Алгебра и начала математического анализа, 10 класс
Урок №29. Радианная мера угла
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
1) Понятие тригонометрической окружности;
2) Поворот точки вокруг начала координат;
3) Длина дуги окружности и площадь кругового сектора.
Глоссарий по теме
Окружность – это замкнутая линия, все точки которой равноудалены от центра.
Радиус окружности – отрезок, соединяющий её центр с любой лежащей на окружности точкой.
Круг – часть плоскости, ограниченная окружностью.
Дуга окружности – кривая линия, лежащая на окружности и ограниченная двумя точками.
Круговой сектор – часть круга, ограниченная двумя радиусами.
Угол в 1 радиан – центральный угол, опирающийся на дугу, равную по длине радиусу окружности.
Основная литература:
Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл.– М.: Просвещение, 2014.
Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Учебно-методический комплект: Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл.– М.: Просвещение, 2014.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
На уроках геометрии мы с вами изучали окружность, её элементы, свойства. Повторим понятие окружности. Это замкнутая линия, все точки которой равноудалены от центра.
Радиусом окружности называется отрезок, соединяющий её центр с любой лежащей на окружности точкой.
На окружности можно выделить дугу. А если рассмотреть круг — часть плоскости, ограниченной окружностью — то можно выделить круговой сектор.
«Окружность бесконечно большого круга и прямая линия – одно и то же» Г. Галилей
Действительно, и окружность и прямая – бесконечны. Рассмотрим окружность радиуса, равному 1 единичному отрезку, в прямоугольной системе координат хОу с центром в начале координат. Такую окружность называют единичной или тригонометрической. (рис.1)
Длина этой окружности (в предыдущей задаче велотрека), как мы помним из уроков геометрии, . А учитывая, что R=1, , осями координат она поделена на четыре дуги, которые находятся соответственно в I, II, III и IV координатных четвертях.
Вычислите длину каждой дуги.
Ответ. длина каждой дуги равна части окружности или
Длина полуокружности равна А так как образовался развернутый угол, то 180.
Рассмотрим дугу, равную по длине радиусу единичной окружности. Полученный центральный угол РОМ равен длине дуги МР=R.
рис.3
Определение. Углом в 1 радиан называется центральный угол, опирающийся на дугу, равную по длине радиусу окружности.
Обозначается 1рад.
;
α рад=(180/π α)° (1)
Длину дуги l окружности радиуса R (рис.4)
можно вычислять по формуле(3)
А площадь S кругового сектора радиуса R и дугой рад (рис.5)
находят по формуле: , где (4)
Вернёмся к единичной окружности в координатной плоскости.
Каждая точка этой окружности будет иметь координаты х и у такие, что выполняются неравенства -1≤ х ≤ 1; -1≤ у ≤ 1.
Введём понятие поворота точки. (рис.2)
- Пусть Тогда точка А(1;0) будет двигаться по единичной окружности против часовой стрелки. Она пройдёт путь α рад от точки А(1;0) до точки В. Говорят, точка В получена из точки А поворотом на угол
- Пусть точка А(1;0) будет двигаться по единичной окружности по часовой стрелки . Она пройдёт путь α рад от точки А(1;0)до точки С. Говорят, точка С получена из точки А поворотом на угол — α.
При повороте на 0 рад точка остаётся на месте.
Давайте рассмотрим такой пример:
при повороте точки М(1;0) на угол получается точка N (0;1). В эту же точку можно попасть из точки М(1;0) при повороте на
угол (рис.6)
(рис.6)
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
Пример 1.
Найти градусную меру угла, равного рад.
Решение: Используя формулу (1),
находим .
Так как , то рад, тогда (2)
Ответ: .
Пример 2. Найти радианную меру угла, равного 60.
Решение:
Вычисляем по формуле (2): рад
рад
При обозначении мер угла, наименование «рад» опускают.
Ответ: рад, рад.
Пример 3. Найти длину дуги окружности радиуса 6 см, если её радианная мера .
Решение: Используя формулу (3),
получим:
Ответ: .
Пример 4. Найти площадь сектора, если радиус окружности 10 м, а радианная мера центрального угла .
Решение:
По формуле (4) вычисляем
Ответ: 45 м2
Пример 5. Найти координаты точки М, полученной из точки N(1;0) поворотом на угол, равный .
