Как найти угол в прямой прямоугольной призме

Призма является одной из совершенных объемных фигур, наряду с шаром, цилиндром и пирамидой, свойства которой рассматриваются в специальном разделе геометрии – стереометрии. В данной статье обсудим основные характеристики прямоугольной призмы.

Фигура призма

Многие знают про треугольные призмы или шестиугольные, но не каждый человек четко представляет, что это за фигура в общем виде. В геометрии под ней понимают пространственный объект, который ограничен двумя одинаковыми многоугольниками и несколькими четырехугольниками. Два многоугольника называются основаниями призмы. Они лежат в параллельных плоскостях. Все четырехугольники являются параллелограммами и образуют боковую поверхность фигуры.

Основные формулы и свойства призмы касаются вопросов определения объема, площади ее поверхности и числа образующих фигуру элементов. В состав последних входят вершины, ребра и грани. Количества этих элементов связаны друг с другом выражением Эйлера для полиэдров. Оно имеет следующий вид:

Число ребер = число граней + число вершин — 2

Поскольку боковая поверхность призмы представлена всегда параллелограммами, то основные ее характеристики зависят от типа многоугольника, лежащего в основаниях этой фигуры. Если многоугольником является треугольник, то призма называется треугольной, если четырехугольник – то четырехугольной и так далее.

Прямоугольная призма

Если угол между каждой боковой стороной призмы и ее основанием равен 90^o, то такая фигура называется прямоугольной. Заметим, что речь идет об угле между сторонами, а не между ребрами. Часто такую фигуру называют прямой призмой.

Когда отмеченный угол равен 90^o, то все параллелограммы автоматически становятся прямоугольниками. Это еще одна причина, почему эту призму называют прямоугольной. На рисунке ниже показано, как выглядит прямоугольная призма.

Здесь мы видим, что каждая из трех призм отличается от остальных типом многоугольника, лежащего в основании фигуры. На рисунке приведены треугольная, четырехугольная и пятиугольная призмы. Количество прямоугольников для каждой из них равно 3, 4 и 5 соответственно.

Важным свойством прямоугольной призмы, которое отличает ее от косоугольной, является тот факт, что длина ее бокового ребра совпадает с высотой фигуры. Это свойство оказывается очень удобным при вычислении площади ее поверхности и объема.

Правильная призма

Всякая прямая призма, в основании которой лежит правильный многоугольник, называется правильной. Указанный многоугольник должен иметь одинаковые длины всех сторон и равные углы. Таким прямоугольником является равносторонний треугольник, квадрат, пентагон и так далее.

На рисунке ниже изображены две призмы. Левая из них является правильной, поскольку в ее основании находится квадрат и она прямая. Правая же, несмотря на то, что прямая, правильной не является, поскольку ее основание – это произвольный четырехугольник.

Единственной правильной призмой, которая имеет собственное название, является куб. Он получается, когда высота фигуры совпадает с длиной стороны квадрата, находящегося в основании.

Поскольку площадь для правильного многоугольника вычислить легко, то для любой правильной призмы известны формулы площади ее поверхности и объема.

Площадь правильного многоугольника

Перед тем как приводить формулы площади поверхности и объема призмы прямоугольной, рассмотрим правильный многоугольник.

Ниже на рисунке изображен набор правильных многоугольников, за исключением круга.

Видно, что для каждого из них число сторон совпадает с количеством углов. Более того, все стороны и углы являются одинаковыми. Эти свойства позволяют привести формулу, которая является универсальной для всех правильных многоугольников и позволяет вычислить их площадь. Формула имеет вид:

S_n = n/4*a²*ctg(pi/n)

Где a – длина стороны, n – количество сторон (вершин) фигуры. Символом ctg обозначается тригонометрическая функция котангенс.

Покажем, как пользоваться этим выражением. Например, вычислим площадь равностороннего треугольника. Для него n = 3, тогда:

S₃ = 3/4*a²*ctg(pi/3) = 3/4*a²*1/√3 = √3/4*a²

Теперь воспользуемся этой формулой для квадрата. Имеем:

S₄ = 4/4*a²*ctg(pi/4) = a²*1 = a²

То есть мы получили всем известное выражение для площади квадрата.

Поверхность призмы

Когда давалось геометрическое определение рассматриваемой фигуры, было показано, что она состоит из двух оснований и некоторого числа параллелограммов. Это число в точности равно количеству сторон многоугольника в основании. Площадь поверхности рассматриваемой фигуры принято записывать следующей формулой:

S = 2*S_o + S_b

Где S_o – основания площадь, S_b – боковой поверхности. Поскольку последняя состоит из n параллелограммов, то ее величина равна сумме их площадей.

