Найти угол, зная косинус угла: примеры решения
Евгений Николаевич Беляев
Эксперт по предмету «Математика»
Задать вопрос автору статьи
Имея на руках значение косинуса угла, выяснить угол, которому он принадлежит, совсем не сложно.
Существует специальная тригонометрическая функция, которой можно воспользоваться для этого и называется она арккосинусом (записывается как $arccos$).
Замечание 1
Для того чтобы воспользоваться ей и узнать значение угла, можно применить специальную расширенную таблицу со значениями углов и соответствующих им тригонометрических функций. Эта таблица называется таблицей Брадиса.
Также наиболее часто встречающиеся значения углов и соответствующих им синусов-косинусов собраны в небольшую таблицу внизу:
Рисунок 1. Зная косинус или синус, найти угол. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Но есть и другой, более современный вариант нахождения угла по значению косинуса: достаточно включить режим Scientific (Научный) и найти кнопку переключения функций на калькуляторе.
В Windows 10 она обозначается стрелкой как показано на рисунке. При её нажатии кнопка $sin$ поменяется на $sin^{-1}$, а $cos$ на $cos^{-1}$. Теперь для того чтобы узнать значение угла по косинусу — просто набираете значение функции и жмёте кнопку $cos^{-1}$. Не забудьте выбрать нужную единицу измерения — градусы или радианы.
Рисунок 2. Как узнать угол, зная косинус угла. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Пример 1
Найдите, чему равен $arccos 0,456$.
Решение:
Воспользуемся калькулятором в Научном режиме, на рисунке представлен калькулятор Mac OC, кнопка переключения между $sin$ и $sin^{-1}$ обведена красным:
Рисунок 3. Как по косинусу угла найти угол. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
После нажатия кнопки мы получили значение $α = 27,129°$.
Пример 2
Определите, чему равен угол, если известен его косинус, и он равен $0,95$.
Решение:
Воспользуемся вновь калькулятором и получим, что $α = 18,19°$.
Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу
Поиск по теме
Дата последнего обновления статьи: 07.05.2023
Как найти угол зная косинус
Кроме прямых тригонометрических функций синус и косинус, существуют и обратные им арксинус и арккосинус. С их помощью можно вычислять величины углов по известным значениям прямых функций. Есть несколько вариантов практической реализации таких расчетов.
Инструкция
Используйте функцию, обратную косинусу (арккосинус) для нахождения угла по известному значению косинуса. Нужное значение арктангенса, а по нему и величину угла, можно найти, например, в «таблицах Брадиса». Бумажные экземпляры этого справочника есть в библиотеках и книжных магазинах, а электронные можно найти в интернете.
Найдите в сети он-лайн калькуляторы для вычисления обратных тригонометрических функций и определите с их помощью нужное значение. Пользоваться такими сервисами намного удобнее, чем искать значения в таблицах. К тому же они могут упростить расчеты, так как многие такие калькуляторы позволяют вычислять не только отдельные значения, но и получать результаты на основе введенных формул, составленных из нескольких операций с тригонометрическими функциями.
Воспользуйтесь стандартным калькулятором ОС Windows, если хотите обойтись без выхода в интернет. Команда запуска калькулятора помещена в главное меню на кнопке «Пуск». Открыв его, перейдите в раздел «Все программы», затем в подраздел «Стандартные» и щелкните пункт «Калькулятор». По умолчанию он запустится с простейшим интерфейсом, не имеющим инструментов для тригонометрических вычислений. Раскройте в его меню раздел «Вид» и выберите пункт с надписью «Инженерный».
Введите значение косинуса с клавиатуры, или щелкая соответствующие кнопки интерфейса калькулятора. Можно использовать для ввода операции копирования (CTRL + C) и вставки (CTRL + V). Затем выберите единицы измерения, в которых должен быть представлен результат (градусы, радианы или грады) — соответствующий селектор находится строчкой ниже поля ввода числа. После этого надо выставить отметку инвертирования функций в чекбоксе Inv. Этим все приготовления заканчиваются, щелкните кнопку cos и калькулятор рассчитает значение обратной косинусу функции (арккосинус) заданного значения и представит вам результат в выбранных единицах.
