Диагонали прямоугольника равны между собой. Диагональ делит прямоугольник на два равных прямоугольных треугольника ABC и ACD. Диагональ равна диаметру описанной окружности.
1. Формулы длины диагонали в прямоугольнике.
d — диагональ прямоугольника
a, b — стороны
α, β — углы полученные от деления, диагональю, прямого угла
Формула диагонали через стороны, (d):
Формулы диагонали через сторону и угол, (d):
Формулы величины углов через диагональ и стороны, (α, β):
2. Формулы углов между диагоналями в прямоугольнике.
d — диагонали прямоугольника
a, b — стороны
α, β — углы между диагоналями
Формулы углов между диагоналями через стороны и диагональ, (α, β ):
- Подробности
-
Опубликовано: 27 октября 2011
-
Обновлено: 13 августа 2021
Прямоугольник – плоская четырёхугольная геометрическая фигура. Прямоугольник относится к
параллелограммам и обладает некоторыми свойствами:
- Все внутренние углы фигуры прямые.
- Противолежащие стороны попарно параллельны и равны.
- Диагонали прямоугольника (отрезок, соединяющий вершины противоположных внутренних углов) равны.
Точка пересечения делит их на равные отрезки. - Диагональ делит фигуру на 2 одинаковых прямоугольных треугольника.
- Диагональ делит внутренний угол (90°) на 2 угла. Накрест лежащие углы при проведенном отрезке
равны.
- Острый угол между диагоналями прямоугольника через площадь
и диагональ - Угол между диагоналями прямоугольника через угол между
стороной и диагональю - Острый угол между диагоналями прямоугольника через ширину и
диагональ - Острый угол между диагоналями прямоугольника через длину и
диагональ - Острый угол между диагоналями прямоугольника через ширину и
длину - Тупой угол между диагоналями прямоугольника через длину и
диагональ - Тупой угол между диагоналями прямоугольника через ширину и
диагональ - Тупой угол между диагоналями прямоугольника через длину и
ширину
Острый угол между диагоналями прямоугольника через площадь и диагональ
Острый угол (a) между диагоналями, зная площадь (S) и длину диагонали (d) легко можно вычислить по
формуле:
sin a = (2 * S) / d²
где d — диагональ, S — площадь прямоугольника.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Через синус находится значение угла. По этой формуле также можно найти тупой угол между диагоналями,
так как 2 данных угла являются смежными, а синусы смежных углов равны.
Пример. Дан прямоугольник, площадь которого равна 108 см², а диагональ – 15 см.
Нужно найти острый угол между диагоналями. Необходимые значения подставляем в формулу sin a = (2 * S) / d² = (2 * 108) / 225 = 0,96. По значению синуса
находится величина острого угла между диагоналями. В данном случае она равна 73,73°.
Угол между диагоналями прямоугольника через угол между стороной и диагональю
Величина нужного угла (α) в два раза больше угла (β) между стороной и диагональю по свойству углов
равнобедренного треугольника, так как диагонали при пересечении образуют 4 равнобедренных
треугольника. В равнобедренном треугольнике углы при основании (b) равны, а нужный угол является
смежным по отношению к углу при вершине (c), в таком случае c = 180 — α. Сумма углов
треугольника равна 180°. Несложно составить уравнение β+β+180-α=180, которое легко сокращается до
вида
β = 2 * α
где α — угол между стороной и диагональю.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример. Пусть угол α = 15 (он может быть от 0 до 90º), тогда β = 2 * α = 2 * 15 = 30º
Острый угол между диагоналями прямоугольника через длину и ширину
Если в задаче неизвестна длина диагонали, не нужно тратить время на ее поиски. Можно быстро найти
острый угол между диагоналями при помощи длины и ширины прямоугольника по формуле:
α = 2 arctg b / a
где b — ширина прямоугольника, a — длина прямоугольника.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример. Дан прямоугольник со сторонами 8 см и 6 см. Нужно построить диагонали и
найти острый угол между ними. Угол α = 2 arctg 6 / 8 = 2 arctg 0,75=73,73°.
