Как найти угол зная координаты трех точек - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Угол между векторами

Определение

Угол между векторами — это угол между отрезками, которые изображают эти две направляющие и которые отложены от одной точки пространства. Другими словами — это кратчайший путь, на который можно повернуть один из векторов вокруг его начала до положения общей направленности со вторым.

Угол между векторами

На изображении это α, который также можно обозначить следующим образом:

(left(widehat{overrightarrow a;overrightarrow b}right))

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Как и любой другой угол, векторный может быть представлен в нескольких вариациях.

Острый:

Острый угол между векторами

Тупой:

Тупой угол между векторами

Прямой:

Прямой угол

С величиной (0^circ) (то есть, векторы сонаправлены):

0 градусов

С величиной (180^circ) (векторы направлены в противоположные стороны):

180 градусов

Нахождение угла между векторами

Как правило, угол между ( overrightarrow a) и (overrightarrow b) можно найти с помощью скалярного произведения или теоремы косинусов для треугольника, который был построен на основе двух этих направляющих.

Определение

Скалярное произведение — это число, которое равно произведению двух направляющих на косинус угла между ними.

Формула скалярного произведения:

(left(overrightarrow a;overrightarrow bright)=left|overrightarrow aright|timesleft|overrightarrow bright|timescosleft(widehat{overrightarrow a;overrightarrow b}right))

Если α — острый, то СП (скалярное произведение) будет положительным числом (cos острого угла — положительное число).
Если векторы имеют общую направленность, то есть угол между ними равен (0^circ), а косинус — 1, то СП будет тоже положительным.
Если α — тупой, то скалярное произведение будет отрицательным (cos тупого угла — отрицательное число).
Если α равен (180^circ), то есть векторы противоположно направлены, то СП тоже отрицательно, потому что cos данного угла равен 1.
Если α — прямой, то СП равно 0, так как косинус (90^circ) равен 0.

В случае, если overrightarrow a и overrightarrow b не нулевые, можно найти косинус α между ними, опираясь на формулу:

(cosleft(widehat{overrightarrow a;overrightarrow b}right)=frac{left(overrightarrow a;overrightarrow bright)}{left|overrightarrow aright|timesleft|overrightarrow bright|})

Расчет угла, если вектор задан координатами

В случае, когда направляющие расположены на двухмерной плоскости с заданными координатами в виде (overrightarrow a=left(a_x;a_yright)) и (overrightarrow b=left(b_x;b_yright)), то угол между ними можно найти следующим образом:

Если же координаты находятся в трехмерном пространстве и заданы в виде:

(overrightarrow a=left(a_x;a_y;a_zright))

( overrightarrow b=left(b_x;b_y;b_zright))

то формула принимает такой вид:

(cosleft(widehat{overrightarrow a;overrightarrow b}right)=frac{left(overrightarrow a;overrightarrow bright)}{left|overrightarrow aright|timesleft|overrightarrow bright|}=frac{a_xcdot b_x+a_ycdot b_y+a_zcdot b_z}{sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}cdotsqrt{b_x^2+b_y^2+b_z^2}})

Расчет угла, если заданы три точки в прямоугольной системе координат

В этом случае проще будет разобраться с объяснениями сразу на примере.

Допустим, нам известны три точки и их координаты: A(3,-2), B(2,1), C (6,-1). Нужно найти косинус угла между (overrightarrow{AC}) и (overrightarrow{BC}).

Решение

Для начала найдем их координаты по известным координатам заданных точек:

(overrightarrow{AC}=(6-3, -1-(-2))=(3,1))

(overrightarrow{BC}=(6-2, -1-1)=(4,-2))

После этого уже можем применить формулу для определения косинуса угла на плоскости и подставить известные значения:

(cosleft(widehat{overrightarrow{AC};overrightarrow{BC}}right)=frac{(overrightarrow{AC};;overrightarrow{BC})}{left|overrightarrow{AC}right|cdotleft|overrightarrow{BC}right|}=frac{3cdot4+1cdot(-2)}{sqrt{3^2+1^2}cdotsqrt{4^2+{(-2)}^2}}=frac{10}{sqrt{10}cdot2sqrt5}=frac{10}{10sqrt2}=frac1{sqrt2})

Ответ: (cosleft(widehat{overrightarrow{AC};overrightarrow{BC}}right)=frac1{sqrt2}.)

Примеры решения задач

Для наглядности, взглянем на примеры решения задач по данной теме.

Задача 1

Известно, что (overrightarrow a) и (overrightarrow b). Их длины равны 3 и 6 соответственно, а скалярное произведение равно -9. Нужно найти cos угла между векторами и его величину.

