Как найти уравнение плоскости через матрицу

23 ноября 2012

В этом уроке мы рассмотрим, как с помощью определителя составить уравнение плоскости. Если вы не знаете, что такое определитель, зайдите в первую часть урока — «Матрицы и определители». Иначе вы рискуете ничего не понять в сегодняшнем материале.

Уравнение плоскости по трем точкам

Зачем вообще нужно уравнение плоскости? Все просто: зная его, мы легко высчитаем углы, расстояния и прочую хрень в задаче C2. В общем, без этого уравнения не обойтись. Поэтому сформулируем задачу:

Задача. В пространстве даны три точки, не лежащие на одной прямой. Их координаты:

M = (x₁, y₁, z₁);
N = (x₂, y₂, z₂);
K = (x₃, y₃, z₃);

Требуется составить уравнение плоскости, проходящей через эти три точки. Причем уравнение должно иметь вид:

Ax + By + Cz + D = 0

где числа A, B, C и D — коэффициенты, которые, собственно, и требуется найти.

Ну и как получить уравнение плоскости, если известны только координаты точек? Самый простой способ — подставить координаты в уравнение Ax + By + Cz + D = 0. Получится система из трех уравнений, которая легко решается.

Многие ученики считают такое решение крайне утомительным и ненадежным. Прошлогодний ЕГЭ по математике показал, что вероятность допустить вычислительную ошибку действительно велика.

Поэтому наиболее продвинутые учителя стали искать более простые и изящные решения. И ведь нашли! Правда, полученный прием скорее относится к высшей математике. Лично мне пришлось перерыть весь Федеральный перечень учебников, чтобы убедиться, что мы вправе применять этот прием без каких-либо обоснований и доказательств.

Уравнение плоскости через определитель

Хватит лирики, приступаем к делу. Для начала — теорема о том, как связаны определитель матрицы и уравнение плоскости.

Теорема. Пусть даны координаты трех точек, через которые надо провести плоскость: M = (x₁, y₁, z₁); N = (x₂, y₂, z₂); K = (x₃, y₃, z₃). Тогда уравнение этой плоскости можно записать через определитель:

Для примера попробуем найти пару плоскостей, которые реально встречаются в задачах С2. Взгляните, как быстро все считается:

Задача. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точки:

A₁ = (0, 0, 1);
B = (1, 0, 0);
C₁ = (1, 1, 1);

Составляем определитель и приравниваем его к нулю:

Раскрываем определитель:

a = 1 · 1 · (z − 1) + 0 · 0 · x + (−1) · 1 · y = z − 1 − y;
b = (−1) · 1 · x + 0 · 1 · (z − 1) + 1 · 0 · y = −x;
d = a − b = z − 1 − y − (−x) = z − 1 − y + x = x − y + z − 1;
d = 0 ⇒ x − y + z − 1 = 0;

Как видите, при расчете числа d я немного «причесал» уравнение, чтобы переменные x, y и z шли в правильной последовательности. Вот и все! Уравнение плоскости готово!

Задача. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точки:

A = (0, 0, 0);
B₁ = (1, 0, 1);
D₁ = (0, 1, 1);

Сразу подставляем координаты точек в определитель:

Снова раскрываем определитель:

a = 1 · 1 · z + 0 · 1 · x + 1 · 0 · y = z;
b = 1 · 1 · x + 0 · 0 · z + 1 · 1 · y = x + y;
d = a − b = z − (x + y) = z − x − y;
d = 0 ⇒ z − x − y = 0 ⇒ x + y − z = 0;

Итак, уравнение плоскости снова получено! Опять же, на последнем шаге пришлось поменять в нем знаки, чтобы получить более «красивую» формулу. Делать это в настоящем решении совсем не обязательно, но все-таки рекомендуется — чтобы упростить дальнейшее решение задачи.

Как видите, составлять уравнение плоскости теперь намного проще. Подставляем точки в матрицу, считаем определитель — и все, уравнение готово.

На этом можно было бы закончить урок. Однако многие ученики постоянно забывают, что стоит внутри определителя. Например, в какой строчке стоит x₂ или x₃, а в какой — просто x. Чтобы окончательно разобраться с этим, давайте проследим, откуда берется каждое число.

Откуда берется формула с определителем?

Итак, разбираемся, откуда возникает такое суровое уравнение с определителем. Это поможет вам запомнить его и успешно применять.

Все плоскости, которые встречаются в задаче C2, задаются тремя точками. Эти точки всегда отмечены на чертеже, либо даже указаны прямо в тексте задачи. В любом случае, для составления уравнения нам потребуется выписать их координаты:

M = (x₁, y₁, z₁);
N = (x₂, y₂, z₂);
K = (x₃, y₃, z₃).