Острый угол между диагоналями прямоугольника через ширину и диагональ
Значение нужного угла можно определить, зная длину диагонали и ширины (B) четырёхугольника, по
формуле:
α = 2 arcsin b / d
где b — ширина прямоугольника, d — диагональ.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример. Рассмотрим применение формулы в конкретной задаче. Дан прямоугольник, ширина
которого равна 3 мм, а длина диагонали – 5 мм. Необходимо найти острый угол между
диагоналями. Применив данную формулу, находим значение нужного угла: a = 2 * arcsin 0,6 = 73,73°.
Острый угол между диагоналями прямоугольника через длину и диагональ
Если неизвестна ширина прямоугольника, но есть значение длины (a), можно также просто найти острый
угол между диагоналями. Формула почти идентична предыдущей:
α = 2 arccos a / d
где a — длина прямоугольника, d — диагональ.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример. В прямоугольнике с длиной 8 см, в котором проведены диагонали длиной 10 см,
найти острый угол между диагоналями. Угол α = 2arccos 8 / 10 = 2arccos 0,8 = 73,73°.
Тупой угол между диагоналями прямоугольника через ширину и диагональ
Для того чтобы быстро вычислить значение данного угла при помощи известной ширины и диагонали
прямоугольника, нужно воспользоваться следующей формулой:
β = 2 arccos b / d
где b — ширина прямоугольника, d — диагональ.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример. Известна ширина прямоугольника, она равна 8 мм. А длина диагонали равна 17
мм. Задача найти значение тупого угла между диагоналями.
Вставив данные в формулу, вы получите
правильный результат. Таким образом, β = 2 arccos 8 / 17 = 2 arccos 0,47 = 123,85°.
Тупой угол между диагоналями прямоугольника через длину и диагональ
Можно, конечно, применить предыдущую формулу и найти острый угол через длину и диагональ, а потом
вычесть значение из 180°. Но есть упрощенная формула для быстрой скорости решения: тупой угол между
диагоналями
β = 2 arcsin a / d
где a — длина прямоугольника, d — диагональ.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример. Дан прямоугольник с длиной равной 20 см, в котором проведены диагонали
длиной 25 см. Чтобы найти нужную величину, подставляем значения в формулу: β = 2 arcsin 20 / 25 = 2 arcsin 0,8 = 106°.
Тупой угол между диагоналями прямоугольника через длину и ширину
Формула для определения тупого угла между диагоналями прямоугольника через известные значения длины и
ширины такова:
β = 2 arctg a / b
где a — длина прямоугольника, b — ширина прямоугольника.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример. Дан прямоугольник со сторонами 15 см и 8 см. Вычислим значение тупого угла,
подставив данные в формулу: β = 2arctg 15 / 8 = 2 arctg 0,5= 123,85°.
Стоит отметить, что при использовании указанных в статье правил нужно владеть знаниями о
тригонометрических функциях. Для того чтобы быстро определять углы, образованные пересечением
диагоналей прямоугольника, поможет именно данный список формул, которые необходимо знать наизусть.
Если на решение задач по геометрии дается небольшой промежуток времени, к примеру, контрольная или
экзамен, лучше отложить сложные алгоритмы и воспользоваться упрощенными формулами.
Параллелограмм относится к выпуклым четырехугольным геометрическим фигурам. Его основные
отличительные признаки от других фигур: равные и попарно параллельные противоположные стороны,
равные противолежащие углы. Диагонали фигуры всегда делятся точкой пересечения на равные отрезки, а
также они делят параллелограмм на 2 одинаковых треугольника. Еще одним главным свойством
четырёхугольника является то, что сумма квадратов диагоналей равна двум суммам квадратов смежных
сторон параллелограмма.
Биссектрисы внутренних углов данного четырёхугольника всегда отсекают от него равнобедренный
треугольник, а также они равны между собой. Сумма углов параллелограмма равна 360°, как и у других
четырёхугольников.