В случае правильной прямой призмы боковая поверхность будет образована прямоугольниками со сторонами a и h, где a – длина стороны основания, h – высота призмы. Для случая n правильного угольника, получаем формулу для площади S_tot призмы:

S_tot = n/2*a²*ctg(pi/n) + n*a*h

Ниже приведен рисунок, демонстрирующий развертку шестиугольной призмы.

Видно, что фигура образована двумя правильными шестиугольниками и шестью одинаковыми прямоугольниками, одна сторона которых равна стороне шестиугольника. Применяя выражение выше для этой призмы, получим:

S⁶_tot = 6/2*a²*ctg(pi/6) + 6*a*h = 3*a*(√3*a+2*h)

Формула объема

Объем призмы в общем случае вычисляется по следующей простой формуле:

V = S_o*h

Для прямоугольной фигуры высота является ее ребром, поэтому это выражение применять оказывается просто. Например, рассчитаем объем для треугольной правильной призмы. Выше уже была рассчитана площадь ее основания, она равна:

S₃ = √3/4*a²

Тогда значение объема для фигуры будет следующим:

V = S₃*h = √3/4*a²*h

Приведенные формулы для прямой призмы с правильным многоугольником в основании показывают, что все свойства для таких фигур можно получить, если знать всего два параметра: длину стороны n-угольника и высоту призмы.

На этой странице вы узнаете

• Чем упаковка стикеров похожа на призму?
• Как можно попасть в призму в реальной жизни?
• Как сложить игральные кости из листа бумаги?
• Как найти объем воды в аквариуме? 

Слышали такое выражение «смотреть сквозь призму чего-либо»? Оно значит ситуацию, в которой мы воспринимаем что-либо под влиянием каких-то убеждений или представлений. Замысловато, конечно… Возможно, потому что и сама призма — непростое понятие. Давайте разберемся с ней с точки зрения математики.

Определение призмы

Многие из нас пользуются стикерами. Для записи своих дел, для закладок, для пометок при ведении конспектов. Даже если мы ими не пользуемся, то наверняка видели их в магазинах или у родственников и друзей. 

Один такой стикер можно принять за плоскость. Теперь вспомним, как выглядит упаковка с ними. Много-много стикеров накладываются друг на друга и получается небольшая объемная фигура, сверху и снизу которой лежат два абсолютно одинаковых листа. При этом сразу заметим, что нижний и верхний стикеры будут параллельны друг другу. 

На самом деле, упаковка со стикерами является не чем иным, как призмой! 

Призма — это многогранник, в котором две грани являются равными многоугольниками и лежат в параллельных плоскостях, а все остальные — параллелограммами. 

Определение может показаться немного запутанным, но в нем нет ничего страшного. Разберемся, поближе взглянув на составные призмы. 

Строение призмы

Представим себе обычную коробку. Ее дно и крышка равны между собой и лежат в параллельных плоскостях. Это и есть равные многоугольники. Также их называют основаниями призмы. 

Посмотрим на стенки коробки. Они являются параллелограммами, просто с прямыми углами. Подробнее про параллелограммы можно прочитать в статье «Параллелограмм». Эти параллелограммы называются боковыми гранями призмы. 

Возьмем линейку и измерим расстояние между основаниями призмы. Для этого из любой точки одного основания проведем перпендикуляр к другому. 

Подробнее про расстояния между плоскостями можно узнать в статьях «Углы в пространстве» и «Расстояния между фигурами». 

Может возникнуть вопрос, что мы сейчас нашли? Мы нашли высоту призмы. 

Высота призмы — перпендикуляр, опущенный из любой точки одного основания на другое основание призмы. 

В задачах намного удобнее опускать перпендикуляр не из произвольной точки, а из вершины призмы. 

Рассмотрим элементы призмы. 

Ребро — это линия пересечения двух плоскостей. 

Представим, что вместо картонных стенок в нашей коробке ткань, которую нам нужно натянуть на каркас так, чтобы коробка не изменилась. В этом случае все прямые этого каркаса и будут ребрами.

Ребра бывают двух видов: 

• ребра оснований,
• боковые ребра. 

Отличить их также легко: ребра основания являются стороной многоугольника, который в нем лежит, в то время как боковые ребра не принадлежат основаниям. 

У боковых ребер есть одно очень важное свойство: они равны между собой и параллельны. 

Диагональ призмы — отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани. 

Например, мы можем взять клетку попугая и от угла до угла сделать ему жердочку, чтобы птичке было весело жить. Эта жердочка и будет диагональю призмы. 

Виды призм

Вернемся к рассуждениям о том, чем упаковка стикеров похожа на призму. Например, куб и параллелепипед будут отличаться. А если в основании призмы будет лежать треугольник или шестиугольник? Или двадцатиугольник? Разделим призмы на несколько видов.

Мы рассмотрим две классификации. 

