Как найти уравнение линии по координатам

Содержание:

Множества:

Под множеством X = {х, х х», …} понимается собрание (совокупность) некоторых элементов х, х х’ … . Если х есть элемент множества X, то пишут х € X (читается: х принадлежит X); если у не является элементом множества X, то пишут у t X (читается: у не принадлежит множеству X).

Пример:

X — множество всех студентов в данной аудитории.

Пример:

Х = {1,2, 3, …} — множество натуральных чисел.

Удобно ввести понятие пустого множества Уравнение линии - определение с примерами решения

Пример:

Множество трехголовых людей пусто.

Множества X и X’ считаются равными, т. е. X = X’, если они состоят из одних и тех же элементов.

Определение: Множество У, состоящее из части элементов множества X или совпадающее с ним, называется подмножеством множества X; в этом случае пишут

Уравнение линии - определение с примерами решения

Условились считать, что пустое множество есть подмножество любого множества.

Если множества изображать «логическими фигурами», то соотношению (1) соответствует рис. 10.

Если под символом V понимать «для любого», то соотношение (1) эквивалентно следующему:

Уравнение линии - определение с примерами решения

где стрелка Уравнение линии - определение с примерами решения заменяет слово «следует».

Пример:

Пусть X — множество всех студентов первого курса, У — множество студенток первого курса. Очевидно, Уравнение линии - определение с примерами решения

Уравнение линии - определение с примерами решения

Уравнение линии - определение с примерами решения

Определение: Под объединением (суммой) двух множеств X и Y понимается множество X U У (U — знак объединения), состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из данных множеств, т. е. входящих или в X, или в У, или в X и в У одновременно (рис. 11).

Аналогично определяется объединение большего числа множеств. Так, под объединением X U У U Z трех множеств понимается множество всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств X, У, Z. Логически знак объединения множеств соответствует союзу «или» (соединительному).

Например: {1, 2, 3} U {2, 3, 4} — {1, 2, 3, 4}.

Определение: Под пересечением (произведением) двух множеств X и У понимается множество Уравнение линии - определение с примерами решения знак пересечения), состоящее из всех элементов, принадлежащих как одному у так и другому множествам, т. е. входящих ив множество X, и в множество У (общая часть множеств) (рис. 11).

Уравнение линии - определение с примерами решения

Таким образом, знак пересечения множеств логически соответствует союзу «и». Если множества X и У не имеют общих элементов, то их пересечение пусто:

Уравнение линии - определение с примерами решения

Аналогично определяется пересечение большего числа множеств. Так, под пересечением Уравнение линии - определение с примерами решения трех множеств понимается множество всех элементов, принадлежащих одновременно множествам X, Y и Z.

Например: {1, 2, 3} Уравнение линии - определение с примерами решения {2, 3, 4} = = {2, 3}.

Определение: Для множеств X и У под их разностью ХУ понимается множество, содержащее все элементы множества X, не входящие в множество У (рис. 12).

Уравнение линии - определение с примерами решения

Если У X, то множество Ус = ХУ называется дополнением множества У до множества X (рис. 13).

Очевидно, Уравнение линии - определение с примерами решения.

Например: {1, 2, 3}{2, 3, 4} = {1}. Уравнение линии - определение с примерами решения

Метод координат на плоскости

Раздел математики, занимающийся изучением свойств геометрических фигур с помощью алгебры, носит название аналитической геометрии, а использование для этой цели координат называется методом координат.

Выше мы применили метод координат для решения ряда важных, но частных задач. Теперь мы приступим к систематическому изложению того, как в аналитической геометрии решается общая задача, состоящая в исследовании методами математического анализа формы, расположения и свойств данной линии.

Пусть мы имеем некоторую линию на плоскости (рис. 14). Координаты х и у точки М, лежащей на этой линии, не могут быть вполне произвольными; они должны быть подчинены известным ограничениям, обусловленным геометрическими свойствами данной линии. Тот факт, что числа х и у являются координатами точки, лежащей на данной линии, аналитически записывается в виде некоторого уравнения. Это уравнение называется уравнением линии на плоскости.

Уравнение линии - определение с примерами решения

Сущность метода координат на плоскости заключается в том, что всякой плоской линии сопоставляется ее уравнение1*, а затем свойства этой линии изучаются путем аналитического исследования соответствующего уравнения.

Линия как множество точек

Линия на плоскости обычно задается как множество точек, обладающих некоторыми геометрическими свойствами, исключительно им присущими.

Пример:

Окружность радиуса R (рис. 15) есть множество всех точек плоскости, удаленных на расстояние R от некоторой ее точки О (центр окружности).

Иными словами, на окружности расположены те и только те точки, расстояние которых от центра окружности равно ее радиусу.

Уравнение линии - определение с примерами решения

Пример:

Биссектриса угла ABC (рис. 16) есть множество всех точек, лежащих внутри угла и равноудаленных от его сторон. Этим утверждается, что: 1) для каждой точки М, лежащей на биссектрисе BZ), длины перпендикуляров MP и MQ, опущенных соответственно на стороны ВА и ВС угла, равны между собой: MP = MQ, и 2) всякая точка, находящаяся внутри угла ABC и не лежащая на его биссектрисе, будет ближе к одной стороне угла, чем к другой.

Уравнение линии - определение с примерами решения

Уравнение линии на плоскости

Сформулируем теперь точнее определение уравнения линии1* на плоскости.

Определение: Уравнением линии (уравнением кривой) на плоскости Оху называется уравнение, которому удовлетворяют координаты х и у каждой точки данной линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии.

Таким образом, для того чтобы установить, что данное уравнение является уравнением некоторой линии К, необходимо и достаточно: 1) доказать, что координаты .любой точки, лежащей на линии К у удовлетворяют этому уравнению, и 2) доказать, обратно, что если координаты некоторой точки удовлетворяют этому уравнению, то точка обязательно лежит на линии К.

Отсюда уже автоматически будет следовать, что: 1′) если координаты какой-нибудь точки не удовлетворяют данному уравнению, то точка эта не лежит на линии К, и 2′) если точка не лежит на линии К, то ее координаты не удовлетворяют данному уравнению.

Если точка М (*, у) передвигается по линии К, то ее координаты х и у, изменяясь, все время удовлетворяют уравнению этой кривой. Поэтому координаты точки М (х, у) называются текущими координатами точки линии К.

На плоскости Оху текущие координаты точки М данной кривой К обычно обозначаются через х и у, причем первая из них есть абсцисса точки М, а вторая — ее ордината. Однако, если это целесообразно, текущие координаты точки М можно обозначать.

Линию мы часто будем называть кривой независимо от того, прямолинейна она или не прямолинейна любыми буквами, например М (X, У) или М Уравнение линии - определение с примерами решения и т. п. Так, например, уравнения

у = 2х и У = 2Х,

где точки N (х, у) и N (X, У) расположены на плоскости Оху, представляют собой уравнение одной и той же прямой на этой плоскости.

Основное понятие аналитической геометрии — уравнение линии — поясним на ряде примеров.

Пример:

Составить уравнение окружности данного радиуса R с центром в начале координат.

Решение:

Возьмем на окружности (рис. 17) произвольную точку М (х, у) и соединим ее с центром О. По определению окружности имеем ОМ = R,

т. е. Уравнение линии - определение с примерами решения, откуда

Уравнение линии - определение с примерами решения

Уравнение линии - определение с примерами решения

Уравнение (1) связывает между собой координаты х и у каждой точки данной окружности. Обратно, если координаты точки М (х, у) удовлетворяют уравнению (1), то, очевидно, ОМ = R и, следовательно, эта точка лежит на нашей окружности. Таким образом, уравнение (1) представляет собой уравнение окружности радиуса R с центром в начале координат.

Пример:

Составить уравнения биссектрис координатных углов.

Решение:

Рассмотрим сначала биссектрису I и III координатных углов (рис. 18, а). Возьмем на ней произвольную точку М (х, у). Если точка М лежит в I квадранте, то абсцисса и ордината ее обе положительны и равны между собой (по свойству биссектрисы). Если же точка М (jc, у) лежит в III квадранте, то абсцисса и ордината будут обе отрицательны, а модули их равны, поэтому будут равны и координаты хм у этой точки. Следовательно, в обоих случаях имеем

Уравнение линии - определение с примерами решения

Обратно, если координаты х и у какой-нибудь точки М (х, у) удовлетворяют уравнению (2), то эта точка, очевидно, лежит на биссектрисе Уравнение линии - определение с примерами решения

I и III координатных углов. Поэтому уравнение (2) представляет собой уравнение биссектрисы I и III координатных углов.

Рассмотрим теперь биссектрису II и IV координатных углов (рис. 18, б). Возьмем на ней произвольную точку N (х, у). В каком бы квадранте — II или IV — ни была расположена эта точка, координаты ее х и у равны по модулю и отличаются знаками.

Следовательно, в обоих случаях имеем

Уравнение линии - определение с примерами решения

Обратно, если для какой-нибудь точки N (,х, у) выполнено уравнение (3), то эта точка, очевидно, лежит на биссектрисе II и IV координатных углов. Таким образом, уравнение (3) есть уравнение биссектрисы II и IV координатных углов.

Пример:

Составить уравнение прямой, параллельной оси ординат.

Решение:

Пусть прямая АВ || О у и пусть отрезок OA = а (рис. 19, а). Тогда для любой точки М (х, у) прямой АВ ее абсцисса х равна а:

х = а. (4)

Обратно, если абсцисса некоторой точки М (х, у) равна а, то эта точка лежит на прямой АВ.

Таким образом, уравнение (4) представляет собой уравнение прямой, параллельной оси Оу и отстоящей от нее на расстоянии, равном числовому значению а; при этом если прямая расположена справа от оси Оу, то а положительно; если же прямая расположена слева от оси Оу, то а отрицательно.

В частности, при а = 0 получаем уравнение оси ординат: х = 0.

Пример:

Составить уравнение прямой, параллельной оси абсцисс.

Решение:

Совершенно аналогично, если прямая CD || Ох и ОС = Ь (рис. 19, б), то ее уравнение будет

Уравнение линии - определение с примерами решения

при этом если прямая CD расположена выше оси Оху то Ъ положительно, если же прямая CD расположена ниже оси Ох, то b отрицательно.

В частности, при b = 0 получаем уравнение оси абсцисс: у = 0. Уравнение линии - определение с примерами решения

Пример:

Найти линию, расстояние точек которой от точки В (12, 16) в два раза больше, чем от точки А (3, 4).

Решение:

Если М (х, у) — произвольная точка искомой линии, то согласно условию задачи имеем

Уравнение линии - определение с примерами решения

Чтобы составить уравнение этой линии, надо выразить AM и ВМ через координаты х и у точки М. На основании формулы расстояния между двумя точками имеем

Уравнение линии - определение с примерами решения

откуда, согласно соотношению (5),

Уравнение линии - определение с примерами решения

Это и есть уравнение искомой линии.

Но в таком виде трудно судить, какую линию представляет это уравнение, поэтому упростим его. Возведя обе части в квадрат и раскрыв скобки, получим

Уравнение линии - определение с примерами решения

или после несложных преобразований имеем равносильное уравнение

Уравнение линии - определение с примерами решения

Сравнивая полученное уравнение с уравнением (1), мы видим, что искомая линия является окружностью радиуса 10 с центром в начале координат.

Построение линии по ее уравнению

Если переменные х и у связаны некоторым уравнением, то множество точек М (х, у), координаты которых удовлетворяют этому уравнению, представляет собой, вообще говоря, некоторую линию на плоскости (геометрический образ уравнения).

В частных случаях эта линия может вырождаться в одну или несколько точек. Возможны также случаи, когда уравнению не соответствует никакое множество точек.

