Как найти уравнение диагонали параллелограмма - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Задача 59148 Подскажите как правильно решать! Найти.

Условие

Подскажите как правильно решать! Найти уравнение диагонали параллелограмма, проходящей через точку пересечения его сторон x+y-1=0 если у+1=0 если известно что диагональ параллелограмма пересекается в точке F(-1, 0) И надо ли в этой задаче чертить рисунок?

Решение

Можно нарисовать схематический чертеж, чтобы понять как решать задачу ( cм. рис)

Противоположные стороны параллелограмма параллельны.

Даны уравнения смежных сторон. Это может быть АВ и ВС

1) чтобы найти точку пересечения сторон АВ и ВС

Это и есть координаты точки B.

2)
Составить уравнение прямой, проходящей через две точки:
(2;-1) и F(–1, 0)

Это можно сделать двумя способами:

Уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид:
y=kx+b

Подставляем координаты точек:
-1=k*2+b
0=k*(-1)+b
находим k и b

[b]x+3y+1=0[/b] — это ответ.

Второй способ
Уравнение прямой, проходящей через две точки имеет вид: ( cм. скрин)

Подставляем координаты точек

и получаем пропорцию:

[b]x+3y+1=0[/b]- ответ.

Параллелограмм. Формулы, признаки и свойства параллелограмма

Признаки параллелограмма

AB||CD, AB = CD (или BC||AD, BC = AD)

∠DAB = ∠BCD, ∠ABC = ∠CDA

∠ABC + ∠BCD = ∠BCD + ∠CDA = ∠CDA + ∠DAB = ∠DAB + ∠DAB = 180°

AC 2 + BD 2 = AB 2 + BC 2 + CD 2 + AD 2

Основные свойства параллелограмма

∠ABC = ∠CDA, ∠BCD = ∠DAB

∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°

∠ABC + ∠BCD = ∠BCD + ∠CDA = ∠CDA + ∠DAB = ∠DAB + ∠DAB = 180°

8. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делят друг друга пополам:

AO = CO =	d ₁
2
BO = DO =	d ₂
2

AC 2 + BD 2 = 2AB 2 + 2BC 2

Стороны параллелограмма

Формулы определения длин сторон параллелограмма:

1. Формула сторон параллелограмма через диагонали и угол между ними:

2. Формула сторон параллелограмма через диагонали и другую сторону:

a =	√ 2 d ₁ 2 + 2 d ₂ 2 — 4 b 2
2

b =	√ 2 d ₁ 2 + 2 d ₂ 2 — 4 a 2
2

3. Формула сторон параллелограмма через высоту и синус угла:

4. Формула сторон параллелограмма через площадь и высоту:

Диагонали параллелограмма

Формулы определения длины диагонали параллелограмма:

d ₁ = √ a 2 + b 2 — 2 ab·cosβ

d ₂ = √ a 2 + b 2 + 2 ab·cosβ

d ₁ = √ a 2 + b 2 + 2 ab·cosα

d ₂ = √ a 2 + b 2 — 2 ab·cosα

d ₁ = √ 2 a 2 + 2 b 2 — d ₂ 2

d ₂ = √ 2 a 2 + 2 b 2 — d ₁ 2

4. Формула диагонали параллелограмма через площадь, известную диагональ и угол между диагоналями:

d ₁ =	2S	=	2S
d ₂· sinγ	d ₂· sinδ

d ₂ =	2S	=	2S
d ₁· sinγ	d ₁· sinδ

Периметр параллелограмма

Формулы определения длины периметра параллелограмма:

P = 2 a + 2 b = 2( a + b )

P = 2 a + √ 2 d ₁ 2 + 2 d ₂ 2 — 4 a 2

P = 2 b + √ 2 d ₁ 2 + 2 d ₂ 2 — 4 b 2

3. Формула периметра параллелограмма через одну сторону, высоту и синус угла:

Площадь параллелограмма

Формулы определения площади параллелограмма:

3. Формула площади параллелограмма через две диагонали и синус угла между ними:

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Написать уравнение сторон и диагоналей параллелограмма

Вопрос по геометрии:

Даны точки О(0;0) и А(-3; 0). На отрезке ОА построен параллелограмм , диагонали которого пересекаются в точке В (0;2). Написать уравнение сторон и диагоналей параллелограмма

Трудности с пониманием предмета? Готовишься к экзаменам, ОГЭ или ЕГЭ?