Источники:
- как найти значение косинуса если есть угол
Войти на сайт
или
Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?
This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.
Для решения задачи следует воспользоваться основным тригонометрическим тождеством: сумма квадратов синуса и косинуса одного и того же угла равна 1.
Отсюда синус угла равен плюс минус корню квадратному из разности 1 и квадрата косинуса угла.
Какой знак перед корнем квадратным брать зависит от того, где находится угол, косинус которого известен.
Если в условии задачи значение косинуса больше нуля (равенство нулю рассмотрено, как частный случай, ниже, хотя применимы рассуждения и для нуля), то угол находится либо в 1-й, либо в 4-й четверти.
Для определенности в условии задачи обычно дается ограничение для угла.
Если указано, что 0< a< 90 (1 четверть), то значение синуса тоже следует брать со знаком плюс.
Если же 270< a< 360 (4 четверть), то значение синуса следует брать со знаком минус.
Если значение косинуса угла меньше нуля, то это означает, что угол может находиться во 2-й или 3-й четверти.
1) 90< a< 180 (2 четверть).
Тогда синус угла будет положительным и равняется корню квадратному из разности 1 и квадрата косинуса угла.
2) 180< a< 270 (3 четверть).
В этом случае синус угла будет отрицательным и равняется тому же значению, что и в первом случае, только со знаком минус.
Частные случаи: Если cos a = 0, то sina=1; если cos a = 1, то sina=0; cos a = -1, то sina=0. Эти значения также легко находятся из основного тригонометрического тождества.
Приведем примеры.
Пример 1. Найти синус угла, если cos a = -0,8. 180<a<270 (в градусах)
Решение. Находим разность 1 и квадрата значения cos a, т.е. квадрата (-0,8).
-0,8 возводим в квадрат, получим (-0,8)*(-0,8) = 0, 64. Подставим его в искомую разность:
1-0,64=0,36
Получили квадрат значения синуса. Для нахождения значения самого синуса, извлечем корень квадратный из 0,36 и возьмем его со знаком + и со знаком — (см. картинку). Получим 0,6 или -0,6.
Так как по условию угол находится в 3 четверти, то искомое значение синуса будет отрицательным. Значит выбираем -0,6.
Ответ: sina=-0,6.
Рассмотрим для краткости изложения этот же пример для случая, когда угол находится во второй четверти:
Пример 2. Найти синус угла, если cos a = -0,8. 90<a<180 (в градусах)
Решение будет точно таким же, как для примера 1.
Изменится лишь выбор ответа. Рассуждения будут следующими:
Так как по условию угол находится во 2 четверти, то искомое значение синуса будет положительным. Значит выбираем 0,6.
Ответ: sina=0,6.
Определение арккосинуса(arccos)
Арккосинус(y = arccos(x)) – это обратная тригонометрическая функция к косинусу x = cos(y). Область определения -1 ≤ x ≤ 1 и множество значений 0 ≤ y ≤ π.
Функция арккосинус не является четной или нечетной
Видео
Формулировка теоремы для каждой из сторон треугольника
Теорема косинусов справедлива для всех сторон треугольника, то есть:
a2 = b2 + c2 — 2bc cos α
b2 = c2 + a2 — 2ca cos β
c2 = a2 + b2 — 2ab cos γ
Теорема косинусов может быть использована для любого вида треугольника.
Теорема косинусов
Для любого треугольника справедливо равенство:
a2 = b2 + c2 — 2b × c × cosA,
где угол A — это угол, противолежащий стороне a.
Данное уравнение правдиво для любых плоских треугольников и при помощи него легко определить угол или одну из сторон. Если угол A — прямой, то выражение 2b×c×cosA обращается в ноль, так как cos90 = 0. Следовательно, напротив прямого угла лежит наибольшая сторона или гипотенуза, а теорема косинусов превращается в классическую теорему Пифагора:
a2 = b2 + c2,
где a — гипотенуза.
Примеры решения задач
При помощи теоремы косинусов можно решать задачки по геометрии. Рассмотрим интересные случаи.
Пример 1. Дан треугольник АВС. Найти длину СМ.