Например, уравнению

Уравнение линии - определение с примерами решения

соответствует единственная точка (1, 2), так как этому уравнению удовлетворяет единственная пара значений: х = 1 и у = 2.

Уравнению

Уравнение линии - определение с примерами решения

не соответствует никакое множество точек, так как этому уравнению нельзя удовлетворить никакими действительными значениями x и у.

Зная уравнение линии, можно по точкам построить эту линию.

Пример:

Построить линию, выражаемую уравнением

Уравнение линии - определение с примерами решения

(обычно говорят короче: построить линию у = х2).

Решение:

Давая абсциссе х в уравнении (1) числовые значения и вычисляя соответствующие значения ординаты у, получим следующую таблицу:Уравнение линии - определение с примерами решения

Нанося соответствующие точки на плоскость, мы видим, что конфигурация этих точек определяет начертание некоторой линии; при этом чем гуще построена сеть точек, тем отчетливее выступает ее контур. Соединяя построенные точки линией, характер которой учитывает положение промежуточных точек1*, мы и получаем линию, определяемую данным уравнением (1) (рис. 20). Эта линия называется параболой.

Уравнение линии - определение с примерами решения

Некоторые элементарные задачи с решением

Если известно уравнение линии, то легко могут быть решены простейшие задачи, связанные с расположением этой линии на плоскости.

Задача 1. Заданы уравнение линии К и координаты точки М (а, Ь). Определить, лежит точка М на линии К или нет.

Иными словами, требуется узнать, проходит линия К через точку М или не проходит.

На основании понятия уравнения линии получаем правило:

чтобы определить, лежит ли точка М на данной линии К, нужно в уравнение этой линии подставить координаты нашей точки. Если при этом уравнение удовлетворится (т. е. в результате подстановки получится тождество), то точка лежит на линии; в противном случае, если координаты точки не удовлетворяют уравнению линии, данная точка не лежит на линии.

Для того чтобы иметь возможность судить о положении промежуточных точек линии, мы должны предварительно изучить общие свойства уравнения этой линии (подробнее см. в гл. XI).

В частном случае линия проходит через начало координат тогда и только тогда, когда уравнение линии удовлетворяется при х = 0 и у — 0.

Пример:

Дана окружность

Уравнение линии - определение с примерами решения

Определить, лежат ли на ней точки М (-3, 4) и N (4, -2).

Решение:

Подставляя координаты точки М в уравнение (1), получаем тождество

Уравнение линии - определение с примерами решения

Следовательно, точка М лежит на данной окружности.

Аналогично, подставляя координаты точки N в уравнение (1), будем иметь

Уравнение линии - определение с примерами решения

Следовательно, точка N не лежит на данной окружности.

Задача 2. Найти точку пересечения двух линий, заданных своими уравнениями.

Точка пересечения одновременно находится как на первой линии, так и на второй. Следовательно, координаты этой точки удовлетворяют уравнениям обеих линий. Отсюда получаем правило:

чтобы найти координаты точки пересечения двух линий, достаточно совместно решить систему их уравнений.

Если эта система не имеет действительных решений, то линии не пересекаются.

Пример:

Найти точки пересечения параболы у = х2 и прямой у — 4.

Решение:

Решая систему

Уравнение линии - определение с примерами решения

получаем две точки пересечения: А (-2, 4) и В (2, 4).

Задача 3. Найти точки пересечения данной линии с осями координат.

Эта задача является частным случаем задачи 2. Учитывая, что уравнение оси Ох есть у = 0, получаем правило: ‘

чтобы найти абсциссы точек пересечения данной линии с осью Ох, в уравнении этой линии нужно положить у = 0 и решить полученное уравнение относительно х.

Аналогично, так как уравнение оси Оу есть х — 0, то получаем правило:

чтобы найти ординаты точек пересечения данной линии с осью Оу, нужно в уравнении этой линии положить д: = 0 и решить полученное уравнение относительно у.

Пример:

Найти точки пересечения окружности Уравнение линии - определение с примерами решения с осями координат.

Решение:

Полагая у = 0 в уравнении (2), получаем х2= 1, т. е. х1 = -1 и х2 = 1. Отсюда находим две точки пересечения данной окружности с осью Ох (рис. 21): А (-1, 0) и В (1, 0).

Аналогично, полагая х = 0 в уравнении (2), получаем у2 = 1, т. е. ух = -1 и у2 = 1. Следовательно, имеются две точки пересечения данной окружности с осью Оу (рис. 21): С (0, -1) и D (0, 1).

Уравнение линии - определение с примерами решения

Две основные задачи аналитической геометрии на плоскости

Резюмируя содержание этой главы, можно сказать, что всякой линии на плоскости соответствует некоторое уравнение между текущими координатами (х, у) точки этой линии. Наоборот, всякому уравнению между х и г/, где х и у — координаты точки на плоскости, соответствует, вообще говоря, некоторая линия, свойства которой вполне определяются данным уравнением.

Отсюда, естественно, возникают две основные задачи аналитической геометрии на плоскости.

Задача 1 .Дана линия, рассматриваемая как множество точек. Составить уравнение этой линии.

Задача 2. Дано уравнение некоторой линии. Изучить по этому уравнению ее геометрические свойства (форму и расположение).

Алгебраические линии

Определение: Линия называется линией (или кривой) n-го порядка(п = 1, 2,…), если она определяется уравнением п-й степени относительно текущих прямоугольных координат.

Такие линии называются алгебраическими. Например, линии

Уравнение линии - определение с примерами решения

являются кривыми соответственно первого, второго и третьего порядков.

Общий вид кривых первого порядка есть

Ах + By + С = О,

где коэффициенты А и Б не равны нулю одновременно, т. е. Уравнение линии - определение с примерами решения Как будет доказано ниже (см. гл. III), все кривые первого порядка — прямые линии.

Общий вид кривых второго порядка следующий:

Уравнение линии - определение с примерами решения

где коэффициенты А, Б и С не равны нулю одновременно, т. е. Уравнение линии - определение с примерами решения

Заметим, что не всякому уравнению второго порядка соответствует действительная кривая. Например, уравнению Уравнение линии - определение с примерами решения не отвечает никакая кривая на плоскости Оху, так как, очевидно, нет действительных чисел х и z/, удовлетворяющих этому уравнению.

В следующих главах мы подробно изучим кривую первого порядка (прямую линию) и рассмотрим важнейшие представители кривых второго порядка (окружность, эллипс, гипербола, парабола).

Уравнение кривой n-го порядка может быть записано в следующем виде:

Уравнение линии - определение с примерами решения

где хотя бы один из старших коэффициентов apqt т. е. таких, что p + q = п, отличен от нуля (Уравнение линии - определение с примерами решения — знак суммирования).

Отметим важное свойство: порядок кривой (1) не зависит от выбора прямоугольной системы координат.

Действительно, выбирая другую систему прямоугольных координат О’х’уна основании формул перехода имеем

Уравнение линии - определение с примерами решения

где Уравнение линии - определение с примерами решения — некоторые постоянные коэффициенты.

Отсюда уравнение кривой (1) в новых координатах О’х’у’ будет иметь вид

Уравнение линии - определение с примерами решения

где п’ — порядок преобразованной кривой. Очевидно, что п’ < п. Аналогично, исходя из уравнения (3) и совершая обратный переход от координат х’, у’ к координатам х, у, получим уравнение (1), в котором п < п, следовательно, Уравнение линии - определение с примерами решения

Определение уравнения линии на плоскости

Уравнение линии является важнейшим понятием аналитической геометрии.

Уравнение линии - определение с примерами решения

Пусть мы имеем на плоскости некоторую линию (кривую) (рис. 4.1). Координаты Уравнение линии - определение с примерами решения точки, лежащей на этой линии, не могут быть произвольными, они должны быть определенным образом связаны. Такая связь аналитически записывается в виде некоторого уравнения.

Определение. Уравнением линии (кривой) на плоскости Уравнение линии - определение с примерами решения называется уравнение, которому удовлетворяют координаты Уравнение линии - определение с примерами решения каждой точки данной линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии.

В общем случае уравнение линии может быть записано в виде Уравнение линии - определение с примерами решения или (если это возможно) Уравнение линии - определение с примерами решения, где Уравнение линии - определение с примерами решения и Уравнение линии - определение с примерами решения — некоторые функции (функции будут рассмотрены в гл. 5).

Если точка Уравнение линии - определение с примерами решения передвигается по линии, то ее координаты, изменяясь, удовлетворяют уравнению этой линии! Поэтому координаты Уравнение линии - определение с примерами решения называются текущими координатами (от слова «текут», меняются).

Пример:

Найти уравнение множества точек, равноудаленных от точек Уравнение линии - определение с примерами решения

Решение:

Расстояние между двумя точками Уравнение линии - определение с примерами решения и Уравнение линии - определение с примерами решения определяется по формуле (3.5):

Уравнение линии - определение с примерами решения

ЕслиУравнение линии - определение с примерами решения — произвольная точка искомой линии, то согласно условию имеем Уравнение линии - определение с примерами решения(рис. 4.2) или, учитывая (3.5),

Уравнение линии - определение с примерами решения

Возведя обе части уравнения в квадрат, получим после преобразований уравнение Уравнение линии - определение с примерами решенияили Уравнение линии - определение с примерами решения

Очевидно, это уравнение прямой Уравнение линии - определение с примерами решения — перпендикуляра, восставленного из середины отрезка Уравнение линии - определение с примерами решения (см. рис. 4.2). ►

Уравнение линии - определение с примерами решения

Любую линию в принципе можно выразить соответствующим уравнением (хотя на практике это не всегда просто сделать). Однако не всякое уравнение определяет на плоскости некоторую линию.

Например, уравнение Уравнение линии - определение с примерами решения определяет только одну точку Уравнение линии - определение с примерами решения, а уравнение Уравнение линии - определение с примерами решения не определяет никакого множества точек, ибо левая часть уравнения не может равняться нулю.

Чтобы убедиться, лежит ли точка Уравнение линии - определение с примерами решения на данной линии Уравнение линии - определение с примерами решения надо проверить, удовлетворяют ли координаты этой точки уравнению Уравнение линии - определение с примерами решения

Уравнение прямой

Пусть прямая пересекает ось Уравнение линии - определение с примерами решения в точке Уравнение линии - определение с примерами решения и образует с осью Уравнение линии - определение с примерами решения угол Уравнение линии - определение с примерами решения(см. рис. 4.3).

Уравнение линии - определение с примерами решения

Возьмем на прямой произвольную точку Уравнение линии - определение с примерами решения Тогда тангенс угла а наклона прямой найдем из прямоугольного треугольника Уравнение линии - определение с примерами решения

Уравнение линии - определение с примерами решения

Введем угловой коэффициент прямой Уравнение линии - определение с примерами решения получим

Уравнение линии - определение с примерами решения и

Уравнение линии - определение с примерами решения

Можно показать, что формула (4.2) остается справедливой и для случая Уравнение линии - определение с примерами решения

Итак, мы доказали, что координаты каждой точки прямой удовлетворяют уравнению (4.2). Нетрудно показать, что координаты любой точки, не лежащей на прямой, не удовлетворяют уравнению (4.2).

Уравнение (4.2) называется уравнением прямой с угловым коэффициентом.

