Как найти угол при вершине 8 угольника

Содержание

• — Как найти угол в многоугольнике формула?
• — Как найти центральный угол правильного n угольника?
• — Как вычислить угол правильного восьмиугольника?
• — Как найти угол правильного Двенадцатиугольника?
• — Сколько сторон имеет правильный многоугольник если каждый его угол равен 150 ответ?
• — Сколько сторон имеет правильный n угольник если его внутренний угол равен 42?
• — Как найти углы правильного 18 ти угольника?
• — Как найти углы правильного четырехугольника?
• — Как найти угол правильного пятиугольника?

Как найти угол в многоугольнике формула?

s = 2d(n — 2), где s — это сумма углов, 2d — два прямых угла (то есть 2 · 90 = 180°), а n — количество сторон.

Как найти центральный угол правильного n угольника?

Если у многоугольника n сторон, то центральных углов у него также n и все они равны между собой. Так как центральный угол равен дуге, на которую от опирается, то и каждый из центральных углов равен 360º:n. равен 360º:3=120º. равен 360º:4=90º.

Как вычислить угол правильного восьмиугольника?

Угол при вершине такого треугольника равен 360° (полный круг), деленное на 8, то есть 45°. Тогда внутренний угол 8- угольника равен сумме углов при основании каждого из 8 равнобедренных треугольника: 180°-45°=135°. Ответ: внутренний угол правильного 8 — угольника равен 135°.

Как найти угол правильного Двенадцатиугольника?

Величина угла правильного многоугольника вычисляется по формуле: 180*(n-2)/n, где n — количество углов; 180*(12-2)/12=150°.

Сколько сторон имеет правильный многоугольник если каждый его угол равен 150 ответ?

У многоугольника 12 сторон

izvoru47 и 69 других пользователей посчитали ответ полезным!

Сколько сторон имеет правильный n угольник если его внутренний угол равен 42?

Ответ: 9 сторон.

Как найти углы правильного 18 ти угольника?

195.4 тыс.

1. Сумму всех углов многоугольника можно узнать по формуле: (n-2)*180,
2. где n- это количество углов, а у нас оно=18 =>
3. 1) (n-2)*180= (18-2)*180=16*180=2880 градусов — сумма всех углов.
4. 2) 2880:18=160 градусов — один угол 18-тиугольника.
5. Ответ: 160 градусов.

Как найти углы правильного четырехугольника?

Сумма все углов (∑) в многоугольнике вычисляется по формуле ∑ = (n-2)·180°, где n — количество вершин, то есть углов. В правильном многоугольнике все углы равны, поэтому если разделить на количество углов (вершин), то получим значения угла для правильного многоугольника.

Как найти угол правильного пятиугольника?

По теореме о сумме углов выпуклого многоугольника, сумма углов правильного пятиугольника равна 180º(5-2)=540º. Так как все углы правильного n-угольника равны между собой, каждый внутренний угол правильного пятиугольника равен 540º:5=108º (в частности, ∠A₂A₁A₅=108º).

Интересные материалы:

Какие витамины лучше для женщин после 55 лет?
Какие витамины надо принимать при упадке сил?
Какие витамины необходимы для сердца и сосудов?
Какие витамины нужно принимать для энергии?
Какие витамины нужно принимать при головокружении?
Какие витамины нужно принимать весной?
Какие витамины нужны для наращивания мышечной массы?
Какие витамины нужны для желудка?
Какие витамины нужны женщине после 60 лет?
Какие витамины отвечают за потенцию?

Геометрическая фигура называется многоугольником, если она состоит из нескольких (>=3) точек, не лежащих на одной прямой, соединённых между собою отрезками, образующими замкнутую линию. При этом никакие два отрезка между собой не пересекаются.

В общем случае многоугольник записывается как n-угольник, где n — число его сторон.

Многоугольник считается выпуклым, если он целиком лежит по одну сторону относительно любой прямой, которая соединяет две его соседние вершины.

Выпуклый многоугольник является правильным, если его углы и стороны равны между собой.

Если n = 3, то это правильный треугольник — равносторонний.

Если n = 4, то это правильный четырёхугольник — квадрат.