Решение

Применим формулу:

( cosleft(widehat{overrightarrow a;overrightarrow b}right)=frac{left(overrightarrow a;overrightarrow bright)}{left|overrightarrow aright|timesleft|overrightarrow bright|})

Подставим известные значения:

(cosleft(widehat{overrightarrow a;overrightarrow b}right)=frac{-9}{3cdot6}=-frac12)

Далее найдем угол между данными векторами:

(arccosleft(-frac12right)=frac{3pi}4)

Ответ: (left(widehat{overrightarrow a;overrightarrow b}right)=-frac12,;left(widehat{overrightarrow a;overrightarrow b}right)=frac{3pi}4.)

Задача 2

В пространстве даны координаты (overrightarrow a=(8; -11; 7)) и (overrightarrow b=(-2; -7; 8)). Вычислить угол α между ними.

Решение

Используем формулу для нахождения косинуса угла между направляющими в трехмерной системе координат:

Подставляем значения и получаем:

(cosleft(alpharight)=frac{8cdot(-2)+(-11)cdot(-7)+7cdot8}{sqrt{8^2+{(-11)}^2+7^2}cdotsqrt{{(-2)}^2+{(-7)}^2+8^2}}=frac{117}{sqrt{234}cdotsqrt{117}}=frac{sqrt{117}}{sqrt{234}}=frac1{sqrt2}=frac2{sqrt2})

Теперь находим угол α:

(alpha=arccosleft(frac2{sqrt2}right)=45^circ)

Ответ: (45^circ).

Задача 3

Известны (overrightarrow a=(3; 4)) и (overrightarrow b=(2; 5)). Найти угол между ними.

Решение

Для расчета используем формулу:

Подставим известные значения и получим:

(cosleft(widehat{overrightarrow a;overrightarrow b}right)=frac{left(overrightarrow a;overrightarrow bright)}{left|overrightarrow aright|timesleft|overrightarrow bright|}=frac{a_xcdot b_x+a_ycdot b_y}{sqrt{a_x^2+a_y^2}cdotsqrt{b_x^2+b_y^2}}=frac{3cdot2+4cdot5}{sqrt{3^2+4^2}cdotsqrt{2^2+5^2}}=frac{26}{sqrt{25}cdotsqrt{29}}=frac{26}{5sqrt{29}})

Ответ: (cosleft(widehat{overrightarrow a;overrightarrow b}right)=frac{26}{5sqrt{29}})

Источник

Как найти угол треугольника по его координатам

Если известны координаты всех трех вершин треугольника, можно найти и его углы. Координаты точки в трехмерном пространстве — x,y и z. Однако через три точки, которые являются вершинами треугольника, всегда можно провести плоскость, поэтому в этой задаче удобнее рассматривать только две координаты точек — x и y, считая координату z для всех точек одинаковой.

Вам понадобится

Координаты треугольника

Инструкция

Пусть точка A треугольника ABC имеет координаты x1, y1, точка B этого треугольника — координаты x2, y2, а точка C — координаты x3, y3. Что представляют из себя координаты x и y вершин треугольника. В декартовой системе координат с перпендикулярными друг другу осями X и Y от начала координат можно провести радиус-векторы ко всем трем точкам. Проекции радиус-векторов на координатные оси и будут давать координаты точек.

Пусть тогда r1 — радиус вектор точки A, r2 — радиус-вектор точки B, а r3 — радиус-вектор точки C.
Очевидно, что длина стороны AB будет равна |r1-r2|, длина стороны AC = |r1-r3|, a BC = |r2-r3|.
Следовательно, AB = sqrt(((x1-x2)^2)+((y1-y2)^2)), AC = sqrt(((x1-x3)^2)+((y1-y3)^2)), BC = sqrt(((x2-x3)^2)+((y2-y3)^2)).

Углы треугольника ABC можно найти из теоремы косинусов. Теорему косинусов можно записать в следующем виде: BC^2 = (AB^2)+(AC^2) — 2AB*AC*cos(BAC). Отсюда, cos(BAC) = ((AB^2)+(AC^2)-(BC^2))/2*AB*AC. После подстановки в это выражения координаты, получится: сos(BAC) = (((x1-x2)^2)+((y1-y2)^2)+((x1-x3)^2)+((y1-y3)^2)-((x2-x3)^2)-((y2-y3)^2))/(2*sqrt(((x1-x2)^2)+((y1-y2)^2))*sqrt(((x1-x3)^2)+((y1-y3)^2)))

Источники:

как найти координаты третьей вершины
Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.

