Я решал так. Сначала находим какие-то две точки на прямой. Подставляем $%z=x-5$% во второе уравнение, получаем $%7x+5y=20$%. Берём значения $%x=0$% и $%x=5$%, получая точки $%(0;4;-5)$% и $%(5;-3;0)$% соответственно. Отсюда мы знаем направляющий вектор прямой: $%(5;-7;5)$%.
Берём векторы нормали к плоскостям: $%(1;0;-1)$% и $%(3;5;4)$%. Смотрим на их длины, и умножаем первый вектор на 5, чтобы длины стали равны: $%(5;0;-5)$%. Тогда векторы $%(5;0;-5)pm(3;5;4)$% задают направления биссектрис плоских углов в перпендикулярном сечении. В результате имеем четыре вектора: $%pm(8;5;-1)$% и $%pm(2;-5;-9)$%. Среди них надо отобрать тот, который направлен в сторону двугранного угла, содержащего точку $%A$%. Такому углу соответствуют неравенства $%x-z-5 < 0$% и $%3x+5y+4z > 0$%.
Прибавляем каждый из четырёх векторов к точке $%(0;4;-5)$% на линии пересечения. Это даёт точки $%(8;9;-6)$%, $%(-8;-1;-4)$%, $%(2;-1;-14)$%, $%(-2;9;4)$%. Обоим неравенствам удовлетворяет последняя из точек. Ей соответствовал вектор $%(2;-5;-9)$% (направление теперь уже не важно.
Теперь рассматриваем векторное произведение найденного выше вектора и направляющего вектора прямой: $%(2i-5j-9k)times(5i-7j+5k)=-14k-10j+25k-25i-45j-63i=-88i-55j+11k$%. Это даёт нам коэффициенты при переменных в уравнении плоскости (их можно сократить). Константу (свободный член) находим, исходя из того, что плоскости принадлежит точка $%(0;4;-5)$%. Получается $%8x+5y-z=25$%.
|
|
Аналит.геом., уравнение биссекторной плоскости
|
|
07/03/13 |
Пожалуйста, подскажите правильно ли решена задача: —— Составить уравнение биссекторной плоскости острого двугранного угла между плоскостями —— Способ #1: Нормальные векторы плоскостей Угол между векторами
Т.е. угол тупой, поэтому нормальный вектор искомой плоскости:
Уравнение искомой прямой Для поиска
Например, Ответ: —— Способ #2: Для каждой точки биссекторной плоскости расстояние до 2х плоскостей одинаково, поэтому:
Теперь нужно раскрыть модули. Зная ответ способом #1, модули нужно раскрыть с одинаковым знаком. Но я не понимаю как это следуюет из того, что векторы нормали образуют тупой угол. Объясните?
|
|
|
|
 |
27.11.2021, 22:31 
и 
.
и 
имеют длины 
и 
соответственно. Умножим первый вектор на 
, чтобы получить векторы одинаковой длины.
и 
:
.
найдём какую-нибудь точку на искомой плоскости. Прямая пересечения исходных плоскостей принадлежит плоскости. Найдём какую-нибудь точку 
на прямой, решив систему уравнений:![$$
left{
begin{array}{rcl}
x-z=5 \
3x+5y+4z=0 \
end{array}
right.
$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/9/e/99e0edbf255330424ac89dfc8c2031d282.png "$$
left{
begin{array}{rcl}
x-z=5 \
3x+5y+4z=0 \
end{array}
right.
$$")
. Тогда 
.
|
artempalkin |
Re: Аналит.геом., уравнение биссекторной плоскости
|
|
14/02/20 |
Опять же, не хотите использовать уравнение «пучка плоскостей»? И чтобы выделить нужную плоскость, можно, например, рассмотреть условие равенства углов между нормалью к искомой плоскости и обеими нормалями к данным плоскостям. — 27.11.2021, 23:59 — Зная ответ способом #1, модули нужно раскрыть с одинаковым знаком. Пусть у вас есть плоскость
|
|
|
|
|
и какая-то точка 
. Тогда знак выражения 
определяется тем, с какой стороны от плоскости лежит точка. |
iifat |
Re: Аналит.геом., уравнение биссекторной плоскости
|
||
16/02/13 |
А что, собственно, зависит от тупизны или остроумия узла? В задаче, кстати, точно делимый угол не указан, стало быть, решением будут две плоскости.
|
||
|
|
|||
|
|
artempalkin |
Re: Аналит.геом., уравнение биссекторной плоскости
|
|
14/02/20 |
|
|
|
|
|
|
iifat |
Re: Аналит.геом., уравнение биссекторной плоскости
|
||
16/02/13 |
|||
|
|
|||
|
|
Alexander__ |
Re: Аналит.геом., уравнение биссекторной плоскости
|
|
07/03/13 |
Опять же, не хотите использовать уравнение «пучка плоскостей»? И чтобы выделить нужную плоскость, можно, например, рассмотреть условие равенства углов между нормалью к искомой плоскости и обеими нормалями к данным плоскостям. Согласен. Рабочий вариант. Зная ответ способом #1, модули нужно раскрыть с одинаковым знаком. Пусть у вас есть плоскость Как вам такое решение. Так как координаты векторов
|
|
|
|
|
|
artempalkin |
Re: Аналит.геом., уравнение биссекторной плоскости
|
|
14/02/20 |
коэффициенты в уравнениях прямых В уравнениях плоскостей, вы имеете в виду? Так как координаты векторов Так знаки коэффициентов в уравнениях плоскостей мы можем менять произвольным образом (домножая уравнения плоскости на в положительные полупространства Не знаю, что такое «положительное полупространство» Как вам такое решение. Так как координаты векторов В целом, мне кажется, ваше обоснование не особо подходит, и я не вижу, как из уравнения плоскости без дополнительного исследования понять, куда будет направлен вектор нормали. — 20.12.2021, 18:44 — Либо я не до конца понял ваше обоснование.
|
|
|
|
|
), то есть это будут уравнения одной и той же плоскости, но с направленными в разные стороны нормалями (можно так считать)|
xagiwo |
Re: Аналит.геом., уравнение биссекторной плоскости
|
|
23/12/18 |
Не знаю, что такое «положительное полупространство» Для плоскости Вектор Расстояние до плоскости считается как Так вот, ТС заметил, что угол между нормалями, которые торчат в положительные полупространства, тупой, а значит тот угол между плоскостями, в котором заключено пересечение положительных полупространств, острый. В этом пересечении оба расстояния до плоскостей считаются с плюсом, а потому в формуле модули раскрываются с плюсом. Хорошее решение.
|
|
|
|
|
это есть 
(оно, конечно, зависит не только от плоскости, но и от записанного уравнения)
, проведённый из плоскости 
направлен в положительное полупространство когда 
. В частности 
направлен в положительное полупространство.
, когда 
в положительном полупространстве и как 
иначе.|
artempalkin |
Re: Аналит.геом., уравнение биссекторной плоскости
|
|
14/02/20 |
Так вот, ТС заметил, что угол между нормалями, которые торчат в положительные полупространства, тупой, а значит тот угол между плоскостями, в котором заключено пересечение положительных полупространств, острый. Да, но откуда мы знаем, как эти положительные полупространства расположены относительно друг друга?
|
|
|
|
|
Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы
ПЛОСКОСТЬ.
Определение.
Любой ненулевой вектор, перпендикулярный
плоскости, называется её нормальным
вектором,
и обозначается
.
Определение.
Уравнение плоскости вида
где коэффициенты
– произвольные действительные числа,
одновременно не равные нулю, называетсяобщим
уравнением плоскости.
Теорема.
Уравнение
определяет плоскость, проходящую через
точку
и имеющую нормальный вектор
.
Определение.
Уравнение плоскости вида
где
– произвольные, не равные нулю
действительные числа, называетсяуравнением
плоскости в отрезках.
Теорема.
Пусть
– уравнение плоскости в отрезках. Тогда
– координаты точек её пересечения с
осями координат.
Определение.
Общее уравнение плоскости
называетсянормированным
или
нормальным
уравнением плоскости, если
и
.
Теорема.
Нормальное уравнение плоскости может
быть записано в виде
где
– расстояние от начала координат до
данной плоскости,
– направляющие косинусы её нормального
вектора
).
Определение.
Нормирующим
множителем
общего уравнения плоскости
называется
число
– где знак выбирается противоположным
знаку свободного членаD.
Теорема.
Пусть
– нормирующий множитель общего уравнения
плоскости
.
Тогда уравнение
– является нормированным уравнением
данной плоскости.
Теорема.
Расстояние d
от точки
до плоскости
равно
.
Взаимное
расположение двух плоскостей.
Две
плоскости либо совпадают, либо являются
параллельными, либо пересекаются по
прямой.
Теорема.
Пусть плоскости заданы общими уравнениями:
.
Тогда:
1)
если
,
то плоскости совпадают;
2)
если
,
то плоскости параллельные;
3)
если
или
,
то
плоскости пересекаются по прямой,
уравнением которой служит система
уравнений:
.
Теорема.
Пусть
– нормальные векторы двух плоскостей,
тогда один из двух углов между данными
плоскостями равен:
.
Следствие.
Пусть
,
– нормальные векторы двух данных
плоскостей. Если скалярное произведение
то данные плоскости являются
перпендикулярными.
Теорема.
Пусть даны координаты трех различных
точек координатного пространства:
Тогда
уравнение
–является
уравнением плоскости, проходящей через
эти три точки.
Теорема.
Пусть даны общие уравнения двух
пересекающихся плоскостей:
причем
.
Тогда:
.
– уравнение
биссекторной плоскости острого
двугранного угла,
образованного пересечением данных
плоскостей;
.
– уравнение
биссекторной плоскости тупого двугранного
угла.
Связка
и пучок плоскостей.
Определение.
Связкой
плоскостей
называется множество всех плоскостей,
имеющих одну общую точку, которая
называется центром
связки.
Теорема.
Пусть
– три плоскости, имеющие единственную
общую точку
Тогда уравнение
где
– произвольные действительные параметры
одновременно не равные нулю, естьуравнение
связки плоскостей.
Теорема.
Уравнение
,
где
произвольные действительные параметры,
одновременно не равные нулю, являетсяуравнением
связки плоскостей с центром связки
в точке
.
Теорема.
Пусть даны общие уравнения трех
плоскостей:
–их
соответствующие нормальные векторы.
Для того чтобы три данные плоскости
пересекались в единственной точке
необходимо и достаточно, чтобы смешанное
произведение их нормальных векторов
не равнялось нулю:
В
этом случае, координаты их единственной
общей точки являются единственным
решением системы уравнений:
Определение.
Пучком
плоскостей
называется множество всех плоскостей
пересекающихся по одной и той же прямой,
называемой осью пучка.
Теорема.
Пусть
– две плоскости, пересекающиеся по
прямой
.
Тогда уравнение
,
где
– произвольные действительные параметры
одновременно не равные нулю, естьуравнение
пучка плоскостей
с осью пучка
ПРЯМАЯ.
Определение.
Любой ненулевой вектор, коллинеарный
данной прямой называется ее направляющим
вектором,
и обозначается
Теорема.
Следующая система уравнений является
уравнением прямой в пространстве и
называется параметрическим
уравнением прямой
в пространстве:
где
– координаты произвольной фиксированной
точки данной прямой,
– соответствующие координаты произвольного
направляющего вектора данной прямой,
– параметр.
Следствие.
Следующая система уравнений является
уравнением прямой в пространстве и
называется каноническим
уравнением прямой
в пространстве:
где
– координаты произвольной фиксированной
точки данной прямой,
– соответствующие координаты произвольного
направляющего вектора данной прямой.
Определение.
Каноническое уравнение прямой
вида
– называетсяканоническим
уравнением прямой, проходящей через
две различные данные точки
Взаимное
расположение двух прямых в пространстве.
Возможны
4 случая расположения двух прямых в
пространстве. Прямые могут совпадать,
быть параллельными, пересекаться в
одной точке или быть скрещивающимися.
Теорема.
Пусть даны канонические уравнения двух
прямых:
где
– их направляющие векторы,
– произвольные фиксированные точки,
лежащие на прямых
соответственно. Тогда:
-
прямые
совпадают, если
т.е.
т.е.
и
;
-
прямые
параллельные, если
,
т.е.
,
и
не выполняется хотя бы одно из равенств
;
-
прямые
пересекаются в одной точке, если
,
т.е. хотя бы одно из равенствне выполняется и
,
не выполняется и
,
т.е.