В нашем случае n = 8, т.е. многоугольник является восьмиугольником.

Для того, чтобы найти внутренний угол 8-угольника, воспользуемся следующей формулой вычисления суммы всех углов многоугольника

Подставив вместо n значение 8. получим, что сумма его внутренних углов равна 1080°.

Поскольку 8-угольник правильный, то все его углы равны между собой.

Всего углов 8.

Разделив 1080° на 8, получим величину внутреннего угла 8-угольника: 135°.

An octagon is an eight-sided shape, such as a stop sign. Octagons can be regular or irregular. A regular octagon has sides that are congruent, or all equal. An irregular octagon has sides with different lengths. Once you have figured out the total number of degrees for all the angles, knowing whether the octagon is regular or irregular helps you determine the measure of any of the individual angles in the octagon. If you have an irregular octagon, you need to know the other seven angles to figure the unknown eighth angle.

Regular Octagons

Subtract two from the number of sides in an octagon. Since an octagon has eight sides, subtract two from eight to get six.

Multiply six by 180 to find the total number of degrees in an octagon equals 1,080.

Divide 1,080 by eight to find the measure of each interior angle if the octagon is regular. In a regular octagon, each angle measures 135 degrees.

Irregular Octagons

Subtract two from the number of sides in an octagon. Since an octagon has eight sides, subtract two from eight to get six.

Multiply six by 180 to find the total number of degrees in an octagon equals 1,080.

Add the angle measures of the seven known angles to find the sum of those angles. For example, if your seven known angles measure 100, 110, 120, 140, 150, 160 and 170, find the sum to be 950.

Subtract the measure of the seven known angles from 1,080 to find the measure of the unknown angle if you have an irregular polygon. Finishing the example, subtract 950 from 1,080 to find the unknown angle to be 130 degrees.

Things You’ll Need

• Calculator
• Protractor

Tips

• If you do not have the angles given to you, you can determine the angle measures with a protractor. To use a protractor, put the origin over the angle vertex and align the protractor with one of the angle sides. Then find the degree measure based on where the second side of the angle intersects the angle measurement on the protractor.

Формулы расчёта параметров правильного восьмиугольника

Пример:

• t — длина стороны восьмиугольника
• r — радиус вписанной окружности
• R — радиус описанной окружности
• S — площадь восьмиугольника
• k — константа, равная (1+2){displaystyle (1+{sqrt {2}})} ≈ 2,414213562373095

Так как правильный восьмиугольник можно получить соответствующим отсечением углов квадрата со стороной kt{displaystyle kt}, радиус вписанной окружности, радиус описанной окружности и площадь правильного восьмиугольника можно вычислить и без использования тригонометрических функций:

Радиус вписанной окружности правильного восьмиугольника:

r=k2t{displaystyle r={frac {k}{2}}t}

Радиус описанной окружности правильного восьмиугольника:

R=tkk−1{displaystyle R=t{sqrt {frac {k}{k-1}}}}

Площадь правильного восьмиугольника:

Через сторону восьмиугольника

S=2kt2=2(1+2)t2≃4.828t2.{displaystyle S=2kt^{2}=2(1+{sqrt {2}})t^{2}simeq 4.828,t^{2}.}

Через радиус описанной окружности

S=4sin⁡π4R2=22R2≃2.828R2.{displaystyle S=4sin {frac {pi }{4}}R^{2}=2{sqrt {2}}R^{2}simeq 2.828,R^{2}.}

Через апофему (высоту)

A=8tan⁡π8r2=8(2−1)r2≃3.314r2.{displaystyle A=8tan {frac {pi }{8}}r^{2}=8({sqrt {2}}-1)r^{2}simeq 3.314,r^{2}.}

Правильный восьмиугольник (понятие и определение):

Правильный восьмиугольник (октагон) – это правильный многоугольник с восемью сторонами.

В свою очередь правильный многоугольник – это многоугольник, у которого все стороны и углы одинаковые.

Правильный восьмиугольник – это восьмиугольник, у которого все стороны равны, а все внутренние углы равны 135°.

