Как найти угол в выпуклом многоугольнике - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Главная
Справочники
Справочник по геометрии 7-9 класс
Четырехугольники
Выпуклый многоугольник

Выпуклый многоугольник — это многоугольник, который лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины. На рис.1 многоугольник М₁ является выпуклым многоугольником, а многоугольник М₂ — невыпуклым.

Сумма углов выпуклого многоугольника

Рассмотрим выпуклый n-угольник (рис.2,). А_nА₁А₂, А₁А₂А₃, …, А_n-1А_nА₁ — углы этого многоугольника. Найдем их сумму.

Соединим вершину А₁ диагоналями с другими вершинами (рис.2, б). В итоге получим n-2 треугольника, сумма углов которых равна сумме углов n-угольника. Сумма углов каждого треугольника равна 180⁰, поэтому сумма углов многоугольника А₁А₂…А_n равна (n-2)180⁰.

Сумма углов выпуклого n-угольника равна (n — 2)180⁰.

Примечание: Сумма углов невыпуклого n-угольника также равна (n — 2)180⁰.

Внешний угол выпуклого многоугольника

Внешний угол выпуклого многоугольника — угол, смежный с углом многоугольника. На рис.3 угол OAB внешний угол многоугольника АВСDE смежный с углом ВАЕ.

Если при каждой вершине выпуклого многоугольника А₁А₂…А_n взять по одному внешнему углу, то сумма этих внешних углов окажется равной

180⁰ — А₁ + 180⁰ — А₂ + … + 180⁰ — А_n = n180⁰ — (A₁ + A₂ + … + A_n) = n180⁰ — (n-2)180⁰ = n180⁰ — n180⁰ + 2180⁰ = 360⁰.

Сумма внешних углов выпуклого многоугольника равна 360⁰.

Советуем посмотреть:

Многоугольник

Четырехугольник

Параллелограмм

Признаки параллелограмма

Трапеция

Прямоугольник

Ромб и квадрат

Осевая и центральная симметрии

Четырехугольники

Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Задание 363,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 370,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 378,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 430,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 5,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 8,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 478,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 818,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1059,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1129,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Источник

Углы многоугольника

Сумма внутренних углов
Сумма внешних углов

Внутренний угол многоугольника — это угол, образованный двумя смежными сторонами многоугольника. Например, ∠ABC является внутренним углом.

Внешний угол многоугольника — это угол, образованный одной стороной многоугольника и продолжением другой стороны. Например, ∠LBC является внешним углом.

Количество углов многоугольника всегда равно количеству его сторон. Это относится и к внутренним углам и к внешним. Несмотря на то, что для каждой вершины многоугольника можно построить два равных внешних угла, из них всегда принимается во внимание только один. Следовательно, чтобы найти количество углов любого многоугольника, надо посчитать количество его сторон.

Сумма внутренних углов

Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника равна произведению 180° и количеству сторон без двух.

s = 2d(n — 2),

где s — это сумма углов, 2d — два прямых угла (то есть 2 · 90 = 180°), а n — количество сторон.

Если мы проведём из вершины A многоугольника ABCDEF все возможные диагонали, то разделим его на треугольники, количество которых будет на два меньше, чем сторон многоугольника:

Следовательно, сумма углов многоугольника будет равна сумме углов всех получившихся треугольников. Так как сумма углов каждого треугольника равна 180° (2d), то сумма углов всех треугольников будет равна произведению 2d на их количество:

s = 2d(n — 2) = 180 · 4 = 720°.

Из этой формулы следует, что сумма внутренних углов является постоянной величиной и зависит от количества сторон многоугольника.

Сумма внешних углов

Сумма внешних углов выпуклого многоугольника равна 360° (или 4d).

s = 4d,

где s — это сумма внешних углов, 4d — четыре прямых угла (то есть 4 · 90 = 360°).