В первом случае будем рассматривать призмы по фигурам, которые лежат в основании. В многоугольнике может быть множество сторон, а значит, и в основании призмы может быть треугольник, четырехугольник, шестиугольник, десятиугольник и так далее. 

В зависимости от фигуры в основании призмы могут называться по-разному. Вот три основных, которые чаще всего встречаются при решении заданий:

• треугольная призма,

• четырехугольная призма,

• шестиугольная призма. 

Аналогичным образом можно дать название любой призме, например, десятиугольная призма или стоугольная призма. 

В определении призмы сказано, что в боковых гранях лежат параллелограммы. До этого мы чертили только прямоугольники, но в боковых гранях могут лежать не только они. 

С этим связана вторая классификация призм. По этому признаку призмы делятся всего на два вида:

• прямые,
• наклонные. 

Разберемся в них чуть подробнее. 

Прямая призма — призма, боковые ребра которой перпендикулярны основаниям. 

В этом случае боковые ребра и ребра оснований действительно образовывают прямоугольник. 

Наклонная призма — призма, боковые ребра которой находятся под углом к основаниям. 

Где мы можем найти прямые и наклонные призмы? Оказывается, в архитектуре. Обычный жилой дом типовой застройки будет прямой призмой. А вот примером наклонной призмы может служить комплекс зданий “Ворота Европы” в Мадриде. 

Чуть подробнее остановимся на прямых призмах. Они встречаются достаточно часто и обладают несколькими важными свойствами. 

Посмотрите на свою комнату. Если по плану квартиры она будет многоугольником, то вы как бы сидите в призме. Теперь ответим на вопрос: как найти высоту комнаты? 

Простой ответ: померить по стене. А если посмотреть на угол, то можно заметить, что ребро призмы совпадает с высотой. Таким образом, мы получаем первое свойство прямых призм. 

Свойство 1. Высота прямой призмы совпадает с её боковым ребром. 

Посмотрим на стены комнаты, на их форму. Они все являются прямоугольниками, верно? 

Свойство 2. Все боковые грани прямой призмы — прямоугольники. 

Если мы в основании прямой призмы разместим правильный многоугольник, у нас получится правильная призма.

Правильная призма — прямая призма, в основании которой лежит правильный многоугольник. 

Например,  в правильной треугольной призме будет лежать равносторонний треугольник, а в правильной шестиугольной призме — правильный шестиугольник. 

Определение параллелепипеда

Еще одной разновидностью прямоугольной призмы является параллелепипед. 

Параллелепипед — это четырехугольная призма, все грани которой являются параллелограммами. 

Параллелепипеды встречаются повсюду: коробки, мебель, комнаты, здания, склады, магазины. Поэтому изучить их не составит труда. 

Свойство параллелепипеда, видимое невооруженным глазом: противоположные грани параллелепипеда равны. Как пример, вспомним ту же комнату: потолок и пол равны, так же как и стены, находящиеся напротив друг друга. 

Нельзя не упомянуть про одно очень важное свойство параллелепипеда: 

• Все его диагонали пересекаются в одной точке и этой точкой делятся пополам. Это свойство справедливо для всех видов параллелепипеда. 

Какие бывают параллелепипеды? 

Параллелепипеды также бывают прямыми и наклонными. В этих случаях все определения такие же, как и для всех остальных призм. 

Прямой параллелепипед

Рассмотрим несколько интересных свойств прямого параллелепипеда. 

1 свойство. Боковые ребра прямого параллелепипеда перпендикулярны основаниям. 

2 свойство. Высота прямоугольного параллелепипеда равна длине его бокового ребра. 

3 свойство. Боковые грани, которые лежат напротив друг друга, равны между собой и являются прямоугольниками. 

Прямые параллелепипеды можно разделить еще на два вида:

• Прямой параллелепипед: в основании лежит параллелограмм;

• Прямоугольный параллелепипед: в основании лежит прямоугольник. 

Рассмотрим свойства прямоугольного параллелепипеда. 

1 свойство. Все грани прямоугольного параллелепипеда являются прямоугольниками. 

2 свойство. Все углы в прямоугольном параллелепипеде, образованные двумя гранями, равны 90°. 

3 свойство. Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов длин его ширины, длины и высоты. 

Таким образом, мы получаем важную формулу для параллелепипеда. 

d² = a² + b² + c²

Пример 1. Дан прямоугольный параллелепипед. Два ребра, выходящие из одной его вершины, равны (sqrt{35}) и (sqrt{46}). Диагональ параллелепипеда равна 15. Найдите третье ребро параллелепипеда. 

Решение. Пусть третье ребро параллелепипеда равняется х. Получаем уравнение:

(15^2 = (sqrt{35})^2 + (sqrt{46})^2 + x^2)
225 = 35 + 46 + x²
x² = 144
x = 12

Ответ: 12. 