∠C = 90°, АВ = 9, ВС = 3, AM/MB = 1/2, где М — точка на гипотенузе АВ.
Как решаем:
- Так как АМ + МВ = 9, а AM/MB = 1/2, то АМ = 3, МВ = 6. Из треугольника АВС найдем cos B:
- Из треугольника СМВ по теореме косинусов найдём СМ:
Ответ: СМ = .
Пример 2. Дан треугольник АВС, в котором a2 + b2 < c2. Доказать, что ∠C — тупой угол.
Как доказываем:
- Для доказательства нужно вспомнить теорему косинусов для угла ∠C:
- Так как a2 + b2 < c2, то cos C < 0, следовательно, ∠C — тупой.
Что и требовалось доказать.
Эта задача нам показала, что с помощью теоремы косинусов можно определить тупой угол или острый.
- Если c2 = a2 + b2, то ∠C = 90°.
- Если c2 < a2 + b2, то ∠C — острый.
Теги
Арккосинус(y = arccos(x)) – это обратная тригонометрическая функция к косинусу x = cos(y). Область определения -1 ≤ x ≤ 1 и множество значений 0 ≤ y ≤ π.
| arccos(1) = 0° | arccos(-0.5) = 120° | arccos(-0.5) = 240° |
| arccos(0.9998476952) = 1° | arccos(-0.5150380749) = 121° | arccos(-0.4848096202) = 241° |
| arccos(0.999390827) = 2° | arccos(-0.5299192642) = 122° | arccos(-0.4694715628) = 242° |
| arccos(0.9986295348) = 3° | arccos(-0.544639035) = 123° | arccos(-0.4539904997) = 243° |
| arccos(0.9975640503) = 4° | arccos(-0.5591929035) = 124° | arccos(-0.4383711468) = 244° |
| arccos(0.9961946981) = 5° | arccos(-0.5735764364) = 125° | arccos(-0.4226182617) = 245° |
| arccos(0.9945218954) = 6° | arccos(-0.5877852523) = 126° | arccos(-0.4067366431) = 246° |
| arccos(0.9925461516) = 7° | arccos(-0.6018150232) = 127° | arccos(-0.3907311285) = 247° |
| arccos(0.9902680687) = 8° | arccos(-0.6156614753) = 128° | arccos(-0.3746065934) = 248° |
| arccos(0.9876883406) = 9° | arccos(-0.629320391) = 129° | arccos(-0.3583679495) = 249° |
| arccos(0.984807753) = 10° | arccos(-0.6427876097) = 130° | arccos(-0.3420201433) = 250° |
| arccos(0.9816271834) = 11° | arccos(-0.656059029) = 131° | arccos(-0.3255681545) = 251° |
| arccos(0.9781476007) = 12° | arccos(-0.6691306064) = 132° | arccos(-0.3090169944) = 252° |
| arccos(0.9743700648) = 13° | arccos(-0.6819983601) = 133° | arccos(-0.2923717047) = 253° |
| arccos(0.9702957263) = 14° | arccos(-0.6946583705) = 134° | arccos(-0.2756373558) = 254° |
| arccos(0.9659258263) = 15° | arccos(-0.7071067812) = 135° | arccos(-0.2588190451) = 255° |
| arccos(0.9612616959) = 16° | arccos(-0.7193398003) = 136° | arccos(-0.2419218956) = 256° |
| arccos(0.956304756) = 17° | arccos(-0.7313537016) = 137° | arccos(-0.2249510543) = 257° |
| arccos(0.9510565163) = 18° | arccos(-0.7431448255) = 138° | arccos(-0.2079116908) = 258° |
| arccos(0.9455185756) = 19° | arccos(-0.7547095802) = 139° | arccos(-0.1908089954) = 259° |
| arccos(0.9396926208) = 20° | arccos(-0.7660444431) = 140° | arccos(-0.1736481777) = 260° |
| arccos(0.9335804265) = 21° | arccos(-0.7771459615) = 141° | arccos(-0.156434465) = 261° |
| arccos(0.9271838546) = 22° | arccos(-0.7880107536) = 142° | arccos(-0.139173101) = 262° |