Рассмотрим еще одну точку на нашей плоскости с произвольными координатами:

T = (x, y, z)

Берем любую точку из первой тройки (например, точку M) и проведем из нее векторы в каждую из трех оставшихся точек. Получим три вектора:

MN = (x₂ − x₁, y₂ − y₁, z₂ − z₁);
MK = (x₃ − x₁, y₃ − y₁, z₃ − z₁);
MT = (x − x₁, y − y₁, z − z₁).

Теперь составим из этих векторов квадратную матрицу и приравняем ее определитель к нулю. Координаты векторов станут строчками матрицы — и мы получим тот самый определитель, который указан в теореме:

Эта формула означает, что объем параллелепипеда, построенного на векторах MN, MK и MT, равен нулю. Следовательно, все три вектора лежат в одной плоскости. В частности, и произвольная точка T = (x, y, z) — как раз то, что мы искали.

Замена точек и строк определителя

У определителей есть несколько замечательных свойств, которые еще более упрощают решение задачи C2. Например, нам неважно, из какой точки проводить векторы. Поэтому следующие определители дают такое же уравнение плоскости, как и приведенный выше:

Также можно менять местами строчки определителя. Уравнение при этом останется неизменным. Например, многие любят записывать строчку с координатами точки T = (x; y; z) в самом верху. Пожалуйста, если вам так удобно:

Некоторых смущает, что в одной из строчек присутствуют переменные x, y и z, которые не исчезают при подстановке точек. Но они и не должны исчезать! Подставив числа в определитель, вы должны получить вот такую конструкцию:

Затем определитель раскрывается по схеме, приведенной в начале урока, и получается стандартное уравнение плоскости:

Ax + By + Cz + D = 0

Взгляните на пример. Он последний в сегодняшнем уроке. Я специально поменяю строчки местами, чтобы убедиться, что в ответе получится одно и то же уравнение плоскости.

Задача. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точки:

B₁ = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D₁ = (0, 1, 1).

Итак, рассматриваем 4 точки:

B₁ = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D₁ = (0, 1, 1);
T = (x, y, z).

Для начала составим стандартный определитель и приравниваем его к нулю:

Раскрываем определитель:

a = 0 · 1 · (z − 1) + 1 · 0 · (x − 1) + (−1) · (−1) · y = 0 + 0 + y;
b = (−1) · 1 · (x − 1) + 1 · (−1) · (z − 1) + 0 · 0 · y = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
d = a − b = y − (2 − x − z) = y − 2 + x + z = x + y + z − 2;
d = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Все, мы получили ответ: x + y + z − 2 = 0.

Теперь давайте переставим пару строк в определителе и посмотрим, что произойдет. Например, запишем строчку с переменными x, y, z не внизу, а вверху:

Вновь раскрываем полученный определитель:

a = (x − 1) · 1 · (−1) + (z − 1) · (−1) · 1 + y · 0 · 0 = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
b = (z − 1) · 1 · 0 + y · (−1) · (−1) + (x − 1) · 1 · 0 = y;
d = a − b = 2 − x − z − y;
d = 0 ⇒ 2 − x − y − z = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Мы получили точно такое же уравнение плоскости: x + y + z − 2 = 0. Значит, оно действительно не зависит от порядка строк. Осталось записать ответ.

Итак, мы убедились, что уравнение плоскости не зависит от последовательности строк. Можно провести аналогичные вычисления и доказать, что уравнение плоскости не зависит и от точки, координаты которой мы вычитаем из остальных точек.

В рассмотренной выше задаче мы использовали точку B₁ = (1, 0, 1), но вполне можно было взять C = (1, 1, 0) или D₁ = (0, 1, 1). В общем, любую точку с известными координатами, лежащую на искомой плоскости.

Смотрите также:

1. Видеоурок по задачам C2: уравнение плоскости через определитель
2. Уравнение плоскости в задаче C2. Часть 1: матрицы и определители
3. Тест к уроку «Что такое числовая дробь» (легкий)
4. Сводный тест по задачам B15 (1 вариант)
5. Однородные тригонометрические уравнения: общая схема решения
6. Задача B4: тарифы на сотовую связь

Слайд 1

С использованием матриц Уравнение плоскости по трем точкам Котова И. Е. МОУ СОШ №2 г. Бронницы

Слайд 2

Что такое матрица и определитель Матрица — это просто таблица, заполненная числами. Матрицы бывают квадратными (когда количество строк совпадает с количеством столбцов) и прямоугольными (когда не совпадает); Определитель — это число, которое находится по специальному алгоритму из чисел, записных в квадратной матрице. У каждого размера матрицы свой алгоритм. Для прямоугольных матриц определитель найти нельзя.