Рассмотрим частные случаи уравнения (4.2). Уравнение линии - определение с примерами решения

  1. ЕслиУравнение линии - определение с примерами решения то получаем Уравнение линии - определение с примерами решения — уравнение прямой, проходящей через начало координат и образующей при Уравнение линии - определение с примерами решения острый угол Уравнение линии - определение с примерами решения с осью Уравнение линии - определение с примерами решения а при Уравнение линии - определение с примерами решения — тупой угол (см. рис. 4.4). В частности, уравнение биссектрисы I и III координатных углов имеет вид Уравнение линии - определение с примерами решения(так как Уравнение линии - определение с примерами решения), а уравнение биссектрисы II и IV координатных углов Уравнение линии - определение с примерами решения
  2. Если Уравнение линии - определение с примерами решения, то Уравнение линии - определение с примерами решения, и уравнение прямой, параллельной оси Уравнение линии - определение с примерами решения, имеет вид Уравнение линии - определение с примерами решения, а самой оси Уравнение линии - определение с примерами решения — вид Уравнение линии - определение с примерами решения (см. рис. 4.5).
  3. Если Уравнение линии - определение с примерами решения, то прямая перпендикулярна оси Уравнение линии - определение с примерами решения (см.рис. 4.6) и Уравнение линии - определение с примерами решения— не существует, т.е. вертикальная прямая не имеет углового коэффициента. Предположим, что эта прямая отсекает на оси Уравнение линии - определение с примерами решения отрезок, равный Уравнение линии - определение с примерами решения Очевидно, что уравнение такой прямой Уравнение линии - определение с примерами решения (так как абсцисса любой точки прямой равна а), а уравнение оси Уравнение линии - определение с примерами решения есть Уравнение линии - определение с примерами решения.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении

Пусть прямая проходит через точку Уравнение линии - определение с примерами решенияи образует с осью Уравнение линии - определение с примерами решения угол Уравнение линии - определение с примерами решения(Рис- 4.7). Уравнение линии - определение с примерами решения

Так как точка Уравнение линии - определение с примерами решения лежит на прямой, то ее координаты удовлетворяют уравнению (4 2), т.е.

Уравнение линии - определение с примерами решения

Вычитая равенство (4.3) из равенства (4.2), получим уравнение искомой прямой

Уравнение линии - определение с примерами решения

Уравнение пучка прямых. Если в уравнении (4.4) Уравнение линии - определение с примерами решения — произвольное число, то это уравнение определяет пучок прямых, проводящих через точку Уравнение линии - определение с примерами решения, кроме прямой, параллельной оси Уравнение линии - определение с примерами решения и не имеющей углового коэффициента (рис. 4.8).

Пример:

Составить уравнение прямой проходящей через точку А (3;-2): а) под углом 135° к оси Уравнение линии - определение с примерами решения б) параллельно оси Уравнение линии - определение с примерами решения 2. Найти уравнение пучка прямых.

Уравнение линии - определение с примерами решения

Решение:

1. а) угловой коэффициент прямой Уравнение линии - определение с примерами решения

Уравнение прямой, проходящей через точку А (3; -2) (см. рис. 4.9), по формуле (4.4) имеет вид у + 2 = -1 (х —3) или у = -х + 1

б) Уравнение прямой, параллельной оси Уравнение линии - определение с примерами решения, х = 3.

2. Уравнение пучка прямых, проходящих через точку А (3;-2), имеет вид

у + 2 = к (х -3).Уравнение линии - определение с примерами решения

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки

Пусть даны две точки Уравнение линии - определение с примерами решения

Для составления уравнения прямой Уравнение линии - определение с примерами решения (рис. 4.10) запишем уравнение пучка прямых, проходящих через точку Уравнение линии - определение с примерами решения: Уравнение линии - определение с примерами решения

Уравнение линии - определение с примерами решения

Так как точка Уравнение линии - определение с примерами решения лежит на данной прямой, то чтобы выделить ее из пучка, подставим координаты точки Уравнение линии - определение с примерами решения в уравнение пучка Уравнение линии - определение с примерами решенияУравнение линии - определение с примерами решения

и найдем угловой коэффициент прямой

Уравнение линии - определение с примерами решения

Теперь уравнение искомой прямой примет вид

Уравнение линии - определение с примерами решения или

Уравнение линии - определение с примерами решения

Пример:

Составить уравнение прямой, проходящей через точки Уравнение линии - определение с примерами решения и Уравнение линии - определение с примерами решения

Решение:

По уравнению (4.6): Уравнение линии - определение с примерами решения откуда после преобразований Уравнение линии - определение с примерами решения

Уравнение прямой в отрезках

Найдем уравнение прямой по заданным отрезкам Уравнение линии - определение с примерами решения отсекаемым на осях координат. Используя (4.6), уравнение прямой, проходящей через точки Уравнение линии - определение с примерами решения (рис. 4.11), примет вид Уравнение линии - определение с примерами решенияили после преобразований Уравнение линии - определение с примерами решения

Уравнение линии - определение с примерами решения

Уравнение (4.7) называется уравнением прямой в отрезках.

Пример:

Составить уравнение прямой, проходящей через точку А (2; —1), если эта прямая отсекает от положительной полуоси Уравнение линии - определение с примерами решения отрезок, вдвое больший, чем на положительной полуоси Уравнение линии - определение с примерами решения (рис. 4.12).

Решение:

По условию Уравнение линии - определение с примерами решенияУравнение линии - определение с примерами решения Подставляя это выражение в уравнение (4.7), получим Уравнение линии - определение с примерами решения

Так как точка А (2; —1) лежит на прямой, то ее координаты удовлетворяют этому уравнению, т.е. Уравнение линии - определение с примерами решения, откуда Уравнение линии - определение с примерами решения

Уравнение линии - определение с примерами решения

Итак, уравнение искомой прямой имеет вид Уравнение линии - определение с примерами решенияили Уравнение линии - определение с примерами решения

Общее уравнение прямой и его исследование

Рассмотрим уравнение первой степени с двумя переменными в общем виде

Уравнение линии - определение с примерами решения

в котором коэффициенты Уравнение линии - определение с примерами решения не равны одновременно нулю, т.е. Уравнение линии - определение с примерами решения

1. Пусть Уравнение линии - определение с примерами решения Тогда уравнение (4.8) можно записать в виде Уравнение линии - определение с примерами решения

Обозначим Уравнение линии - определение с примерами решения Если Уравнение линии - определение с примерами решения, то получим Уравнение линии - определение с примерами решения (уравнение прямой с угловым коэффициентом); если Уравнение линии - определение с примерами решения, то Уравнение линии - определение с примерами решения (уравнение прямой, проходящей через начало координат); если Уравнение линии - определение с примерами решения (уравнение прямой, параллельной оси Уравнение линии - определение с примерами решения) если Уравнение линии - определение с примерами решения(уравнение оси Уравнение линии - определение с примерами решения).

2.Пусть Уравнение линии - определение с примерами решения Тогда уравнение (4.8) примет вид Уравнение линии - определение с примерами решения Обозначим Уравнение линии - определение с примерами решения Если Уравнение линии - определение с примерами решения, то получим Уравнение линии - определение с примерами решения (уравнение прямой, параллельной оси Уравнение линии - определение с примерами решения); если Уравнение линии - определение с примерами решения (уравнение оси Уравнение линии - определение с примерами решения).

Таким образом, при любых значениях коэффициентов Уравнение линии - определение с примерами решения (не равных одновременно нулю) и Уравнение линии - определение с примерами решения уравнение (4.8) есть уравнение некоторой прямой линии на плоскости Уравнение линии - определение с примерами решения

Уравнение (4.8) называется общим уравнением прямой. Заметим, что в отличие от уравнения пучка прямых (4.4) общее уравнение (4.8) включает и уравнение любой вертикальной прямой, параллельной оси Уравнение линии - определение с примерами решения.

Угол между двумя прямыми

Пусть заданы две прямые

Уравнение линии - определение с примерами решения

и требуется определить угол Уравнение линии - определение с примерами решения между ними.

Уравнение линии - определение с примерами решения

Из рис. 4.13 видно, что Уравнение линии - определение с примерами решения причем Уравнение линии - определение с примерами решения, Уравнение линии - определение с примерами решения Тогда

Уравнение линии - определение с примерами решенияилиУравнение линии - определение с примерами решения

где стрелка означает, что угол Уравнение линии - определение с примерами решения получается поворотом прямой (1) к прямой (2) против часовой стрелки.

Условия параллельности и перпендикулярности прямых

Если прямые Уравнение линии - определение с примерами решения параллельны, то угол Уравнение линии - определение с примерами решения, откуда из формулы (4.9) Уравнение линии - определение с примерами решения. И наоборот, если Уравнение линии - определение с примерами решения, то по формуле (4.9) Уравнение линии - определение с примерами решения. Таким образом, равенство угловых коэффициентов является необходимым и достаточным условием параллельности двух прямых.

Если прямые перпендикулярны, то Уравнение линии - определение с примерами решения, при этом Уравнение линии - определение с примерами решенияУравнение линии - определение с примерами решения

или Уравнение линии - определение с примерами решения откуда Уравнение линии - определение с примерами решения

или Уравнение линии - определение с примерами решения. Справедливо также и обратное утверждение. Таким образом, для перпендикулярности прямых необходимо и достаточно, чтобы их угловые коэффициенты были обратны по величине и противоположны по знаку.

Если прямые заданы общими уравнениями Уравнение линии - определение с примерами решения и Уравнение линии - определение с примерами решения, то учитывая, что их угловые коэффициенты Уравнение линии - определение с примерами решения, условие параллельности прямых Уравнение линии - определение с примерами решения примет вид Уравнение линии - определение с примерами решения. Следовательно, условием параллельности прямых, заданных общими уравнениями, является пропорциональность коэффициентов при переменных.

Условие перпендикулярности прямых Уравнение линии - определение с примерами решения в этом случае примет вид Уравнение линии - определение с примерами решения или Уравнение линии - определение с примерами решения, т.е. условием перпендикулярности двух прямых, заданных общими уравнениями, является равенство нулю суммы произведений коэффициентов при переменных Уравнение линии - определение с примерами решения

Пример:

Составить уравнения двух прямых, проходящих через точку Уравнение линии - определение с примерами решения, одна из которых параллельна прямой Уравнение линии - определение с примерами решенияУравнение линии - определение с примерами решения, а другая перпендикулярна той же прямой.

Уравнение линии - определение с примерами решения

Решение:

Уравнение пучка прямых, проходящих через точку Уравнение линии - определение с примерами решения, имеет вид Уравнение линии - определение с примерами решения Из этого пучка надо выделить две прямые (2) и (3) — параллельную и перпендикулярную данной (рис. 4.14). Угловой коэффициент прямой (1) Уравнение линии - определение с примерами решения (так как уравнение прямой (1) можно представить

в виде Уравнение линии - определение с примерами решения). По условию параллельности угловой коэффициент прямой (2) Уравнение линии - определение с примерами решения и ее уравнение имеет вид Уравнение линии - определение с примерами решенияУравнение линии - определение с примерами решения или Уравнение линии - определение с примерами решения. По условию перпендикулярности угловой коэффициент прямой (3) Уравнение линии - определение с примерами решенияи уравнение этой прямой Уравнение линии - определение с примерами решения или Уравнение линии - определение с примерами решения

Задачу можно решить и другим способом. Прямая Уравнение линии - определение с примерами решения будет параллельна прямой Уравнение линии - определение с примерами решения, если ее коэффициенты при Уравнение линии - определение с примерами решенияпропорциональны, т.е. Уравнение линии - определение с примерами решения. Взяв Уравнение линии - определение с примерами решения (при коэффициенте пропорциональности, равном 1), получим уравнение Уравнение линии - определение с примерами решения. Коэффициент Уравнение линии - определение с примерами решениянайдем с учетом того, что координаты точки Уравнение линии - определение с примерами решения, лежащей на прямой, должны удовлетворять ее уравнению, т.е. Уравнение линии - определение с примерами решения, откуда Уравнение линии - определение с примерами решенияи уравнение прямой (2) Уравнение линии - определение с примерами решения

Уравнение прямой, перпендикулярной данной Уравнение линии - определение с примерами решения, будет иметь вид: Уравнение линии - определение с примерами решения (ибо в этом случае сумма произведений коэффициентов при переменных х и у равна нулю, т.е. Уравнение линии - определение с примерами решения. Теперь подставляя координаты точкиУравнение линии - определение с примерами решения в уравнение прямой, получим Уравнение линии - определение с примерами решения, откуда Уравнение линии - определение с примерами решения и уравнение прямой (3) Уравнение линии - определение с примерами решения

Точка пересечения прямых

Пусть даны две прямые Уравнение линии - определение с примерами решенияУравнение линии - определение с примерами решения, Уравнение линии - определение с примерами решения Очевидно, координаты их точки пересечения должны удовлетворять уравнению каждой прямой, т.е. они могут быть найдены из системы

Уравнение линии - определение с примерами решения

Если прямые не параллельны, т.е.Уравнение линии - определение с примерами решения, то решение системы дает единственную точку пересечения прямых.

