Умножение натуральных чисел
- Множимое, множитель и произведение
- Проверка умножения
Умножение — это арифметическое действие, с помощью которого находят сумму одинаковых слагаемых.
Пример. Во дворе посадили 3 ряда ёлок, по 4 ёлки в каждом ряду. Сколько ёлок посадили во дворе?
Чтобы ответить на этот вопрос, надо найти сумму 3 слагаемых, каждое из которых равно 4.
4 + 4 + 4 = 12.
Складывая 3 раза по 4 ёлки, мы получим общее количество ёлок во всех трёх рядах.
Умножить – значит повторить одно число слагаемым столько раз, сколько в другом содержится единиц.
Для записи умножения используется знак х
(косой крест) или ·
(точка), который ставится между числами. Например:
4 х 3 или 4 · 3
Эта запись означает, что 4 надо умножить на 3. Справа от записи умножения ставится знак =
(равно), после которого записывается полученный результат:
4 · 3 = 12.
Умножение – это краткая запись сложения одинаковых слагаемых.
Пример. Умножить 6 на 5 — это значит найти сумму пяти слагаемых, каждое из которых равно шести:
6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 30.
Сократим запись, заменив сложение на умножение:
6 · 5 = 30.
Оба выражения равны:
6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 6 · 5 = 30,
но для краткости записей лучше всегда использовать умножение, когда число одинаковых слагаемых больше двух.
Множимое, множитель и произведение
Множимое — это число, которое умножают. Множитель — это число, на которое умножают. Например, в записи:
4 · 3,
4 — это множимое, 3 — множитель. Множимое является числом, которое выступает в качестве слагаемого. Множитель — это число, которое указывает количество одинаковых слагаемых.
Произведение — это число, которое получается в результате умножения. Например, в записи:
4 · 3 = 12,
12 — это произведение. При этом сама запись 4 · 3 тоже называется произведением.
Эту запись можно прочитать так: произведение четырёх и трёх равно двенадцати
, четыре умножить на три равно двенадцати
, по четыре взять три раза, получится двенадцать
.
Множимое и множитель иначе называются множителями или сомножителями.
Проверка умножения
Рассмотрим выражение:
4 · 3 = 12,
где 4 — это множимое, 3 — это множитель, а 12 — произведение. Чтобы узнать правильно ли было выполнено умножение, можно:
- Разделить произведение на множитель, если получится число, равное множимому, то умножение было выполнено верно:
12 : 3 = 4.
- Разделить произведение на множимое, если получится число, равное множителю, то умножение выполнено верно:
12 : 4 = 3.
Умножение двух чисел можно проверить делением, для этого произведение делят на один из сомножителей, если частное окажется равно другому сомножителю, то умножение выполнено верно.
- Главная
- Справочники
- Справочник по математике для начальной школы
- Умножение
В этом разделе познакомимся с умножением и узнаем, что сложение одинаковых слагаемых можно заменить умножением.
В математике существует знак для умножения — это точка посередине строки между числами, которые нужно перемножить.
Например, 6 + 6 + 6 + 6 = 24 можно записать по-другому: 6 • 4 = 24
Смысл действия умножения состоит в том, что при умножении находится сумма одинаковых слагаемых.
Первое число при умножении показывает, какое слагаемое повторяют несколько раз.
Второе число при умножении показывает, сколько раз повторяют это слагаемое.
Результат умножения показывает, какое число получается.
6 • 4 значит, что число 6 повторяют 4 раза: 6 + 6 + 6 + 6 = 24
6 — первый множитель
4 — второй множитель
24 — произведение
Числа при умножении
Первый множитель
Второй множитель
Результат умножения, или Произведение
Чтение числовых выражений
6 • 4 = 24
Этот пример можно прочитать по-разному.
- 6 умножить на 4 равняется 24.
- 6 увеличить в 4 раза – получится 24.
- Первый множитель – 6, второй множитель – 4, произведение – 24.
- Произведение 6 и 4 равно 24.
Умножение на 1
4 • 1 = 4, потому что это значит, что число 4 повторяют только 1 раз.
23 • 1 = 23, потому что это значит, что число 23 повторяют только 1 раз.
Умножение на 0
8 • 0 = 0, потому что это значит, что число 8 повторяют 0 раз.