К параллелограммам относятся: квадрат (четырёхугольник с равными сторонами и
равными прямыми внутренними углами), прямоугольники и ромбы (параллелограмм с равными сторонами).
Эти фигуры часто встречаются в школьной программе на уроках геометрии.
Для чего необходимо вычисление угла между диагоналями параллелограмма
- Для нахождения сторон четырёхугольника (длины и ширины).
- Для нахождения площади и периметра фигуры.
- Для нахождения углов между стороной и диагональю.
- Для нахождения длины диагонали.
Знание свойств геометрических фигур помогает справиться с задачей любой сложности. Постоянная
практика с использованием формул способствует быстрому запоминанию информации, помогает проработать
маршруты и теоремы, которые западают.
Прямоугольник часто встречается в решении задач по геометрии. Важно знать все его свойства и уметь
пользоваться правилами и теоремами для успешного нахождения результата. Упрощенные формулы и
несколько конкретных примеров помогут определить правильный алгоритм решения и быстро найти
ответ.
Преподаватель который помогает студентам и школьникам в учёбе.
Прямоугольник и его свойства с определением и примерами решения
Прямоугольником называют параллелограмм, у которого все углы прямые (рис. 36).
Так как прямоугольник является параллелограммом, то он имеет все свойства параллелограмма.
1. В прямоугольнике противолежащие стороны равны.
2. Периметр прямоугольника 
3. Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам.
Кроме этих, прямоугольник имеет еще свойства.
4. Диагонали прямоугольника равны.
Доказательство:
Пусть дан прямоугольник 
(рис. 37). 
(по двум катетам). Поэтому 
5. Точка пересечения диагоналей прямоугольника равноудалена от всех его вершин.
Так как 
а 
(рис. 37), то, очевидно, что 
Пример:
Диагональ делит угол прямоугольника в отношении 2:3. Найдите угол между диагоналями этого прямоугольника.
Решение:
1) Пусть 
(рис. 37). Обозначим 
Получим уравнение: 
откуда 
Следовательно, 
2) Найдем 
— угол между диагоналями данного прямоугольника. 
— равнобедренный (так как 
поэтому 
В 
Ответ. 72°.
Рассмотрим признаки прямоугольника.
Теорема (признаки прямоугольника). Если у параллелограмма: 1) все углы равны, или 2) один угол прямой, или 3) диагонали равны, — то параллелограмм является прямоугольником.
Доказательство:
1) Так как все углы параллелограмма равны, а их сумма — 360°, то каждый из них равен 360° : 4 = 90°. А значит параллелограмм является прямоугольником.
2) Пусть угол 
параллелограмма 
— прямой (рис. 36). Тогда 
Следовательно, все углы параллелограмма прямые, а значит он является прямоугольником.
3) Пусть у параллелограмма 
диагонали 
и 
равны (рис. 37). 
— общая сторона треугольников 
и 
Следовательно 
(по трем сторонам), откуда 
Но 
Получаем, что у параллелограмма все углы равны, а значит он является прямоугольником (по п. 1 этой теоремы).
Пример:
В окружности с центром 
проведены диаметры 
и 
Определите вид четырехугольника 
Решение:
1) Рассмотрим рис. 38. Так как 
(как радиусы), то, по признаку параллелограмма, 
— параллелограмм.
2) Так как 
(как диаметры), то, по признаку прямоугольника, получаем, что параллелограмм 
-прямоугольник.
Ответ. Прямоугольник.
- Ромб и его свойства, определение и примеры
- Квадрат и его свойства
- Трапеция и ее свойства
- Площадь трапеции
- Четырехугольник и его элементы
- Четырехугольники и окружность
- Параллелограмм, его свойства и признаки
- Площадь параллелограмма
Четырехугольники, вписанные в окружность. Теорема Птолемея
Вписанные четырёхугольники и их свойства
Определение 1 . Окружностью, описанной около четырёхугольника, называют окружность, проходящую через все вершины четырёхугольника (рис.1). В этом случае четырёхугольник называют четырёхугольником, вписанным в окружность, или вписанным четырёхугольником .