4)
прямые скрещивающиеся, если
,
т.е.
Теорема.
Пусть
– две
произвольные прямые в пространстве,
заданные параметрическими уравнениями.
Тогда:
1)
если система уравнений
имеет
единственное решение
то прямые пересекаются в одной точке;
2)
если система уравнений
не имеет решений, то прямые скрещивающиеся
или параллельные.
3)
если система уравнений
имеет более одного решения, то прямые
совпадают.
Расстояние
между двумя прямыми в пространстве.
Теорема.
(Формула расстояния между двумя
параллельными прямыми.): Расстояние
между двумя параллельными прямыми
,
где
– их общий направляющий вектор,
– точки на этих прямых, можно вычислить
по формуле:
или
Теорема.
(Формула расстояния между двумя
скрещивающимися прямыми.): Расстояние
между двумя скрещивающимися прямыми
можно
вычислить по формуле:
где
– модуль смешанного произведения
направляющих векторов
и
и вектора
,
– модуль векторного произведения
направляющих векторов.
Теорема.
Пусть
–
уравнения двух пересекающихся плоскостей.
Тогда следующая система уравнений
является уравнением прямой линии, по
которой пересекаются эти плоскости:
.
Направляющим вектором этой прямой
может служить вектор
,
где
,
– нормальные векторы данных плоскостей.
Теорема.
Пусть дано каноническое уравнение
прямой:
,
где
.
Тогда следующая система уравнений
является уравнением данной прямой,
заданной пересечением двух плоскостей:
.
Теорема.
Уравнение перпендикуляра, опущенного
из точки
на прямую
имеет вид
где
– координаты векторного произведения,
– координаты направляющего вектора
данной прямой. Длину перпендикуляра
можно найти по формуле:
Теорема.
Уравнение общего перпендикуляра двух
скрещивающихся прямых
имеет вид:
где
.
Взаимное
расположение прямой и плоскости в
пространстве.
Возможны
три случая взаимного расположения
прямой в пространстве и плоскости:
1)
прямая лежит на плоскости;
2)
прямая параллельна плоскости;
3)
прямая пересекает плоскость в некоторой
точке.
Теорема.
Пусть плоскость
задана общим уравнением
,
а
прямая
задана каноническим или параметрическим
уравнениями
или
,
где
вектор
– нормальный вектор плоскости
– координаты произвольной фиксированной
точки прямой
,
– соответствующие координаты произвольного
направляющего вектора прямой
.
Тогда:
1)
если
,
то прямая
пересекает плоскость
в точке, координаты которой можно найти
из системы уравнений
2)
если
и
,
то прямая лежит на плоскости;
3)
если
и
,
то прямая параллельна плоскости.
Следствие.
Если система (*) имеет единственное
решение, то прямая пересекается с
плоскостью; если система (*) не имеет
решений, то прямая параллельная плоскости;
если система (*) имеет бесконечно много
решений, то прямая лежит на плоскости.
Решение
типовых задач.
Задача
№1:
Составить
уравнение плоскости, проходящей через
точку
параллельно
векторам
Решение:
Найдём
нормальный вектор искомой плоскости:
=
=
В
качестве нормального вектора плоскости
можно взять вектор
тогда общее уравнение плоскости примет
вид:
Чтобы
найти
,
нужно заменить в этом уравнении
координатами точки
,
принадлежащей плоскости
.
Ответ
Задача
№2:
Две
грани куба лежат на плоскостях
и
Вычислить объём этого куба.
Решение:
Очевидно,
что плоскости параллельны. Длиной ребра
куба является расстояние между
плоскостями. Выберем на первой плоскости
произвольную точку
:
пусть
найдём
.
Итак,
.
Найдём
расстояние между плоскостями как
расстояние от точки
до второй плоскости:
Итак,
объём куба равен
(
)
Ответ:
.
Задача
№3:
Найти
угол между гранями
и
пирамиды
c
вершинами
Решение:
Угол
между плоскостями
– это угол между нормальными векторами
к этим плоскостям. Найдём нормальный
вектор
плоскости
:
[
,
];
,
или
Аналогично
.
Ответ:
.
Задача
№4:
Составить
каноническое уравнение прямой
.
Решение:
-
Найдём
произвольную точку
прямой, для этого решим систему. Пусть,
тогда, откуда.
прямой, для этого решим систему. Пусть
,
, откуда
.
Итак,
-
Найдём
направляющий вектор
прямой.
прямой.
Вектор
и
перпендикулярны прямой, поэтому
,
Итак,
каноническое уравнение прямой примет
вид
.
Ответ:
.
Задача
№5:
Найти
расстояние между прямыми
и
.
Решение:
Прямые
параллельны, т.к. их направляющие векторы
и
равны. Пусть точка
принадлежит первой прямой,a
точка
лежит на второй прямой. Найдём площадь
параллелограмма, построенного на
векторах
и
.
;
[
,
]
;
3∙
21∙
(ед.3).
Далее
найдём длину основание параллелограмма:
.
Искомым
расстоянием является высота параллелограмма,
опущенная из точки
:
ед.
Ответ:
.
Задача
№6:
Вычислить
кратчайшее расстояние между прямыми:
Покажем,
что прямые скрещивающиеся, т.е. векторы
,
и
не принадлежат одной плоскости:
≠ 0.
1
способ:
Через
вторую прямую проведём плоскость
,
параллельную первой прямой. Для искомой
плоскости известны принадлежащие ей
векторы
и
и точка
.
Нормальный вектор
плоскости
есть векторное произведение векторов
и
,
поэтому
.
Итак,
в качестве нормального вектора плоскости
можно взять вектор
поэтому уравнение плоскости примет
вид:
зная, что точка
принадлежит плоскости
найдём
и запишем уравнение:
Искомое
расстояние – это расстояние от точки
первой прямой до плоскости
и находится по формуле:
13.
2
способ:
На
векторах
,
и
построим параллелепипед.
Искомое
расстояние – это высота параллелепипеда,
опущенная из точки
,
на его основание, построенного на
векторах
и
.
Ответ:
13 единиц.
Задача
№7:
Найти
проекцию точки
на плоскость
Решение:
-
Через
точку
проведём прямую, перпендикулярную
плоскости. -
Найдём
точку
пересечения прямой и плоскости. Точка–
проекция точкина плоскость.
проведём прямую, перпендикулярную
пересечения прямой и плоскости. Точка
–
на плоскость.
Нормальный
вектор
плоскости является направляющий вектором
прямой:
или
.
Найдём
точку
пересечения прямой
и
плоскости:
.
Подставив
в уравнение плоскости, найдём
,
а затем
Ответ:
Замечание.
Чтобы найти точку
,
симметричную точке
относительно плоскости, нужно (аналогично
предыдущей задаче) найти проекцию
точки
на плоскость, затем рассмотреть отрезок
с известными началом
и серединой
,
воспользовавшись формулами
,
,
.
Задача
№8:
Найти
уравнение перпендикуляра, опущенного
из точки
на прямую
.
Решение:
1
способ:
-
Проведём
плоскость
через точкуи заданную прямую. -
Проведём
плоскость
через точкуперпендикулярно прямой. -
Искомый
перпендикуляр есть пересечение
плоскостей
.
через точку
и заданную прямую.
через точку
перпендикулярно прямой.
.
2
способ:
-
Проведём
плоскость
через точку,
перпендикулярно прямой. -
Найдём
точку
пересечения плоскостии прямой. -
Уравнение
искомого перпендикуляра – это уравнение
прямой, проходящей через точки
и.
через точку
,
пересечения плоскости
и прямой.
и
.
Задачу
решим вторым способом:
Плоскость
перпендикулярна заданной прямой, поэтому
направляющий вектор прямой является
нормальным вектором плоскости. Зная
нормальный вектор плоскости и точку на
плоскости, запишем её уравнение:
Найдём
точку
пересечения плоскости и прямой, записанной
параметрически:
,
итак,
Составим
уравнение прямой проходящей через точки
и
:
.
Ответ:
.
Таким
же способом можно решить и следующие
задачи:
-
Найти
расстояние от точки до прямой. (Для
предыдущей задачи ответом будет
расстояние
). -
Найти
проекцию точки на прямую (точка
– проекция точки). -
Найти
точку, симметричную точке относительно
прямой.
).
– проекция точки
).
Задача
№9:
Найти
точку
,
симметричную точке
относительно прямой
.
Решение:
-
Проведём
плоскость через точку
перпендикулярно заданной прямой: -
Найдём
точку
пересечения прямой и плоскости
перпендикулярно заданной прямой:
пересечения прямой и плоскости
-
Найдём
координаты точки
как конца отрезкас известными началоми серединой
как конца отрезка
с известными началом
и серединой
Ответ:
Задача
№10:
Дан
треугольник
с вершинами
Найти, уравнение высоты, опущенной из
вершины
на сторону
.
Решение:
Ход
решения совершенно аналогичен предыдущим
задачам.
Ответ:
.
Задача
№11:
Найти
уравнение общего перпендикуляра к двум
прямым:
.
Решение:
-
Докажем,
что прямые являются скрещивающимися,
для этого составим определитель,
строками которого являются координаты
векторов
,,:
,
,
:
0.
-
Найдём
уравнение плоскости
,
проходящей через первую прямую
параллельно второй прямой(∙).
,
(
∙
).
Учитывая,
что плоскость
проходит через точку
,
запишем уравнение этой плоскости:
-
Найдём
уравнение плоскости
,
перпендикулярной плоскостии
проходящей через первую прямую:,∙).
,
и
,
∙
).
Точка
принадлежит
,
поэтому уравнение плоскости
примет вид:
.
-
Аналогично,
найдём уравнение плоскости
,
перпендикулярной плоскостии проходящей через вторую прямую: -
Уравнением
общего перпендикуляра к заданным прямым
является уравнение линии пересечения
плоскостей:
.
,
и проходящей через вторую прямую:
.
Ответ:
Задача
№12:
Составить
уравнение прямой проходящей через точку
и пересекающей прямые
.
Решение:
Первая
прямая проходит через точку
и имеет направляющий вектор
;
вторая – проходит через точку
и имеет направляющий вектор
Покажем,
что эти прямые являются скрещивающимися,
для этого составим определитель, строки
которого являются координатами векторов
,
,
,
векторы не принадлежат одной плоскости.
Проведём
плоскость
через точку
и первую прямую:
Пусть
– произвольная точка плоскости
тогда векторы
,
и
компланарны. Уравнение плоскости
имеет вид:
.
Аналогично
составим уравнение плоскости
,
проходящей через точку
и вторую прямую:
0
.
Искомая
прямая есть пересечение плоскостей
,
т.е.
.
Ответ:
.
Образовательным
результатом после изучения данной темы
является сформированность компонент,
заявленных во введении, совокупности
компетенций (знать, уметь, владеть) на
двух уровнях: пороговый и продвинутый.
Пороговый уровень соответствует оценке
«удовлетворительно», продвинутый
уровень соответствует оценкам «хорошо»
или «отлично» в зависимости от результатов
защиты кейс-заданий.
Для
самостоятельной диагностики данных
компонент вам предлагаются следующие
задания.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Сфера, вписанная в пирамиду
Биссекторная плоскость. Основное свойство биссекторной плоскости
Определение 1. Биссекторной плоскостью двугранного угла называют такую плоскость, которая проходит через ребро двугранного угла и делит этот угол на два равных двугранных угла (рис. 1).
Утверждение 1. Точка, расположенная внутри двугранного угла, находится на одном и том же расстоянии от граней этого угла тогда и только тогда, когда она лежит на биссекторной плоскости.
Доказательство. Рассмотрим произвольную точку O, расположенную внутри двугранного угла, и проведем через эту точку плоскость δ , перпендикулярную к ребру AB двугранного угла (рис. 2).
Плоскость δ пересекает ребро AB двугранного угла в точке C, а грани двугранного угла α и β по лучам CD и CE соответственно. Угол DCE является линейным углом двугранного угла. Биссекторная плоскость γ пересекает плоскость δ по биссектрисе CF линейного угла DCE .
Таким образом, справедливость утверждения вытекает из соответствующих теорем о свойствах биссектрисы угла. Доказано.
Следствие 1. Если сфера, расположенная внутри двугранного угла, касается каждой из плоскостей граней этого угла, то центр сферы находится на биссекторной плоскости двугранного угла (рис. 3).