У прямоугольного параллелепипеда существует еще несколько видов. Прямоугольные параллелепипеды делятся на:

• Произвольный прямоугольный параллелепипед. В основании может лежать прямоугольник. 

• Правильный прямоугольный параллелепипед. В основании лежит правильный четырехугольник, то есть квадрат. 
  При этом боковые ребра не равны ребрам основания. Следовательно, в основаниях будут лежать квадраты, а в боковых гранях прямоугольники. 

• Куб. В основании лежит квадрат, а боковые ребра равны ребрам основания. 
  В кубе все ребра равны, а все его грани будут квадратом. 

Таким образом, мы рассмотрели все виды параллелепипеда. 

Формулы для призмы

Однако ни одна задача не может быть решена без формул. Поэтому необходимо рассмотреть несколько основных формул, которые могут встретиться не только в задачах, но и в жизни. 

Немного вспомним моделирование, а именно развертку кубика. Мы знаем, что из листа бумаги без труда можно сложить кубик, если правильно его вычертить. 

На рисунке оранжевым показаны основания, а желтым боковые грани нашего будущего кубика. А теперь представим, что нам нужно найти площадь боковой поверхности. Как это сделать?

Нужно найти площади желтых квадратиков и сложить их. 

Площадь боковой поверхности призмы — сумма площадей всех боковых ее граней. 

Единой формулы тут нет, поскольку призмы могут очень сильно отличаться друг от друга. В произвольных призмах придется считать площадь каждой боковой грани, а уже после их складывать. 

Но есть один фокус! Правда, он работает только для прямой призмы. Если по условию дана прямая призма, то можно воспользоваться формулой 

S_бок. = P * h

В этой формуле Р — периметр основания, h — высота призмы, которая совпадает с высотой боковой грани. 

Пример 1. Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, сторона основания которой равняется 2, а высота 10. 

Решение. 

Шаг 1. Поскольку правильная призма по определению прямая, мы можем воспользоваться формулой S = Ph. 

Шаг 2. В основании правильной призмы лежит правильный шестиугольник, следовательно, периметр основания будет равен 6 * 2 = 12. 

Шаг 3. Осталось найти только площадь боковой поверхности. Подставляем данные в формулу и получаем: S = 12 * 10 = 120. 

Ответ: 120. 

Пример 2. Дана прямая треугольная призма, в основании которой лежит прямоугольный треугольник с катетами 12 и 5. Высота призмы равна 13. Найдите площадь ее боковой поверхности. 

Решение. 

Шаг 1. Поскольку призма прямая, можно воспользоваться формулой S = Ph. 

Шаг 2. Найдем периметр основания. Для этого необходимо найти гипотенузу треугольника. Воспользуемся теоремой Пифагора: (sqrt{12^2 + 5^2} = sqrt{144 + 25} = sqrt{169} = 13). 

Шаг 3. Найдем периметр основания: P = 12 + 5 + 13 = 30. 

Шаг 4. Осталось найти только площадь боковой поверхности. Подставляем данные в формулу и получаем: S = 30 * 13 = 390. 

Ответ: 390. 

Мы научились находить площадь боковой поверхности. А как найти всю площадь призмы? Вспомним нашу развертку с кубиком. Чтобы найти всю площадь кубика, нужно найти площадь всех квадратов, из которых он состоит. То есть и площадь боковой поверхности, и площадь оснований. 

Площадь полной поверхности призмы — сумма площадей всех граней. 

Следовательно, нам нужно сложить площади всех боковых граней и дважды площадь основания. Получаем следующую формулу. 

S = S_бок + 2S_осн

Вспомним обычный хлеб, черный или белый. Его форма очень приближена к параллелепипеду. Тогда его корочка будет площадью полной поверхности параллелепипеда. А все что внутри, то есть мякиш, можно принять за объем. 

Пример 3. Дана прямая призма, в основании которой лежит ромб с диагоналями 12 и 16. Боковое ребро призмы равно 25. Найдите площадь поверхности призмы. 

Решение. 

Шаг 1. Найдем площадь основания. Площадь ромба можно найти по формуле (frac{1}{2} * D_1 * D_2). Следовательно, площадь ромба равна (frac{1}{2} * 12 * 16 = 96). 

Шаг 2. Заметим, что диагонали ромба образуют четыре равных прямоугольных треугольника. Следовательно, чтобы найти сторону ромба, достаточно рассмотреть прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. По теореме Пифагора сторона ромба будет равна (sqrt{6^2 + 8^2} = sqrt{36 + 64} = sqrt{100} = 10).

Шаг 3. Периметр ромба будет равен 4 * 10 = 40. Тогда площадь боковой поверхности равна 40 * 25 = 1000. 

Шаг 4. Площадь полной поверхности будет равняться 1000 + 2 * 96 = 1000 + 192 = 1192.

