Как найти угол сечения в тетраэдре

Построение сечений тетраэдра. 10-й класс

Цели урока: (Приложение 1, слайды
1-2)

·        
научиться применять аксиомы стереометрии при решении задач;

·        
научиться находить положение точек пересечения секущей плоскости
с рёбрами тетраэдра;

·        
освоить методы построения этих сечений

·        
формировать познавательную активность, умения логически мыслить;

·        
создать условия самоконтроля усвоения знаний и умений.

Тип урока: Формирование новых знаний.

Ход урока 

I. Организационный момент

II. Актуализация знаний учащихся

Фронтальный опрос. (Аксиомы стереометрии, свойства параллельных
плоскостей)

Слово учителя

Для решения многих геометрических задач, связанных с тетраэдром,
полезно уметь строить на рисунке их сечения различными
плоскостями. (слайд 3) .Назовём секущей плоскостью тетраэдра
любую плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного тетраэдра.
Секущая плоскость пересекает грани тетраэдра по отрезкам. Многоугольник,
сторонами которого являются эти отрезки, называется сечением тетраэдра.
Так как тетраэдр имеет четыре грани, то его сечениями могут быть только
треугольники и четырёхугольники. Отметим также, что для построения сечения
достаточно построить точки пересечения секущей плоскости с рёбрами тетраэдра,
после чего остаётся провести отрезки, соединяющие каждые две построенные точки,
лежащие в одной и той же грани.

На этом уроке вы сможете подробно изучить сечения тетраэдра,
освоить методы построения этих сечений. Вы узнаете пять правил построения
сечений многогранников, научитесь находить положение точек пересечения секущей
плоскости с рёбрами тетраэдра.

Актуализация опорных понятий

·        
Первое правило. Если две точки принадлежат как секущей плоскости, так и
плоскости некоторой грани многогранника, то прямая, проходящая через эти две
точки, является линией пересечения секущей плоскости с плоскостью этой грани
(следствие аксиомы о пересечении плоскостей).

·        
Второе правило. Если секущая плоскость параллельна некоторой плоскости, то эти
две плоскости пересекаются с любой гранью по параллельным прямым (свойство двух
параллельных плоскостей, пересечённых третьей).

·        
Третье правило. Если секущая плоскость параллельна прямой, лежащей в
некоторой плоскости (например, плоскости какой-то грани), то линия пересечения
секущей плоскости с этой плоскостью (гранью) параллельна этой прямой (свойство
прямой, параллельной плоскости).

·        
Четвёртое правило. Секущая плоскость
пересекает параллельные грани по параллельным прямым (свойство параллельных плоскостей,
пересечённых третьей).

·        
Пятое правило. Пусть две точки А и В принадлежат секущей плоскости, а точки A₁ и
B₁ являются параллельными проекциями этих точек на некоторую
грань. Если прямые АВ и A₁B₁ параллельны, то секущая
плоскость пересекает эту грань по прямой, параллельной A₁B₁.
Если же прямые АВ и A₁B₁ пересекаются в некоторой
точке, то эта точка принадлежит как секущей плоскости, так и плоскости этой
грани (первая часть этой теоремы следует из свойства прямой, параллельной
плоскости, а вторая вытекает из дополнительных свойств параллельной проекции).

III. Изучение нового материала (формирование знаний, умений)

Коллективное решение задач с объяснением (слайд
4) 

Задача 1. Постройте сечение тетраэдра ДАВС плоскостью, проходящей
через точки К є АД, М є ДС, Е є ВС.

Внимательно посмотрим на чертёж. Так как точки К и М принадлежат
одной плоскости, то мы находим пересечение секущей плоскости с гранью АДС – это
отрезок КМ. Точки М и Е также лежат в одной плоскости, значит пересечением
секущей плоскости, и грани ВДС является отрезок МЕ. Находим точку пересечения
прямых КМ и АС, которые лежат в одной плоскости АДС. Теперь точка Х лежит в
грани АВС, то её можно соединить с точкой Е. Проводим прямую ХЕ, которая
пересекается с АВ в точке Р. Отрезок РЕ есть пересечение секущей плоскости с
гранью АВС, а отрезок КР есть пересечение секущей плоскости с гранью АВС.
Следовательно, четырёхугольник КМЕР наше искомое сечение. Запись решения в
тетради:

Решение.