Воспользуйся формой подбора репетитора и занимайся онлайн. Пробный урок — бесплатно!

Ответы и объяснения 1

Обозначим параллелограмм АОСР, где диагонали АС и ОР пересекаются в точке В. Найдем координаты точек С и Р.

Точка P(0;4)
Точки А и О лежат на оси Ох, т е уравнение прямой АО у=0, С и Р лежат на прямой у=4, т е уравнение прямой РС у=4.
Точки А и Р лежат на прямой у=kx+b, для A: 0=-3k+b, для P: 4=0*k+b , отсюда b=4, k=4/3, т е уравнение прямой АР у=4/3х+4.
Точки О и С лежат на прямой у=kx+b, для О: 0=0*k+b, для С: 4=3*k+b , отсюда b=0, k=4/3, т е уравнение прямой ОС у=4/3х.
Ответ: уравнения сторон параллелограмма у=0, у=4, у=4/3х+4,

Знаете ответ? Поделитесь им!

Как написать хороший ответ?

Чтобы добавить хороший ответ необходимо:

Отвечать достоверно на те вопросы, на которые знаете правильный ответ;
Писать подробно, чтобы ответ был исчерпывающий и не побуждал на дополнительные вопросы к нему;
Писать без грамматических, орфографических и пунктуационных ошибок.

Этого делать не стоит:

Копировать ответы со сторонних ресурсов. Хорошо ценятся уникальные и личные объяснения;
Отвечать не по сути: «Подумай сам(а)», «Легкотня», «Не знаю» и так далее;
Использовать мат — это неуважительно по отношению к пользователям;
Писать в ВЕРХНЕМ РЕГИСТРЕ.

Есть сомнения?

Не нашли подходящего ответа на вопрос или ответ отсутствует? Воспользуйтесь поиском по сайту, чтобы найти все ответы на похожие вопросы в разделе Геометрия.

Трудности с домашними заданиями? Не стесняйтесь попросить о помощи — смело задавайте вопросы!

Геометрия — раздел математики, изучающий пространственные структуры и отношения, а также их обобщения.

источники:

http://ru.onlinemschool.com/math/formula/parallelogram/

http://online-otvet.ru/geometria/5cea928696f4e19a293bb466

Источник

Условие

нет в списке ВУЗ
1013

Решение

★

Можно нарисовать схематический чертеж, чтобы понять как решать задачу ( cм. рис)

Противоположные стороны параллелограмма параллельны.

Даны уравнения смежных сторон. Это может быть АВ и ВС

1) чтобы найти точку пересечения сторон АВ и ВС

решаем систему уравнений:
{x+y-1=0
{y+1=0

{x+(-1)-1=0
{y=-1

{x=2
{y=-1

Это и есть координаты точки B.

2)
Составить уравнение прямой, проходящей через две точки:
(2;-1) и F(–1, 0)

Это можно сделать двумя способами:

Уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид:
y=kx+b

Подставляем координаты точек:
-1=k*2+b
0=k*(-1)+b
находим k и b

{-1=2k+b
{0=-k+b ⇒ k=b

-1=2b+b

b=-1/3

k=b=-1/3

y=-(1/3)x-(1/3)

3y=-x-1

[b]x+3y+1=0[/b] — это ответ.

Второй способ
Уравнение прямой, проходящей через две точки имеет вид: ( cм. скрин)

Подставляем координаты точек

[m]frac{x-2}{-1-2}=frac{y-(-1)}{0-(-1)}[/m]

и получаем пропорцию:

[m]frac{x-2}{-3}=frac{y+1}{1}[/m]

x-2=-3(y+1)

[b]x+3y+1=0[/b]- ответ.

Написать комментарий

Источник

Здравствуйте, пишу первый раз, могу что и не так сделать, не ругайте сильно, просто поправьте.
Делаю контрольное задание по теме высшей математики «ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ». Начал делать одно из заданий и не могу понять его смысл. Сроки не ограничиваются, но чем быстрее, тем лучше. Решения не прошу, просто натолкните на путь истинный:

Задание:

Найти уравнение диагонали параллелограмма, не проходящей через точку пересечения его
сторон x+y-1=0 и y+1=0, если известно, что диагонали параллелограмма пересекаются в точке P(-1,0).