Решение: Абсцисса точки М равна отрезку ОК, ордината отрезку ОТ=МК. Так как то
прямоугольный равнобедренный треугольник ОМК имеет равные катеты и гипотенузу ОМ=R=1. По теореме Пифагора можно найти длины катетов. Они равны Учитывая, что точка М находится в I координатной четверти, её координаты положительны.
На окружности можно найти координаты любой точки.
Ответ:
Угол может измеряться следующими величинами:
- Градусами (и соответствующими ему величинами: угловыми минутами и секундами);
- Радианами.
Градусная мера угла
Если взять развернутый угол (это два прямых угла) и поделить его на 180 частей, то одна такая часть будет называться одним градусом. Для того, чтобы измерить градусную меру угла, необходимо посчитать, сколько раз 1 градус входит в данный угол. Полученное число и будет ответом.
Если угол таков, что его нельзя измерить целым числом, либо же он меньше единичного угла, то используют такие меры измерения как угловые минуты и секунды.
Если градус поделить на 60 частей, то одной такой частью будет минута. В свою же очередь, если минуту разделить на те же 60 частей, то полученным числом будет 1 секунда.
Радианная мера угла
Радианом называют угол, образованный дугой окружности длинной равной радиусу этой окружности.
Длина окружности равна:
l=2⋅π⋅rl=2cdotpicdot r,
где rr — радиус этой окружности.
Тогда, разделив на радиус, получаем, что полный угол в радианах равен:
lr=2⋅π⋅rr=2⋅π радианfrac{l}{r}=frac{2cdotpicdot r}{r}=2cdotpitext{ радиан}
В градусах этот же угол равен, как известно, 360∘360^{circ}.
Отсюда находим связь между радианами и градусами:
2⋅π радиан=360∘2cdotpitext{ радиан}=360^{circ}
Это та главная формула, которая нужна, чтобы переводить градусы в радианы и наоборот.
Один радиан равен:
1 радиан=360∘2⋅π≈57.3∘1text{ радиан}=frac{360^{circ}}{2cdotpi}approx57.3^{circ}
Один радиан в минутах:
1 радиан=360∘2⋅π⋅60≈3438′1text{ радиан}=frac{360^{circ}}{2cdotpi}cdot60approx3438′
Один радиан в секундах:
1 радиан=360∘2⋅π⋅60⋅60≈206280′′1text{ радиан}=frac{360^{circ}}{2cdotpi}cdot60cdot60approx206280»
Перевод градусов в радианы
Если по условию известна градусная мера угла, то чтобы перевести ее в радианную, нужно сделать следующие действия: умножить ее на πpi и разделить на 180.
y радиан=π180⋅xytext{ радиан}=frac{pi}{180}cdot x
xx — значение угла в градусах;
yy — значение того же угла в радианах.
Переведите 45 градусов в радианную меру измерения. Ответ округлите до десятой доли.
Решение
45∘=π180⋅45 радиан≈0.8 радиан45^{circ}=frac{pi}{180}cdot 45text{ радиан}approx0.8text{ радиан}
Ответ
0.8 радиан0.8text{ радиан}
Земля совершила треть от половины оборота вокруг Солнца. На какой угол в радианах она повернулась?
Решение
Найдем сначала этот угол в градусах. Полный угол составляет 360∘360^circ. Половина от полного оборота это 180∘180^{circ}. Нам же нужна треть этого угла, то есть:
180∘3=60∘frac{180^circ}{3}=60^circ
Земля отклонилась на угол 60∘60^circ от своего начального положения. Переведем теперь этот угол в радианы:
60∘=π180⋅60 радиан≈1 радиан60^circ=frac{pi}{180}cdot 60text{ радиан}approx1text{ радиан}
Решение
1 радиан1text{ радиан}
Перевод радиан в градусы
Чтобы перевести радианы в градусы, нужно умножить угол в радианах на 180 и разделить на πpi.
y∘=180π⋅xy^{circ}=frac{180}{pi}cdot x
xx — значение угла в радианах;
yy — значение того же угла в градусах.
Переведите 3 радиана в градусную меру угла.
Решение
3 радиана=180π⋅3≈172∘3text{ радиана}=frac{180}{pi}cdot3approx172^circ
Ответ
172∘172^circ
Ищете, где можно заказать задачу по математике недорого? Обратитесь к нашим экспертам в данной области!
Тест по теме «Перевод градусов в радианы и наоборот»
§ 11. Радианная мера углов
1. Понятие угла
В геометрии
Угол — геометрическая фигура, образованная двумя лучами, которые выходят из одной точки.
