Углы в математике (а также в тригонометрии и физике) высчитываются и измеряются в градусах или в радианах. Важно понимать и определять связь между этими единицами измерения, и переводить их из одной в другую. Понимание и определение этой связи позволяет оперировать углами и перевести градусы в радианы, а также осуществить перевод из радиан в градусы с помощью специальной тригонометрической формулы — формулы перевода градусов в радианы. В данной статье мы разберемся, зачем все это нужно конвертировать (и что делать с конвертируемым), выведем формулу для перевода градусов в радианы и обратно — из радианов в градусы, а также разберем несколько примеров из практики по конвертации.
Связь между градусами и радианами
Что такое радиан? Радиан вместе с градусом является выражением угловой меры: это величина, которая используется для измерения плоских углов. Поэтому, когда говорят о таблице градусов и радиан, то имеют в виду таблицу, в которой представлены соответствия угловых градусов радианам (что позволяет вам не находить и не считать самостоятельно на калькуляторе, к примеру).
Как перевести радианы в градусы — есть формула? Для нахождения связи между градусами и радианами, необходимо узнать, сколько будет градусная и ридианная (радиальная) мера какого-либо угла (и для этого нам не нужно пользоваться каким-либо переводчиком онлайн). Например, возьмем центральный угол, который опирается на диаметр окружности радиуса r. Чтобы вычислить радианную меру этого угла, необходимо рассчитать определенные данные: длину дуги разделить на длину радиуса окружности. Рассматриваемому углу соответствует длина дуги, равная половине длины окружности π·r. Разделим длину дуги на радиус и получим радианную меру угла: π·rr=π рад.
Итак, рассматриваемый угол равен π радиан. С другой стороны, это развернутый угол, равный 180°. Следовательно, 180°=π рад.
Связь между радианами и градусами выражается следующей полной формулой
π радиан =180°
Формулы перевода из градусов в радианы и наоборот
Как перевести градусы в радианы не более, чем за минуту? Что делать с координатами в градусах, если нужны в радианах? Из содержания формулы, полученной выше, можно вывести другие формулы для перевода углов из радианов в градусы и обратно из градусов в радианы (взаимно преобразовывать и пересчитывать).
Как онлайн найти градусную меру угла и сделать пересчет? Выразим 1 радиан в градусах. Для этого разделим левую и правую части радиуса на пи.
1 рад=180π° — град. мера угла в 1 радиан равна 180π.
Также можно выразить один градус в радианах. Чему равен 1 радиан и во что он будет переходить? Вот простой расчет.
1°=π180рад
Можно произвести приблизительные вычисления величин угла в радианах и наоборот. Для этого возьмем значения числа π с точностью до десятитысячных и подставим в полученные формулы.
1 рад=180π°=1803,1416°=57,2956°
Значит, в одном радиане примерно 57 градусов
1°=π180рад=3,1416180рад=0,0175 рад
Один градус содержит 0,0175 радиана.
По какой формуле перевести радианы в градусы?
x рад=х·180π°
Чтобы перевести угол из радианов в градусы, нужно значение угла в радианах умножить на 180 и разделить на пи.
Примеры перевода градусов в радианы и радианов в градусы
Рассмотрим пример, как перевести градусы в радианы по формуле.
Конечно, в интернете это все может считаться за секунду, но у самостоятельного подсчета другие преимущества.
Пусть α=3,2 рад. Нужно узнать градусную меру этого угла.
Применим формулу перехода от радианов к градусам и получим:
3,2 рад=3,2·180π°≈3,2·1803,14°≈5763,14°≈183,4°
Аналогично можно получить формулу перевода в радианы из градусов.
y°=y·π180рад
Переведем 47 градусов в радианы.
Согласно формуле, умножим 47 на пи и разделим на 180.
47°≈47·3,14180≈0,82 рад
Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта
Укажите размеры:
Результат:
Решение:
Ссылка на страницу с результатом:
# Теория
Прямоугольный треугольник — это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками соединяющихся тремя точками, у которой все углы внутренние, при этом один из углов прямой (равен 90°).
β
α
a
b
c
Тангенс угла tg(α) — это тригонометрическая функция выражающая отношение противолежащего катета a к прилежащему катету b.
Формула тангенса
tg alpha = dfrac{a}{b}
- tg α — тангенс угла α
- a — противолежащий катет
- b — прилежащий катет
Арктангенс — это обратная тригонометрическая функция. Арктангенсом числа x называется такое значение угла α, выраженное в радианах, для которого tg α = x. Вычислить арктангенс, означает найти угол α, тангенс которого равен числу x.
Углы треугольника
Сумма углов треугольника всегда равна 180 градусов:
angle alpha + angle beta + angle gamma = 180°
Так как у прямоугольного треугольника один из углов равен 90°, то сумма двух других углов равна 90°.
