Как найти уравнение прямой параллельной другой - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Как составить уравнение прямой параллельной данной прямой и проходящей через данную точку?

Пусть y = k₁x+b₁ — данная прямая. С учётом условия параллельности прямых уравнение прямой, параллельной данной, имеет вид y = k₁x+b₂.

Так как эта прямая проходит через точку M(x_o; y_o), то её координаты удовлетворяют уравнению прямой. Подставив в уравнение x_o и y_o, мы найдем b:

y_o= k₁∙x_o+ b₂, откуда b₂= y_o— k₁∙x_o.

Примеры.

1) Составить уравнение прямой, которая проходит через точку A(4;21) и параллельна прямой y=3x-8.

Решение:

Так как угловые коэффициенты у параллельных прямых равны, то k₂=k₁=3 и уравнение прямой, параллельной прямой y=3x-8, имеет вид y=3x+b. Так как искомая прямая проходит через точку A(4;21), подставляем в уравнение прямой координаты A (x=4; y=21):

21=3·4+b, откуда находим b: b= 21-12= 9.

Итак, уравнение прямой, параллельной прямой y=3x-8, проходящей через точку A(4;21) — y=3x+9.

Ответ: y=3x+9.

2) Написать уравнение прямой, параллельной прямой x=5, проходящей через точку B(-3; 5).

Решение:

Так как прямая x=5 параллельна оси Oy, то и параллельная ей прямая также параллельна Oy, а значит, уравнение этой прямой имеет вид x=a.

Так как эта прямая проходит через точку B(-3; 5), то её абсцисса удовлетворяет уравнению прямой: a= -3.

Итак, уравнение прямой, параллельной прямой x=5 и проходящей через точку B(-3; 5) — x= -3.

Ответ: x= -3.

3) Написать уравнение прямой, параллельной прямой y= -11, проходящей через точку K(2; 4).

Решение:

Так как прямая y= -11 параллельна оси Ox, то и параллельная ей прямая также параллельна оси Ox. Поэтому уравнение прямой имеет вид y=b.

Поскольку эта прямая проходит через точку K(2; 4), то её ордината удовлетворяет уравнению прямой: b=4.

Уравнение прямой, параллельной прямой y= -11 и проходящей через точку K(2; 4) — y=4.

Ответ: y=4.

Источник

Уравнение прямой, проходящей через заданную точку параллельно заданной прямой.

Эта статья является развернутым ответом на вопрос: «Как составить уравнение прямой, проходящей через заданную точку плоскости параллельно заданной прямой»? Сначала приведена необходимая теория, после чего разобраны решения характерных задач. В заключении разобрано нахождение уравнений прямой, проходящей через заданную точку трехмерного пространства параллельно заданной прямой.

Навигация по странице.

Уравнение прямой, проходящей через заданную точку плоскости параллельно заданной прямой.

Чтобы составление уравнения прямой, проходящей через заданную точку плоскости параллельно заданной прямой, не вызвало затруднений, вспомним важные факты.

Аксиома параллельных прямых гласит: на плоскости через точку, не лежащую на заданной прямой, проходит единственная прямая, параллельная данной. Таким образом, мы можем определить конкретную прямую a на плоскости, указав прямую линию b , которой параллельна прямая a , и точку М₁ , не лежащую на прямой b , через которую проходит прямая a .

Поставим перед собой следующую задачу.

Пусть на плоскости зафиксирована прямоугольная декартова система координат Oxy . Пусть в этой системе координат задана точка и прямая b , которой соответствует некоторое уравнение прямой на плоскости. Требуется написать уравнение прямой a , которая проходит через точку М₁ и параллельна прямой b .

Решим поставленную задачу.

Из условия мы знаем координаты точки М₁ , через которую проходит прямая a . Этих данных не достаточно, чтобы написать уравнение прямой a .

Нам еще нужно знать

Как же их найти?

По условию прямая a параллельна прямой b , тогда, на основании необходимого и достаточного условия параллельности двух прямых на плоскости, в качестве направляющего вектора прямой a мы можем принять направляющий вектор прямой b , в качестве нормального вектора прямой a мы можем взять нормальный вектор прямой b , а угловой коэффициент прямой a равен угловому коэффициенту прямой b (или они оба бесконечны).

Таким образом, чтобы в прямоугольной системе координат на плоскости написать уравнение прямой a , проходящей через заданную точку параллельно заданной прямой b , нужно определить

или координаты направляющего вектора прямой b (),
или координаты нормального вектора прямой b (),
или угловой коэффициент прямой b (),

принять их соответственно в качестве

координат направляющего вектора прямой a (),
координат нормального вектора прямой a (),
углового коэффициента прямой a (),

и записать требуемое уравнение прямой a соответственно в виде

или ,
,
.

