениях.

Для построения изображения точки S, получаемого с помощью линзы, достаточно найти точку пересечения , любых двух лучей, выходящих из точки S и проходящих сквозь линзу (точка и будет действительным изображением точки S). Кстати, в точке пересекаются все лучи, выходящие из точки S, однако для построения изображения достаточно двух лучей (любых из трех показанных на рис. 3.60).

Изобразим схематически предмет стрелкой АВ и удалим его от линзы на расстояние, большее, чем 2F (за двойным фокусом) (рис. 3.61, а). Сначала построим изображение точки В. Для этого воспользуемся двумя «удобными* лучами (луч 1 и луч 2). Эти лучи после преломления в линзе пересекутся в точке . Значит, точка является изображением точки В. Для построения изображения точки А из точки опустим перпендикуляр на главную оптическую ось /. Точка пересечения перпендикуляра и оси / и является точкой

Значит, и является изображением предмета АВ, полученное с помощью линзы. Мы видим: если предмет расположен за двойным фокусом собирающей линзы, то его изображение, полученное с помощью линзы, будет уменьшенным, перевернутым, действительным. Такое изображение получается, например, на пленке фотоаппарата (рис. 3.61, б) или сетчатке глаза.

На рис. 3.62, а показано построение изображения предмета АВ, полученного с помощью собирающей линзы, в случае, когда предмет расположен

Изображение предмета в этом случае будет увеличенным, перевернутым, действительным. Такое изображение позволяет получить проекционная аппаратура на экране (рис. 3.62, б).

Если поместить предмет между фокусом и линзой, то изображения на экране мы не увидим. Но, посмотрев на предмет сквозь линзу, увидим изображение предмета — оно будет прямое, увеличенное.

Используя «удобные лучи» (рис. 3.63, а), увидим, что после преломления в линзе реальные лучи, вышедшие из точки В, пойдут расходящимся пучком. Однако их продолжения пересекутся в точке В,. Напоминаем, что в этом случае мы имеем дело с мнимым изображением предмета. То есть если предмет расположен между фокусом и линзой, то его изображение бу дет увеличенным, прямым, мнимым, расположенным с той же стороны от линзы, что и сам предмет. Такое изображение можно получить с помощью лупы (рис. 3.63, б) или микроскопа.

Итак, размеры и вид изображения, полученного с помощью собирающей линзы, зависят от расстояния между предметом и этой линзой.

Внимательно рассмотрите рис. 3.64, на котором показано построение изображения предмета, полученного с помощью рассеивающей линзы. Построение показывает, что рассеивающая линза всегда дает мнимое, уменьшенное, прямое изображение предмета, расположенное с той же стороны от линзы, что и сам предмет.

Мы часто сталкиваемся с ситуацией, когда предмет значительно больше, чем линза (рис. 3.65), или когда часть линзы закрыта непрозрачным экраном (например, линза объектива фотоаппарата). Как создается изображение в этих случаях? На рисунке видно, что лучи 2 и 3 при этом не проходят через линзу. Однако мы, как и раньше, можем использовать эти лучи для построения изображения, получаемого с помощью линзы. Поскольку реальные лучи, вышедшие из точки В, после преломления в линзе пересекаются в одной точке — то «удобные лучи*, с помощью которых мы строим изображение, тоже пересеклись бы в точке

Как выглядит формула тонкой линзы

Существует математическая зависимость между расстоянием d от предмета до линзы, расстоянием f от изображения предмета до линзы и фокусным расстоянием F линзы. Эта зависимость называется формулой тонкой линзы и записывается так:

Пользуясь формулой тонкой линзы для решения задач, следует иметь в виду: расстояние f (от изображения предмета до линзы) следует брать со знаком минус, если изображение мнимое, и со знаком плюс, если изображение действительное; фокусное расстояние F собирающей линзы положительное, а рассеивающей — отрицательное.

Пример №2

Рассматривая монету с помощью лупы, оптическая сила которой +5 дптр, мальчик расположил монету на расстоянии 2 см от лупы. Определите, на каком расстоянии от лупы мальчик наблюдал изображение монет

Дано:

d = 2 см = 0,02 м

D = + 5 дптр

f- ?

Анализ физической проблемы, поиск математической модели

Лупу можно считать тонкой линзой, поэтому чтобы найти расстояние от лупы до изображения, воспользуемся
формулой тонкой линзы Фокусное расстояние F неизвестно, но мы знаем, что (2), где

D — оптическая сила линзы, данная в условии задачи.
Решение и анализ результатов

Подставив формулу (2) в формулу (1), получаем

Проверим единицу:

Найдем числовое

Проанализируем результат: знак ♦-* говорит о том, что изображение является мнимым.

Ответ: f = -21 см, изображение мнимое.

Итоги:

В зависимости от вида линзы (собирающая или рассеивающая) и местоположения предмета относительно этой линзы получают разные изображения предмета с помощью линзы (см.таблицу):

Таким образом, по типу изображения можно судить так и о местоположении предмета относительно нее.

Расстояние d от предмета до линзы, расстояние f от изображения до линзы и фокусное расстояние F связаны формулой тонкой линзы:

Что такое линза

Многие люди носят очки. А задумывались ли вы над вопросами: что собой представляют стекла очков и какова их роль? Стекла очков есть не что иное, как линзы. Ни один оптический прибор (от простой лупы до сложных телескопов) не обходится без линз. Что же такое линза?

Линза представляет собой прозрачное тело, ограниченное криволинейными (чаще всего сферическими) или криволинейной и плоской поверхностями. Материалом для линз обычно служит оптическое или органическое стекло.

На рисунках 261, 262 представлены сечения линз двух типов: двояковыпуклой (см. рис. 261) и двояковогнутой (см. рис. 262). Одна из поверхностей линзы может быть плоской, как, например, на рисунке 263. Такие линзы называются плосковыпуклая (см. рис. 263, а) и плосковогнутая, (см. рис. 263, б).

Прямая, проходящая через центры сферических поверхностей (рис. 264), называется главной оптической осью линзы. Радиусы и есть радиусы кривизны поверхностей линзы (см. рис. 264).

Если толщина линзы мала но сравнению с радиусами кривизны ее поверхностей (см. рис. 264), то линза называется тонкой. Ее часто изображают Всякая тонкая линза имеет точку, проходя через которую, луч не меняет своего направления (лучи 1 и 2 на рисунке 264). Эта точка О называется оптическим центром линзы. В дальнейшем мы будем рассматривать только тонкие линзы, изготовленные из вещества, оптически более плотного, чем среда (воздух), в которой они находятся.

Как линзы меняют направление падающих на них лучей после преломления? Ответ получим с помощью опыта.

Направим на двояковыпуклую линзу (рис. 265, а) параллельно главной оптической оси лучи света. После преломления в линзе они пересекают главную оптическую ось в одной точке F. Значит, двояковыпуклая линза собирает преломленные лучи, поэтому такая линза называется собирающей. Также превращают параллельный пучок в сходящийся линзы 2, 3, изображенные на рисунке 270. При замене линзы на двояковогнутую (рис. 265, б) лучи после преломления в линзе расходятся, а центральный луч, как и в первом случае, не испытывает преломления. Итак, двояковогнутая линза рассеивает параллельный пучок падающих на нее лучей, поэтому такая линза называется рассеивающей. Рассеивают параллельный пучок и линзы 5, 6 (см. рис. 270).

Точка F (см. рис. 265, а, рис. 266, а), в которой пересекаются преломленные линзой лучи, падающие параллельно главной оптической оси, или их продолжения (см. рис. 265, б, рис. 266, б), называется главным фокусом линзы. Так как параллельные лучи можно пустить как с одной, так и с другой стороны линзы, то и главных фокуса у линзы два. Оба фокуса лежат на главной оптической оси симметрично относительно оптического центра линзы (см. рис. 266). А в какой точке собирает линза лучи, идущие под углом к главной оптической оси? Оказывается, в точке которая находится в плоскости (см. рис. 266, а), проходящей через главный фокус перпендикулярно главной оптической оси. Эта плоскость называется фокальной плоскостью, а точка в отличие от главного фокуса, называется фокусом.

Обратите внимание, что у собирающей линзы в фокусе пересекаются сами преломленные лучи, несущие энергию, поэтому фокус называется действительным. У рассеивающей линзы в фокусе пересекаются продолжения преломленных лучей. Такой фокус называют мнимым.

Расстояние от оптического центра до главного фокуса называется фокусным расстоянием. Его тоже принято обозначать буквой F.

Линза, имеющая более выпуклые поверхности, преломляет лучи сильнее. Линза 1 (рис. 267, а) преломляет лучи сильнее, чем линза 2 (рис. 267, 6). Фокусное расстояние у линзы 1 меньше, чем у линзы 2.

Чтобы количественно оценить преломляющую способность линзы, введем величину, обратную фокусному расстоянию, и назовем ее оптической силой линзы (обозначается буквой D):

Оптическая сила измеряется в диоптриях (сокращенно дптр). Очевидно, что D = 1 дптр, если фокусное расстояние линзы F = 1 м.

А как оценивается оптическая сила рассеивающей линзы, у которой фокус мнимый? В этом случае фокусное расстояние считается отрицательным, а следовательно, и оптическая сила — отрицательной величиной.

Например, если F = -0,5 м, то оптическая сила

Теперь для вас не будет загадкой рекомендация врача-окулиста: «Вам нужны очки со стеклами +1,5 диоптрии или -2 диоптрии».

Для любознательных:

Не следует думать, что любая линза с выпуклой поверхностью будет обязательно собирающей, а с вогнутой — рассеивающей. Собирающей является всякая линза, у которой середина толще краев (например, линзы 2, 2, 3 на рисунке 270), а рассеивающей — линза, у которой середина тоньше краев (см. рис. 270, линзы 4, 5, 6). И не забывайте, что все наши рассуждения справедливы, если вещество линзы (стекло) имеет большую оптическую плотность, чем окружающая среда (воздух).

В природе собирающими линзами являются капельки росы, в быту — наполненные водой прозрачные сосуды — кувшин, пластиковая бутылка. Подумайте и ответьте, какие это линзы.

Главные выводы:

Линзы меняют направление падающих на них лучей после преломления, за исключением тех, которые проходят через оптический центр линзы.
Собирающая линза после преломления делает параллельный пучок лучей сходящимся, рассеивающая линза — расходящимся.
Лучи, идущие параллельно главной оптической оси, после преломления в собирающей линзе пересекаются в главном фокусе. В рассеивающей линзе в главном фокусе пересекаются продолжения преломленных лучей.
Величина, обратная фокусному расстоянию, определяет оптическую силу линзы.

Построение изображений в тонких линзах

Глядя в окуляр микроскопа на уроках биологии, задумывались ли вы, как получается увеличенное изображение клеток? Главными частями микроскопа являются линзы. Именно они позволяют получать увеличенное или уменьшенное (например, в фотоаппарате) изображение предмета.

Какие изображения предмета создает линза?

Проведем опыт. На столе расположим экран, собирающую линзу и зажженную свечу (рис. 271, а), удаленную от линзы на расстояние б/, большее, чем удвоенное фокусное, т. е. d > 2F. Будем передвигать экран до тех пор, пока не увидим на нем четкое изображение пламени свечи. Чем оно отличается от изображения, которое мы увидим в зеркале, поместив перед ним эту же свечу? Во-первых, оно уменьшенное, во-вторых, перевернутое. Ио самое главное, что это изображение, в отличие от мнимого изображения в зеркале, реально существует. На экране концентрируется энергия света. Чувствительный термометр, помещенный в изображение пламени свечи, покажет повышение температуры. Поэтому полученное в линзе изображение называют действительным, в отличие от мнимых изображений, наблюдаемых в плоском зеркале.