26 • 0 = 0, потому что это значит, что число 26 повторяют 0 раз.
Умножение на 10
8 • 10 = 80, потому что число 8 повторяют 10 раз.
15 • 10 = 150, потому что число 15 повторяют 10 раз.
Связь деления и умножения
8 • 3 = 24, потому что 8 повторяют 3 раза.
24 : 3 = 8, потому что в 24 по 3 содержится 8 раз.
24 : 8 = 3, потому что в 24 по 8 содержится 3 раза.
В несколько раз больше
Решим задачу:
В магазине было 2 лисички, а котят в 4 раза больше. Сколько было котят?
Это значит, что котят было 4 раза по 2.
2 + 2 + 2 + 2 = 4 (к.)
Заменяем сложение умножением и получаем:
2 • 4 = 8 (к.)
Вывод: Если в задаче есть слова «в … раз больше», то задача решается умножением.
Во сколько раз больше? Во сколько раз меньше?
Например, решим задачу: В магазине было 8 котят и 2 лисички. Во сколько раз котят было больше, чем лисичек? Во сколько раз лисичек было меньше, чем котят?
Чтобы ответить на эти вопросы, нужно узнать, сколько раз по 2 содержится в 8?
8 : 2 = 4 (раза)
Значит, котят в 4 раза больше, чем лисичек, а лисичек в 4 раза меньше, чем котят.
Советуем посмотреть:
Табличное умножение
Внетабличное умножение
Умножение суммы на число
Умножение на однозначное число в столбик
Умножение на числа, оканчивающиеся нулями
Свойства умножения
Правило встречается в следующих упражнениях:
2 класс
Страница 65. Тест 1. Вариант 2,
Моро, Волкова, Проверочные работы
Страница 66. Тест 2. Вариант 1,
Моро, Волкова, Проверочные работы
Страница 51,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2
Страница 52,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2
Страница 62,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2
Страница 64,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2
Страница 92,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2
Страница 56. Урок 22,
Петерсон, Учебник, часть 2
Страница 59. Урок 23,
Петерсон, Учебник, часть 2
Страница 72. Урок 29,
Петерсон, Учебник, часть 2
3 класс
Страница 29,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1
Страница 71,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1
Страница 81,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1
Страница 84,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1
Страница 78,
Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 1
Страница 23. Тест 2. Вариант 2,
Моро, Волкова, Проверочные работы
Страница 87. Тест 1. Вариант 2,
Моро, Волкова, Проверочные работы
Страница 10,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2
Страница 98,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2
Страница 27,
Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 2
4 класс
Страница 29,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1
Страница 91,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1
Страница 10,
Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 1
Страница 50. Тест 1. Вариант 1,
Моро, Волкова, Проверочные работы
Страница 88. Вариант 1,
Моро, Волкова, Проверочные работы
Страница 90. Вариант 2,
Моро, Волкова, Проверочные работы
Страница 54,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2
Страница 77,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2
Страница 92,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2
Страница 102,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2
5 класс
Номер 36,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Что такое умножение?
Умножение является арифметическим действием, в котором принимают участие два аргумента — множитель и сомножитель. В некоторых случаях первый аргумент принято называть множимым, а второй — множителем. Число, которое получается в результате умножения, называется произведением.
Впервые в истории умножение для натуральных чисел было определено, как многократное сложение. Чтобы умножить число а на число b, необходимо сложить b чисел a.
a × b= а + а + …+ а (b раз)
Позже умножение разделилось на рациональное, целое, вещественное, комплексное и некоторые другие виды чисел, согласно систематическому обобщению.
Сегодня в математике умножение имеет конкретный смысл, различные свойства и определения для разных математических объектов, а не только для определения чисел.
Умножение чисел между собой — это конкретная коммутативная операция, другими словами — это определенный порядок записи множителей-чисел, который никак не влияет на сам результат умножения.
Например, при умножении цифр 5 и 3 запись может выглядеть, как 3 × 5, так и 5 × 3 (произносится, как трижды пять и пятью три). В том и другом случае результатом вычисления будет являться число 15.
Давайте проверим эти действия через сложение:
5 + 5 + 5 = 15
3 + 3 + 3 + 3 = 15
Умножение матриц, векторов, кватернионов, множеств и т. д (т. е, нечисловых математических, физических и абстрактных величин) не всегда может являться коммутативной операцией. И здесь, при умножении физических величин будет важную роль играть их размерность.
