Как составить уравнение медианы треугольника по координатам его вершин?
Медиана соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны. Следовательно, при решении задачи составления уравнения медианы нужно:
- Найти координаты середины отрезка по координатам его концов.
- Составить уравнение прямой, проходящей через две точки: найденную середину отрезка и противолежащую вершину.
Пример.
Дано: ΔABC, A(3;1), B(6;-3), C(-3;-7).
Найти уравнения медиан треугольника.
Решение:
Обозначим середины сторон BC, AC, AB через A1, B1, C1.
1) По формулам координат середины отрезка
Уравнение медианы AA1 будем искать в виде y=kx+b.
Найдём уравнение прямой, проходящей через точки A(3;1) и A1(1,5;-5). Составляем и решаем систему уравнений:
Отсюда k= 4; b= -11.
Уравнение медианы AA1: y=4x-11.
2) Аналогично, координаты точки B1 — середины отрезка AC
Можно в уравнение y=kx+b подставить координаты точек B(6;-3) и B1(0;-3) и найти k и b. Но так как ординаты обеих точек равны, уравнение медианы BB1 можно найти ещё быстрее: y= -3.
3) Координаты точки C1 — середины отрезка BC:
C(-3;-7), C(4,5;-1), y=kx+b:
Отсюда уравнение медианы CC1 : y=0,8x-4,6.
Уравнение медианы треугольника
Как составить уравнение медианы треугольника по координатам его вершин?
Медиана соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны. Следовательно, при решении задачи составления уравнения медианы нужно:
- Найти координаты середины отрезка по координатам его концов.
- Составить уравнение прямой, проходящей через две точки: найденную середину отрезка и противолежащую вершину.
Дано: ΔABC, A(3;1), B(6;-3), C(-3;-7).
Найти уравнения медиан треугольника.
Обозначим середины сторон BC, AC, AB через A1, B1, C1.
Уравнение медианы AA1 будем искать в виде y=kx+b.
Найдём уравнение прямой, проходящей через точки A(3;1) и A1(1,5;-5). Составляем и решаем систему уравнений:
Отсюда k= 4; b= -11.
Уравнение медианы AA1: y=4x-11.
2) Аналогично, координаты точки B1 — середины отрезка AC
Можно в уравнение y=kx+b подставить координаты точек B(6;-3) и B1(0;-3) и найти k и b. Но так как ординаты обеих точек равны, уравнение медианы BB1 можно найти ещё быстрее: y= -3.
3) Координаты точки C1 — середины отрезка BC:
Отсюда уравнение медианы CC1 : y=0,8x-4,6.
Как написать уравнение прямой содержащей медиану cm
Вопрос по геометрии:
Даны координаты вершин треугольника ABC:
A(4;6), B(-4;0), C(-1;-4). Напишите
уравнение прямой, содержащей медиану
CM
С объяснением что к чему
Трудности с пониманием предмета? Готовишься к экзаменам, ОГЭ или ЕГЭ?
Воспользуйся формой подбора репетитора и занимайся онлайн. Пробный урок — бесплатно!
Ответы и объяснения 1
Для решения надо найти координаты точки М.
По заданию точка М — середина отрезка АВ:
М = ((4-4)/2=0; (6+0)/2=3) = (0; 3).
Теперь имеем 2 точки медианы, по ним составляем уравнение:
7x + 7 = y + 4
y = 7x + 3.
Знаете ответ? Поделитесь им!
Как написать хороший ответ?
Чтобы добавить хороший ответ необходимо:
- Отвечать достоверно на те вопросы, на которые знаете правильный ответ;
- Писать подробно, чтобы ответ был исчерпывающий и не побуждал на дополнительные вопросы к нему;
- Писать без грамматических, орфографических и пунктуационных ошибок.
Этого делать не стоит:
- Копировать ответы со сторонних ресурсов. Хорошо ценятся уникальные и личные объяснения;
- Отвечать не по сути: «Подумай сам(а)», «Легкотня», «Не знаю» и так далее;
- Использовать мат — это неуважительно по отношению к пользователям;
- Писать в ВЕРХНЕМ РЕГИСТРЕ.