Подтвердим сказанное построением (рис. 271, б). Для получения изображения точки А достаточно использовать два луча, ход которых после преломления в линзе известен. Луч 1 идет параллельно главной оптической оси и после преломления в линзе проходит через главный фокус. Луч 2 идет через оптический центр и не меняет своего направления после прохождения сквозь линзу. Точка А’, являющаяся пересечением прошедших линзу лучей и 2′, есть действительное изображение точки А. Заметим, что через точку А пройдет и любой другой преломленный луч идущий от точки А, благодаря чему энергия, излученная точкой А пламени свечи, будет сконцентрирована в точке А’.

Продолжим опыт. Поставим свечу на расстоянии d = 2F. Перемещая экран, мы увидим на нем действительное, перевернутое изображение пламени свечи, но размер его будет равен размеру пламени самой свечи (рис. 272). Сделайте сами построение изображения для этого случая.

Передвигая свечу ближе к линзе (F < d < 2F) и удаляя экран, мы увидим на нем действительное, перевернутое, увеличенное изображение пламени свечи (построение сделайте сами).

Наконец поставим свечу на расстоянии d от линзы, меньше фокусного, т. е. d

А какие изображения предмета дает рассеивающая линза? Пусть параллельно главной оптической оси надает луч 1 (рис. 275). После линзы преломленный луч идет так, что только его продолжение проходит через фокус. Луч 2 не испытывает преломления. Видно, что лучи и 2′ не пересекаются. В точке А’ пересекаются их продолжения. Тогда изображение точки А, а значит, и всего предмета АВ — мнимое. Как все мнимые изображения, оно прямое, но уменьшенное. Даст ли рассеивающая линза действительное изображение, если менять положение предмета? Может ли оно быть увеличенным? Ответьте на эти вопросы сами, сделав соответствующие построения изображений предмета в тетради.

Главные выводы:

Собирающая линза дает как действительные, так и мнимые изображения, рассеивающая — только мнимые.
Все мнимые изображения — прямые, все действительные — перевернутые.
Для нахождения изображения точки наиболее целесообразно использовать луч, идущий параллельно главной оптической оси линзы, и луч, идущий через ее оптический центр.

Пример №3

С помощью стеклянной линзы на экране, удаленном от линзы на расстояние f = 36 см, получено увеличенное в 3 раза изображение предмета. Определите расстояние от предмета до линзы и оптическую силу линзы.

Дано:

Н = Зh

f = 36 см

d — ?

D — ?

Решение

Построим изображение предмета в линзе (рис. 276).

Поскольку изображение есть на экране, то оно действительное. Кроме того, оно увеличенное, значит, предмет находится между фокусом и двойным фокусом, а линза собирающая.

По условию размер предмета АВ в 3 раза меньше размера изображения А’В’. Из подобия треугольников АОВ и А’ОВ’ следует, что таким же будет и соотношение их сторон ВО и OB’, Значит, искомое расстояние d будет в 3 раза меньше заданного расстояния f. Это дает первый ответ: Для ответа на второй вопрос используем подобие другой нары треугольников — CFO и A’FB’. И здесь подобные стороны треугольников различаются в 3 раза.
Так как одна из них — OF равна фокусному расстоянию F линзы, а другая — FB’ равна разности f — F, то их связь можно записать так: 3F = f — F, или 4F = f = 36 см. Вычислив значение фокусного расстояния найдем и искомое значение оптической силы D линзы:

Ответ:

Оптическая сила и фокусное расстояние линзы

Граница разделения двух, прозрачных для света, тел может быть искривленной. Если прозрачное тело ограничить искривленными поверхностями, получим линзу (нем. linse — «чечевица»).

Линза — это прозрачное тело, ограниченное двумя выпуклыми или вво-гнутыми прозрачными поверхностями, преломляющими лучи света.
Одна из поверхностей линз может быть плоской. Линзы изготавливают из какого-либо прозрачного для света вещества: стекла, кварца, разных пластмасс, каменной соли, но чаще всего — из специальных сортов стекла.

Наибольшее распространение получили линзы, ограниченные сферическими поверхностями. В зависимости от взаимного размещения сферических поверхностей, ограничивающих линзу, различают 6 типов линз: двояковыпуклая, плоско-выпуклая, вогнуто-выпуклая (рис. 165, а, б, в); двояковогнутая, плоско-вогнутая, выпукло-ввогнутая (рис. 165, г, д, е).

Любая линза имеет характерные точки и линии. Выясним, какие именно.

1. Прямую, проходящую через центры сферических поверхностей, которые ограничивают линзу, называют ее главной оптической осью (рис. 166).

2. Точку О, которая лежит на главной оптической оси в центре линзы, называют оптическим центром линзы (рис. 166).

Опыт 1. Направим на линзу пучок лучей, параллельных ее главной оптической оси. Проходя через линзу, световые лучи преломляются и пересекаются в одной точке, лежащей на главной оптической оси линзы (рис. 167).

Эту точку называют главным фокусом линзы F.

3. Главный фокус линзы F — точка, в которой сходятся все, параллельные главной оптической оси, лучи после их преломления в линзе.

4. Фокусное расстояние f — расстояние от оптического центра линзы О до главного фокуса F.

Каждая линза имеет два главных фокуса.

Любая тонкая линза характеризуется двумя основными параметрами -фокусным расстоянием и оптической силой. Оптическую силу линзы обозначают большой буквой D и определяют по формуле:

Единицей оптической силы является одна диоптрия (1 дптр), 1 дптр = .

Как видно из опыта, линза преобразует пучок параллельных лучей в сходящийся, то есть собирает его в одну точку. Такую линзу называют собирательной.

Собирательная линза — это линза, которая световые лучи, падающие на нее параллельно ее главной оптической оси, после преломления собирает на этой оси в одну точку.

Опыт 2. Возьмем линзу другого типа и направим на нее параллельный главной оптической оси пучок лучей света. Лучи, преломившись на границе воздух-стекло, выходят из линзы расходящимся пучком, или рассеиваются (рис. 168).

Такую линзу называют рассеивающей.

Рассеивающая линза — это линза, которая световые лучи, падающие на нее параллельно ее главной оптической оси, после преломления отклоняет от этой оси.

Если пучок лучей, выходящий из рассеивающей линзы, продолжить в противоположном направлении, то продолжения лучей пересекутся в точке F, которая лежит на оптической оси с той же стороны, с которой свет падает на линзу. Эту точку F называют мнимым главным фокусом рассеивающей линзы (рис. 169).

Опыт 3. Пропустим световые лучи только через оптические центры линз. В результате опыта убеждаемся (рис. 170), что световые лучи, проходящие через оптический центр линзы, не преломляются, то есть не изменяют своего направления.

С помощью линз можно не только собирать или рассеивать световые лучи, но и строить изображение предметов. Как раз благодаря этому свойству линзы широко используют в практических целях.

Каким же образом строятся изображения предметов с помощью линз?

Изображение предмета — это воссоздание вида, формы и цвета предмета световыми лучами, проходящими через оптическую систему линз, которые имеют одну общую оптическую ось.

Если изображение предмета образовано пересечением самих лучей, то его называют действительным, если их продолжением — мнимым.

Определить ход лучей, отраженных всеми точками поверхности тела, невозможно. Поэтому для построения изображения будем использовать такие лучи, ход которых известен:

1. Луч, проходящий через оптический центр линзы, не преломляется (рис. 171, а).
2. Луч, параллельный главной оптической оси линзы, после преломления в линзе проходит через главный фокус линзы (рис. 171, б).
3. Луч, проходящий через главный фокус линзы, после преломления в ней, проходит параллельно главной оптической оси (рис. 171, в).

Рассмотрим случаи, при которых получается то или другое изображение, и особенности этих изображений.

1. Предмет АВ размещен между линзой и ее фокусом F.

Построим изображение точки А, использовав для этого упомянутые лучи. Луч АС (рис. 172), параллельный главной оси линзы, преломившись в линзе, пройдет через главный фокус, а луч АО не изменит своего направления. Как видно на рисунке, эти лучи расходятся. Чтобы построить изображение точки А, следует продолжить лучи в противоположном направлении до пересечения, это будет точка Это изображение точки есть мнимым. Такое же построение хода лучей можно выполнить для всех точек предмета, находящихся между точками А и В. Изображение этих промежуточных точек будут лежать между. Таким образом, — изображение предмета АВ.

Если предмет находится между линзой и ее фокусом, то получают увеличенное, прямое, мнимое его изображение, размещенное дальше от линзы, чем сам предмет.

Такое изображение получают, когда пользуются лупой — прибором для рассматривания мелких предметов (например, чтения мелкого текста).

2. Предмет размещен в главном фокусе линзы F.

Для построения изображения предмета АВ снова воспользуемся лучами АС и АО (рис. 173). После прохождения лучей сквозь линзу мы увидим, что они параллельны между собой. Следовательно, изображение предмета АВ мы не получим.

Если в главном фокусе разместить источник света, то мы превратим пучок расходящихся лучей на пучок параллельных лучей, который хорошо освещает отдаленные предметы.

Если предмет размещен в главном фокусе линзы F, изображение предмета получить нельзя.

3. Предмет размещен между главным фокусом линзы F и двойным фокусом линзы 2F.

Во время построения изображения (рис. 174) мы видим, что лучи АС и АО после прохождения линзы пересекаются в точке . В этой точке образуется действительное изображение точки А. Изображение предмета АВ также будет действительным.

Если предмет находится между фокусом F и двойным фокусом 2F линзы, то образуется увеличенное, перевернутое и действительное изображение предмета; оно размещено с противоположной относительно предмета стороны линзы на расстоянии, больше двойного фокусного расстояния.

Такое изображение используют в проекционном аппарате, киноаппарате. Чтобы изображение на экране было прямым, диапозитивы или киноленту устанавливают в аппарат в перевернутом виде.

4. Предмет находится в двойном фокусе линзы. 2F.

В этом случае линза дает (рис. 175) перевернутое, действительное изображение предмета такого же размера, как и он сам. Это изображение размещено в ее двойном фокусе 2F с противоположной относительно предмета стороны линзы.

5. Если предмет находится за двойным фокусом линзы 2F (рис. 176), линза дает уменьшенное, перевернутое и действительное изображение предмета, которое размещено между ее главным фокусом F и двойным фокусом 2F с противоположной относительно предмета стороны линзы.

Такое изображение используют в фотоаппарате.

Пример №4

Почему не рекомендуется поливать растения днем, когда они освещены солнечными лучами, особенно те, на листьях которых остаются капельки воды?

Ответ: потому что капельки играют роль линз, фокусирующих солнечные лучи, и растения получают ожоги.

Пример №5

На рисунке 177 показан ход лучей в линзах. Какие это линзы?

Ответ: (слева направо) источник света, собирательная линза, рассеивающая линза.

Простые оптические приборы

Знания законов отражения и преломления света в зеркалах и линзах дали возможность создать ряд оптических приборов, имеющих важное значение для современной науки и техники. Их используют специалисты разных отраслей. Это микроскоп биолога и фотоаппарат журналиста, кинокамера оператора и телескоп астронома, перископ подводника и т. п. Кроме того, оптическими приборами являются очки миллионов людей разного возраста и специальностей.