Поэтому, если известен один из острых углов треугольника, второй угол можно посчитать по формуле:
angle alpha = 90° — angle beta
angle beta = 90° — angle alpha
Острый угол — угол, значение которого меньше 90°.
У прямоугольного треугольника один угол прямой, а два других угла — острые.
Похожие калькуляторы:
Войдите чтобы писать комментарии
Таблицы DPVA.ru — Инженерный Справочник
Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике dpva.ru: 
главная страница / / Техническая информация / / Математический справочник / / Геометрические фигуры. Свойства, формулы: периметры, площади, объемы, длины. Треугольники, Прямоугольники и т.д. Градусы в радианы. / / Формулы перевода градусов в радианы (градусной меры угла в радианную), длин, площадей и объемов основных геометрических фигур.
Формулы перевода градусов в радианы (градусной меры угла в радианную), длин, площадей и объемов основных геометрических фигур.
ФОРМУЛЫ РАСЧЕТА ПЛОЩАДИ
ФОРМУЛЫ РАСЧЕТА ОБЪЕМА
|
|||
|
Поиск в инженерном справочнике DPVA. Введите свой запрос: |
Поиск в инженерном справочнике DPVA. Введите свой запрос:
Если Вы не обнаружили себя в списке поставщиков, заметили ошибку, или у Вас есть дополнительные численные данные для коллег по теме, сообщите , пожалуйста.
Вложите в письмо ссылку на страницу с ошибкой, пожалуйста.
Угол может измеряться следующими величинами:
- Градусами (и соответствующими ему величинами: угловыми минутами и секундами);
- Радианами.
Градусная мера угла
Если взять развернутый угол (это два прямых угла) и поделить его на 180 частей, то одна такая часть будет называться одним градусом. Для того, чтобы измерить градусную меру угла, необходимо посчитать, сколько раз 1 градус входит в данный угол. Полученное число и будет ответом.
Если угол таков, что его нельзя измерить целым числом, либо же он меньше единичного угла, то используют такие меры измерения как угловые минуты и секунды.
Если градус поделить на 60 частей, то одной такой частью будет минута. В свою же очередь, если минуту разделить на те же 60 частей, то полученным числом будет 1 секунда.
Радианная мера угла
Радианом называют угол, образованный дугой окружности длинной равной радиусу этой окружности.
Длина окружности равна:
l=2⋅π⋅rl=2cdotpicdot r,
где rr — радиус этой окружности.
Тогда, разделив на радиус, получаем, что полный угол в радианах равен:
lr=2⋅π⋅rr=2⋅π радианfrac{l}{r}=frac{2cdotpicdot r}{r}=2cdotpitext{ радиан}
В градусах этот же угол равен, как известно, 360∘360^{circ}.
Отсюда находим связь между радианами и градусами:
2⋅π радиан=360∘2cdotpitext{ радиан}=360^{circ}
Это та главная формула, которая нужна, чтобы переводить градусы в радианы и наоборот.
Один радиан равен:
1 радиан=360∘2⋅π≈57.3∘1text{ радиан}=frac{360^{circ}}{2cdotpi}approx57.3^{circ}
Один радиан в минутах:
1 радиан=360∘2⋅π⋅60≈3438′1text{ радиан}=frac{360^{circ}}{2cdotpi}cdot60approx3438′
Один радиан в секундах:
1 радиан=360∘2⋅π⋅60⋅60≈206280′′1text{ радиан}=frac{360^{circ}}{2cdotpi}cdot60cdot60approx206280»
Перевод градусов в радианы
Если по условию известна градусная мера угла, то чтобы перевести ее в радианную, нужно сделать следующие действия: умножить ее на πpi и разделить на 180.
y радиан=π180⋅xytext{ радиан}=frac{pi}{180}cdot x
xx — значение угла в градусах;
yy — значение того же угла в радианах.
Переведите 45 градусов в радианную меру измерения. Ответ округлите до десятой доли.
Решение
45∘=π180⋅45 радиан≈0.8 радиан45^{circ}=frac{pi}{180}cdot 45text{ радиан}approx0.8text{ радиан}
Ответ
0.8 радиан0.8text{ радиан}
Земля совершила треть от половины оборота вокруг Солнца. На какой угол в радианах она повернулась?
Решение
Найдем сначала этот угол в градусах. Полный угол составляет 360∘360^circ. Половина от полного оборота это 180∘180^{circ}. Нам же нужна треть этого угла, то есть:
180∘3=60∘frac{180^circ}{3}=60^circ
Земля отклонилась на угол 60∘60^circ от своего начального положения. Переведем теперь этот угол в радианы:
60∘=π180⋅60 радиан≈1 радиан60^circ=frac{pi}{180}cdot 60text{ радиан}approx1text{ радиан}
Решение
1 радиан1text{ радиан}
Перевод радиан в градусы
Чтобы перевести радианы в градусы, нужно умножить угол в радианах на 180 и разделить на πpi.
y∘=180π⋅xy^{circ}=frac{180}{pi}cdot x
xx — значение угла в радианах;
yy — значение того же угла в градусах.