Теорема 1 . Если четырёхугольник вписан в окружность, то суммы величин его противоположных углов равны 180° .
Доказательство . Угол ABC является вписанным углом, опирающимся на дугу ADC (рис.1). Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги ADC . Угол ADC является вписанным углом, опирающимся на дугу ABC . Поэтому величина угла ADC равна половине угловой величины дуги ABC . Отсюда вытекает, что сумма величин углов ABC и ADC равна половине угловой величины дуги, совпадающей со всей окружностью, т.е. равна 180° .
Если рассмотреть углы BCD и BAD , то рассуждение будет аналогичным.
Теорема 1 доказана.
Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если у четырёхугольника суммы величин его противоположных углов равны 180°, то около этого четырёхугольника можно описать окружность.
Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью рассмотрим окружность, проходящую через вершины A , B и С четырёхугольника, и предположим, что эта окружность не проходит через вершину D . Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точка D лежит внутри круга (рис.2).
Продолжим отрезок CD за точку D до пересечения с окружностью в точке E , и соединим отрезком точку E с точкой A (рис.2). Поскольку четырёхугольник ABCE вписан в окружность, то в силу теоремы 1 сумма величин углов ABC и AEC равна 180° . При этом сумма величин углов ABC и ADC так же равна 180° по условию теоремы 2. Отсюда вытекает, что угол ADC равен углу AEC . Возникает противоречие, поскольку угол ADC является внешним углом треугольника ADE и, конечно же, его величина больше, чем величина угла AEC , не смежного с ним.
Случай, когда точка D оказывается лежащей вне круга, рассматривается аналогично.
Теорема 2 доказана.
Перечисленные в следующей таблице свойства вписанных четырёхугольников непосредственно вытекают из теорем 1 и 2.
Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:
где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.
| Фигура | Рисунок | Свойство |
| Окружность, описанная около параллелограмма | Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником. | |
| Окружность, описанная около ромба | Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом. | |
| Окружность, описанная около трапеции | Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией. | |
| Окружность, описанная около дельтоида | Окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников. | |
| Произвольный вписанный четырёхугольник |
Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:
где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.
| Окружность, описанная около параллелограмма | |
| Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником. | |
| Окружность, описанная около ромба | |
| Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом. | |
| Окружность, описанная около трапеции | |
| Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией. | |
| Окружность, описанная около дельтоида | |
| Окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников. | |
| Произвольный вписанный четырёхугольник | |
| Окружность, описанная около параллелограмма |
Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.
Окружность, описанная около ромба
Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.
Окружность, описанная около трапеции
Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.
Окружность, описанная около дельтоида
Окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.
Произвольный вписанный четырёхугольник
Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:
где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.
Теорема Птолемея
Теорема Птолемея . Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон.
Доказательство . Рассмотрим произвольный четырёхугольник ABCD , вписанный в окружность (рис.3).
Докажем, что справедливо равенство:
Для этого выберем на диагонали AC точку E так, чтобы угол ABD был равен углу CBE (рис. 4).
Заметим, что треугольник ABD подобен треугольнику BCE . Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABD равен углу CBE (по построению точки E ), угол ADB равен углу ACB (эти углы являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:
откуда вытекает равенство:
Заметим, что треугольник ABE подобен треугольнику BCD . Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABE равен углу DBC (углы ABD и EBC равны по построению, угол DBE – общий), угол BAC равен углу BDC (эти углы являются вписанными углами, пирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:
Прямоугольник. Онлайн калькулятор
С помощю этого онлайн калькулятора можно найти сторону, периметр, диагональ прямоугольника, радиус описанной вокруг прямоугольника окружности и т.д.. Для нахождения незвестных элементов, введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.
Определение 1. Прямоугольник − это параллелограмм, у которого все углы прямые (Рис.1).
Можно дать и другое определение прямоугольника.