Самый простой оптический прибор — лупа.

Лупа (франц. loupe — «нарост») — оптический прибор, являющийся собирательной линзой, применяется для рассматривания мелких деталей, плохо заметных невооруженным глазом.

Общий вид луп разного вида представлен на рисунке 181, а.

Чтобы увидеть изображение предмета увеличенным, лупу следует разместить так, чтобы данный предмет был между лупой и ее фокусом (рис. 181, б).

Лучи, падающие на лупу от крайних точек предмета, преломляются в линзе и сходятся.

Каким же образом все это видит наш глаз?

Оказывается, наш глаз не замечает преломления лучей. Лучи, идущие от предмета сквозь линзу, воспринимаются глазом как прямолинейные. Нам кажется, что лучи, идущие от лупы к глазу, продолжаются после лупы, не преломляясь. Благодаря этому мы видим предмет увеличенным по сравнению с его действительными размерами.

Лупа дает увеличение в 10-40 раз.

Значительное увеличение изображения предметов можно получить с помощью двух линз, размещенных в металлической трубе на определенном расстоянии друг от друга. Такой прибор называют микроскопом.

Микроскоп (греч. mikro — «маленький», skopeo — «смотрю») — оптический прибор для рассматривания мелких предметов и их деталей (рис. 182, а).

Ход лучей в микроскопе показан на рисунке 182, б. Линзу, размещенную со стороны глаза, называют окуляром (лат. oculus — «глаз»), а линзу, размещенную со стороны данного предмета, называют объективом (лат. objectivus — «предметный»).

Первое увеличение изображения предмета дает объектив. Предмет в микроскопе размещается немного дальше от фокуса обьектива. В результате этого выходит увеличенное и перевернутое изображение предмета.

Это изображение увеличивается еще раз линзой-окуляром: оно будто служит для окуляра предметом. Окуляр, подобно лупе, размещают на расстоянии (меньше фокусного) от промежуточного изображения. В итоге мы получаем новое, более увеличенное изображение.

Если, например, объектив микроскопа дает изображение предмета, увеличенное в 20 раз, а окуляр увеличивает это изображение в 15 раз, то общее увеличение, которое дает микроскоп, будет уже 20*15 = 300 раз.

Современные электронные микроскопы дают увеличение в десятки тысяч раз. Например, так выглядят под микроскопом бактерии, увеличенные в 25 000 раз (рис. 183).

Посмотрите еще раз на схему микроскопа (рис. 182, б). Объектив микроскопа — линза — имеет меньшее фокусное расстояние, чем окуляр этого прибора. А что будет, если мы возьмем объектив, который имеет большее фокусное расстояние, чем окуляр?

В этом случае мы получим новый прибор, который называют телескопом, или рефрактором (лат. refringo — «преломляю»). Такой телескоп создал еще в 1611 г. немецкий астроном Иоганн Кеплер. А вообще первый телескоп на основе зрительной трубы построил в 1609 г. Галилео Галилей.

Телескоп (греч. tele — «далеко», skopeo — «смотреть») — оптический прибор для астрономических исследований космических объектов (рис. 184).

Прохождение в телескопе лучей от небесного тела показано на рисунке 185.

Как следует из рисунка, изображение небесного тела в телескопе мы видим под большим углом зрения, в отличие от невооруженного глаза. Окуляр телескопа, как и окуляр микроскопа, действует как обычная лупа.

Следует отметить, что, рассматривая с помощью телескопа отдаленные предметы на Земле, мы видим их перевернутыми. Однако для наблюдения за небесными телами это обстоятельство не столь важно.

Самый большой телескоп-рефрактор установлен в Йеркской обсерватории университета в Чикаго (США). Его объектив в диаметре достигает 102 см.

Другой тип — это телескопы-рефлекторы (лат. reflecto — «отображаю»). В таких телескопах, кроме преломления лучей света, используют другое их свойство — способность отражаться от зеркальных поверхностей.

Изображение небесного тела отражается с помощью маленького плоского зеркальца и рассматривается с помощью окуляра (рис. 186), который увеличивает отраженное изображение.

Первый рефлектор с диаметром зеркала 2,5 см и фокусным расстоянием 16,5 см построил в 1668 г. Исаак Ньютон. Сегодня самым большим в мире является зеркальный телескоп HESS II, установленный в Намибии, его площадь достигает 600 . Устройство предназначено для изучения происхождения космических лучей.

Фотоаппарат — это оптический прибор, с помощью которого на цифровом устройстве (англ, digital device — «техническое устройство или приспособление, предназначенное для получения и обработки информации в цифровой форме, используя цифровые технологии»), фотопленке, фотопластинке, фотобумаге получают изображение предмета.

Сегодня существует много различных типов фотоаппаратов (рис. 187, а). Они отличаются формой и размерами, но их строение и основные части одинаковы. Ход лучей в фотоаппарате изображен на рисунке 187, б.

Заказать решение задач по физике

Подробное объяснение формулы тонкой линзы

Линза называется собирающей, если после преломления в ней параллельный пучок становится сходящимся. Если же после преломления в линзе параллельный пучок становится расходящимся, то линза называется рассеивающей (рис. 58).

Основные типы линз и лучи, используемые для построения изображений в них, даны на рисунках 59, 60.

Величина, обратная фокусному расстоянию линзы, выраженному в метрах, называется ее оптической силой:

Единица оптической силы — диоптрия (1 дптр).

1 дптр соответствует оптической силе линзы с фокусным расстоянием I м: 1 дптр= 1 .

Между фокусным расстоянием F тонкой линзы, расстоянием от предмета до линзы d и расстоянием от линзы до изображения f существует определенная количественная зависимость, называемая формулой линзы.

Выведем формулу тонкой линзы, рассматривая ход характерных лучей (рис. 61).

Пусть расстояние от предмета до линзы d, расстояние от линзы до изображения f, фокусное расстояние линзы F, расстояние от предмета до переднего главного фокуса а, расстояние от заднего главного фокуса до изображения а’.

Из рисунка 61 видно, что следовательно

Из формул (1) и (2) следует формула Ньютона:

С учетом того, что d = а + F, f = а’ + F, получаем формулу тонкой линзы:

Поперечным увеличением Г называется отношение линейного размера изображения h’ к линейному размеру предмета h. Из выражения (3) находим

В 1604 г. в исследовании «Дополнения к Вителло» Кеплер изучал преломление света в линзах различной конфигурации и для малых углов падения пришел к формуле линзы.

Для практического использования формулы тонкой линзы следует запомнить правило знаков:

для собирающей линзы, действительных источника и изображения величины F, d, f считают положительными;
для рассеивающей линзы, мнимых источника и изображения величины F, d,f считают отрицательными.

Заметим, что предмет или источник является мнимым только в том случае, если на линзу падает пучок сходящихся лучей.

Таким образом, линза с F>0 является собирающей (положительной), а с F< 0 — рассеивающей (отрицательной).

Оптическая сила линзы зависит от свойств окружающей среды.

В современных оптических приборах используются системы линз для улучшения качества изображений. Оптическая сила D системы тонких линз, сложенных вместе, равна сумме их оптических сил :

Пример №6

Предмет расположен на расстоянии d = 0,15 м от рассеивающей линзы с фокусным расстоянием F=-0,30 м. На каком расстоянии f от линзы получается изображение данного предмета?

Решение

Из формулы тонкой линзы

находим

Отрицательное значение f соответствует мнимому изображению предмета.

Ответ: f =-0,10 м, изображение мнимое.

Пример №7

На каком расстоянии d от рассеивающей линзы с оптической силой D = -4 дптр надо поместить предмет, чтобы его мнимое изображение получилось в k = b раз меньше (Г = ) самого предмета?

Решение

Из формулы для увеличения

находим

Из формулы линзы

с учетом выражения для f получаем

Ответ: d= 1 м.

Пример №8

Определите фокусное расстояние F собирающей линзы, дающей мнимое изображение предмета, помещенного перед ней на расстоянии d- 0,4 м, если расстояние от линзы до изображения f =-1,2 м.

Решение

Из формулы тонкой линзы

находим

Ответ: F= 0,6 м.

Разбираем формулу тонкой линзы

Линза называется собирающей, если после преломления в ней параллельный пучок становится сходящимся. Если же после преломления в линзе параллельный пучок становится расходящимся, то линза называется рассеивающей (рис. 80).

Величина, обратная фокусному расстоянию линзы, выраженному в метрах, называется ее оптической силой:

Единица оптической силы — 1 диоптрия (1 дптр).

1 дптр соответствует оптической силе линзы с фокусным расстоянием

Линзы можно представить в виде совокупности частей трехгранных призм. На рисунке 81, а изображена модель двояковыпуклой линзы, собранной из частей призм, повернутых основаниями к центру линзы. Соответственно, модель двояковогнутой линзы будет представлена частями призм, повернутых основаниями от центра линзы (рис. 81, б).

Преломляющие углы этих призм можно подобрать таким образом, чтобы падающие на нее параллельные лучи после преломления в призмах собрались в одной точке

Линза считается тонкой, если ее толщина в центре намного меньше радиусов ограничивающих ее поверхностей. Тонкая линза дает неискаженное изображение только в том случае, если свет монохроматический и предмет достаточно мал, следовательно, лучи распространяются вблизи главной оптической оси. Такие лучи получили название параксиальных.

Отметим условия, при одновременном выполнении которых линза является собирающей:

толщина в центре больше толщины у краев,
ее показатель преломления больше показателя преломления окружающей среды.

При невыполнении (или выполнении) только одного из этих условий линза является рассеивающей.

Между фокусным расстоянием тонкой линзы, расстоянием от предмета до линзы и от линзы до изображения существует определенная количественная зависимость, называемая формулой линзы.

Выведем формулу тонкой линзы из геометрических соображений, рассматривая ход характерных лучей. Обратим внимание на луч, идущий через оптический центр линзы, луч, параллельный главной оптической оси линзы, и луч, проходящий через главный фокус линзы.

Построим изображение предмета в тонкой собирающей линзе (рис. 82). Пусть расстояние от предмета до линзы расстояние от линзы до изображения фокусное расстояние линзы расстояние от предмета до переднего главного фокуса расстояние от заднего главного фокуса до изображения высота предмета высота его изображения

Из рисунка 82 видно, что Из подобия треугольников следует:

Используя соотношения (1) и (2), получим:

Соотношение называется формулой Ньютона.

С учетом того, что (см. рис. 82), находим: и подставляем в формулу (4):

Разделив обе части последнего выражения на получаем формулу тонкой линзы:

Линейным (поперечным) увеличением Г называется отношение линейного размера изображения к линейному размеру предмета Из соотношения (3) находим линейное увеличение тонкой линзы:

В 1604 г. в исследовании «Дополнения к Вителло» И. Кеплер изучал преломление света в линзах различной конфигурации и для малых углов падения пришел к формуле линзы.

Для практического использования формулы линзы следует твердо запомнить правило знаков:

Заметим, что предмет или источник является мнимым, только в том случае, если на линзу падает пучок сходящихся лучей.

Таким образом, линза с является собирающей (положительной), а с — рассеивающей (отрицательной).

Оптическая сила линзы зависит от свойств окружающей среды (вспомните, как плохо мы видим под водой без плавательных очков).