Переведите 3 радиана в градусную меру угла.
Решение
3 радиана=180π⋅3≈172∘3text{ радиана}=frac{180}{pi}cdot3approx172^circ
Ответ
172∘172^circ
Ищете, где можно заказать задачу по математике недорого? Обратитесь к нашим экспертам в данной области!
Тест по теме «Перевод градусов в радианы и наоборот»
Треугольник – это форма многоугольника, которая имеет три угла, образованных тремя сторонами. Каждая
из трех точек, в которых пересекаются стороны треугольника, называется его вершиной и образует
определенный угол. Стороны треугольника иногда еще называют линейными длинами, а углы – угловыми.
Сторону, противоположную определенному углу, обозначают той же буквой, что характеризует угол как
прилегающий. Стороны обозначаются латинскими буквами a, b, c, а углы – греческими α, β, γ. Зная
определенные параметры треугольника, можно найти его стороны и углы. При этом можно использовать как
линейные формулы, так и обращаться к различным теоремам, например, теореме синусов и косинусов.
- Угол треугольника через три стороны
- Угол прямоугольного треугольника через две стороны
- Угол треугольника через высоту и катет
- Угол при основании равнобедренного треугольника через
биссектрису и боковую сторону - Угол при основании равнобедренного треугольника через
биссектрису и основание - Угол между боковыми сторонами равнобедренного треугольника
через биссектрису и боковую сторону - Острый угол прямоугольного треугольника через катет и
площадь - Острый угол между боковыми сторонами равнобедренного
треугольника через площадь и боковую сторону
Угол треугольника через три стороны
Для того, чтобы найти угол по трем сторонам, нужно вычислить косинус определенного угла. Согласно
теореме косинусов, «квадрат длины стороны треугольника равен сумме квадратов двух других длин его
сторон, минус удвоенное произведение этих длин сторон на косинус угла между ними». Если взять за
предмет вычисления угол β, соответственно, получаем формулу: a² = b² + c² — 2 · b · c · cos (β).
Из полученного равенства можно вычислить
cos(α) = (a² + c² — b²) / 2ac
cos(β) = (a² + b² — c²) /
2ab
cos(γ) = (b² + c² — a²) / 2cb
где a, b, c — стороны треугольника.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример. Пусть a = 3, b = 7, c = 6. Cos (β) = (7² + 6² — 3²) : (2 · 7 · 6) = 19/21.
Зная косинус, нужно воспользоваться таблицей Брадиса и по ней найти угол. По таблице Брадиса, если
Cos (β) = 19/21, то β = 58,4°.
Угол прямоугольного треугольника через две стороны
Если известен катет и гипотенуза, угол вычисляется через синус. Если известны катеты и нужно найти
один из острых углов, то можно сделать это через вычисление тангенса.
sin(α) = cos (β) = a / c
sin(β) = cos (α) = b / c
tg(α) = ctg(β) = a
/ b
tg(β) = ctg(α) = b / a
где a, b — катеты, c — гипотенуза.
Цифр после запятой:
Результат в:
Пример. В прямоугольном треугольнике есть два катета a = 12, b = 9 и гипотенуза c =
15. Если известны катеты и нужно найти один из острых углов, то можно сделать это через вычисление
тангенса: tg(α) = a / b, то есть tg(α) = 12 / 9. По таблице Брадиса, угол
α = 53, 13°. Если известен катет и гипотенуза, угол вычисляется через синус sin(α) = a / c = 12 / 15 = 0,8. В
этом случае по таблице Брадиса для синусов и косинусов, значение угла – 36, 87°.
Острый угол прямоугольного треугольника через катет и площадь
Для того, чтобы вычислить размер острого угла, нужно образовать обратную формулу от площади
прямоугольного треугольника, которая вычисляется через катет и острый угол. Выглядит она следующим
образом: S = (a² * tg β) / 2. Из этих показателей известный площадь S и катет a. Отсюда формула для
нахождения угла будет следующая:
tg(α) = a² / 2S
где a — катет, S — площадь прямоугольного треугольника.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример. Пусть S = 34, a = 8. Получается следующее уравнение: tg(α) = a² / 2S = 8² + 2 * 34 = 132.
Таким образом выходит, что по таблице Брадиса, угол с таким тангенсом равен 43°.
Угол треугольника через высоту и катет
В некоторых прямоугольных треугольниках, в основании которых один острый угол, а второй 90°, один из
катетов (вертикальная прямая, образующая прямой угол) называется также высотой и обозначается как h.
