Как найти угол у прямоугольника 8класс

Прямоугольник и его свойства с определением и примерами решения

Прямоугольник – плоская четырёхугольная геометрическая фигура. Прямоугольник относится к
параллелограммам и обладает некоторыми свойствами:

• Все внутренние углы фигуры прямые.
• Противолежащие стороны попарно параллельны и равны.
• Диагонали прямоугольника (отрезок, соединяющий вершины противоположных внутренних углов) равны.
  Точка пересечения делит их на равные отрезки.
• Диагональ делит фигуру на 2 одинаковых прямоугольных треугольника.
• Диагональ делит внутренний угол (90°) на 2 угла. Накрест лежащие углы при проведенном отрезке
  равны.

Острый угол между диагоналями прямоугольника через площадь и диагональ

Острый угол (a) между диагоналями, зная площадь (S) и длину диагонали (d) легко можно вычислить по
формуле:

sin a = (2 * S) / d²

где d — диагональ, S — площадь прямоугольника.

Через синус находится значение угла. По этой формуле также можно найти тупой угол между диагоналями,
так как 2 данных угла являются смежными, а синусы смежных углов равны.

Пример. Дан прямоугольник, площадь которого равна 108 см², а диагональ – 15 см.
Нужно найти острый угол между диагоналями. Необходимые значения подставляем в формулу sin a = (2 * S) / d² = (2 * 108) / 225 = 0,96. По значению синуса
находится величина острого угла между диагоналями. В данном случае она равна 73,73°.

Угол между диагоналями прямоугольника через угол между стороной и диагональю

Величина нужного угла (α) в два раза больше угла (β) между стороной и диагональю по свойству углов
равнобедренного треугольника, так как диагонали при пересечении образуют 4 равнобедренных
треугольника. В равнобедренном треугольнике углы при основании (b) равны, а нужный угол является
смежным по отношению к углу при вершине (c), в таком случае c = 180 — α. Сумма углов
треугольника равна 180°. Несложно составить уравнение β+β+180-α=180, которое легко сокращается до
вида

β = 2 * α

где α — угол между стороной и диагональю.

Пример. Пусть угол α = 15 (он может быть от 0 до 90º), тогда β = 2 * α = 2 * 15 = 30º

Острый угол между диагоналями прямоугольника через длину и ширину

Если в задаче неизвестна длина диагонали, не нужно тратить время на ее поиски. Можно быстро найти
острый угол между диагоналями при помощи длины и ширины прямоугольника по формуле:

α = 2 arctg b / a

где b — ширина прямоугольника, a — длина прямоугольника.

Пример. Дан прямоугольник со сторонами 8 см и 6 см. Нужно построить диагонали и
найти острый угол между ними. Угол α = 2 arctg 6 / 8 = 2 arctg 0,75=73,73°.

Острый угол между диагоналями прямоугольника через ширину и диагональ

Значение нужного угла можно определить, зная длину диагонали и ширины (B) четырёхугольника, по
формуле:

α = 2 arcsin b / d

где b — ширина прямоугольника, d — диагональ.

Пример. Рассмотрим применение формулы в конкретной задаче. Дан прямоугольник, ширина
которого равна 3 мм, а длина диагонали – 5 мм. Необходимо найти острый угол между
диагоналями. Применив данную формулу, находим значение нужного угла: a = 2 * arcsin 0,6 = 73,73°.

Острый угол между диагоналями прямоугольника через длину и диагональ

Если неизвестна ширина прямоугольника, но есть значение длины (a), можно также просто найти острый
угол между диагоналями. Формула почти идентична предыдущей:

α = 2 arccos a / d

где a — длина прямоугольника, d — диагональ.

Пример. В прямоугольнике с длиной 8 см, в котором проведены диагонали длиной 10 см,
найти острый угол между диагоналями. Угол α = 2arccos 8 / 10 = 2arccos 0,8 = 73,73°.

Тупой угол между диагоналями прямоугольника через ширину и диагональ

Для того чтобы быстро вычислить значение данного угла при помощи известной ширины и диагонали
прямоугольника, нужно воспользоваться следующей формулой:

β = 2 arccos b / d

где b — ширина прямоугольника, d — диагональ.