В современных оптических приборах для улучшения качества изображений используются системы линз. Оптическая сила системы тонких линз, сложенных вместе, равна сумме их оптических сил

Пример №9

На каком расстоянии от рассеивающей линзы с оптической силой дптр надо поместить предмет, чтобы его мнимое изображение получилось в раз меньше самого предмета? Постройте изображение предмета.

Дано:

Решение

Из формулы для линейного увеличения

находим:

По формуле тонкой линзы ( рис. 83) с учетом правила знаков:

и с учетом выражения для получаем:

Ответ:

Изучаем линзы

Скорее всего, вы пользовались фотоаппаратом, знакомы с биноклем, подзорной трубой, телескопом, на уроках биологии работали с микроскопом. Некоторые из вас носят очки. Все эти устройства имеют общее — их основной частью является линза. О том, какое значение имеют данные устройства в жизни человека, вы можете рассказать и сами, а вот о том, что такое линза, какие существуют виды линз и каковы их свойства, вы узнаете из этого параграфа.

Линза — прозрачное тело, ограниченное с двух сторон сферическими поверхностями*.

Одна из поверхностей линзы может быть плоскостью, поскольку плоскость можно рассматривать как сферу бесконечного радиуса. Линзы также бывают цилиндрическими, но встречаются такие линзы редко.

По форме линзы делят на выпуклые (рис. 14.1) и вогнутые (рис. 14.2).

Рис. 14.1. Толщина выпуклой линзы посредине больше, чем у краев: а — вид; б — разные выпуклые линзы в разрезе

Рис. 14.2. Толщина вогнутой линзы посредине меньше, чем у краев: а — вид; б — разные вогнутые линзы в разрезе

Если толщина линзы во много раз меньше радиусов сферических поверхностей, ограничивающих линзу, такую линзу называют тонкой. Далее мы будем рассматривать только тонкие линзы. Прямую, которая проходит через центры сферических поверхностей, ограничивающих линзу, называют главной оптической осью линзы (рис. 14.3).

Рис. 14.3. Тонкая сферическая линза: — главная оптическая ось линзы; — толщина линзы; — радиусы сферических поверхностей, ограничивающих линзу; — оптический центр линзы

Если на линзу направить пучок световых лучей, они преломятся на ее поверхностях и изменят свое направление. В то же время на главной оптической оси линзы есть точка, которую луч света проходит практически не изменяя своего направления. Эту точку называют оптическим центром линзы (см. рис. 14.3).

Направим на линзу пучок лучей, параллельных ее главной оптической оси. Если лучи, пройдя сквозь линзу, идут сходящимся пучком, такая линза — собирающая. Точка F, в которой пересекаются преломленные лучи, — действительный главный фокус линзы (рис. 14.4).

Рис. 14.4. Ход лучей после преломления в собирающей линзе. Точка F — действительный главный фокус линзы

Линза является рассеивающей, если лучи, параллельные ее главной оптической оси, пройдя сквозь линзу, идут расходящимся пучком. Точку F, в которой пересекаются продолжения преломленных лучей, называют мнимым главным фокусом линзы (рис. 14.5).

Рис. 14.5. Ход лучей после преломления в рассеивающей линзе. Точка F — мнимый главный фокус линзы

Обратите внимание: любой пучок параллельных лучей, даже если эти лучи не параллельны главной оптической оси, после преломления в собирающей линзе всегда пересекаются в одной точке (рис. 14.6) (если линза рассеивающая, в одной точке пересекаются продолжения преломленных лучей).

Рис. 14.6. Ход параллельных лучей после преломления в собирающей линзе

Если оптическая плотность материала, из которого изготовлена линза, больше оптической плотности среды то выпуклая линза будет собирать лучи (будет собирающей), а вогнутая линза будет рассеивать лучи (будет рассеивающей) (см. рис. 14.4, 14.5).

Если оптическая плотность материала, из которого изготовлена линза, меньше оптической плотности среды то выпуклая линза будет рассеивающей (рис. 14.7, а), а вогнутая линза — собирающей (рис. 14.7, б).

Рис. 14.7. Выпуклая (а) и вогнутая (б) воздушные линзы в воде

Определение оптической силы линзы

Любая линза имеет два главных фокуса*, расположенных на одинаковом расстоянии от оптического центра линзы (см. рис. 14.8).

Далее главный фокус линзы, как правило, будем называть фокусом линзы.

Рис. 14.8. Чем меньше радиусы R сферических поверхностей, ограничивающих линзу, тем сильнее эта линза преломляет свет, а значит, тем меньше ее фокусное расстояние F

Расстояние от оптического центра линзы до главного фокуса называют фокусным расстоянием линзы.

Фокусное расстояние, как и фокус, обозначают символом F. Единица фокусного расстояния в СИ — метр:

Фокусное расстояние собирающей линзы договорились считать положительным, а рассеивающей — отрицательным. Очевидно, что чем сильнее преломляющие свойства линзы, тем меньше по модулю ее фокусное расстояние (рис. 14.8).

Физическую величину, которая характеризует линзу и является обратной фокусному расстоянию линзы, называют оптической силой линзы.

Оптическую силу линзы обозначают символом D и вычисляют по формуле:

Единица оптической силы — диоптрия:

1 диоптрия — это оптическая сила линзы, фокусное расстояние которой равно 1 м. Оптическая сила собирающей линзы положительна, а рассеивающей линзы — отрицательна.

Подводим итоги:

Прозрачное тело, ограниченное с двух сторон сферическими поверхностями, называют линзой. Линза является собирающей, если пучок параллельных лучей, падающий на нее, после преломления в линзе пересекается в одной точке (эта точка — действительный фокус линзы). Линза является рассеивающей, если параллельные лучи, падающие на нее, после преломления идут расходящимся пучком, а продолжения преломленных лучей пересекаются в одной точке (эта точка — мнимый фокус линзы).

Физическую величину, которая характеризует преломляющие свойства линзы и обратна ее фокусному расстоянию, называют оптической силой линзы: Единица оптической силы линзы — диоптрия

Построение изображений в линзах

Основное свойство линз заключается в том, что линзы дают изображение точки, а соответственно, и предмета (как совокупности точек) (рис. 15.1). В зависимости от расстояния между предметом и линзой изображение предмета может быть больше или меньше, чем сам предмет, мнимым или действительным. Выясним, при каких условиях с помощью линзы образуются те или иные изображения, и рассмотрим приемы их построения.

Рис. 15.1. Получение изображения пламени свечи с помощью собирающей линзы

Любой предмет можно представить как совокупность точек. Каждая точка предмета излучает (или отражает) свет во всех направлениях. В создании изображения участвует множество лучей, однако для построения изображения некоторой точки S достаточно найти точку пересечения любых двух лучей, выходящих из точки S и проходящих через линзу. Обычно для этого выбирают два из трех «удобных лучей» (рис. 15.2).

Точка S₁ будет действительным изображением точки S, если в точке пересекаются сами преломленные лучи (рис. 15.2, а). Точка будет мнимым изображением точки S, если в точке пересекаются продолжения преломленных лучей (рис. 15.2, б).

Рис. 15.2. Три самых простых в построении луча («удобные лучи»):

луч, проходящий через оптический центр О линзы, не преломляется и не изменяет своего направления;
луч, параллельный главной оптической оси линзы, после преломления в линзе идет через фокус или через фокус идет его продолжение (б);
луч, проходящий через фокус после преломления в линзе идет параллельно главной оптической оси линзы (а, б)

Рис. 15.3. а — построение изображения предмета в собирающей линзе: предмет расположен за двойным фокусом линзы; б — ход лучей в фотоаппарате

Строим изображение предмета, которое даёт линза:

Рассмотрим все возможные случаи расположения предмета АВ относительно собирающей линзы и докажем, что размеры и вид изображения зависят от расстояния между предметом и линзой.

1. Предмет расположен за двойным фокусом собирающей линзы (рис. 15.3, а). Сначала построим изображение точки Для этого воспользуемся двумя лучами — 1 и 2. После преломления в линзе они пересекутся в точке Значит, точка является действительным изображением точки Для построения изображения точки опустим из точки перпендикуляр на главную оптическую ось Точка пересечения перпендикуляра и оси I является изображением точки

Итак, — изображение предмета Это изображение действительное, уменьшенное, перевернутое. Такое изображение получается, например, на сетчатке глаза или пленке фотоаппарата (рис. 15.3, б).

2. Предмет расположен между фокусом и двойным фокусом собирающей линзы (рис. 15.4, а). Изображение предмета действительное, увеличенное, перевернутое. Такое изображение позволяет получить на экране проекционная аппаратура (рис. 15.4, б).

Рис. 15.4. а — построение изображения предмета в собирающей линзе: предмет расположен между фокусом и двойным фокусом линзы; б — ход лучей в проекционном аппарате

3. Предмет расположен между фокусом и собирающей линзой (рис. 15.5, а). Лучи, вышедшие из точки после преломления в линзе идут расходящимся пучком. Однако их продолжения пересекаются в точке

В данном случае изображение предмета является мнимым, увеличенным, прямым. Изображение расположено по ту же сторону от линзы, что и предмет, поэтому мы не можем увидеть изображение предмета на экране, но видим его, когда смотрим на предмет через линзу. Именно такое изображение дает короткофокусная собирающая линза — лупа (рис. 15.5, б).

Рис. 15.5. а — построение изображения предмета в собирающей линзе: предмет расположен между линзой и ее фокусом; б — с помощью

4. Предмет расположен на фокусном расстоянии от собирающей линзы. После преломления все лучи идут параллельным пучком (рис. 15.6), следовательно, в данном случае ни действительного, ни мнимого изображения мы не получим.

Рис. 15.6. Если предмет расположен в фокусе собирающей линзы, мы не получим его изображения

Внимательно рассмотрите рис. 15.7, на котором показано построение изображений предмета, полученных с помощью рассеивающей линзы. Видим, что рассеивающая линза всегда дает мнимое, уменьшенное, прямое изображение, расположенное по ту же сторону от линзы, что и сам предмет.

Рис. 15.7. Рассеивающая линза всегда дает мнимое, уменьшенное, прямое изображение

Чаще всего предмет больше, чем линза, или часть линзы закрыта непрозрачным экраном (как, например, линза в объективе фотоаппарата). Изменяется ли при этом внешний вид изображения? Конечно же нет. Ведь от каждой точки предмета на линзу падает множество лучей, и все они собираются в соответствующей точке изображения. Если закрыть часть линзы, это приведет лишь к тому, что энергия, попадающая в каждую точку изображения, уменьшится. Изображение будет менее ярким, однако ни его вид, ни месторасположение не изменятся. Именно поэтому, строя изображение, мы можем использовать все «удобные лучи», даже те, которые не проходят через линзу (рис. 15.8).

Формула тонкой линзы:

Построим изображение предмета в собирающей линзе (рис. 15.9).

Рассмотрим прямоугольные треугольники и Эти треугольники подобны поэтому или

поэтому или

Приравняв правые части равенств (1) и (2), имеем то есть или Разделив обе части последнего равенства на получим формулу тонкой линзы:

или

где — оптическая сила линзы.

При решении задач следует иметь в виду:

Рис. 15.8. Построение изображения предмета в случае, когда предмет значительно больше линзы

Рис. 15.9. К выведению формулы тонкой линзы: h — высота предмета; Н — высота изображения; d — расстояние от предмета до линзы; f — расстояние от линзы до изображения; F — фокусное расстояние

Пример №10

Рассматривая монету с помощью лупы, оптическая сила которой +10 дптр, мальчик расположил монету на расстоянии 6 см от лупы. Определите: 1) фокусное расстояние линзы; 2) на каком расстоянии от лупы находится изображение монеты; 3) какое изображение дает лупа — действительное или мнимое; 4) какое увеличение дает лупа.