Ответ: 1192

Пример 4. Площадь поверхности правильной четырехугольной призмы равняется 1980. Сторона основания равна 5. Найдите боковое ребро этой призмы. 

Решение. 

Шаг 1. Воспользуемся формулой S = S_бок + 2S_осн. Площадь основания будет равняться площади квадрата, то есть 5 * 5 = 25. 

Шаг 2. Подставим известные величины в формулу: 

1980 = S_бок + 2 * 25
S_бок = 1930

Шаг 3. Площадь боковой поверхности равна произведению периметра основания на высоту призмы. Периметр равен 5 * 4 = 20. Тогда получаем уравнение:

20h = 1930
h = 96,5

Шаг 4. Поскольку по условию дана правильная призма, то высота совпадает с боковым ребром. Следовательно, боковое ребро равняется 96,5.

Ответ: 96,5. 

Теперь рассмотрим, как найти объем призмы. Допустим, мы налили в прямоугольный аквариум немного воды. Как определить, сколько воды мы налили?

Для этого достаточно воспользоваться формулой объема призмы. 

V = S_осн. * h

Эта формула общая, однако для каждой призмы она может принять свой вид в зависимости от того, какую формулу нужно использовать для поиска площади основания или высоты. 

Например, чтобы найти объем воды в аквариуме, необходимо длину умножить на ширину и на высоту, а значит формула принимает вид V = abh. 

Пример 5. Основанием прямой треугольной призмы является прямоугольный треугольник с катетами 12 и 15. Боковое ребро призмы равно 4. Найдите объем этой призмы. 

Решение. 

Шаг 1. Для начала найдем площадь основания. В этом случае мы можем воспользоваться формулой (frac{1}{2}ab). Площадь равна (frac{1}{2} * 12 * 15 = 90).

Шаг 2. Воспользуемся формулой объема призмы и подставим известные величины: 

V = 90 * 4 = 360.

Ответ: 360. 

Пример 6. Дан сосуд, в основании которого лежит правильный треугольник. В этот сосуд налили 3000 см³ воды. Высота жидкости оказалась равной 10 см. После этого в сосуд опустили шарик и высота изменилась с 10 см на 14 см. Найдите объем шарика. 

Решение. Немного вспомним физику, а именно тот факт, что объем вытесненной жидкости равен объему тела. Значит, чтобы найти объем шарика, необходимо найти насколько изменился объем воды. 

Шаг 1. Найдем площадь основания сосуда. Для этого немного преобразуем формулу объема: 
(S = frac{V}{h})
Тогда:
(S = frac{3000}{10} = 300)

Шаг 2. А теперь найдем объем после того, как в воду погрузили шарик. Он будет равен 300 * 14 = 4200. 

Шаг 3. Объем вытесненной жидкости равен 4200 — 3000 = 1200.

Ответ: 1200. 

Мы рассмотрели основные формулы, которые применяются для решения задач. Стоит заметить, что они универсальны, и в каждой задаче их рационально преобразовывать под ситуацию. 

Фактчек 

• Призма — это многогранник, в котором две грани являются равными многоугольниками и лежат в параллельных плоскостях, а все остальные — параллелограммами. Равные многоугольники называются основаниями призмы, а остальные стороны — боковыми гранями. В призме есть ребра — линии пересечения двух ее граней. Ребра как бы образуют каркас призмы. 
• Призмы можно разделить на несколько видов по тому, какая фигура лежит в основании: треугольник, четырехугольник, шестиугольник или любой другой многоугольник. Призмы бывают прямые и наклонные. В прямых призмах боковые ребра перпендикулярны основанию, а в наклонных — нет. Правильная призма — прямая призма, в основании которой лежит правильный многоугольник. 
• Параллелепипед — это четырехугольная призма, все грани которой являются параллелограммами. Параллелепипеды бывают наклонными и прямыми. Прямые параллелепипеды включают в себя прямоугольные параллелепипеды, которые, в свою очередь, делятся на произвольные, правильные и кубы. 
• В призме можно найти площадь боковой поверхности, площадь полной поверхности и объем. Для каждого из этих случаев необходимо пользоваться формулами. 

Проверь себя

Задание 1.
Что такое диагональ призмы?

1. Отрезок, соединяющий две соседние вершины в призме.
2. Отрезок, соединяющий противоположные углы в боковой грани призмы.
3. Отрезок, соединяющий противоположные углы в основании призмы.
4. Отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани.  

Задание 2.
Что такое прямая призма?

1. Призма, боковые ребра которой перпендикулярны основаниям.
2. Призма, боковые ребра которой расположены под острым углом относительно основания.
3. Призма, боковые ребра которой расположены под тупым углом относительно основания.
4. Призма, в основании которой лежит прямоугольник.

Задание 3.
Как найти высоту прямой призмы?