Есть сомнения?
Не нашли подходящего ответа на вопрос или ответ отсутствует? Воспользуйтесь поиском по сайту, чтобы найти все ответы на похожие вопросы в разделе Геометрия.
Трудности с домашними заданиями? Не стесняйтесь попросить о помощи — смело задавайте вопросы!
Геометрия — раздел математики, изучающий пространственные структуры и отношения, а также их обобщения.
Точки А (-6; 21), В(2;-7) и С (0;-4) вершины треугольника ABC. Составьте уравнение прямой, содержащей медиану СМ треугольника АВС.
В 6:51 поступил вопрос в раздел ЕГЭ (школьный), который вызвал затруднения у обучающегося.
Вопрос вызвавший трудности
Ответ подготовленный экспертами Учись.Ru
Для того чтобы дать полноценный ответ, был привлечен специалист, который хорошо разбирается требуемой тематике «ЕГЭ (школьный)». Ваш вопрос звучал следующим образом: Точки А (-6; 21), В(2;-7) и С (0;-4) вершины треугольника ABC. Составьте уравнение прямой, содержащей медиану СМ треугольника АВС.
После проведенного совещания с другими специалистами нашего сервиса, мы склонны полагать, что правильный ответ на заданный вами вопрос будет звучать следующим образом:
решение задания по геометрии
НЕСКОЛЬКО СЛОВ ОБ АВТОРЕ ЭТОГО ОТВЕТА:
Работы, которые я готовлю для студентов, преподаватели всегда оценивают на отлично. Я занимаюсь написанием студенческих работ уже более 4-х лет. За это время, мне еще ни разу не возвращали выполненную работу на доработку! Если вы желаете заказать у меня помощь оставьте заявку на этом сайте. Ознакомиться с отзывами моих клиентов можно на этой странице.
Воронова Полина Александровна — автор студенческих работ, заработанная сумма за прошлый месяц 61 200 рублей. Её работа началась с того, что она просто откликнулась на эту вакансию
ПОМОГАЕМ УЧИТЬСЯ НА ОТЛИЧНО!
Выполняем ученические работы любой сложности на заказ. Гарантируем низкие цены и высокое качество.
Деятельность компании в цифрах:
Зачтено оказывает услуги помощи студентам с 1999 года. За все время деятельности мы выполнили более 400 тысяч работ. Написанные нами работы все были успешно защищены и сданы. К настоящему моменту наши офисы работают в 40 городах.
Ответы на вопросы — в этот раздел попадают вопросы, которые задают нам посетители нашего сайта. Рубрику ведут эксперты различных научных отраслей.
Полезные статьи — раздел наполняется студенческой информацией, которая может помочь в сдаче экзаменов и сессий, а так же при написании различных учебных работ.
Красивые высказывания — цитаты, афоризмы, статусы для социальных сетей. Мы собрали полный сборник высказываний всех народов мира и отсортировали его по соответствующим рубрикам. Вы можете свободно поделиться любой цитатой с нашего сайта в социальных сетях без предварительного уведомления администрации.
Площадка Учись.Ru разработана специально для студентов и школьников. Здесь можно найти ответы на вопросы по гуманитарным, техническим, естественным, общественным, прикладным и прочим наукам. Если же ответ не удается найти, то можно задать свой вопрос экспертам. С нами сотрудничают преподаватели школ, колледжей, университетов, которые с радостью помогут вам. Помощь студентам и школьникам оказывается круглосуточно. С Учись.Ru обучение станет в несколько раз проще, так как здесь можно не только получить ответ на свой вопрос, но расширить свои знания изучая ответы экспертов по различным направлениям науки.
http://online-otvet.ru/geometria/5cea849c96f4e19a291df315
http://uchees.ru/answer-65562.html
9.1. Прямая на плоскости
Рассмотрим
различные случаи задания прямой L
на плоскости.