В задачу общей алгебры, в частности теории колец и групп, всегда входит изучение общих свойств операции.
Что такое произведение в математике?
Произведением называется результат умножения. Умножаемые числа называются множителями и сомножителями. А под умножением подразумевается краткая запись суммы одинаковых слагаемых.
Например:
Когда мы видим значение 5 × 3, то имеется в виду, что нужно 5 сложить между собой три раза, другими словами, это обычная краткая запись для 5 + 5 + 5.
Запись произведения
Умножение может обозначаться крестиком «×», точкой «·» и звездочкой «*»:
5 × 3
5 * 3
5 · 3
Все обозначения одинаковы по своей сути и говорят об одном и том же действии.
Но иногда знак умножения в виде точки могут намеренно пропускать, если умножение идёт не на число, а на буквенную переменную и постоянную.
Например, вместо 5 × x обычно пишут 5х.
Если в действии есть несколько сомножителей, то вместо них можно поставить многоточие. Допустим, произведение целых чисел от 1 до 100 будет выглядеть таким образом:
1 × 2 × 3 × 4 ×…× 97 × 98 × 99 × 100
Что такое множимое?
В математических действиях множимое является первым числом или величиной, которое умножается на множитель.
Что такое множитель?
Множителем называется то число, которое показывает сколько раз следует повторять слагаемым какое-то другое число (множимое), чтобы получилось произведение.
Свойства умножения
В умножении существуют разные свойства: переместительное, сочетательное и распределительное.
По переместительному свойству: от перестановки разных множителей произведение остается неизменным.
Например: 5 × 2 = 10 и 2 × 5 = 10.
Соответственно, 5 × 2 = 2 × 5.
По сочетательному свойству: два соседних множителя можно заменить произведением.
Например: (3 × 2) × 5 = 3 × (2 × 5).
По распределительному свойству при умножении суммы на число можно умножать на него в отдельности каждое слагаемое, и потом складывать полученные результаты.
Например: (5 + 10) × 6 = 5 × 6 + 10 × 6 = 90.
Другие свойства
Чтобы умножить сумму на какое-то число, сначала необходимо выполнить сложение, а потом полученный результат умножить на число.
Например: (4 + 9) × 5 = 13 × 5 = 65.
Чтобы умножить число на произведение, нужно сначала сделать умножение в скобках, а затем умножить на полученный результат.
Например: 2 × (5 × 3) = 2 × 15 = 30.
Чтобы умножить число на сумму, сначала необходимо выполнить сложение, а потом умножить число на результат, который получился.
Например: 6 × (2 + 4) = 6 × 6 = 36.
Если при умножении хотя бы один множитель будет равным нулю, то и само произведение также будет равно нулю.
Например, для любых чисел a, b, c будет верным такое равенство: 0 × a × b × c = 0.
Таким образом, при умножении любого числа на 0, мы будем брать это число 0 раз, т. е, мы не будем брать его не разу, а значит, в результате ничего и не получится.
В случае, когда мы умножаем ноль на любое число, мы будем находить сумму нулей, но она, как известно, равна 0.
При умножении любого целого числа на единицу в результате всегда получится то же самое число. Другими словами, при умножении на единицу умножаемое число никогда не изменяется.
Например: а × 1 = а.
Если в произведении двух чисел один из сомножителей будет единицей, то произведение будет равным второму сомножителю:
a × 1 = 1 × a = a.
Так как при умножении любого числа на единицу это число берется только один раз, то в результате можно получить только это же число.
А если мы умножаем единицу на любое число, например, 1 × 9, то мы будем находить сумму девяти единиц, другими словами, то количество единиц, из которых и состоит данное число.
Поэтому сумма этих единиц будет равна данному числу:
1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 9.
Умножение многозначного числа на однозначное
Чтобы умножить многозначное на однозначное число, необходимо умножить это однозначное число на количество единиц в разряде многозначного числа, после чего все полученные результаты сложить.
Например, нам следует умножить: 985 × 4.
Мы будем складывать число 985 четыре раза: 985 + 985 + 985 + 985.
Нам нужно каждое из слагаемых 985 представить в виде суммы его разрядных слагаемых: 900 + 85 + 5.