Анализ физической проблемы. Лупу можно считать тонкой линзой, поэтому воспользуемся формулой тонкой линзы. Фокусное расстояние найдем, воспользовавшись определением оптической силы линзы.

Дано:

Найти:

Поиск математической модели, решение

По определению

По формуле тонкой линзы: или Следовательно,

Зная расстояние определим увеличение

Найдем значения искомых величин:

Знак «-» перед значением говорит о том, что изображение мнимое.

Ответ: изображение мнимое;

Подводим итоги:

В зависимости от типа линзы (собирающая или рассеивающая) и месторасположения предмета относительно данной линзы получают разные изображения предмета:

Расположение предмета	Характеристика изображения в линзе
собирающей	рассеивающей
За двойным фокусом линзы	действительное, уменьшенное, перевернутое	мнимое, уменьшенное, прямое
В двойном фокусе линзы	действительное, равное, перевернутое
Между фокусом и двойным фокусом линзы	действительное, увеличенное, перевернутое
В фокусе линзы	изображения нет
Между линзой и фокусом	мнимое, увеличенное, прямое

Расстояние от предмета до линзы, расстояние от линзы до изображения и фокусное расстояние связаны формулой тонкой линзы:

Глаз как оптическая система
Звук в физике и его характеристики
Звуковые и ультразвуковые колебания
Инерция в физике
Дифракция света
Принцип Гюйгенса — Френеля
Прохождение света через плоскопараллельные пластинки и призмы
Поляризация света

Источник

Преломление света.

Закон преломления (частный случай).
Обратимость световых лучей.
Закон преломления (общий случай).
Полное внутреннее отражение.
Разберем задачи ЕГЭ по теме: Преломление света.

Автор — профессиональный репетитор, автор учебных пособий для подготовки к ЕГЭ Игорь Вячеславович Яковлев

Темы кодификатора ЕГЭ: закон преломления света, полное внутреннее отражение.

На границе раздела двух прозрачных сред наряду с отражением света наблюдается его преломление — свет, переходя в другую среду, меняет направление своего распространения.

Преломление светового луча происходит при его наклонном падении на поверхность раздела (правда, не всегда — читайте дальше про полное внутреннее отражение). Если же луч падает перпендикулярно поверхности, то преломления не будет — во второй среде луч сохранит своё направление и также пойдёт перпендикулярно поверхности.

к оглавлению ▴

Закон преломления (частный случай).

Мы начнём с частного случая, когда одна из сред является воздухом. Именно такая ситуация присутствует в подавляющем большинстве задач. Мы обсудим соответствующий частный случай закона преломления, а уж затем дадим самую общую его формулировку.

Предположим, что луч света, идущий в воздухе, наклонно падает на поверхность стекла, воды или какой-либо другой прозрачной среды. При переходе в среду луч преломляется, и его дальнейший ход показан на рис. 1.

Рис. 1. Преломление луча на границе «воздух–среда»

В точке падения проведён перпендикуляр (или, как ещё говорят, нормаль) к поверхности среды. Луч , как и раньше, называется падающим лучом, а угол alpha между падающим лучом и нормалью — углом падения. Луч — это преломлённый луч; угол beta между преломлённым лучом и нормалью к поверхности называется углом преломления.

Всякая прозрачная среда характеризуется величиной , которая называется показателем преломления этой среды. Показатели преломления различных сред можно найти в таблицах. Например, для стекла n=1,6 , а для воды n=1,33 . Вообще, у любой среды ; показатель преломления равен единице только в вакууме. У воздуха , поэтому для воздуха с достаточной точностью можно полагать в задачах n=1 (в оптике воздух не сильно отличается от вакуума).

Закон преломления (переход «воздух–среда»).

1) Падающий луч, преломлённый луч и нормаль к поверхности, проведённая в точке падения, лежат в одной плоскости.
2) Отношение синуса угла падения к синусу угла преломления равно показателю преломления среды:

$frac{displaystyle sinalpha }{displaystyle sinbeta }=n$ . (1)

Поскольку из соотношения (1) следует, что , то есть — угол преломления меньше угла падения. Запоминаем: переходя из воздуха в среду, луч после преломления идёт ближе к нормали.

Показатель преломления непосредственно связан со скоростью распространения света в данной среде. Эта скорость всегда меньше скорости света в вакууме: . И вот оказывается,что

$n=frac{displaystyle c }{displaystyle v }$ . (2)

Почему так получается, мы с вами поймём при изучении волновой оптики. А пока скомбинируем формулы . (1) и (2):

$frac{displaystyle sinalpha }{displaystyle sinbeta }=frac{displaystyle c }{displaystyle v }$ . (3)

Так как показатель преломления воздуха очень близок единице, мы можем считать, что скорость света в воздухе примерно равна скорости света в вакууме . Приняв это во внимание и глядя на формулу . (3), делаем вывод: отношение синуса угла падения к синусу угла преломления равно отношению скорости света в воздухе к скорости света в среде.

к оглавлению ▴

Обратимость световых лучей.

Теперь рассмотрим обратный ход луча: его преломление при переходе из среды в воздух. Здесь нам окажет помощь следующий полезный принцип.

Принцип обратимости световых лучей. Траектория луча не зависит от того, в прямом или обратном направлении распространяется луч. Двигаясь в обратном направлении, луч пойдёт в точности по тому же пути, что и в прямом направлении.

Согласно принципу обратимости, при переходе из среды в воздух луч пойдёт по той же самой траектории, что и при соответствующем переходе из воздуха в среду (рис. 2) Единственное отличие рис. 2 от рис. 1 состоит в том, что направление луча поменялось на противоположное.

Рис. 2. Преломление луча на границе «среда–воздух»

Раз геометрическая картинка не изменилась, той же самой останется и формула (1): отношение синуса угла alpha к синусу угла beta по-прежнему равно показателю преломления среды. Правда, теперь углы поменялись ролями: угол beta стал углом падения, а угол alpha — углом преломления.

В любом случае, как бы ни шёл луч — из воздуха в среду или из среды в воздух — работает следующее простое правило. Берём два угла — угол падения и угол преломления; отношение синуса большего угла к синусу меньшего угла равно показателю преломления среды.

Теперь мы целиком подготовлены для того, чтобы обсудить закон преломления в самом общем случае.

к оглавлению ▴

Закон преломления (общий случай).

Пусть свет переходит из среды 1 с показателем преломления $n_{displaystyle 1}$ в среду 2 с показателем преломления $n_{displaystyle 2}$ . Среда с большим показателем преломления называется оптически более плотной; соответственно, среда с меньшим показателем преломления называется оптически менее плотной.

Переходя из оптически менее плотной среды в оптически более плотную, световой луч после преломления идёт ближе к нормали (рис. 3). В этом случае угол падения больше угла преломления: .

Наоборот, переходя из оптически более плотной среды в оптически менее плотную, луч отклоняется дальше от нормали (рис. 4). Здесь угол падения меньше угла преломления:

Оказывается, оба этих случая охватываются одной формулой — общим законом преломления, справедливым для любых двух прозрачных сред.

Закон преломления.
1) Падающий луч, преломлённый луч и нормаль к поверхности раздела сред, проведённая в точке падения, лежат в одной плоскости.
2) Отношение синуса угла падения к синусу угла преломления равно отношению показателя преломления второй среды к показателю преломления первой среды:

$frac{displaystyle sinalpha }{displaystyle sinbeta }=frac{displaystyle n_{displaystyle 2}}{displaystyle n_{displaystyle 1}}$ . (4)

Нетрудно видеть, что сформулированный ранее закон преломления для перехода «воздух–среда» является частным случаем данного закона. В самом деле, полагая в формуле (4) $n_{displaystyle 1}=1, n_{displaystyle 2}=n$ , мы придём к формуле (1).

Вспомним теперь, что показатель преломления — это отношение скорости света в вакууме к скорости света в данной среде: $n_{displaystyle 1}=c/v_{displaystyle1}, n_{displaystyle 2}=c/v_{displaystyle2}$ . Подставляя это в (4), получим:

$frac{displaystyle sinalpha}{displaystyle sinbeta }=frac{displaystyle v_{displaystyle 1}}{displaystyle v_{displaystyle 2}}$ . (5)

Формула (5) естественным образом обобщает формулу (3). Отношение синуса угла падения к синусу угла преломления равно отношению скорости света в первой среде к скорости света во второй среде.

к оглавлению ▴

Полное внутреннее отражение.

При переходе световых лучей из оптически более плотной среды в оптически менее плотную наблюдается интересное явление — полное внутреннее отражение. Давайте разберёмся, что это такое.

Будем считать для определённости, что свет идёт из воды в воздух. Предположим, что в глубине водоёма находится точечный источник света , испускающий лучи во все стороны. Мы рассмотрим некоторые из этих лучей (рис. 5).

Рис. 5. Полное внутреннее отражение

Луч $SO_{displaystyle 1}$ падает на поверхность воды под наименьшим углом. Этот луч частично преломляется (луч $O_{displaystyle 1} A_{displaystyle 1}$ ) и частично отражается назад в воду (луч $O_{displaystyle 1} B_{displaystyle 1}$ ). Таким образом, часть энергии падающего луча передаётся преломлённому лучу, а оставшаяся часть энергии -отражённому лучу.

Угол падения луча $S O_{displaystyle 2}$ больше. Этот луч также разделяется на два луча — преломлённый и отражённый. Но энергия исходного луча распределяется между ними по-другому: преломлённый луч $O_{displaystyle 2} A_{displaystyle 2}$ будет тусклее, чем луч $O_{displaystyle 1} A_{displaystyle 1}$ (то есть получит меньшую долю энергии), а отражённый луч $O_{displaystyle 2} B_{displaystyle 2}$ — соответственно ярче, чем луч $O_{displaystyle 1} B_{displaystyle 1}$ (он получит большую долю энергии).

По мере увеличения угла падения прослеживается та же закономерность: всё большая доля энергии падающего луча достаётся отражённому лучу, и всё меньшая — преломлённому лучу. Преломлённый луч становится всё тусклее и тусклее, и в какой-то момент исчезает совсем!

Это исчезновение происходит при достижении угла падения $alpha _{0}$ , которому отвечает угол преломления $90^{circ}$ . В данной ситуации преломлённый луч должен был бы пойти параллельно поверхности воды, да идти уже нечему — вся энергия падающего луча целиком досталась отражённому лучу .

При дальнейшем увеличении угла падения преломлённый луч и подавно будет отсутствовать.

Описанное явление и есть полное внутреннее отражение. Вода не выпускает наружу лучи с углами падения, равными или превышающими некоторое значение $alpha _{0}$ — все такие лучи целиком отражаются назад в воду. Угол $alpha _{0}$ называется предельным углом полного отражения.

Величину $alpha _{0}$ легко найти из закона преломления. Имеем:

$frac{displaystyle sinalpha _{0}}{displaystyle sin90^{circ}}=frac{displaystyle 1}{displaystyle n}$ .

Но $sin90^{circ}=1$ , поэтому

$sinalpha _{0}=frac{displaystyle 1}{displaystyle n}$ ,

откуда

$alpha _{0}=arcsinfrac{displaystyle 1}{displaystyle n}$ .