Сфера, вписанная в пирамиду. Свойства пирамиды, описанной около сферы
Определение 2. Сферой, вписанной в пирамиду, называют такую сферу, которая касается плоскостей всех граней пирамиды, причем точки касания лежат на гранях пирамиды (рис. 4).
Определение 3. Если сфера вписана в пирамиду, то пирамиду называют описанной около сферы.
Если сфера вписана в пирамиду, то она касается граней каждого внутреннего двугранного угла, образованного соседними гранями пирамиды. В соответствии со следствием 1 центр вписанной в пирамиду сферы должен находиться в точке пересечения биссекторных плоскостей всех внутренних двугранных углов, образованных соседними гранями пирамиды.
Если у пирамиды нет точки, в которой пересекаются биссекторные плоскости всех внутренних двугранных углов, образованных соседними гранями пирамиды, то в такую пирамиду нельзя вписать сферу.
Замечание 1. Для того, чтобы проверить, можно ли в пирамиду вписать сферу, достаточно проверить, существует ли точка пересения биссекторных плоскостей всех внутренних двугранных углов при основании пирамиды. Если такая точка существует, то она будет равноудалена как от основания пирамиды, так и от каждой из боковых граней.
Рассмотрим несколько типов пирамид, в которые можно вписать сферу.
Утверждение 2. Если у пирамиды SA1A2 . An основание O перпендикуляра, опущенного из вершины S на плоскость основания пирамиды, лежит внутри многоугольника A1A2 . An , а все боковые грани пирамиды наклонены под одним и тем же углом к плоскости основания пирамиды, то в такую пирамиду можно вписать сферу.
Доказательство. Пусть все боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом φ , а высота пирамиды равна h. Рассмотрим, например, боковую грань SA1A2 и проведем в ней высоту SB (рис. 5).
По теореме о трех перпендикулярах отрезок OB перпендикулярен ребру A1A2 . Следовательно, угол SBO является линейным углом двугранного угла между боковой гранью SA1A2 и плоскостью основания пирамиды и равен φ. Биссекторная плоскость этого двугранного угла пересекает высоту пирамиды в точке O’ (рис. 6).
Катет OB прямоугольного треугольника SOB выражается через высоту пирамиды h и угол φ по формуле
Катет OO’ прямоугольного треугольника OO’B выражается через высоту пирамиды h и угол φ по формуле
Поскольку длина отрезка OO’ не зависит от выбора боковой грани пирамиды, то биссекторные плоскости всех внутренних двугранных углов при основании пирамиды пересекаются в точке O’, которая и является центром вписанной в пирамиду сферы.
Доказательство утверждения 2 завершено.
Поскольку у любой правильной пирамиды все внутренние двугранные углы при основании равны, то справедливо
Следствие 2. В любую правильную пирамиду можно вписать сферу, причем ее радиус R выражается через высоту пирамиды h и внутренний двугранный угол при основании пирамиды φ по формуле
 |
(1) |
Радиус сферы, вписанной в правильную n — угольную пирамиду
Решение. Рассмотрим правильную n — угольную пирамиду SA1A2 . An и обозначим символом O’ центр вписанной в пирамиду сферы, а буквой O – центр основания пирамиды. Проведем плоскость через высоту пирамиды SO и апофему SB какой-либо боковой грани (рис. 7).
Буквой R на рисунке 7 обозначен радиус вписанной в пирамиду сферы, буквой r – радиус вписанной в основание пирамиды окружности, а буквой φ – внутренний двугранный угол при основании пирамиды. Из прямоугольного треугольника OSB получаем
 |
(2) |
В силу следствия 2 из формул (1) и (2) получаем
из формулы (3) получаем соотношение
Ответ. 
Следствие 3. Радиус сферы, вписанной в правильную треугольную пирамиду с высотой h и ребром основания a, равен
Следствие 4. Радиус сферы, вписанной в правильный тетраэдр с ребром a, равен
Следствие 5. Радиус сферы, вписанной в правильную четырехугольную пирамиду с высотой h и ребром основания a, равен
Следствие 6. Радиус сферы, вписанной в правильную шестиугольную пирамиду с высотой h и ребром основания a, равен
Сфера, вписанная в треугольную пирамиду.
Формула для радиуса вписанной сферы
Утверждение 3. В любую треугольную пирамиду можно вписать сферу.
Доказательство. Доказательство этого утверждения напоминает планиметрическое доказательство возможности вписать окружность в произвольный треугольник.
Действительно, пусть SABC – произвольный тетраэдр. Биссекторная плоскость внутреннего двугранного угла с ребром AC и биссекторная плоскость внутреннего двугранного угла с ребром AB пересекаются по некоторой прямой, проходящей через вершину A. Биссекторная плоскость внутреннего двугранного угла в ребром BC пересекает эту прямую в единственной точке O , которая и является центром вписанной сферы (рис. 8).
Получим формулу, позволяющую вычислить радиус вписанной в тетраэдр SABC сферы. Для этого заметим, что объем пирамиды SABC равен сумме объемов пирамид OABC, OSCA, OSAB, OSCB, причем высота каждой из пирамид OABC, OSCA, OSAB, OSCB равна радиусу R вписанной в пирамиду SABC сферы. Если обозначить площади граней тетраэдра SABC символами
а объемы пирамид SABC, OABC, OSCA, OSAB, OSCB – символами
то справедливы следующие равенства:
где символом Sполн обозначена площадь полной поверхности пирамиды SABC.
Замечание 2. Если в пирамиду (необязательно треугольную) можно вписать сферу, то, рассуждая аналогично, можно получить следующую формулу для радиуса вписанной в пирамиду сферы
где символами Vпир и Sполн обозначены объем и площадь полной поверхности пирамиды соответственно.
Составить уравнения плоскостей делящих пополам двугранные углы
УСЛОВИЕ:
Составьте уравнения плоскостей делящих пополам двугранные углы, образованные плоскостями x-2y+2z+6=0 и 4x+2y-4z+5=0
РЕШЕНИЕ:
ОТВЕТ:
Добавил slava191 , просмотры: ☺ 11785 ⌚ 05.01.2015. математика 1k класс
Решения пользователей
РЕШЕНИЕ ОТ vk54215494
«..Мы всю левую часть умножили на 2.»
для чего, почему и всегда ли так нужно делать?
Написать комментарий
Делим обе части равенства на π
и умножаем на 4
+pi k, k in Z
Можно правую часть записать в виде двух ответов:
x=1+8n in Z : это . [b] -15; -7; 1; 9; 17; ..[/b].
x=3+ 8n, n in Z : это[b] -13; -5; 3; 11; . [/b]
[b]x=-5 – наибольшее отрицательное [/b]
О т в е т. x=1+8n in Z или x=3+ 8n, n in Z
корни чередуются так:
. -15;-13;-7;-5; 1;3; 9;11; 17; 19; .
[b]x=-5 – наибольшее отрицательное [/b] (прикреплено изображение)
a=1 – старший коэффициент
b=1 – средний коэффициент
с=-2 – свободный член
4.
x^2=a-5
При a-5=0 ⇒ при а=5
уравнение имеет один корень х=0
5.
Δ Прямоугольный, так как верно равенство: b^2=a^2+c^2
5^2=3^2+4^2
25=9+16
Значит, ∠ B=90 градусов и ∠ А+ ∠ С=90 градусов.
∠ А- ∠ С=36 градусов.
∠ А+ ∠ С=90 градусов.
складываем оба равенства:
2* ∠ А=126 градусов.
По формулам приведения:
sin^2x+sinx-2=0
D=9
sinx=-2 или sinx=1
sinx=-2 уравнение не имеет корней, -1 ≤ sinx ≤ 1
sinx=1 ⇒ x=(π/2)+2πk, k ∈ Z или х=90 ° +360 ° *k, k ∈ Z
Найдем корни, принадлежащие указанному отрезку с помощью неравенства:
-286 ° ≤ 90 ° +360 ° *k ≤ 204 °
-286 °-90 ° ≤ 360 ° *k ≤ 204 ° -90 °
-376 ° ≤ 360 ° *k ≤ 114 °
Неравенство верно при k=[green]-1[/green] и k=[red]0[/red]
Значит, указанному отрезку принадлежат два корня:
x=90 ° +360 °* ([green]-1[/green])=-270 °
x=90 ° +360 °*[red]0[/red]=90 °
7. KT- средняя линия трапеции:
Cредняя линия трапеции делит высоту трапеции пополам ( см. рис)
Высоты треугольников АКО и СОК равны половине высоты трапеции
S_( Δ АКО)+S_( Δ COK)=44
S_( Δ АКО)+S_( Δ COK)=KO*(h/4) +OT*(h/4)=
О т в е т. [b]176[/b]
B=-2
[i]l[/i]=8 – количество ребер четырехугольной пирамиды
Задание: cоставить уравнение плоскости(u), делящей пополам острый двугранный угол, образованный плоскостью(p1) 3x-4y+6z-2=0 с координатной плоскостью Oyz.
Окей, вторая плоскость(p2) получается задается уравнением By+Cz=0. Произвольная точка М(x0,y0,z0) принадлежит искомой плоскости только тогда, когда d(M,p1)=d(M,p2), то есть расстояния от точки, до заданных плоскостей плоскостей одинаковые, составила уравнение: $$ frac > = frac + C^ > > $$
Ответ должен быть(дан в пособии) $$ (3-sqrt )x-4y+6z-2=0$$ что явно не получится из того уравнения, что я составила. Как можно решить данную задачу?
задан 19 Окт 19:58
Условие надо хотя бы верно записывать. Наверняка так:
Угол, образованный плоскостью $% ; (p1): 3x-4y+6z-2=0 ;$% с координатной плоскостью $%Oyz$%.
@KristinaM: вторая плоскость, то есть Oyz, задаётся уравнением x=0. Поэтому никаких B, C там нет, а будет просто |x|. Тогда после раскрытия модулей возникнут две плоскости. Одна — та, что из ответа. Другая — ей перпендикулярная. По идее, там надо распознать, какая именно из этих плоскостей подходит, то есть какие углы будет острыми. Это легко проверить при помощи рассмотрения векторов нормали к плоскостям и их скалярных произведений.
К слову сказать, By+Cz=0 есть семейство плоскостей, проходящих через ось Ox.
1 ответ
Нормали к плоскостям равной длины: $%;vec =(3; -4; 6); ; vec =(sqrt ; 0; 0),;$% угол между которыми острый. Тогда нормаль к биссекторной плоскости: $% ; vec =(3+sqrt ; -4; 6);-$% сумма нормалей.
Стало быть, уравнение: $%; (3+sqrt )x -4y+ 6z-2=0, ;$% учитывая точку $%(0; 1; 1)$%. 
Для того, чтобы оценить ресурс, необходимо авторизоваться.
В учебно-методическом пособии излагаются теоретические основы аналитической геометрии в пространстве, приводятся решения большого числа задач. Пособие содержит варианты задач (с ответами) для самостоятельного решения, список формул и рекомендуемой литературы. Рекомендовано Уральским отделением Учебно-методического объединения вузов РФ в области строительного образования в качестве учебного пособия для студентов строительных специальностей направления 6533500 «Строительство» всех форм обучения. Подготовлено кафедрой высшей математики УГТУ-УПИ.
Биссекторные плоскости
Биссекторная плоскость–осевая плоскость, проходящая через ось проекций Х и расположенная под углом 45 0 к плоскостям проекций П1 и П2. Существует две биссекторные плоскости: первая проходит через первую и третью четверти пространства, вторая – через вторую и четвертую четверти пространства. Если точка принадлежит биссекторной плоскости, то численные значения координат Y и Z должны быть равны.
На рис. 19 показан чертеж точки А, принадлежащей первой биссекторной плоскости и расположенной в третьей четверти пространства.
На рис. 20 показан чертеж точки А, принадлежащей второй биссекторной плоскости и расположенной во второй четверти пространства.
Контрольные задания по теме «Точка»
3. Построить точку С’, симметричную точке С относительно фронтальной плоскости проекций. Указать, в какой четверти пространства находится точка С’.  |
I II III IV |
Пример 1. Какими координатами определяется горизонтальная проекция точки А? Указать на эпюре (чертеже)
Пример 2.По чертежу определить координаты точки В и ее положение в пространстве
Пример 3.Построить недостающую проекцию точки С(С2), если она принадлежит плоскости проекций и определить ее положение в пространстве.
