Угол между векторами.
Формула вычисления угла между векторами
| cos α = | a · b |
| | a |·| b | |
Примеры задач на вычисление угла между векторами
Примеры вычисления угла между векторами для плоских задачи
Решение: Найдем скалярное произведение векторов:
a · b = 3 · 4 + 4 · 3 = 12 + 12 = 24.
Найдем модули векторов:
| a | = √ 3 2 + 4 2 = √ 9 + 16 = √ 25 = 5
| b | = √ 4 2 + 3 2 = √ 16 + 9 = √ 25 = 5
Найдем угол между векторами:
| cos α = | a · b | = | 24 | = | 24 | = 0.96 |
| | a | · | b | | 5 · 5 | 25 |
Решение: Найдем скалярное произведение векторов:
a · b = 5 · 7 + 1 · 5 = 35 + 5 = 40.
Найдем модули векторов:
| a | = √ 7 2 + 1 2 = √ 49 + 1 = √ 50 = 5√ 2
| b | = √ 5 2 + 5 2 = √ 25 + 25 = √ 50 = 5√ 2
Найдем угол между векторами:
| cos α = | a · b | = | 40 | = | 40 | = | 4 | = 0.8 |
| | a | · | b | | 5√ 2 · 5√ 2 | 50 | 5 |
Примеры вычисления угла между векторами для пространственных задач
Решение: Найдем скалярное произведение векторов:
a · b = 3 · 4 + 4 · 4 + 0 · 2 = 12 + 16 + 0 = 28.
Найдем модули векторов:
| a | = √ 3 2 + 4 2 + 0 2 = √ 9 + 16 = √ 25 = 5
| b | = √ 4 2 + 4 2 + 2 2 = √ 16 + 16 + 4 = √ 36 = 6
Найдем угол между векторами:
| cos α = | a · b | = | 28 | = | 14 |
| | a | · | b | | 5 · 6 | 15 |
Решение: Найдем скалярное произведение векторов:
a · b = 1 · 5 + 0 · 5 + 3 · 0 = 5.
Найдем модули векторов:
| a | = √ 1 2 + 0 2 + 3 2 = √ 1 + 9 = √ 10
| b | = √ 5 2 + 5 2 + 0 2 = √ 25 + 25 = √ 50 = 5√ 2
Найдем угол между векторами:
cos α = a · b | a | · | b | = 5 √ 10 · 5√ 2 = 1 2√ 5 = √ 5 10 = 0.1√ 5
Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!
Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.
Нахождение угла между векторами
Длина вектора, угол между векторами – эти понятия являются естественно-применимыми и интуитивно понятными при определении вектора как отрезка определенного направления. Ниже научимся определять угол между векторами в трехмерном пространстве, его косинус и рассмотрим теорию на примерах.
Для рассмотрения понятия угла между векторами обратимся к графической иллюстрации: зададим на плоскости или в трехмерном пространстве два вектора a → и b → , являющиеся ненулевыми. Зададим также произвольную точку O и отложим от нее векторы O A → = b → и O B → = b →
Углом между векторами a → и b → называется угол между лучами О А и О В .
Полученный угол будем обозначать следующим образом: a → , b → ^
Очевидно, что угол имеет возможность принимать значения от 0 до π или от 0 до 180 градусов.
a → , b → ^ = 0 , когда векторы являются сонаправленными и a → , b → ^ = π , когда векторы противоположнонаправлены.
Векторы называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 градусов или π 2 радиан.
Если хотя бы один из векторов является нулевым, то угол a → , b → ^ не определен.
Нахождение угла между векторами
Косинус угла между двумя векторами, а значит и собственно угол, обычно может быть определен или при помощи скалярного произведения векторов, или посредством теоремы косинусов для треугольника, построенного на основе двух данных векторов.
Согласно определению скалярное произведение есть a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ .
Если заданные векторы a → и b → ненулевые, то можем разделить правую и левую части равенства на произведение длин этих векторов, получая, таким образом, формулу для нахождения косинуса угла между ненулевыми векторами:
cos a → , b → ^ = a → , b → a → · b →
Данная формула используется, когда в числе исходных данных есть длины векторов и их скалярное произведение.
Исходные данные: векторы a → и b → . Длины их равны 3 и 6 соответственно, а их скалярное произведение равно — 9 . Необходимо вычислить косинус угла между векторами и найти сам угол.