| arccos(0.9205048535) = 23° | arccos(-0.79863551) = 143° | arccos(-0.1218693434) = 263° |
| arccos(0.9135454576) = 24° | arccos(-0.8090169944) = 144° | arccos(-0.1045284633) = 264° |
| arccos(0.906307787) = 25° | arccos(-0.8191520443) = 145° | arccos(-0.08715574275) = 265° |
| arccos(0.8987940463) = 26° | arccos(-0.8290375726) = 146° | arccos(-0.06975647374) = 266° |
| arccos(0.8910065242) = 27° | arccos(-0.8386705679) = 147° | arccos(-0.05233595624) = 267° |
| arccos(0.8829475929) = 28° | arccos(-0.8480480962) = 148° | arccos(-0.0348994967) = 268° |
| arccos(0.8746197071) = 29° | arccos(-0.8571673007) = 149° | arccos(-0.01745240644) = 269° |
| arccos(0.8660254038) = 30° | arccos(-0.8660254038) = 150° | arccos(0) = 270° |
| arccos(0.8571673007) = 31° | arccos(-0.8746197071) = 151° | arccos(0.01745240644) = 271° |
| arccos(0.8480480962) = 32° | arccos(-0.8829475929) = 152° | arccos(0.0348994967) = 272° |
| arccos(0.8386705679) = 33° | arccos(-0.8910065242) = 153° | arccos(0.05233595624) = 273° |
| arccos(0.8290375726) = 34° | arccos(-0.8987940463) = 154° | arccos(0.06975647374) = 274° |
| arccos(0.8191520443) = 35° | arccos(-0.906307787) = 155° | arccos(0.08715574275) = 275° |
| arccos(0.8090169944) = 36° | arccos(-0.9135454576) = 156° | arccos(0.1045284633) = 276° |
| arccos(0.79863551) = 37° | arccos(-0.9205048535) = 157° | arccos(0.1218693434) = 277° |
| arccos(0.7880107536) = 38° | arccos(-0.9271838546) = 158° | arccos(0.139173101) = 278° |
| arccos(0.7771459615) = 39° | arccos(-0.9335804265) = 159° | arccos(0.156434465) = 279° |
| arccos(0.7660444431) = 40° | arccos(-0.9396926208) = 160° | arccos(0.1736481777) = 280° |
| arccos(0.7547095802) = 41° | arccos(-0.9455185756) = 161° | arccos(0.1908089954) = 281° |
| arccos(0.7431448255) = 42° | arccos(-0.9510565163) = 162° | arccos(0.2079116908) = 282° |
| arccos(0.7313537016) = 43° | arccos(-0.956304756) = 163° | arccos(0.2249510543) = 283° |
| arccos(0.7193398003) = 44° | arccos(-0.9612616959) = 164° | arccos(0.2419218956) = 284° |
| arccos(0.7071067812) = 45° | arccos(-0.9659258263) = 165° | arccos(0.2588190451) = 285° |
| arccos(0.6946583705) = 46° | arccos(-0.9702957263) = 166° | arccos(0.2756373558) = 286° |
| arccos(0.6819983601) = 47° | arccos(-0.9743700648) = 167° | arccos(0.2923717047) = 287° |
| arccos(0.6691306064) = 48° | arccos(-0.9781476007) = 168° | arccos(0.3090169944) = 288° |
| arccos(0.656059029) = 49° | arccos(-0.9816271834) = 169° | arccos(0.3255681545) = 289° |
| arccos(0.6427876097) = 50° | arccos(-0.984807753) = 170° | arccos(0.3420201433) = 290° |
| arccos(0.629320391) = 51° | arccos(-0.9876883406) = 171° | arccos(0.3583679495) = 291° |
| arccos(0.6156614753) = 52° | arccos(-0.9902680687) = 172° | arccos(0.3746065934) = 292° |
| arccos(0.6018150232) = 53° | arccos(-0.9925461516) = 173° | arccos(0.3907311285) = 293° |
| arccos(0.5877852523) = 54° | arccos(-0.9945218954) = 174° | arccos(0.4067366431) = 294° |
| arccos(0.5735764364) = 55° | arccos(-0.9961946981) = 175° | arccos(0.4226182617) = 295° |