1.    КМ = α ∩ АДС

2.    МЕ = α ∩ ВДС

3.    Х = КМ ∩ АС

4.    Р = ХЕ ∩ АВ

5.    РЕ = α ∩ АВС

6.    КР = α ∩ АДВ

7.    КМЕР – искомое
сечение

Задача
2. (слайд 5)

Постройте сечение тетраэдра ДАВС плоскостью, проходящей через
точки К є АВС, М є ВДС, N є АД

. Рассмотрим проекции каких-нибудь двух точек. В тетраэдре
проекции точек находят из вершины на плоскость основания, т.е. М→М₁,
N→А. Находим пересечение прямых NM и AM₁ точку Х.Данная точка
принадлежит секущей плоскости, так как лежит на прямой NM, принадлежит
плоскости АВС, так как лежит на прямой АМ₁. Значит, теперь в
плоскости АВС у нас есть две точки, которые можно соединить, получаем прямую
КХ. Прямая пересекает сторону ВС в точке L, а сторону АВ в точке Н. В грани АВC
находим линию пересечения, она проходит через точки Н и К – это НL. В грани АВД
линия пересечения – НN, в грани ВДС проводим линию пересечения через точки L и
М – это LQ и в грани АДС получаем отрезок NQ. Четырёхугольник HNQL – искомое
сечение.

Решение

1.    М → М₁ N
→ А

2.    Х = NМ ∩ АМ₁

3.    L = КХ ∩ ВС

4.    H = КХ ∩ АВ

5.    НL = α ∩ АВC,
К є НL

6.    НN = α ∩ АВД,

7.    LQ = α ∩ ВДС,
М є LQ

8.    NQ = α ∩ АДС

9.    HNQL – искомое
сечение

IV. Закрепление знаний

Решение задачи с последующей проверкой

Задача 3. (слайд 6)

Постройте сечение тетраэдра ДАВС плоскостью, проходящей через
точки К є ВС , М є АДВ, N є ВДС.

Решение

1.    1. М → М₁ ,
N → N₁

2.    Х = NМ ∩ N₁М₁

3.    R = КХ ∩ АВ

4.    RL = α ∩ АВД,
М є RL

5.    КР = α ∩ ВДС,
N є КР

6.    LP = α ∩ АДС

7.    RLPK – искомое
сечение

V. Самостоятельная работа (по вариантам)

(слайд 7)

Задача 4. Постройте сечение тетраэдра ДАВС
плоскостью, проходящей через точки М є АВ, N є АС, К є АД.

Решение

1.    КМ = α ∩ АВД,

2.    МN = α ∩ АВС,

3.    КN = α ∩ АДС

4.    KMN – искомое
сечение

(Проверка по гиперссылке на Приложение 2)

Задача 5. Постройте сечение тетраэдра ДАВС плоскостью, проходящей
через точки М є АВ, К є ДС, N є ДВ.

Решение

1.    MN = α ∩ АВД

2.    NK = α ∩ ВДС

3.    Х = NК ∩ ВС

4.    Р = АС ∩ МХ

5.    РК = α ∩ АДС

6.    MNKP – искомое
сечение

(Проверка по гиперссылке на Приложение 3)

Задача 6. Постройте сечение тетраэдра ДАВС плоскостью, проходящей
через точки М є АВС, К є ВД, N є ДС

Решение

1.    KN = α ∩ ДВС

2.    Х = КN ∩ ВС

3.    Т = МХ ∩ АВР =
ТХ ∩ АС

4.    РТ = α ∩ АВС,
М є РТ

5.    PN = α ∩ АДС

6.    ТР N K –
искомое сечение

(Проверка по гиперссылке на Приложение 4)

VI. Итог урока.

(слайд  

Итак, мы сегодня научились строить простейшие задачи на сечения
тетраэдра. Напоминаю, что сечением многогранника называется многоугольник,
полученный в результате пересечения многогранника с некоторой плоскостью. Сама
плоскость при этом называется секущей плоскостью. Построить сечение значит
определить, какие рёбра пересекает секущая плоскость, вид полученного сечения и
точное положение точек пересечения секущей плоскости с этими рёбрами. То есть,
те цели, которые были поставлены на уроке, решены.