Сумма внешнего и внутреннего угла при каждой вершине многоугольника равна 180° (2d), так как они являются смежными углами. Например, ∠1 и ∠2:

Следовательно, если многоугольник имеет n сторон (и n вершин), то сумма внешних и внутренних углов при всех n вершинах будет равна 2dn. Чтобы из этой суммы 2dn получить только сумму внешних углов, надо из неё вычесть сумму внутренних углов, то есть 2d(n — 2):

s = 2dn — 2d(n — 2) = 2dn — 2dn + 4d = 4d.

Источник

Теорема

(о сумме углов выпуклого многоугольника)

Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника равна 180º(n-2).

(n — количество сторон многоугольника).

Другой вариант формулировки этой теоремы:

Сумма внутренних углов выпуклого n — угольника равна 180º(n-2).

Дано:

$[{A_1}{A_2}{A_3}...{A_{n - 1}}{A_n}]$

— выпуклый n -угольник.

Доказать:

$[angle {A_1} + angle {A_2} + angle {A_3} + ... + angle {A_{n - 1}} + angle {A_n} = ]$

$[ = {180^o}(n - 2)]$

Доказательство:

1-й способ

Обозначим внутри многоугольника произвольную точку O.

Соединим точку O с вершинами многоугольника.

Получили n треугольников.

$[angle {A_1} + angle {A_2} + angle {A_3} + ... + angle {A_{n - 1}} + angle {A_n} = ]$

$[ = angle O{A_1}{A_2} + angle O{A_2}{A_1} + ... + ]$

$[ + angle O{A_{n - 1}}{A_n} + angle O{A_n}{A_{n - 1}}.]$

Сумма внутренних углов многоугольника равна сумме углов всех треугольников без углов при вершине O.

Так как сумма углов при вершине O составляет 360º

$[angle {A_1}O{A_2} + angle {A_2}O{A_3} + ... + angle {A_{n - 1}}O{A_n} = {360^o},]$

то сумма углов многоугольника равна сумме углов n треугольников минус 360º.

Сумма углов каждого треугольника равна 180º.

Таким образом, искомая сумма углов n угольника равна

$[angle {A_1} + angle {A_2} + angle {A_3} + ... + angle {A_{n - 1}} + angle {A_n} = ]$

$[ = {180^o} cdot n - {360^o} = {180^o}(n - 2).]$

Что и требовалось доказать.

2-й способ

Соединим вершину A1 со всеми остальными вершинами многоугольника. Получили n-2 треугольника.

Сумма всех углов этих треугольников равна сумме углов многоугольника.

Сумма углов углов каждого из треугольников равна 180º.

Следовательно, сумма углов многоугольника

$[angle {A_1} + angle {A_2} + angle {A_3} + ... + angle {A_{n - 1}} + angle {A_n} = ]$

$[ = {180^o}(n - 2).]$

Что и требовалось доказать.

Источник

В геометрии многоугольниками называют плоские замкнутые фигуры, состоящие из нескольких прямых отрезков. Суммарная длина всех сторон называется периметром.

Поговорим подробнее о видах многоугольников и их характеристиках.

Определение

Многоугольник — это замкнутая ломаная линия.

Многоугольник — это простое понятие: Если в замкнутой ломаной линии соседние стороны имеют общую точку и любые две стороны не являются продолжением друг друга, то фигура называется многоугольником.

При изучении темы, что такое многоугольники, применяются следующие термины:

Вершины многоугольника.
Стороны замкнутой ломаной.
Углы, образованные между смежными сторонами.
Отрезки между несмежными вершинами называются диагоналями.
Сумма длин всех сторон фигуры является периметром.
Внутренние углы между соседними сторонами. Число углов равно числу сторон и вершин.

Наименования данных фигур зависят от количества сторон:

Треугольник – это 3 стороны.
Четырехугольник имеет 4 стороны.
Пятиугольник – это 5 сторон и пр.

Все фигуры имеют буквенные обозначения, необходимо правильно проставлять их при вершинах.

Например, обозначение пятиугольника ABCDE будет выглядеть так:

В этом пятиугольнике вершинами являются точки: A, B, C, D и E.