Само выражение будет выглядеть следующим образом:
900 + 80 + 5 + 900 + 80 + 5 + 900 + 80 + 5 + 900 + 80 +5.
Загрузить PDF
Загрузить PDF
Умножение – одно из четырех основных арифметических действий, действие умножения одного числа на другое, его можно также представить как последовательное сложение. Чтобы узнать, как умножать через сложение или в столбик, следуйте этим шагам.
-
1
Запишите пример. Если вы решаете пример 4 x 3, то можно также сказать «3 раза по 4».
- Это – повторное сложение, число повторяется 3 раза.
-
2
Решите, используя повторное сложение. Три раза сложите 4. 4 + 4 + 4 = 12
- Можно использовать и 4 группы по 3. Ответ будет тот же, только складывать нужно 3 + 3 + 3 + 3. Вы получите 12, тот же ответ.
Реклама
-
1
Запишите умножаемые числа в столбик: большее число – наверху, меньшее – внизу. Записывайте так, чтобы разряды «единицы», «десятки», «сотни», «тысячи» и т.д. двух чисел были в столбиках. В примере 187 * 54, 7 должна быть над 4, 8 над 5, 1 над пустым местом, ведь 54 не имеет разряда сотен.
- Под верхним числом запишите знак умножения, под нижним проведите линию: под ней будут записываться результаты.
-
2
Умножьте цифру в единицах нижнего числа на цифру в разряде единиц верхнего числа. Умножьте 4 * 7. Ответ: 28, запишите 8 из этого числа под 4, а 2 над 8.
- Каждый раз, когда получается двухзначный ответ, первая цифра пишется рядом с правым числом (справа), и вторая – прямо под числом во втором ряду, которое использовалось для умножения.
-
3
Умножьте цифру в разряде единиц нижнего числа на цифру в разряде десятков верхнего числа. Сначала вы умножили 4 на цифру в разряде единиц, теперь умножайте на цифру в разряде десятков. Умножьте 4 на 8, знак слева от 7. 7 х 8 =32. Помните, что над 8 поместили 2. Теперь добавьте ее к ответу. 32 + 2 =34.
- Перенесите 4 из числа 34 под линию, под цифру 8 – рядом с той самой восьмеркой, которую вы записали ранее.
- Перенесите 3 из числа 34 над 1 в числе 187.
-
4
Умножьте цифру в разряде единиц нижнего числа на цифру в разряде сотен верхнего числа. Только что вы умножили на цифру в десятках, теперь – на цифру в сотнях. 4 х 1 = 4. Теперь добавьте к ответу пересенную цифру наверх. Запишите ответ в нижней строке (под 1).
- Вы только что умножили 187 на 4 столбиком и получили 748.
- Заметьте, если бы верхнее число было четырех- или пятизначным, вы бы просто повторяли процесс умножения до тех пока, пока не перемножили бы цифру в разряде единиц нижнего числа на все цифры верхнего числа, продолжая переходить справа налево.
-
5
Подставьте ноль в место под нашим ответом, под 8 в 748. Это служит для того, чтобы отметить, что вы переходите к умножению цифры в разряде десяток.
-
6
Умножьте цифру в разряде десятков нижнего числа на цифру в разряде единиц верхнего. 5 на 7 будет 35.
- Запишите 5 из 35 слева от 0 и перенесите 3 из 35 над 8 вверху.
-
7
Умножьте цифру в разряде десятков нижнего числа на цифру в разряде десятков верхнего. 5 на 8 = 40. Добавьте 3 сверху, получится 43.
- Запишите 3 из 43 слева от 5, и перенесите 4 из 43 над 1 вверху.
-
8
Умножьте цифру в разряде десятков нижнего числа на цифру в разряде сотен верхнего. Умножьте 5 на 1, будет 5. Добавьте 4 сверху, получится 9. Запишите рядом с 3.
- Вы столбиком умножили 5 на 1870. Ответ в этой части получился 9350.
-
9
Сложите верхний и нижний ответ. Просто сложите 748 и 9358 и будет окончательный ответ.
- 748 + 9350 = 10098
Реклама
Советы
- Неважно, какое число сверху, а какое – снизу.
- Помните: при умножении на ноль получаем ноль.
- Если во втором ряду трехзначное число, то при переходе на умножение сотен для отметки нужно будет два нуля, для умножения тысяч – 3 и так далее.