Точка принадлежит плоскости проекций, если одна из координат будет равна «0», так как на чертеже задана горизонтальная проекция точки С1, которая определяется координатами Х и Y, то значение Z должно быть равно «0». Поэтому на эпюре Сх º С2. Так как значение Y отрицательное, то С Î задней поле П1.
Пример 4. Построить точку D ¢ , симметричную точке D относительно горизонтальной плоскости П1.
Исходная точка D располагается в I четверти пространства, симметричная точка D¢ переместится в IVчетверть. При переходе точки из I четверти в IV-ю изменится только направление координаты Z, координаты Х и Y останутся неизменными, поэтому D1 º D¢2.
Контрольные вопросы
1. Основные способы проецирования.
2. Свойства параллельного проецирования.
3. Что такое эпюр Монжа?
4. Что такое четверти пространства?
6. Какими координатами определяются:
— горизонтальная проекция точки;
— фронтальная проекция точки;
— профильная проекция точки?
7. В каких случаях на эпюре (чертеже) горизонтальная и фронтальная проекции точки совпадают?
8. Что называется биссектрисой плоскостью и каковы ее свойства?
9. Как по чертежу определить расстояние от точки до плоскости П1,П2,П3?
Прямая
Две точки прямой в пространстве определяют ее положение в пространстве. На эпюре прямая может быть задана проекциями прямой ( а1 и а2); проекциями двух точек ( А1,А2 и В1,В2); проекциями отрезка прямой (С1D1 и C2D2).
http://4apple.org/sostavit-uravnenija-ploskostej-deljashhih-popolam/
http://helpiks.org/2-80027.html
(newcommand{block}[2]{begin{#1} #2 end{#1}})
(newcommand{cases}[1]{block{cases}{#1}})
(newcommand{up}[2]{stackrel{#1}{#2}})
(defdn#1#2{mathrel{mathop{#2}limits_{#1}}})
(defident{Longleftrightarrow})
(defthus{Rightarrow})
(newcommand{set}[1]{ { #1 } })
(newcommand{bigset}[1]{ left { #1 right } })
(newcommand{bracs}[1]{ ( #1 ) })
(newcommand{bigbracs}[1]{ left ( #1 right ) })
(newcommand{bkets}[1]{langle #1 rangle})
(newcommand{bigbkets}[1]{left langle #1 right rangle})
(newcommand{mat}[1]{block{Vmatrix}{#1}})
(newcommand{det}[1]{block{vmatrix}{#1}})
(newcommand{pmat}[1]{block{pmatrix}{#1}})
(newcommand{emat}[1]{block{matrix}{#1}})
(renewcommand{geq}{geqslant})
(renewcommand{leq}{leqslant})
(newcommand{upline}[1]{overline{#1}})
(newcommand{dnline}[1]{underline{#1}})
(defex{exists})
(defexo{ex!})
(renewcommand{fal}{forall})
(renewcommand{int}{intop})
(definf{infty})
(renewcommand{tg}{tan})
(renewcommand{phi}{varphi})
(renewcommand{epsilon}{varepsilon})
(defalp{alpha})
(deflam{lambda})
(defgam{gamma})
(defeps{epsilon})
(defsig{sigma})
(newcommand{NN}{mathbb{N}})
(newcommand{ZZ}{mathbb{Z}})
(newcommand{RR}{mathbb{R}})
(newcommand{CC}{mathbb{C}})
(newcommand{FF}{mathbb{F}})
(newcommand{QQ}{mathbb{Q}})
(newcommand{EE}{mathbb{E}})
(newcommand{UU}{mathcal{U}})
(newcommandE{mathbbold{e}})
(newcommandF{mathbbold{f}})
(newcommandG{mathbbold{g}})
(newcommand{rawOlim}[3]{dn{{#1}rightarrow{#2}}{#3}})
(newcommand{lim}[2]{rawOlim{#1}{#2}{lim}})
(newcommand{uplim}[2]{rawOlim{#1}{#2}{upline{lim}}})
(newcommand{dnlim}[2]{rawOlim{#1}{#2}{dnline{lim}}})
(newcommand{norm}[1]{left lVert #1 right rVert})
(newcommand{ord}[1]{operatorname{ord}(#1)})
(newcommand{ans}[1]{textbf{Ответ}: #1.})
(renewcommand{gcd}{text{НОД}})
(newcommand{lcm}{text{НОК}})
(newcommand{proj}[2]{text{пр.}_{#1}{#2}})
(newcommand{U}[2]{U_{#1}(#2)})
Аналитическая геометрия#
Содержание
-
Аналитическая геометрия
-
Литература
-
СЕМ 1
-
ЛЕК 1
-
ЛЕК 21/09/22
-
СЕМ 23.09.22
-
ЛЕК 28.09.22
-
СЕМ 30.09.22
-
ЛЕК 05.10.22
-
07.10.22
-
ЛЕК 12.10.22
-
СЕМ 14.10.22
-
СЕМ 21.10.22
-
СЕМ 28.10.22
-
ЛЕК 09.11.22
-
СЕМ 11.11.22
-
СЕМ 2.12.22
-
Лек
-
Литература#
-
Клетник Д. В. — “Сборник задач по Аналитической Геометрии”
-
Проскуряков И. В. — “Сборник задач по Линейной алгебре”
-
Ильин, Позняк — Аналитическая геометрия
СЕМ 1#
Числовая матрица (m times n) — совокупность (m times n) чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы из (m) строк и (n) столбцов
[begin{split}A = block{Vmatrix}{a_{11} & a_{12} & dots & a_{1n} \ a_{21} & a_{22} & dots & a_{2n} \ vdots & vdots & ddots & \ a_{m1} & a_{m2} & & a_{mn}} = block{pmatrix}{a_{11} & a_{12} & dots & a_{1n} \ a_{21} & a_{22} & dots & a_{2n} \ vdots & vdots & ddots & \ a_{m1} & a_{m2} & & a_{mn}}end{split}]
[A in mathbb{R}^{m times n}]
[A = mat{a_{ij}}_{m times n}]
[forall x in A xrightarrow{;f;} y in B]
[y = f(x)]
[det(A), A in R^{n times n}]
-
(n = 1: A = mat{a_{11}}; det A = a_{11})
-
(n > 1: det A = sum^n_{i=1}(-1)^{1+i} a_{1j}M_{1i} = (-1)^{1+1}a_{11}M_{11} + (-1)^{1+2}a_{12}M_{12} + dots + (-1)^{1+n}a_{1n}M_{1n})
где (M) — минор элемента (a_{ij}) определителя матрицы (A), т.к. определитель матрицы ((m-1)times(n-1)) полученной из матрицы (A), вычеркиванием i-строки и j-го столбца
(n=2)
[begin{split}A = mat{a_{11} & a_{12} \ a_{21} & a_{22}}end{split}]
(det A = (-1)^{1+1}a_{11}M_{11} + (-1)^{1+2}a_{12}M_{12} = a_{11}M_{11} — a_{12}M_{12} = a_{11}a_{22} — a_{12}a_{21})
(det{dots} = det A = det mat{dots})
(A = mat{1&2\3&4} = -2) (det{1&2\3&4} = -2)
(n=3)
(det{a_{11} & a_{12} & a_{13} \ a_{21} & a_{22} & a_{23} \ a_{31} & a_{32} & a_{33}} = (-1)^{1+1}a_{11}M_{11} + (-1)^{1+2}a_{12}M_{12} + (-1)^{1+3}a_{13}M_{13} =)
(= a_{11} det{a_{22} & a_{23} \ a_{32} & a_{33}} — a_{12} det{a_{21} & a_{23} \ a_{31} & a_{33}} + a_{13} det{a_{21} & a_{22} \ a_{31} & a_{32}} =)
(= a_{11}(a_{22}a_{33} — a_{32}a_{23}) — a_{12}(a_{21}a_{33} — a_{31}a_{23}) + a_{13}(a_{21}a_{32} — a_{31}a_{22}))
[begin{split}begin{cases}
a_{11}X_1 + a_{12}X_2 + dots + a_{1n}X_n = beta_1\
a_{21}X_1 + a_{12}X_2 + dots + a_{2n}X_n \
vdots \
a_{n1}X_1 + a_{n2}X_2 + dots + a_{nn}X_n = beta_n
end{cases}end{split}]
(A = mat{a_{ij}}_{ntimes{n}})
Если (det A neq 0)
(X_1 = frac{Delta i}{Delta} i = overline{1,n}) (Delta = det A, Delta_i = det (a_1, dots a_{i-1}, b (not a_i), a_{i+1}, dots a_n))
(A = mat{a_{11} & dots & a_{1n} \ vdots & ddots \ a_{m1} & & a_{mn}})
(block{pmatrix}{a_{11} & dots & a_{1n}} = overrightarrow{a_1})
(block{pmatrix}{a_{m1} & dots & a_{mn}} = overrightarrow{a_m})
(block{pmatrix}{a_{11} \ vdots \ a_{m1}} = downarrow{a_1})
(block{pmatrix}{a_{1n} \ vdots \ a_{mn}} = downarrow{a_n})
(A = block{pmatrix}{downarrow{a_1} & downarrow{a_2} & dots & downarrow{a_n}} = block{pmatrix}{overrightarrow{a_1} \ overrightarrow{a_2} \ dots \ overrightarrow{a_m}})
№ 1204
-
(det{-1 & 4 \ -5 & 2} = -2 + 20 = 18)
-
(det{3 & 6 \ 5 & 10} = 30 — 30 = 0)
-
(det{a & 1 \ a^2 & a} = a^2 — a^2 = 0)
-
(det{a+1 & b — c \ a^2 + a & ab — ac} = (a+1)(ab — ac) — (b-c)(a^2 + a) =)
(= a(a+1)(b-c) — (b-c)a(a+1) = 0)
(block{cases}{ detblock{pmatrix}{downarrow a_1 & downarrow a_2 & dots & downarrow a_i & dots & downarrow a_n} \ a_i = alpha downarrow b + beta downarrow c })
(Longleftrightarrow alpha detblock{pmatrix}{downarrow a_1 & downarrow a_2 & dots & downarrow b & dots & downarrow a_n} + beta detblock{pmatrix}{downarrow a_1 & downarrow a_2 & dots & downarrow c & dots & downarrow a_n})
-
(det{2 & x-4 \ 1 & 4} = 0 ident 2times4 — 1(x-4) = 0 ident x=12)
-
(det{x & x+1 \ -4 & x+1} = 0 ident (x+1)det{x & 1 \ -4 & 1} = 0 ident x(x+1) — (-4)(x+1) = 0 ident (x+4)(x+1) = 0 ident block{cases}{x=-4 \ x=-1})
-
(det{3 & -2 & 1 \ -2 & 1 & 3 \ 2 & 0 & -2} = 3(-2 + 0) + 2(4 — 6) + (0-2) = -6 -4 -2 = -12)
ЛЕК 1#
Вектор — направленный отрезок
<картинка>
Модуль вектора — его длина (|vec{AB}|) (|vec a|)
Нулевой вектор — вектор, у которого начало совпадает с концом (dot{a}) (|vec a| = vec 0)
Коллинеарный вектора — вектора, лежаще на одной прямой, либо на параллельных прямых
Два вектора называются равными, если они имеют одинаковую длину, коллинеарный и однонаправлены
Линейные операции над векторами#
Сложение (vec a = vec b)#
Свойства сложения:
-
переместительность закон (vec a + vec b = vec b + vec a)
-
сочетательный закон (vec a + (vec b + vec c) = (vec a + vec b) + vec c)
-
(exists!) нулевой вектор (vec 0), только что (vec a + vec 0 = vec a)
-
(exists!) для (forall vec a) противоположенный вектор (vec d), такой что (vec a + vec d = vec 0)
Сложение любого конечного числа векторов — нарисовать каждый вектор “начало к концу”
Разность векоров (vec a — vec b)#
(vec a — vec b) — это такой вектор (vec c), что будучи сложенным с вычетаемым даёт уменьшаемый
(vec b + vec c = vec a)
Умножение вектора на число (lambda vec a)#
Пусть (lambda) — некое число, (vec a) — некоторый вектор (lambda vec a)
Определение:
-
(|lambdavec a| = |lambda||vec a|)
-
(vec a) и (lambdavec a) — коллиниарны
-
(vec a) и (lambdavec a) — сонаправлены, если (lambda > 0) и противоположны, если (lambda < 0)
Свойства:
-
(lambda (vec a + vec b) = lambda vec a + lambda vec b)
-
((lambda + mu)vec a = lambda vec a + mu vec a)
-
(lambda (mu vec a) = (lambda mu) vec a)
Линейная зависимость векторов#
Система векторов — набор векторов
Линейная комбинация векторов — (lambda_1 vec{a}_1 + lambda_2 vec{a}_2 + dots + lambda_n vec{a}_n)
Система веторов называется линейно зависимой, если существует линейная комбинация = 0, такая что хотя бы 1 из коэффициентов не равен нулю (хотя бы одна) линейная комбинация, равная нулю
(vec{a}_2, vec{a}_2, dots, vec{a}_n)
(alpha_1vec{a}_1 + alpha_2vec{a}_2 + dots, alpha_nvec{a}_n neq 0)
Иначе она называется линейно независимой
Пусть в линейно зависимой системе векторов
(alpha_i neq 0)
(alpha_ivec{a}_i=-alpha_1vec{a}_1 -alpha_1vec{a}_1 dots -alpha_{i+1}vec{a}_{i+1} dots -alpha_nvec{a}_n)
(vec a_i = lambda_1 vec a_1 + lambda_2 vec a_2 + dots + lambda_{i-1} vec a_{i-1} + lambda_{i+1} vec a_{i+1} + dots + lambda_{n} vec a_{n})
(lambda_k = -frac{d_k}{d_i})
2-е определение линейно незавивисой системы
Система (vec{a}_2, vec{a}_2, dots, vec{a}_n) называется линейно независимой, если существует единственная система их линейная комбинация, равная 0, когда все коэффициенты равны 0
Условия линейной зависимости:#
-
в системе присутствует нулевой вектор, то она линейно зависима
действительно, например, (vec{a_i} = 0), где (alpha_ineq0), а все остальные = 0, тогда (alp_1 vec a_1 + dots + alp_i vec a_i + dots + alp_n vec a_n = 0) -
если часть векторов системы линейно зависима (thus) вся система линейно зависима
Теорема 1: Необходимым и достаточным условием линейной зависимости из двух веторов является их коллинеарность.