VII. Домашнее задание.

(слайд 9)

Практическая работа «Построить сечения тетраэдра» в электронном
виде или бумажном варианте. (Каждому было дано индивидуальное задание

Тема:

« Тетраэдр

и его сечение ».

Урок №2 10 класс стереометрия

10 класс

Актуализация опорных знаний

Вопросы:

1) Что такое многогранник? Какие многогранники вы знаете?

МНОГОГРАННИК – это поверхность геометрического тела, составленная из многоугольников.

Мы познакомимся с двумя из них – ТЕТРАЭДРОМ и ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДОМ.

Актуализация опорных знаний

2) Дайте определение тетраэдра.

Поверхность, составленная из четырех треугольников АВС , ADC, ADB и BDC , называется тетраэдром и обозначается: DABC .

D

A

B

C

Актуализация опорных знаний

3) Назовите элементы тетраэдра

Треугольники, из которых состоит тетраэдр, называются гранями.

ABC, ADC, ADB и BDC – грани тетраэдра DABC.

Стороны треугольников называются ребрами тетраэдра , а вершины треугольника – вершинами тетраэдра.

AB,AC,AD,DC,DB и BC – ребра,

A,B,C, и D – вершины тетраэдра.

D

A

B

C

Задача по готовому чертежу

M

Укажите все грани, ребра, вершины, противоположные ребра, скрещивающиеся ребра тетраэдра.

L

N

K

1) Определение секущей плоскости тетраэдра

Секущей плоскостью тетраэдра называют такую плоскость, по обе стороны от которой имеются точки тетраэдра.

Секущая плоскость пересекает грани тетраэдра по отрезкам .

Многоугольник, сторонами которого являются эти отрезки, называется сечением тетраэдра .

2) Сечение тетраэдра

Т.к. тетраэдр имеет четыре грани, то его сечениями могут быть только треугольники и четырёхугольники .

3) Правила построения сечений ТЕТРАЭДРА

а)Проводим прямые через точки, лежащие в одной плоскости;

б) Ищем прямые пересечения плоскости сечения с гранями многогранника, для этого:

— ищем точки пересечения прямой принадлежащей плоскости сечения с прямой, принадлежащей одной из граней (лежащие в одной плоскости);

— параллельные грани плоскость сечения пересекает по параллельным прямым.

Построение сечения тетраэдра через точки M, N, K

D

Построение:

1. KM

2. NM

K

А

C

M

N

B

Построение сечения тетраэдра через точки M, N, K

D

Построение:

3. NM ∩ АС = F

K

F

А

C

N

M

B

Построение сечения тетраэдра через точки M, N, K

D

Построение:

4. KF ∩ АС = L

5. KL

K

L

F

А

C

M

N

B

Построение сечения тетраэдра через точки M, N, K

D

Построение:

1. KM

2. NM

K

3. NM ∩ АС = F

4. KF ∩ АС = L

L

5. KL

6. LN

F

А

7. KLNM – искомое сечение

C

N

M

B

Объясните, как построить сечение тетраэдра DABC плоскостью, проходящей через точки M,N,K

D

Найдите периметр сечения, если

M, N, K – середины ребер и каждое ребро тетраэдра

равно а.

M

K

N

А

C

B

Объясните, как построить сечение тетраэдра DABC плоскостью, проходящей через точки M,N,K

D

Найдите периметр сечения, если M, N, K – середины ребер и каждое ребро тетраэдра равно а .