Внесем ясности – приведем примеры с подробными решениями на каждый случай.

Напишите уравнение прямой, которая в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости проходит через точку параллельно прямой .

Из параметрических уравнений прямой нам сразу видны координаты ее направляющего вектора . Этот вектор является направляющим вектором прямой, уравнение которой нам требуется составить. Уравнение прямой, проходящей через точку и имеющей направляющий вектор с координатами , имеет вид .

Это и есть искомые уравнения прямой, проходящей через заданную точку параллельно заданной прямой .

Иногда требуется составить уравнение прямой определенного вида, проходящей через заданную точку плоскости параллельно заданной прямой. В этом случае сначала записываем уравнение прямой, которое проще всего получить, после чего приводим его к нужному виду.

Составьте уравнение прямой в отрезках, если эта прямая в прямоугольной системе координат Oxy проходит через точку плоскости с координатами параллельно прямой .

Очевидно, нормальным вектором прямой, общее уравнение которой имеет вид , является вектор . Этот вектор также является нормальным вектором прямой, уравнение которой мы ищем. Общее уравнение прямой, проходящей через точку с координатами и имеющей нормальный вектор имеет вид . Это общее уравнение прямой, проходящей через точку с координатами параллельно прямой . Осталось перейти от полученного уравнения прямой к требуемому уравнению прямой в отрезках: .

Напишите уравнение прямой, которая в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости проходит через точку и параллельна прямой .

Мы знаем, что угловые коэффициенты параллельных прямых равны (или бесконечны), тогда — угловой коэффициент прямой, уравнение которой нам требуется составить. По условию эта прямая проходит через точку , следовательно, ее уравнение имеет вид .

Итак, уравнение прямой a , проходящей через заданную точку плоскости M₁ параллельно заданной прямой b , проще всего записывать в таком виде, в котором записано уравнение заданной прямой b .

Уравнения прямой, проходящей через заданную точку пространства параллельно заданной прямой.

В трехмерном пространстве через точку М₁ , не лежащую на прямой b , проходит единственная прямая a , параллельная прямой b . Таким образом, прямую в пространстве можно задать, указав точку, через которую она проходит, и прямую, которой она параллельна.

Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz , задана прямая b некоторыми уравнениями прямой в пространстве и точка . Требуется написать уравнения прямой a , проходящей через точку M₁ параллельно прямой b .

Направляющим вектором прямой a является направляющий вектор прямой b . Таким образом, по известным уравнениям прямой b мы можем определить координаты ее направляющего вектора, а, следовательно, и координаты направляющего вектора прямой a . После этого мы можем записать канонические уравнения прямой a в пространстве и параметрические уравнения прямой a в пространстве, так как известны координаты точки, лежащей на прямой a , и координаты направляющего вектора прямой a .

Рассмотрим решения примеров.

Напишите уравнения прямой, которая проходит через начало прямоугольной системы координат Oxyz в трехмерном пространстве параллельно прямой .

Очевидно, направляющим вектором прямой является вектор с координатами . Этот же вектор является направляющим вектором прямой, уравнение которой мы составляем. По условию эта прямая проходит через точку , следовательно, ее канонические уравнения имеют вид .

От канонических уравнений прямой a при необходимости можно будет перейти к уравнениям двух плоскостей, пересекающихся по прямой a .

В трехмерном пространстве в прямоугольной системе координат Oxyz заданы три точки . Напишите уравнения двух плоскостей, которые пересекаются по прямой, проходящей через точку С параллельно прямой АВ .

Направляющим вектором прямой, проходящей через точку С параллельно прямой АВ , является вектор . По координатам точек В и А мы можем вычислить координаты вектора (при необходимости смотрите статью вычисление координат вектора по координатам точек конца и начала вектора): . Канонические уравнения прямой, проходящей через точку и имеющей направляющий вектор , запишутся как .

Осталось получить уравнения двух пересекающихся плоскостей, задающих эту прямую:

Уравнение параллельной прямой

Как составить уравнение прямой параллельной данной прямой и проходящей через данную точку?

1) Составить уравнение прямой, которая проходит через точку A(4;21) и параллельна прямой y=3x-8.

21=3·4+b, откуда находим b: b= 21-12= 9.

Итак, уравнение прямой, параллельной прямой y=3x-8, проходящей через точку A(4;21) — y=3x+9.

2) Написать уравнение прямой, параллельной прямой x=5, проходящей через точку B(-3; 5).

Так как эта прямая проходит через точку B(-3; 5), то её абсцисса удовлетворяет уравнению прямой: a= -3.

Итак, уравнение прямой, параллельной прямой x=5 и проходящей через точку B(-3; 5) — x= -3.