Рис. 3. Правильный восьмиугольник

Правильный восьмиугольник имеет 8 сторон, 8 углов и 8 вершин.

Углы правильного восьмиугольника образуют восемь равнобедренных треугольников.

Правильный восьмиугольник можно построить с помощью циркуля и линейки: проведя к сторонам квадрата серединные перпендикуляры и соединив точки их пересечения с описанной окружностью квадрата с его сторонами.

Литература

• Pierre Wantzel. Recherches sur les moyens de Reconnaître si un Problème de géométrie peau se résoudre avec la règle et le compas // Journal de Mathématiques. — 1837. — С. 366–372.
• W. W. Rose Ball, H. S. M.Coxeter. Mathematical recreations and Essays. — Thirteenth edition. — New York: The MacMillan company, 1947. — С. 141.

  Перевод: Математические эссе и развлечения / перевод Н.И. Плужниковой, А.С.Попова, Г.М. Цукерман, под редакцией И.М.Яглома. — Москва: «Мир», 1986. — С. 156.

• John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. Chapter 20, Generalized Schaefli symbols, Types of symmetry of a polygon // The Symmetries of Things. — Chaim Goodman-Strauss, 2008. — С. 275—278. — ISBN 978-1-56881-220-5.
• Branko Grünbaum. Metamorphoses of polygons // The Lighter Side of Mathematics: Proceedings of the Eugène Strens Memorial Conference on Recreational Mathematics and its History. — 1994.
• Jay Bonner. Islamic geometric pattens. — Springer, 2017. — ISBN 978-1-4419-0216-0.
• Nielsen D. Design & Nature V: Comparing Design in Nature with Science and Engineering // Fifth international conference on comapring design in nature with science engineering / Angelo Carpi, C. A. Brebbia. — WIT Press, 2010. — ISBN 978-1-84564-454-3.
• Вёрман К. История искусств всех времен и народов. — Москва, Берлин: Директ-медиа, 2015. — Т. 3 Книга2-3. — ISBN 978-5-4475-3827-9.

Применение восьмиугольников

Дорожный знак «Движение без остановки запрещено»

Восьмиугольный план Купола Скалы

В странах, принявших Венскую конвенцию о дорожных знаках и сигналах (в том числе в России), а также во многих других странах, знак «Движение без остановки запрещено» имеет вид красного восьмиугольника.

Восьмиугольные формы часто используются в архитектуре. Купол Скалы имеет восьмиугольный план. Башня Ветров в Афинах — ещё один пример восьмиугольной структуры. Восьмиугольный план встречается также в архитектуре церквей, таких как Собор Святого Георгия (Аддис-Абеба), Сан-Витале (в городе Равенна, Италия), Замок Кастель-дель-Монте (Апулия, Италия), Флорентийский баптистерий и . Центральное пространство в Ахенский собор, Капелла Карла Великого имеют планы в виде правильного восьмиугольника.

Построение

Точное построение

Проводим большую окружность k₁ (будущую описанную окружность семнадцатиугольника) с центром O.
Проводим её диаметр AB.
Строим к нему перпендикуляр m, пересекающий k₁ в точках C и D.
Отмечаем точку E — середину DO.
Посередине EO отмечаем точку F и проводим отрезок FA.
Строим биссектрису w₁ угла ∠OFA.
Строим w₂ — биссектрису угла между m и w₁, которая пересекает AB в точке G.
Проводим s — перпендикуляр к w₂ из точки F.
Строим w₃ — биссектрису угла между s и w₂. Она пересекает AB в точке H.
Строим окружность Фалеса (k₂) на диаметре HA. Она пересекается с CD в точках J и K.
Проводим окружность k₃ с центром G через точки J и K. Она пересекается с AB в точках L и N

Здесь важно не перепутать N с M, они расположены очень близко.
Строим касательную к k₃ через N.

Точки пересечения этой касательной с исходной окружностью k₁ — это точки P₃ и P₁₄ искомого семнадцатиугольника. Если принять середину получившейся дуги за P₀ и отложить дугу P₀P₁₄ по окружности три раза, все вершины семнадцатиугольника будут построены.