Расстояние от точки до прямой

Уравнение линии - определение с примерами решения

Пусть даны точка Уравнение линии - определение с примерами решения и прямая Уравнение линии - определение с примерами решения Под расстоянием от точки Уравнение линии - определение с примерами решения до прямой Уравнение линии - определение с примерами решения понимается длина перпендикуляра Уравнение линии - определение с примерами решения, опушенного из точки Уравнение линии - определение с примерами решения на прямую Уравнение линии - определение с примерами решения (рис. 4.15). Для определения расстояния Уравнение линии - определение с примерами решения необходимо: а) составить уравнение прямой Уравнение линии - определение с примерами решения перпендикулярной данной и проходящей через точку Уравнение линии - определение с примерами решения; б) найти точку Уравнение линии - определение с примерами решения пересечения прямых, решив систему уравнений этих прямых, в) по формуле (3.5) определить расстояние между двумя точками, т.е. найти Уравнение линии - определение с примерами решения В результате преобразований получим

Уравнение линии - определение с примерами решения

(доказательстю формулы (4.10) опускаем).

Пример:

Найти расстояние между параллельными прямыми Уравнение линии - определение с примерами решения

Решение:

Возьмем на одной из прямых, например прямой Уравнение линии - определение с примерами решенияУравнение линии - определение с примерами решения, произвольную точкуУравнение линии - определение с примерами решения ( Рис. 4.16)

Тогда искомое расстояние равно расстоянию от точки Уравнение линии - определение с примерами решения до прямой Уравнение линии - определение с примерами решения

Уравнение линии - определение с примерами решения

Окружность, эллипс и линия

Изучение кривых второго порядка, описываемых уравнениями второй степени с двумя переменными, начнем с окружности.

Пусть дана окружность радиуса Уравнение линии - определение с примерами решения с центром Уравнение линии - определение с примерами решения (рис. 4.17). Найдем ее уравнение. Для произвольной — точки Уравнение линии - определение с примерами решения окружности выполняется равенство Уравнение линии - определение с примерами решения Используя формулу (3.5) расстояния между двумя точками, получимУравнение линии - определение с примерами решения или после возведения в квадрат (двух положительных частей уравнения) получим равносильное уравнение

Уравнение линии - определение с примерами решения

Итак, координаты каждой точки окружности Уравнение линии - определение с примерами решения удовлетворяют уравнению (4.11). Нетрудно показать, что координаты любой точки, не лежащей на окружности, этому уравнению не удовлетворяют.

Уравнение (4.11) называется нормальным уравнением окружности. В частности, уравнение окружности с центром в начале координат Уравнение линии - определение с примерами решения имеет вид

Уравнение линии - определение с примерами решения

Рассмотрим уравнение второй степени с двумя переменными в общем виде

Уравнение линии - определение с примерами решения

в котором Уравнение линии - определение с примерами решения не равны нулю одновременно, т.е. Уравнение линии - определение с примерами решенияУравнение линии - определение с примерами решения. Выясним, при каких условиях это уравнение является уравнением окружности. С этой целью представим уравнение (4.11) в виде

Уравнение линии - определение с примерами решения

Чтобы уравнения (4.13) и (4.14) представляли одну и ту же линию, коэффициент Уравнение линии - определение с примерами решения должен равняться нулю, т.е. Уравнение линии - определение с примерами решения, а все остальные коэффициенты — пропорциональны, в частности Уравнение линии - определение с примерами решения, откуда

Уравнение линии - определение с примерами решения Тогда получим уравнение

Уравнение линии - определение с примерами решения

называемое общим уравнением окружности.

Поделив обе части уравнения на Уравнение линии - определение с примерами решенияи дополнив члены, содержащие Уравнение линии - определение с примерами решения, до полного квадрата, получим Уравнение линии - определение с примерами решения Сравнивая уравнение (4.16) с уравнением окружности (4.11), можно сделать вывод, что уравнение (4.13) есть уравнение действительной окружности, если

1)Уравнение линии - определение с примерами решения 2)Уравнение линии - определение с примерами решения 3)Уравнение линии - определение с примерами решенияУравнение линии - определение с примерами решения При выполнении этих условий центр окружности (4.13) расположен в точке Уравнение линии - определение с примерами решения, а ее радиус

Уравнение линии - определение с примерами решенияУравнение линии - определение с примерами решения

Пример:

Найти координаты центра и радиус окружности

Уравнение линии - определение с примерами решения

Решение:

Дополнив члены, содержащие Уравнение линии - определение с примерами решения до полного квадрата, получим

Уравнение линии - определение с примерами решения или Уравнение линии - определение с примерами решения, т.е. центр окружности в точке Уравнение линии - определение с примерами решения, а ее радиус Уравнение линии - определение с примерами решения

Рассмотрим уравнение кривой второго порядка (4.13), в котором по-прежнему будем полагать Уравнение линии - определение с примерами решения Перепишем уравнение в виде

Уравнение линии - определение с примерами решения

или

Уравнение линии - определение с примерами решения где

Уравнение линии - определение с примерами решения

Будем предполагать для простоты исследования, что центр кривой находится в начале координат, т.е. Уравнение линии - определение с примерами решения Тогда уравнение кривой примет вид

Уравнение линии - определение с примерами решения

Кривая второго порядка (4.17) называется эллипсом (точнее кривой эллиптического типа), если коэффициенты Уравнение линии - определение с примерами решения имеют одинаковые знаки.

Для определенности будем полагать, что Уравнение линии - определение с примерами решения (в противном случае обе части уравнения можно умножить на (—1).

Возможны три случая: Уравнение линии - определение с примерами решения

Очевидно, что в третьем случае (при Уравнение линии - определение с примерами решения) кривая (4.17) не имеет действительных точек, а во втором случае (при Уравнение линии - определение с примерами решения) кривая (4.17) представляет собой одну точку Уравнение линии - определение с примерами решения. Поэтому остановимся на первом случае Уравнение линии - определение с примерами решения Получаемое при этом уравнение

Уравнение линии - определение с примерами решения

называется каноническим уравнением эллипса с полуосями Уравнение линии - определение с примерами решения и Уравнение линии - определение с примерами решения (рис. 4.18). При Уравнение линии - определение с примерами решения уравнение (4.18) представляет частный случай — уравнение окружности Уравнение линии - определение с примерами решения Точки Уравнение линии - определение с примерами решения, где

Уравнение линии - определение с примерами решения

Уравнение линии - определение с примерами решения называются фокусами эллипса, а отношение

Уравнение линии - определение с примерами решения

его эксцентриситетом. Эксцентриситет характеризует форму эллипса. Очевидно, что Уравнение линии - определение с примерами решения, причем для окружностиУравнение линии - определение с примерами решения Точки Уравнение линии - определение с примерами решения называются вершинами эллипса.

Найдем сумму расстояний от любой точки эллипса Уравнение линии - определение с примерами решения до ее фокусов, используя формулу (3.5):

Уравнение линии - определение с примерами решения

Аналогично можно получить, что Уравнение линии - определение с примерами решения В результате Уравнение линии - определение с примерами решения т.е. для любой точки эллипса сумма расстояний этой точки до фокусов есть величина постоянная, равная Уравнение линии - определение с примерами решенияЭто характеристическое свойство эллипса часто принимается за определение эллипса.

  • Заказать решение задач по высшей математике

Пример:

Определить вид и расположение кривой

Уравнение линии - определение с примерами решения

Уравнение линии - определение с примерами решения

Решение:

Так как Уравнение линии - определение с примерами решения и Уравнение линии - определение с примерами решения — числа одного знака, то данное уравнение кривой — эллиптического типа. Дополняя члены, содержащие Уравнение линии - определение с примерами решения до полного квадрата, получимУравнение линии - определение с примерами решенияили

Уравнение линии - определение с примерами решения

Следовательно, кривая (4.21) представляет эллипс с полуосями Уравнение линии - определение с примерами решения, центр которого находится в точке Уравнение линии - определение с примерами решенияУравнение линии - определение с примерами решения

Гипербола и парабола

Кривая второго порядка (4.17) называется гиперболой (точнее кривой гиперболического типа), если коэффициенты Уравнение линии - определение с примерами решения имеют противоположные знаки, т.е. Уравнение линии - определение с примерами решения

Пусть для определенности Уравнение линии - определение с примерами решения Возможны три случая:

Уравнение линии - определение с примерами решения

В первом случае (при Уравнение линии - определение с примерами решения) имеем гиперболу, каноническое уравнение которой

Уравнение линии - определение с примерами решения

где Уравнение линии - определение с примерами решения — действительная полуось; Уравнение линии - определение с примерами решения-мнимая полуось (рис. 4.20).

Фокусы гиперболы — точки Уравнение линии - определение с примерами решения где Уравнение линии - определение с примерами решенияУравнение линии - определение с примерами решения, а ее эксцентриситет Уравнение линии - определение с примерами решения принимает любые значения, большие 1. Вершины гиперболы — точки Уравнение линии - определение с примерами решения

Можно показать (аналогично тому, как мы поступали при исследовании эллипса), что для любой точки гиперболы абсолютная величина разности ее расстояний до фокусов есть величина постоянная, равная Уравнение линии - определение с примерами решения Это характеристическое свойство гиперболы часто принимается за определение гиперболы.

Уравнение линии - определение с примерами решения

Перепишем уравнение гиперболы (4.21) в виде

Уравнение линии - определение с примерами решения

При достаточно больших Уравнение линии - определение с примерами решения и уравнение (4.23) примет вид Уравнение линии - определение с примерами решения т.е. при Уравнение линии - определение с примерами решения ветви гиперболы как угодно близко подходят к прямым Уравнение линии - определение с примерами решения называемым асимптотами гиперболы.

Для равносторонней гиперболы Уравнение линии - определение с примерами решения асимптоты Уравнение линии - определение с примерами решения взаимно перпендикулярны и представляют биссектрисы координатных углов.

Во втором случае (при Уравнение линии - определение с примерами решения) уравнение кривой (4.17) примет вид Уравнение линии - определение с примерами решения, т.е. получаем пару пересекающихся прямых

Уравнение линии - определение с примерами решения

В третьем случае (при Уравнение линии - определение с примерами решения) получим гиперболу Уравнение линии - определение с примерами решения

с полуосями Уравнение линии - определение с примерами решения называемую сопряженной с гиперболой (4.22) (на рис. 4.20 она изображена пунктиром).

Пример:

Написать уравнение гиперболы с асимптотами Уравнение линии - определение с примерами решения, проходящими через точку (6; 3/2). Найти расстояние между ее вершинами.