Определение 2. Прямоугольник − это четырехугольник, у которого все углы прямые.
Свойства прямоугольника
Так как прямоугольник является параллелограммом, то все свойства параллелограмма верны и для прямоугольника.
- 1. Стороны прямоугольника являются его высотами.
- 2. Все углы прямоугольника прямые.
- 3. Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов его соседних двух сторон.
- 4. Диагонали прямоугольника равны.
- 5. Около любого прямоугольника можно описать окружность, при этом диаметр описанной окружности равна диагонали прямоугольника.
Длиной прямоугольника называется более длинная пара его сторон.
Шириной прямоугольника называется более короткая пара его сторон.
Диагональ прямоугольника
Определение 3. Диагональ прямоугольника − это отрезок, соединяющий две несмежные вершины прямоугольника.
На рисунке 2 изображен диагональ d, который является отрезком, соединяющим несмежные вершины A и C. Прямоугольник имеет две диагонали.
Для вычисления длины диагонали воспользуемся теоремой Пифагора:
Из равенства (1) найдем d:
Пример 1. Стороны прямоугольника равны . Найти диагональ прямоугольника.
Решение. Для нахождения диаметра прямоугольника воспользуемся формулой (2). Подставляя в (2), получим:
Ответ:
Окружность, описанная около прямоугольника
Определение 4. Окружность называется описанной около прямоугольника, если все вершины прямоугольника находятся на этой окружности (Рис.3):
Формула радиуса окружности описанной около прямоугольника
Выведем формулу вычисления радиуса окружности, описанной около прямоугольника через стороны прямоугольника.
Нетрудно заметить, что радиус описанной около прямоугольника окружности равна половине диагонали (Рис.3). То есть
| ( small R=frac<large d> <large 2>) | (3) |
Подставляя (3) в (2), получим:
| ( small R=frac<large sqrt> <large 2>) | (4) |
Пример 2. Стороны прямоугольника равны . Найти радиус окружности, описанной вокруг прямоугольника.
Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника воспользуемся формулой (4). Подставляя в (4), получим:
Ответ:
Периметр прямоугольника
Определение 5. Периметр прямоугольника − это сумма всех его сторон. Обозначается периметр латинской буквой P.
Периметр прямоугольника вычисляется формулой:
где ( small a ) и ( small b ) − стороны прямоугольника.
Пример 3. Стороны прямоугольника равны . Найти периметр прямоугольника.
Решение. Для нахождения периметра прямоугольника воспользуемся формулой (5). Подставляя в (5), получим:
Ответ:
Формулы сторон прямоугольника через его диагональ и периметр
Выведем формулу вычисления сторон прямоугольника, если известны диагональ ( small d ) и периметр ( small P ) прямоугольника. Заметим: чтобы прямоугольник существовал, должно удовлетворяться условие ( small frac P2>d ) (это следует из неравенства треугольника).
Чтобы найти стороны прямоугольника запишем формулу Пифагора и формулу периметра прямоугольника:
Из формулы (7) найдем ( small b ) и подставим в (6):
Упростив (4), получим квадратное уравнение относительно неизвестной ( small a ):
Вычислим дискриминант квадратного уравнения (10):
Сторона прямоугольника вычисляется из следующих формул:
После вычисления ( small a ), сторона ( small b ) вычисляется или из формулы (12), или из (8).
Примечание. Легко можно доказать, что
( frac< P><2>>d ; ⇒ ; P>2cdot d ; ⇒ ) ( small P^2>4 cdot d^2 ; ⇒ ; 4d^2-P^2 2d .) Следовательно выполняется неравенство (*).
Пример 4. Диагональ прямоугольника равна , а периметр равен . Найти стороны прямоугольника.
Решение. Для нахождения сторон прямоугольника воспользуемся формулами (11), (12) и (8). Найдем сначала дискриминант ( small D ) из формулы (11). Для этого подставим , в (11):
Подставляя значения и в первую формулу (12), получим:
Найдем другую сторону ( small b ) из формулы (8). Подставляя значения и в формулу, получим:
Ответ: ,
Признаки прямоугольника
Признак 1. Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм является прямоугольником.