Примерное построение

Следующее построение хоть и приблизительно, но гораздо более удобно.

1. Ставим на плоскости точку M, строим вокруг неё окружность k и проводим её диаметр AB;
2. Делим пополам радиус AM три раза по очереди по направлению к центру (точки C, D и E).
3. Делим пополам отрезок EB (точка F).
4. строим перпендикуляр к AB в точке F.

Вкратце: строим перпендикуляр к диаметру на расстоянии 9/16 диаметра от B.

Точки пересечения последнего перпендикуляра с окружностью являются хорошим приближением для точек P₃ и P₁₄.

При этом построении получается относительная ошибка в 0,83%. Углы и стороны получаются таким образом немного больше, чем нужно. При радиусе 332,4 мм сторона получается длиннее на 1 мм.

Признаки и свойства

Не всегда получается верно идентифицировать пятиугольник. Для этого математики предлагают признаки, которые применимы только к правильной фигуре. К ним можно отнести следующие:

Стороны равны между собой.
Любой угол правильного пятиугольника равен остальным его углам.

Следует отметить, что признаки справедливы для любого правильного многогранника. Пять осей симметрии имеет правильный пятиугольник (сколько сторон, столько и осей). Пентагон обладает некоторыми свойствами, которые будут очень полезны при решении задач. К ним можно отнести следующие:

Равенство сторон.
Углы равны по 108 градусов.
Центры вписанной и описанной окружностей совпадают.
Сумма внутренних углов равна 180 * (5 – 2) = 540 (градусов), а внешних – 360.
Количество диагоналей соответствует 5.
Значение площади кольца, которое образуется между вписанным и описанным кругами, эквивалентно произведению квадрата длины стороны на константу Pi / 4.
Биссектрисы, проведенные через центр, равны.
Диагонали — трисектрисы внутренних углов. Одна диагональ делит его на 1/3 и 2/3 части.
Отношение диагонали к стороне эквивалентно «золотому сечению» и равно [1 + 5^(1/2)] / 2.

Другие восемнадцатиугольники фигуры

Звёздчатые 18{displaystyle 18}-угольники имеют символы {18n}{displaystyle {18/n}}. Существует два правильных звёздчатых многоугольника: 185{displaystyle {18/5}} и {187}{displaystyle {18/7}}. Они используют те же самые вершины, но соединяют каждую пятую или седьмую вершину. Имеются также составные восемнадцатиугольники: {182}{displaystyle {18/2}} эквивалентен 2{9}{displaystyle 2{9}} (двум девятиугольникам), {183}{displaystyle {18/3}} эквивалентен 3{6}{displaystyle 3{6}} (трём шестиугольникам), {184}{displaystyle {18/4}} и {188}{displaystyle {18/8}} эквивалентны 2{92}{displaystyle 2{9/2}} и 2{94}{displaystyle 2{9/4}} (двум эннеаграммам), {186}{displaystyle {18/6}} эквивалентен 6{3}{displaystyle 6{3}} (6{displaystyle 6} равносторонним треугольникам), и, наконец, {189}{displaystyle {18/9}} эквивалентен 9{2}{displaystyle 9{2}} (девять двуугольников).

Составные и звёздчатые многоугольники
n	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Вид	Выпуклый многоугольник	Составные	Звёздчатый многоугольник	Составной	Звёздчатый многоугольник	Составной
Рисунок	{181}{displaystyle {18/1}} = {18}{displaystyle {18}}	{182}{displaystyle {18/2}} = 2{9}{displaystyle 2{9}}	{183}{displaystyle {18/3}} = 3{6}{displaystyle 3{6}}	{184}{displaystyle {18/4}} = 2{92}{displaystyle 2{9/2}}	{185}{displaystyle {18/5}}	{186}{displaystyle {18/6}} = 6{3}{displaystyle 6{3}}	{187}{displaystyle {18/7}}	{188}{displaystyle {18/8}} = 2{94}{displaystyle 2{9/4}}	{189}{displaystyle {18/9}} = 9{2}{displaystyle 9{2}}
Внутренний угол	160∘{displaystyle 160^{circ }}	140∘{displaystyle 140^{circ }}	120∘{displaystyle 120^{circ }}	100∘{displaystyle 100^{circ }}	80∘{displaystyle 80^{circ }}	60∘{displaystyle 60^{circ }}	40∘{displaystyle 40^{circ }}	20∘{displaystyle 20^{circ }}	∘{displaystyle 0^{circ }}