Уравнение линии - определение с примерами решения

Решение:

Так как точка (6; 3/2) лежит на гиперболе, то ее координаты должны удовлетворять уравнению (4.22) Уравнение линии - определение с примерами решения Кроме того, Уравнение линии - определение с примерами решения, так как

асимптоты гиперболы Уравнение линии - определение с примерами решения Решая полученную систему двух уравнений, найдем Уравнение линии - определение с примерами решения т.е. уравнение гиперболы Уравнение линии - определение с примерами решения(рис. 4.21). Расстояние между вершинами гиперболы равно Уравнение линии - определение с примерами решения

Уравнение линии - определение с примерами решения

Рассмотрим обратную пропорциональную зависимость, задаваемую уравнением Уравнение линии - определение с примерами решения или Уравнение линии - определение с примерами решения

Выбрав в качестве новых осей Уравнение линии - определение с примерами решениябиссектрисы координатных углов (рис. 4.22), представим уравнение (4.24) через новые координаты Уравнение линии - определение с примерами решения и Уравнение линии - определение с примерами решения. Пусть Уравнение линии - определение с примерами решениятогда

Уравнение линии - определение с примерами решения

так как из Уравнение линии - определение с примерами решения Уравнение линии - определение с примерами решения

Теперь уравнение (4.24) в новой системе координат Уравнение линии - определение с примерами решения примет вид Уравнение линии - определение с примерами решения, т.е. график обратной пропорциональной зависимости есть равносторонняя гипербола с асимптотами — осями координат.

При Уравнение линии - определение с примерами решения ветви гиперболы расположены в I и I I квадрантах, при Уравнение линии - определение с примерами решения — во II и IV квадрантах. Нетрудно установить, что координаты любой вершины гиперболы равны (по абсолютной величине), т.е. Уравнение линии - определение с примерами решения, а их знаки определяются в зависимости от квадранта, в котором расположена каждая вершина.

Рассмотрим график дробно-линейной функции

Уравнение линии - определение с примерами решения

где Уравнение линии - определение с примерами решения

Преобразуя (4.25), получим

Уравнение линии - определение с примерами решения

Уравнение линии - определение с примерами решения

Введем новые координаты

Уравнение линии - определение с примерами решения

Обозначим Уравнение линии - определение с примерами решения Тогда в новой системе координат Уравнение линии - определение с примерами решения, полученной параллельным переносом осей координат, с новым центром в точке Уравнение линии - определение с примерами решения(см. рис. 4.23) уравнение примет вид Уравнение линии - определение с примерами решения

Итак, график дробно-линейной функции (4.25) есть равносторонняя гипербола с асимптотами Уравнение линии - определение с примерами решения параллельными осям координат.

Пример:

Найти координаты центра, вершин и уравнения асимптот гиперболы Уравнение линии - определение с примерами решения

Решение:

Преобразуем уравнение, выделив целую часть дробно-линейной функции:

Уравнение линии - определение с примерами решения

или Уравнение линии - определение с примерами решения откуда

Уравнение линии - определение с примерами решения

Уравнение линии - определение с примерами решения

Полагая Уравнение линии - определение с примерами решенияполучим Уравнение линии - определение с примерами решения т.е. заданное уравнение есть уравнение равносторонней гиперболы с центром Уравнение линии - определение с примерами решения и асимптотами Уравнение линии - определение с примерами решения (рис. 4.24). Так как Уравнение линии - определение с примерами решения то гипербола располагается в I и III квадрантах, а новые координаты ее вершин Уравнение линии - определение с примерами решения Переходя к старым координатам по формулам Уравнение линии - определение с примерами решения найдем старые координаты вершин гиперболы Уравнение линии - определение с примерами решенияУравнение линии - определение с примерами решения

Пусть в уравнении кривой второго порядка (4.13)Уравнение линии - определение с примерами решения а также один из коэффициентов Уравнение линии - определение с примерами решения равен нулю; для определенности Уравнение линии - определение с примерами решения т.е.

Уравнение линии - определение с примерами решения

Пусть также Уравнение линии - определение с примерами решения (в противном случае мы имели бы пару параллельных горизонтальных прямых Уравнение линии - определение с примерами решения и Уравнение линии - определение с примерами решения , где Уравнение линии - определение с примерами решения и Уравнение линии - определение с примерами решения — корни уравненияУравнение линии - определение с примерами решения или отсутствие каких-либо линий и точек вообще). Дополним члены, содержащие Уравнение линии - определение с примерами решения до полного квадрата

Уравнение линии - определение с примерами решения

Полагая Уравнение линии - определение с примерами решения получим

Уравнение линии - определение с примерами решения

Кривая (4.27) называется параболой, а точка Уравнение линии - определение с примерами решениявершиной параболы, Уравнение линии - определение с примерами решенияпараметром параболы. При Уравнение линии - определение с примерами решения ветви параболы направлены вправо, при Уравнение линии - определение с примерами решения — влево (рис. 4.25). Прямая Уравнение линии - определение с примерами решения является осью симметрии параболы.

Если вершина параболы находится в начале координат, то уравнение (4.27) принимает видУравнение линии - определение с примерами решения

Точка Уравнение линии - определение с примерами решения называется фокусом параболы, а прямая Уравнение линии - определение с примерами решения— ее директрисой.

Для произвольной точки Уравнение линии - определение с примерами решения параболы расстояние до фокуса по формуле (3.5) равно

Уравнение линии - определение с примерами решения

(так как Уравнение линии - определение с примерами решения). С другой стороны, расстояние до директрисы Уравнение линии - определение с примерами решения (рис. 4.26).

Таким образом, парабола представляет множество всех точек плоскости, равноотстоящих от данной тонки (фокуса) Уравнение линии - определение с примерами решения от данной прямой (директрисы). Это характеристическое свойство параболы часто принимается за определение параболы.

Если в уравнении (4.28) поменять местами Уравнение линии - определение с примерами решения то получим Уравнение линии - определение с примерами решения — уравнение параболы с вершиной в начале координат, симметричной относительно оси ординат. Это уравнение

обычно записывают в виде Уравнение линии - определение с примерами решения, где Уравнение линии - определение с примерами решения При Уравнение линии - определение с примерами решенияветви параболы направлены вверх, при Уравнение линии - определение с примерами решения — вниз (рис. 4.27). Рассмотрим квадратный трехчлен Уравнение линии - определение с примерами решения

Отсюда Уравнение линии - определение с примерами решениявыражение, стоящее А А

в скобках, до полного квадрата, получим

Уравнение линии - определение с примерами решения

ОбозначивУравнение линии - определение с примерами решения в новой системе координатУравнение линии - определение с примерами решения с центром Уравнение линии - определение с примерами решения уравнение (4.29) примет видУравнение линии - определение с примерами решения

Таким образом, график квадратного трехчлена Уравнение линии - определение с примерами решенияесть парабола с вершинои в точке Уравнение линии - определение с примерами решения и осью симметрии Уравнение линии - определение с примерами решения, параллельной оси Уравнение линии - определение с примерами решения

Пример:

Построить кривую Уравнение линии - определение с примерами решения

Решение:

Вынося коэффициент при Уравнение линии - определение с примерами решения и дополняя правую часть уравнения до полного квадрата, получим

Уравнение линии - определение с примерами решенияили

Уравнение линии - определение с примерами решенияПолагая Уравнение линии - определение с примерами решенияполучим Уравнение линии - определение с примерами решения

Таким образом, заданная кривая есть парабола с вершиной в точке Уравнение линии - определение с примерами решения и осью симметрии Уравнение линии - определение с примерами решения, параллельной осиУравнение линии - определение с примерами решения(рис. 4.28). ►

Уравнение линии - определение с примерами решения

Пример:

Даны уравнения сторон треугольника

Уравнение линии - определение с примерами решенияУравнение линии - определение с примерами решения

Составить уравнение высоты, медианы и биссектрисы, проведенных из вершины Уравнение линии - определение с примерами решения и найти их длины.

Уравнение линии - определение с примерами решения

Решение:

1. Найдем координаты вершин треугольника, решив соответствующие системы уравнений сторон. Так, координаты вершины Уравнение линии - определение с примерами решения определим из системы уравнений прямых Уравнение линии - определение с примерами решения

Уравнение линии - определение с примерами решения

откуда Уравнение линии - определение с примерами решения

Аналогично находим координаты вершин Уравнение линии - определение с примерами решения решив системы уравнений прямых Уравнение линии - определение с примерами решения Уравнение линии - определение с примерами решения (рис. 4.29).

2. Пучок прямых, проходящих через точку Уравнение линии - определение с примерами решения по формуле (4.4) имеет вид:

Уравнение линии - определение с примерами решения

Из уравнения прямой Уравнение линии - определение с примерами решения следует, что ее угловой коэффициент Уравнение линии - определение с примерами решения На основании условия перпендикулярности двух прямых Уравнение линии - определение с примерами решенияУравнение высоты Уравнение линии - определение с примерами решения примет вид

Уравнение линии - определение с примерами решения

3. Из школьного курса математики известно, что координаты середины отрезка равны полусуммам соответствующих координат его концов, т.е.

Уравнение линии - определение с примерами решения

Поэтому Уравнение линии - определение с примерами решения

По формуле (4.5) угловой коэффициент

Уравнение линии - определение с примерами решения

Подставляя Уравнение линии - определение с примерами решения в формулу (4.30), получим уравнение медианы Уравнение линии - определение с примерами решения

Уравнение линии - определение с примерами решения

(уравнение Уравнение линии - определение с примерами решения можно было получить и по формуле (4.6) как уравнение прямой, проходящей через две точки: Уравнение линии - определение с примерами решенияи Уравнение линии - определение с примерами решения).

4. Из уравнений прямых Уравнение линии - определение с примерами решения Уравнение линии - определение с примерами решения следует, что они перпендикулярны, так как их угловые коэффициент Уравнение линии - определение с примерами решения— обратны по величине и противоположны по знаку. Поэтому биссектриса Уравнение линии - определение с примерами решения образует с каждой из этих сторон угол 45°. По формуле (4.9).

Уравнение линии - определение с примерами решения

откуда Уравнение линии - определение с примерами решения Теперь по формуле (4.30) получим уравнение биссектрисы Уравнение линии - определение с примерами решения

Уравнение линии - определение с примерами решения

(Если «не заметить», что Уравнение линии - определение с примерами решения то угловой коэффициент биссектрисы Уравнение линии - определение с примерами решенияможно найти из равенстваУравнение линии - определение с примерами решения т.е. Уравнение линии - определение с примерами решения Решая уравнение, найдем два корня Уравнение линии - определение с примерами решения из которых чертежу задачи удовлетворяет первый корень.) 5. Длину медианы Уравнение линии - определение с примерами решения найдем по формуле (3.5) расстояния между двумя точками Уравнение линии - определение с примерами решения

Уравнение линии - определение с примерами решения 6. Для нахождения длины биссектрисы Уравнение линии - определение с примерами решения найдем вначале координаты ее точки пересечения Уравнение линии - определение с примерами решения со стороной Уравнение линии - определение с примерами решения решив систему уравнений

Уравнение линии - определение с примерами решенияОткуда Уравнение линии - определение с примерами решения

Теперь по формуле (3.5)

Уравнение линии - определение с примерами решения 7. Длину высоты Уравнение линии - определение с примерами решения можно было найти аналогично тому, как находили длину биссектрисы. Но проще это сделать по формуле (4.10) расстояния от точки Уравнение линии - определение с примерами решения до прямой Уравнение линии - определение с примерами решения

Уравнение линии - определение с примерами решения

Пример:

Найти расстояние от начала координат до прямой, проходящей через центр гиперболы Уравнение линии - определение с примерами решения вершину параболы Уравнение линии - определение с примерами решенияСоставить уравнение окружности, касающейся гиперболы в ее вершинах.

Решение:

1. В уравнении гиперболы выделим целую часть; получим

Уравнение линии - определение с примерами решенияУравнение линии - определение с примерами решения откуда Уравнение линии - определение с примерами решения или Уравнение линии - определение с примерами решения

Полагая Уравнение линии - определение с примерами решения получим в новой системе координат Уравнение линии - определение с примерами решения с центром Уравнение линии - определение с примерами решения гиперболу Уравнение линии - определение с примерами решения ветви которой расположены во II и IV квадрантах (рис. 4.30).