В тригонометрии*
Угол — фигура, образованная при повороте луча на плоскости около начальной точки.
2. Измерение углов
Градусная мера углачасть развернутого угла)
Каждому углу ставится в соответствие градусная мера α ∈ [0°; 180°].
Каждому углу как фигуре ставится в соответствие угол поворота, с помощью которого образован этот угол. Угол поворота
α ∈ (–×; +×).
Объяснение и обоснование
1. Понятие угла. В курсе геометрии угол определяется как геометрическая фигура, образованная двумя лучами, которые выходят из одной точки. Например, угол AOB, изображенный в первом пункте таблицы 16, — это угол, образованный лучами OA и OB.
Угол можно рассматривать также как результат поворота луча на плоскости около начальной точки. Например, поворачивая луч OA около точки O от начального положения OA до конечного положения OB, также получим угол AOB. Заметим, что достичь конечного положения ОВ можно при повороте луча OA как по часовой стрелке, так и против нее.
2. Измерение углов. Данные выше различные определения угла приводят к различному пониманию измерения углов.
В курсе геометрии каждому углу соответствует его градусная мера, которая может находиться только в пределах от 0° до 180°, и поэтому, например, для прямого угла AOB его мера записывается однозначно: ∠ AOB = 90° (1° — это 1/180 часть развернутого угла).
При измерении углов поворота договорились, что направление поворота против часовой стрелки считается положительным, а по часовой стрелке — отрицательным.
Поэтому при измерении углов, образованных при повороте луча около начальной точки, мы можем получить как положительные, так и отрицательные значения углов поворота. Например, если угол AOB, в котором лучи ОА и ОВ являются взаимно перпендикулярными, получен при повороте луча OA на угол 90° против часовой стрелки, то значение угла поворота β (см. соответствующий рисунок в пункте 2 табл. 16) равно +90° (или просто 90°). Если тот же угол AOB получен при повороте луча OA на угол 270° по часовой стрелке (понятно, что полный оборот — это 360°), то значение угла поворота γ равно (–270°). Этот же угол AOB можно получить также при повороте луча OA против часовой стрелки на 90° и еще на полный оборот; в этом случае значение угла поворота ϕ равно 90° + 360°, то есть 450° и т. д.
Выбрав как значение угла поворота произвольное отрицательное или положительное число (градусов), мы всегда можем повернуть луч OA (по часовой стрелке или против нее) и получить соответствующий угол AOB. Таким образом, величина угла поворота (в градусах) может принимать все действительные значения от.
Для измерения углов принимают определенный угол за единицу измерения и с ее помощью измеряют другие углы.
За единицу измерения можно принять любой угол, например один градус (1°) — 1/180 часть развернутого угла.
В технике за единицу измерения углов принимают полный оборот (заметим, что 1 градус — это 1/360 часть полного оборота).
В мореходстве за единицу измерения углов принимают румб, равный 1/32 час ти полного оборота.
В математике и физике, кроме градусной меры углов, используется также радианная мера углов.
Если рассмотреть некоторую окружность,
то 1 радиан — это центральный угол, соответствующий дуге, длина которой равна радиусу окружности.
Таким образом, если угол AOB равен одному радиану (рис. 59), то это означает, что ∪AB = OA = R.
Установим связь между радианной и градусной мерами углов. Центральному развернутому углу AOC, с градусной мерой 180°, соответствует полуокружность, то есть дуга, длина которой равна πR, а углу в один радиан — дуга длиной R. Итак, радианная мера развернутого угла AOC равна радиан. Таким образом, одному и тому же развернутому углу АОС соответствует градусная мера 180° и радианная мера π радиан. Это соответствие часто записывают так:
Задача 1 Выразите в радианах величины углов, градусная мера которых равна: 30°; 45°; 60°; 90°; 270°; 360°.
Поскольку 30° — это 1/6часть угла 180°, то из соответствия 180° = π (рад)
получаем, что 30°=6/π (рад).
Аналогично можно вычислить и величины других углов.
В общем случае учитываем, что 1°=π/180 радиан, тогда:
Поскольку радианными мерами рассмотренных углов приходится пользоваться достаточно часто, запишем полученные результаты в виде справочной таблицы:
Замечание. Чаще всего при записи радианной меры углов наименование единицы измерения «радиан» (или сокращенно рад) не пишут, но подразумевают его. Например, вместо равенства 90 2 °=π радиан пишут иногда 90 °=π/2 .