Более глубокие усечения правильного многоугольника и правильной эннеаграммы дают равноугольные (вершинно-транзитивные) промежуточные восемнадцатиугольники с находящимися на равном расстоянии вершинами и двумя длинами сторон. Другие усечения дают двойное покрытие: t{98}={188}=2{94},t{94}={184}=2{92},t{92}={182}=2{9}{displaystyle mathrm {t} {9/8}={18/8}=2{9/4},;mathrm {t} {9/4}={18/4}=2{9/2},;mathrm {t} {9/2}={18/2}=2{9}}.

Вершинно-транзитивные усечения девятиугольника и эннеаграмм
Квазиправильные	Изогональные	КвазиправильныеДвойное покрытие
t9=18{displaystyle mathrm {t} {9}={18}}					t98=188{displaystyle mathrm {t} {9/8}={18/8}}=294{displaystyle =2{9/4}}
t95=185{displaystyle mathrm {t} {9/5}={18/5}}					t94=184{displaystyle mathrm {t} {9/4}={18/4}}=292{displaystyle =2{9/2}}
t97=187{displaystyle mathrm {t} {9/7}={18/7}}					t92=182{displaystyle mathrm {t} {9/2}={18/2}}=29{displaystyle =2{9}}

Многоугольники Петри

Правильный восемнадцатиугольник является многоугольником Петри для ряда политопов, что показано в косоортогональных проекциях на :

Восемнадцатиугольные многоугольники Петри
A17	B9	D10	E7
17-симплекс		Эннеракт					>

Свойства

Координаты

Пусть xC{displaystyle x_{C}} и yC{displaystyle y_{C}} — координаты центра, а R{displaystyle R} — радиус описанной вокруг правильного многоугольника окружности, ϕ{displaystyle {phi }_{0}} — угловая координата первой вершины, тогда декартовы координаты вершин правильного n-угольника определяются формулами:

xi=xC+Rcos⁡(ϕ+2πin){displaystyle x_{i}=x_{C}+Rcos left({phi }_{0}+{frac {2pi i}{n}}right)}

yi=yC+Rsin⁡(ϕ+2πin){displaystyle y_{i}=y_{C}+Rsin left({phi }_{0}+{frac {2pi i}{n}}right)}

где i=…n−1{displaystyle i=0dots n-1}

Размеры

Правильный многоугольник, вписанный и описанный около окружности

Пусть R{displaystyle R} — радиус описанной вокруг правильного многоугольника окружности, тогда радиус вписанной окружности равен

r=Rcos⁡πn{displaystyle r=Rcos {frac {pi }{n}}},

а длина стороны многоугольника равна

a=2Rsin⁡πn=2rtgπn{displaystyle a=2Rsin {frac {pi }{n}}=2rmathop {mathrm {tg} } ,{frac {pi }{n}}}

Площадь

Площадь правильного многоугольника с числом сторон n{displaystyle n} и длиной стороны a{displaystyle a} составляет:

S=n4 a2ctg⁡πn{displaystyle S={frac {n}{4}} a^{2}mathop {mathrm {} } ,operatorname {ctg} {frac {pi }{n}}}.

Площадь правильного многоугольника с числом сторон n{displaystyle n}, вписанного в окружность радиуса R{displaystyle R}, составляет:

S=n2R2sin⁡2πn{displaystyle S={frac {n}{2}}R^{2}sin {frac {2pi }{n}}}.

Площадь правильного многоугольника с числом сторон n{displaystyle n}, описанного вокруг окружности радиуса r{displaystyle r}, составляет:

S=nr2tgπn{displaystyle S=nr^{2}mathop {mathrm {tg} } ,{frac {pi }{n}}}(площадь основания n-угольной правильной призмы)

Площадь правильного многоугольника с числом сторон n{displaystyle n} равна

S=nra2{displaystyle S={frac {nra}{2}}},

где r{displaystyle r} — расстояние от середины стороны до центра, a{displaystyle a} — длина стороны.