1. Высоту нужно найти с помощью оснований.
2. Высота совпадает с боковым ребром.
3. Необходимо найти расстояние между двумя вершинами, не принадлежащими одной грани.
4. В прямой призме невозможно найти высоту. 

Задание 4.
Какая фигура лежит в основании прямоугольного параллелепипеда?

1. Параллелограмм с острыми углами.
2. Ромб с острыми углами.
3. Трапеция.
4. Прямоугольник. 

Задание 5. 
Как найти площадь полной поверхности призмы?

1. Нужно найти сумму площадей всех боковых граней.
2. Нужно сложить площадь боковой поверхности и площадь основания.
3. Нужно сложить площадь боковой поверхности и удвоенную площадь основания.
4. Нужно сложить площади оснований. 

Ответы: 1. — 4 2. — 1 3. — 2 4. — 4 5. — 3

Конспект урока по теме «Нахождение углов в
призме»

Тема. Нахождение углов в призме

Цель: повторить и обобщить материал на
нахождение углов между прямыми и плоскостями при решении задач по теме
«Призма».

Задачи:

Образовательные – научить  использовать
методы решения задач, применяемые для куба, на призме.

Развивающие – развить
мышления через формирование умений анализировать, сравнивать; формирование
логического, абстрактного мышления;

Воспитательные – воспитать
самостоятельность, настойчивость, положительное эмоциональное отношение к
математике.

Тип урока – урок повторения.

Оборудование: доска, карточка с
заданиями.

Структура урока:

1.  
Организационный
момент (2)

2.  
Актуализация
знаний (10)

3.  
Решение
задач (25)

4.  
Информация
о домашнем задании(3)

Ход урока.

I Организационный момент

Здравствуйте! Садитесь! На
прошлых уроках вы вспомнили, как находить углы и расстояния между различными
элементами  куба. Сегодня мы вспомним, как находит углы в призме.

II Актуализация опорных знаний

Для актуализации учащимся  раздаются
карточки с заданиями (таблица 9).

Карточка с заданием

Укажите искомый угол между
скрещивающимися прямыми  и	прямой  и плоскостью	двумя плоскостями   и

III Решение задач

Задание в группах

Задача 1. В правильной треугольной призме боковое ребро равно , а сторона основания . Найти косинус угла между плоскостями
 и .

Задача 2. В
правильной треугольной призме , все ребра которой
равны 1, найти угол между прямой и плоскостью .

Задача 3. Дан
прямоугольный параллелепипед . Его диагональ  составляет с ребром AD угол , а с ребром DC угол . Найти угол между двумя прямыми  и .

IV Информация о домашнем задании
(таблица 11)

Домашнее задание

Угол между прямыми в призме

Категория: Стереометрия ПРИЗМЫ | ЕГЭ-№2Углы

НЕ ОТКЛАДЫВАЙ! Заговори на английском!

ДОЛОЙ обидные ошибки на ЕГЭ!!

Подготовка к ЕГЭ, онлайн-обучение с Фоксворд!

Замучили боль и скованность в мышцах спины?

Комментарии преподавателя

Скрещивающиеся прямые. Примеры решения задач.  

При решении задач на нахождение угла между скрещивающимися прямыми удобно пользоваться таким алгоритмом:

1. Провести прямую, параллельную одной из двух скрещивающихся прямых так, чтобы она пересекала вторую прямую. Мы получим пересекающиеся прямые, угол между которыми равен углу  между исходными скрещивающимися.

2. Найти треугольник, в котором этот угол будет внутренним углом.

3. С помощью данных задачи найти тригонометрическую функцию этого внутреннего угол или сам угол.

Рассмотрим этот алгоритм подробнее на примере решения задач.

1. В правильной шестиугольной призме , все ребра которой равны 1, найти косинус угла между прямыми  и :

Проведем прямую  параллельно прямой :

Угол  равен углу между прямыми  и , так как эти углы имеют параллельные стороны.

Чтобы найти косинус угла , рассмотрим треугольник :

Найдем длины сторон этого треугольника. Для этого вспомним, чему равны элементыправильного шестугольника все стороны которого равны 1.

,    (из треугольника )

 (как диагональ квадрата )

 — диаметр окружности, описанной около правильного шестиугольника со сторонами, равными 1.

Мы получили равнобедренный треугольник :

Ответ: 

Задача 2. В основании треугольной пирамиды SABC лежит прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине С, гипотенузой AB равной 13 и катетом AC, равным 12. Вершина S пирамиды проектируется в точку B основания.     Боковое ребро CS равно 5. Найдите расстояние между ребрами AS и BC.

Решение.