3) Написать уравнение прямой, параллельной прямой y= -11, проходящей через точку K(2; 4).

Поскольку эта прямая проходит через точку K(2; 4), то её ордината удовлетворяет уравнению прямой: b=4.

Уравнение прямой, параллельной прямой y= -11 и проходящей через точку K(2; 4) — y=4.

Уравнение параллельной прямой

Альтернативная формула:
Прямая, проходящая через точку M₁(x₁; y₁) и параллельная прямой Ax+By+C=0 , представляется уравнением

назначение сервиса . Онлайн-калькулятор предназначен для составления уравнения параллельной прямой (см. также как составить уравнение перпендикулярной прямой).

Пример №2 . Написать уравнение прямой, параллельной прямой 2x + 5y = 0 и образующей вместе с осями координат треугольник, площадь которого равна 5.
Решение. Так как прямые параллельны, то уравнение искомой прямой 2x + 5y + C = 0. Площадь прямоугольного треугольника , где a и b его катеты. Найдем точки пересечения искомой прямой с осями координат:
;
.
Итак, A(-C/2,0), B(0,-C/5). Подставим в формулу для площади: . Получаем два решения: 2x + 5y + 10 = 0 и 2x + 5y – 10 = 0 .

Пример №3 . Составить уравнение прямой, проходящей через точку (-2; 5) и параллельной прямой 5x-7y-4=0 .
Решение. Данную прямую можно представить уравнением y = 5 /₇x – 4 /₇ (здесь a = 5 /₇). Уравнение искомой прямой есть y – 5 = 5 / 7(x – (-2)), т.е. 7(y-5)=5(x+2) или 5x-7y+45=0 .

Пример №4 . Решив пример 3 (A=5, B=-7) по формуле (2), найдем 5(x+2)-7(y-5)=0.

Пример №5 . Составить уравнение прямой, проходящей через точку (-2;5) и параллельной прямой 7x+10=0.
Решение. Здесь A=7, B=0. Формула (2) дает 7(x+2)=0, т.е. x+2=0. Формула (1) неприменима, так как данное уравнение нельзя разрешить относительно y (данная прямая параллельна оси ординат).

источники:

Уравнение параллельной прямой

http://math.semestr.ru/line/parallel.php

Источник

Загрузить PDF

Параллельными прямыми называются прямые, которые лежат в одной плоскости и никогда не пересекаются (на протяжении бесконечности).^[1] У параллельных прямых одинаковый угловой коэффициент.^[2] Угловой коэффициент равен тангенсу угла наклона прямой к оси абсцисс, а именно отношению изменения координаты y к изменению координаты х.^[3] Зачастую параллельные прямые обозначаются значком «ll». Например, запись ABllCD означает, что прямая АВ параллельна прямой CD.

1
Запишите формулу для вычисления углового коэффициента. Формула имеет вид k = (y₂ — y₁)/(x₂ — x₁), где x и y — координаты двух точек (любых), лежащих на прямой. Координаты первой точки, которая находится ближе к началу координат, обозначьте как (x₁, y₁); координаты второй точки, которая находится дальше от начала координат, обозначьте как (x₂, y₂).^[4]
- Приведенную формулу можно сформулировать так: отношение вертикального расстояния (между двумя точками) к горизонтальному расстоянию (между двумя точками).
- Если прямая возрастает (направлена вверх), ее угловой коэффициент положительный.
- Если прямая убывает (направлена вниз), ее угловой коэффициент отрицательный.
2
Определите координаты двух точек, которые лежат на каждой прямой. Координаты точек записываются в виде (х,у), где х — координата по оси Х (оси абсцисс), y — координата по оси Y (оси ординат). Чтобы вычислить угловой коэффициент, отметьте по две точки на каждой прямой.^[5]
- Точки легко отметить, если прямые нарисовать на координатной плоскости.
- Чтобы определить координаты точки, проведите от нее перпендикуляры (пунктиром) к каждой оси. Точка пересечения пунктирной линии с осью Х — это координата х, а точка пересечения с осью Y — координата у.
- Например: на прямой l лежат точки с координатами (1, 5) и (-2, 4), а на прямой r — точки с координатами (3, 3) и (1,-4).
3
Подставьте координаты точек в формулу. Затем вычтите соответствующие координаты и найдите отношение полученных результатов. При подстановке координат в формулу не перепутайте их порядок.
- Вычисление углового коэффициента прямой l: k = (5 — (-4))/(1 — (-2))
- Вычитание: k = 9/3
- Деление: k = 3
- Вычисление углового коэффициента прямой r: k = (3 — (-4))/(3 — 1) = 7/2
4
Сравните угловые коэффициенты. Помните, что у параллельных прямых угловые коэффициенты равны. На рисунке прямые могут казаться параллельными, но если угловые коэффициента не равны, такие прямые не параллельны друг другу.^[6]
- В нашем примере 3 не равно 7/2, поэтому данные прямые не являются параллельными.
Реклама