Площадь правильного многоугольника через периметр (P{displaystyle P}) и радиус вписанной окружности (r{displaystyle r}) составляет:

S=12Pr{displaystyle S={frac {1}{2}}Pr}.

Периметр

Если нужно вычислить длину стороны an{displaystyle a_{n}} правильного n-угольника, вписанного в окружность, зная длину окружности L{displaystyle L} можно вычислить длину одной стороны многоугольника:

an{displaystyle a_{n}} — длина стороны правильного n-угольника.

an=sin⁡180n⋅Lπ{displaystyle a_{n}=sin {frac {180}{n}}cdot {frac {L}{pi }}}

Периметр Pn{displaystyle P_{n}} равен

Pn=an⋅n{displaystyle P_{n}=a_{n}cdot n}

где n{displaystyle n} — число сторон многоугольника.

Площадь через квадрат

Площадь правильного восьмиугольника можно вычислить как площадь усечённого квадрата.

Площадь можно также вычислить как усечение квадрата

S=A2−a2,{displaystyle S=A^{2}-a^{2},}

где A — ширина восьмиугольника (вторая меньшая диагональ), а a — длина его стороны. Это легко показать, если провести через противоположные стороны прямые, что даст квадрат. Легко показать, что угловые треугольники равнобедренные с основанием, равным a. Если их сложить (как на рисунке), получится квадрат со стороной a.

Если задана сторона a, то длина A равна

A=a2+a+a2=(1+2)a≈2.414a.{displaystyle A={frac {a}{sqrt {2}}}+a+{frac {a}{sqrt {2}}}=(1+{sqrt {2}})aapprox 2.414a.}

Тогда площадь равна:

S=((1+2)a)2−a2=2(1+2)a2≈4.828a2.{displaystyle S=((1+{sqrt {2}})a)^{2}-a^{2}=2(1+{sqrt {2}})a^{2}approx 4.828a^{2}.}

Площадь через A (ширину восьмиугольника)

S=2(2−1)A2≈0.828A2.{displaystyle S=2({sqrt {2}}-1)A^{2}approx 0.828A^{2}.}

Ещё одна простая формула площади:

 S=2aA.{displaystyle S=2aA.}

Часто значение A известно, в то время как величину стороны a следует найти, как, например, при отрезании от квадратного куска материала углов с целью получения правильного восьмиугольника. Из формул выше имеем

a≈A2.414.{displaystyle aapprox A/2.414.}

Два катета углового треугольника можно получить по формуле

e=(A−a)2.{displaystyle e=(A-a)/2.}

Симметрия

11 симметрий правильного восьмиугольника. Линии зеркальных отражений показаны цветом — синие линии проходят через вершины, фиолетовые проходят через середины рёбер, число поворотов указано в центре. Вершины раскрашены согласно симметрии.

Правильный восьмиугольник имеет группу симметрии Dih₈ порядка 16. Имеется 3 диэдральные подгруппы — Dih₄, Dih₂ и Dih₁, а также 4 циклические подгруппы — Z₈, Z₄, Z₂ и Z₁. Последняя подгруппа подразумевает отсутствие симметрии.

Правильный восьмиугольник имеет 11 различных симметрий. Джон Конвей обозначил полную симметрию как r16 . Диэдральные симметрии делятся на симметрии, проходящие через вершины (обозначены как d — от diagonal), или через рёбра (обозначены как p — от perpendiculars). Циклические симметрии в среднем столбце обозначены буквой g и для них указан порядок группы вращения. Полная симметрия правильного восьмиугольника обозначена как r16 а отсутствие — как a1.

Примеры восьмиугольников по их симметриям

r16
d8	g8	p8
d4	g4	p4
d2	g2	p2
a1

На рисунке слева показаны типы симметрий восьмиугольников. Наиболее общие симметрии восьмиугольников — p8, восьмиугольник, построенный четырьмя зеркалами и имеющий перемежающиеся длинные короткие стороны, и d8, изотоксальный восьмиугольник, имеющий рёбра равной длины, но вершины имеют два разных внутренних угла. Эти две формы являются друг другу и имеют порядок, равный половине симметрии правильного восьмиугольника.