Признак 2. Если квадрат диагонали параллелограмма равен сумме квадратов его смежных сторон, то этот параллелограмм является прямоугольником.
Признак 3. Если углы параллелограмма равны, то этот параллелограмм является прямоугольником.
Центральные и вписанные углы
О чем эта статья:
Центральный угол и вписанный угол
Окружность — замкнутая линия, все точки которой равноудалены от ее центра.
Определение центрального угла:
Центральный угол — это угол, вершина которого лежит в центре окружности.
Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.
На рисунке: центральный угол окружности EOF и дуга, на которую он опирается EF
Определение вписанного угла:
Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности.
Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается.
На рисунке: вписанный в окружность угол ABC и дуга, на которую он опирается AC
Свойства центральных и вписанных углов
Углы просты только на первый взгляд. Свойства центрального угла и свойства вписанного угла помогут решать задачки легко и быстро.
- Вписанный угол в два раза меньше, чем центральный угол, если они опираются на одну и ту же дугу:
Угол AOC — центральный, угол ABC — вписанный. Оба угла опираются на дугу AC, в этом случае центральный угол равен дуге AC, а угол ABC равен половине угла AOC.
- Теорема о центральном угле: центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается:
- Вписанные углы окружности равны друг другу, если опираются на одну дугу:
ㄥADC = ㄥABC = ㄥAEC, поскольку все три угла, вписанные в окружность, опираются на одну дугу AC.
- Вписанный в окружность угол, опирающийся на диаметр, — всегда прямой:
ㄥACB опирается на диаметр и на дугу AB, диаметр делит окружность на две равные части. Значит дуга AB = 180 ํ, ㄥCAB равен половине дуги, на которую он опирается, значит ㄥCAB = 90 ํ.
Если есть вписанный, обязательно найдется и описанный угол. Описанный угол — это угол, образованный двумя касательными к окружности. Вот так:
На рисунке: ㄥCAB, образованный двумя касательными к окружности. AO — биссектриса ㄥCAB, значит центр окружности лежит на биссектрисе описанного угла.
Для решения задачек мало знать, какой угол называется вписанным, а какой — описанным. Нужно знать, что такое хорда и ее свойство.
Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!
Хорда — отрезок, соединяющий две точки на окружности.
- Если две хорды в окружности пересекаются, то произведения отрезков одной равно произведению отрезков другой.
AB * AC = AE * AD
Получается, что стороны вписанного в окружность угла — это хорды.
- Если вписанные углы опираются на одну и ту же хорду — они равны, если их вершины находятся по одну сторону от хорды.
ㄥBAC = ㄥCAB, поскольку лежат на хорде BC.
- Если два вписанных угла опираются на одну и ту же хорду, то их суммарная градусная мера равна 180°, если их вершины находятся по разные стороны от хорды.
ㄥBAC + ㄥBDC = 180°
Примеры решения задач
Центральный, вписанные и описанные углы, как и любые другие, требуют тренировок в решении. Рассмотрите примеры решения задач и потренируйтесь самостоятельно.
Задачка 1. Дана окружность, дуга AC = 200°, дуга BC = 80°. Найдите, чему равен вписанный угол, опирающийся на дугу AB. ㄥACB = ?
Как решаем: окружность 360° − AC − CB = 360° − 200° − 80° = 80°
По теореме: вписанный угол равен дуге ½.
ㄥACB = ½ AB = 40°
Задачка 2. Дана окружность, ㄥAOC = 140°, найдите, чему равна величина вписанного угла.
Мы уже потренировались и знаем, как найти вписанный угол.
На рисунке в окружности центральный угол и дуга AC = 140°
Мы знаем, что вписанный угол равен половине центрального, то ㄥABC = ½ AC = 140/2 = 70°
Задачка 3. Чему равен вписанный в окружность угол, опирающийся на дугу, если эта дуга = ⅕ окружности?