Доказательство:
Дано два линейно зависимых векторов (vec{a}) и (vec{b}):
Действительно, по определению линейной зависимости, (exists) линейная комбинация (alpvec{a} + betavec{v}=0), где хотя бы один из векторов (neq 0), например (alp neq 0)
Теорема 2: Необходимым и достаточному условием линейной зависимости системы из 3-х векторов является компланарность.
Дано три вектора (vec{a}, vec{b}, vec{c}) — линейно зависимы
Док-во: Линейно зависимы, значит существует линейная комбинация0 (alpha vec{a} + beta vec{b} + gamma vec{c} = 0)
в которой хотя бы один (neq 0)
Пусть (gamma neq 0), тогда (vec{c} = -frac{alpha}{gamma}vec{a}-frac{beta}{gamma}vec{b} Rightarrow alpha_1vec{a} + alpha_2vec{b})
Действительно, так как (vec{a}, vec{b}, vec{c}) в одной плоскости, то совмещая параллельным переносом их начала, тогда получим параллелограмм, в котором (vec{c}= vec{OC} = vec{OB}) так как (vec{OB} = alphavec{b}), (vec{OA} = gammavec{a}) (alphavec{b} + gammavec{a} — vec{c} = 0) у которой хотя бы … что и отображает компланарность
Теорема 3: любые 4 вектора линейно зависимы.
Пусть имеем (vec a, vec b, vec c и vec d) при чём ни одна тройка не компланарная, тогда свожу 4 вектора к одному началу. Из точки D проведём плоскости, параллельные плоскостям из пар (vec{a}vec b, vec a vec c, vec b vec c) , из этих плоскостей получаем паралелипипед (vec A = vec {OD} = vec {OE} + vec{OC} = vec{OA} + vec{OB} + vec{OC} = lambdavec a+betavec b + gammavec c) а это линейная зависимость.
Следствие любой вектор (vec d) можно разложить по 3-м некомпланарным векторам (vec d = lambda vec a + beta vec b + gamma vec c)
(vec a, vec b, vec c)-линейно независимы
Базис#
Базисом в (3-х мерном) пространстве называется такая система линейно независимых векторов, по которым может быть разложена любое вектор-пространство
(vec a, vec b, vec c) — образуют базис, если (forall vec a = lambda vec a + beta vec b + gamma vec c) (lambda, beta, gamma) называются …?
В 2-х мерном пространстве любой вектор плоскости может быть разложен по этому базису, то есть (forall vec c = lambda vec a + beta vec b)
ОНБ — ортогонально нормированный базис — это базис из единичных векторов (hat i, hat j, hat k) — ортогональных дргу другу векторов
(forall vec d = Xhat i + Y hat j + Z hat k) координаты (X, Y, Z) совпадают с проекциями вектора (vec d) на себя
проекция (vec d = |vec d|) на d
(vec a^2 = X^2 + Y^2 + Z^2 = |d|(/экю-это/))
ЛЕК 21/09/22#
([vec a , vec b] = det{vec i & vec j & vec k \ x_1 & y_1 & z_1 \ x_2 & y_2 & z_2} = vec i det{y_1 & z_1 \ y_2 & z_2} — vec j det{z_1 & z_1 \ x_2 & z_2} + vec k det{x_1 & y_1 \ x_2 &y_2})
(([vec a , vec b], vec c) = (vec a, [vec b, vec c]) = (vec a, vec b ,vec c) = det{x_1 & y_1 &z_1 \ x_2 & y_2 &z_2 \ x_3 & y_3 &z_3})
3 вектора компланарны, если попарное векторное произведение равно нулю
Доказать своство векторного проиведения
Докажем одно свойство
([vec a + vec b, vec c] = [vec a, vec c] + [vec b, vec c])
Если все три вектора лежат в одной плоскости, то вектороное преизведение можно изобразить так: ([vec a + vec b, vec c] = пр._avec c cdot |vec c| vec g)
(vec g) — единичный перп вектор
([vec a, vec c] = пр._bvec ccdot|vec c| vec g)
([vec b, vec c] = пр._cvec c cdot|vec c| vec g)
(пр._u(vec a + vec b)= пр._uvec a + пр._uvec b)
Доказать
([vec a, vec c] = пр._{vec b}vec a |vec c|vec g)
([vec a, vec c] = proj{vec c}{vec a} |vec c| vec g)
([vec b, vec c] = proj {vec e}{vec b} |vec c|vec g)
([vec a + vec b, vec c] = proj{vec e}{vec a + vec b}|vec c|vec g)
Уравнение линии на плоскости#
(Ф(x, y)=Q)
уравнение линии (mathcal{L})
Параметрические задание линии:
с поиощью параметра t
(forall x in L: c(k))
(x = phi(t))
(t = psi(t))
((alp leq t leq beta))
Если обтарная функция существует: (t = phi^{-1}(x))
Алгебраическая линия
Если (Ф(x, y)) если полиномом по переменным x, y
Алгебр лин называется линия n-ного порядка, если порядок многочлена (Ф(x, y)) равен n
Все остальные линии называеются трансцендентрыми
Линейным преобразованием координат (Афинные преобразования)
(x = a = x’a_{11} + y’a_{12})
(y = b +x’a_{21} +y’a_{22})
Порядок линии не меняется при линейном преобразовании координат
Паралельный переноc
(cases{x = x’ — a \ y = y’ — b}) — паралельное переос
(x = x’ cos phi — y’sinphi)
(y = y’cosphi+y’sinphi)
Параметрическое задание:
Окружность с центром в точке O(a,b) и радиусом R имеет уравнение ((x — a)^2 + (y — b)^2 = R^2)
(R = sqrt{(x_1-x_O)^2 +(y_1-y_O)^2})
Если центр в начале координат, то (a = 0, b= 0)
(x^2 +y ^2 =R^2)
Возьмём произвольную точку M(x,y)
Опустим перепендикуляр на ось Ox
(cases{x = cosphi \ y = sinphi} (0 leq psi < 2pi))
Если 2 линни (L_1 ,L_2) заданы уравнением (cases{Ф_1(x,y) = 0\Ф_2(x,y)=0})
точки пересечения — решение системы уравнений
Поверхность и линия в пространстве
Поверхность (Ф(x,y,z)=0)
Параметрическое задание (cases{x = phi(t)\ y=psi(t)\ z=chi(t)} (alp leq t leq beta))
если (t=phi^{-1}(x))
(y = psi(phi^{-1}(x)))
(z = chi(phi^{-1}(x)))
Пример поверхности
Уравнение сферы
((x — a)^2 +(y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2)
Линия как пересечение поверхности
Имеем две поверхности
(cases{Phi_1(x,y,z)=0\Phi_2(x,y,z)=0})
Классы поверхностей:
-
цилиндрические (все её точки удволетвояют условию: прямая, проходящая через точку — целиком принадлежит поверхности)
-
конические (любая её точка удволетворяет условию: прямая, проведённая через точку и начало координат принадлежит поверхности)
Линейные геометрические образы#
Прямая на плоскости
Задача: написать уравнение прямой на плоскости, проходящей через данную точку (M_0(x_0,y_0)) перпендикулярно данному вектору (vec N (A, B))
(нелбходимое и достаточное условие)Любая точка (M(x,y)) лежит на прямой, если (vec {MM_0} perp vec N thus vec {MM_0} cdot vec N = 0)
((vec N, vec{MM_0}) = 0)
(A(x-x_0) + B(y-y_0) = 0)
(vec N) — нормальный вектор прямой
(Ax +By — Ax_0 — By_0 = 0) или же (Ax +By + C = 0) — общее уравнение прмой
Неполное уравнение прямой
-
(C=0) (Aneq 0; Bneq0) — прямая проходит через начало координат
-
(C neq 0; A=0; By + C =0) (y = -frac C B) — прямая паралельна оси Ox
-
аналогично для (B=0)
-
(A = 0; C=0, y=0) — ость Ox
Уравнение прямой в отрезке#
(frac x a + frac y b = 1 (const))
Как получить из общего уравнения
(Ax + By = -C)
(frac x {-CA} +frac x{-CB} = 1)
Уравнение прямой с угловым коэффициентом
(Ax + By + C = 0)
(By = -Ax — C)
(y = frac {-Ax} B — frac C B)
(frac {-Ax} B =k; -frac C B — b)
k — угловой коэффициент
(k = th alp)
(alp) — угол наклона (x)
Угол наклона между прямыми
(L_1, L_2)
(phi = phi_2-phi_1)
(phi) — угол между
(phi_1, phi_2) — углы прямых с остью Ox
(tg phi = tg(phi_2 — phi_1) = frac{tgphi_2 — tgphi_1}{1+tgphi_1thphi_2}=frac{k_2-k_1}{1+k_1k_2})
чем заметим (1+k_1k_2=0), то (k_2=-frac 1 {k_1}) (прямая перпендикулярна)
Нормальное уравнени прямой#
От данной прямой опущу из начала координат перпендикуляр, точку обозначу P, а вектор (vec n)
расстояние (OP = p)
условие принадлежности текущей точки (M(x,y)) прямой: проекция вектора (proj{vec n}{vec {OM}} = p = xcosphi + ysinphi) — нормальнеое урванение прямой
Получим из общего уравнения:
(Ax+By+C=0)
(frac{A}{sqrt{A^2+B^2}}x + frac{B}{sqrt{A^2+B^2}}y + frac{C}{sqrt{A^2+B^2}} = 0)
(rightarrow cosphi x sinphi y + p = 0)
Расстояние от точки до прямой#
точка (M(x*,y*)), остальное из прошлогй секции
(vec d) — перенесённый (vec n), чтобы он указывал на M
Продливаем (vec n)
(proj{vec n}{OM*} = d+p)
(proj{vec n}{(x*cosphi =y*sinphi)} = d+p)
(d = proj{vec n}{(x*cosphi =y*sinphi)} — p)
(delta = pm d)
(delta) — отклонение точки от прямой
Биссектрисы двух углов между прямыми
геометрическое … точек между прямыми
(xcosphi_1 + ysinphi_1 — p_1 = pm (xcosphi_2 + ysinphi_2 — p_2))
СЕМ 23.09.22#
TODO
ЛЕК 28.09.22#
СЕМ 30.09.22#
ЛЕК 05.10.22#
в декартовой линейной системе координат плоскость описывается
(Ax+By+Cz+D=0)
Задача#
Через данную точку в пространстве (M_0(x_0, y_0, z_0)) провести плоскость пепендикулярную, данному вектору (vec N (A, B, C))
(M_0(x_0, y_0, z_0))