Нам нужно найти расстояние между двумя отрезками AS и BC. Эти отрезки лежат на скрещивающихся прямых. Действительно из условия следует, что точка SABC, а AABC, следовательно, прямая, AS пересекает плоскость ABC и так как BCABC и ABC, то наше утверждение следует из признака скрещивающихся прямых. Теперь мы можем сформулировать задачу точнее: нам нужно найти расстояние между скрещивающимися прямыми.

Определение 1. Расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой, называется расстоянием между скрещивающимися прямыми.(Геометрия 10-11 кл. Л. С. Атанасян и др. М. Просвещенние, 2009 г.)

Следуя этому определению нам необходимо построить плоскость, проходящую через одну из скрещивающих прямых, параллельно другой и построить перпендикуляр к этой плоскости из точки принадлежащей другой прямой.

 Какую прямую выбрать? Обычно такая задача решается перебором.

Мы выбрали прямую AS, проведем через эту прямую плоскость параллельную BC. Для наглядности выполним следующие далеко не очевидные построения.

1. Достроим пирамиду до параллелепипеда. Для этого через точку А в плоскости ABC проведем прямую параллельную прямой ВС и через точку В прямую параллельную прямой АС, точку пепесечения построенных прямых обозначим буквой D. Через точки A, C, D проведем прямые параллельные прямой SB, на каждой из них отложим отрезки равные отрезку BS, и полученные точки соединим отрезками.

2.  Далее построим сечение параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью ADS, в сечением будет параллелограмм ADSC1  (ребра параллелепипеда AD  и C1S равны и параллельны}

3. Плоскости ADS и ADSC1 совпадают или, если хотите, это одна и таже плоскость. Предположим, что это разные не совпадающие плоскости. Тогда по условию эти плоскости имеют три общие точки A, D и S. Но тогда согласно аксиоме «Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей» точки A, D и S лежат на одной прямой, тогда SАD, так как  АDАВС, то SАВС, но это противоречит условию. Значит наше предположение не верно.  Тогда плоскости ADS  и ADSC1совпадают.

 4. Пусть прямая BM перпендикулярна прямой DS. Отрезок BM есть кратчайшее расстояние между скрещивающимися прямыми.  Докажем это утверждение. Из условия следует, что BC  BS и BCAC, так как AC||DB, то BCDB, так как к тому же BD и BS пересекающиеся прямые, то BCDBS, но тогда и ADDBS,  посколько  BMDBS, то BMAD. Так как BM перпендикулярна к двум пересекающимся прямым AD и DS лежащим в плоскости ADSC1, то BMADSC1.

5. Для того чтобы вычислить длину отрезка BM нам необходимо вычислить длины отрезков BC, BS и DS.

По условию C прямой, поэтому ABC  — прямоугольный, следовательно, AB2= AC2  + BC2;

BC2 = 132 — 122;

BC = 5;

По условию S проектируется в B, поэтому BSABC, BCABC, следовательно BSBC. значит CSB  — прямоугольный, следовательно, CS2 = BC2 + BS2;

BS2 = (5)2 — 52;

BS = 10;

BSABC, по построению BDABC, поэтому BSBD откуда следует, что BDM  — прямоугольный, следовательно, DM2 = DB2 — BM 2;

BMS прямоугольный, следовательно,  MS2 = BS2 — BM2

Пусть BM = x, тогда

DM = ;

 MS =   ;

Так как BM общий катет двух прямоугольных треугольников с гипотенузами 10 и 12, то 0 < x < 10 и поэтому 102 — x2 > 0, 122 — x2 > 0 .

Составить уравнение можно двумя способами либо использовать очевидное равенство DS = DM + MS, либо исплльзовать свойство перпендикуляра проведенного из вершины прямого угла к гипотенузе. И в том и другом случае получим иррациональное уравнение. Эти уравнения имеют  разную сложность. Пойдем по второму пути, так как , по нашему мнению, уравнение будеть более простым.

BM2 = DMMS;

x2 =  ;  возведем обе части уравнения в квадрат, учитывая выше изложенные рассуждения, получим уравнение равносильное данному.

x4 = 14400 — 100×2 — 144×2  +  x4;

244×2 = 14400;

x = .

Растояние между ребрами AS и BC равно .

Решить эту задачу можно и иначе. В учебнике Геометрия 7-11кл. А. В. Погорелов М. Просвещение 2009г. понятие расстояние между скрещивающими прямыми определяется так.

Определение 2. Расстоянием между скрещивающимися прямыми называют длину общего перпендикуляра к этим прямым.

Чтобы построить  общий перпендикуляр скрещивающих прямых выполним следующие построения. Чтобы не повторятся строить параллелепипед мы не будем и рисунок будет проще….

Через точку А в плоскости АВС проведем AD||BC и через точку В проведем BD||AC. В плоскости SDB из точки В проведем BMDS и через точку М проведем QM||AD. Через точку Q проведем QP||MB. Отрезок QP — это общий перпендикуляр скрещивающихся прямых AS и BC.