Уравнение линии - определение с примерами решения

2. Выделив полный квадрат, представим уравнение параболы в виде

Уравнение линии - определение с примерами решенияоткуда следует, что вершина параболы находится в точке Уравнение линии - определение с примерами решенияа ветви ее направлены вниз.

3. Составляем уравнение прямой Уравнение линии - определение с примерами решения по формуле (4.5)

Уравнение линии - определение с примерами решения

4. Находим расстояние от точки Уравнение линии - определение с примерами решения до прямой Уравнение линии - определение с примерами решенияУравнение линии - определение с примерами решения по формуле (4.10)

Уравнение линии - определение с примерами решения

5. Очевидно, что центр искомой окружности должен совпасть с центром гиперболы Уравнение линии - определение с примерами решения и иметь радиус Уравнение линии - определение с примерами решения, равный расстоянию от точки Уравнение линии - определение с примерами решениядо любой из вершин гиперболы. Для гиперболы Уравнение линии - определение с примерами решения координаты любой вершины (по абсолютной величине) Уравнение линии - определение с примерами решения поэтому расстояние ее от нового начала координат Уравнение линии - определение с примерами решения по формуле (3.5) равно Уравнение линии - определение с примерами решения. Следовательно, Уравнение линии - определение с примерами решения. Итак, уравнение искомой окружности по формуле (4.11) есть Уравнение линии - определение с примерами решения

Понятие об уравнении плоскости и прямой в пространстве

Общее уравнение плоскости. Пусть плоскость Уравнение линии - определение с примерами решения проходит через точку Уравнение линии - определение с примерами решения перпендикулярно вектору Уравнение линии - определение с примерами решения (рис. 4.31).

Уравнение линии - определение с примерами решения

Этими условиями определяется единственная плоскость в пространстве Уравнение линии - определение с примерами решения /Вектор Уравнение линии - определение с примерами решения называется нормальным вектором плоскости Уравнение линии - определение с примерами решения. Возьмем в плоскости Уравнение линии - определение с примерами решения произвольную точку Уравнение линии - определение с примерами решения Тогда вектор Уравнение линии - определение с примерами решениябудет перпендикулярен вектору Уравнение линии - определение с примерами решенияСледовательно, скалярное произведение этих векторов равно нулю, т.е. Уравнение линии - определение с примерами решения Полученное уравнение представим в координатной форме:

Уравнение линии - определение с примерами решения

Уравнение (4.31) представляет уравнение плоскости, перпендикулярной данному вектору Уравнение линии - определение с примерами решения и проходящей через данную точку Уравнение линии - определение с примерами решения

Уравнение плоскости, записанное в виде

Уравнение линии - определение с примерами решения

(где Уравнение линии - определение с примерами решения), называется общим уравнением плоскости.

Можно доказать, что всякое уравнение первой степени с тремя переменными есть уравнение плоскости.

Если Уравнение линии - определение с примерами решения то уравнение Уравнение линии - определение с примерами решения определяет плоскость, проходящую через начало координат. Другие частные случаи определяются расположением нормального вектора Уравнение линии - определение с примерами решения. Так, например, если Уравнение линии - определение с примерами решения то уравнение Уравнение линии - определение с примерами решенияУравнение линии - определение с примерами решения определяет плоскость, параллельную оси Уравнение линии - определение с примерами решения если Уравнение линии - определение с примерами решения Уравнение линии - определение с примерами решения, то уравнение Уравнение линии - определение с примерами решения определяет плоскость, проходящую через ось Уравнение линии - определение с примерами решенияесли Уравнение линии - определение с примерами решения то уравнение Уравнение линии - определение с примерами решения определяет плоскость, параллельную плоскости Уравнение линии - определение с примерами решения если Уравнение линии - определение с примерами решенияУравнение линии - определение с примерами решения то уравнение Уравнение линии - определение с примерами решения определяет координатную плоскость Уравнение линии - определение с примерами решения

Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей определяются условиями коллинеарности и перпендикулярности нормальных векторов Уравнение линии - определение с примерами решения

Условием параллельности двух плоскостей является пропорциональность коэффициентов при одноименных переменных

Уравнение линии - определение с примерами решения а условием их перпендикулярности

Уравнение линии - определение с примерами решения

Прямая в пространстве может быть задана как линия пересечения двух плоскостей, т.е. как множество точек, удовлетворяющих системе

Уравнение линии - определение с примерами решения

Если прямая параллельна вектору

Уравнение линии - определение с примерами решения (называемому направляющим вектором) и проходит через точкуУравнение линии - определение с примерами решения (рис. 4.32), то ее уравнения могут быть получены из условия коллинеарности векторов Уравнение линии - определение с примерами решения(где Уравнение линии - определение с примерами решения — произвольная точка прямой) и Уравнение линии - определение с примерами решения

Уравнение линии - определение с примерами решения Уравнение линии - определение с примерами решения

Эти уравнения называются каноническими уравнениями прямой линии в пространстве.

Уравнения прямой линии в пространстве

Прямая в пространстве однозначно определяется точкой Уравнение линии - определение с примерами решения и направлением (т. е. некоторым вектором).

Пусть Уравнение линии - определение с примерами решения — радиус-вектор точки Уравнение линии - определение с примерами решения — ненулевой направляющий вектор прямой (длина его произвольна). Обозначая через Уравнение линии - определение с примерами решения радиус-вектор произвольной точки М прямой (текущий радиус-вектор), из векторного треугольника Уравнение линии - определение с примерами решения (рис. 201) имеем

Уравнение линии - определение с примерами решения

Уравнение линии - определение с примерами решения

Так как векторы Уравнение линии - определение с примерами решения и s коллинеарны, то

Уравнение линии - определение с примерами решения

где Уравнение линии - определение с примерами решения — некоторый скаляр Уравнение линии - определение с примерами решения. Подставляя это выражение в уравнение (1), получим векторное уравнение прямой линии в пространстве

Уравнение линии - определение с примерами решения

(t — параметр).

Проецируя равенство (3) на координатные оси, будем иметь параметрические уравнения прямой линии в пространстве

Уравнение линии - определение с примерами решения

Если из уравнений (4) исключить параметр то получим так называемые канонические уравнения прямой линии в пространстве

Уравнение линии - определение с примерами решения

Система (5) содержит два уравнения, например при Уравнение линии - определение с примерами решения можно положить

Уравнение линии - определение с примерами решения

Эти уравнения представляют собой уравнения двух плоскостей, пересечением которых является данная прямая. Заметим, что первое уравнение не содержит координаты у, а второе — координаты х. Следовательно, первая плоскость параллельна оси Оу, а вторая параллельна оси Ох, т.е. эти плоскости являются плоскостями, проецирующими нашу прямую на координатную плоскость Oxz и соответственно на координатную плоскость Oyz.

Числа Уравнение линии - определение с примерами решения называются направляющими коэффициентами прямой линии. Обозначая через Уравнение линии - определение с примерами решения углы, образованные прямой с координатными осями (рис. 201), и учитывая, что cos а, Уравнение линии - определение с примерами решения являются направляющими косинусами вектора s, будем иметь

Уравнение линии - определение с примерами решения

где

Уравнение линии - определение с примерами решения

— длина вектора s. Отсюда получаем

Уравнение линии - определение с примерами решения

Таким образом, направляющие коэффициенты прямой пропорциональны соответствующим направляющим косинусам этой прямой.

Уравнения прямой (5) можно записать в стандартном виде

Уравнение линии - определение с примерами решения

где Уравнение линии - определение с примерами решения — направляющие косинусы прямой.

Пример:

Уравнения движения ракеты Уравнение линии - определение с примерами решения, где время t дано в секундах, а координаты (х, у, z) движущейся точки — в километрах.

Какова траектория ракеты? На каком расстоянии будет находиться ракета М от точки старта О (0, 0, 0) через 10 с?

Решение:

Исключая из данных уравнений время получим уравнения траектории Уравнение линии - определение с примерами решения или

Уравнение линии - определение с примерами решения

Таким образом, траектория представляет собой прямую линию, проходящую через начало координат.

При f = 10 с имеем х = 20, у = -40, z = 40 и

Уравнение линии - определение с примерами решения

Пример:

Написать уравнения прямой, проходящей через две несовпадающие точки Уравнение линии - определение с примерами решения и Уравнение линии - определение с примерами решения. За направляющий вектор прямой можно принять

Уравнение линии - определение с примерами решения

Следовательно, на основании (5) имеем

Уравнение линии - определение с примерами решения

Пример:

Написать уравнения прямой, проходящей через точку Уравнение линии - определение с примерами решения и параллельной оси Oz.

Решение:

Очевидно, имеем Уравнение линии - определение с примерами решения. Таким образом, в силу (5′) получаем уравнения искомой прямой Уравнение линии - определение с примерами решения эквивалентные паре уравнений

Уравнение линии - определение с примерами решения

Направляющий вектор прямой (9) есть {0, 0, 1}, т.е. эта прямая перпендикулярна осям Ох и Оу.

Прямую L в пространстве можно задать также как линию пересечения двух плоскостей Р и Р’ (рис. 202):

Уравнение линии - определение с примерами решения Уравнение линии - определение с примерами решения

Предполагается, что плоскости не параллельны и не сливаются. Векторы Уравнение линии - определение с примерами решенияУравнение линии - определение с примерами решения являются нормальными векторами этих плоскостей. Направляющий вектор s прямой, очевидно, удовлетворяет условиям Уравнение линии - определение с примерами решения и Уравнение линии - определение с примерами решения. Можно положить

Уравнение линии - определение с примерами решения

(х — знак векторного произведения.

Пример:

Определить направляющие косинусы прямой

Уравнение линии - определение с примерами решения

Решение:

Имеем Уравнение линии - определение с примерами решения. Отсюда

Уравнение линии - определение с примерами решения За направляющий вектор прямой можно принять Уравнение линии - определение с примерами решения длина его Уравнение линии - определение с примерами решения. Отсюда

Уравнение линии - определение с примерами решения

  • Функции нескольких переменных
  • Комплексные числ
  • Координаты на прямой
  • Координаты на плоскости
  • Числовые ряды
  • Знакопеременные ряды
  • Степенные ряды
  • Элементы матричного анализа

Как найти уравнение линии по координатам

Неверно введено число.

Точки должны быть разными.

Уравнение прямой по двум точкам

Введите координаты точек:

Количество знаков после разделителя дроби в числах:

Общее уравнение прямой:

Теория

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки (x1,y1) и (x2,y2), имеет вид:

или в общем виде

Т.е. получили общее уравнение прямой линии на плоскости в декартовых координатах:

Уравнение прямой, которая проходит через две заданные точки: примеры, решения

Данная статья раскрывает получение уравнения прямой, проходящей через две заданные точки в прямоугольной системе координат, расположенной на плоскости. Выведем уравнение прямой, проходящей через две заданные точки в прямоугольной системе координат. Наглядно покажем и решим несколько примеров, касающихся пройденного материала.

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки на плоскости

Перед получением уравнения прямой, проходящей через две заданные точки необходимо обратить внимание на некоторые факты. Существует аксиома, которая говорит о том, что через две несовпадающие точки на плоскости возможно провести прямую и только одну. Иначе говоря, две заданные точки плоскости определяются прямой линией, проходящей через эти точки.

Если плоскость задана прямоугольной системой координат Оху, то любая изображенная в нем прямая будет соответствовать уравнению прямой на плоскости. Также имеется связь с направляющим вектором прямой. Этих данных достаточно для того, чтобы произвести составление уравнения прямой, проходящей через две заданные точки.

Рассмотрим на примере решения подобной задачи. Необходимо составить уравнение прямой a , проходящей через две несовпадающие точки M 1 ( x 1 , y 1 ) и M 2 ( x 2 , y 2 ) , находящиеся в декартовой системе координат.