СB = ⅕ от 360° = 72°
Вписанный угол равен половине дуги, поэтому ㄥCAB = ½ от CB = 72° / 2 = 36°
http://matworld.ru/geometry/pryamougolnik.php
http://skysmart.ru/articles/mathematic/centralnye-i-vpisannye-ugly
План урока:
Угол. Виды углов: прямой, тупой, острый
Прямоугольник. Свойство противоположных сторон прямоугольника
Квадрат
Построение прямого угла, прямоугольника, квадрата на бумаге в клетку
Здравствуйте, дорогие ребята!
Приглашаем вас в сказочную страну Геометрию.
Жил-был король Луч. Была у короля маленькая, смешная и забавная дочка Точка. Отец очень любил и баловал принцессу и никогда не наказывал: не ставил в угол за ее шалости.
Угол. Виды углов: прямой, тупой, острый
Ребята, а вы знаете, что такое угол? Какие бывают углы?
Давайте вместе начертим угол. Сначала поставим точку. Затем проведем из этой точки 2 луча. Например, так:
Лучи – это стороны угла. А точка, из которой мы проводили лучи – вершина угла.
Углы бывают прямые, острые и тупые. Острым углом назовем тот, который меньше прямого, а тупым углом – тот, который больше прямого угла.
Изготовим модель прямого угла из кусочка бумаги.
Можно в качестве модели прямого угла использовать угольник. У него обязательно есть один прямой угол.
Ребята, помогите принцессе Точке определить, какие углы являются прямыми, а какие тупыми и острыми! Сосчитайте, сколько на этом чертеже прямых, острых, тупых углов.
Проверь себя!
Прямых – 6 углов, острых – 4 угла, тупых – 2 угла.
Король Луч решил построить для принцессы Точки игровую площадку. Он долго размышлял, чертил на песке разные фигуры. Посмотрите, после дождя остались лишь очертания. Назовите одним словом, что это?
Верно, это углы. Запишите номера углов в 3 столбика: острые, тупые, прямые.
Проверь себя.
Прямоугольник. Свойства противоположных сторон прямоугольника
Ребята, посмотрите на дворец короля и принцессы. Из каких геометрических фигур он состоит?
Давайте сосчитаем все прямоугольники, квадраты, треугольники и круги.
Прямоугольники – 3.
Квадраты – 5.
Треугольники – 3.
Круги – 5.
Найдите среди этих фигур четырехугольники, у которых все углы прямые. Воспользуйтесь моделью прямого угла, которую мы с вами изготовили.
Проверь себя.
Прямоугольники: 1, 3, 5.
Ребята, у принцессы Точки есть для вас вопросы о прямоугольнике. Попробуйте на них ответить.
Вопрос 1. Равны ли у прямоугольника противоположные стороны (они лежат напротив друг друга)?
На чертеже противоположные стороны обозначены одинаковым цветом.
Вопрос 2. Все ли углы прямые у прямоугольника?
Вопрос 3. Могут ли все стороны прямоугольника, а не только противоположные, быть одинаковыми? Например, так:
Подумайте! Возьмите любой прямоугольник, измерьте линейкой стороны фигуры, с помощью модели прямого угла или угольника проверьте углы.
Сравните свои выводы с правильными ответами.
Ответ 1. Противоположные стороны равны.
Ответ 2. Все углы прямые.
Ответ 3.Все стороны прямоугольника могут быть одинаковыми.
Молодцы! Не огорчайтесь, если не все выводы совпали с правильными ответами. Давайте еще раз повторим о прямоугольнике все, что узнали.
Квадрат
Ребята, отвечая на вопрос принцессы Точки, мы сделали вывод о том, что у прямоугольника все стороны могут быть одинаковой длины. Такой прямоугольник будет называться квадратом.
Задача на смекалку от короля. Помогите принцессе Точке ее решить.
Начерти прямоугольник со сторонами 5 см и 4 см. Сделай из него квадрат! Подсказка: «Можно сделать двумя способами: добавить, убрать».