Так, для воды предельный угол полного отражения равен:

$alpha _{0}=arcsinfrac{displaystyle 1}{1,33} approx 48,8^{circ}$ .

Явление полного внутреннего отражения вы легко можете наблюдать дома. Налейте воду в стакан, поднимите его и смотрите на поверхность воды чуть снизу сквозь стенку стакана. Вы увидите серебристый блеск поверхности — вследствие полного внутреннего отражения она ведёт себя подобно зеркалу.

Важнейшим техническим применением полного внутреннего отражения является волоконная оптика. Световые лучи, запущенные внутрь оптоволоконного кабеля (световода) почти параллельно его оси, падают на поверхность под большими углами и целиком, без потери энергии отражаются назад внутрь кабеля. Многократно отражаясь, лучи идут всё дальше и дальше, перенося энергию на значительное расстояние. Волоконно-оптическая связь применяется, например, в сетях кабельного телевидения и высокоскоростного доступа в Интернет.

к оглавлению ▴

Разберем задачи ЕГЭ по теме: Преломление света.

Задача 1. Нижняя грань AC прозрачного клина посеребрена и представляет собой плоское зеркало. Угол при вершине клина $alpha = 30^{circ}$ . Луч света падает из воздуха на клин перпендикулярно грани AB, преломляется и выходит в воздух через ту же грань AB, но уэе под углом преломления $beta = 90^{circ}$ Определите показатель преломления материала клина. Сделайте рисунок, поясняющий ход луча в клине.

Дано:
$alpha = 30^{circ}$
$beta = 90^{circ}$
n-?
Решение. Решение задач по геометрической оптике необходимо начинать с построения чертежа (рисунка), моделирующего условия, описанные в тексте задачи.

Световой луч падает на прозрачный клин перпендикулярно стороне АВ (см.рис.1). В этом случае, световой луч не преломляется на границе раздела воздух-клин, так как угол падения равен 0, соответственно, угол преломления также равен 0. Следовательно, внутри клина световой луч попадает на нижнюю грань АС, которая представляет собой плоское зеркало. Согласно рис.1 величина угла $alpha_1=180^{circ}-(alpha+90^{circ})=90^{circ}-alpha.$

$alpha_1=90^{circ}-30^{circ}=60^{circ}.$

Тогда угол падения луча на плоское зеркало будет равен
$90^{circ}-alpha_1=90^{circ}-60^{circ}=30^{circ}.$

То есть угол падения равен $alpha=30^{circ}$ .
Согласно закону отражения света, угол падения светового луча равен углу отражения. В треугольнике МКО угол КОМ образован суммой двух углов α, поэтому он равен 60°. Тогда угол падения светового луча на грань АВ также будет равен $2alpha=60^{circ}$ (равенство накрест лежащих углов).
На следующем этапе задачи надо применить закон преломления света, так как луч переходит из одной среды в другую.
$frac{sin{2alpha}}{sinbeta}=frac{1}{n}$
При записи этой формулы учтено, что второй средой является воздух с показателем преломления равным 1, а первой средой является материал клина с показателем преломления n, который необходимо определить. Из последней формулы можно выразить и рассчитать n.

$n=frac{sinbeta}{sin2alpha}$

$n=frac{sin90^{circ}}{sin(2cdot 30^{circ})}=frac{sin90^{circ}}{sin60^{circ}}approx 1,15$

Ответ: 1,15

Задача 2. На тонкую собирающую линзу от удалённого источника падает пучок параллельных лучей (см. рисунок). Как изменится положение изображения источника, создаваемого линзой, если между линзой и её фокусом поставить
плоскопараллельную стеклянную пластинку с показателем преломления n (на рисунке положение пластинки отмечено пунктиром)? Ответ поясните, указав, какие физические закономерности Вы использовали. Сделайте рисунок, поясняющий ход лучей до и после установки плоскопараллельной стеклянной пластинки.

Решение. Рассмотрим ход световых лучей от удаленного источника через линзу при отсутствии плоскопараллельной стеклянной пластинки (см.рис.1).

Луч 1-1ʹ проходит через оптический центр линзы и не преломляется. Луч 2-2ʹ идет через фокус и после прохождения через линзу, идет параллельно главной оптической оси. Пересечение этих двух лучей дает действительное изображение удаленного источника, которое расположено в фокальной плоскости линзы. Этот факт также можно доказать, используя формулу тонкой линзы.

$frac{1}{d}+frac{1}{f}=frac{1}{F} (1)$

Так как источник света расположен на расстоянии то $frac{1}{d}rightarrow 0.$

Тогда формула тонкой линзы (1) примет вид $frac{1}{f}=frac{1}{F},$ следовательно, f=F, т.е. изображение формируется в фокальной плоскости линзы.

Рассмотрим ход световых лучей через плоскопараллельную стеклянную пластинку. Для этого необходимо использовать закон преломления света.

Рис.2

Согласно рис.2 угол падения луча на пластину равен α. Закон преломления света на границе раздела воздух-пластинка имеет вид:

$frac{sinalpha}{sinbeta}=frac{n}{1}=n (1).$

Здесь учтено, что показатель преломления воздуха равен 1, а пластинки n.
При переходе светового луча из пластинки в воздух, закон преломления света будет иметь вид:

$frac{sinbeta}{singamma}=frac{1}{n} (2).$

В этом случае первой средой является пластинка с показателем преломления n, а второй средой будет воздух с показателем преломления равным 1.
Из (1) и (2) выразим и .

Так как правые части этих уравнений равны, то

Отсюда вытекает равенство углов . Следовательно, луч, падающий на стеклянную пластину, выходит из нее, оставаясь параллельным входящему лучу. Но при этом выходящий луч немного смещается вверх.

Исходя из этого можно сделать вывод, что изображение удаленного источника после прохождения через плоскопараллельную стеклянную пластину, не изменится. Из удаленного источника выходит бесконечное количество параллельных лучей, которые собираются в фокальной плоскости линзы.

Ответ: не изменится.

Задача 3. Ученик провел опыт по преломлению света, представленный на фотографии. Как изменится при уменьшении угла падения угол преломления светового пучка и скорость света, распространяющегося в стекле? Для каждой величины определите соответствующий характер изменения:
1) увеличится
2) уменьшиться
3) не изменится
Запишите в таблицу выбранные цифры для каждой величины. Цифры в ответе могут повторяться.

Угол преломления	Скорость света в стекле

Решение. Для ответа на первый вопрос задачи необходимо применить закон преломления света для границы раздела воздух-стекло.

$frac{sinalpha}{sinbeta}=frac{n}{1}=n.$

Показатель преломления стекла равен n, а воздуха 1.
При уменьшении угла падения α, будет уменьшаться и значение Так как показатель преломления стекла не изменяется, то значение sinbeta так же будет уменьшаться. Поэтому угол преломления уменьшится.

Для ответа на второй вопрос надо учесть, что скорость света в данной среде определяется значением показателя преломления $v_{cp}=frac{c}{n},$ где с – скорость света в вакууме, а n – показатель преломления среды (стекла). Так как эти обе величины не изменяются, то скорость света в стекле так же не изменяется.

Ответ: 23.

Задача 4. Чему равен синус предельного угла полного внутреннего отражения при переходе света из вещества с n_1=1,5 в вещество с n_2=1,2 ?

Решение.

Явление полного внутреннего отражения наблюдается при переходе светового луча из оптически более плотной среды в оптически менее плотную (см.рис.1). Источник света S должен находиться в среде с большим показателем преломления.

Для нахождения синуса угла полного внутреннего отражения необходимо воспользоваться законом преломления света.

$frac{sinalpha_{np}}{sinbeta}=frac{n_2}{n_1} (1)$

При полном внутреннем отражении преломленный луч скользит по границе раздела двух сред и угол преломления $beta=90^{circ}$ . С учетом того, что $sin90^{circ}=1$ уравнение (1) примет вид:

$sinalpha_{np}=frac{1,2}{1,5}=0,8$

$sinalpha_{np}=0,8$

Ответ: 0,8.

Если вам нравятся наши материалы — записывайтесь на курсы подготовки к ЕГЭ по физике онлайн

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Преломление света.» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Источник

Фокусы линзы. В гл. IX был сформулирован закон преломления света, устанавливающий, как меняется направление светового луча при переходе света из одной среды в другую. Был рассмотрен простейший случай преломления света на плоской границе раздела двух сред.

В практических применениях очень большое значение имеет преломление света на сферической границе раздела. Основная деталь оптических приборов — линза — представляет собой обычно стеклянное тело, ограниченное с двух сторон сферическими поверхностями; в частном случае одна из поверхностей линзы может быть плоскостью, которую можно рассматривать как сферическую поверхность бесконечно большого радиуса.

Линзы могут быть изготовлены не только из стекла, но, вообще говоря, из любого прозрачного вещества. В некоторых приборах, например, применяются линзы из кварца, каменной соли и др. Заметим, что и поверхности линз могут быть также более сложной формы, например цилиндрические, параболические и т. д. Однако такие линзы применяются сравнительно редко. В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением линз со сферическими поверхностями.

Рис. 193. Тонкая линза:
— оптический центр,

и

— центры ограничивающих линзу сферических поверхностей

Итак, рассмотрим линзу, ограниченную двумя сферическими преломляющими поверхностями

и

(рис. 193). Центр первой преломляющей поверхности

лежит в точке

центр второй поверхности

— в точке

. На рис. 193 для ясности изображена линза, имеющая заметную толщину

. В действительности мы будем обычно предполагать, что рассматриваемые линзы очень тонки, т. е. расстояние

очень мало по сравнению с

или

. В таком случае точки

и

можно считать практически сливающимися в одной точке

. Эта точка

называется оптическим центром линзы.

Всякая прямая, проходящая через оптический центр, называется оптической осью линзы. Та из осей, которая проходит через центры обеих преломляющих поверхностей линзы, называется главной оптической осью, остальные — побочными осями.

Луч, идущий по какой-либо из оптических осей, проходя через линзу, практически не меняет своего направления. Действительно, для лучей, идущих вдоль оптической оси, участки обеих поверхностей линзы можно считать параллельными, а толщину линзы мы считаем весьма малой. При прохождении же через плоскопараллельную пластинку, как мы знаем, световой луч претерпевает параллельное смещение, но смещением луча в очень тонкой пластинке можно пренебречь (см. упражнение 26 после гл. IX).

Если на линзу падает световой луч не вдоль одной из ее оптических осей, а по какому-либо другому направлению, то он, испытав преломление сначала на первой ограничивающей линзу поверхности, потом на второй, отклонится от первоначального направления.

Прикроем линзу черной бумагой 1 с вырезом, оставляющим открытым небольшой участок около главной оптической оси (рис. 194). Размеры выреза мы предполагаем малыми по сравнению с

и

. Пустим на линзу 2 вдоль главной оптической оси ее слева направо параллельный пучок света. Лучи, идущие сквозь открытую часть линзы, преломится и пройдут через некоторую точку

, лежащую на главной оптической оси, справа от линзы на расстоянии

от оптического центра

. Если в точке

расположить белый экран 3, то место пересечения лучей изобразится в виде яркого пятнышка. Эта точка

на главной оптической оси, где пересекаются после преломления в линзе лучи, параллельные главной оптической оси, называется главным фокусом, а расстояние

— фокусным расстоянием линзы.