Отрезки: AB, BC, CD, DE и EA являются сторонами пятиугольника.

Виды многоугольников

Различают несколько видов этих фигур: выпуклые, вогнутые, правильные и неправильные.

Какие многоугольники называются выпуклыми и невыпуклыми (вогнутыми)? Чтобы определить, какой многоугольник называется выпуклым, достаточно знать его определение.

Если стороны, при продолжении до прямой линии, не пересекают плоскость, то это выпуклый многоугольник.

Определение невыпуклого многоугольника: если при продолжении сторон прямые линии пересекают плоскость фигуры, то она является вогнутой.

Что такое правильные многоугольники

Выпуклые многоугольники, у которых все стороны и все углы равны, называются правильными.

На рисунке показан правильный многоугольник.

Как найти периметр многоугольника и определить диагонали

Периметром многоугольника называется сумма длин его сторон.

Для четырехугольника ABCD периметр будет равен сумме его сторон: AB + BC + CD + DA.

Пример

Задание: Длина одной стороны четырехугольника ABCD равна 3 см. Требуется найти
периметр четырехугольника.

Решение: AB + BC + CD + DA = 3 + 3 + 3 + 3 = 12 см

Ответ: периметр четырехугольника ABCD равен 12 см.

Диагональю многоугольника является отрезок, который соединяет вершины противоположных углов.

Например, отрезок AD будет являться диагональю фигуры ABCDEF:

Свойство треугольников: если треугольник не имеет углов с общими сторонами, диагональ он иметь не может.

Если из вершин провести несколько диагоналей, то они разделят фигуру на несколько треугольников:

Количество треугольников будет на 2 меньше, чем число сторон:

Если t — количество треугольников, а n — количество сторон, то формула будет выглядеть так: t = n – 2.

Разделение многоугольника диагоналями на несколько треугольников помогает быстро найти площадь.

Чтобы найти площадь многоугольника, нужно разделить его на треугольники, затем найти их площадь и сложить полученные результаты.

Сумма углов выпуклого многоугольника

Научимся находить сумму углов выпуклого четырёхугольника, не только внешних, но и внутренних. Но сначала определим, какие углы называются внутренними углами выпуклого многоугольника.

Внутренним называется угол между смежными сторонами.

Например, ∠ABC является внутренним для ABCDEF.

Внешним называют угол между стороной фигуры и линейным продолжением близлежащего отрезка.

Например, ∠LBC является внешним углом для ABCDEF.

Правило: сумма углов выпуклого многоугольника всегда равно числу его сторон. Это определение относится ко всем углам.

Это значит, чтобы найти количество углов, достаточно посчитать количество всех его сторон. Значит сумма углов четырехугольника будет равна четырем.

Сумма внутренних углов

Правило для нахождения суммы углов гласит: чтобы найти сумму всех внутренних углов выпуклого многоугольника, нужно умножить уменьшенное на 2 количество его сторон на 180°.

Обозначения выглядят следующим образом:

сумма углов – s;
число сторон – n;
два прямых угла (2 · 90 = 180°) – 2d.

Формула многоугольника для нахождения суммы углов: s = 2d · (n – 2).

Найти сумму углов также можно с помощью деления фигуры на треугольники. Она будет равна сумме углов всех треугольников (180° · n).

Пример:

Если у фигуры 4 треугольника, то сумму всех углов находим по следующей формуле: s = 2d (n — 2) = 180 · 4 = 720°.

Это означает, что сумма внутренних углов – это постоянная величина, которая зависит от количества его сторон.

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Сумма внешних углов

Определение: Сумму всех внешних углов многоугольника находим по формуле: s = 4d.

Где:

s — сумма внешних углов;
4d — четыре прямых угла (4 · 90 = 360°).

Сумма смежных (внутреннего и внешнего) углов, лежащих при вершине, равна 180° · (2d).

Например, ∠1 и ∠2:

Если имеется n вершин, то сумма внутренних и внешних и углов будет равна 2dn.