Решение
Исходных данных достаточно, чтобы применить полученную выше формулу, тогда cos a → , b → ^ = — 9 3 · 6 = — 1 2 ,
Теперь определим угол между векторами: a → , b → ^ = a r c cos ( — 1 2 ) = 3 π 4
Ответ: cos a → , b → ^ = — 1 2 , a → , b → ^ = 3 π 4
Чаще встречаются задачи, где векторы задаются координатами в прямоугольной системе координат. Для таких случаев необходимо вывести ту же формулу, но в координатной форме.
Длина вектора определяется как корень квадратный из суммы квадратов его координат, а скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат. Тогда формула для нахождения косинуса угла между векторами на плоскости a → = ( a x , a y ) , b → = ( b x , b y ) выглядит так:
cos a → , b → ^ = a x · b x + a y · b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2
А формула для нахождения косинуса угла между векторами в трехмерном пространстве a → = ( a x , a y , a z ) , b → = ( b x , b y , b z ) будет иметь вид: cos a → , b → ^ = a x · b x + a y · b y + a z · b z a x 2 + a y 2 + a z 2 · b x 2 + b y 2 + b z 2
Исходные данные: векторы a → = ( 2 , 0 , — 1 ) , b → = ( 1 , 2 , 3 ) в прямоугольной системе координат. Необходимо определить угол между ними.
Решение
- Для решения задачи можем сразу применить формулу:
cos a → , b → ^ = 2 · 1 + 0 · 2 + ( — 1 ) · 3 2 2 + 0 2 + ( — 1 ) 2 · 1 2 + 2 2 + 3 2 = — 1 70 ⇒ a → , b → ^ = a r c cos ( — 1 70 ) = — a r c cos 1 70
- Также можно определить угол по формуле:
cos a → , b → ^ = ( a → , b → ) a → · b → ,
но предварительно рассчитать длины векторов и скалярное произведение по координатам: a → = 2 2 + 0 2 + ( — 1 ) 2 = 5 b → = 1 2 + 2 2 + 3 2 = 14 a → , b → ^ = 2 · 1 + 0 · 2 + ( — 1 ) · 3 = — 1 cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → · b → = — 1 5 · 14 = — 1 70 ⇒ a → , b → ^ = — a r c cos 1 70
Ответ: a → , b → ^ = — a r c cos 1 70
Также распространены задачи, когда заданы координаты трех точек в прямоугольной системе координат и необходимо определить какой-нибудь угол. И тогда, для того, чтобы определить угол между векторами с заданными координатами точек, необходимо вычислить координаты векторов в виде разности соответствующих точек начала и конца вектора.
Исходные данные: на плоскости в прямоугольной системе координат заданы точки A ( 2 , — 1 ) , B ( 3 , 2 ) , C ( 7 , — 2 ) . Необходимо определить косинус угла между векторами A C → и B C → .
Решение
Найдем координаты векторов по координатам заданных точек A C → = ( 7 — 2 , — 2 — ( — 1 ) ) = ( 5 , — 1 ) B C → = ( 7 — 3 , — 2 — 2 ) = ( 4 , — 4 )
Теперь используем формулу для определения косинуса угла между векторами на плоскости в координатах: cos A C → , B C → ^ = ( A C → , B C → ) A C → · B C → = 5 · 4 + ( — 1 ) · ( — 4 ) 5 2 + ( — 1 ) 2 · 4 2 + ( — 4 ) 2 = 24 26 · 32 = 3 13
Ответ: cos A C → , B C → ^ = 3 13
Угол между векторами можно определить по теореме косинусов. Отложим от точки O векторы O A → = a → и O B → = b → , тогда, согласно теореме косинусов в треугольнике О А В , будет верным равенство:
A B 2 = O A 2 + O B 2 — 2 · O A · O B · cos ( ∠ A O B ) ,
b → — a → 2 = a → + b → — 2 · a → · b → · cos ( a → , b → ) ^
и отсюда выведем формулу косинуса угла:
cos ( a → , b → ) ^ = 1 2 · a → 2 + b → 2 — b → — a → 2 a → · b →
Для применения полученной формулы нам нужны длины векторов, которые несложно определяются по их координатам.