И тут собственно возникает вопрос:
как может диагональ параллелограмма не проходить через точку пересечения его сторон? Весь смысл диагонали же в том и состоит, чтобы пройти от одной такой точки пересечения двух сторон к точке пересечения других сторон (эти точки находятся в углах параллелограмма и, насколько я помню, называются его вершинами).

Заранее спасибо большое всем откликнувшимся.

Источник

Тема: Составить уравнение диагоналей параллелограмма (Прочитано 6115 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

В общем задача весьма простая с изюминкой,не пойму как её решить.Даны координаты параллелограмма ABCD.Известны координаты точек A(2;4),B(3;-7),C(-6;6).Составить уравнение диагоналей АС и BD.Насколько я понимаю чтобы составить ур-е диагоналей нужно найти точку D,а её я даже не пойму как найти.

« Последнее редактирование: 31 Мая 2011, 23:52:37 от Dlacier »

Найдите уравнение прямой СD по точке С и направляющему вектору прямой AB
Найдите уравнение прямой AD по точке A и направляющему вектору прямой BC

Найдите точку D как пересечение прямых BD и AC, составив предварительно их уравнения по 2 точкам.

Решение задач — практическое искусство; научиться ему можно, только подражая хорошим образцам и постоянно практикуясь….

Найдите уравнение прямой СD по точке С и направляющему вектору прямой AB
Найдите уравнение прямой AD по точке A и направляющему вектору прямой BC

Найдите точку D как пересечение прямых СD и AD, составив предварительно их уравнения по 2 точкам. Дальше дело техники.

Поправка.

Источник

Решение: согласно условия задачи нужно найти уравнение прямых, на которых лежат диагонали параллелограмма. Уравнения прямых будем искать по формуле уравнения прямой, проходящей через две заданные точки, т.е. нужно найти все четыре вершины параллелограмма.

1. Известна одна вершина с координатами A(3,-1), проверим принадлежит ли она данным прямым:
A(3,-1) ( l_1: quad 2x-y+3 = 0 => 2*3 — (-1)+3 ne 0 )
A(3,-1) ( l_2: quad x+3y-2 = 0 => 3 + 3(-1)-2 ne 0 )

Получили, что точка не принадлежит прямым.

Согласно условия задачи, две стороны параллелограмма лежат на двух прямых ( l_1: quad 2x-y+3=0 ) и ( l_2: quad x+3y-2=0), определим взаимное расположение этих прямых.

Прямые могут быть коллинеарными или пересекающимися

Проверяем прямые на коллинеарность

Две прямые называются коллинеарными, если они параллельны или совпадают
Прямые (l_1: quad A_1x+B_1y+C_1=0 ) и (l_2: quad A_2x+B_2y+C_2=0) параллельны тогда и только тогда, когда соответствующие коэффициенты при неизвестных в их уравнениях пропорциональны, т.е. существует такое число ( lambda ne 0) , что (A_1 = lambda A_2), (B_1 = lambda B_2) , но ( C_1 ne lambda C_2).
По другому это условие можно записать $$l_1||l_2: quad frac{A_1}{A_2} =frac{B_1}{B_2} ne frac{C_1}{C_2} $$

Прямые (l_1, l_2) совпадают тогда и только тогда, когда все соответствующие коэффициенты в их уравнениях пропорциональны: (A_1 = lambda A_2), (B_1 = lambda B_2) , ( C_1 = lambda C_2).
По другому это условие можно записать $$ l_1≡ l_2: quad frac{A_1}{A_2} =frac{B_1}{B_2} = frac{C_1}{C_2} $$

Проверяем на коллинеарность прямые ( l_1: quad quad 2x-y+3=0) и ( l_2: quad x+3y-2=0). $$ frac{2}{1} ne frac{-1}{3} ne frac{3}{-2} $$
Вывод: прямые не являются коллинеарными.

2. Найдем вторую вершину — точку пересечения прямых ( l_1: quad 2x-y+3=0 ) и ( l_2: quad x+3y-2=0)
Составим систему уравнений $$ begin{cases}2x-y+3=0 \ x+3y-2=0end{cases} => begin{cases} 2x-y+3=0 \ 2x+6y-4=0 end{cases} => begin{cases}x=-1\ y=1end{cases}$$
Получили точку пересечения С(-1;1)
Вывод: точка пересечения двух сторон — вершина параллелограмма С(-1;1).

Получили две вершины, которые лежат на одной диагонали A(3;-1) и C(-1;1).
Найдем уравнение первой диагонали, проходящей через две заданные точки по формуле ( frac{x-x_1}{x_2-x_1} = frac{y-y_1}{y_2-y_1}).
Подставляем координаты вершин A(3;-1) и C(-1;1) в уравнение и получим искомое уравнение диагонали $$ frac{x-3}{-1-3} = frac{y+1}{1+1} => y = frac{1}{2} — frac{1}{2}x$$
Ответ: получили первое уравнение прямой, на которой лежит диагональ ( y = frac{1}{2} — frac{1}{2}x )

3. Найдем третью вершину.

Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых.
Получаем, что через вершину C проходит две прямые, параллельные известным, найдем их, для этого применим формулу уравнения прямой, проходящей через заданную точку в заданном направлении. Направление — угловой коэффициент прямой (y — y_0 = k(x-x_0)). Для параллельных прямых известно свойство — угловые коэффициенты параллельных прямых равны (k_1=k_2).
Рассмотрим прямую ( l_1: quad quad 2x-y+3=0 ) преобразуем канонической уравнение прямой в уравнение прямой с угловым коэффициентом ( y = kx+b)
( l_1: quad quad 2x-y+3=0 => y = 2x+3 => k=2)
Найдем искомое уравнение прямой, для точки A(3;-1) с угловым коэффициентом ( k =2), получаем (y+1 = 2(x-3) => y = 2x-7)
найдем точку пересечения полученной прямой ( y = 2x-7 ) и ( l_2: quad x+3y-2 = 0 ). Составим и решим систему уравнений $$ begin{cases}y = 2x-7 \ x+3y-2 = 0end{cases} => begin{cases}y = 2x-7 \ 2x+6y-4 = 0end{cases} => begin{cases}y = — frac{3}{7} \ x = frac{23}{7} end{cases}$$

Получили координаты искомой вершины (B( frac{23}{7}; — frac{3}{7} ))

Рассмотрим прямую ( l_2: quad x+3y-2 = 0 ) преобразуем канонической уравнение прямой в уравнение прямой с угловым коэффициентом ( y = kx+b)
( l_2: quad quad x+3y-2 = 0 => y = frac{2}{3} — frac{1}{3}x => k = — frac{1}{3})
Найдем искомое уравнение прямой, для точки A(3;-1) с угловым коэффициентом ( k = — frac{1}{3}), получаем (y+1 = — frac{1}{3}(x-3) => y = — frac{1}{3}x )

4. Найдем четвертую вершину.
Найдем точку пересечения полученной прямой ( y = — frac{1}{3}x ) и ( l_1: quad 2x-y+3 = 0 ). Составим и решим систему уравнений $$ begin{cases} y = — frac{1}{3}x \ 2x-y+3 = 0 end{cases} => begin{cases} y = frac{3}{7} \ x = -frac{9}{7} end{cases} $$
Получили координаты искомой вершины (D( -frac{9}{7}; frac{3}{7} ))

Найдем уравнение второй диагонали, проходящей через две заданные точки по формуле ( frac{x-x_1}{x_2-x_1} = frac{y-y_1}{y_2-y_1}).
Подставляем координаты вершин (B( frac{23}{7}; — frac{3}{7} )) и (D( -frac{9}{7}; frac{3}{7} )) в уравнение и получим искомое уравнение диагонали $$ frac{x-frac{23}{7}}{- frac{9}{7}-frac{23}{7}} = frac{y+ frac{3}{7}}{frac{3}{7}+ frac{3}{7}} => y = -frac{3}{16}x + frac{3}{16}$$
Ответ: получили второе уравнение прямой, на которой лежит диагональ ( y = -frac{3}{16}x + frac{3}{16} )

Ответ: уравнения диагоналей параллелограмма ( y = frac{1}{2} — frac{1}{2}x ) и ( y = -frac{3}{16}x + frac{3}{16} )

Строим рисунок:

Источник