Реклама
Об этой статье
Эту страницу просматривали 17 191 раз.
Была ли эта статья полезной?
Умножить одно целое число на другое значит повторить одно число столько раз, сколько в другом содержится единиц. Повторить число значит взять его слагаемым несколько раз и определить сумму.
Определение умножения
Умножение целых чисел есть такое действие, в котором нужно взять одно число слагаемым столько раз, сколько в другом содержится единиц, и найти сумму этих слагаемых.
Умножить 7 на 3 значит взять число 7 слагаемым три раза и найти сумму. Искомая сумма есть 21.
Умножение есть сложение равных слагаемых.
Данные в умножении называются множимым и множителем, а искомое — произведением.
В предложенном примере данными будут множимое 7, множитель 3, а искомым произведением 21.
Множимое. Множимое есть то число, которое умножается или повторяется слагаемым. Множимое выражает величину равных слагаемых.
Множитель. Множитель показывает, сколько раз множимое повторяется слагаемым. Множитель показывает число равных слагаемых.
Произведение. Произведение есть число, которое получается от умножения. Оно есть сумма равных слагаемых.
Множимое и множитель вместе называются производителями.
При умножении целых чисел одно число увеличивается во столько раз, сколько в другом содержится единиц.
Знак умножения. Действие умножения обозначают знаком × (косвенным крестом) или . (точкой). Знак умножения ставится между множимым и множителем.
Повторить число 7 три раза слагаемым и найти сумму значит 7 умножить на 3. Вместо того, чтобы писать
7 + 7 + 7
пишут при помощи знака умножения короче:
7 × 3 или 7 · 3
Умножение есть сокращенное сложение равных слагаемых.
Знак (×) был введен Отредом (1631 г.), а знак . Христианом Вольфом (1752 г.).
Связь между данными и искомым числом выражается в умножении
письменно:
7 × 3 = 21 или 7 · 3 = 21
словесно:
семь, умноженное на три, составляет 21.
Чтобы составить произведение 21, нужно 7 повторить три раза
21 = 7 + 7 + 7
Чтобы составить множитель 3, нужно единицу повторить три раза
3 = 1 + 1 + 1
Отсюда имеем другое определение умножения: Умножение есть такое действие, в котором произведение точно так же составляется из множимого, как множитель составлен из единицы.
Основное свойство произведения
Произведение не изменяется от перемены порядка производителей.
Доказательство. Умножить 7 на 3 значит 7 повторить три раза. Заменив 7 суммою 7 единиц и вложив их в вертикальном порядке, имеем:
Таким образом, при умножении двух чисел мы можем считать множителем любой из двух производителей. На этом основании производители называются сомножителями или просто множителями.
Самый общий прием умножения состоит в сложении равных слагаемых; но, если производители велики, этот прием приводит к длинным вычислениям, поэтому самое вычисление располагают иначе.
Умножение однозначных чисел. Таблица Пифагора
Чтобы умножить два однозначных числа, нужно повторить одно число слагаемым столько раз, сколько в другом содержится единиц, и найти их сумму. Так как умножение целых чисел приводится к умножению однозначных чисел, то составляют таблицу произведений всех однозначных чисел попарно. Такая таблица всех произведений однозначных чисел попарно называется таблицей умножения.
Таблица Пифагора. Изобретение ее приписывают греческому философу Пифагору, по имени которого ее называют таблицей Пифагора. (Пифагор родился около 569 года до н. э.).
Чтобы составить эту таблицу, нужно написать первые 9 чисел в горизонтальный ряд:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Затем под этой строкой надо подписать ряд чисел, выражающих произведение этих чисел на 2. Этот ряд чисел получится, когда в первой строке сложим каждое число само с собою. От второй строки чисел последовательно переходим к 3, 4 и т. д. Каждая последующая строка получается из предыдущей через прибавление к ней чисел первой строки.
Продолжая так поступать до 9 строки, мы получим таблицу Пифагора в следующем виде
Чтобы по этой таблице найти произведение двух однозначных чисел, нужно отыскать одного производителя в первой горизонтальной строке, а другого в первом вертикальном столбце; тогда искомое произведение будет на пересечении соответствующих столбца и строки. Таким образом, произведение 6 × 7 = 42 находится на пересечении 6-й строки и 7-го столбца. Произведение нуля на число и числа на нуль всегда дает нуль.