Хотя указанный способ имеет место быть, все же чаще применяют формулу:
Как найти угол между векторами
Чтобы найти угол ( phi ) между векторами, вы должны сначала найти косинус угла, а затем из него найти арккосинус, то есть:
( phi=arccos (cos phi) )
Косинус угла между векторами равен скалярному произведению этих векторов, деленному на произведение их длин. Если векторы заданы на плоскости и имеют координаты ( overline=left(a_ ; a_right), overline=left(b_ ; b_right) ) , то косинус между ними рассчитывается по формуле:
ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА УГЛОВ МЕЖДУ ВЕКТОРАМИ
Задание: Найти угол ( phi ) между векторами ( overline=(1 ; 3) quad<и>quad overline=(4 ; 2) )
Решение: Сначала по формуле
найти косинус угла между заданными векторами:
Тогда требуемый угол ( phi=arccos left(frac<sqrt<2>><2>right)=45^ <circ>)
Решение: Сначала находим косинус угла между заданными векторами, для этого используем формулу
Подставляя координаты векторов ( overline overline ) , получим
http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/vektory/nahozhdenie-ugla-mezhdu-vektorami-primery-i-reshen/
http://www.homework.ru/spravochnik/kak-najti-ugol-mezhdu-vektorami/
Содержание:
- Формула
- Примеры вычисления угла между векторами
Формула
Чтобы найти угол $phi$ между векторами нужно вначале найти
косинус угла, а затем от него найти арккосинус, то есть:
$$phi=arccos (cos phi)$$
Косинус угла между векторами равен
скалярному произведению этих векторов, деленному на произведение их
длин.
В случае если векторы заданны на плоскости и имеют координаты
$bar{a}=left(a_{x} ; a_{y}right)$, $bar{b}=left(b_{x} ; b_{y}right)$, то косинус между ними вычисляется по формуле:
$$cos phi=frac{(bar{a}, bar{b})}{|bar{a}| cdot|bar{b}|}=frac{a_{x} cdot b_{x}+a_{y} cdot b_{y}}{sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}} sqrt{b_{x}^{2}+b_{y}^{2}}}$$
В случае, если векторы заданы в пространстве, то есть
$bar{a}=left(a_{x} ; a_{y} ; a_{z}right)$ и $bar{b}=left(b_{x} ; b_{y} ; b_{z}right)$, то косинус угла между ними равен:
$$cos phi=frac{(bar{a}, bar{b})}{|bar{a}| cdot|bar{b}|}=frac{a_{x} cdot b_{x}+a_{y} cdot b_{y}+a_{z} cdot b_{z}}{sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}} sqrt{b_{x}^{2}+b_{y}^{2}+b_{z}^{2}}}$$
Примеры вычисления угла между векторами
Пример
Задание. Найти угол $phi$ между векторами
$bar{a}=(1 ; 3)$ и $bar{b}=(4 ; 2)$
Решение. Сначала по формуле
$$cos phi=frac{(bar{a}, bar{b})}{|bar{a}| cdot|bar{b}|}=frac{a_{x} cdot b_{x}+a_{y} cdot b_{y}}{sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}} sqrt{b_{x}^{2}+b_{y}^{2}}}$$
найдем косинус угла между заданными векторами:
$$begin{aligned} cos phi=frac{(bar{a}, bar{b})}{|bar{a}| cdot|bar{b}|}=& frac{1 cdot 4+3 cdot 2}{sqrt{1^{2}+3^{2}} cdot sqrt{4^{2}+2^{2}}}=frac{4+6}{sqrt{1+9} cdot sqrt{16+4}}=\ &=frac{10}{sqrt{10} cdot sqrt{20}=frac{1}{sqrt{2}}=frac{sqrt{2}}{2}} end{aligned}$$
Тогда искомый угол равен
$$phi=arccos left(frac{sqrt{2}}{2}right)=45^{circ}$$
Ответ. $phi=45^{circ}$
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
Пример
Задание. Найти угол $phi$ между векторами
$bar{a}=(8 ;-7 ;-2)$ и $bar{b}=(7 ;-11 ; 8)$
Решение. Найдем сначала косинус угла между заданными векторами, для этого воспользуемся формулой
$$cos phi=frac{(bar{a}, bar{b})}{|bar{a}| cdot|bar{b}|}=frac{a_{x} cdot b_{x}+a_{y} cdot b_{y}+a_{z} cdot b_{z}}{sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}} cdot sqrt{b_{x}^{2}+b_{y}^{2}+b_{z}^{2}}}$$
Подставляя координаты векторов
$bar{a}$ и $bar{b}$, получим
$$begin{aligned} cos phi=frac{(bar{a}, bar{b})}{|bar{a}| cdot|bar{b}|}=frac{8 cdot 7+(-7) cdot(-11)+(-2) cdot 8}{sqrt{8^{2}+(-7)^{2}+(-2)^{2}} sqrt{7^{2}+(-11)^{2}+8^{2}}} &=\=frac{56+77-16}{sqrt{64+49+4} sqrt{49+121+64}}=frac{117}{sqrt{117} sqrt{234}}=\=frac{117}{117 sqrt{2}}=frac{1}{sqrt{2}}=frac{sqrt{2}}{2} end{aligned}$$
Угол же будет равен
$$phi=arccos left(frac{sqrt{2}}{2}right)=45^{circ}$$
Ответ. $phi=45^{circ}$
Читать дальше: как найти косинус угла между векторами.