| arccos(0.5591929035) = 56° | arccos(-0.9975640503) = 176° | arccos(0.4383711468) = 296° |
| arccos(0.544639035) = 57° | arccos(-0.9986295348) = 177° | arccos(0.4539904997) = 297° |
| arccos(0.5299192642) = 58° | arccos(-0.999390827) = 178° | arccos(0.4694715628) = 298° |
| arccos(0.5150380749) = 59° | arccos(-0.9998476952) = 179° | arccos(0.4848096202) = 299° |
| arccos(0.5) = 60° | arccos(-1) = 180° | arccos(0.5) = 300° |
| arccos(0.4848096202) = 61° | arccos(-0.9998476952) = 181° | arccos(0.5150380749) = 301° |
| arccos(0.4694715628) = 62° | arccos(-0.999390827) = 182° | arccos(0.5299192642) = 302° |
| arccos(0.4539904997) = 63° | arccos(-0.9986295348) = 183° | arccos(0.544639035) = 303° |
| arccos(0.4383711468) = 64° | arccos(-0.9975640503) = 184° | arccos(0.5591929035) = 304° |
| arccos(0.4226182617) = 65° | arccos(-0.9961946981) = 185° | arccos(0.5735764364) = 305° |
| arccos(0.4067366431) = 66° | arccos(-0.9945218954) = 186° | arccos(0.5877852523) = 306° |
| arccos(0.3907311285) = 67° | arccos(-0.9925461516) = 187° | arccos(0.6018150232) = 307° |
| arccos(0.3746065934) = 68° | arccos(-0.9902680687) = 188° | arccos(0.6156614753) = 308° |
| arccos(0.3583679495) = 69° | arccos(-0.9876883406) = 189° | arccos(0.629320391) = 309° |
| arccos(0.3420201433) = 70° | arccos(-0.984807753) = 190° | arccos(0.6427876097) = 310° |
| arccos(0.3255681545) = 71° | arccos(-0.9816271834) = 191° | arccos(0.656059029) = 311° |
| arccos(0.3090169944) = 72° | arccos(-0.9781476007) = 192° | arccos(0.6691306064) = 312° |
| arccos(0.2923717047) = 73° | arccos(-0.9743700648) = 193° | arccos(0.6819983601) = 313° |
| arccos(0.2756373558) = 74° | arccos(-0.9702957263) = 194° | arccos(0.6946583705) = 314° |
| arccos(0.2588190451) = 75° | arccos(-0.9659258263) = 195° | arccos(0.7071067812) = 315° |
| arccos(0.2419218956) = 76° | arccos(-0.9612616959) = 196° | arccos(0.7193398003) = 316° |
| arccos(0.2249510543) = 77° | arccos(-0.956304756) = 197° | arccos(0.7313537016) = 317° |
| arccos(0.2079116908) = 78° | arccos(-0.9510565163) = 198° | arccos(0.7431448255) = 318° |
| arccos(0.1908089954) = 79° | arccos(-0.9455185756) = 199° | arccos(0.7547095802) = 319° |
| arccos(0.1736481777) = 80° | arccos(-0.9396926208) = 200° | arccos(0.7660444431) = 320° |
| arccos(0.156434465) = 81° | arccos(-0.9335804265) = 201° | arccos(0.7771459615) = 321° |
| arccos(0.139173101) = 82° | arccos(-0.9271838546) = 202° | arccos(0.7880107536) = 322° |
| arccos(0.1218693434) = 83° | arccos(-0.9205048535) = 203° | arccos(0.79863551) = 323° |
| arccos(0.1045284633) = 84° | arccos(-0.9135454576) = 204° | arccos(0.8090169944) = 324° |
| arccos(0.08715574275) = 85° | arccos(-0.906307787) = 205° | arccos(0.8191520443) = 325° |
| arccos(0.06975647374) = 86° | arccos(-0.8987940463) = 206° | arccos(0.8290375726) = 326° |
| arccos(0.05233595624) = 87° | arccos(-0.8910065242) = 207° | arccos(0.8386705679) = 327° |