Пример. Известна ширина прямоугольника, она равна 8 мм. А длина диагонали равна 17
мм. Задача найти значение тупого угла между диагоналями.
Вставив данные в формулу, вы получите
правильный результат. Таким образом, β = 2 arccos 8 / 17 = 2 arccos 0,47 = 123,85°.

Тупой угол между диагоналями прямоугольника через длину и диагональ

Можно, конечно, применить предыдущую формулу и найти острый угол через длину и диагональ, а потом
вычесть значение из 180°. Но есть упрощенная формула для быстрой скорости решения: тупой угол между
диагоналями

β = 2 arcsin a / d

где a — длина прямоугольника, d — диагональ.

Пример. Дан прямоугольник с длиной равной 20 см, в котором проведены диагонали
длиной 25 см. Чтобы найти нужную величину, подставляем значения в формулу: β = 2 arcsin 20 / 25 = 2 arcsin 0,8 = 106°.

Тупой угол между диагоналями прямоугольника через длину и ширину

Формула для определения тупого угла между диагоналями прямоугольника через известные значения длины и
ширины такова:

β = 2 arctg a / b

где a — длина прямоугольника, b — ширина прямоугольника.

Пример. Дан прямоугольник со сторонами 15 см и 8 см. Вычислим значение тупого угла,
подставив данные в формулу: β = 2arctg 15 / 8 = 2 arctg 0,5= 123,85°.

Стоит отметить, что при использовании указанных в статье правил нужно владеть знаниями о
тригонометрических функциях. Для того чтобы быстро определять углы, образованные пересечением
диагоналей прямоугольника, поможет именно данный список формул, которые необходимо знать наизусть.
Если на решение задач по геометрии дается небольшой промежуток времени, к примеру, контрольная или
экзамен, лучше отложить сложные алгоритмы и воспользоваться упрощенными формулами.

Параллелограмм относится к выпуклым четырехугольным геометрическим фигурам. Его основные
отличительные признаки от других фигур: равные и попарно параллельные противоположные стороны,
равные противолежащие углы. Диагонали фигуры всегда делятся точкой пересечения на равные отрезки, а
также они делят параллелограмм на 2 одинаковых треугольника. Еще одним главным свойством
четырёхугольника является то, что сумма квадратов диагоналей равна двум суммам квадратов смежных
сторон параллелограмма.

Биссектрисы внутренних углов данного четырёхугольника всегда отсекают от него равнобедренный
треугольник, а также они равны между собой. Сумма углов параллелограмма равна 360°, как и у других
четырёхугольников.
К параллелограммам относятся: квадрат (четырёхугольник с равными сторонами и
равными прямыми внутренними углами), прямоугольники и ромбы (параллелограмм с равными сторонами).
Эти фигуры часто встречаются в школьной программе на уроках геометрии.

Для чего необходимо вычисление угла между диагоналями параллелограмма

• Для нахождения сторон четырёхугольника (длины и ширины).
• Для нахождения площади и периметра фигуры.
• Для нахождения углов между стороной и диагональю.
• Для нахождения длины диагонали.

Знание свойств геометрических фигур помогает справиться с задачей любой сложности. Постоянная
практика с использованием формул способствует быстрому запоминанию информации, помогает проработать
маршруты и теоремы, которые западают.

Прямоугольник часто встречается в решении задач по геометрии. Важно знать все его свойства и уметь
пользоваться правилами и теоремами для успешного нахождения результата. Упрощенные формулы и
несколько конкретных примеров помогут определить правильный алгоритм решения и быстро найти
ответ.

План урока:

Угол. Виды углов: прямой, тупой, острый

Прямоугольник. Свойство противоположных сторон прямоугольника

Квадрат

Построение прямого угла, прямоугольника, квадрата на бумаге в клетку

Здравствуйте, дорогие ребята!

Приглашаем вас в сказочную страну Геометрию.

Жил-был король Луч. Была у короля маленькая, смешная и забавная дочка Точка. Отец очень любил и баловал принцессу и никогда не наказывал: не ставил в угол за ее шалости.