Слайд 3

Квадратные матрицы

Слайд 4

Прямоугольные матрицы

Слайд 5

Как считать определитель 3-го порядка

Слайд 6

Что это за пентаграммы? На первом рисунке мы берем три числа, лежащие на диагонали, и перемножаем их. Затем берем другие тройки чисел , лежащие в вершинах треугольников, и тоже перемножаем их между собой. В результате всех этих действий мы получим три числа, которые надо сложить (поэтому внизу левой картинки стоит знак плюс). Теперь разбираемся со второй картинкой. Здесь мы снова берем и перемножаем три числа, но уже на другой диагонали. Так же мы снова берем два треугольника и перемножаем числа, стоящие в их углах (отдельно для каждого треугольника). Полученные три числа опять складываем, а результат вычитаем из первого числа (поэтому внизу справа стоит знак минус).

Слайд 7

Вычислить определитель 1 · 5 · 9 = 45 2 · 6 · 7 = 84; 3 · 4 · 8 = 96. 45 + 84 + 96 = 225 3 · 5 · 7 = 105 2 · 4 · 9 = 72; 1 · 6 · 8 = 48; 105 + 72 + 48 = 225 =225 − 225 = 0.

Слайд 8

Вычислить определитель

Слайд 9

Уравнение плоскости Ax + By + Cz + D = 0 Плоскость задается тремя точками А(х 1 ;у 1 ; z 1 ) В(х 2 ;у 2 ; z 2 ) С(х 3 ;у 3 ; z 3 ) Т(х; у; z) точка с произвольными координатами , принадлежащая этой плоскости.

Слайд 10

Проведем векторы и найдем их координаты

Слайд 11

Составляем квадратную матрицу Так как вектора лежат в одной плоскости, определитель равен нулю.

Слайд 12

Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки A 1 = (0, 0, 1); B 1 = (1, 0, 0); C 1 = (1, 1, 1);

Слайд 13

Раскрываем определитель : a = 1 · 1 · ( z − 1) + 0 · 0 · x + (−1) · 1 · y = z − 1 − y; b = (−1) · 1 · x + 0 · 1 · ( z − 1) + 1 · 0 · y = −x; d = a − b = z − 1 − y − (− x ) = z − 1 − y + x = x − y + z − 1; d = 0 ⇒ x − y + z − 1 = 0;

35

36

9. Расстояние от точки до плоскости

Расстояние от произвольной точки M0 (x0 , y0 , z0 ) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0 равно:

d = Ax0 + By0 + Cz0 + D

A2 + B2 + C 2

Пример. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки А(2,-1,4) и В(3,2,-1) перпендикулярно плоскости x + y + 2z − 3 = 0 .

Искомое уравнение плоскости имеет вид: Ax + By + Cz + D = 0 , вектор нормали к этой плоскости n1 (A,B,C). Вектор AB (1,3,-5) принадлежит плоскости. Заданная нам плоскость,

перпендикулярная искомой имеет вектор нормали n2 (1,1,2). Т.к. точки А и В принадлежат обеим плоскостям, а плоскости взаимно перпендикулярны, то

n = AB × n			i	j	k	= i		3	− 5		− j		1	− 5		+ k		1	3		= 11i − 7 j − 2k.
2	=	1	3	− 5
1							1	2				1	2				1	1
			1	1	2

Таким образом, вектор нормали n1 (11,-7,-2). Т.к. точка А принадлежит искомой плоскости, то ее координаты должны удовлетворять уравнению этой плоскости, т.е.

11.2+ 7.1− 2.4 + D = 0; D = −21. Итого, получаем уравнение плоскости: 11x − 7 y − 2z − 21 = 0

10.Уравнение линии в пространстве

Как на плоскости, так и в пространстве, любая линия может быть определена как совокупность точек, координаты которых в некоторой выбранной в пространстве системе координат удовлетворяют уравнению:

F(x, y, z) = 0 . Это уравнение называется уравнением линии в пространстве.

Кроме того, линия в пространстве может быть определена и иначе. Ее можно рассматривать как линию пересечения двух поверхностей, каждая из которых задана какимлибо уравнением.

Пусть F(x, y, z) = 0 и Ф(x, y, z) = 0 – уравнения поверхностей, пересекающихся по линии L.

F(x, y, z) = 0

Тогда пару уравнений Ф(x, y, z) = 0 назовем уравнением линии в пространстве.

11. Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору

Возьмем произвольную прямую и вектор S (m, n, p), параллельный данной прямой. Вектор S называется направляющим вектором прямой.

На прямой возьмем две произвольные точки M0 (x0 , y0 , z0 ) и M (x, y, z) .

z

37

38