1. Если
задан ненулевой направляющий
вектор
и радиус-вектор
некоторой фиксированной точкито в этом случае радиус-векторпроизвольной точкизадается формулой
(9.1)
где
Уравнение (9.1)
называется
векторно-параметрическим уравнением
прямой L.
2. Если
– координаты точкикоторая лежит на прямойL,
(l, m)
– координаты направляющего вектора
то прямая задаетсяпараметрическими
уравнениями:
3. Если
– направляющий вектор, такой, чтои– точка, через которую проходит прямая,
то имеемканоническое
уравнение:
(9.2)
4. Если прямая L
не параллельна оси Ox,
то для всех направляющих векторов
отношение
По заданному угловому коэффициентуk
прямой L
и точке
уравнение прямойL
может быть задано в следующем виде:
– это уравнение
прямой с угловым коэффициентом
k,
проходящей
через точку
М0.
В случае, если
– точка пересечения прямойL
с осью Oy,
это уравнение может быть записано в
следующем виде:
5. Координаты
направляющего вектора
прямойL
могут быть найдены, если известны две
точки
иэтой прямой:
Уравнение
прямой, проходящей через две заданные
точки:
(9.3)
6. Если известны
точки пересечения прямой L
с координатными осями, т. е. точки M0(a,
0) и M1(0,
b),
то справедливо уравнение
«в отрезках»:
7. Положение прямой
на плоскости однозначно определено и
в случае, когда задан ненулевой нормальный
вектор
этой прямой и точкаУсловие перпендикулярности векторовпозволяет перейти к векторному уравнению
и затем к его
координатной форме:
или
(9.4)
где
Уравнение (9.4)
называется общим
уравнением прямой
L.
8. Если в качестве
нормального вектора берется единичный
вектор
направленный из начала координат в
сторону прямой, т. е.
то справедливо
нормальное
уравнение
прямой L
на плоскости:
где
– расстояние от начала координат до
прямой.
Величина
δ(M0,
L)
= x0cos α
+ y0cos β
– p,
где
называется отклонением точки М0
от прямой L.
При этом δ
< 0, если точки M0
и O(0,
0) лежат по одну сторону от прямой L,
δ
> 0 – если по разные. Расстояние d(M0,
L)
от точки до прямой равно абсолютному
значению отклонения.
От общего уравнения
прямой к нормальному можно перейти с
помощью умножения на нормирующий
множитель:
где
Расстояние от
точки M0(x0,
y0)
до прямой L:
Ax
+ By
+ C
= 0 может быть
найдено по формуле
(9.5)
Угол между прямыми
легко найти с помощью косинуса угла
между их направляющими или нормальными
векторами, а также по формуле
где k1
и k2
– угловые коэффициенты прямых.
При этом возможны
частные случаи:
Здесь L1
и L2
– прямые на плоскости, для которых
– угловые коэффициенты соответственно
прямыхи
В полярной системе
координат уравнение прямой имеет вид
ρcos(φ
– φ0)
= p,
где p
– длина перпендикуляра, проведенного
из полюса к прямой, φ0
– угол между полярной осью и перпендикуляром.
Пример 1.
Даны вершины треугольника ABC:
A(1, 2),
B(–1, –3),
C(2, –1).
Найти:
1) уравнение прямой
BC;
2) уравнение высоты
AH
и ее длину;
3) уравнение медианы
BM;
4) угол между прямыми
BM
и AH;
5) уравнения
биссектрис внутреннего и внешнего углов
при вершине А.
Решение.
1) Для составления уравнения прямой BC
воспользуемся заданными координатами
точек B,
C
и уравнением прямой (9.3), проходящей
через две заданные точки. Так как B(–1,
–3), C(2,
–1), имеем:
Последнее уравнение
приведем к общему уравнению, использовав
основное свойство пропорции:
2(x
+ 1) = 3(y
+ 3) или 2x
– 3y
– 7 = 0.
Таким образом,
окончательно получаем:
ВС:
2x
– 3y
– 7 = 0.
2) Для построения
уравнения высоты АН
воспользуемся условием перпендикулярности
прямых AH
и ВС:
нормальным вектором прямой ВС
является
,
т. е.Этот вектор можно рассматривать как
направляющий вектор прямойАН.