Угол. Виды углов: прямой, тупой, острый

Ребята, а вы знаете, что такое угол? Какие бывают углы?

Давайте вместе начертим угол. Сначала поставим точку. Затем проведем из этой точки 2 луча. Например, так:

Лучи – это стороны угла. А точка, из которой мы проводили лучи – вершина угла.

Углы бывают прямые, острые и тупые. Острым углом назовем тот, который меньше прямого, а тупым углом – тот, который больше прямого угла.

Изготовим модель прямого угла из кусочка бумаги.

Можно в качестве модели прямого угла использовать угольник. У него обязательно есть один прямой угол.

Ребята, помогите принцессе Точке определить, какие углы являются прямыми, а какие тупыми и острыми! Сосчитайте, сколько на этом чертеже прямых, острых, тупых углов.

Проверь себя!

Прямых – 6 углов, острых – 4 угла, тупых – 2 угла.

Король Луч решил построить для принцессы Точки игровую площадку. Он долго размышлял, чертил на песке разные фигуры. Посмотрите, после дождя остались лишь очертания. Назовите одним словом, что это?

Верно, это углы. Запишите номера углов в 3 столбика: острые, тупые, прямые.

Проверь себя.

Прямоугольник. Свойства противоположных сторон прямоугольника

Ребята, посмотрите на дворец короля и принцессы. Из каких геометрических фигур он состоит?

Давайте сосчитаем все прямоугольники, квадраты, треугольники и круги.

Прямоугольники – 3.

Квадраты – 5.

Треугольники – 3.

Круги – 5.

Найдите среди этих фигур четырехугольники, у которых все углы прямые. Воспользуйтесь моделью прямого угла, которую мы с вами изготовили.

Проверь себя.

Прямоугольники: 1, 3, 5.

Ребята, у принцессы Точки есть для вас вопросы о прямоугольнике. Попробуйте на них ответить.

Вопрос 1. Равны ли у прямоугольника противоположные стороны (они лежат напротив друг друга)?

На чертеже противоположные стороны обозначены одинаковым цветом.

Вопрос 2. Все ли углы прямые у прямоугольника?

Вопрос 3. Могут ли все стороны прямоугольника, а не только противоположные, быть одинаковыми? Например, так:

Подумайте! Возьмите любой прямоугольник, измерьте линейкой стороны фигуры, с помощью модели прямого угла или угольника проверьте углы.

Сравните свои выводы с правильными ответами.

Ответ 1. Противоположные стороны равны.

Ответ 2. Все углы прямые.

Ответ 3.Все стороны прямоугольника могут быть одинаковыми.

Молодцы! Не огорчайтесь, если не все выводы совпали с правильными ответами. Давайте еще раз повторим о прямоугольнике все, что узнали.

 

Квадрат

Ребята, отвечая на вопрос принцессы Точки, мы сделали вывод о том, что у прямоугольника все стороны могут быть одинаковой длины. Такой прямоугольник будет называться квадратом.

Задача на смекалку от короля. Помогите принцессе Точке ее решить.

Начерти прямоугольник со сторонами 5 см и 4 см. Сделай из него квадрат! Подсказка: «Можно сделать двумя способами: добавить, убрать».

Проверь себя.

Принцесса отлично справилась с задачей. А теперь попробуйте вы самостоятельно выполнить следующее задание.

Найдите среди этих прямоугольников квадраты. Запишите их номера.

Проверь себя.

Квадраты: 1,3.

Поиграем вместе с принцессой Точкой. Она выложила из счетных палочек такую фигуру:

Сколько квадратов вы видите? Уберите одну палочку так, чтобы осталось два квадрата. Сделать это можно разными способами. Какие еще фигуры, кроме двух квадратов, у вас получились?

Проверь себя.

Кроме двух квадратов, на каждом рисунке есть прямоугольник.

Построение прямого угла, прямоугольника, квадрата на клетчатой бумаге

Как вы заметили, король Луч и принцесса Точка любят чертить. Они приглашают нас, ребята, поучаствовать в этом увлекательном занятии. Вооружитесь тетрадью в клеточку, простым карандашом, угольником.

Задание: построить на бумаге в клеточку прямой угол, прямоугольник со сторонами 6 см и 3 см, квадрат со стороной 7 см.