K

N

А

C

M

B

Индивидуальное задание

Построить сечение тетраэдра по данным точкам

Презентация к уроку геометрии «Построение сечений тетраэдра»

Построение сечений
тетраэдра

Для решения многих геометрических задач необходимо строить их сечения многогранника различными плоскостями.

сечение
Секущая плоскость пересекает грани тетраэдра по отрезкам.
Многоугольник, сторонами которого являются эти отрезки – сечение тетраэдра.

Какие многоугольники могут получиться в сечении ?
Тетраэдр имеет 4 грани
В сечениях могут получиться:

Четырехугольники

Треугольники

При этом необходимо учитывать следующее:
1. Соединять можно только две точки, лежащие
в плоскости одной грани.
Для построения сечения нужно построить точки пересечения секущей плоскости с ребрами и соединить их отрезками.
2. Секущая плоскость пересекает параллельные грани по параллельным отрезкам.
3. Если в плоскости грани отмечена только одна точка, принадлежащая плоскости сечения, то надо построить дополнительную точку.
Для этого необходимо найти точки пересечения уже построенных прямых с другими прямыми, лежащими в тех же гранях.

D
A
B
C
Построить сечение тетраэдра DABC плоскостью, проходящей через точки M,N,K
D
A
B
C
M
N
K

Проводим MK.

2. Проводим NK.
3. Проводим MN.
4.  MNK –
искомое сечение.

Построить сечение тетраэдра плоскостью,
проходящей через точки E, F, K.
E
F
K
L
A
B
C
D
M
1. Проводим КF.
2. Проводим FE.
3. Продолжим EF, продол- жим AC.
5. Проводим MK.
7. Проводим EL
EFKL – искомое
сечение
6. MK AB=L
4. EF AC =М

1.Все вершины сечения лежат на рёбрах
многогранника.
Свойства правильно построенного сечения.
2.Все стороны сечения лежат в гранях
многогранника.
3.В каждой грани лежит не более одной
стороны сечения.

Построение на готовых чертежах

Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки М, N, P.

Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки М, N, P.

Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки М, N, P.

Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки М, N, P.

Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки М, N, P.

Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки М, N, P.

Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки М, N, P.

Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки М, N, P.

Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки М, N, P.

Домашнее задание

Учимся строить сечения

Метод сечений многогранников в стереометрии
используется в задачах на построение. В его
основе лежит умение строить сечение
многогранника и определять вид сечения.

Данный материал характеризуется следующим
особенностями:

1. Метод сечений применяется только для
   многогранников, так как различные сложные
   (наклонные) виды сечений тел вращения не входят в
   программу средней школы.
2. В задачах используются в основном простейшие
   многогранники.
3. Задачи представлены в основном без числовых
   данных, чтобы создать возможность их
   многовариантного использования.

Чтобы решить задачу построения сечения
многогранника ученик должен знать:

• что значит построить сечение многогранника
  плоскостью;
• как могут располагаться относительно друг
  друга многогранник и плоскость;
• как задается плоскость;
• когда задача на построение сечения
  многогранника плоскостью считается решенной.

Поскольку плоскость определяется:

• тремя точками;
• прямой и точкой;
• двумя параллельными прямыми;
• двумя пересекающимися прямыми,

построение плоскости сечения проходит в
зависимости от задания этой плоскости. Поэтому
все способы построения сечений многогранников
можно разделить на методы.

Существует три основных метода построения
сечений многогранников:

1. Метод следов.
2. Метод вспомогательных сечений.
3. Комбинированный метод.

Первые два метода являются разновидностями Аксиоматического
метода построения сечений.

Можно также выделить следующие методы
построения сечений многогранников:

• построение сечения многогранника плоскостью,
  проходящей через заданную точку параллельно
  заданной плоскости;
• построение сечения, проходящего через заданную
  прямую параллельно другой заданной прямой;
• построение сечения, проходящего через заданную
  точку параллельно двум заданным скрещивающимся
  прямым;
• построение сечения многогранника плоскостью,
  проходящей через заданную прямую
  перпендикулярно заданной плоскости;
• построение сечения многогранника плоскостью,
  проходящей через заданную точку перпендикулярно
  заданной прямой.