Заказать задачи по любым предметам можно здесь от 10 минут
Угол между векторами
Иногда студенты при решении задач аналитической геометрии сталкиваются с вопросом: «Как найти угол между векторами?». Чтобы решить такую задачу нужно сначала найти косинус угла между ними, а затем и сам угол. Для этого применяется такая формула: $$ phi = arccos(cos phi) $$
Если воспользоваться данной формулой, то сначала нужно найти угол между векторами $ cos phi $. Затем находим арккосинус от косинуса угла $ phi $. А чему равен $ cos phi $? Для его нахождения необходимо воспользоваться следующими формулами.
Формула
Если векторы расположены на плоскости и координаты их заданы в виде: $ overline{a} = (a_x; a_y) $ и $ overline{b} = (b_x; b_y) $, то найти угол между ними можно так:
$$ cos phi = frac{(overline{a},overline{b})}{|overline{a}| cdot |overline{b}|} = frac{a_xcdot b_x + a_y cdot b_y}{sqrt{a_x ^2 + a_y ^2}cdot sqrt{b_x ^2 + b_y ^2}} $$
Если вектора находятся в пространстве и координаты каждого из них заданы в виде: $ overline{a} = (a_x; a_y; a_z) $ и $ overline{b} = (b_x; b_y; b_z) $, то вычислить косинус угла следует по формуле:
$$ cos phi = frac{(overline{a},overline{b})}{|overline{a}| cdot |overline{b}|} = frac{a_xcdot b_x + a_y cdot b_y + a_z cdot b_z}{sqrt{a_x ^2 + a_y ^2 + a_z ^2}cdot sqrt{b_x ^2 + b_y ^2 + b_z ^2}} $$
Пояснение. В числителе расположено скалярное произведение векторов $ overline{a} $ и $ overline{b} $. Оно равно сумме произведений соответствующих координат. В знаменателе перемножаются модули (длины) векторов.
Примеры решений
| Пример 1 |
| Найти угол между векторами $ overline{a} = (2;4) $ и $ overline{b} = (3;1) $ |
| Решение |
|
Сначала находим косинус угла между векторами по формуле: $$ cos phi = frac{(overline{a},overline{b})}{|overline{a}| cdot |overline{b}|} = frac{2cdot 3 + 4 cdot 1}{sqrt{2^2 + 4^2} cdot sqrt{3^2 + 1^2} } = frac{10}{sqrt{20} cdot sqrt{10}} = $$ $$ = frac{10}{sqrt{200}} = frac{1}{sqrt{2}} = frac{sqrt{2}}{2} $$ Теперь искомый угол $ phi $ находим по другой формуле: $$ phi = arccos (cos phi) = arccos (cos frac{sqrt{2}}{2}) = 45^0 $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| Угол между двумя векторами равен $ phi = 45^0 $ |
| Пример 2 |
| Найти угол $ phi $ между двумя векторами $ overline{a} = (8;-11;7) $ и $ overline{b} = (-2;-7;8) $ |
| Решение |
|
Подставляем координаты в формулу и вычисляем: $$ cos phi = frac{8cdot (-2) + (-11)cdot (-7) + 7cdot 8}{sqrt{8^2+(-11)^2+7^2} cdot sqrt{(-2)^2+(-7)^2+8^2} } = $$ $$ = frac{-16+77+56}{sqrt{234} cdot sqrt{117}} = frac{117}{sqrt{234} cdot sqrt{117}} = $$ $$ = frac{sqrt{117}}{sqrt{234}} = frac{1}{sqrt{2}} = frac{sqrt{2}}{2} $$ Далее находим сам угол $ phi $ с помощью арккосинуса: $$ phi = arccos frac{sqrt{2}}{2} = 45^0 $$ |
| Ответ |
| Угол $ phi = 45^0 $ |
1.6.5. Как найти угол между векторами?
Снова посмотрим на нашу формулу 
. По
правилу пропорции сбросим длины векторов в знаменатель левой части:
, а части поменяем местами:
В чём смысл этой формулы? Если известны длины двух векторов и их скалярное произведение, то можно вычислить косинус угла
между данными векторами, а, следовательно, и сам угол – с помощью обратной функции 
.
Задача 21
Найти угол между векторами 
и 
, если известно, что 
.
Решение: используем формулу:
На заключительном этапе вычислений использован технический приём – устранение иррациональности в
знаменателе. В целях устранения иррациональности я домножил числитель и знаменатель на 
.