Посмотрите, как получилось у принцессы. Сравните со своими чертежами. 

Ставим точку. Откладываем два луча при помощи угольника или линейки.

Ставим точку. Вверх – 3 см, вправо – 6 см. Помним, что противоположные прямоугольника стороны равны. Чертим их – 6 см и 3 см.

Квадрат

А это тетрадь короля. Он чертил квадрат. Сравните со своим чертежом.

Ставим точку. Помним, что у квадрата все стороны равны. Откладываем вверх 7 см, вправо – 7 см. Чертим противоположные стороны по 7 см.

Молодцы, здорово получилось! Если такое занятие было для вас интересным и увлекательным, попробуйте начертить прямой угол, прямоугольник и квадрат на нелинованной бумаге. Сделать это будет гораздо сложнее. Здесь на помощь придет угольник: проверять прямой угол. Можно воспользоваться моделью прямого угла, которую мы изготовили.

Посмотрите, как это получилось у короля и Точки.

После нелегкого занятия король Луч и его дочка присели отдохнуть. Принцесса попросила рассказать интересную сказку. Давайте и мы послушаем!

Сказка

Жил-был на свете Прямоугольник. Фигура важная, спору нет! Люди ценили и уважали Прямоугольника, потому что при изготовлении многих вещей использовали эту фигуру. Всё хорошо у Прямоугольника, но одиноко как-то. Решил он найти своих родственников. Думает: «Если встречу родственников, сразу узнаю, потому что на меня должны быть похожи!».

Однажды встретил Прямоугольник Квадрата и говорит: «Как тебя зовут? Очень ты, брат, на меня похож!». Отвечает Квадрат: «Если найдем  не меньше четырех общих признака, значит, родственники». Стали они друг друга рассматривать и обнаружили четыре сходства:

У каждого было по 4 угла, да все прямые, по 4 стороны, да стороны, которые одна напротив другой – одинаковой длины.

Обрадовались родственники, что нашли друг друга. Поспешили вместе отправиться дальше. Встретили однажды Четырехугольника и спрашивают: «Похож ты на нас. Уж не родня ли?».

Говорит им Четырехугольник: «Я был бы очень рад! Если найдем хотя бы два сходства, значит, родственники». Стали опять внимательно друг к другу приглядываться и увидели два общих признака:

1. 4 угла.
2. 4 стороны.

Обрадовались фигуры и решили не терять друг друга, держаться всегда рядом.

Понравилась вам сказка? Давайте повторим о фигурах все, что узнали. 

В сказочное королевство Геометрия мы вернемся еще не раз. А этот урок подошел к концу. Выберите смайлик вашего настроения.

До скорой встречи в королевстве Геометрия! А сейчас проверьте свои знания. Принцесса Точка справилась с заданиями хорошо, допустила одну небольшую ошибку. Будьте внимательны, не спешите!

Прямоугольник.

   
Приступаем к изучению разных видов параллелограмма.  

Определение. Прямоугольником
называется параллелограмм, у которого все углы прямые.

 

        — прямоугольник

     Поскольку прямоугольник – это
параллелограмм, то он обладаем теми же свойствами, что и параллелограмм. Кроме
того, у него есть ещё свои, особые свойства.

Рассмотрим эти свойства.

ТЕОРЕМА (СВОЙСТВО I).
У прямоугольника диагонали равны.

                                          
Дано:   – прямоугольник,

                                                      
 и  – диагонали.

                                 
Доказать:   

Доказательство.

1.
Рассмотрим  и .

     по признаку равенства
прямоугольных треугольников (или по I
признаку равенства треугольников) все соответствующие стороны
и углы у этих треугольников равны, т.е. , ч.т.д.

ТЕОРЕМА (СВОЙСТВО II).
У прямоугольника каждая диагональ делит его на два равных
прямоугольных треугольника.

                                          
Дано:   – прямоугольник,

                                                      
 – диагональ.

                                 
Доказать:   

Доказательство.

Рассмотрим
 и .

 по III
признаку равенства треугольников.  по определению
прямоугольника. Значит, треугольники   и  – равные и прямоугольные,
ч.т.д.