В каноническом уравнении прямой на плоскости, имеющего вид x — x 1 a x = y — y 1 a y , задается прямоугольная система координат О х у с прямой, которая пересекается с ней в точке с координатами M 1 ( x 1 , y 1 ) с направляющим вектором a → = ( a x , a y ) .

Необходимо составить каноническое уравнение прямой a , которая пройдет через две точки с координатами M 1 ( x 1 , y 1 ) и M 2 ( x 2 , y 2 ) .

Прямая а имеет направляющий вектор M 1 M 2 → с координатами ( x 2 — x 1 , y 2 — y 1 ) , так как пересекает точки М 1 и М 2 . Мы получили необходимые данные для того, чтобы преобразовать каноническое уравнение с координатами направляющего вектора M 1 M 2 → = ( x 2 — x 1 , y 2 — y 1 ) и координатами лежащих на них точках M 1 ( x 1 , y 1 ) и M 2 ( x 2 , y 2 ) . Получим уравнение вида x — x 1 x 2 — x 1 = y — y 1 y 2 — y 1 или x — x 2 x 2 — x 1 = y — y 2 y 2 — y 1 .

Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Следуя по вычислениям, запишем параметрические уравнения прямой на плоскости, которое проходит через две точки с координатами M 1 ( x 1 , y 1 ) и M 2 ( x 2 , y 2 ) . Получим уравнение вида x = x 1 + ( x 2 — x 1 ) · λ y = y 1 + ( y 2 — y 1 ) · λ или x = x 2 + ( x 2 — x 1 ) · λ y = y 2 + ( y 2 — y 1 ) · λ .

Рассмотрим подробней на решении нескольких примеров.

Записать уравнение прямой, проходящей через 2 заданные точки с координатами M 1 — 5 , 2 3 , M 2 1 , — 1 6 .

Каноническим уравнением для прямой, пересекающейся в двух точках с координатами x 1 , y 1 и x 2 , y 2 принимает вид x — x 1 x 2 — x 1 = y — y 1 y 2 — y 1 . По условию задачи имеем, что x 1 = — 5 , y 1 = 2 3 , x 2 = 1 , y 2 = — 1 6 . Необходимо подставить числовые значения в уравнение x — x 1 x 2 — x 1 = y — y 1 y 2 — y 1 . Отсюда получим, что каноническое уравнение примет вид x — ( — 5 ) 1 — ( — 5 ) = y — 2 3 — 1 6 — 2 3 ⇔ x + 5 6 = y — 2 3 — 5 6 .

Ответ: x + 5 6 = y — 2 3 — 5 6 .

При необходимости решения задачи с другим видом уравнения, то для начала можно перейти к каноническому, так как из него проще прийти к любому другому.

Составить общее уравнение прямой, проходящей через точки с координатами M 1 ( 1 , 1 ) и M 2 ( 4 , 2 ) в системе координат О х у .

Для начала необходимо записать каноническое уравнение заданной прямой, которая проходит через заданные две точки. Получим уравнение вида x — 1 4 — 1 = y — 1 2 — 1 ⇔ x — 1 3 = y — 1 1 .

Приведем каноническое уравнение к искомому виду, тогда получим:

x — 1 3 = y — 1 1 ⇔ 1 · x — 1 = 3 · y — 1 ⇔ x — 3 y + 2 = 0

Ответ: x — 3 y + 2 = 0 .

Примеры таких заданий были рассмотрены в школьных учебниках на уроках алгебры. Школьные задачи отличались тем, что известным было уравнение прямой с угловым коэффициентом, имеющее вид y = k x + b . Если необходимо найти значение углового коэффициента k и числа b , при которых уравнение y = k x + b определяет линию в системе О х у , которая проходит через точки M 1 ( x 1 , y 1 ) и M 2 ( x 2 , y 2 ) , где x 1 ≠ x 2 . Когда x 1 = x 2 , тогда угловой коэффициент принимает значение бесконечности, а прямая М 1 М 2 определена общим неполным уравнением вида x — x 1 = 0 .

Потому как точки М 1 и М 2 находятся на прямой, тогда их координаты удовлетворяют уравнению y 1 = k x 1 + b и y 2 = k x 2 + b . Следует решить систему уравнений y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b относительно k и b .

Для этого найдем k = y 2 — y 1 x 2 — x 1 b = y 1 — y 2 — y 1 x 2 — x 1 · x 1 или k = y 2 — y 1 x 2 — x 1 b = y 2 — y 2 — y 1 x 2 — x 1 · x 2 .

С такими значениями k и b уравнение прямой, проходящее через заданные две точки, принимает следующий вид y = y 2 — y 1 x 2 — x 1 · x + y 2 — y 2 — y 1 x 2 — x 1 · x 1 или y = y 2 — y 1 x 2 — x 1 · x + y 2 — y 2 — y 1 x 2 — x 1 · x 2 .

Запомнить сразу такое огромное количество формул не получится. Для этого необходимо учащать количество повторений в решениях задач.

Записать уравнение прямой с угловым коэффициентом, проходящей через точки с координатами M 2 ( 2 , 1 ) и y = k x + b .

Для решения задачи применяем формулу с угловым коэффициентом, имеющую вид y = k x + b . Коэффициенты k и b должны принимать такое значение, чтобы данное уравнение соответствовало прямой, проходящей через две точки с координатами M 1 ( — 7 , — 5 ) и M 2 ( 2 , 1 ) .

Точки М 1 и М 2 располагаются на прямой, тогда их координаты должны обращать уравнение y = k x + b верное равенство. Отсюда получаем, что — 5 = k · ( — 7 ) + b и 1 = k · 2 + b . Объединим уравнение в систему — 5 = k · — 7 + b 1 = k · 2 + b и решим.

При подстановке получаем, что

— 5 = k · — 7 + b 1 = k · 2 + b ⇔ b = — 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = — 5 + 7 k 2 k — 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = — 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = — 5 + 7 · 2 3 k = 2 3 ⇔ b = — 1 3 k = 2 3

Теперь значения k = 2 3 и b = — 1 3 подвергаются подстановке в уравнение y = k x + b . Получаем, что искомым уравнением, проходящим через заданные точки, будет уравнение, имеющее вид y = 2 3 x — 1 3 .

Такой способ решения предопределяет траты большого количества времени. Существует способ, при котором задание решается буквально в два действия.

Запишем каноническое уравнение прямой, проходящей через M 2 ( 2 , 1 ) и M 1 ( — 7 , — 5 ) , имеющее вид x — ( — 7 ) 2 — ( — 7 ) = y — ( — 5 ) 1 — ( — 5 ) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .

Теперь переходим к уравнению в угловым коэффициентом. Получаем, что: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 · ( x + 7 ) = 9 · ( y + 5 ) ⇔ y = 2 3 x — 1 3 .

Ответ: y = 2 3 x — 1 3 .

Уравнения прямой, которая проходит через две заданные точки в трехмерном пространстве

Если в трехмерном пространстве имеется прямоугольная система координат О х у z с двумя заданными несовпадающими точками с координатами M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) и M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) , проходящая через них прямая M 1 M 2 , необходимо получить уравнение этой прямой.

Имеем, что канонические уравнения вида x — x 1 a x = y — y 1 a y = z — z 1 a z и параметрические вида x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ способны задать линию в системе координат О х у z , проходящую через точки, имеющие координаты ( x 1 , y 1 , z 1 ) с направляющим вектором a → = ( a x , a y , a z ) .

Прямая M 1 M 2 имеет направляющий вектор вида M 1 M 2 → = ( x 2 — x 1 , y 2 — y 1 , z 2 — z 1 ) , где прямая проходит через точку M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) и M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) , отсюда каноническое уравнение может быть вида x — x 1 x 2 — x 1 = y — y 1 y 2 — y 1 = z — z 1 z 2 — z 1 или x — x 2 x 2 — x 1 = y — y 2 y 2 — y 1 = z — z 2 z 2 — z 1 , в свою очередь параметрические x = x 1 + ( x 2 — x 1 ) · λ y = y 1 + ( y 2 — y 1 ) · λ z = z 1 + ( z 2 — z 1 ) · λ или x = x 2 + ( x 2 — x 1 ) · λ y = y 2 + ( y 2 — y 1 ) · λ z = z 2 + ( z 2 — z 1 ) · λ .

Рассмотрим рисунок, на котором изображены 2 заданные точки в пространстве и уравнение прямой.

Написать уравнение прямой, определенной в прямоугольной системе координат О х у z трехмерного пространства, проходящей через заданные две точки с координатами M 1 ( 2 , — 3 , 0 ) и M 2 ( 1 , — 3 , — 5 ) .

Необходимо найти каноническое уравнение. Так как речь идет о трехмерном пространстве, значит при прохождении прямой через заданные точки, искомое каноническое уравнение примет вид x — x 1 x 2 — x 1 = y — y 1 y 2 — y 1 = z — z 1 z 2 — z 1 .

По условию имеем, что x 1 = 2 , y 1 = — 3 , z 1 = 0 , x 2 = 1 , y 2 = — 3 , z 2 = — 5 . Отсюда следует, что необходимые уравнения запишутся таким образом:

x — 2 1 — 2 = y — ( — 3 ) — 3 — ( — 3 ) = z — 0 — 5 — 0 ⇔ x — 2 — 1 = y + 3 0 = z — 5

Ответ: x — 2 — 1 = y + 3 0 = z — 5 .

Вывести уравнение прямой по координатам двух точек

По введенным пользователем координатам двух точек вывести уравнение прямой, проходящей через эти точки.

Общее уравнение прямой имеет вид y = kx + b . Для какой-то конкретной прямой в уравнении коэффициенты k и b заменяются на числа, например, y = 4x — 2 . Задача сводится именно к нахождению этих коэффициентов.

Так как координаты точки это значения x и y , то мы имеем два уравнения. Пусть, например, координаты точки А(3;2), а координаты B(-1;-1). Получаем уравнения:
2 = k*3 + b,
-1 = k*(-1) + b.
Решая полученную систему уравнений находим значения k и b :
b = 2 — 3k
-1 = -k + 2 — 3k
4k = 3
k = 3/4 = 0.75
b = 2 — 3 * 0.75 = 2 — 2.25 = -0.25
Таким образом, получается уравнение конкретной прямой, проходящей через указанные точки: y = 0.75x — 0.25.

Алгоритм решения данной задаче на языке программирования будет таков:

  1. Получить значения координат первой точки и присвоить их переменным, например x1 и y1 .
  2. Получить значения координат ( x2, y2 ) второй точки.
  3. Вычислить значение k по формуле k = (y1 — y2) / (x1 — x2) .
  4. Вычислить значение b по формуле b = y2 — k * x2 .
  5. Вывести на экран полученное уравнение.
источники:

http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/prjamaja-ploskost/uravnenie-prjamoj-kotoraja-prohodit-cherez-dve-zad/

http://gospodaretsva.com/straight.html

Получить уравнение прямой, проходящей через две точки помогут созданные нами калькуляторы. Предлагаем найти каноническое и параметрическое уравнение прямой, а также уравнение прямой с угловым коэффициентом как на плоскости, так и в пространстве.

Прямая — это бесконечная линия, по которой проходит кратчайший путь между любыми двумя её точками.

Уравнения прямой, проходящей через две точки могут быть следующих видов:

  • каноническое уравнение,
  • параметрическое уравнение,
  • общее уравнение прямой,
  • уравнение прямой с угловым коэффициентом,
  • уравнение прямой в полярных координатах и другие.

Для получения уравнений введите координаты двух точек прямой. Онлайн-калькулятор найдет уравнения и выдаст результат с подробным решением.