Второй катет a остается со своим обычным названием.
sin α = h / a
где h — высота, a — катет.
Цифр после запятой:
Результат в:
Пример. Если высота h = 8, а катет a = 10, то угол α находится по формуле sin α = h / a = 8 / 10 = 0.8 то по таблице Брадиса составляет 53°
Угол при основании равнобедренного треугольника через биссектрису и основание
Равнобедренный треугольник ABC с основанием AC имеет биссектрису L (она же CK, делящая основание AC
на два отрезка AK и KB). Также биссектриса L делит угол BCA (он же γ) пополам (каждый из этих
половинок угла γ обозначается как x). То есть γ = 2х. Угол BAC (он же α) = BCA (он же γ), то есть α
= γ. При этом биссектриса L (она же CK) образовала в равнобедренном треугольнике ABC новый
равнобедренный треугольник AKC, в котором AK – это основание, а углы KAC и AKC равны между собой и
равны значению угла γ. Учитывая то, что угол γ равен 2х (то есть двум половинкам угла), то для
треугольника AKC, чтобы вычислить углы при основании, формула будет следующая:
tg α = L / (a/2)
где L — биссектриса, a — основание.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример. Пусть биссектриса L равна 15, основание а равно 45, подставив в формулу
получим tg α = L / (a/2) = 15 / (45/2) = 33.69º
Угол при основании равнобедренного треугольника через биссектрису и боковую сторону
Допустим, что у равнобедренного треугольника ABC углы при основании A (α) и C (γ) равны. Также AB =
BC. Биссектриса L берет начало из вершины А и пересекается с основанием АС, образуя точку
пересечения K, поэтому биссектрису L также можно называть АK. L разделила угол А пополам и основание
поделила на два отрезка: BK и KC. Образовался угол AKC = α (внешний угол для треугольника ABK).
Согласно свойствам внешнего угла:
sin α = L / b
где L — биссектриса, b — боковая сторона.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример. Пусть биссектриса L равна 15, боковая сторона b равна 30, подставив в
формулу получим sin α = L / b = 15/30 = 30º.
Угол между боковыми сторонами равнобедренного треугольника через биссектрису и боковую сторону
В равнобедренном треугольнике угол ABC (он же β) – это вершина треугольника. Стороны AB и BC равны, и
углы у основания BAC (α) и BCA (γ) тоже равны между собой. Биссектриса L берет начало из вершины B и
пересекается с основанием AC в точке K. Биссектриса BK разделила угол β пополам. Кроме того,
биссектриса разделила треугольник ABC на два прямоугольных треугольника ABK и CBK, так как углы BKA
и BKC – прямые и оба по 90°. Так как треугольники ABK и CBK зеркально одинаковые, для определения
угла β можно взять любой из них. В свою очередь биссектриса BK разделила угол β пополам, например,
на два равных угла х. Оба треугольника, образовавшихся внутри равнобедренного из-за биссектрисы,
прямоугольные, поэтому, чтобы вычислить угол β (он же 2х), нужно взять за правило вычисление угла
через высоту (она в данном случая является также биссектрисой) и катет (это отрезок AK или KC,
которые также равны между собой, так как биссектриса и основание равнобедренного треугольника также
поделила пополам).
2cos(β) = L / b
где L — биссектриса, b — боковая сторона.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример. В треугольнике BKC известна биссектриса L = 47 см и боковая сторона b = 64
см. Подставив значения в формулу получим: 2cos(β) = L / b = 47 / 64 = 85.49º
Острый угол между боковыми сторонами равнобедренного треугольника через площадь и боковую
сторону
Формула площади равнобедренного треугольника S = 1/2 * bh, где b – это
основание треугольника, а h – это медиана, которая разделила равнобедренный треугольника на два
прямоугольных. Формула для нахождения угла между боковыми сторонами через площадь и боковую сторону
будет следующая:
sin(α) = 2S / b²
где b — боковая сторона равнобедренного треугольника, S — площадь.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример. Если площадь равна 48, а сторона 10, то угол между боковыми сторонами можно
вычислить следующим образом: sin(α) = 2S / b² = 2 * 48 / 10² = 73.7º
Вне зависимости от условия задачи, известно, что сумма всех углов треугольника составляет 180°.
Поэтому, элементарно вычислить один из углов можно, когда известны два других. Но для вычисления
углов могут быть использованы и другие показатели. Например, для того, чтобы находить стороны и углы
треугольников, в них можно проводить дополнительные меридианы, биссектрисы, чертить окружности и
использовать эти фигуры как дополнительные вводные, через которые по формулам находятся
неизвестные.
Углы очень удобно вычислять через синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы, после чего сопоставлять
данные с таблицей Брадиса, в которой эти величины можно сконвертировать в градусы.