Итак, прямоугольник обладает следующими свойствами:

1.      У
прямоугольника противолежащие стороны и углы равны.

2.      У
прямоугольника диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

3.      У
прямоугольника диагонали равны.

4.      У
прямоугольника каждая диагональ делит его на два равных прямоугольных
треугольника.

5.      Стороны
прямоугольника являются его высотами.

Выясним теперь, по
каким признакам можно утверждать, что геометрическая фигура является
прямоугольником.

ТЕОРЕМА (ПРИЗНАК I).
Если у четырёхугольника три угла прямые, то такой
четырёхугольник является прямоугольником.

                            
Дано:  – четырёхугольник,

                                      

                   
Доказать:  – прямоугольник.

Доказательство.

Данный
четырёхугольник будет прямоугольником, если мы докажем, что четвёртый угол
также равен .

1.
Так как , то . Так как , то .

2.     по  признаку параллельности прямых.

3. 
 по  признаку параллельности прямых.

4.
Значит,  – параллелограмм
(по определению). По свойству углов параллелограмма, .

5.
Итак,  – параллелограмм,
у которого все углы прямые. По определению, такой параллелограмм является
прямоугольником, ч.т.д.

 ТЕОРЕМА
(ПРИЗНАК II). Если
у параллелограмма диагонали равны, то такой параллелограмм  является
прямоугольником.

                            
Дано:  – параллелограмм,

                                   
     – диагонали.

                   
Доказать:  – прямоугольник.

Доказательство.

Данный
параллелограмм будет прямоугольником, если мы докажем, что у него все  углы равны
.

1. Рассмотрим  и .

     по III
признаку равенства прямоугольных треугольников, следовательно, .

2. Так как  – параллелограмм, то у него
стороны попарно параллельны, т.е. .  и  – внутренние односторонние
при параллельных прямых, значит, по свойству параллельных прямых, . Учитывая доказанное
равенство этих углов, получаем, что .

3. По свойству углов параллелограмма,   и .

4. Итак, у параллелограмма  все углы прямые, значит, он
является прямоугольником (по определению), ч.т.д.

 ТЕОРЕМА
(ПРИЗНАК III). Если
у параллелограмма один угол прямой, то такой параллелограмм  является
прямоугольником.

                            
Дано:  – параллелограмм,

                                   
    .

                   
Доказать:  – прямоугольник.

Доказательство.

Данный
параллелограмм будет прямоугольником, если мы докажем, что у него все  углы
равны .

1. Т.к.
 – параллелограмм, то по
определению, т.е.  и .

По свойству углов параллелограмма, .

2.  и  – внутренние односторонние
при параллельных прямых, значит, по свойству параллельных прямых, .

3. Т.к. , то .

4. Итак, , значит, по определению,
параллелограмм  является прямоугольником,
ч.т.д.

1. Периметр прямоугольника
равен  см, а одна из его сторон
меньше другой на  см. Найдите меньшую сторону
прямоугольника.

2. В прямоугольнике один
из углов, образованных диагоналями, равен . Меньшая сторона
прямоугольника равна  см. Найдите диагональ
прямоугольника.

3. В прямоугольнике
перпендикуляры, проведённые из точки пересечения диагоналей к его сторонам,
равны соответственно  см и  см. Найдите периметр
прямоугольника.

4.

В прямоугольнике  диагональ  составляет со стороной  угол, равный . Найдите больший угол между
диагоналями прямоугольника.

5. В прямоугольнике один
из углов, образованных диагоналями, равен . Диагонали прямоугольника
равны  см. Найдите меньшую сторону
прямоугольника.

6. В прямоугольнике  диагонали пересекаются в
точке . Точка  – середина стороны . Найдите .

7. В прямоугольнике  диагонали пересекаются в
точке . Отрезок  является высотой треугольника
. Найдите .

8. В параллелограмме  с острым углом  диагонали пересекаются в
точке . На отрезках  и  взяты точки  и  соответственно, . Докажите, что
четырёхугольник  является прямоугольником.

9. В прямоугольнике    – точка пересечения
диагоналей,  и  – высоты треугольников  и  соответственно,  см. Найдите .