Каноническое уравнение прямой на плоскости

{dfrac{x-x_a}{x_b-x_a} = dfrac{y-y_a}{y_b-y_a}}

xa и ya — координаты первой точки A,

xb и yb — координаты второй точки B

Параметрическое уравнение прямой на плоскости

{begin{cases} x=l cdot t + x_a \ y=m cdot t + y_a end{cases}}

xa, ya — координаты точки, лежащей на прямой,

{l;m} — координаты направляющего вектора прямой,

t — произвольный параметр, аналогичный параметру в векторно-параметрическом уравнении.

Каноническое уравнение прямой в пространстве

{dfrac{x-x_a}{x_b-x_a} = dfrac{y-y_a}{y_b-y_a} = dfrac{z-z_a}{z_b-z_a}}

xa, ya и za — координаты первой точки A,

xb, yb и zb — координаты второй точки B

Параметрическое уравнение прямой в пространстве

{ begin{cases} x=l cdot t + x_a \ y=m cdot t + y_a \ z=n cdot t + z_a end{cases} }

xa, ya и za — координаты точки, лежащей на прямой,

{l;m;n} — координаты направляющего вектора прямой,

t — произвольный параметр, аналогичный параметру в векторно-параметрическом уравнении.

Пример нахождения уравнения прямой, проходящей через две точки

Найдем уравнения прямой, проходящей через точки A(1,2) и B(3,8).

Каноническое уравнение прямой

Каноническое уравнение прямой, проходящей через две точки имеет вид {dfrac{x-x_a}{x_b-x_a} = dfrac{y-y_a}{y_b-y_a}}

Подставим в формулу координаты точек A и B: {dfrac{x-1}{3-1} = dfrac{y-2}{8-2}}

Получаем каноническое уравнение прямой: {dfrac{x-1}{2} = dfrac{y-2}{4}}

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Из канонического уравнения получаем уравнение прямой с угловым коэффициентом: {y=3x-1}

Параметрическое уравнение прямой

Параметрическое уравнение прямой имеет вид:

{ begin{cases} x=l cdot t + x_a \ y=m cdot t + y_a end{cases} }

где {x_a, y_b} — координаты точки, лежащей на прямой, {{l;m}} — координаты направляющего вектора прямой, t — произвольный параметр, аналогичный параметру в векторно-параметрическом уравнении. В качестве координат используем координаты точки {A(x_a, y_b)}.

Найдем координаты направляющего вектора:

overline{AB} = {x_b — x_a; y_b — y_a} = {3-1; 8-2} = {2; 6}

Получаем параметрическое уравнение:

begin{cases} x=2 t + 1 \ y=6 t + 2 end{cases}

Используем калькулятор для проверки полученного ответа.

Получить уравнение прямой по двум точкам бывает необходимо, когда мы решаем задачи, связанные с анализом различных фигур на плоскости. В этом случае бывает полезно знать уравнение прямой, проходящей через две точки. Например, составляя такое уравнение мы уже знаем – как проходит прямая, с какие углом наклона к осям координат и можем рассчитать расположение прямой по отношению к другим прямым или к фигурам.

Составляем уравнение прямой по двум точкам

Итак, пусть нам даны две точки A(x_1, y_1) и B(x_2, y_2). Наша прямая проходит через две эти точки, давайте получим уравнение этой прямой. Уравнение пучка прямых, проходящих через точку с координатами A(x_1, y_1) имеет вид:

    [y-y_1=k(x-x_1) eqno  (1)]

То есть если прямая проходит через две точки A и B она – одна из этого пучка прямых, проходящих через точку A и эта прямая имеет определенный коэффициент k. Значит, координаты точки B должны удовлетворять уравнению (1), то есть

    [y_2-y_1=k(x_2-x_1) eqno  (2)]

.

Находим из (2) k:

    [k=frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}]

и подставим в уравнение (1):

    [y-y_1=frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} (x-x_1) eqno  (3)]

.

Преобразовывая уравнение (3) получим:

    [frac{y-y_1}{y_2-y_1}=frac{x-x_1}{x_2-x_1}]

Это и есть уравнение прямой, проходящей через две точки A(x_1, y_1) и B(x_2, y_2).

Примечание: если точки A и B лежат на прямой, которая параллельна оси Ox (y_2-y_1=0) или оси Oy x_2-x_1=0, то уравнение прямой будет иметь вид y=y_1 или x=x_1 соответственно.

Зная координаты любых двух точек прямой, мы всегда сможем определить угловой коэффициент прямой:

    [k=frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}]

Геометрический вывод уравнения прямой

Действительно, давайте нарисуем прямую в системе координат xOy и отметим на прямой две точки A и B, координаты которых известны A(x_1, y_1) и B(x_2, y_2) и отметим на этой прямой произвольную точку M(x,y).

К выводу уравнения прямой через две дочки

Из подобия треугольников AMD и ABC находим:

    [frac{DM}{CB}=frac{AD}{AC}]

Из рисунка видно, что:

    [DM=y-y_1]

    [CB=y_2-y_1]

    [AD=x-x_1]

    [AC=x_2-x_1]

,

Таким образом, получаем уравнение прямой по двум точкам:

    [frac{y-y_1}{y_2-y_1}=frac{x-x_1}{x_2-x_1}]

Задача

Составим уравнение прямой, проходящей через две точки A(1,2) и B(3,7).

Решение: Имеем x_1=1, x_2=3, y_1=2, y_2=7. Подставим эти значения в уравнение прямой, проходящей через две заданные точки:

    [frac{y-2}{7-2}=frac{x-1}{3-1}]

    [frac{y-2}{5}=frac{x-1}{2}]

Умножим левую и правую части уравнения на 5, получим:

y-2=frac{5x-5}{2}

y=2+2,5x-2,5

y=2,5x-0,5 – получившееся уравнение прямой.

Давайте сделаем проверку – если мы все решили правильно, то при подстановке координат точек A и B мы получим верное равенство. Итак, подставим сначала координаты точки A:

y_1=2,5x_1-0,5

2=2,5 cdot 1-0,5

2=2

Теперь координаты точки B:

y_2=2,5x_2-0,5

7=2,5 cdot 3-0,5

7=7

Значит, уравнение прямой мы нашли верно.

Ответ: y=2,5x-0,5

Условие прохождения прямой через три заданные точки

Если нам в задаче нужно убедиться, что три точки с заданными координатами лежат на одной прямой, можно рассуждать так:

  1. Если две точки с заданными координатами образуют прямую, то их координаты удовлетворяют уравнению прямой, проходящей через две точки.
  2. Если третья точка также лежит на этой прямой, то и ее координаты будут удовлетворять этому уравнению.

Таким образом, если нам даны три точки A(x_1, y_1), B(x_2, y_2) и C(x_3, y_3), лежащие на одной прямой, то их координаты будут удовлетворять условию:

    [frac{y_3-y_1}{y_2-y_1}=frac{x_3-x_1}{x_2-x_1}]

Теперь вы легко сможете составить уравнение прямой по двум точкам, а также найти угловой коэффициент прямой и проверить – принадлежит ли третья точка этой прямой.

26

Уравнение линии на плоскости.

Пусть
на плоскости 
задана декартова прямоугольная система
координат Оху и некоторая линия L.

Определение.
Уравнение F(x;y)=0 (1)
называется
уравнением
линии
L
(относительно заданной системы координат),
если этому уравнению удовлетворяют
координаты х и у любой точки, лежащей
на линии L,
и не удовлетворяют координаты х и у ни
одной точки, не лежащей на линии L.

Т.о.
линией на
плоскости

называется геометрическое место точек
{M(x;y)}, координаты которых удовлетворяют
уравнению (1).

Уравнение
(1) определяет линию L.

Пример.
Уравнение окружности.

Окружность
– множество
точек, равноудаленных от заданной точки
М000).

Точка
М000)
центр
окружности
.

Для
любой точки М(х;у), лежащей на окружности,
расстояние ММ0=R
(R=const)

ММ0==R

(х-х0)2+(у-у0)2=R2–(2)уравнение
окружности
радиуса R
с центром в точке М000).

Параметрическое уравнение линии.

Пусть
координаты х и у точек линии L
выражаются при помощи параметра t:

(3)
– параметрическое уравнение линии в
ДСК

где
функции (t)
и (t)
непрерывны по параметру t
(в некоторой области изменения этого
параметра).

Исключая
из уравнения (3) параметр t,
получим уравнение (1).

Рассмотрим
линию L
как путь, пройденный материальной
точкой, непрерывно движущейся по
определенному закону. Пусть переменная
t
представляет собой время, отсчитываемое
от некоторого начального момента. Тогда
задание закона движения представляет
собой задание координат х и у движущейся
точки как некоторых непрерывных функций
х=(t)
и у=(t)
времени t.

Пример.
Выведем параметрическое уравнение
окружности радиуса r>0
с центром в начале координат. Пусть
М(х,у) – произвольная точка этой
окружности, а t
– угол между радиус-вектором
и осью Ох, отсчитываемый против часовой
стрелки.

Тогда
x=r cos x y=r sin t. (4)

Уравнения
(4) представляют собой параметрические
уравнения рассматриваемой окружности.
Параметр t
может принимать любые значения, но для
того, чтобы точка М(х,у) один раз обошла
окружность, область изменения параметра
ограничивается полусегментом 0t2.

Возведя
в квадрат и сложив уравнения
(4), получим общее уравнение
окружности
(2).

2. Полярная система координат (пск).

Выберем
на плоскости ось L (полярная
ось
)
и определим точку этой оси О (полюс).
Любая точка плоскости однозначно
задается полярными координатами ρ и φ,
где

ρ
полярный
радиус
,
равный расстоянию от точки М до полюса
О (ρ≥0);

φ[0;2Π]
угол
между направлением вектора ОМ
и осью L (полярный
угол
).
М(ρ;
φ)

Уравнение
линии в ПСК

может быть записано:

ρ=f(φ) (5)
явное уравнение линии в ПСК

F=(ρ;
φ) (6) неявное уравнение линии в ПСК

Связь между декартовыми и полярными координатами точки.

(х;у)
(
ρ;
φ)
Из треугольника ОМА:

tg
φ=(восстановление
угла
φ
по известному
тангенсу
производится

с учетом того, в каком квадранте находится
точка М).(
ρ;
φ)(х;у).
х=ρcos φ,
y=
ρsin φ

Пример.
Найти
полярные координаты точек М(3;4) и Р(1;-1).

Для
М:=5,
φ=arctg (4/3). Для Р: ρ=;
φ=Π+arctg(-1)=3Π/4.

Классификация плоских линий.

Определение
1.
Линия
называется алгебраической,
если в некоторой декартовой
прямоугольной
системе координат, если она определяется
уравнением F(x;y)=0 (1),
в котором функция F(x;y) представляет
собой алгебраический многочлен.

Определение
2.
Всякая не
алгебраическая линия называется
трансцендентной.

Определение
3
. Алгебраическая
линия называется линией
порядка
n,
если в некоторой декартовой прямоугольной
системе координат эта линия определяется
уравнением (1), в котором функция F(x;y)
представляет собой алгебраический
многочлен n-й
степени.

Т.о.,
линией n-го
порядка называется линия, определяемая
в некоторой декартовой прямоугольной
системе алгебраическим
уравнением
степени n
с двумя неизвестными.

Установлению
корректности
определений
1,2,3 способствует следующая теорема.

Теорема
(док-во на
с.107). Если линия в некоторой декартовой
прямоугольной системе координат
определяется алгебраическим уравнением
степени n,
то эта линия и в любой другой декартовой
прямоугольной системе координат
определяется алгебраическим уравнением
той же степени n.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Как найти объем газа вещества в химии
  • Как нибудь найти голоса
  • Как в outlook исправить неверную кодировку сообщения
  • Как найти администрацию поселения
  • Как составить алгоритм кейса