Берём произвольную точку (M(x, y, z)) соединяем вектором
(vec {M_0M})
Необходимое и достаточное условие принадлежности точки (M(x, y, z)) является скалярное произведение векторов (vec V (A, B, C)) и (vec M_0M(x-x_0, y-y_0,z-z_0))
((vec N, vec {M_0M}) = 0)
(A(x-x_0) +B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0)
Неполное уравнение плоскости#
-
(D = 0; A,B,C neq 0) (Ax + By +Cz = 0) — плоскость, проходящая через начало координат
-
(A = 0; By + Cz + D = 0) — плоскость, паралельная оси Ox
-
(B = 0 dots) — паралельая Oy
-
(C = 0 dots) — паралельно Oz
-
(A = 0, B = 0) (Cz +D = 0; z = -frac{D}{C}) — паралельно плоскости Oxy
Уравнение плоскости в отрезках (на координатных осях)#
(Ax + By+ Cz +D = 0 (Dneq 0))
(Ax + By +Cz = -D)
(frac x {-D/A} + frac y {-D/B} +frac z {-D/c} = 1)
или
(frac x a + frac y b + frac z c = 1)
Уравнение плоскости, проходящей через три точки#
(M_1(x_1,y_1,z_1))
Нормальный вектор получим, как веркорное произведение векторов, например (vec{M_1, M_2}) и (vec {M_!M_3})
(vec N = det {vec i & vec j & vec k \ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \ x_3-x_1 & y_3 — y_1 &z_3-z_1})
получим уравнение плоскости
(A(x-x_1) + B(y-y_1) + C(z-z_1) = 0)
((x-x_1)det{y_2y_1 & z_2-z_1 \ y_3-y_1 & z_3-z_1} — (y-y_1)det{x_2-x_1 & z_2-z_1 \ x_3-x_1 & z_3-z_1} + (z-z_1)det{x_2-x_1 & y_2-y_1 \ x_3-x_1 & y_3-y_1} = 0)
(det{x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \ dots} = 0)
Угол между двумя плоскостями. Условия паралельности между плоскостями#
Линейный угол друхгранного угла, образованного плоскостяим (alp) и (beta)
Пусть нормальные кетора плоскостей (alp) и (beta) будут соответсвеноо (vec N_1(A_1, B_1, C_1)) и (vec N_2(A_2,B_2,C_2))
Угол (phi) между нормальными векторами является углом между плоскостями
Угол определяем из скалярного произведения
((vec N_1 ,vec N_2) = |vec N_1| |vec N_2| cos phi)
Условие паралельности плоскостей, коллинеарность нормальей:
(frac {A_1} {A_2} = frac {B_1} {B_2} = frac {C_1} {C_2})
Условие перпендикулярности:
(A_1A_2+B_1B_2+c_1C_2 = 0)
Нормальное уравнение плоскостей#
(OPperp pi)
(vec n) -единич вектор вдоль (vec {OP})
(vec n = (cos alp,cosbeta,cosgam)). где (alp, beta, gam) — углы вектора (vec n) с соответсвующими осями координат
Условия принадлежности текущей точки (M(x,y,z)) искомой плоскости (proj {vec n}{vec{OM}} = p) (где p — )
(proj {vec n} {vec OM} = frac {(vec{OM})}{|vec n|} = xcos alp + ycos beta + zcos gam = p) корни уравнения
Приведение обшего уравнения плоскости к нормальному виду#
(Ax +By + Cz +D =0 | sqrt{A^2+B^2+C^2})
(frac x {sqrt{A^2+B^2+C^2}/A} + frac y {sqrt{A^2+B^2+C^2} /B} +frac z{sqrt{A^2+B^2+C^2}/C}+frac D{sqrt{A^2+B^2+C^2}} = 0)
существует коэффицинты x, y, z можно … направленные …
Точка и плоскость …#
из точки (Mstar) опускаем (perp) на плоскость (alp) получаем расстояние (d) (vec {Mstar P}perpvec a)
(proj {vec n} {vec{OMstar}} = p+d)
(proj {vec n}{vec{OMstar}} = frac{(vec {OM}, vec n)}{|vec n|} = xstarcosalp +ystarcosbeta + zstarcosgam — p = d)
Заметим, если точка (Mstar) и начало координат O лежат по одну сторону от плоскости, … (delta = pm d)
если по разные, то (delta = d)
если по одну, то (delta = -d)
Пучок плоскостей#
Это множество всех плоскостей, проходящих через данную прямую
Уравнения прямой (L) задаётся двумя пересекающимяся плоскостями
(block{cases}{A_1x+B_1y+C_1z+D_1 = 0 \ A_2x+B_2y+C_2z+D_2 = 0})
Уравнение любой плоскости пучка можно получить из уравнения (alp(A_1x+B_1y+C_1z+D_1) + beta(A_2x+B_2y+C_2z+D_2)=0)
решим на плоскости (alp) (точко (alp neq 0))
(A_1x+B_1y+C_1z+d_1 +gam(A_2x+B_2y+C_2z+D_2) = 0 (gam = frac beta alp))
Связка плоскостей#
Это совокупности плоскостей, проходящих через одну точку
(S_0(x_0,y_0,z_0))
(A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) …..)
Прямая в пространстве#
Это пересечение двух плоскостей и задаётся системой из двух уравнений
(block{cases}{A_1x+B_1y+C_1z+D_1 = 0 \ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0}) — общие уравнения прямой
Канонические уравнения прямой#
Задача:
через данную точку (M_0(x_0,y_0,z_0)) провести прямую, паралельную данному вектору (vec a = (l,m,n)) направленный вектор прямой
(M(x,y,z))
Необходимое и достаточное условие принадлежности точки (M(x,y,z)) искомой прямой — коллинеарность векторов (vec a, vec M_0, vec M)
то есть, пропорциональность их соответсв. координат
(frac{x-x_0}l=frac{y-y_0}m=frac{z-z_0}n) координаты уравнения прямой
Переход от общих уравнений к каноническим#
Для этого надо знать точку пррямой и её направляющий вектор (vec a(l,m,n)) — вектороне произведение нормальных векторов
(vec a = [vec N_1, vec N_2] = det{vec i & vec j & vec k \ A_1 &B_2 & C_1 \ A_2 & B_2 &C_2})
Точка (M_0) выбирается так, чтобы коффициэнты при остальных двух переменных удволетворяли условию (det{A_1 & B_1 \ A_2 & B_2}) и любой другой
Параметричсекие уравнения прямой#
Берет за параметр (t)
(block{cases}{x = x_0 +lt \ y=y_0+mt \ z=z_0+nt})
Уравнения прямой проходящее через две точки#
(vec{M_1, M_2}) — вектор прямой
точка прямой — (vec N)
(frac{x-x_1}{x_2-x_1}=frac{y-y_1}{})
07.10.22#
(M(x, y))
(vec N = {A, B} neq vec 0)
(M_0(x_0, y_0))
(M in l ident vec{M_0M} perp vec N ident (vec N, vec {M_0M}) = 0)
Первый вид: (A(x-x_0) +B(y-y_0)=0)
Второй вид: общий (Ax+By + C=0 (|A|+|B>0))
Третий вид: (Aneq 0, Bneq 0, Cneq0) (frac x a + frac y b = 1)
Четрвёртый вид: параметрический
(vec m = set{a, b} neq vec 0)
(vec m || l)
(M_0 in l ident vec{M_0M}||vec m ident ex t; vec{M_0M} = tvec m ident cases{x-x_0=at\y-y_0=bt} (-inf < t < inf))
Пятый вид: (vec{M_0M} || vec m ident frac{x-x_0}a = frac{y-y_0}b)
Шестой вид: (y — kx +b, k=tg(alp), bneq 0)
Седьмой вид: нормированный (Ax+By+C=0 | pm frac 1 {sqrt{A^2+B^2}} = pm frac 1 {|vec N|})
(vec n = pm frac {vec N}{|vec N|})
(vec n = 1 thus vec n = set{cos alp, cos beta} = set{cos alp, sin alp})
(|p|=dist(phi, l))
отклонение точки от прямой — (delta(x,y) = xcosalp +ysinalp +p = 0)
(delta(x,y) = delta(M^star))
(|delta(M^star)| = dist(M^star, l))
№214
(3x-4y-29=0)
(2x-5y+19=0)
(vec N_1 = set{3, -4}, vec N_2 = set{2, 5})
(vec N_2 not{||} vec N_2 thus l_1 not{||} l_2 thus exo M_0 = l_1 cup l_2)
(M_0in l_1, M_0in l_2)
(M_0(x_0,y_0))
решаем систему координат подставляя (x_0, y_0)
(cases{x=3\y=-5})
(M_0(3, -5))
№223
(2x+3y+4=0 (l))
(M_0 in l_1)
-
(l_1 || l thus vec N_1 = vec N = set{2, 3}) ((vec N_1, vec{M_0M}) = 0) (2(x-2) + 3(y-1) = 0) (2x+3y-7=0)
-
(l_1 perp l thus vec N = set{2, 3} perp vec N_1 = set{-3, 2}) (-3(x-2) + 2(y-1) = 0) (-3x+2y+4=0)
№ 227
(p(-5, 13))
(l: 2x-3y-3=0)
-
найдём (l_1 : l_1 perp l, pin l_2)
-
(R = l_1cup l)
-
(vec{OQ}=vec{OP}+vec{PQ} = vec{OP} + 2vec{PR} =)
-
(3(x+5)+2(y-13)=0)
-
решаем две системы
ЛЕК 12.10.22#
Задачка#
Найти условие пересечения трёх плоскостей в одной и только в одной плоскости
Три плоскости
(cases{A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0 \ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 \ A_3x+B_3y+C_3z+D_3=0})
Решение существует, когда (det neq 0)
(det{A_1 & B_1 & C_1 \ A_2 & B_2 & C_2 \ A_3 & B_3 & C_3})
Задачка#
Уравнение биссекторной плоскости плоскости двухгранного угла
плоскости (pi_1, pi_2)
Приведём уравнение данных плоскостий к нормальному виду
(A_{1,2}x+B_{1,2}y +C_{1,2}z +D_{1,2} = 0 | :sqrt{A_{1,2}^2+B_{1,2}^2+C_{1,2}^2})
(cosalp_{1,2} + cosbeta_{1,2} + cosgam_{1,2} — p_{1,2} = 0)
приравниваем с плюсом и с минусом
биссекторные плоскоски:
(xcosalp_1 +ycosbeta_1 +zcosgam_1-p_1 = pm(xcosalp_2 +ycosbeta_2 +zcosgam_2-p_2))
Задачка#
Условие пересечения данной плоскостью отрезка MN
(Ax+By+Cz+D=0)
Как следует из определения отклонения точки от прямой, отклонение точки M (delta_M) от отлконения точки N (delta_N) должны иметь разные знаки
Задачка#
Условие расположения двух данных точек относительно двух данных пересекающихся плоскостей
Плоскости (pi_1,pi_2)
Точки (A, B)
Выяснить, лежат ли обе точки:
-
в одном углу между плоскостями
-
в смежных углах
-
в вертикальных углах
-
отклонения точек A, B от этих плоскостей (delta_{A1}, delta_{B1}) (плоскость (pi_1)), а также (delta_{A2}, delta_{B2}) (плоскость (pi_2)) должны быть одного знака