10. В четырёхугольнике  диагонали пересекаются в
точке . Найдите .

11. В прямоугольнике    – точка пересечения
диагоналей,  и  – перпендикуляры, проведённые
из вершин  и  к прямой . Известно, что . Найдите .

12. В четырёхугольнике  диагонали пересекаются в
точке , . Найдите .

13. В прямоугольнике  точки  и  – середины сторон  и  соответственно. На прямой  взята точка , на прямой  – точка . Известно, что . Найдите отношение сторон .

14. На основании  равнобедренного треугольника  взята точка , а на сторонах  и  – соответственно точки  и , . Найдите .

15. В прямоугольнике    – точка пересечения
диагоналей. Точки  и  – середины сторон  и  соответственно. Точка  делит отрезок  в отношении , считая от точки  Найдите отношение .

16. Некая прямая,
параллельная основанию  равнобедренного треугольника , пересекает стороны  и  в отношении , считая от точки . Найдите .

17. На диагонали  прямоугольника  взята точка . Известно, что . Докажите, что .

18. Дан параллелограмм  с острым углом . На отрезке , как на диаметре построена
окружность, которая пересекает луч  в точке , лежащей вне параллелограмма.
. Найдите расстояние между
прямыми  и , если  см.

19. На отрезках  и  в прямоугольнике  взяты точки  и  соответственно, . Докажите, что .

20. Дан параллелограмм  с тупым углом . На диагонали , как на диаметре, построена
окружность, пересекающая отрезок  в точке  – перпендикуляр к прямой . Найдите , если  см.

21. Биссектриса одного из
углов прямоугольника делит пересекаемую ею сторону на отрезки равной длины.
Найдите периметр этого прямоугольника, если длина меньшей стороны
прямоугольника равна  см.

22. Периметр прямоугольника
равен  см. Найдите сумму расстояний
от произвольной внутренней точки прямоугольника до его сторон.

23. Постройте
прямоугольник:

а)     
по двум сторонам, имеющим общую вершину;

б)     
по стороне и диагонали;

в)     
по диагонали и углу между диагоналями;

г)     
по диагонали и сумме прилежащих сторон.

24. Диагональ  прямоугольника  равна  см. Найдите медиану
треугольника , проведённую к его большей
стороне.

25. Найдите острый угол
между диагоналями прямоугольника, если одна из них делит угол при вершине
прямоугольника в отношении .

26. Периметр прямоугольника
равен  см. Найдите стороны
прямоугольника, если одна из них в  раз больше другой.

27. Периметр прямоугольника
равен  см. Найдите его стороны, если
одна из них на  см меньше другой.

28. Диагонали
прямоугольника  пересекаются в точке . Найдите угол между
диагоналями, если .

29. В прямоугольнике  проведена диагональ . Известно, что  в 2 раза больше, чем . Чему равны эти углы?

30. Одна из сторон
прямоугольника на  см больше другой. Найдите
стороны прямоугольника, если его периметр равен  см.

31. Меньшая сторона
прямоугольника  см, угол между диагоналями
равен . Найдите диагонали
прямоугольника.

32. Дан прямоугольник  – точка пересечения его
диагоналей. Докажите, что  и  – равные равнобедренные
треугольники.

33. Найдите диагонали
прямоугольника, если его периметр равен  см, а периметр одного из
треугольников, на которые диагональ разделила прямоугольник, равен  см.

34. Докажите, что отрезок,
соединяющий точку пересечения диагоналей прямоугольника с серединой стороны,
перпендикулярен этой стороне.

35. В прямоугольнике  диагональ  в  раз больше стороны . Периметр треугольника  равен  см ( – точка пересечения
диагоналей). Найдите длину диагонали .

36. Из точки , взятой на стороне  прямоугольника , опущен перпендикуляр  на сторону . Докажите, что
четырёхугольник  – прямоугольник.

37. Диагонали
прямоугольника  пересекаются в точке , его диагональ  равна  см. Найдите длины отрезков  и
.

38. Диагонали
прямоугольника  пересекаются в точке . Докажите, что .