Следовательно, каноническое уравнение
прямой AH
согласно формуле (9.2) имеет вид:
(9.6)
где А(1,
2)АН.
В общем виде получим
АН:
3х
+ 2у
– 7 = 0.
Чтобы найти длину
высотыАВС,
опущенной из вершины А,
воспользуемся формулой расстояния
(9.5):
3) Для составления
уравнения медианы ВМ
найдем координаты точки М,
являющейся серединой отрезка AC:
Получим M(3/2,
1/2). Запишем уравнение прямой BM
по двум известным точкам B(–1,
–3) и
используя формулу (9.3):
Приведя его к
общему уравнению, получим:
ВМ:
7x
– 5y
– 8 = 0.
4) Угол φ
между прямыми BM
и AH
найдем, используя угол между их нормальными
векторами:
Получаем
5) Пусть точка M(x,
y)
лежит на биссектрисе угла BАС.
Тогда по свойству биссектрисы d(M,
AB)
= d(M,
AC).
Запишем уравнения прямых АВ
и
АС. Имеем:
Следовательно,
Аналогично
т. е.
Используем формулу
расстояния (9.5):
Следовательно,
По основному
свойству пропорции и свойству модуля
имеем:
Итак, получили две
биссектрисы (внутреннего и внешнего
углов при вершине А):
Пример 2.
Даны две точки A(–3,
и B(2,
2). На оси Ox
найти такую точку M,
сумма расстояний от которой до двух
заданных точек была бы наименьшей.
Решение.
Воспользуемся утверждением, смысл
которого состоит в следующем: наименьший
путь между двумя точками достигается
в случае движения по прямой. Тогда задача
будет заключаться в поиске точки
пересечения прямой AB
(рис. 9.1) с осью Ox,
где B
– точка, симметричная точке В
относительно оси Ox
(или в нахождении точки пересечения
прямой AB
с осью Ox,
где A
– точка, симметричная точке А
относительно оси Ox).
Рис. 9.1
Точки B(2,
–2) и A(–3,
определяют прямую AB:
т. е.
или
Значит, для
нахождения координат искомой точки М
осталось решить систему уравнений:
Решаем ее:
Итак, точка М(1,
0) является искомой.
Задания
Соседние файлы в папке Часть 2
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
1) Зная координаты вершин Можем узнать координаты вектора BC (2-3; -3-1) = BC(-1; -4)
Прямая проходящая через точку A должна идти коллинеарно вектору BC, то есть
(х-0) = k•(-1)
(y-4) = k•(-4)
откуда получаем -х=k и -y/4 +1 = k, приравниваем k
-x = -y/4 + 1 или
4x — y = -4
2) Медиана треугольника приходит в середину противоположной стороны. То есть в точку М — середина AС. Её координаты х = (0+2)/2 = 1; y = (4+(-3))/2 = 0,5; M(1; 0,5)
Получаем медиана идет из точки B в направлении вектора MB (3-1; 1-0,5) = MB (2; 0,5)
Получаем (x-3)/2 = (y-1)/0,5
0,5х — 1,5 = 2y — 2
x — 4y = -1
3) Высота из вершины С перпендикулярна стороне AB. То есть Вектора AB и CH ортогональны и их скалярное произведение = 0
AB (3-0; 1-4) = AB(3; -3)
CH (x-2; y-(-3))
<AB•СH> = 3•(х-2) + (-3)•(y+3) = 0
3x-6 — 3y — 9 = 0
x-y = 5 — получили уравнение прямой высоты CH
Уравнение прямой AB: (х-0)/3 = (y-4)/(-3)
x+y = 4
Точка Н — пересечение этих двух прямых:
Решая систему уравнений подстановкой, находим х=4,5; y=-0,5
CH (4,5-2; -0,5+3) = CH(2,5; 2,5)
|CH| = √(2,5² + 2,5²) = 2,5•√2
Ответ:
1) 4x — y = -4;
2) x — 4y = -1;
3) 2,5•√2
Лучший ответ
|
|