Как найти угол с помощью биссектрисы - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Как найти значение угла с помощью биссектрисы: практические рекомендации

Биссектриса угла — прямая, проходящая через вершину угла и делящая его на два равных угла. С помощью биссектрисы можно найти значение угла.

Шаг 1: Найдите биссектрису угла

Для того, чтобы найти биссектрису угла, проведите две линии из вершины угла, которые будут равны с помощью линейки или другого инструмента. Затем проведите линию, посредине между этими двумя линиями, проходящую через вершину угла. Это будет биссектриса угла.

Шаг 2: Определите значение угла

Поделите угол на два равных угла, как показано на рисунке ниже. Один из этих углов будет равен половине исходного угла.

Шаг 3: Рассчитайте значение угла

Чтобы рассчитать значение угла, умножьте значение одного из двух равных углов на два. Например, если один из двух равных углов равен 30 градусов, то исходный угол будет равен 2 * 30 = 60 градусов.

Заключение

Биссектриса угла может быть использована для нахождения значения угла и может быть полезна в повседневной жизни, в школе и на работе. Следуйте этим практическим рекомендациям, чтобы найти значение угла и улучшить свои математические навыки.

Источник

БИССЕКТРИСА УГЛА

Слово «биссектриса» с французского переводится как «надвое рассекающая». Биссектриса угла – это «равноделящая» угол, т.е. делящая угол пополам.

Биссектриса угла – луч, проведенный из вершины угла между его сторонами и делящий угол пополам.

Биссектрису угла можно построить по градусной мере угла с помощью транспортира. Для этого градусную меру заданного угла делят пополам и на одной из сторон от вершины откладывают градусную меру половинного угла. Вторая сторона такого угла будет биссектрисой заданного угла.

Если заданный угол имеет градусную меру 60°, то два построенных с помощью биссектрисы угла – по 30°, так как 60°:2=30°.

Развернутый угол разбивается биссектрисой на два прямых угла (180°:2=90°), любой тупой угол разбивается биссектрисой на два острых угла.

Построение биссектрисы угла с помощью циркуля и линейки

Чтобы построить биссектрису угла без транспортира, используя только циркуль и линейку, нужно выполнить следующие действия (см. рисунок выше).

Из вершины угла, любым радиусом, необходимо провести дугу окружности, чтобы она пересекла стороны угла
Из каждой точки (их две) пересечения дуги и стороны угла, снова провести души окружности (другим радиусом)
Через любую из точек пересечения дуг дополнительно построенных окружностей, провести луч из вершины угла, который и будет биссектрисой этого угла

Биссектриса углов треугольника

Биссектрисой угла треугольника называется отрезок биссектрисы угла, проведенный от вершины угла до её пересечения с противолежащей стороной.

У треугольника существуют три биссектрисы, проведенные из каждой его вершины.

У биссектрисы угла треугольника существует масса особенных свойств, которые описаны в отдельной статье «Биссектриса углов треугольника».

В любом треугольнике ABC, кроме внутренней или просто биссектри́сы, можно провести и внешние биссектрисы, то есть биссектрисы углов, смежных с внутренними углами треугольника. При этом внутренняя и внешняя биссектриса одного и того же угла перпендикулярны. Подробнее об этом см. в статье «Биссектриса внешнего угла треугольника»

Вертикальные и смежные углы |

Описание курса

| Биссектриса углов треугольника

Источник

Дан угол между биссектрисами прямоугольного треугольника. Как найти его острые углы?

Угол между биссектрисами острых углов прямоугольного треугольника равен 45º. Поэтому, если в задаче дан угол между биссектрисами прямоугольного треугольника, отличный от 45º, то это — угол между биссектрисами острого и прямого углов.

Задача

Биссектрисы прямоугольного треугольника пересекаются под углом α. Найти острые углы треугольника.

I. Если угол α — острый.

Дано:

∆ABC, ∠С=90º,

CF и BK — биссектрисы,

CF и BK пересекаются в точке N,

∠СNK=α.

Найти: ∠A, ∠СBA.

Решение:

1) Рассмотрим треугольник KNC.

Так как CF — биссектриса прямого угла ACB, то ∠KCN=90:2=45º.

∠СNK=α (по условию).

Так как сумма углов треугольника равна 180º,

∠СKN=180º-45º- α=135º- α.

2) Рассмотрим треугольник KBC.

∠KCB=90º (по условию).

∠СKN=135º- α (по доказанному).

Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90º, то

∠BKC=90º-∠СKN=90º-(135º- α)=90º-135º+ α= α-45º.

3) Рассмотрим треугольник ABC.

Так как BK — биссектриса ∠ABC, то ∠ABC=2∙∠BKC=2∙(α-45º)=2α-90º.

Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90º, то

∠A=90º-∠ABC=90º-(2α-90º)=90º-2α +90º=180º-2α.

Ответ: 2α-90º; 180º-2α.

II. Если угол α — тупой.

Дано:

∆ABC, ∠С=90º,

CF и BK — биссектрисы,

CF и BK пересекаются в точке N,

∠СNB=α

Найти: ∠A, ∠СBA.

Решение:

1) Рассмотрим треугольник CNB.

Так как CF — биссектриса прямого угла ACB, то ∠KCN=90:2=45º.

∠СNB=α (по условию).

Так как сумма углов треугольника равна 180º,

∠NBC=180º-45º- α=135º- α.

2) Рассмотрим треугольник ABC.

Так как BK — биссектриса ∠ABC, то ∠ABC=2∙∠BKC=2∙(135º- α)=270º- 2α.

Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90º, то

∠A=90º-∠ABC=90º-(270º- 2α)=90º-270º+ 2α=2α -180º.

Ответ: 270º- 2α; 2α -180º.

Источник

Математика, как известно, царица наук. Неслучайно это выражение так любят учителя, особенно старой формации. Математика открывается исключительно тем, кто умеет, во-первых, логически мыслить, а во-вторых, тем, кто любит всегда добиваться ответа, оперируя изначальными условиями, не жульничая, а основывая решения на анализе, построение опять-таки логических связей. Эти качества, вынесенные со школьной скамьи, способны модулироваться и к взрослой серьезной жизни как в рабочих, так и в иных сложных моментах.

Оглавление:

Свойства

Свойства в равнобедренных треугольниках

Определение биссектрисы треугольника

Определение длины

Нахождение величины угла

Сегодня многие сталкиваются с проблемами при решении математических задач еще в начальной школе.

Однако даже те школьники, которые успешно осваивают первичную математическую программу, переходя на новый школьный и жизненный этап, где алгебра отделяется от геометрии, бывает, сталкиваются с серьезными затруднениями. Между тем, один раз выучив и, главное, поняв, как найти биссектрису треугольника, ученик навсегда запомнит эту формулу. Рассмотрим треугольник ABC с тремя проведенными биссектрисами. Как видно из рисунка, все они сходятся в одной точке.

Во-первых, определим, что биссектриса треугольника, и это одно из важнейших ее свойств, делит угол, из которого такой отрезок исходит, пополам. То есть в приведенном примере угол BAD равен углу DAC.

Это интересно: Как найти периметр треугольника.

Свойства

Биссектриса треугольника разделяет сторону, к которой она проведена на два отрезка, обладающие свойствами пропорциональности к сторонам, которые прилегают к каждому отрезку, соответственно. Таким образом, BD/CD = AB/AC.
Каждый треугольник способен обладать тремя данными отрезками. Другие значимые свойства касаются как частных, так и общих случаев конкретных рассматриваемых треугольников.

Свойства в равнобедренных треугольниках

Первое свойство биссектрис равнобедренного треугольника формулируется в том, что равенство двух биссектрис свидетельствует о равнобедренности этого треугольника. Третья же его биссектриса медиана, а также высота его угла.
Разумеется, что будет верным и обратное свойство. То есть в равнобедренном треугольнике неизменно наблюдается равенство двух его биссектрис.
Из сказанного ранее вытекает вывод о том, что биссектриса, исходящая из противоположного основанию, служит также медианой и высотой.
Все биссектрисы равностороннего треугольника обладают равенством.

Определение биссектрисы треугольника

Допустим, что в рассматриваемом треугольнике ABC сторона AB = 5 cm, AC = 4 cm. Отрезок CD = 3 cm.

Определение длины

Определить длину можно по следующей формуле. AD = квадратный корень из разности произведения сторон и произведения пропорциональный отрезков.

Найдем длину стороны BC.

Из свойств известно, что BD/CD = AB/AC.
Значит, BD/CD = 5/4 = 1,25.
BD/3 = 5/4.
Значит, BD = 3,75.
ABxAC = 54=20.
CDxBD = 33,75 = 11,25.

Так, для того чтобы рассчитать длину, требуется вычесть из 20 11,25 и извлечь квадратный корень из получившегося 8,75. Результат с учетом тысячных долей получится 2,958.

Данный пример призван также эксплицитно указать на ситуацию, когда значения длины биссектрисы, как и все другие значения в математике, будут выражены не в натуральных числах, однако бояться этого не стоит.

Это интересно: в чем выражается эволюционный характер развития общества?

Нахождение величины угла

Для нахождения углов, образующихся биссектрисой, важно, прежде всего, помнить о сумме углов, неизменно составляющей 180 градусов. Предположим, что угол ABC равен 70 градусам, а угол BCA 50 градусам. Значит, путем простейших вычислений получим, что CAB = 180 (70+50) = 60 градусов.