39. Диагонали
прямоугольника  пересекаются в точке . Найдите стороны
прямоугольника, если его периметр равен  см, а периметры треугольников
 и  равны  см и  см соответственно.

40. Дан прямоугольник  – точка пересечения его
диагоналей. Найдите периметр треугольника , если

41. Диагонали
прямоугольника  пересекаются в точке . Найдите периметр
треугольника , если .

42. Диагонали
прямоугольника  пересекаются в точке . Найдите периметр
треугольника , если .

43. Диагонали
прямоугольника  пересекаются в точке . Найдите периметр
треугольника , если .

44. Диагонали
прямоугольника  пересекаются в точке , сторона  равна  см, диагональ   равна  см. Определите вид
треугольника  (ответ обоснуйте) и найдите
его периметр.

45. В прямоугольнике  биссектриса угла  пересекает сторону  в точке . Докажите, что треугольник  – равнобедренный.

46. В прямоугольнике  диагональ  делит угол  в отношении . Найдите углы треугольника  ( – точка пересечения
диагоналей).

47. Найдите диагональ
прямоугольника, если его периметр равен  см, а периметр одного из
треугольников, на которые диагональ делит прямоугольник, равен  см.

48.

В прямоугольнике  проведена биссектриса угла . Найдите периметр
прямоугольника, если  см,  см.

49. Расстояния от точки
пересечения диагоналей прямоугольника до его сторон равны  см и  см. Найдите большую сторону
данного прямоугольника.

50. Диагонали
прямоугольника пересекаются под углом . Найдите угол между
диагональю прямоугольника и его меньшей стороной.

51. В прямоугольнике  диагональ  в два раза больше стороны . Найдите периметр
треугольника , если расстояние от точки  пересечения диагоналей
прямоугольника до стороны  равно  см.

52. Диагонали
прямоугольника  пересекаются в точке , образуя тупой угол . Определите, какое расстояние
больше: от точки  до стороны  или от точки  до стороны .

53.

В прямоугольном треугольнике  ( – прямой) через точку , лежащую на гипотенузе,
проведены прямые  и , параллельные катетам  и  соответственно. Периметр
треугольника  равен  см, а периметр треугольника  равен  см. Найдите периметр
треугольника .

54. На стороне  равностороннего треугольника  взята точка  так, что сумма расстояний от
неё до сторон  и  равна  см. Найдите высоту
треугольника, проведённую из вершины .

55. Периметр прямоугольника
 равен  см, а его диагональ  равна  см. Найдите периметр
треугольника .

56.

Найдите периметр прямоугольника , если биссектрисы  и  углов  и  делят сторону  на три отрезка, длина каждого
из которых равна  см.

57. Точка пересечения
диагоналей прямоугольника отстоит от его сторон на расстояниях  см и  см. Найдите меньшую сторону
данного прямоугольника.

58. В прямоугольнике  диагональ  в два раза больше стороны . Найдите острый угол между
диагоналями прямоугольника.

59. Меньшая сторона
прямоугольника равна  см. Угол между его
диагоналями равен . Вычислите длину диагонали
прямоугольника.

60. Диагонали
прямоугольника  пересекаются в точке . Определите, какое расстояние
больше: от точки до стороны  или от точки  до стороны , если сторона  больше стороны .

61.

В прямоугольнике  через точку  проведены прямая , параллельная сторонам  и , и прямая , параллельная сторонами  и . Периметр прямоугольника  равен  см, а периметр прямоугольника
 равен  см. Найдите периметр
прямоугольника .

62. На продолжении стороны  равностороннего треугольника  взята точка  так, что разность расстояний
от неё до сторон  и  равна  см. Найдите высоту
треугольника, проведённую из вершины .

63. Диагонали
прямоугольника  пересекаются в точке . Периметр треугольника  равен  см, а периметр треугольника  равен  см. Найдите периметр
треугольника , если диагональ
прямоугольника равна  см.

64.

Найдите периметр прямоугольника , если биссектрисы  и  углов  и  делят сторону  на три отрезка, длина каждого
из которых равна  см.

65. Сумма расстояний от
точки пересечения диагоналей прямоугольника до всех его вершин равна  см. Найдите диагональ данного
прямоугольника.