-
отклонение (delta_{A1}, delta_{B1}) — одного знака, а (delta_{A2}, delta_{B2}) — разных знаков
-
отклонения (delta_{A1}, delta_{B1}) — разных знаков, а также (delta_{A2}, delta_{B2}) — разных знаков
Задачка#
Опустить перпендикуляр из данной точки на данную плоскость
это значит написать уравнение этого перпендикуляра
рассматриваем реометрическую корректность задачи
данная плоскость (pi) и данная точка (M_0(x_0,y_0,z_0))
мы знаем, что перендикуляр на плоскость опускать можно, задача корректна
Для нахождения уравнения этого перпендикуляра требуется знать координаты точки, на этом перпендикуляре и направляющий вектор этого перпендикуляра
Точка известна (M_0)
Найдем направляющий вектор (vec a = (l,m,n))
За направляющий вектор прямой можно взять нормаль плоскости
(vec N = (A, B, C))
тогда сразу можно записать уравнение искомой прямой в каноническом виде
уравнение прямой (Ax+By+Cz+D=0)
(frac{x-x_0}{A} = frac{y-y_0}{B} = frac{z-z_0}{C})
Задачка#
Через данную точку провести плоскость, паралельную данной плоскости
Данная плоскость
(Ax+By+Cz+D=0)
Данная точка
(M_0(x_0,y_0,z_0))
Задача поставлена корректно, с геометрической точки зрения
Решаем её аналитически
Для уравнения всякой плоскости нужно знать координаты какой-либо точки этой плоскости и её нормальный вектор
Точка дана (M_0), нормаль совпадает с нормалью данной плоскости
(vec N = (A, B, C))
Уравнение искомой плоскости:
(A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0)
Задачка#
Через данную точку провести плоскость перпендикулярную данной прямой
Дана прямая (L: frac{x-x_1}{l} = frac{y-y_1}{m} = frac{z-z_1}{n})
Дана точка (M_0(x_0,y_0,z_0))
Надо провести плоскость:
требуется точка и нормаль
Точка дана (M_0(x_0,y_0,z_0))
Нормаль — идёт вдоль прямой — есть направляющий вектор (vec a = (l,m,n))
Искомое решение
(l(x-x_0)+m(y-y_0)+n(z-z_0)=0)
Задачка#
Через данную прямую и не пренадлежащую ей точку провести плоскость
Дана прямая (L: frac{x-x_1}{l} = frac{y-y_1}{m} = frac{z-z_1}{n})
Дана точка (M_0(x_0,y_0,z_0))
Надо провести плоскость:
требуется точка и нормаль
Точка дана (M_0(x_0,y_0,z_0))
Нормалью будет векторное произведение направляющего вектора прямой (vec a = (l,m,n)) и вектора, соединяющего точки (M_1, M_0)
(M_1) — точка на прямой
Уравнение искомой плоскости
(A(x-x_0) +B(y-y_0)+C(z-z_0)=0)
Где (A, B, C) — координаты вектора ([vec a, vec{M_0M_1}] = vec N(A,B,C))
([vec a, vec{M_0M_1}] = det{hat i &hat j & hat k \ l & m & n \ x_1-x_0 & y_1-y_0 & z_1-z_0})
Задачка#
Даны 2 скрещивающиеся прямые
Найти уравнение плоскости, проходящей через одну из этих прямых, паралельно другой
Дана плоскость (pi)
Даны прямые
(L_1: frac{x-x_1}{l_1} = frac{y-y_1}{m_1} = frac{z-z_1}{n_1})
(L_2: frac{x-x_2}{l_2} = frac{y-y_2}{m_2} = frac{z-z_2}{n_2})
Для написания уравнения плоскости нужны точка и нормаль:
В качестве точки берём (M_1(x_1,y_1,z_1)), принадлежащей прямой (L_1)
А в каестве нормали берём направляющие вектора прямых (vec N = [vec a_1, vec a_2])
(vec N = det{hat i &hat j & hat k \ l_1 & m_1 & n_1 \ l_2 & m_2 & n_2} thus) искомое уравнение (A(x-x_1)+B(y-y_1)+C(z-z_1)=0)
Задачка#
Из данной точки опустить перпендикуляр на данную прямую
Дана прямая (M_0(x_0,y_0,z_0))
Дана прямая (L: frac{x-x_1}{l} = frac{y-y_1}{m} = frac{z-z_1}{n})
Для написания уравнения искомой прямой надо знать точку на это прямой и её направляющий вектор
Точка известна (M_0(x_0,y_0,z_0))
Направляющий вектор (vec a) получим с помощью плоскости
(смотри пред задач)
Через точку M0 проведём плоскость, проходящую через прямую L
Из этой плоскости берям её нормаль (vec N = (A, B, C)) и направляющий вектор искомой прямой (vec a = [vec N, vec a_1])
Задачка#
Через данную прямую и данную плоскость, провести плоскость, перпендикулярную данной плоскости
Дана прямая (L: frac{x-x_1}{l} = frac{y-y_1}{m} = frac{z-z_1}{n})
Дана плоскость (Ax+By+Cz+D=0)
Для написания уравнения искомой плоскости нужно знать её точку и нормальный вектор
В качестве точки берём точку (M_0(x_0,y_0,z_0)) из прямой (L)
В качестве нормали искомой плоскости берём (vec N_1 = [vec a, vec N] = det{hat i &hat j & hat k \ l & m & n \ A & B & C})
Задачка#
Найти расстояние между двумя паралельными прямыми
Даны прямые
(L_1: frac{x-x_1}{l_1} = frac{y-y_1}{m_1} = frac{z-z_1}{n_1})
(L_2: frac{x-x_2}{l_2} = frac{y-y_2}{m_2} = frac{z-z_2}{n_2})
Т.к. они паралельные, их направляющие векторы равны (vec a = (l,m,n))
Берём точки (M_1(x_1,y_1,z_1) in L_1) и (M_1(x_2,y_2,z_2) in L_2)
Рассмотрим паралелограмм между направляющими веторами, исходящих из точек (M_1, M_2)
(d) — искомое расстояние — пермендикуляр между прямыми
Площадь паралелограмма (S=d|vec a| = dsqrt{l^2 + m^2+n^2} = {|[vec{M_2M_1}, vec a]|})
(thus d = frac{|[vec{M_2M_1}, vec a]|}{|vec a|})
Задачка#
Написать уравнение общего перпендикуляра двух скрещивающихся прямых
Общий перпендикуляр имеет направляющий векотор (vec a = [vec a_1, vec a_2])
Точку найдём из одной из предыдущих задач (провести через (L_1 || L_2))
Из этой плоскости берём любую ея точку
СЕМ 14.10.22#
№233#
Составить уравнение прямой
(l; l perp vec{OP}, p in l)
(2(x-2) +3(y-3)=0)
(2x+3y-13=0)
№239#
(M_1(-1, 2))
(M_2(2,3))
(vec{M_1M_2} = set{3,1})
(l; vec{M_1M_2}||L, m_1in l)
(thus frac{x+1}3 = frac{y-2}1 thus frac x 3 — frac y 1 = -frac 1 3 — 2 = -frac 7 3)
(frac x {3(-frac 7 3)} — frac y {(-frac 7 3)} = 1)
(frac x a + frac y b = 1)
№245#
(A(1,-2))
(B(5,4))
(C(-2, 0))
(|phi_2 — phi| = |phi-phi_1|)
(tg |phi_2-phi| = tg |phi-phi_1|)
(|tg (phi_2-phi)| = |tg (phi-phi_1)|)
(|frac{tg(phi_2)-tg(phi)}{1+tg(phi_2)tg(phi)}| = |frac{tg(phi)-tg(phi_1)}{1+tg(phi)tg(phi_1)}|)
((vec N_1, vec{M_0M}) = 0)
((vec N_2, vec{M_1M}) = 0)
((vec N_1 pm vec N_2, vec{M_0M})=0)
(vec{AB} = set{4,6})
(l_1=(A,B); Ain l_1, vec{AB} || l_1 thus vec N_1 = set{-3, 2})
(-3(x-1)+2(y+2)=0)
(-3x+2y+7=0)
(l_2=(A,B); Ain l_2, vec{AB} || l_2 thus vec N_2 = set{-2, -3})
(-2(x-1) -3(y+2)=0)
(frac{-3x+2y+7}{sqrt{13}} pm frac{-2x-3y-4}{sqrt{13}}=0)
(-5x-y+3=0) — бессектриса внутреннего угла
(-x+5y+11=0) — бессектриса внешнего угла
№249#
(M(1,2))
(N(3,4))
(P)
(N_1(3,-4))
(vec{MN_1} = set{2, -6})
(frac{x-1}1 = frac{y-2}{-3})
(x = 1+4/3 = 5/3)
№ 250#
(x-2y+5=0 l_1)
(3x-2y+7=0 l_2)
№ 267#
(N(5,2))
(M_1(-10, 2))
(M_2(6,4))
(M_3) — ?
-
(h: hperp vec{M_1M_2}, Nin h)
(vec{M_1M_2} = set{16,2} = set{8,1})
(8(x-5) + 1(y-2)=0)
(8x+y-42=0)
(l_1=(M_2,M_3)) -
(l_1: l_1perpvec{M_1N}, N in l_1)
(vec{M_1N} = set{15, 0})
(15(x-6)+0(y-4)=0)
(x=6) -
(M_3 = l_1cup h)
(cases{8x+y-42=0\x=6})
СЕМ 21.10.22#
Прямая (Ax + By + C =0)
N — номальный вектор
(M_0) — начало нормального вектора
(f(M) = (vec N, vec{M_0M})=0)
Для произвольной точки M значение этой точки будет (cases {> 0, Min l^+ \ =0, Min l \ <0, Min l^-})
(|frac{f(M)}{|vec N|}| = dist(M, l))
Чтобы узнать, пересекаются ли прямая и отрезок, можно посмотреть на знаки этой функции на концах отрезка, если они разные, то прямая пересекает отрезок (2д)
Пусть есть прямые, они пересекаются под остарым углом
(0 < hat{l_1,l_2} < frac pi 2)
Проводим нормальни к этим прямым
Угол между прямыми совспадает с углом между норамлями
(l_1: f_1(M)=0)
(l_2 : f_2(M)= 0)
если угол между нормалями тупой, то при разности знаков функци (f_1,f_2) точка находится в тупом углу
№313
(M(1,-3))
(O(0,0))
-
(2x-y+5=0 (l))
(f(M)=10>0)
(f(O)=5<0)
Точки лежат в одной полуплоскости
-
(x-3y-5=0)
(f(M)=5>0)
(f(O)=-5<0)
Точки лежат в разных полуплоскостях
№317
(2x-3y+6=0)
не пересекает (M_1(-2,-3), M_2(1,-2))
(f(M_1)=11>0)
(f(M_2)=14>0)
Не пресекается
№341
(M(1,-2), O(0,0)) лежат ли в смежных или вертикальных углах
-
(2x-y-5=0) (3x+y+10=0)
(f_1(M)=-1<0) (f_1(O)=-5<0)
(f_2(M)=11>0) (f_2(O)=10>0)
M и O в одном углу
(hat{N_1,N_2}<frac pi 2)
-
(4x+3y-10=0) (12x-5y-5=0)
(f_1(M)=-12<0) (f_1(O)=-10<0)
(f_2(M) = 17 > 0) (f_2(O)=-5<0)
Лежат в смежных углах
-
(x-2y-1=0) (3x-y-2=0)
(f_1(M)=4) (f_1(O)=-1)
(f_2(M)=3) (f_2(O)=-2)
Вертикальные
Тупые углы
№345
(3x-2y+5=0 (l_1))
(2x+y-3=0 (l_2))
(O(0,0))