В федеральный перечень учебников по геометрии
для 10-11 класов входят учебники авторов:

• Атанасяна Л.С., Бутузова В.Ф., Кадомцева С.Б. и др
  (Геометрия, 10-11);
• Погорелова А.В. (Геометрия, 7-11);
• Александрова А.Д., Вернера А.Л., Рыжик В.И.
  (Геометрия, 10-11);
• Смирновой И.М. (Геометрия, 10-11);
• Шарыгина И.Ф. (Геометрия, 10-11).

Рассмотрим подробнее учебники Л.С, Атанасяна и
Погорелова А.В.

В учебнике Л.С. Атанасяна на тему “Построение
сечений многогранников” выделено два часа. В 10
классе в теме “Параллельность прямых и
плоскостей” после изучения тетраэдра и
параллелепипеда отводится один час на изложение
параграфа “Задачи на построение сечений”.
Рассматриваются сечения тетраэдра и
параллелепипеда. И тема “Параллельность прямых
и плоскостей” завершается решением задач на
одном или двух часах (всего задач на построение
сечений в учебнике восемь).

В учебнике Погорелова А.В. на построение
сечений отводится около трех часов в главе
“Многогранники”: один – на изучение темы
“Изображение призмы и построение ее сечений”,
второй – на изучение темы “Построение пирамиды
и ее плоских сечений” и третий – на решение
задач. В списке задач, приведенных после темы,
задач на сечение насчитывается всего около
десяти.

Мы предлагаем систему уроков по теме
“Построение сечений многогранников” для
учебника Погорелова А.В.

Материал предлагается расположить в той
последовательности, в какой он может применяться
для обучения учащихся. Из изложения темы
“Многогранники” предлагается исключить
следующие параграфы: “Построение сечений
призмы” и “Построение сечений пирамиды” с тем,
чтобы систематизировать данный материал в конце
этой темы “Многогранники”. Классифицировать
его по тематике задач с примерным соблюдением
принципа “от простого к сложному” можно весьма
условно следующим образом:

1. Определение сечения многогранников.
2. Построение сечений призмы, параллелепипеда,
   пирамиды методом следов. (Как правило в школьном
   курсе стереометрии используются задачи на
   построение сечений многогранников, решаемые
   основными методами. Остальные методы, в связи с
   их более высоким уровнем сложности, учитель
   может оставить для рассмотрения на
   факультативных занятиях или на самостоятельное
   изучение. В задачах на построение основными
   методами требуется построить плоскость сечения,
   проходящую через три точки).
3. Нахождение площади сечений в многогранниках
   (без использования теоремы о площади
   ортогональной проекции многоугольника).
4. Нахождение площади сечений в многогранниках (с
   применением теоремы о площади ортогональной
   проекции многоугольника).

СТЕРЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ НА
ПОСТРОЕНИЕ СЕЧЕНИЙ МНОГОГРАННИКОВ И МЕТОДИКА ИХ
ИСПОЛЬЗОВАНИЯ НА УРОКАХ В 10-11 КЛАССАХ.

(система уроков и факультативных
занятий по теме “Построение сечений
многогранников”)

УРОК 1.

Тема урока: “Построение сечений
многогранников”.

Цель урока: ознакомление с методами
построений сечений многогранников.

Этапы урока:

1. Актуализация опорных знаний.
2. Постановка задачи.
3. Изучение нового материала:

А) Определение сечения.

Б) Методы построений сечений:

а) метод следов;

б) метод вспомогательных сечений;

в) комбинированный метод.

1. Закрепление материала.

Примеры построений сечений методом следов.

1. Подведение итогов урока.

Тест.

Ход урока.

1. Актуализация опорных знаний.

Вспомним:
— пересечение прямой с плоскостью;
— пересечение плоскостей;
— свойства параллельных плоскостей.

2. Постановка задачи.

Вопросы к классу:
— Что значит построить сечение многогранника
плоскостью?
— Как могут располагаться относительно друг
друга многогранник и плоскость?
— Как задается плоскость?
— Когда задача на построение сечения
многогранника плоскостью считается решенной?