66. Диагональ  прямоугольника  образует угол  с одной из его сторон.
Найдите острый угол между диагоналями прямоугольника.

67. Диагональ
прямоугольника равна  см. Угол между его
диагоналями равен . Вычислите длину меньшей
стороны прямоугольника.

68. Диагонали
прямоугольника  пересекаются в точке , образуя острый угол . Определите, какое расстояние
больше: от точки  до стороны  или от точки  до стороны .

69.

В прямоугольном равнобедренном треугольнике  ( – прямой) через точки  и , лежащие на гипотенузе,
проведены прямые  и , параллельные катету , и прямые  и , параллельные катету . Сравните периметры
четырёхугольников  и .

70. На основании  равнобедренного треугольника  взята точка  так, что сумма расстояний от
неё до сторон  и  равна  см. Найдите высоту
треугольника, проведённую из вершины .

71. Диагонали
прямоугольника  пересекаются в точке . Периметр треугольника  равен  см, а сторона  равна  см. Найдите периметр
треугольника .

72.

Биссектрисы углов  и  прямоугольника  пересекаются на стороне  в точке . Найдите периметр прямоугольника,
если длина  равна  см.

73. Сумма расстояний от
точки пересечения диагоналей прямоугольника до всех его сторон равна  см. Найдите периметр данного
прямоугольника.

74. Угол  между диагоналями
прямоугольника  равен . Найдите угол .

75. В прямоугольнике  сторона  в два раза меньше диагонали . Найдите расстояние от точки  пересечения диагоналей
прямоугольника до стороны , если периметр треугольника  равен  см.

76. Диагонали
прямоугольника  пересекаются в точке . Определите, какое расстояние
больше: от точки  до стороны  или от точки  до стороны , если сторона  меньше стороны .

77.

В прямоугольном равнобедренном треугольнике  ( – прямой) через точку , лежащую на гипотенузе,
проведены прямые  и , параллельные катетам  и  соответственно. Найдите
периметр прямоугольника , если катет треугольника  равен  см.

78. На
продолжении основания  равнобедренного треугольника  взята точка  так, что разность расстояний
от неё до сторон  и  равна  см. Найдите высоту
треугольника, проведённую из вершины .

79. В
прямоугольнике  проведена диагональ . Перпендикуляр к диагонали  составляет со стороной  угол, равный  и отсекает от диагонали
отрезок , равный  см. Найдите периметр
прямоугольника, если сторона  см.

80. Дан прямоугольник  со стороной . К диагонали  проведён перпендикуляр . Найдите периметр
прямоугольника, если диагональ  составляет со стороной  угол, равный .

81.

В прямоугольнике    – точка пересечения его
диагоналей. Из точки  к серединам сторон  и  проведены отрезки   и  соответственно. Найдите
периметр прямоугольника.

82.

Биссектриса  угла  прямоугольника  отсекает от стороны  отрезки  и . Найдите периметр
прямоугольника.

83. В прямоугольнике  проведена биссектриса  угла . Найдите .

84. В прямоугольнике  диагональ  составляет с его меньшей
стороной угол . Найдите углы  и .

85. В прямоугольнике  диагонали пересекаются в
точке . Найдите  и меньший угол между
диагоналями, если известно, что .

86.

Диагонали прямоугольника  пересекаются в точке . Меньший угол между
диагоналями равен . Найдите углы треугольника , если известно, что .

87. В прямоугольнике  диагонали пересекаются в
точке . Известно, что  . Найдите эти углы.

88.  В прямоугольнике . Найдите стороны
прямоугольника, если его периметр равен .

89. В прямоугольнике  из угла  проведён луч, который
пересекает сторону  в точке  так, что  и . Найдите стороны прямоугольника,
если известно, что периметр его равен .

90. Диагональ  прямоугольника  составляет со стороной  угол, равный . Перпендикуляр, опущенный из
вершины  на эту диагональ отсекает от
неё отрезок . Периметр данного
прямоугольника равен . Найдите стороны

прямоугольника.

91.

Из вершины  прямоугольника , с периметром , проведён луч, который
пересекает сторону  под углом . Разность отсекаемых отрезков
равна . Найдите стороны
прямоугольника.