Как найти уравнение грани по точкам

3) Уравнение прямой, проходящей через точку O перпендикулярно плоскости ABC. Найти точку пересечения этой прямой с плоскостью ABC.
Уравнение плоскости ABC было найдено в п.1 (3y+4z-16 = 0), рассмотрим его.
Вспомним общее уравнение плоскости (Ax+By+Cz+D = 0), где вектор ( vec{N} = (A;B;C)) — вектор нормали к плоскости. В найденном уравнении плоскости вектор нормали имеет следующие координаты (vec{N} = (0;3;4))

Вспомним каноническое уравнение прямой (frac{x-x_0}{m}=frac{y-y_0}{m}=frac{z-z_0}{p} quad (1) ), где 
координаты ((x_0;y_0;z_0)) — координаты точки, принадлежащей прямой,
вектор (vec{s} = (m;n;p)) — координаты направляющего вектора (вектор параллелен прямой).
Т.к. искомая прямая перпендикулярна плоскости, то вектора (vec{N} = vec{s}) 
Подставляем результат в уравнение прямой  $$frac{x-0}{0}=frac{y-0}{3}=frac{z-0}{4} => frac{x}{0}=frac{y}{3}=frac{z}{4}$$

Найдем точку пересечения прямой и плоскости, составим систему уравнений: $$begin{cases}3y+4z-16 = 0\ frac{y}{3}=frac{z}{4} \ x=0 end{cases} => begin{cases}frac{9}{4}z+4z=16\ y=frac{3}{4}z \ x=0 end{cases} =>  begin{cases}z=frac{64}{25}\ y=frac{48}{25} \ x=0 end{cases}$$

Ответ: уравнение ребра AO: (frac{x}{0} = frac{y}{3}=frac{z}{4}) , полученное уравнение можно записать в виде (frac{y}{3}=frac{z}{4}, quad x=0), получили уравнение прямой в пространстве, проходящей через начало координат, перпендикулярно оси Ox, т.к. координата направляющего вектора (m=0)

Координаты точки пересечения прямой AO и плоскости ABC — ((0;frac{48}{25};frac{64}{25}))

Решение:

1) Уравнение грани ABC.
Найдем уравнение плоскости, которая проходит через три заданные точки:  A(2,0,4), B(28, -8,10), C (4,-16,16).
Для решения задачи воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через три заданные точки в координатной форме $$left|begin{array}{c}x-x_1 & y-y_1 & z-z_1\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1end{array}right| = 0$$ подставляем координаты вершин $$left|begin{array}{c}x-2 & y-0 & z-4\ 28-2 & -8-0& 10-4 \ 4-2 & -16-0 & 16-4end{array}right|= 0 => left|begin{array}{c}x-2 & y & z-4\ 26 & -8& 6 \ 2 & -16 & 12end{array}right|=0 =>$$ найдем определитель, предварительно для упрощения расчетов проверить операции над строками определителя. Вынесем 2 из строки 3 и вычтем из строки 2 строку 3 3 $$2 left|begin{array}{c}x-2 & y & z-4\ 26 & -8& 6 \ 1 & -8 & 6end{array}right|=0 =>  left|begin{array}{c}x-2 & y & z-4\ 25 & 0& 0 \ 1 & -8 & 6end{array}right|=0 =>$$ Разложим определитель по элементам второй строки (это проще, т.к. во второй строку из трех слагаемых два равны 0) $$25(-1)^{1+2} left|begin{array}{c} y & z-4\   -8 & 6end{array}right|=0 => -left|begin{array}{c} y & z-4\   -4 & 3end{array}right|=0 => $$$$ -3y-4(z-4) = 0 => 3y+4z-16 = 0$$
Ответ: уравнение грани ABC (3y+4z-16 = 0). Из полученного уравнения следует, что грань ABC параллельна оси Ox

4) Уравнение прямой, проходящей через точку B параллельно прямой AO.
Уравнение прямой AO: (frac{x}{0} = frac{y}{3}=frac{z}{4}), вектор направляющей прямой (vec{s} = (0;3;4))
координаты точки B (28,-8,10)
Вспомним каноническое уравнение прямой ( frac{x-x_0}{m}=frac{y-y_0}{m}=frac{z-z_0}{p} quad (1) ), где 
координаты ((x_0;y_0;z_0)) — координаты точки, принадлежащей прямой,
вектор (vec{s} = (m;n;p)) — координаты направляющего вектора (вектор параллелен прямой).

Прямые параллельные, поэтому их направляющие вектора равны, подставляем координаты в уравнение прямой (1) $$frac{x-28}{0}=frac{y+8}{3}=frac{z-10}{4}$$
Ответ: уравнение прямой, проходящей через точку B параллельно прямой AO ( frac{x-28}{0}=frac{y+8}{3}=frac{z-10}{4})

5) Уравнение плоскости, проходящей через точку O, перпендикулярно прямой AC.
Найдем уравнение прямой AC, воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две заданные точки ( frac{x-x_1}{x_2-x_1} = frac{y-y_1}{y_2-y_1} = frac{z-z_1}{z_2-z_1} ). Подставим координаты точек A(2;0;4), C (4;-16;16), получаем $$ frac{x-2}{4-2} = frac{y-0}{-16-0} = frac{z-4}{16-4} => frac{x-2}{2} = frac{y}{-16} = frac{z-4}{12} => $$$$frac{x-2}{1} = frac{y}{-8} = frac{z-4}{6}$$
Применим каноническое уравнение прямой (frac{x-x_0}{m}=frac{y-y_0}{m}=frac{z-z_0}{p} quad (1) ), где 
координаты ((x_0;y_0;z_0)) — координаты точки, принадлежащей прямой,
вектор (vec{s} = (m;n;p)) — координаты направляющего вектора (вектор параллелен прямой).
Из полученного уравнения прямой получим координаты направляющего вектора (vec{s} = (1;-8;6))
Полученный направляющий вектор (vec{s}) , согласно условия задачи, является вектором нормали (vec{s} = vec{N} = (1;-8;6)) плоскости.
Применим уравнение плоскости в координатной форме $$ A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0) = 0$$ Подставляем координаты точки и вектора нормали к плоскости $$1*(x-0)-8(y-0)+6(z-0) = 0 => x-8y+6z = 0$$
Ответ: уравнение плоскости, проходящей через точку O, перпендикулярно прямой AC равно ( x-8y+6z = 0 )