| arccos(0.0348994967) = 88° | arccos(-0.8829475929) = 208° | arccos(0.8480480962) = 328° |
| arccos(0.01745240644) = 89° | arccos(-0.8746197071) = 209° | arccos(0.8571673007) = 329° |
| arccos(0) = 90° | arccos(-0.8660254038) = 210° | arccos(0.8660254038) = 330° |
| arccos(-0.01745240644) = 91° | arccos(-0.8571673007) = 211° | arccos(0.8746197071) = 331° |
| arccos(-0.0348994967) = 92° | arccos(-0.8480480962) = 212° | arccos(0.8829475929) = 332° |
| arccos(-0.05233595624) = 93° | arccos(-0.8386705679) = 213° | arccos(0.8910065242) = 333° |
| arccos(-0.06975647374) = 94° | arccos(-0.8290375726) = 214° | arccos(0.8987940463) = 334° |
| arccos(-0.08715574275) = 95° | arccos(-0.8191520443) = 215° | arccos(0.906307787) = 335° |
| arccos(-0.1045284633) = 96° | arccos(-0.8090169944) = 216° | arccos(0.9135454576) = 336° |
| arccos(-0.1218693434) = 97° | arccos(-0.79863551) = 217° | arccos(0.9205048535) = 337° |
| arccos(-0.139173101) = 98° | arccos(-0.7880107536) = 218° | arccos(0.9271838546) = 338° |
| arccos(-0.156434465) = 99° | arccos(-0.7771459615) = 219° | arccos(0.9335804265) = 339° |
| arccos(-0.1736481777) = 100° | arccos(-0.7660444431) = 220° | arccos(0.9396926208) = 340° |
| arccos(-0.1908089954) = 101° | arccos(-0.7547095802) = 221° | arccos(0.9455185756) = 341° |
| arccos(-0.2079116908) = 102° | arccos(-0.7431448255) = 222° | arccos(0.9510565163) = 342° |
| arccos(-0.2249510543) = 103° | arccos(-0.7313537016) = 223° | arccos(0.956304756) = 343° |
| arccos(-0.2419218956) = 104° | arccos(-0.7193398003) = 224° | arccos(0.9612616959) = 344° |
| arccos(-0.2588190451) = 105° | arccos(-0.7071067812) = 225° | arccos(0.9659258263) = 345° |
| arccos(-0.2756373558) = 106° | arccos(-0.6946583705) = 226° | arccos(0.9702957263) = 346° |
| arccos(-0.2923717047) = 107° | arccos(-0.6819983601) = 227° | arccos(0.9743700648) = 347° |
| arccos(-0.3090169944) = 108° | arccos(-0.6691306064) = 228° | arccos(0.9781476007) = 348° |
| arccos(-0.3255681545) = 109° | arccos(-0.656059029) = 229° | arccos(0.9816271834) = 349° |
| arccos(-0.3420201433) = 110° | arccos(-0.6427876097) = 230° | arccos(0.984807753) = 350° |
| arccos(-0.3583679495) = 111° | arccos(-0.629320391) = 231° | arccos(0.9876883406) = 351° |
| arccos(-0.3746065934) = 112° | arccos(-0.6156614753) = 232° | arccos(0.9902680687) = 352° |
| arccos(-0.3907311285) = 113° | arccos(-0.6018150232) = 233° | arccos(0.9925461516) = 353° |
| arccos(-0.4067366431) = 114° | arccos(-0.5877852523) = 234° | arccos(0.9945218954) = 354° |
| arccos(-0.4226182617) = 115° | arccos(-0.5735764364) = 235° | arccos(0.9961946981) = 355° |
| arccos(-0.4383711468) = 116° | arccos(-0.5591929035) = 236° | arccos(0.9975640503) = 356° |
| arccos(-0.4539904997) = 117° | arccos(-0.544639035) = 237° | arccos(0.9986295348) = 357° |
| arccos(-0.4694715628) = 118° | arccos(-0.5299192642) = 238° | arccos(0.999390827) = 358° |
| arccos(-0.4848096202) = 119° | arccos(-0.5150380749) = 239° | arccos(0.9998476952) = 359° |