Выше мы доказали, что BMADS. Так как по построениюQP||BM, то  QPADS.  ADADS поэтому  QPAD.

С другой стороны BC перпендикулярна двум пересекающимся прямым BS и BD, следовательно, BM BC, но тогда так как MB||QP, то  QPBC.

QMBP — параллелограмм, следовательно, QP = BM. Как вычисляется длина отрезка  BM. мы рассотрели выше.

Задача 3. В основании пирамиды SABCD лежит прямоугольник.
BC = a, DC = b.
Основание высоты пирамиды совпадает с центром симметрии ABCD.
Боковое ребро пирамиды равно c.
Найти растояние между ребрами AD и SC.

Решение.

   Ребра    AD и SC лежат на скрещивающихся прямых. Прямая AD параллельна плоскости SBC, проходящей через прямую SC. Проведем в этой плоскости SEBC.  и через точку E проведем прямую ОE, где О основание высоты пирамиды. Точку пересения прямых ОЕ и AD обозначим Р.  В плоскости SPE проведем PMSE. Отрезок PM это кратчайшее расстояние между скрещивающими прямыми AD и SC. Докажем это утверждение.  По построению ОЕ проекция наклонной SE через основание, которой проведена прямая ВС. Из теоремы о трех перпендикулярах следует, что  PЕВС. Прямые  SE и PE лежат в плоскости SEP и S пересекающиеся, следовательно, BCSEP откуда следует, РМВС. Таким образом РМ перпендикулярна двум пересекающимся прямым  SE и BC лежащим в плоскости SВС, значит по признаку перпендикулярности прямой к плоскости РМ SВС и согласно определению 1 является растоянием между скрещивающимися прямыии AD  и SC.

Теперь вычислим PM. По условию основание высоты пирамиды совпадает с центром симметрии прямоугольника, поэтому O середина диагоналей AC и BD, тогда, во первых  OPE, во вторых боковые ребра SA = SB = SC = SD.  Из равенства боковых ребер пирамиды следует, что  SBC равнобедренный треугольник и поэтому его высота SE является медианой и поэтому EC = 0,5a и SE2= c2 — 0,25a2.

Из прямоугольного треугольника SOE следует, что SO2 = SE2 — OE2 ,

SO2 = c2 — 0,25a2 — 0,25b2 .

 Из этого же треугольника  и определения синуса для острого угла следует, что

 sinSEO=.

Из прямоугольного треугольника PME и определения синуса для острого угла следует, что  PM = PEsinSEO, тогда

PM=b.

Обратите внимание на то, что искомый отрезок находится в плоскости перпендикулярной к одной из скрещивающихся прямых. Этот факт позволяет нам предложить следущий способ решения задач на нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми.

1. Строим плоскость перпендикулярную к одной из скрещивающихся прямых. В задаче 1 это плоскость DD1SC.

2. Проецируем каждую из скрещивающихся прямых на эту плоскость. Проекцией одной из них будет точка. В задаче 1 проекция прямой ВС будет точка С, а проекция прямой AS будет прямая SD. Таким образом да И данную задачу формулируем так: «найти расстояние от точки до прямой. В задаче 1 найти расстояние от точки С до прямой  DS.

3. Проводим перпендикуляр от точки до прямой. Это будет всегда перпендикуляр, проведенный из вершины прямого угла прямоугольного треугольника  к гипотенузе и, следовательно, всегда можно применить его свойство, для чего прдварительно находим гипотенузу и катеты прямоугольного треугольника..

Для закрепления навыка нахождения расстояния между скрещивающимися проямыми предлагаем решить следующие задачи. Постройте изображение куба и найдите пары скрещивающиеся прямых. Для каждой выбранной пары  прямых докажите, используя признак скрещивающихся прямых, что это скрещивающиеся прямые.

Замечание. В том случае, когда возникают затруднения в нахождении пар скрещивающихся прямых  можно самостоятельно изготовить из бумаги или из спичек и пластелина модель куба и на этой модели выполнять поиск прямых. Желательно модель размещать в различных положениях. После работы с моделью проделайте эту работу мысленно, пытаясь в воображении представить модель куба и лишь потом перейти к рисунку.

Задача 4.  Дан куб ABCDA1B1C1D1.
AB = 5 см.
Найти расстояние между прямыми AA1 и BD.
Подсказка. Обратите внимание на отрезок АC

ИСТОЧНИК

http://ege-ok.ru/2012/03/26/ugol-mezhdu-skreshhivayushhimisya-pryamyimi-zadanie-s2

http://dok.opredelim.com/docs/index-14359.html

http://viripit.ru/Page8.htm

http://www.otbet.ru/book/class-10/geometria/uchebnik-glazkov-yu-a-testy-po-geometrii/