Источник

Имеем три точки с координатами – A, B и C, точки образуют отрезки AB и AC, необходимо определить угол α между этими отрезками:

PHP-функция

$x1, $y1 – координаты точки A,
$x2, $y2 – координаты точки B,
$x3, $y3 – координаты точки C.

function getAnglePoints($x1, $y1, $x2, $y2, $x3, $y3)
{
	return rad2deg(atan2($y3 - $y1, $x3 - $x1) - atan2($y2 - $y1, $x2 - $x1));		
}

PHP

JS-функция

function getAnglePoints(x1, y1, x2, y2, x3, y3)
{
	return (Math.atan2(y3 - y1, x3 - x1) - Math.atan2(y2 - y1, x2 - x1)) * 180 / Math.PI;		
}

Угол между тремя точками по координатам онлайн

Источник

Найти угол треугольника зная координаты

Решить треугольник Онлайн по координатам

1) длины и уравнения сторон, медиан, средних линий, высот, серединных перпендикуляров, биссектрис;

2) система линейных неравенств, определяющих треугольник;

2) уравнения прямых, проходящих через вершины параллельно противолежащим сторонам;

3) внутренние углы по теореме косинусов;

4) площадь треугольника;

5) точка пересечения медиан (центроид) и точки пересечения медиан со сторонами;

10) параметры вписанной и описанной окружностей и их уравнения.

Внимание! Этот сервис не работает в браузере IE (Internet Explorer).

Запишите координаты вершин треугольника и нажмите кнопку.

Примечание: дробные числа записывайте
через точку, а не запятую.

Округлять до -го знака после запятой.

Стороны треугольника заданы уравнениями:

Найти координаты вершин треугольника.

Координаты вершины A найдем, решая систему, составленную из уравнений сторон AB и AC:

Систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными решаем способами, известными из элементарной алгебры, и получаем

Вершина A имеет координаты

Координаты вершины B найдем, решая систему из уравнений сторон AB и BC:

получаем .

Координаты вершины C получим, решая систему из уравнений сторон BC и AC:

Вершина C имеет координаты .

источники:

http://kalk.top/sz/corners-pr-triangle

http://planshet-info.ru/kompjutery/kak-najti-ugol-treugolnika-znaja-koordinaty

A ( ; ), B ( ; ), C ( ; )

Примечание: дробные числа записывайте
через точку, а не запятую.

Округлять до -го знака после запятой.

Углы прямоугольного треугольника

Калькулятор расчёта углов прямоугольного треугольника

Прямоугольный треугольник — это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками соединяющихся тремя точками, у которой все углы внутренние, при этом один из углов прямой (равен 90°).

Тангенс угла tg(α) — это тригонометрическая функция выражающая отношение противолежащего катета a к прилежащему катету b.

Формула тангенса

tg α — тангенс угла α
a — противолежащий катет
b — прилежащий катет

Арктангенс — это обратная тригонометрическая функция. Арктангенсом числа x называется такое значение угла α, выраженное в радианах, для которого tg α = x . Вычислить арктангенс, означает найти угол α, тангенс которого равен числу x.

Углы треугольника

Сумма углов треугольника всегда равна 180 градусов:

Так как у прямоугольного треугольника один из углов равен 90°, то сумма двух других углов равна 90°.

Поэтому, если известен один из острых углов треугольника, второй угол можно посчитать по формуле:

Острый угол — угол, значение которого меньше 90°.

У прямоугольного треугольника один угол прямой, а два других угла — острые.

Как найти угол треугольника зная координаты вершин

Ответ

Проверено экспертом

Длина сторон треугольника

Найдем угол между векторами AB(-3;3) и AC(1;-3)

Найдем угол между векторами BA(3;-3) и BC(4;-6)

Тогда третий угол, если А=153°, В=11°, С=180°-(153°+11°)=16°

1) длины и уравнения сторон, медиан, средних линий, высот, серединных перпендикуляров, биссектрис;

2) система линейных неравенств, определяющих треугольник;

2) уравнения прямых, проходящих через вершины параллельно противолежащим сторонам;

3) внутренние углы по теореме косинусов;

4) площадь треугольника;

5) точка пересечения медиан (центроид) и точки пересечения медиан со сторонами;

10) параметры вписанной и описанной окружностей и их уравнения.

Внимание! Этот сервис не работает в браузере IE (Internet Explorer).

Запишите координаты вершин треугольника и нажмите кнопку.

A ( ; ), B ( ; ), C ( ; )

Источник

Как найти угол треугольника по его координатам

Пусть точка A ABC имеет координаты x1, y1, точка B этого треугольника — координаты x2, y2, а точка C — координаты x3, y3. Что представляют из себя координаты x и y вершин треугольника. В декартовой системе координат с перпендикулярными друг другу осями X и Y от начала координат можно провести радиус-векторы ко всем трем точкам. Проекции радиус-векторов на координатные оси и будут давать координаты точек.

Источник