Каждая подгруппа симметрии даёт одну или более степеней свободы для неправильных форм. Только подгруппа g8 не имеет степеней свободы, но может рассматриваться как имеющая ориентированные рёбра.

Формулы расчёта параметров правильного восьмиугольника[править | править код]

Пример:

• t — длина стороны восьмиугольника
• r — радиус вписанной окружности
• R — радиус описанной окружности
• S — площадь восьмиугольника
• k — константа, равная (1+2){displaystyle (1+{sqrt {2}})} ≈ 2,414213562373095

Так как правильный восьмиугольник можно получить соответствующим отсечением углов квадрата со стороной kt{displaystyle kt}, радиус вписанной окружности, радиус описанной окружности и площадь правильного восьмиугольника можно вычислить и без использования тригонометрических функций:

Радиус вписанной окружности правильного восьмиугольника:

r=k2t{displaystyle r={frac {k}{2}}t}

Радиус описанной окружности правильного восьмиугольника:

R=tkk−1{displaystyle R=t{sqrt {frac {k}{k-1}}}}

Площадь правильного восьмиугольника:

Через сторону восьмиугольника

S=2kt2=2(1+2)t2≃4.828t2.{displaystyle S=2kt^{2}=2(1+{sqrt {2}})t^{2}simeq 4.828,t^{2}.}

Через радиус описанной окружности

S=4sin⁡π4R2=22R2≃2.828R2.{displaystyle S=4sin {frac {pi }{4}}R^{2}=2{sqrt {2}}R^{2}simeq 2.828,R^{2}.}

Через апофему (высоту)

A=8tan⁡π8r2=8(2−1)r2≃3.314r2.{displaystyle A=8tan {frac {pi }{8}}r^{2}=8({sqrt {2}}-1)r^{2}simeq 3.314,r^{2}.}

Площадь через квадрат[править | править код]

Площадь правильного восьмиугольника можно вычислить как площадь усечённого квадрата.

Площадь можно также вычислить как усечение квадрата

S=A2−a2,{displaystyle S=A^{2}-a^{2},}

где A — ширина восьмиугольника (вторая меньшая диагональ), а a — длина его стороны. Это легко показать, если провести через противоположные стороны прямые, что даст квадрат. Легко показать, что угловые треугольники равнобедренные с основанием, равным a. Если их сложить (как на рисунке), получится квадрат со стороной a.

Если задана сторона a, то длина A равна

A=a2+a+a2=(1+2)a≈2.414a.{displaystyle A={frac {a}{sqrt {2}}}+a+{frac {a}{sqrt {2}}}=(1+{sqrt {2}})aapprox 2.414a.}

Тогда площадь равна:

S=((1+2)a)2−a2=2(1+2)a2≈4.828a2.{displaystyle S=((1+{sqrt {2}})a)^{2}-a^{2}=2(1+{sqrt {2}})a^{2}approx 4.828a^{2}.}

Площадь через A (ширину восьмиугольника)

S=2(2−1)A2≈0.828A2.{displaystyle S=2({sqrt {2}}-1)A^{2}approx 0.828A^{2}.}

Ещё одна простая формула площади:

 S=2aA.{displaystyle S=2aA.}

Часто значение A известно, в то время как величину стороны a следует найти, как, например, при отрезании от квадратного куска материала углов с целью получения правильного восьмиугольника. Из формул выше имеем

a≈A2.414.{displaystyle aapprox A/2.414.}

Два катета углового треугольника можно получить по формуле

e=(A−a)2.{displaystyle e=(A-a)/2.}

Восьмиугольник, виды, свойства и формулы.

Восьмиугольник – это многоугольник, общее количество углов (вершин) которого равно восьми.