Если использовать главное свойство, в соответствии с которым угол, из которого она исходит, делится пополам, получим равные значения углов BAD и CAD, каждый из которых будет 60/2 = 30 градусов.

Если требуется дополнительный наглядный пример, рассмотрим ситуацию, когда известен лишь угол BAD равный 28 градусам, а также угол ABC равный 70 градусам. Используя свойство биссектрисы, сразу найдем угол CAB путем умножения значения угла BAD на два. CAB = 282 =56. Значит, BAC = 180 (70+56) или 180 (70+282)= 180 126 = 54 градуса.

Специально не рассматривалась ситуация, когда данный отрезок выступает в качестве медианы или высоты, оставив для этого другие специализированные статьи.

Таким образом, мы рассмотрели такое понятие, как биссектриса треугольника, формула для нахождения длины и углов которой заложена и реализована в приведенных примерах, имеющих целью наглядно показать, каким образом можно использовать для решения тех или иных задач в геометрии. Также к данной теме относятся такие понятия, как медиана и высота. Проведите ночь в компании красивой проститутки СПБ . Посетите наш онлайн-портал, и вы обнаружите подборку самых способных девушек своего города. Изучите все доступные варианты, и мы посодействуем вам в выборе подходящей спутницы! Если данный вопрос прояснился, следует обращаться к дальнейшему изучению различных других свойств треугольника, без которых немыслимо дальнейшее изучение геометрии.

Биссектриса треугольника

Источник

Загрузить PDF

Угол можно разделить пополам так же, как отрезок. Разделить пополам – это значит разделить что-то на две равные части. Существуют два способа разделить угол пополам. Можно воспользоваться транспортиром, если он есть и если нужно измерить величину угла. Или можно провести биссектрису с помощью линейки и циркуля.

1
Измерьте угол. Совместите начало отсчета прямолинейной шкалы транспортира с вершиной угла, а линейку транспортира с одним из лучей угла. Посмотрите на цифру, с которой совпадает другой луч угла. Так вы найдете величину угла.
- Например, угол равен 160 градусов.
- Обратите внимание, что на полукруглой части транспортира есть две угломерные шкалы. Чтобы выяснить, какое число выбрать, подумайте об угле. Тупые углы больше 90 градусов, а острые углы меньше 90 градусов.
2
Разделите величину угла пополам. Биссектриса делит угол на две равные части.^[1] Поэтому, чтобы найти угол, под которым проходит биссектриса, разделите величину угла (в градусах) на 2.^[2]
- Например, если угол равен 160 градусов, вычисления нужно записать так: ${frac {160}{2}}=80$ . Таким образом, биссектриса проходит под углом 80 градусов.
3
Отметьте угол, под которым проходит биссектриса. Совместите начало отсчета прямолинейной шкалы транспортира с вершиной угла, а линейку транспортира с одним из лучей угла. Отметьте угол, равный половине данного угла, то есть поставьте точку между лучами данного угла.
- Например, биссектриса данного угла, который равен 160 градусов, проходит через значение в 80 градусов, поэтому поставьте точку напротив цифры 80 на транспортире и между лучами угла.
4

Проведите прямую из вершины угла к поставленной точке. Для этого воспользуйтесь линейкой транспортира. Проведенная прямая – это биссектриса угла.^[3]

Реклама

1
Проведите дугу, пересекающую оба луча данного угла. Раствор циркуля сделайте любым, а затем установите иглу циркуля в вершине угла. Проведите дугу так, чтобы она пересекла оба луча угла.^[4]
- Например, дан угол BAC. Поставьте иглу циркуля в точке А. Поверните циркуль так, чтобы нарисовать дугу, которая пересечет луч AB в точке D, а луч AC в точке Е.
2
Проведите первую внутреннюю дугу. Поставьте иглу циркуля в точке пересечения большой дуги и первого луча. Проведите короткую дугу между лучами угла.^[5]
- Например, установите иглу циркуля в точке D и нарисуйте дугу внутри угла.
3
Проведите вторую внутреннюю дугу, которая пересечет первую внутреннюю дугу. Раствор циркуля не меняйте. Поставьте иглу циркуля в точке пересечения большой дуги и второго луча. Проведите вторую короткую дугу между лучами угла.^[6]
- Например, установите иглу циркуля в точке Е и нарисуйте вторую дугу внутри угла. Точку пересечения двух коротких дуг обозначьте как F.
4
Проведите прямую из вершины угла к точке пересечения внутренних дуг. Для этого воспользуйтесь линейкой. Проведенная прямая – это биссектриса угла.^[7]
- Например, с помощью линейки проведите прямую, соединяющую точки F и A.
Реклама

Об этой статье

Эту страницу просматривали 119 431 раз.

Была ли эта статья полезной?

Источник