Пример

Задание: Найдите сумму углов выпуклого двенадцатиугольника.

Решение: Для выпуклого n-угольника сумма углов равна 180° (n -2).

Если имеется 12 вершин, то сумма всех углов будет рассчитываться следующим образом: 2 · 90 · (12 – 2) = 1800°.

Зная основные формулы и определения для многоугольников, можно легко справиться с любой задачей.

Источник

Чему равна сумма углов выпуклого многоугольника

Воскресенье, 19 февраля, 2017

В 8 классе на уроках геометрии в школе ученики впервые знакомятся с понятием выпуклого многоугольника. Очень скоро они узнают, что эта фигура обладает очень интересным свойством. Какой бы сложной она ни была, сумма всех внутренних и внешних углов выпуклого многоугольника принимает строго определенное значение. В данной статье репетитор по математике и физике рассказывает о том, чему равна сумма углов выпуклого многоугольника.

Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника

Как доказать эту формулу?

Прежде чем перейти к доказательству этого утверждения, вспомним, какой многоугольник называется выпуклым. Выпуклым называется такой многоугольник, который целиком находится по одну сторону от прямой, содержащей любую его сторону. Например такой, который изображен на этом рисунке:

Если же многоугольник не удовлетворяет указанному условию, то он называется невыпуклым. Например, такой:

Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника равна $180^{circ}(n-2)$ , где — количество сторон многоугольника.

Доказательство этого факта основано на хорошо известной всем школьникам теореме о сумме углов в треугольнике. Уверен, что и вам эта теорема знакома. Сумма внутренних углов треугольника равна $180^{circ}$ .

Идея состоит в том, чтобы разбить выпуклый многоугольник на несколько треугольников. Сделать это можно разными способами. В зависимости от того, какой способ мы выберем, доказательства будут немного отличаться.

1. Разобьём выпуклый многоугольник на треугольники всеми возможными диагоналями, проведёнными из какой-нибудь вершины. Легко понять, что тогда наш n-угольник разобьётся на треугольника:

Причём сумма всех углов всех получившихся треугольников равна сумме углов нашего n-угольника. Ведь каждый угол в получившихся треугольниках является частичной какого-то угла в нашем выпуклом многоугольнике. То есть искомая сумма равна $180^{circ}(n-2)$ .

2. Можно также выбрать точку внутри выпуклого многоугольника и соединить её со всеми вершинами. Тогда наш n-угольник разобьется на треугольников:

Причём сумма углов нашего многоугольника в этом случае будет равна сумме всех углов всех этих треугольников за вычетом центрального угла, который равен $360^{circ}$ . То есть искомая сумма опять же равна $180^{circ}n-360^{circ}=180^{circ}(n-2)$ .

Сумма внешних углов выпуклого многоугольника

Зададимся теперь вопросом: «Чему равна сумма внешних углов выпуклого многоугольника?» Ответить на этот вопрос можно следующим образом. Каждый внешний угол является смежным с соответствующим внутренним. Поэтому он равен $alpha_n=180^{circ}-beta_n$ :

Тогда сумма всех внешних углов равна $180^{circ}n-180^{circ}(n-2)$ . То есть она равна $360^{circ}$ .

То есть получается весьма забавный результат. Если отложить последовательно друг за другом все внешние углы любого выпуклого n-угольника, то в результате заполнится ровно вся плоскости.

Этот интересный факт можно проиллюстрировать следующим образом. Давайте пропорциональном уменьшать все стороны какого-нибудь выпуклого многоугольника до тех пор, пока он не сольётся в точку. После того, как это произойдёт, все внешние углы окажутся отложенными один от другого и заполнят таким образом всю плоскость.

Интересный факт, не правда ли? И таких фактов в геометрии очень много. Так что учите геометрию, дорогие школьники!

Материал о том, чему равна сумма углов выпуклого многоугольника, подготовил репетитор по геометрии, Сергей Валерьевич

Источник