Задача 2 Выразите в градусах величины углов, радианнная мера которых равна: π/10 ; 2π/3 ; 3π/4 ; 5.
Поскольку π/10 — это 1/10 часть угла π, то из соответствия π = 180° получаем, что π/10=18° . Аналогично можно вычислить и величины углов 2π /3 и 3π/4 .
В общем случае учитываем, что 1 радиан=180°/π , тогда:
Отметим, что далее в этом разделе будет рассматриваться в основном радианная мера угла и утверждения будут доказаны для радианной меры угла. Однако их можно переформулировать и для градусной меры угла, пользуясь приведенными выше соотношениями.
Условимся далее вместо слов «угол, радианная мера которого равна α радиан» говорить коротко «угол α».
Вопросы для контроля
1. Объясните, как можно определить угол с помощью поворота луча. Как при таком определении измеряются углы?
2. Как вы понимаете такие утверждения: «Величина угла равна 450°», «Величина угла равна (–225°)»? Изобразите эти углы.
3. Как можно определить угол в 1°?
4. Дайте определение угла в 1 радиан.
5. Чему равна градусная мера угла в π радиан?
6. Объясните на примерах, как по радианной мере угла найти его градусную меру и наоборот — по градусной мере угла найти его радианную меру.
Упражнения
1°. Изобразите угол, образованный поворотом луча OA около точки O на: 1) 270°; 2) –270°; 3) 720°;
4) –90°; 5) 225°; 6) –45°;
7) 540°; –180°; 9) 360°; 10) –60°.
2°. Чему равны градусные и радианные меры углов поворота, показанных на рисунке 60?
3. Выразите в радианной мере величины углов, градусная мера которых равна:
1 °) 225°; 2°) 36°; 3) 100°; 4) –240°; 5) –22,5°; 6) –150°.
4. Выразите в градусной мере величины углов, радианная мера которых равна:
1) 3π; 2) 3 4 π; 3) −2 5 π;
4) 7 6 π; 5) − π 18 ;
6) 11 6 π;7) −π 8 ; 3.
5. С помощью калькулятора (или таблиц) найдите радианные меры углов, градусная мера которых равна:
1) 27°; 2) 132°; 3) 43°; 4) 114°.
6. С помощью калькулятора (или таблиц) найдите градусные меры углов, радианная мера которых равна:
1) 0,5585; 2) 0,8098; 3) 3,1416; 4) 4,4454.
Видеоурок: Тригонометрические функции. Радианная мера угла
Лекция: Радианная мера угла
Радианной мерой произвольного угла в единичной окружности является отношение длины дуги центрального угла к радиусу окружности.
Данное определение применимо к окружностям с произвольной длиной радиуса.
Радианная мера связана с градусной мерой простым соотношением:
При этом для получения величины 1 рад, следует 180 градусов разделить на значение числа π.
Например, давайте получим радианную меру угла в 30 градусов:
2 * π * 30 : 360 = π/6 ≈ 0,52.
Существуют таблицы, которые позволяют без расчетов определить радианную меру основных углов:
Для его измерения рассмотрим единичную окружность, где вершина угла совпадает с его центром. Затем нарисуем дугу, равную радиусу окружности и соединим концы дуги с центром.
Это и есть один радиан, один градус равен (frac{π}{180}) радиан и (1) радиан равен (frac{180}{π}) градусов.
Вся окружность равна (2π).
Определение радиана:
Краткая история радиана
Слово «радиан» было придумано Томасом Муиром или Джеймсом Томпсоном около 1870 года, математики измеряли углы таким образом в течение длительного времени. Например, Леонард Эйлер (1707-1783) в своих исследованиях в алгебре измерял углы по длине дуги, отрезанной в единичной окружности. Это ему было необходимо для того, чтобы дать его знаменитую формулу с комплексными числами, которая связывает функции косинусов с экспоненциальной функцией.
Найдите градусную меру углов, если его радианная мера равна: (frac{π}{2};frac{π}{4};frac{π}{8};frac{5π}{6};)
Решение.
- (frac{π}{2}*frac{180}{π}=)(90°)
- (frac{π}{4}*frac{180}{π}=)(45°)
- (frac{π}{8}*frac{180}{π}=)(22,5°)
- (frac{5π}{6}*frac{180}{π}=)(150°)
Таблица градусов в радианах
Больше уроков и заданий по всем школьным предметам в онлайн-школе «Альфа». Запишитесь на пробное занятие прямо сейчас!
Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!