Итак, если 
, то 
Значения обратных тригонометрических функций можно находить по соответствующей тригонометрической таблице (см.
Приложение Тригонометрия). Но гораздо чаще появляется какой-нибудь неуклюжий медведь вроде 
, и значение угла приходится находить приближенно,
используя калькулятор.
Ответ: 
Опять – не забываем указывать размерность, радианы и градусы. Лично я, чтобы заведомо «снять все
вопросы», предпочитаю указывать и то, и то (если по условию, конечно, не требуется представить ответ только в радианах или
только в градусах).
Теперь вы сможете самостоятельно справиться с более сложным заданием:
Задача 22
Даны 
– длины векторов 
, 
и угол между ними 
. Найти угол между векторами 
, 
.
Разберём алгоритм решения:
1) По условию требуется найти угол между векторами 
и 
,
поэтому нужно использовать формулу 
.
2) Находим скалярное произведение 
(см. Задачи
18-19).
3) Находим длину вектора 
и длину вектора 
(см. Задачи 20-21).
4) Концовка решения совпадает с Задачей 22.
Краткое решение и ответ в конце книги.
1.6.6. Скалярное произведение векторов в координатах
1.6.4. Свойства скалярного произведения
| Оглавление |
Автор: Aлeксaндр Eмeлин
Угол между векторами
Если
известны длины двух векторов и их
скалярное произведение, то можно
вычислить косинус угла между данными
векторами, а, следовательно, и сам угол.
.
Пример
Найти
угол между векторами
и 
,
если известно, что 
.
Решение: Используем
формулу:
На
заключительном этапе вычислений
использован технический приём –
устранение иррациональности в знаменателе.
В целях устранения иррациональности я
домножил числитель и знаменатель на 
.
Итак,
если 
,
то:
Ответ: 
Не
забываем указывать размерность –
радианы и градусы.
Пример
Даны 
–
длины векторов
,
и
угол между ними 
.
Найти угол между векторами 
, 
.
Алгоритм
решения:
1)
По условию требуется найти угол между
векторами
и 
,
поэтому нужно использовать формулу 
.
2)
Находим скалярное произведение 
.
3)
Находим длину вектора
и
длину вектора
.
4)
Нам известно число 
,
а значит, легко найти и сам угол: 
Сделайте
самостоятельно и сравните с решением.
Решение:
Найдём скалярное произведение:
Найдём
длину вектора
:
Найдём
длину вектора
:
Таким
образом:
Ответ: 
Скалярное произведение векторов, заданных координатами в ортонормированном базисе
В
данном разделе рассматриваются только
ортонормированные базисы плоскости
и пространства.
Скалярное
произведение векторов
и 
,
заданных в ортонормированном
базисе
, выражается
формулой 
Скалярное
произведение векторов 
,
заданных в ортонормированном
базисе
, выражается
формулой 
То
есть, скалярное произведение равно
сумме произведений соответствующих
координат векторов.
Пример
Найти
скалярное произведение
векторов:
а) 
и 
б)
и 
,
если даны точки 
Решение:
а)
Здесь даны векторы плоскости. По
формуле 
:
б)
Сначала найдём векторы:
По
формуле 
вычислим
скалярное произведение:
Ответ: 
Проверка векторов на ортогональность с помощью скалярного произведения
Векторы
и 
ортогональны
тогда и только тогда, когда 
.
В координатах данный факт запишется
следующим образом:
(для
векторов плоскости);
(для
векторов пространства).
Пример
а)
Проверить ортогональность векторов: 
и 
б)
Выяснить, будут ли перпендикулярными
отрезки 
и 
,
если 
Решение:
а)
Вычислим их скалярное произведение:
,
следовательно, 
б)
Найдём векторы:
Вычислим
их скалярное произведение:
,
значит, отрезки
и
не
перпендикулярны.
Ответ: а)
,
б) отрезки 
не
перпендикулярны.
Формула косинуса угла между векторами, которые заданы координатами
Косинус
угла между векторами плоскости
и 
,
заданными в ортонормированном
базисе
, выражается
формулой:
.
Косинус
угла между векторами пространства
,
заданными в ортонормированном
базисе
, выражается
формулой:
Пример
Даны
три вершины треугольника 
.
Найти 
(угол
при вершине 
).
Решение:
Требуемый
угол
помечен
дугой. Угол
треугольника
совпадает с углом между векторами
и 
,
иными словами: 
.
Найдём
векторы:
Вычислим
скалярное произведение:
И
длины векторов:
Косинус
угла:
Найдём
сам угол:
Ответ: 
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #