Решение уравнений с помощью графиков
Решение линейных уравнений
Как ты уже знаешь, графиком линейного уравнения является прямая линия, отсюда и название данного вида.
Линейные уравнения достаточно легко решать алгебраическим путем – все неизвестные переносим в одну сторону уравнения, все, что нам известно – в другую и вуаля! Мы нашли корень.
Сейчас же я покажу тебе, как это сделать графическим способом.
Итак, у тебя есть уравнение: ( displaystyle 2{x} -10=2)
Как его решить?
Вариант 1, и самый распространенный – перенести неизвестные в одну сторону, а известные в другую, получаем:
( displaystyle 2x=2+10)
( displaystyle 2x=12)
Обычно дальше мы делим правую часть на левую, и получаем искомый корень, но мы с тобой попробуем построить левую и правую части как две различные функции в одной системе координат.
Иными словами, у нас будет:
( displaystyle {{y}_{1}}=2x)
( displaystyle {{y}_{2}}=12)
А теперь строим. Что у тебя получилось?
Как ты думаешь, что является корнем нашего уравнения? Правильно, координата ( displaystyle x) точки пересечения графиков:
Наш ответ: ( displaystyle x=6)
Вот и вся премудрость графического решения. Как ты с легкостью можешь проверить, корнем нашего уравнения является число ( displaystyle 6)!
Вариант 1. Напрямую
Просто строим параболу по данному уравнению: ( displaystyle {{x}^{2}}+2{x} -8=0)
Чтобы сделать это быстро, дам тебе одну маленькую подсказку: удобно начать построение с определения вершины параболы. Определить координаты вершины параболы помогут следующие формулы:
( displaystyle x=-frac{b}{2a})
( displaystyle y=-frac{{{b}^{2}}-4ac}{4a})
Ты скажешь «Стоп! Формула для ( displaystyle y) очень похожа на формулу нахождения дискриминанта» да, так оно и есть, и это является огромным минусом «прямого» построения параболы, чтобы найти ее корни.
Тем не менее, давай досчитаем до конца, а потом я покажу, как это сделать намного (намного!) проще!
Посчитал? Какие координаты вершины параболы у тебя получились? Давай разбираться вместе:
( displaystyle x=frac{-2}{2}=-1)
( displaystyle y=-frac{{{2}^{2}}-4cdot left( -8 right)}{4}=-frac{4+32}{4}=-9)
Точно такой же ответ? Молодец!
И вот мы знаем уже координаты вершины, а для построения параболы нам нужно еще … точек. Как ты думаешь, сколько минимум точек нам необходимо? Правильно, ( displaystyle 3).
Ты знаешь, что парабола симметрична относительно своей вершины, например:
Соответственно, нам необходимо еще две точки по левой или правой ветви параболы, а в дальнейшем мы эти точки симметрично отразим на противоположную сторону:
Возвращаемся к нашей параболе.
Для нашего случая точка ( displaystyle Aleft( -1;-9 right)). Нам необходимо еще две точки, соответственно, ( displaystyle x) можно взять положительные, а можно взять отрицательные? Какие точки тебе удобней?
Мне удобней работать с положительными, поэтому я рассчитаю при ( displaystyle x=0) и ( displaystyle x=2).
При ( displaystyle x=0):
( displaystyle y={{0}^{2}}+0-8=-8)
При ( displaystyle x=2):
( displaystyle y={{2}^{2}}+2cdot 2-8=0)
Теперь у нас есть три точки, и мы спокойно можем построить нашу параболу, отразив две последние точки относительно ее вершины:
Как ты думаешь, что является решением уравнения?
Правильно, точки, в которых ( displaystyle y=0), то есть ( displaystyle x=2) и ( displaystyle x=-4). Потому что ( displaystyle {{x}^{2}}+2{x} -8=0).
И если мы говорим, что ( displaystyle y={{x}^{2}}+2{x} -8), то значит, что ( displaystyle y) тоже должен быть равен ( displaystyle 0), или ( displaystyle y={{x}^{2}}+2{x} -8=0).
Просто? Это мы закончили с тобой решение уравнения сложным графическим способом, то ли еще будет!
Конечно, ты можешь проверить наш ответ алгебраическим путем – посчитаешь корни через теорему Виета или Дискриминант.
Что у тебя получилось? То же самое?
Вот видишь! Теперь посмотрим совсем простое графическое решение, уверена, оно тебе очень понравится!
Решение смешанных неравенств
Теперь перейдем к более сложным неравенствам!
Как тебе такое:
( displaystyle 4x<{{x}^{3}})?
Жуть, правда? Честно говоря, я понятия не имею, как решить такое алгебраически… Но, оно и не надо. Графически ничего сложного в этом нет! Глаза боятся, а руки делают!
Первое, с чего мы начнем, – это с построения двух графиков:
( displaystyle {{y}_{1}}=4x)
( displaystyle {{y}_{2}}={{x}^{3}})
Я не буду расписывать для каждого таблицу – уверена, ты отлично справишься с этим самостоятельно (еще бы, столько прорешать примеров!).
Расписал? Теперь строй два графика.
Сравним наши рисунки?
У тебя так же? Отлично!
Теперь расставим точки пересечения и цветом определим, какой график у нас по идее должен быть больше, то есть ( displaystyle {{y}_{2}}={{x}^{3}}).
Смотри, что получилось в итоге:
А теперь просто смотрим, в каком месте у нас выделенный график находится выше, чем график ( displaystyle {{y}_{1}}=4x)? Смело бери карандаш и закрашивай данную область! Она и будет решением нашего сложного неравенства!
На каких промежутках по оси ( displaystyle Ox) у нас ( displaystyle {{y}_{2}}={{x}^{3}}) находится выше, чем ( displaystyle {{y}_{1}}=4x)? Верно, ( displaystyle xin left( -2;0 right)cup left( 2;+infty right)).
Это и есть ответ!
Ну вот, теперь тебе по плечу и любое уравнение, и любая система, и уж тем более любое неравенство!
Графический способ решения уравнений в среде Microsoft Excel 2007
Тип урока: Обобщение, закрепление пройденного материала и объяснение нового.
Цели и задачи урока:
- повторение изученных графиков функций;
- повторение и закрепление графического способа решения уравнений;
- закрепление навыков записи и копирования формул, построения графиков функций в электронных таблицах Excel 2007;
- формирование и первичное закрепление знаний о решении уравнений с использованием возможностей электронных таблиц Excel 2007;
- формирование мышления, направленного на выбор оптимального решения;
- формирование информационной культуры школьников.
Оборудование: персональные компьютеры, мультимедиапроектор, проекционный экран.
Материалы к уроку: презентация Power Point на компьютере учителя (Приложение 1).
Слайд 1 из Приложения1 ( далее ссылки на слайды идут без указания Приложения1).
Объявление темы урока.
1. Устная работа (актуализация знаний).
Слайд 2 — Соотнесите перечисленные ниже функции с графиками на чертеже (Рис. 1):
у = 6 — х; у = 2х + 3; у = (х + 3) 2 ; у = -(х — 4) 2 ; .
Слайд 3 Графический способ решения уравнений вида f(x)=0.
Корнями уравнения f(x)=0 являются значения х1, х2, … точек пересечения графика функции y=f(x) с осью абсцисс (Рис. 2).
Найдите корни уравнения х 2 -2х-3=0, используя графический способ решения уравнений (Рис.3).
Слайд 5 Графический способ решения уравнений вида f (x)=g (x).
Корнями уравнения f(x)=g(x) являются значения х1, х2, … точек пересечения графиков функций y=f(x) и у=g(x). (Рис. 4):
Слайд 6 Найдите корни уравнения , используя графический способ решения уравнений (Рис. 5).
2. Объяснение нового материала. Практическая работа.
Решение уравнений графическим способом требует больших временных затрат на построение графиков функций и в большинстве случаев дает грубо приближенные решения. При использовании электронных таблиц, в данном случае – Microsoft Excel 2007, существенно экономится время на построение графиков функций, и появляются дополнительные возможности нахождения корней уравнения с заданной точностью (метод Подбор параметра).
I. Графический способ решения уравнений вида f(x)=0 в Excel.
Дальнейшая работа выполняется учителем в Excel одновременно с учениками с подробными (при необходимости) инструкциями и выводом результатов на проекционный экран. Слайды Приложения 1 используются для формулировки задач и подведения промежуточных итогов.
Пример1: Используя средства построения диаграмм в Excel, решить графическим способом уравнение —х 2 +5х-4=0.
Для этого: построить график функции у=-х 2 +5х-4 на промежутке [ 0; 5 ] с шагом 0,25; найти значения х точек пересечения графика функции с осью абсцисс.
Выполнение задания можно разбить на этапы:
1 этап: Представление функции в табличной форме (рис. 6):
- в ячейку А1 ввести текст Х, в ячейку A2 — Y;
- в ячейку В1 ввести число 0, в ячейку С1 – число 0,25;
- выделить ячейки В1:С1, подвести указатель мыши к маркеру выделения, и в тот момент, когда указатель мыши примет форму черного крестика, протянуть маркер выделения вправо до ячейки V1 (Рис. 7).
При вводе формулы можно вводить адрес ячейки с клавиатуры (не забыть переключиться на латиницу), а можно просто щелкнуть мышью на ячейке с нужным адресом.
После ввода формулы в ячейке окажется результат вычисления по формуле, а в поле ввода строки формул — сама формула (Рис. 8):
- скопировать содержимое ячейки B2 в ячейки C2:V2 за маркер выделения. Весь ряд выделенных ячеек заполнится содержимым первой ячейки. При этом ссылки на ячейки в формулах изменятся относительно смещения самой формулы.
2 этап: Построение диаграммы типа График.
- выделить диапазон ячеек B2:V2;
- на вкладке Вставка|Диаграммы|График выбрать вид График;
- на вкладке Конструктор|Выбрать данные (Рис. 9) в открывшемся окне «Выбор источника данных» щелкнуть по кнопке Изменить в поле Подписи горизонтальной оси — откроется окно «Подписи оси». Выделить в таблице диапазон ячеек B1:V1 (значения переменной х). В обоих окнах щелкнуть по кнопкам ОК;
- на вкладке Макет|Оси|Основная горизонтальная ось|Дополнительные параметры основной горизонтальной оси выбрать:
Интервал между делениями: 4;
Интервал между подписями: Единица измерения интервала: 4;
Положение оси: по делениям;
Выбрать ширину и цвет линии (Вкладки Тип линии и Цвет линии);
- самостоятельно изменить ширину и цвет линии для вертикальной оси;
- на вкладке Макет|Сетка|Вертикальные линии сетки по основной оси выбрать Основные линии сетки.
Примерный результат работы приведен на рис. 10:
3 этап: Определение корней уравнения.
График функции у=-х 2 +5х-4 пересекает ось абсцисс в двух точках и, следовательно, уравнение -х 2 +5х-4=0 имеет два корня: х1=1; х2=4.
II. Графический способ решения уравнений вида f(x)=g(x) в Excel.
Пример 2: Решить графическим способом уравнение .
Для этого: в одной системе координат построить графики функций у1= и у2=1-х на промежутке [ -1; 4 ] с шагом 0,25; найти значение х точки пересечения графиков функций.
1 этап: Представление функций в табличной форме (рис. 1):
2 этап: Построение диаграммы типа График.
Примерный результат работы приведен на Рис. 12:
3 этап: Определение корней уравнения.
Графики функций у1= и у2=1-х пересекаются в одной точке (0;1) и, следовательно, уравнение имеет один корень – абсцисса этой точки: х=0.
III. Метод Подбор параметра.
Графический способ решения уравнений красив, но далеко не всегда точки пересечения могут быть такими «хорошими», как в специально подобранных примерах 1 и 2.
Возможности электронных таблиц позволяют находить приближенные значения коней уравнения с заданной точностью. Для этого используется метод Подбор параметра.
Пример 3: Разберем метод Подбор параметра на примере решения уравнения —х 2 +5х-3=0.
1 этап: Построение диаграммы типа График для приближенного определения корней уравнения.
Построить график функции у=—х 2 +5х-3, отредактировав полученные в Примере 1 формулы.
- выполнить двойной щелчок по ячейке B2, внести необходимые изменения;
- с помощью маркера выделения скопировать формулу во все ячейки диапазона C2:V2.
Все изменения сразу отобразятся на графике.
Примерный результат работы приведен на Рис. 13:
2 этап: Определение приближенных значений корней уравнения.
График функции у=-х 2 +5х-3 пересекает ось абсцисс в двух точках и, следовательно, уравнение -х 2 +5х-4=0 имеет два корня.
По графику приближенно можно определить, что х1≈0,7; х2≈4,3.
3 этап: Поиск приближенного решения уравнения с заданной точностью методом Подбор параметра.
1) Начать с поиска более точного значения меньшего корня.
По графику видно, что ближайший аргумент к точке пересечения графика с осью абсцисс равен 0,75. В таблице значений функции этот аргумент размещается в ячейке E1.
- Выделить ячейку Е2;
- перейти на вкладку Данные|Анализ «что-если»|Подбор параметра…;
В открывшемся диалоговом окне Подбор параметра (Рис. 14) в поле Значение ввести требуемое значение функции: 0.
В поле Изменяя значение ячейки: ввести $E$1 (щелкнув по ячейке E1).
Щелкнуть по кнопке ОК.
- В окне Результат подбора (Рис. 15) выводится информация о величине подбираемого и подобранного значения функции:
- В ячейке E1 выводится подобранное значение аргумента 0,6972 с требуемой точностью (0,0001).
Установить точность можно путем установки в ячейках таблицы точности представления чисел – числа знаков после запятой (Формат ячеек|Число|Числовой).
Итак, первый корень уравнения определен с заданной точностью: х1≈0,6972.
2) Самостоятельно найти значение большего корня с той же точностью. (х2≈4,3029).
IV. Метод Подбор параметра для решения уравнений вида f(x)=g(x).
При использовании метода Подбор параметров для решения уравнений вида f(x)=g(x) вводят вспомогательную функцию y(x)=f(x)-g(x) и находят с требуемой точностью значения х точек пересечения графика функции y(x) с осью абсцисс.
3. Закрепление изученного материала. Самостоятельная работа.
Задание: Используя метода Подбор параметров, найти корни уравнения с точностью до 0,001.
- ввести функцию у=и построить ее график на промежутке [ -1; 4 ] с шагом 0,25 (Рис. 16):
- найти приближенное значение х точки пересечения графика функции с осью абсцисс (х≈1,4);
- найти приближенное решение уравнения с точностью до 0,001 методом Подбор параметра (х≈1,438).
4. Итог урока.
Слайд 12 Проверка результатов самостоятельной работы.
Слайд 13 Повторение графического способа решения уравнения вида f(x)=0.
Слайд 14 Повторение графического способа решения уравнения вида f(x)=g(x).
5. Домашнее задание.
Используя средства построения диаграмм в Excel и метод Подбор параметра, определите корни уравнения х 2 -5х+2=0 с точностью до 0,01.
График линейной функции, его свойства и формулы
О чем эта статья:
Понятие функции
Функция — это зависимость y от x, где x является независимой переменной или аргументом функции, а y — зависимой переменной или значением функции. |
---|
Задать функцию значит определить правило, следуя которому по значениям независимой переменной можно найти соответствующие значения функции. Вот какими способами ее можно задать:
Табличный способ помогает быстро определить конкретные значения без дополнительных измерений или вычислений.
Аналитический способ — через формулы. Компактно, и можно посчитать функцию при произвольном значении аргумента из области определения.
Словесный способ.
Графический способ — наглядно. Его мы и разберем в этой статье.
График функции — это множество точек (x; y), где x — это аргумент, а y — значение функции, которое соответствует данному аргументу. |
---|
Понятие линейной функции
Линейная функция — это функция вида y = kx + b, где х — независимая переменная, k, b — некоторые числа. При этом k — угловой коэффициент, b — свободный коэффициент. |
---|
Геометрический смысл коэффициента b — длина отрезка, который отсекает прямая по оси OY, считая от начала координат.
Геометрический смысл коэффициента k — угол наклона прямой к положительному направлению оси OX, считается против часовой стрелки.
Если известно конкретное значение х, можно вычислить соответствующее значение у.
Нам дана функция: у = 0,5х — 2. Значит:
если х = 0, то у = -2;
если х = 2, то у = -1;
если х = 4, то у = 0 и т. д.
Для удобства результаты можно оформлять в виде таблицы:
Графиком линейной функции является прямая. Для ее построения достаточно двух точек, координаты которых удовлетворяют уравнению функции.
Угловой коэффициент отвечает за угол наклона прямой, свободный коэффициент — за точку пересечения графика с осью ординат.
k и b — это числовые коэффициенты функции. На их месте могут стоять любые числа: положительные, отрицательные или дроби.
Давайте потренируемся и определим для каждой функций, чему равны числовые коэффициенты k и b.
Функция | Коэффициент k | Коэффициент b |
---|---|---|
y = 2x + 8 | k = 2 | b = 8 |
y = −x + 3 | k = −1 | b = 3 |
y = 1/8x − 1 | k = 1/8 | b = −1 |
y = 0,2x | k = 0,2 | b = 0 |
Может показаться, что в функции y = 0,2x нет числового коэффициента b, но это не так. В данном случае он равен нулю. Чтобы не поддаваться сомнениям, нужно запомнить: в каждой функции типа y = kx + b есть коэффициенты k и b.
Свойства линейной функции
Область определения функции — множество всех действительных чисел.
Множеством значений функции является множество всех действительных чисел.
График линейной функции — прямая. Для построения прямой достаточно знать две точки. Положение прямой на координатной плоскости зависит от значений коэффициентов k и b.
Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений.
Четность и нечетность линейной функции зависят от значений коэффициентов k и b:
b ≠ 0, k = 0, значит, y = b — четная;
b = 0, k ≠ 0, значит, y = kx — нечетная;
b ≠ 0, k ≠ 0, значит, y = kx + b — функция общего вида;
b = 0, k = 0, значит, y = 0— как четная, так и нечетная функция.
Свойством периодичности линейная функция не обладает, потому что ее спектр непрерывен.
График функции пересекает оси координат:
ось абсцисс ОХ — в точке (−b/k; 0);
ось ординат OY — в точке (0; b).
x = −b/k — является нулем функции.
Если b = 0 и k = 0, то функция y = 0 обращается в ноль при любом значении переменной х.
Если b ≠ 0 и k = 0, то функция y = b не обращается в нуль ни при каких значениях переменной х.
Функция монотонно возрастает на области определения при k > 0 и монотонно убывает при k 0 функция принимает отрицательные значения на промежутке (−∞; −b/k) и положительные значения на промежутке (−b/k; +∞).
При k 0, то этот угол острый, если k
Построение линейной функции
В геометрии есть аксиома: через любые две точки можно провести прямую и притом только одну. Исходя из этой аксиомы следует: чтобы построить график функции вида у = kx + b, достаточно найти всего две точки. А для этого нужно определить два значения х, подставить их в уравнение функции и вычислить соответствующие значения y.
Например, чтобы построить график функции y = 1/3x + 2, можно взять х = 0 и х = 3, тогда ординаты этих точек будут равны у = 2 и у = 3. Получим точки А (0; 2) и В (3; 3). Соединим их и получим такой график:
В уравнении функции y = kx + b коэффициент k отвечает за наклон графика функции:
если k > 0, то график наклонен вправо;
если k 0, то график функции y = kx + b получается из y = kx со сдвигом на b единиц вверх вдоль оси OY;
если b 0, то график функции y = kx + b выглядит так:
0″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc1049363f94987951092.png» style=»height: 600px;»>
Если k > 0 и b > 0, то график функции y = kx + b выглядит так:
0 и b > 0″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc104b2640e6151326286.png» style=»height: 600px;»>
Если k > 0 и b
В задачах 7 класса можно встретить график уравнения х = а. Он представляет собой прямую линию, которая параллельна оси ОY все точки которой имеют абсциссу х = а.
Важно понимать, что уравнение х = а не является функцией, так как различным значениям аргумента соответствует одно и то же значение функции, что не соответствует определению функции.
Например, график уравнения х = 3:
Условие параллельности двух прямых:
График функции y = k1x + b1 параллелен графику функции y = k2x + b2, если k1 = k2.
Условие перпендикулярности двух прямых:
График функции y = k1x + b1 перпендикулярен графику функции y = k2x + b2, если k1k2 = −1 или k1 = −1/k2.
Точки пересечения графика функции y = kx + b с осями координат:
С осью ОY. Абсцисса любой точки, которая принадлежит оси ОY равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОY, нужно в уравнение функции вместо х подставить ноль. Тогда получим y = b.
Координаты точки пересечения с осью OY: (0; b).
С осью ОХ. Ордината любой точки, которая принадлежит оси ОХ равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОХ, нужно в уравнение функции вместо y подставить ноль. И получим 0 = kx + b. Значит x = −b/k.
Координаты точки пересечения с осью OX: (−b/k; 0).
Решение задач на линейную функцию
Чтобы решать задачи и строить графики линейных функций, нужно рассуждать и использовать свойства и правила выше. Давайте потренируемся!
Пример 1. Построить график функции y = kx + b, если известно, что он проходит через точку А (-3; 2) и параллелен прямой y = -4x.
В уравнении функции y = kx + b два неизвестных параметра: k и b. Поэтому в тексте задачи нужно найти два условия, которые характеризуют график функции.
Из того, что график функции y = kx + b параллелен прямой y = -4x, следует, что k = -4. То есть уравнение функции имеет вид y = -4x + b.
Осталось найти b. Известно, что график функции y = -4x + b проходит через точку А (-3; 2). Подставим координаты точки в уравнение функции и мы получим верное равенство:
Таким образом, нам надо построить график функции y = -4x — 10
Мы уже знаем точку А (-3; 2), возьмем точку B (0; -10).
Поставим эти точки в координатной плоскости и соединим прямой:
Пример 2. Написать уравнение прямой, которая проходит через точки A (1; 1); B (2; 4).
Если прямая проходит через точки с заданными координатами, значит координаты точек удовлетворяют уравнению прямой y = kx + b.
Следовательно, если координаты точек подставить в уравнение прямой, то получим верное равенство.
Подставим координаты каждой точки в уравнение y = kx + b и получим систему линейных уравнений.
Вычтем из второго уравнения системы первое, и получим k = 3.
Подставим значение k в первое уравнение системы, и получим b = -2.
Ответ: уравнение прямой y = 3x — 2.
Как найти k и b по графику линейной функции?
В новой 9 задаче профильного ЕГЭ много заданий на линейные функции. Самое сложное, что нужно сделать, решая эти задачи – определить формулу линейной функции , т.е. найти (k) и (b) по графику. Примеры таких заданий (решения будут внизу статьи):
В статье я расскажу про два простых способа найти (k) и (b), если известен график линейной функции.
Способ 1
Первый способ основывается на трех фактах:
Линейная функция пересекает ось (y) в точке (b).
Примеры:
Но не советую определять так (b), если прямая пересекает ось не в целом значении или если точка пересечения вообще не видна на графике. Для таких случаев пользуйтесь вторым способом.
Если функция возрастает, то знак коэффициента (k) плюс, если убывает – минус, а если постоянна, то (k=0).
Чтоб конкретнее определить (k) надо построить на прямой прямоугольный треугольник так, чтобы гипотенуза лежала на графике функции, а вершины треугольника совпадали с вершинами клеточек. Далее, чтоб определить (k) нужно вертикальную сторону треугольника поделить на горизонтальную и поставить знак согласно возрастанию/убыванию функции.
Давайте пока что не будем искать формулу иррациональной функции, сосредоточимся только на линейной функции.
(b=3) – это сразу видно. Функция идет вниз, значит (k 0). (k=+frac=frac<4><4>=1,b=1). (f(x)=x+1).
Теперь перейдем к функции (g(x)). Найдем координаты точек (D) и (E): (D(-2;4)), (E(-4;1)). Можно составить систему:
Вычтем второе уравнение из первого, чтоб убрать (b):
(g(x)=1,5x+7). Обе функции найдены, теперь можно найти абсциссу (икс) точки пересечения. Приравняем (f(x)) и (g(x)).
Картинку в хорошем качестве, можно скачать нажав на кнопку «скачать статью».
http://skysmart.ru/articles/mathematic/grafik-linejnoj-funkcii
http://cos-cos.ru/ege/zadacha203/376/
Подведём итоги наших знаний о графиках функций.
Нами были изучены методы построения таких функций, как:
(y =b) (график — прямая, параллельная оси (x));
(y = kx) (график — прямая, которая проходит через начало координат);
(y = kx + m) (график — прямая);
(график — парабола).
При необходимости мы сможем преобразовать аналитическую модель на графическую. Допустим, аналитическую модель
y=x2
трансформировать в графическую модель в виде параболы, расположенной в прямоугольной системе координат.
Этот приём полезен при решении уравнений. Продемонстрируем это на примерах.
Пример:
решить уравнение
x2=2x+8
.
Рассмотрим две функции:
y=x2
, (y = 2x + — выполним построение графиков этих функций в одной системе координат, чтобы найти их точки пересечения.
Парабола
y=x2
и прямая (y = 2x + пересекаются в точках (A (- 2; 4)) и (B (4; 16)).
Корни уравнения
x2=2x+8
— значения (x), при которых выражения
x2
и (2x + 16) принимают одинаковые значения. Это первые координаты точек (A) и (B) пересечения графиков:
x1=−2;x2=4
.
Алгоритм графического решения уравнений
1. Преобразовать уравнение так, чтобы в левой и правой части стояли известные функции.
2. В одной системе координат начертить графики этих функций.
3. Определить точки пересечения полученных графиков.
4. Взять из них значения абсцисс.
Предположим, вам попался график функции (y=ax^2+bx+c) и нужно по этому графику определить коэффициенты (a), (b) и (c). В этой статье я расскажу 3 простых способа сделать это.
1 способ – ищем коэффициенты на графике
Данный способ хорош, когда координаты вершины и точка пересечения параболы с осью (y) – целые числа. Если это не так, советую использовать способ 2.
-
Коэффициент (a) можно найти с помощью следующих фактов:
— Если (a>0), то ветви параболы направленных вверх, если (a<0), то ветви параболы направлены вниз.
— Если (a>1), то график вытянут вверх в (a) раз по сравнению с «базовым» графиком (у которого (a=1)). Вершина при этом остается на месте. Это наглядно видно по выделенным точкам.
— Аналогично с (a<-1), только график вытянут вниз.
— Если (a∈(0;1)), то график сжат в (a) раз (по сравнению с «базовым» графиком с (a=1)). Вершина при этом остается на месте.
— Аналогично (a∈(-1;0)), только ветви направлены вниз.
-
Парабола пересекает ось y в точке (c).
-
(b) напрямую по графику не видно, но его можно посчитать с помощью (x_в) — абсциссы (икса) вершины параболы:
(x_в=-frac{b}{2a})
(b=-x_вcdot 2a)
Пример (ЕГЭ):
Решение:
Во-первых, надо разобраться, где тут (f(x)), а где (g(x)). По коэффициенту (c) видно, что (f(x)) это функция, которая лежит ниже – именно она пересекает ось игрек в точке (4).
Значит нужно найти коэффициенты у параболы, которая лежит повыше.
Коэффициент (c) у неё равен (1).
Ветви параболы направлены вниз – значит (a<0). При этом форма этой параболы стандартная, базовая, значит (a=-1).
Найдем (b). (x_в=-2), (a=-1).
(x_в=-frac{b}{2a})
(-2=-frac{b}{-2})
(b=-4)
Получается (g(x)=-x^2-4x+1). Теперь найдем в каких точках функции пересекаются:
(-x^2-4x+1=-2x^2-2x+4)
(-x^2-4x+1+2x^2+2x-4=0)
(x^2-2x-3=0)
(D=4+4cdot 3=16=4^2)
(x_1=frac{2-4}{2}=-1); (x_2=frac{2+4}{2}=3).
Ответ: (3).
2 способ – находим формулу по точкам
Это самый надежный способ, потому что его можно применить практически в любой ситуации, но и самый не интересный, потому что думать тут особо не надо, только уметь решать системы линейных уравнений. Алгоритм прост:
-
Ищем 3 точки с целыми координатами, принадлежащие параболе.
Пример: -
Выписываем координаты этих точек и подставляем в формулу квадратичной функции: (y=ax^2+bx+c). Получится система с тремя уравнениями.
Пример: (A(-4;5)), (B(-5;5)), (C(-6;3)).
(begin{cases}5=a(-4)^2+b(-4)+c\5=a(-5)^2+b(-5)+c\3=a(-6)^2+b(-6)+c end{cases})
-
Решаем систему.
Пример:(begin{cases}5=16a-4b+c\5=25a-5b+c\3=36a-6b+c end{cases})
Вычтем из второго уравнения первое:
(0=9a-b)
(b=9a)Подставим (9a) вместо (b):
(begin{cases}5=16a-36a+c\5=25a-45a+c\3=36a-54a+c end{cases})
(begin{cases}5=-20a+c\5=-20a+c\3=-18a+c end{cases})Первое и второе уравнения совпали (это нормально для точек, симметричных относительно прямой проходящей через вершину – как точки (A) и (B) в нашем случае), но нас это не остановит – мы вычтем из второго уравнение третье:
(2=-2a)
(a=-1)Найдем (b):
(b=-9)
Подставим в первое уравнение (a):
(5=20+c)
(c=-15).Получается квадратичная функция: (y=-x^2-9x-15).
Пример (ЕГЭ):
Решение:
Сразу заметим, что по графику можно сразу определить, что (c=4). Это сильно облегчит нашу систему – нам хватит 2 точек. Выберем их на параболе: (C(-1;8)), (D(1;2)) (на самом деле, если присмотреться, то можно заметить, что эти точки выделены жирно на изначальной картинке – это вам подсказка от авторов задачи).
Таким образом имеем систему:
(begin{cases}8=a(-1)^2+b(-1)+4\2=a+b+4 end{cases})
(begin{cases}8=a-b+4\2=a+b+4 end{cases})
(begin{cases}4=a-b\-2=a+b end{cases})
Сложим 2 уравнения:
(2=2a)
(a=1)
Подставим во второе уравнение:
(-2=1+b)
(b=-3)
Получается:
(g(x)=x^2-3x+4)
Теперь найдем точки пересечения двух функций:
(-3x+13=x^2-3x+4)
(x^2-9=0)
(x=±3)
Теперь можно найти ординату второй точки пересечения:
(f(-3)=-3cdot (-3)+13)
(f(-3)=9+13)
(f(-3)=22)
Ответ: (22).
3 способ – используем преобразование графиков функций
Этот способ быстрее первого и более универсальный, в частности он может пригодится и в задачах на другие функции.
Главный недостаток этого способа — вершина должна иметь целые координаты.
Сам способ базируется на следующих идеях:
-
График (y=-x^2) симметричен относительно оси (x) графику (y=x^2).
-
– Если (a>1) график (y=ax^2) получается растяжением графика (y=x^2) вдоль оси (y) в (a) раз.
– Если (a∈(0;1)) график (y=ax^2) получается сжатием графика (y=x^2) вдоль оси (y) в (a) раз. -
– График (y=a(x+d)^2) получается сдвигом графика (y=ax^2) влево на (d) единиц.
— График (y=a(x-d)^2) получается сдвигом графика (y=ax^2) вправо на (d) единиц. -
График (y=a(x+d)^2+e) получается переносом графика (y=a(x+d)^2) на (e) единиц вверх.
График (y=a(x+d)^2-e) получается переносом графика (y=a(x+d)^2) на (e) единиц вниз.
У вас наверно остался вопрос — как этим пользоваться? Предположим, мы видим такую параболу:
Сначала смотрим на её форму и направленность её ветвей. Видим, что форма стандартная, базовая и ветви направлены вверх, поэтому (a=1). То есть она получена перемещениями графика базовой параболы (y=x^2).
А как надо было перемещать зеленый график чтоб получить оранжевый? Надо сдвинуться вправо на пять единиц и вниз на (4).
То есть наша функция выглядит так: (y=(x-5)^2-4).
После раскрытия скобок и приведения подобных получаем искомую формулу:
(y=x^2-10x+25-4)
(y=x^2-10x+21)
Готово.
Пример (ЕГЭ):
Чтобы найти (f(6)), надо сначала узнать формулу функции (f(x)). Найдем её:
-
Парабола растянута на (2) и ветви направлены вниз, поэтому (a=-2). Иными словами, первоначальной, перемещаемой функцией является функция (y=-2x^2).
-
Парабола смещена на 2 клеточки вправо, поэтому (y=-2(x-2)^2).
-
Парабола поднята на 4 клеточки вверх, поэтому (y=-2(x-2)^2+4).
-
Получается (y=-2(x^2-4x+4)+4=)(-2x^2+8x-8+4=-2x^2+8x-4).
-
(f(6)=-2cdot 6^2+8cdot 6-4=-72+48-4=-28)
Смотрите также:
Как найти k и b по графику линейной функции?
Как для графика составить уравнение
Глядя на график прямой, можно без особых сложностей составить ее уравнение. При этом вам могут быть известны две точки, либо нет – в таком случае начинать решение нужно с поиска двух точек, принадлежащих прямой.
Инструкция
Чтобы найти координаты точки, принадлежащей прямой, выберите ее на линии и опустите перпендикулярные линии на оси координат. Определите, какому числу соответствует точка пересечения, пересечение с осью ох – это значение абсциссы, то есть х1, пересечение с осью оу — это ордината, у1.
Постарайтесь выбрать точку, координаты которой можно определить без дробных значений, для удобства и точности расчетов. Для построения уравнения вам нужно как минимум две точки. Найдите координаты еще одной точки, принадлежащей данной прямой (х2, у2).
Подставьте значения координат в уравнение прямой, имеющей общий вид у=kx+b. У вас получится система из двух уравнений у1=kx1+b и y2=kx2+b. Решите эту систему, например, следующим способом.
Выразите b из первого уравнения и подставьте во второе, найдите k, подставьте в любое уравнение и найдите b. Например, решение системы 1=2k+b и 3=5k+b будет выглядеть так: b=1-2k, 3=5k+(1-2k); 3k=2, k=1.5, b=1-2*1,5=-2. Таким образом, уравнение прямой имеет вид y=1,5х-2.
Зная две точки, принадлежащие прямой, попробуйте воспользоваться каноническим уравнением прямой, оно выглядит таким образом: (х — х1)/(х2 — х1)=(у — у1)/(у2 — у1). Подставьте значения (х1;у1) и (х2;у2), упростите. Например, точки (2;3) и (-1;5) принадлежат прямой (х-2)/(-1-2)=(у-3)/(5-3); -3(х-2)=2(у-3); -3х+6=2у-6; 2у=12-3х или у=6-1,5х.
Чтобы найти уравнение функции, имеющей нелинейный график, действуйте так. Просмотрите все стандартные графики y=x^2, y=x^3, y=√x, y=sinx, y=cosx, y=tgx и т.д. Если один из них напоминает вам ваш график, возьмите его за основу.
Начертите на той же оси координат стандартный график функции-основы и найдите его отличия от своего графика. Если график перенесен на несколько единиц вверх или вниз – значит к функции добавлено это число (например, у=sinx+4). Если график перенесен вправо или влево, значит, число добавлено к аргументу (например, у=sin (х+П/2).
Вытянутый график в высоту график говорит о том, что функция аргумента умножена на какое-то число (например, у=2sinx). Если график, напротив, уменьшен в высоту, значит, число перед функцией меньше 1.
Сравните график функции-основы и вашей функции по ширине. Если он более узкий, значит перед х стоит число больше 1, широкий – число меньше 1 (например, у=sin0.5х).
Подставляя в получившееся уравнение функции разные значения х, проверяйте, правильно ли находится значение функции. Если все верно — вы подбрали уравнение функции по графику.
Обратите внимание
Возможно, график соответствует найденному уравнению лишь на определенном отрезке. В таком случае укажите, для каких значений х выполняется полученное равенство.
Войти на сайт
или
Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?
This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.