Восьмиугольник, выпуклый и невыпуклый восьмиугольник

Правильный восьмиугольник (понятие и определение)

Свойства правильного восьмиугольника

Формулы правильного восьмиугольника

Правильный восьмиугольник в природе, технике и культуре

Шестиугольник

Восьмиугольник, выпуклый и невыпуклый восьмиугольник:

Восьмиугольник – это многоугольник с восемью углами.

Восьмиугольник – это многоугольник, общее количество углов (вершин) которого равно восьми.

Восьмиугольник может быть выпуклым и невыпуклым.

Выпуклым многоугольником называется многоугольник, все точки которого лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины. Невыпуклыми являются все остальные многоугольники.

Соответственно выпуклый восьмиугольник – это восьмиугольник, у которого все его точки лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины.

Рис. 1. Выпуклый восьмиугольник

Рис. 2. Невыпуклый восьмиугольник

Сумма внутренних углов любого выпуклого восьмиугольника равна 1080°.

Правильный восьмиугольник (понятие и определение):

Правильный восьмиугольник (октагон) – это правильный многоугольник с восемью сторонами.

В свою очередь правильный многоугольник – это многоугольник, у которого все стороны и углы одинаковые.

Правильный восьмиугольник – это восьмиугольник, у которого все стороны равны, а все внутренние углы равны 135°.

Рис. 3. Правильный восьмиугольник

Правильный восьмиугольник имеет 8 сторон, 8 углов и 8 вершин.

Углы правильного восьмиугольника образуют восемь равнобедренных треугольников.

Правильный восьмиугольник можно построить с помощью циркуля и линейки: проведя к сторонам квадрата серединные перпендикуляры и соединив точки их пересечения с описанной окружностью квадрата с его сторонами.

Свойства правильного восьмиугольника:

1. Все стороны правильного восьмиугольника равны между собой.

a₁ = a₂ = a₃ = a₄= a₅ = a₆ = a₇ = a₈. 

2. Все углы равны между собой и составляют 135°.

α₁ = α₂ = α₃ = α₄ = α₅ = α₆ = α₇ = α₈ = 135°.

Рис. 4. Правильный восьмиугольник

3. Сумма внутренних углов любого правильного восьмиугольника равна 1035°.

4. Все биссектрисы углов между сторонами равны и проходят через центр правильного восьмиугольника O.

Рис. 5. Правильный восьмиугольник

5. Количество диагоналей правильного восьмиугольника равно 20.

Рис. 6. Правильный восьмиугольник

6. Центр вписанной окружности O₁ совпадает с центром описанной окружности O₂, что и образуют центр многоугольника O.

Рис. 7. Правильный восьмиугольник

Формулы правильного восьмиугольника:

Пусть a – сторона восьмиугольника, r – радиус окружности, вписанной в восьмиугольник, R – радиус описанной окружности восьмиугольника, k – константа восьмиугольника, P – периметр восьмиугольника, S – площадь восьмиугольника.

Формула константы правильного восьмиугольника:

Формула периметра правильного восьмиугольника:

Формулы площади правильного восьмиугольника:

Формулы радиуса окружности, вписанной в правильный восьмиугольник:

Формулы радиуса окружности, описанной вокруг правильного восьмиугольника:

Формулы стороны правильного восьмиугольника:

Правильный восьмиугольник в природе, технике и культуре:

В странах, принявших Венскую конвенцию о дорожных знаках и сигналах (в том числе в России), а также во многих других странах, знак «Движение без остановки запрещено» имеет вид красного правильного восьмиугольника.

Форма правильного восьмиугольника часто используются в изобразительном искусстве, архитектуре. Например, Собор Святого Георгия (Аддис-Абеба, Эфиопия), Купол Скалы (Иерусалим, Израиль), башня Ветров (Афины, Греция), Сан-Витале (в городе Равенна, Италия), Замок Кастель-дель-Монте (Апулия, Италия), Флорентийский баптистерий (Флоренция, Италия), Ахенский собор (Ахен, Германия), Капелла Карла Великого (Ахен, Германия).

Прямоугольник

Прямоугольный треугольник

Равнобедренный треугольник

Равносторонний треугольник

Шестиугольник

Примечание: © Фото https://www.pexels.com, https://pixabay.com

Коэффициент востребованности
7 149