3. Изучение нового материала.

А) Итак, задача состоит в построении
пересечения двух фигур: многогранника и
плоскости ( рис.1). Это могут быть: пустая фигура
(а), точка (б), отрезок (в), многоугольник (г). Если
пересечение многогранника и плоскости есть
многоугольник, то этот многоугольник называется сечением
многогранника плоскостью.

Рис. 1

Будем рассматривать только случай, когда
плоскость пересекает многогранник по его
внутренности. При этом пересечением данной
плоскости с каждой гранью многогранника будет
некоторый отрезок. Таким образом, задача
считается решенной, если найдены все отрезки, по
которым плоскость пересекает грани
многогранника.

Исследуйте сечения куба (рис.2) и ответьте на
следующие вопросы:

Рис. 2

— какие многоугольники получаются в сечении
куба плоскостью? (Важно число сторон
многоугольника);

[ Предполагаемые ответы: треугольник,
четырехугольник, пятиугольник, шестиугольник.]

— может ли в сечении куба плоскостью получиться
семиугольник? А восьмиугольник и т.д.? Почему?

Давайте рассмотрим призму и ее возможные
сечения плоскостью ( на модели). Какие
многоугольники получаются?

Какой можно сделать вывод? Чему равно
наибольшее число сторон многоугольника,
полученного сечением многогранника с
плоскостью?

[ Наибольшее число сторон многоугольника,
полученного в сечении многогранника плоскостью,
равно числу граней многогранника.]

Б) а) Метод следов заключается в построении
следов секущей плоскости на плоскость каждой
грани многогранника. Построение сечения
многогранника методом следов обычно начинают с
построения так называемого основного следа
секущей плоскости, т.е. следа секущей плоскости
на плоскости основания многогранника.

б) Метод вспомогательных сечений
построения сечений многогранников является в
достаточной мере универсальным. В тех случаях,
когда нужный след (или следы) секущей плоскости
оказывается за пределами чертежа, этот метод
имеет даже определенные преимущества. Вместе с
тем следует иметь ввиду, что построения,
выполняемые при использовании этого метода,
зачастую получаются “скученными”. Тем не менее
в некоторых случаях метод вспомогательных
сечений оказывается наиболее рациональным.

Метод следов и метод вспомогательных сечений
являются разновидностями аксиоматического
метода построения сечений многогранников
плоскостью.

в) Суть комбинированного метода построения
сечений многогранников состоит в применении
теорем о параллельности прямых и плоскостей в
пространстве в сочетании с аксиоматическим
методом.

А теперь на примере решения задач рассмотрим метод
следов.

4. Закрепление материала.

Задача 1.

Построить сечение призмы ABCDA₁B₁C₁D₁
плоскостью, проходящей через точки P, Q, R (точки
указаны на чертеже (рис.3)).

Решение.

Рис. 3

1. Построим след секущей плоскости на плоскость
   нижнего основания призмы. Рассмотрим грань АА₁В₁В.
   В этой грани лежат точки сечения P и Q. Проведем
   прямую PQ.
2. Продолжим прямую PQ, которая принадлежит
   сечению, до пересечения с прямой АВ. Получим
   точку S₁, принадлежащую следу.
3. Аналогично получаем точку S₂ пересечением
   прямых QR и BC.
4. Прямая S₁S₂ — след секущей плоскости
   на плоскость нижнего основания призмы.
5. Прямая S₁S₂ пересекает сторону AD в
   точке U, сторону CD в точке Т. Соединим точки P и U,
   так как они лежат в одной плоскости грани АА₁D₁D.
   Аналогично получаем TU и RT.
6. PQRTU – искомое сечение.

Задача 2.

Построить сечение параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁
плоскостью, проходящей через точки M, N, P (точки
указаны на чертеже (рис.4)).

Решение.