Так как произведение числа на 1 дает само число и перемена порядка множителей не изменяет произведения, то все различные произведения двух однозначных чисел, на которые следует обратить внимание, заключаются в следующей таблице:
Произведения однозначных чисел, не содержащиеся в этой таблице, получаются по данным, если только изменить в них порядок множителе; таким образом, 9 × 4 = 4 × 9 = 36.
Умножение многозначного числа на однозначное
Умножение числа 8094 на 3 обозначают тем, что подписывают множитель под множимым, ставят слева знак умножения и проводят черту с тем, чтобы отделить произведение.
Умножить многозначное число 8094 на 3 значит найти сумму трех равных слагаемых
следовательно, для умножения нужно все порядки многозначного числа повторить три раза, то есть умножить на 3 единицы, десятки, сотни, и т. п. Сложение начинают с единицы, следовательно, и умножение нужно начинать с единицы, а затем переходят от правой руки к левой к единицам высшего порядка.
При этом ход вычислений выражают словесно:
-
Начинаем умножение с единиц: 3 × 4 составляют 12, подписываем под единицами 2, а единицу (1 десяток) прикладываем к произведению следующего порядка на множитель (или запоминаем ее в уме).
-
Умножаем десятки: 3 × 9 составляет 27, да 1 в уме составят 28; подписываем под десятками 8 и 2 в уме.
-
Умножаем сотни: Нуль, умноженный на 3, дает нуль, да 2 в уме составит 2, подписываем под сотнями 2.
-
Умножаем тысячи: 3 × 8 = 24, подписываем вполне 24, ибо не имеем следующих порядков.
Это действие выразится письменно:
Из предыдущего примера выводим следующее правило. Чтобы умножить многозначное число на однозначное, нужно:
-
Подписать множитель под единицами множимого, поставить слева знак умножения и провести черту.
-
Умножение начинать с простых единиц, затем, переходя от правой руки к левой, последовательно умножают десятки, сотни, тысячи и т. д.
-
Если при умножении произведение выражается однозначным числом, то его подписывают под умножаемой цифрой множимого.
-
Если же произведение выражается двухзначным числом, то цифру единиц подписывают под тем же столбцом, а цифру десятков прибавляют к произведению следующего порядка на множитель.
-
Умножение продолжается до тех пор, пока не получат полного произведения.
Умножение чисел на 10, 100, 1000 …
Умножить числа на 10 значит простые единицы превратить в десятки, десятки в сотни и т. д., то есть повысить порядок всех цифр на единицу. Этого достигают, прибавляя справа один нуль. Умножить на 100 значит повысить все порядки множимого двумя единицами, то есть превратить единицы в сотни, десятки в тысячи и т. д.
Этого достигают, приписывая к числу два нуля.
Отсюда заключаем:
Для умножения целого числа на 10, 100, 1000 и вообще на 1 с нулями нужно приписать справа столько нулей, сколько их находится во множителе.
Умножение числа 6035 на 1000 выразится письменно:
Когда множитель есть число, оканчивающееся нулями, подписывают под множимым только значащие цифры, а нули множителя приписывают справа.
Умножение на число с нулями в конце
Чтобы умножить 2039 на 300 нужно взять число 2029 слагаемым 300 раз. Взять 300 слагаемых все-равно, что взять три раза по 100 слагаемых или 100 раз по три слагаемых. Для этого умножаем число на 3, а потом на 100, или умножаем сначала на 3, а потом приписываем справа два нуля.
Ход вычисления выразится письменно:
Правило. Чтобы умножить одно число на другое, изображаемое цифрой с нулями, нужно сначала помножить множимое на число, выражаемое значащей цифрой, и затем приписать столько нулей, сколько их находится в множителе.
Умножение многозначного числа на многозначное
Чтобы умножить многозначное число 3029 на многозначное 429, или найти произведение 3029 * 429, нужно повторить 3029 слагаемым 429 раз и найти сумму. Повторить 3029 слагаемым 429 раз значит повторить его слагаемым сначала 9, потом 20 и, наконец, 400 раз. Следовательно, чтобы умножить 3029 на 429, нужно 3029 умножить сначала на 9, потом на 20 и, наконец, на 400 и найти сумму этих трех произведений.
