Установившимся
(стационарным)
движением называется такое, при котором
скорость течения и все основные параметры
потока (давление, плотность и т.д.) не
изменяются с течением времени. В этом
случае время в число аргументов не
входит и скорость, например, является
функцией только координат:
и при этом
(1.4)
Примерами
установившегося движения могут служить:
движение воды в канале при постоянном
уровне воды, истечение жидкости из
отверстия при постоянном напоре,
истечение из водопроводного крана при
постоянном давлении и т.д.
Неустановившимся
(нестационарным)движением жидкости
называется такое, при котором в каждой
точке скорость течения и все остальные
параметры потока изменяются со временем.
Для
вектора скорости, например, в число
аргументов будет входить время:
и
(1.5)
Примерами
неустановившегося движения являются:
движение воды в реке при изменении
уровня в ней (в паводок), истечение через
отверстие в резервуаре при его опорожнении
и т.д. В некоторых случаях характер
движения будет зависеть от выбора
системы координат. Так, в координатной
системе, связанной с кораблем, плывущим
по реке (для человека, стоящего на палубе)
система волн и весь процесс обтекания
корабля будет установившимся, в то время
как в неподвижной системе (для человека,
стоящего на берегу) процесс волнообразования
при прохождении корабля будет
неустановившимся. Заметим, что изучение
установившегося движения гораздо проще,
чем неустановившегося.
1.3. Линии тока. Свойство линий тока
Линией
тока называется кривая, в каждой точке
которой вектор скорости в данный момент
времени направлен по касательной.
В случае
установившегося движения линии тока
совпадают с траекториями частиц жидкости.
Свойство
линий тока: линии тока не пересекаются
ни сами с собой ни с другимилиниями
тока.
П
Рис.
1.3
Рис.
1.4
а)
б)
рименим
способ доказательства от противного,
т. е. допустим, что линии токаIиIIпересеклись в точке
О, рис.1.3. Тогда, проведя касательные к
кривымIиIIв точке О, видим, что в этой точке частица
жидкости должна двигаться в разных
направлениях, что невозможно. Следовательно,
исходное допущение неверно, т.е. линии
тока не пересекаются ни сами с собой,
ни друг с другом.
Если
траектория фиксирует положение во
времени только одной частицы, то линия
тока в один и тот же момент времени
указывает направление скоростей многих
частиц. Иногда используется представление
о линии отмеченных частиц; это линия,
на которой находятся все частицы,
прошедшие через одну какую-либо точку
в пространстве. Линию отмеченных частиц
можно получить, если в поток жидкости
поместить трубку и вводить в неё краску.
Как
следует из определения, линия тока есть
такая линия, в каждой точке которой
нормальная составляющая скорости равна
нулю, т е. через линию тока нет перетекания.
Поэтому между двумя линиями тока
количество протекающей жидкости
постоянно и для несжимаемой жидкости
в местах, где линии тока сближаются,
величины скорости увеличиваются, и
наоборот, там где они расходятся, скорости
убывают. Если через поверхность
обтекаемого тела жидкость не протекает,
то эта поверхность есть поверхность
тока (поверхность, состоящая из линий
тока). Для плоского обтекания, рис. 1.4,
а, это будет линия тока О – О, которая в
отличие от других называется нулевой
линией тока. Совокупность линий тока
дает картину течения в данный момент
времени, что часто используется для
наглядного изображения особенностей
потока. Например, на рис. 1.4, б с помощью
линий тока изображена картина обтекания
плоской пластины, установленной
перпендикулярно потоку. В случае плоского
(двумерного) течения возможно элементарным
способом получить дифференциальное
уравнение линии тока. Для этого учтём,
что при течении в плоскости xoy
проекции вектора скорости определяются
так
.
Исключая
из этих равенств dt, получим
дифференциальное уравнение линии тока
.
С помощью
этого уравнения, если известны компоненты
вектора скорости
и
,
возможно найти уравнение линии тока.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Уравнение — линия — ток
Cтраница 1
Уравнение линий тока при этом имеет тот же вид, что и уравнение силовых линий, приведенное в предыдущем параграфе.
[1]
Уравнение линии тока легко составить, пользуясь такими рассуждениями.
[2]
Уравнения линий тока, если ось цилиндра проходит через начало координат, гласят ( ср.