Рис. 194. Главный фокус линзы

Нетрудно показать, пользуясь законами преломления, что все лучи, параллельные главной оптической осп и проходящие через небольшую центральную часть линзы, после преломления действительно пересекутся в одной точке, названной выше главным фокусом.

Рассмотрим луч

, падающий на линзу параллельно ее главной оптической оси. Пусть этот луч встречает первую преломляющую поверхность линзы в точке

на высоте

над осью, причем

гораздо меньше, чем

и

(рис. 195). Преломленный луч пойдет по направлению

и, преломившись снова на второй ограничивающей линзу поверхности, выйдет из линзы по направлению

, составляющему с осью угол

. Точку пересечения этого луча с осью обозначим через

, а расстояние от этой точки до оптического центра линзы — через

.

Проведем через точки

и

плоскости, касательные к преломляющим поверхностям линзы. Эти касательные плоскости (перпендикулярные к плоскости чертежа) пересекутся под некоторым углом

, причем угол

весьма мал, так как рассматриваемая нами линза — тонкая. Вместо преломления луча

в линзе мы, очевидно, можем рассматривать преломление того же луча в тонкой призме

, образованной проведенными нами в точках

и

касательными плоскостями.

Рис. 195. Преломление в линзе луча
, параллельного главной оптической оси. (Толщина линзы и высота к изображены преувеличенными по сравнению с расстояниями

,

и

в соответствии с этим в углы

и

на рисунке чрезмерно велики.)

Мы видели в § 86, что при преломлении в тонкой призме с преломляющим углом

луч отклоняется от первоначального направления на угол, равный

, (88.1)

где

есть показатель преломления вещества, из которого сделана призма. Очевидно, угол

равен углу

(рис. 195), т. е.

. (88.2)

Пусть

и

— центры сферических преломляющих поверхностей линзы, а

и

— соответственно радиусы этих поверхностей. Радиус

перпендикулярен к касательной плоскости

, а радиус

— к касательной плоскости

. По известной теореме геометрии угол между этими перпендикулярами, который мы обозначим

, равен углу

между плоскостями:

. (88.3)

С другой стороны, угол

, как внешний угол в треугольнике

, равен сумме углов

и

образуемых радиусами

и

с осью:

. (88.4)

Таким образом, с помощью формул (88.2) — (88.4) находим

(88.5)

Мы предположили, что

мала по сравнению с радиусами сферических поверхностей

и

и с расстоянием

точки

от оптического центра линзы. Поэтому углы

г и

также малы, и мы можем заменить синусы этих углов самими углами. Далее, благодаря тому, что линза тонкая, мы можем пренебречь ее толщиной, считая

;

, а также пренебречь разницей в высоте точек

и

, считая, что они расположены на одной и той же высоте к над осью. Таким образом, мы можем приближенно считать, что

. (88.6)

Подставляя эти равенства в формулу (88.5), найдем

, (88.7)

или, сокращая на

,

; (88.8)

отсюда,

Весьма существенно, что

не входит в окончательный результат. Это означает, что любой луч, параллельный главной оптической оси линзы, встречающий линзу на любом, но достаточно малом по сравнению с

, и

расстоянии

от оси, пройдет после преломления в линзе через одну и ту же точку

, лежащую на расстоянии

от оптического центра линзы.

Таким образом, доказано, что линза имеет главный фокус, и формула (88.9) показывает, как фокусное расстояние зависит от показателя преломления вещества, из которого сделана линза, и от радиусов кривизны ее преломляющих поверхностей.

Мы предполагали, что параллельный пучок лучей падает на линзу слева направо. Существо дела не изменится, конечно, если на линзу направить такой же пучок лучей, идущих в обратном направлении, т. е. справа налево. Этот пучок лучей, параллельных главной оси, соберется снова в одной точке

— втором фокусе линзы (рис. 196) на расстоянии

от ее оптического центра. На основании формулы (88.9) заключаем, что

, т. е. оба фокуса лежат симметрично по обе стороны линзы.

Фокус

называется обычно передним фокусом, фокус

— задним фокусом; соответственно этому расстояние

называется передним фокусным расстоянием, расстояние

— задним фокусным расстоянием.

Рис. 196. Фокусы линзы

Если в фокусе линзы поместить точечный источник света, то каждый из лучей, выйдя из этой точки и преломившись в линзе, пойдет далее параллельно главной оптической оси линзы, в согласии с законом обратимости световых лучей (см. § 82). Таким образом, из линзы выйдет в этом случае пучок лучей, параллельных главной оси.

При практическом применении полученных нами соотношений необходимо всегда помнить о сделанных при выводе их упрощающих предположениях. Мы считали, что параллельные лучи падают на линзу на очень малом расстоянии от оси. Это условие не выполняется вполне строго. Поэтому после преломления в линзе точки пересечения лучей не будут строго совпадать между собой, а займут некоторый конечный объем. Если мы поставим в этом месте экран, то получим на нем не геометрическую точку, а всегда более или менее расплывчатое светлое пятнышко.

Другое обстоятельство, которое нужно помнить, состоит в том, что мы не можем осуществить строго точечный источник света. Поэтому, поместив в фокусе линзы источник хотя бы очень малых, но всегда конечных размеров, мы не получим с помощью линзы строго параллельный пучок лучей.

В § 70 были указано, что строго параллельный пучок лучей не имеет физического смысла. Сделанные замечание показывает, что рассмотренные свойства линзы находятся в согласии с этим общим физическим положением.

В каждом отдельном случае применения линзы к определенному источнику света для получения параллельного пучка лучей или, наоборот, при применении линзы для фокусировки параллельного пучка надо специально проверять степень отступления от тех упрощающих условий, при которых выведены формулы. Но существенные черты явления преломления световых лучей в линзе эти формулы передают правильно, а об отступлениях от них речь будет идти позже.

Источник

Преломление
в линзе. Фокусы линзы.
В гл. IX
был сформулирован закон преломления
света, устанавливающий, как меняется
направление светового луча при переходе
света из одной среды в другую. Был
рассмотрен простейший случай
преломления света на плоской границе
раздела двух сред.

В
практических применениях очень большое
значение имеет преломление света на
сферической границе раздела. Основная
деталь оптических приборов — линза —
представляет собой обычно стеклянное
тело, ограниченное с двух сторон
сферическими поверхностями; в частном
случае одна из поверхностей линзы
может быть плоскостью, которую можно
рассматривать как сферическую поверхность
бесконечно большого радиуса.

Линзы
могут быть изготовлены не только из
стекла, но, вообще говоря, из любого
прозрачного вещества. В некоторых
приборах, например, применяются линзы
из кварца, каменной соли и др. Заметим,
что и поверхности линз могут быть также
более сложной формы, например
цилиндрические, параболические и т.
д. Однако такие линзы применяются
сравнительно редко. В дальнейшем мы
ограничимся рассмотрением линз со
сферическими поверхностями.

Рис.
193. Тонкая линза: О — оптический центр,
С₁
и С₂
— центры ограничивающих линзу
сферических поверхностей

Итак,
рассмотрим линзу, ограниченную двумя
сферическими преломляющими
поверхностями PO₁Q
и
PO₂Q
(рис.
193). Центр первой преломляющей поверхности
PO₁Q
лежит
в точке С₁,
центр второй поверхности PO₂Q
—
в точке С₂.
На рис. 193 для ясности изображена линза,
имеющая заметную толщину O₁O₂.
В
действительности мы будем обычно
предполагать, что рассматриваемые линзы
очень тонки, т. е. расстояние О₁О₂
очень
мало по сравнению с O₁C₁
или
О₂С₂.
В
таком случае точки О₁
и O₂
можно считать практически сливающимися
в одной точке О.
Эта
точка О
называется
оптическим
центром линзы.

Всякая
прямая, проходящая через оптический
центр, называется оптической
осью линзы.
Та из осей, которая проходит через центры
обеих преломляющих поверхностей линзы,
называется главной
оптической осью, остальные
— побочными
осями.

Луч,
идущий по какой-либо из оптических осей,
проходя через линзу, практически не
меняет своего направления. Действительно,
для лучей, идущих вдоль оптической оси,
участки обеих поверхностей линзы можно
считать параллельными, а толщину линзы
мы считаем весьма малой. При прохождении
же через плоскопараллельную пластинку,
как мы знаем, световой луч претерпевает
параллельное смещение, но смещением
луча в очень тонкой пластинке можно
пренебречь (см. упражнение 26 после гл.
IX).

Если
на линзу падает световой луч не вдоль
одной из ее оптических осей, а по
какому-либо другому направлению, то он,
испытав преломление сначала на первой
ограничивающей линзу поверхности,
потом на, второй, отклонится от
первоначального направления.

Рис.
194. Главный фокус линзы

преломятся
и пройдут через некоторую точку F‘,
лежащую
на главной оптической оси, справа от
линзы на расстоянии f‘
от оптического центра О.
Если в точке F‘
расположить
белый экран 3,
то
место пересечения лучей изобразится в
виде яркого пятнышка. Эта точка F‘
на
главной оптической оси, где пересекаются
после преломления в линзе лучи,
параллельные главной оптической оси,
называется главным
фокусом, а
расстояние f^f^‘=OF‘
—
фокусным
расстоянием линзы.

Нетрудно
показать, пользуясь законами преломления,
что все лучи, параллельные главной
оптической оси и проходящие через
небольшую центральную часть линзы,
после преломления действительно
пересекутся в одной точке, названной
выше главным фокусом.

Рассмотрим
луч РМ,
падающий
на линзу параллельно ее главной оптической
оси. Пусть этот луч встречает первую
преломляющую поверхность линзы в точке
М
на
высоте h
над
осью, причем h
гораздо
меньше, чем С₂О
и
С₁O
(рис.
195). Преломленный луч пойдет по направлению
ММ’
и,
преломившись снова на второй ограничивающей
линзу поверхности, выйдет из линзы по
направлению M‘F‘,
составляющему
с осью угол .
Точку пересечения этого луча с осью
обозначим через F‘,
а
расстояние от этой точки до оптического
центра линзы — через f‘.

Проведем
через точки М
и
М’
плоскости,
касательные к преломляющим поверхностям
линзы. Эти касательные плоскости
(перпендикулярные к плоскости чертежа)
пересекутся под некоторым углом ,
причем угол 
весьма мал, так как рассматриваемая
нами линза — тонкая. Вместо преломления
луча PMM’F’
в
линзе мы, очевидно, можем

Рис.
195. Преломление в линзе луча РМ,
параллельного главной оптической
оси. (Толщина линзы и высота h
изображены преувеличенными по
сравнению с расстояниями R₁,
R₂
и f»;
в соответствии с этим и углы ₁
₂
и 
на рисунке чрезмерно велики.)

рассматривать
преломление того же луча в тонкой призме
ВАВ’,
образованной
проведенными нами в точках М
и
М’
касательными
плоскостями.

Мы
видели в § 86, что при преломлении в тонкой
призме с преломляющим углом 
луч отклоняется от первоначального
направления на угол, равный

(88.1)

где
n
есть
показатель преломления вещества, из
которого сделана призма. Очевидно, угол

равен углу 
(рис. 195), т. е.