Проверь себя.
Принцесса отлично справилась с задачей. А теперь попробуйте вы самостоятельно выполнить следующее задание.
Найдите среди этих прямоугольников квадраты. Запишите их номера.
Проверь себя.
Квадраты: 1,3.
Поиграем вместе с принцессой Точкой. Она выложила из счетных палочек такую фигуру:
Сколько квадратов вы видите? Уберите одну палочку так, чтобы осталось два квадрата. Сделать это можно разными способами. Какие еще фигуры, кроме двух квадратов, у вас получились?
Проверь себя.
Кроме двух квадратов, на каждом рисунке есть прямоугольник.
Построение прямого угла, прямоугольника, квадрата на клетчатой бумаге
Как вы заметили, король Луч и принцесса Точка любят чертить. Они приглашают нас, ребята, поучаствовать в этом увлекательном занятии. Вооружитесь тетрадью в клеточку, простым карандашом, угольником.
Задание: построить на бумаге в клеточку прямой угол, прямоугольник со сторонами 6 см и 3 см, квадрат со стороной 7 см.
Посмотрите, как получилось у принцессы. Сравните со своими чертежами.
Ставим точку. Откладываем два луча при помощи угольника или линейки.
Ставим точку. Вверх – 3 см, вправо – 6 см. Помним, что противоположные прямоугольника стороны равны. Чертим их – 6 см и 3 см.
Квадрат
А это тетрадь короля. Он чертил квадрат. Сравните со своим чертежом.
Ставим точку. Помним, что у квадрата все стороны равны. Откладываем вверх 7 см, вправо – 7 см. Чертим противоположные стороны по 7 см.
Молодцы, здорово получилось! Если такое занятие было для вас интересным и увлекательным, попробуйте начертить прямой угол, прямоугольник и квадрат на нелинованной бумаге. Сделать это будет гораздо сложнее. Здесь на помощь придет угольник: проверять прямой угол. Можно воспользоваться моделью прямого угла, которую мы изготовили.
Посмотрите, как это получилось у короля и Точки.
После нелегкого занятия король Луч и его дочка присели отдохнуть. Принцесса попросила рассказать интересную сказку. Давайте и мы послушаем!
Сказка
Жил-был на свете Прямоугольник. Фигура важная, спору нет! Люди ценили и уважали Прямоугольника, потому что при изготовлении многих вещей использовали эту фигуру. Всё хорошо у Прямоугольника, но одиноко как-то. Решил он найти своих родственников. Думает: «Если встречу родственников, сразу узнаю, потому что на меня должны быть похожи!».
Однажды встретил Прямоугольник Квадрата и говорит: «Как тебя зовут? Очень ты, брат, на меня похож!». Отвечает Квадрат: «Если найдем не меньше четырех общих признака, значит, родственники». Стали они друг друга рассматривать и обнаружили четыре сходства:
У каждого было по 4 угла, да все прямые, по 4 стороны, да стороны, которые одна напротив другой – одинаковой длины.
Обрадовались родственники, что нашли друг друга. Поспешили вместе отправиться дальше. Встретили однажды Четырехугольника и спрашивают: «Похож ты на нас. Уж не родня ли?».
Говорит им Четырехугольник: «Я был бы очень рад! Если найдем хотя бы два сходства, значит, родственники». Стали опять внимательно друг к другу приглядываться и увидели два общих признака:
- 4 угла.
- 4 стороны.
Обрадовались фигуры и решили не терять друг друга, держаться всегда рядом.
Понравилась вам сказка? Давайте повторим о фигурах все, что узнали.
В сказочное королевство Геометрия мы вернемся еще не раз. А этот урок подошел к концу. Выберите смайлик вашего настроения.
До скорой встречи в королевстве Геометрия! А сейчас проверьте свои знания. Принцесса Точка справилась с заданиями хорошо, допустила одну небольшую ошибку. Будьте внимательны, не спешите!