[3]
Поэтому уравнения линий тока получаются из уравнения ij) c, если давать константе с произвольные значения.
[4]
Найти уравнение линий тока в двумерном движении и показать, что те частицы, которые в бесконечности находятся на расстоянии 11 а от одной из границ, вытекают из источника в направлении, образующем угол л / 4 с этой границей.
[5]
Найти уравнение линий тока на плоскости Оху и показать, что за вертикальные стенки, ограничивающие жидкость, можно взять, помимо указанных в § 25, еще такие, уравнением которых является х у пг. Вывести отсюда период т самых медленных колебаний в цилиндрическом сосуде, поперечным сечением которого является равнобедренный треугольник с катетами, равными а, считая жидкость бесконечно глубокой.
[6]
Составим уравнения линий тока рассматриваемого производного потока.
[7]
Интеграл уравнения линии тока жидкости F ( z) назван Стоксом функцией течения.
[8]
Интеграл уравнения линии тока жидкости F ( z) назван Стоксрм функцией течения.
[9]
Сравнивая эти уравнения линий тока с уравнением полного дифференциала d — ф (4.9), видим, что они тождественны. С) они тождественно совпадают с линиями тока. По этой причине функция ф ( х, у) и именуется функцией тока.
[10]
Определим теперь уравнение линий тока на том участке, где по ток газа меняет свое направление.
[11]
Таким образом, уравнение линии тока приводится к виду 1 ( л:, у) const. Линия тока определена, как геометрическое место точек постоянного значения функции тока, и обратно — функция тока получает смысл функции, сохраняющей постоянное значение вдоль линии тока.
[12]
Уравнение (4.123) представляет собой дифферяшшальное уравнение линии тока.
[13]
Переходим к составлению уравнения линии тока ВС.
[14]
Второе условие известно как уравнение линии тока ( II. Следовательно, уравнения потенциального движения применимы к отдельным линиям тока и вихревым линиям в любых движениях. Четвертое условие характеризует винтовое движение жидкости.
[15]
Страницы:
1
2
3
4
Уравнения линий тока (рис. 16.8) определяют уравнением /-2= л (.г2+г2)з, [c.264]
Зная функцию тока, можно непосредственно определить форму линий тока для стационарного движения жидкости. Действительно, дифференциальное уравнение линий тока (при двухмерном течении) есть [c.39]
Дифференциальное уравнение линий тока принимает вид [c.200]
Если ввести декартовы координаты с осью х вдоль луча, то вблизи последнего г л х, (f — (рр у1х и уравнение линий тока записывается в виде [c.200]
При движении вдоль линии тока частица жидкости за время dt проходит путь dS = W dt или в проекциях на координатные осп dx — u dt, dy = V dt. Исключая отсюда время, получаем уравнение линии тока [c.96]
Таким образом, дифференциальное уравнение линии тока можно записать следующим образом [c.96]
Производя интегрирование согласно (96а), находим уравнение линий тока [c.109]
Чтобы получить наглядную картину обтекания внешнего тупого угла, найдем форму линий тока. Для этого составим дифференциальное уравнение линий тока в полярных координатах. Вспомним, что направление касательной к линии тока в каждой ее точке совпадает с направлением вектора скорости в этой точке. Возьмем два бесконечно близких радиуса-вектора, составляющих друг с другом угол йф, и проведем в точке А первого радиуса отрезок линии тока АС, вектор скорости w=AE, направ- [c.163]
Уравнение (28) представляет собой дифференциальное уравнение линий тока в полярных координатах. [c.164]
Уравнение (29) есть уравнение линий тока в полярных координатах. Здесь Го — длина радиуса-вектора линии тока при ф = О, т. е. в невозмущенном потоке. Из уравнения (29) видно, что все линии тока представляют собой подобные кривые с центром подобия в вершине угла. Расстояние по нормали между двумя соседними линиями тока увеличивается в направлении течения. [c.164]
Дифференциальные уравнения линий токов могут быть получены из условия, что касательная к линии тока совпадает с вектором [c.46]
Из кинематики известно, что это условие представляет собой уравнение линии тока (ЗП6). [c.55]
При этом уравнение линии тока может быть представлено в виде [c.315]
Проинтегрировав уравнения (IV.10), можно получить уравнение линии тока в конечном виде. [c.85]
Отметим, что для установившегося движения уравнения линий тока являются одновременно ур-авнениями траекторий. [c.85]