Рис. 4

1. Точки N и P лежат в плоскости сечения и в
   плоскости нижнего основания параллелепипеда.
   Построим прямую, проодящую через эти точки. Эта
   прямая является следом секущей плоскости на
   плоскость основания параллелепипеда.
2. Продолжим прямую, на которой лежит сторона AB
   параллелепипеда. Прямые AB и NP пересекутся в
   некоторой точке S. Эта точка принадлежит
   плоскости сечения.
3. Так как точка M также принадлежит плоскости
   сечения и пересекает прямую АА₁ в некоторой
   точке Х.
4. Точки X и N лежат в одной плоскости грани АА₁D₁D,
   соединим их и получим прямую XN.
5. Так как плоскости граней параллелепипеда
   параллельны, то через точку M можно провести
   прямую в грани A₁B₁C₁D₁,
   параллельную прямой NP. Эта прямая пересечет
   сторону В₁С₁ в точке Y.
6. Аналогично проводим прямую YZ, параллельно
   прямой XN. Соединяем Z с P и получаем искомое
   сечение – MYZPNX.

Задача 3 ( для самостоятельного
решения).

Построить сечение тетраэдра DACB плоскостью,
проходящей через точки M, N, P (точки указаны на
чертеже (рис.5)).

Рис. 5

5. Подведение итогов урока.

Ответьте на вопрос: являются ли закрашенные
фигуры сечениями изображенных многогранников
плоскостью PQR? И выполните правильное построение
(рис. 6).

Вариант 1.

а)

б)

в)

г)

д)

Вариант 2.

УРОК 2.

Тема урока: НАХОЖДЕНИЕ ПЛОЩАДИ СЕЧЕНИЯ.

Цель урока: познакомить со способами
нахождения площади сечения многогранника.

Этапы урока:

1. Актуализация опорных знаний.

Вспомнить теорему о площади ортогональной
проекции многоугольника.




2. Решение задач на нахождение площади сечения:

— без использования теоремы о площади
ортогональной проекции многоугольника;

— с использованием теоремы о площади
ортогональной проекции многоугольника.

3. Подведение итогов урока.

Ход урока.

1. Актуализация опорных знаний.

Вспомним теорему о площади ортогональной
проекции многоугольника: площадь
ортогональной проекции многоугольника на
плоскость равна произведению его площади на
косинус угла между плоскостью многоугольника и
плоскостью проекции.

2. Решение задач.

Задача 1.

ABCD – правильная треугольная пирамида со
стороной основания AB равной а и высотой DH
равной h. Постройте сечение пирамиды
плоскостью, проходящей через точки D, C и М, где М –
середина стороны АВ, и найдите его площадь (рис.7).

Решение.

Сечением пирамиды является треугольник MCD.
Найдем его площадь.

1. Так как основание пирамиды – равносторонний
   треугольник и точка М – середина стороны, то СМ
   является высотой и тогда, СМ = .




2. Площадь треугольника можно найти:

S = 1/2 · DH · CM = 1/2 · =

Рис.7

Задача 2.

Найти площадь сечения куба ABCDA₁B₁C₁D₁
с ребром а плоскостью, проходящей через
вершину D и точки Е и F на ребрах А₁D₁ и C₁D₁
соответственно, если A₁E = k · D₁E и C₁F
= k · D₁F.

Решение.

Построение сечения:

1. Поскольку точки Е и F принадлежат плоскости
   сечения и плоскости грани A₁B₁C₁D₁,
   а две плоскости пересекаются по прямой, то прямая
   EF будет являться следом секущей плоскости на
   плоскость грани A₁B₁C₁D₁
   (рис.8).
2. Аналогично получаются прямые ED и FD.
3. EDF – искомое сечение.

Рис.8.

Задача 3 (для самостоятельного решения).

Построить сечение куба ABCDA₁B₁C₁D₁
со стороной а плоскостью, проходящей через
точки B, M и N, где Ь – середина ребра АА₁, а N –
середина ребра СС₁.

Решение.

Сечение строим методом следов.

Площадь сечения находим с помощью теоремы о
площади ортогональной проекции многоугольника.
Ответ: S = 1/2 · a².