(f_1(O)=5)
(f_2(O)-3)
((vec N_1, vec N_2) = 4 > 0 thus hat{vec N_1, vec N_2}<frac pi 2)
В остром углу
№349
(x+2y-11=0 | cdot frac 1 {sqrt{5}})
(3x-6y-5=0 | cdot frac{1}{3sqrt 5})
(M(1,-3))
(l_1 pm l_2 = 0)
(6x-38=0) (3x-19=0)
(12y-28=0) (3y-7=0)
Строим любое уравнение бисстикрисы угла, и берём любую точку, если повезёт, то окажется в одном угле, если в вертикальных, то берям отрицательную точку, если в вмежных, берём перпендикулярную и повторяем предыдущий шаг
(M_0(0, frac {7}{3}))
(f_1(M_0) = frac 14 3 — 11 < 0) (f_1(M_0)=-16<0)
(f_2(M)=-14-5<0) (f_2(M) = 3+18-5 > 0)
в смежных углах (thus) …
№351
(3x+4y-5=0)
(5x-12y+3=0)
((vec N_1, vec N_2) < 0 thus hat{vec N_1, vec N_2} > frac pi 2)
((3x+4y-5)13 — (5x-12y+3)5 = 0)
(14x + 112y -80=0)
(7x+56-40=0)
№315
(3x-2y-5=0)
(2x+3y+7=0)
(A(-2,1))
(f_1(A)=-13<0)
(f_2(A)=6>0)
(d_1=|frac{f_1(A)}{vec N_1}| = sqrt{13})
(d_2=|frac{f_2(A)}{vec N_2}| = frac 6 {sqrt 13})
(S = d_1d_2=6)
№325
(10x+15y-3=0)
(2x+3y+5=0)
(2x+3y-9=0)
(M_2(-1, -1))
(M_3(0,3))
(f_1(M_2)=-28<0)
(f_1(M_3)=42>0)
(thus l_1) между (l_2) и (l_3)
(frac {d_2}{d_3} = frac{|frac {f_1(M_2)}{|vec N_1|}|}{|frac{f_1(M_3)}{|vec N_1|}|} = frac {28}{42} = frac 2 3)
№331
(3x-4y-10=0)
(d=3)
(l_1||lthus l_1: 3x-4y+C=0)
(M_0(2,-1)in l)
(d=dist(l_1,l)=dist(l-1, M_0)=|frac{f_1(M_0)}{|vec N_1|}| = |frac{3*2 — 4(-1) +C}{5}|)
(|frac{10+C}{5}|=3)
(frac{10+C}{5}=pm 3)
(10+C = pm 15)
-
(C=5)
-
(C = -25)
(3x-4y+5=0)
(3x-4y-25=0)
СЕМ 28.10.22#
(M) — система координат : (vec{OM}=set{x,y,z}; M(x,y,z))
плоскость (pi) онозначно определяется точкой (M_0) и (vec N)
(vec{M_0M} = set{x-x_0, y-y_0,z-z_0})
(M in pi) если (vec {M_0M} perp vec{N} ident (vec N, vec{M_0M}) =0 ident A(x-x_0) + B(y-y_0) +C(z-z_0) = 0) (1)
(Ax + By + Cz + D = 0) (2)
(Aneq0, Bneq0,Cneq0, Dneq thus frac x a + frac y b + frac z c = 1) (3)
(Ax + By + Cz +D = 0 | pm frac{1}{|vec{N}|})
(xcosalp + ycosbeta + zcosgamma +p = 0) (4)
(|p|=dist(O, pi))
(|delta(M)| = dist(M, pi))
(delta(M) = frac{f(M)}{pm|vec N|})
№ 915
(P(2, -1, -1))
(pi)
(Pinpi)
(vec{OP} perp pi)
((vec{OP}, vec{PM}) = 0)
(2(x-2) — 1(y+1) — 1(z+1) = 0)
(2x-y-z-6=0)
№ 919
(M_1(2,-1,3), M_2(3,1,2))
(vec a = set{3, -1, 4} parallel pi)
(Minpi ident vec{M_1M}, vec{M_1M_2}) компланарны
(ident <vec{M_1M}, vec{M_1M_2}, vec a> 0)
(det{x_2&y+1&z-3\1&2&-1\3&-1&4} = 0)
(x-y-z=0)
№ 925 (1,3)
(3x-y-2z-5=0)
(x+9y-3z+2=0)
(vec N_1 = set{3, -1, -2})
(vec N_2 = set{1, 9, -3})
((vec N_1, vec N_2) = 0 thus vec N_1 perp vec N_2 thus pi_1 perp pi_2)
(2x — 5y + z = 0)
(x + 2z — 3 = 0)
№ 930
(M_1(3, -2, -7))
(2x-3z+5=0)
(pi_1)
(pi_1||pi thus vec N_1 = vec N = set{2, 0, -3})
(M_1inpi_1)
(2(x-3)+0(y+2)-3(z+7)=0)
(2x-3z-27=0)
№ 937
(7x+4y+7z+1=0)
(2x-y-z+2=0)
(x+2y+3z-1=0)
(cases{7x+4y+1=0\2x-y+2=0})
(M_1(-frac 3 5, frac 4 5, 0))
(cases{7x+4y+8=0\2x-y+1=0})
(M_1(-frac 4 5, -frac 3 5, 1))
подставляем (M_1, M_2) в третью плоскость, получаем 0
№ 956
(frac 1 3 x — frac 2 3 y — frac 2 3 z — 5 = 0)
(|vec N| = sqrt{frac 1 9 + frac 4 9 + frac 4 9})
…
№ 959 (1)
(2x-y+2z+3=0)
(M_1(-2,-4,3))
(frac 2 3x — frac 1 3 y + frac 2 3 z + 1 = 0)
ЛЕК 09.11.22#
СЕМ 11.11.22#
№995
второе решение
(pi:2x+y-z+1 + alp(x+y+2z+1) = 0)
(piparallel vec a = set{1,-7,5} ident vec N_pi perp vec a ident (vec N_pi, vec a) = 0)
(vec N_pi = set{2alp, 1+alp, -1+2alp})
((2+alp) cdot 1 + (1+alp)(-7) + (-1+2alp)5 = 0)
(4alp -10 = 0 thus alp = frac 5 2)
(2(2x+y-z+1) + 5(x+y+4z+1)=0)
(9x + 7y +8z + 7 = 0)
№1011
(M-1(-6,6,-5), M_2(12,-6,1))
(L=(M_1,M-2))
(L: L> M_1, L || upline M_1M_2 = set{18, -12, 6} = 6set{3,-2,1})
(x = 3t -6)
(y = -2t + 6)
(z = 1t — 5)
-
(P_1 = Lcap XOY)
(XOY: z = 0 thus t — 5 = 0 thus t_1 = 5 thus P_1(9,-4,0)) -
(P_2 = L cap XOZ)
(XOZ: y = 0 thus -2+6=0 thus t_2 = 3 thus P_2(3,0,-2)) -
(P_3 = L cap YOZ)
(YOZ : x = 0 thus t_3 = 2 thus P_3(0,2,-3))
СЕМ 2.12.22#
Уравнение второго порядка
(Ax^2 +By^2 + CZ^2 + Dxy+Exz + F yz +Gx +Hy +Kz + L = 0)
(|A| +|B| +|C| + |D| + |E| + |F| > 0)
общий вид прямых второго порядка
Поворячиваем плоскость, чтобы уравнение приняло вид
(Ax^2 +By^2 + CZ^2 + Gx +Hy +Kz + L = 0)
I) (Aneq 0, B neq 0, Cneq 0)
(sum rightarrow sum’: A(x’)^2 B(y’)^2 + C(z’)^2 + L’=0)
-
пусть (A, B, C) — одного знака
(frac{(x’)^2}{a’} +frac{(y’)^2}{b^2} + frac{(z’)^2}{c^2} = cases{1 — эллипсоид\0 — вырожденный эллипсоид\-1 — истинный эллипсоид}) -
пусть (A, B, -C) — одного знака
(frac{(x’)^2}{a’} +frac{(y’)^2}{b^2} — frac{(z’)^2}{c^2} = cases{1 — однополосный гиперболоид\0 — конус\-1 — двуполостный гиперболоид})
II) (Aneq 0, Bneq0, C=0) -
(A, B) — одного знака
(frac{(x’)^2}{a’} +frac{(y’)^2}{b^2} = z’) — эллептический парабалоид -
(A, -B) — одного знака
(frac{(x’)^2}{a’} -frac{(y’)^2}{b^2} = z’) — гиперболический парабалоид
III) (Aneq 0, B=C=0)
(A(x’)^2 + Hy +Kz + L’ = 0)
(A(x’)^2 + Hy’ +Kz’ = 0)
(sqrt{H^2 +K^2}(frac H dots y’ + frac K dots z’))
(sqrt{H^2 +K^2}y»z»)
(frac{(x’)^2}{a’} +frac{(y’)^2}{b^2} = cases{1 — эллипс — эллиптический цилиндр \ 0 — вырожденный эллисп — вырож элл цил \ -1 — мнимый эллипс/элл цил})
(frac{(x’)^2}{a’} -frac{(y’)^2}{b^2} = cases{1 — гиперб циллиндр \ 0 — пара пересек плоскостей})
((y’)^2 = cases{2px’ — параболический цилиндр\ a^2 — пара паралельныйх плоскостей \ 0 — пара слившихся плоскотей\ -a^2 — пара слившихся паралельных плоскостей})
(frac{(x’)^2}{a^2(1 — frac{H^2}{C^2})} + frac{(y’)^2}{b^2(1 — frac{H^2}{C^2})} = 1)
Эллипсоид#
Гипербалоид#
Двуплоскостный гиперболоид#
Конус#
Однополусный и двуполусный гиперболоид#
снаружи ожнополостный
внутри двуполостный
Элиптический параболоид#
одна парабола скользит по дргуой — начало одной следует пути другой
Гиперболический параболоид#
параболе ветвями вниз движется по параболе ветвями вверх
(F(x_0, y_0) = 0)
(M(x_0,y_0,z) fal z)
Эллиптический циллиндр#
Гиперболический циллиндр#
Пара пересекающийхся плоскостей#
аналогично Пара паралельных плоскостей и Параболичсекий цилиндр
(4x^2 -y^2 +9z^2 — 16 x + 6y + 8 = 0)
(4(x^2 — 4x) — (y^2 — 6y) +9z^2 + 8 = 0)
(4(x^2 — 4x + 4) — (y^2 — 6y + 9) +9z^2 + 8 — 16 + 9 = 0)
(4(x-2)^2 — (y-3)^2 + 9z^2 + 1 = 0)
(sum rightarrow sum’ : cases{x’ = x-2 \ y’ = y-3 \ z’ = z})
(sum’ :4(x’)^2 -(y’)^2 +9(z’)^2 + 1 = 0)
делаем повторот
(sum’ rightarrow sum» : cases{x’ = x»\y’=-z»\z’ = y»})
((x»)^2 — (z»)^2 +9(y») + 1 =0)
(frac{(x»)^2}{(frac 1 2)^2} +frac{(y»)^2}{(frac 1 3)^2} — frac{(x»)^2}{1^2} = -1)
(y — 2xz = 0)
(sum rightarrow sum’ cases{x = frac{x’ — y’}{sqrt{2}} \ z = x^2 frac{x’ + z’}{sqrt{2}} \ y = y’})
(y’ — 2frac{x’ — z’}{sqrt{2}}frac{x’ — z’}{sqrt{2}} = 0)
(y’ — (x’)^2 + (z’)^2 = 0)
(sum ‘ rightarrow sum» cases{x’ = x» \ y’=-z» \ z’ = y»})
(sum» : z» — (x»)^2 + (y»)^2 = 0)
(z» = -(x»)^2 + (y»)^2)
(sum»’ rightarrow sum»’ cases{x» = -x»’\y» = y»’ \ z» = -z»’} -z»’ = -(x»’)^2 + (y»’)^2)
(z»’ = (x»’)^2 — (y»’)^2)
9.12.22#
((alp_1 alp_2 dots alp_n) in T_n (n!))
(alp_i in set{1,2,dots,n}, i=upline{1,n})
(alp_i neq alp_j : ineq j)
(alp=(dots alp_i dots alp_j dots))
(i < j)
(alp_i > alp_j)
(I(alp)) — чисто инверсий
Проскуряков И В Сборник задач по ЛА
№ 123
((2, 3, 5, 4, 1) = alp)
(I(alp) = 1 + 1 + 2 + 1 = 5)
(A = pmat{a_{11} & a_{12} & dots & a_{1n} \ a_{21} & a_{22} & dots & a_{2n} \ dots \ a_{n1} & a_{n2} & dots & a_{nn}})
(a_{i_1j_1} cdot a_{i_2j_2} cdot dots cdot a_{i_nj_n})
((i_1,i_2,dots,i_n)in T_n thus) компонента
[det A = sum_{i=(i_1,i_2,dots,i_n)in T_n}(-1)^{I(i)}cdot a_{i_11} cdot a_{i_22} cdot dots cdot a_{i_nn}]
№ 189
((-1)^{8} a_{61}a_{23}a_{45}a_{36}a_{12}a_{54})
(emat{&1 & 2 & 3 & 4 & 5 &6\i=(&6&1&2&5&4&3&)in T_6})
(I(i) = 5 + 2 + 1+ 0+0=8)
Свойства
(det(a_1a_2dotsalp b + beta c dots a_n) = alp det(a_1 a_2 dots b dots alp_n) + beta det (a_1 a_2 dots c dots a_n))
(det A = cum_{i=1}^{n} (-1)^{i+j}a_{ij}M_{ij})
(det A = sum_{i=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}M_{ij})
(det{1&1&1&dots&1\1&1-x&1&dots&1\1&1&2-x&dots&1\dots\1&1&1&dots&n-x} = 0)
(f(x) = P_n(x))
(x = 0, x= 1,dots,x=n-1)
Лек#
Утверждение
Необх и дост условием равенства определителя нулю является линейна зависимость его строк или столбцов