Уравнение линии тока. Рассмотрим случай плоского движения жидкости. Обозначим уравнение линии тока в этом случае через [c.88]
Из уравнения линии тока для того же движения = — [c.111]
Определив таким образом скорости w и и, находим затем уравнения линий тока [c.119]
Так как в данном случае движение установившееся, то линии тока совпадают с траекторией, а потому мы можем воспользоваться уравнениями линий тока [c.122]
Обратим внимание на то, что линии тока не могут пересекаться ни в одной точке, где скорость не равна нулю или бесконечности (теоретически допускается сколь угодно большое значение скорости в отдельных точках). Действительно, если бы две линии тока пересекались в одной точке, где скорость конечна, то это означало бы, что частица, находящаяся в этой точке в один и тот же момент времени, имеет две разные скорости, что физически невозможно. Если же в данной точке я = О или =оо, то через нее может проходить несколько или даже бесконечное множество линий тока. Такие точки называются критическими. Они являются особыми точками дифференциальных уравнении линий тока. [c.32]
Уравнение линий тока представим в виде [c.218]
Уравнение линий тока получим из выражения (7.25) л 2 + г/ = Сг/ или + (г/ — 2f == V4. [c.220]
Учтем теперь, что при безотрывном обтекании контур тела должен быть линией тока, на которой, как известно, функция тока постоянна. Последняя без ограничения общности может быть принята равной нулю, поскольку функция тока определяется с точностью до аддитивной постоянной. Тогда получим уравнение линии тока, образующей контур тела (вихревого слоя) [c.249]
Уравнение линий тока представим в виде (39 — Г 1п г == — Г 1п С или [c.234]
При изучении кинематики жидкости очень важно уметь находить уравнения семейств линий тока и траектории жидких частиц, положение точек разветвления потока и т. п., что необходимо для установления особенностей обтекания тел различных конфигурации. Поэтому в настоящей главе большое внимание уделено рассмотрению таких вопросов и задач, которые позволят освоить методы исследования стационарных и нестационарных течений жидкости, представить их кинематический характер, найти уравнения линий тока и траектории жидких частиц для различных видов движения. [c.40]
Найдите уравнения линий тока и траекторий для трех видов движения жидкости, заданных следующими проекциями скоростей [c.40]
Определим линии тока, представляющие собой в общем случае кривые, которые характеризуются тем, что в данный момент времени I касательные к ним в любой точке совпадают по направлению с вектором скорости. Дифференциальные уравнения линий тока имеют вид [c.46]
В случае плоского движения дифференциальное уравнение линий тока (2.24) после подстановки в него соответствующих значений V и можно представить [c.47]
Дифференциальное уравнение линий тока (2.24) имеет вид йх/ х + ) = = у/(—у + ). Интегрируя это уравнение и считая при этом время t фиксированным, получаем [c.47]
Исследуемое течение является пространственным и установившимся (параметры не зависят от времени t). Следовательно, траектории и линии тока совпадают. Дифференциальное уравнение линий тока (2.24) в этом случае принимает вид [c.48]
Соответствующее уравнение линий тока имеет вид [c.71]
Уравнение линий тока ибу — ибх = 0 при подстановке в него (3.26) приводит после интегрирования к семейству концентрических окружностей, на каждой из которых модуль скорости ш = ( + постоянен. Использование одного из уравнений импульса в полярных координатах г = х + у У , б = aг tg(y/ ) с полюсом в центре этих окружностей, то есть уравнения, которое включает давление р, постоянную плотность р и в рассматриваемом случае имеет вид [c.194]
Решение, Уравнение линий тока для двухмерного движения в полярных координатах есть drivr — г Подставляя сюда (109,12—13) [c.577]
При пространственном движс-нии дифференциальные уравнения линии тока записываются так [c.88]
Отсюда найдем уравнение линий тока Ь = —alnr = с. Согласно этому уравнению, такие линии представляют собой окружности г = с с центром в начале координат. [c.61]
Уравнение линий тока для этого течения = Vy = onst, т. е. комплексный потенциал U/j = Vz характеризует поступательный поток, скорость которого V направлена вдоль оси Ох (рис. 2.29, а). [c.71]
c.698
]
Механика жидкости и газа Издание3 (1970) — [
c.57
]