Три произведения
называются частными произведениями.
Полное произведение 3029 × 429 равно сумме трех частных:
3029 × 429 = 3029 × 9 + 3029 × 20 + 3029 × 400.
Найдем величины этих трех частных произведений.
-
Умножая 3029 на 9, находим:
3029 × 9 27261 первое частное произведение
-
Умножая 3029 на 20, находим:
3029 × 20 60580 второе частное произведение
-
Умножая 3026 на 400, находим:
3029 × 400 1211600 третье частно произведение
Сложив эти частные произведения, получим произведение 3029 × 429:
Не трудно заметить, что все эти частные произведения есть произведения числа 3029 на однозначные числа 9, 2, 4, причем ко второму произведению, происходящему от умножения на десятки, приписывается один нуль, к третьему два нуля.
Нули, приписываемые к частным произведениям, опускают при умножении и ход вычисления выражают письменно:
В таком случае, при умножении на 2 (цифру десятков множителя) подписывают 8 под десятками, или отступают влево на одну цифру; при умножении на цифру сотен 4, подписывают 6 в третьем столбце, или отступают влево на 2 цифры. Вообще каждое частное произведение начинают подписывать от правой руки к левой под тем порядком, к которому принадлежит цифра множителя.
Отыскивая произведение 3247 на 209, имеем:
Здесь второе частное произведение начинаем подписывать под третьим столбцом, ибо оно выражает произведение 3247 на 2, третью цифру множителя.
Мы здесь опустили только два нуля, которые должны были явиться во втором частном произведении, как как оно выражает произведение числа на 2 сотни или на 200.
Из всего сказанного выводим правило. Чтобы умножить многозначное число на многозначное,
-
нужно множителя подписать под множимым так, чтобы цифры одинаковых порядков находились в одном вертикальном столбце, поставить слева знак умножения и провести черту.
-
Умножение начинают с простых единиц, затем переходят от правой руки к левой, умножают последовательное множимое на цифру десятков, сотен и т. д. и составляют столько частных произведений, сколько значащих цифр во множителе.
-
Единицы каждого частного произведения подписывают под тем столбцом, к которому принадлежит цифра множителя.
-
Все частные произведения, найденные таким образом, складывают вместе и получают в сумме произведение.
Чтобы умножить многозначное число на множитель, оканчивающейся нулями, нужно отбросить нули во множителе, умножить на оставшееся число и потом приписать к произведению столько нулей, сколько их находится во множителе.
Пример. Найти произведение 342 на 2700.
Если множимое и множитель оба оканчиваются нулями, при умножении отбрасывают их и затем к произведению приписывают столько нулей, сколько их содержится в обоих производителях.
Пример. Вычисляя произведение 2700 на 35000, умножаем 27 на 35
Приписывая к 945 пять нулей, получаем искомое произведение:
2700 × 35000 = 94500000.
Число цифр произведения. Число цифр произведения 3728 × 496 можно определить следующим образом. Это произведение более 3728 × 100 и меньше 3728 × 1000. Число цифр первого произведения 6 равно числу цифр в множимом 3728 и во множителе 496 без единицы. Число цифр второго произведения 7 равно числу цифр во множимом и во множителе. Данное произведение 3728 × 496 не может иметь цифр менее 6 (числа цифр произведения 3728 × 100, и более 7 (числа цифр произведения 3728 × 1000).
Откуда заключаем: число цифр всякого произведения или равно числу цифр во множимом и во множителе, или равно этому числу без единицы.
В нашем произведении может содержаться или 7 или 6 цифр.
Степени
Между различными произведениями заслуживают особого внимания такие, в которых производители равны. Так, например:
2 × 2 = 4, 3 × 3 = 9.
Квадраты. Произведение двух равных множителей называется квадратом числа.
В наших примерах 4 есть квадрат 2, 9 есть квадрат 3.
Кубы. Произведение трех равных множителей называется кубом числа.
Так, в примерах 2 × 2 × 2 = 8, 3 × 3 × 3 = 27, число 8 есть куб 2, 27 есть куб 3.
Вообще произведение нескольких равных множителей называется степенью числа. Степени получают свои названия от числа равных множителей.
Произведения двух равных множителей или квадраты называются вторыми степенями.
Произведения трех равных множителей или кубы называются третьими степенями, и т. д.