(88.2)

Пусть
C₁
и
С₂
— центры сферических преломляющих
поверхностей линзы, a
R₁
и
R₂
— соответственно радиусы этих
поверхностей. Радиус C₁M
перпендикулярен
к касательной плоскости АВ,
а
радиус С₂М’
—
к касательной плоскости АВ’.
По
известной теореме геометрии угол между
этими перпендикулярами, который мы
обозначим 
равен
углу 
между плоскостями:

(88.3)

С
другой стороны, угол ,
как внешний угол в треугольнике C₁NC₂,
равен
сумме углов ₁
и ₂,
образуемых
радиусами R₁
и
R₂
с
осью:

(88.4)

Таким
образом, с помощью формул (88.2) — (88.4)
находим

(88.5)

Мы
предположили, что h
мала по сравнению с радиусами
сферических поверхностей R₁
и
R₂и
с расстоянием f‘
точки F‘
от
оптического центра линзы. Поэтому углы
₁,
₂
и

также малы, и мы можем заменить синусы
этих углов самими углами. Далее, благодаря
тому, что линза тонкая, мы можем пренебречь
ее толщиной, считая C₁O=R₁;
C₂O=R₂,
а
также пренебречь разницей в высоте
точек М
и
М’,
считая,
что они расположены на одной и той же
высоте h
над
осью. Таким образом, мы можем приближенно
считать, что

(88.6)

Подставляя
эти равенства в формулу (88.5), найдем

(88.7)

или,
сокращая на h,

(88.8)

отсюда

(88.9)

Весьма
существенно, что h
не
входит в окончательный результат.
Это означает, что любой луч, параллельный
главной оптической оси линзы, встречающий
линзу на любом, но достаточно малом по
сравнению с R₁
и R₂
расстоянии
h
от
оси, пройдет после преломления в
линзе через одну и ту же точку F‘,
лежащую
на расстоянии f‘
от оптического центра линзы.

Таким
образом, доказано, что линза имеет
главный фокус, и формула (88.9) показывает,
как фокусное расстояние зависит от
показателя преломления вещества, из
которого сделана линза, и от радиусов
кривизны ее преломляющих поверхностей.

Мы
предполагали, что параллельный пучок
лучей падает на линзу слева направо.
Существо дела не изменится, конечно,
если на линзу направить такой же пучок
лучей, идущих в обратном направлении,
т. е. справа налево. Этот пучок лучей,
параллельных главной оси, соберется
снова в одной точке F
—
втором фокусе линзы (рис. 196) на расстоянии
f
от ее оптического центра. На основании
формулы (88.9) заключаем, что f=f‘,
т. е. оба фокуса лежат симметрично по
обе стороны линзы *).

Фокус
F
называется
обычно передним
фокусом, фокус
F‘
—
задним
фокусом; соответственно
этому расстояние f
называется передним
фокусным расстоянием, расстояние
f‘
—
задним
фокусным расстоянием.

Если
в фокусе линзы поместить точечный
источник света, то каждый из лучей, выйдя
из этой точки и преломившись в линзе,
пойдет далее параллельно главной
оптической оси линзы, в согласии с
законом обратимости световых лучей
(см. § 82). Таким образом, из линзы выйдет
в этом случае пучок лучей, параллельных
главной оси.

При
практическом применении полученных
нами соотношений необходимо всегда
помнить о сделанных при выводе их
упрощающих предположениях. Мы считали,
что параллельные лучи падают на линзу
на очень малом расстоянии от оси. Это
условие не выполняется вполне строго.
Поэтому после преломления в линзе точки
пересечения лучей не будут строго
совпадать между собой, а займут
некоторый конечный объем. Если мы
поставим в этом месте экран, то получим
на нем не геометрическую точку,

*)
Этот вывод связан с тем обстоятельством,
что мы с самого начала полагаем, что по
обе стороны линзы находится одна и та
же среда (воздух). Если бы это было не
так, то нарушилась бы и симметрия в
расположении фокусов F
и
F‘,

Рис.
196. Фокусы линзы

а
всегда более или менее расплывчатое
светлое пятнышко.

Другое
обстоятельство, которое нужно помнить,
состоит в том, что мы не можем осуществить
строго точечный источник света.
Поэтому, поместив в фокусе линзы источник
хотя бы очень малых, но всегда конечных
размеров, мы не получим с помощью
линзы строго параллельный пучок
лучей.

В
§ 70 было указано, что строго параллельный
пучок лучей не имеет физического смысла.
Сделанное замечание показывает, что
рассмотренные свойства линзы находятся
в согласии с этим общим физическим
положением.

В
каждом отдельном случае применения
линзы к определенному источнику
света для получения параллельного пучка
лучей или, наоборот, при применении
линзы для фокусировки параллельного
пучка надо специально проверять степень
отступления от тех упрощающих условий,
при которых выведены формулы. Но
существенные черты явления преломления
световых лучей в
линзе
эти формулы передают правильно, а об
отступлениях от них речь будет идти
позже.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

1.2
Преломление
света в линзе. Формула тонкой линзы

Простейший случай
центрированной системы, состоящей всего из двух сферических поверхностей,
отделяющих какой-либо прозрачный, хорошо преломляющий материал от окружающей
среды, имеет очень большое значение. Такая система представляет собой линзу
и играет важную роль во многих оптических приборах.

Линза называется тонкой,
если расстояние между вершинами сферических поверхностей, ограничивающих ее,
мало по сравнению с радиусами кривизны поверхностей. Для тонкой линзы можно
считать вершины преломляющих поверхностей совпадающими в одной точке, которая
носит название оптического центра линзы. Любой параксиальный луч,
проходящий через точку оптического центра, практически не испытывает
преломления. Действительно, для таких лучей участки обеих поверхностей линзы
можно считать параллельными, так что луч, проходя через них, не меняет
направления, но лишь смещается параллельно самому себе (преломление в
плоскопараллельной пластинке), а так как толщиной линзы можно пренебречь, то
смещение это ничтожно и луч практически проходит без преломления. Луч,
проходящий через центр, называется осью линзы. Та из осей,
которая проходит через центры кривизны обеих поверхностей, называется главной,
остальные — побочными.

Выражение, связывающее положение предмета и его
изображения в линзе (формула линзы) может быть выведена, если
рассматривать два последовательных преломления лучей на каждой из границ
раздела (рис. 2.8). Первая (по ходу луча) преломляющая поверхность дает
изображение предмета А в точке С, которое, в свою очередь, является предметом
для второй по ходу луча поверхности. Окончательное изображение предмета А в
линзе — точка В. Представленное ниже выражение было получено
при тех же ограничениях, которые мы ввели при преломлении на одной сферической
границе раздела сред. Условия: гомоцентричность пучков, стигматичность
изображений, параксиальность и правило знаков. Главные плоскости
тонкой линзы совпадают и проходят перпендикулярно главной оптической оси в оптическом
центре, поэтому расстояния от предмета и изображения отсчитываются от
оптического центра линзы (а₁ и а₂).
Показатель преломления линзы обозначим n_л, показатель
преломления однородной среды, в которой (будем считать) находится линза – n_ср.
R₁ – радиус кривизны первой по ходу луча сферической
преломляющей поверхности, R₂ радиус второй. В этом случае
формула линзы будет иметь вид:

(2.12)

Выражение позволяет
однозначно определить положение изображения, если задано положение предмета.
Правая часть равенства не зависит от положения предмета и его изображения и
определяется только свойствами самой оптической системы. Первая скобка (n_л – n_ср)
определяет физические параметры системы, а (1/R₁ – 1/R₂)
– геометрические. По аналогии с формулой сферической преломляющей поверхности,
правая часть выражения (2.12) названа оптической силой тонкой
линзы:

. (2.13)

Легко показать, что оптическая сила
тонкой линзы по сути есть сумма оптических сил ее поверхностей. Действительно:

Измеряется оптическая сила
линзы в диоптриях (дптр). 1 дптр — это оптическая сила линзы, находящейся в воздухе, имеющей фокусное
расстояние в 1 метр.

Линза называется собирающей
(положительной), если D > 0; рассеивающей
(отрицательной), если D < 0. В случае
линзы представленной на рис. 2.9: R₁ > 0, а
R₂ < 0, тогда и
оптическая сила такой линзы D > 0, если n_л > n_ср.
Таким образом, знак оптической силы линзы определяется ее геометрическими
параметрами и соотношением показателей преломления сред.

На рис. 2.10
представлены линзы различной конфигурации. Если n_л > n_ср,
то линзы под номерами 1, 2, 3 являются положительными, а под номерами 4, 5, 6 — отрицательными, если же n_л < n_ср,
то наоборот.

Рассматривая тонкую линзу, находящуюся в
однородной среде, можно ввести величины

, (2.14)

определяющие положения точек главных
фокусов этой оптической системы. Они получены по аналогии с фокусными
расстояниями сферической преломляющей поверхности и, как видно, имеют разные
знаки. Таким образом, точки фокусов лежат по разные стороны от линзы (точка
первого фокуса — перед линзой, точка второго фокуса — за линзой по ходу луча), но равны по абсолютной величине. Поэтому
иногда, используя физический жаргон, говорят о «фокусе» линзы (одном фокусном
расстоянии).

Пример
построения изображения в тонкой линзе представлен на рис. 2.11. Здесь
собирающая (положительная) линза строит действительное, перевернутое и
уменьшенное изображение y¢ предмета y. Линейное (поперечное)
увеличение, даваемое тонкой линзой, рассчитывается точно так же, как и для
одной поверхности:

. (2.15)

Аналогично вышеизложенному,
найдем, что для перевернутых действительных изображений увеличение
отрицательно, а для прямых мнимых V > 0.

Величина и знак линейного
увеличения для одной и той же линзы зависят от расположения предмета. Если
предмет расположен за двойным фокусом собирающей линзы (рис. 2.12а), то
его изображение оказывается действительным, перевернутым и уменьшенным.

Если предмет находится в точке двойного фокуса,
то изображение становится равным, оставаясь действительным и перевернутым
(рис. 2.12б). При дальнейшем приближении предмета к линзе изображение
постепенно отдаляется, увеличиваясь в размерах, а при достижении предметом
передней фокальной плоскости – переносится в бесконечность (рис. 2.12в,
г).

Расположение предмета между
фокусом и линзой приводит к формированию мнимого, прямого, увеличенного
изображения (случай увеличительного стекла или лупы, рис. 2.12д).

Отрицательная
(рассеивающая) линза характеризуется существенно меньшей вариативностью
формируемых изображений: при любом расположении предмета изображение получается
мнимым, прямым и уменьшенным (рис. 2.12е).

Если есть оптическая
система, состоящая из нескольких сложенных вместе тонких линз, находящихся в
однородной среде (n_ср), то для определения фокусного расстояния
такой системы можно воспользоваться выражением

, (2.16)

где D_сист
определяется как сумма оптических сил каждой линзы в отдельности, рассчитанных
для той среды, в которой находится сама система.

Источник

Равные виды линз

Характеристики линз

Формула тонкой линзы

Изображение предмета, полученное с помощью линзы

Строим изображение предмета, которое дает тонкая линза

Как выглядит формула тонкой линзы

Что такое линза

Построение изображений в тонких линзах

Оптическая сила и фокусное расстояние линзы

Простые оптические приборы

Подробное объяснение формулы тонкой линзы

Разбираем формулу тонкой линзы

Изучаем линзы

Определение оптической силы линзы

Построение изображений в линзах

Преломление света.

Закон преломления (частный случай).

Обратимость световых лучей.

Закон преломления (общий случай).

Полное внутреннее отражение.

Разберем задачи ЕГЭ по теме: Преломление света.

1.2 Преломление света в линзе. Формула тонкой линзы

1.2
Преломление
света в линзе. Формула тонкой линзы