1
Запишите линейное уравнение. Линейное уравнение имеет вид y = kx + b, где k — угловой коэффициент, b — координата у точки пересечения прямой с осью Y, х и у — переменные, определяемые координатами точек, которые лежат на прямой. По этой формуле можно с легкостью вычислить угловой коэффициент k.^[7]
- Например: представьте уравнения 4y — 12x = 20 и у = 3x -1 в форме линейного уравнения. Уравнение 4y — 12x = 20 нужно представить в требуемой форме, а вот уравнение у = 3x — 1 уже записано как линейное уравнение.
2
Перепишите уравнение в виде линейного уравнения. Иногда дается уравнение, которое не представлено в форме линейного уравнения. Чтобы переписать такое уравнение, нужно выполнить ряд несложных математических операций.
- Например: перепишите уравнение 4y — 12x = 20 в форме линейного уравнения.
- К обеим сторонам уравнения прибавьте 12x: 4y — 12x + 12x = 20 + 12x
- Обе стороны уравнения разделите на 4, чтобы обособить у: 4y/4 = 12х/4 +20/4
- Уравнение в виде линейного: у = 3x + 5
3
Сравните угловые коэффициенты. Помните, что у параллельных прямых угловые коэффициенты равны. При помощи уравнения y = kx + b, где k — угловой коэффициент, можно найти и сравнить угловые коэффициенты двух прямых.
- В нашем примере первая прямая описывается уравнением у = 3x + 5, поэтому угловой коэффициент равен 3. Вторая прямая описывается уравнением у = 3x — 1, поэтому угловой коэффициент тоже равен 3. Так как угловые коэффициенты равны, данные прямые параллельны.
- Обратите внимание, что если у прямых с равным угловым коэффициентом коэффициент b (координата у точки пересечения прямой с осью Y) тоже одинаковый, такие прямые совпадают, а не являются параллельными.^[8]
Реклама

1
Запишите уравнение. Следующее уравнение позволит найти уравнение параллельной (второй) прямой, если дано уравнение первой прямой и координаты точки, которая лежит на искомой параллельной (второй) прямой: y — y₁= k(x — x₁), где k — угловой коэффициент, x₁ и y₁ — координаты точки, лежащей на искомой прямой, х и у — переменные, определяемые координатами точек, которые лежат на первой прямой.^[9]
- Например: найдите уравнение прямой, которая параллельна прямой у = -4x + 3 и которая проходит через точку с координатами (1, -2).
2
Определите угловой коэффициент данной (первой) прямой. Чтобы найти уравнение параллельной (второй) прямой, сначала нужно определить ее угловой коэффициент. Убедитесь, что уравнение дано в форме линейного уравнения, а затем найдите значение углового коэффициента k.
- Вторая прямая должна быть параллельной данной прямой, которая описывается уравнением у = -4x + 3. В этом уравнении k = -4, поэтому у второй прямой будет такой же угловой коэффициент.
3
В представленное уравнение подставьте координаты точки, которая лежит на второй прямой. Этот метод применим только в том случае, если даны координаты точки, лежащая на второй прямой, уравнение которой нужно найти. Не перепутайте координаты такой точки с координатами точки, которая лежит на данной (первой) прямой. Помните, что если у прямых с равным угловым коэффициентом коэффициент b (координата у точки пересечения прямой с осью Y) тоже одинаковый, такие прямые совпадают, а не являются параллельными.
- В нашем примере точка, лежащая на второй прямой, имеет координаты (1, -2).
4
Запишите уравнение второй прямой. Для этого известные значения подставьте в уравнение y — y₁= k(x — x₁). Подставьте найденный угловой коэффициент и координаты точки, лежащей на второй прямой.
- В нашем примере k = -4, а координаты точки (1, -2): у — (-2) = -4(х — 1)
5
Упростите уравнение. Упростите уравнение и запишите его в виде линейного уравнения. Если нарисовать вторую прямую на координатной плоскости, она будет параллельна данной (первой) прямой.
- Например: у — (-2) = -4(х — 1)
- Два минуса дают плюс: ‘у + 2 = -4(х -1)’
- Раскройте скобки: у + 2 = -4x + 4
- Из обеих сторон уравнения вычтите -2: у + 2 — 2 = -4x + 4 — 2
- Упрощенное уравнение: у = -4x + 2
Реклама

Об этой статье

Эту страницу просматривали 53 048 раз.

Была ли эта статья полезной?

Источник

Как построить прямую, параллельную данной?

Пример

Прямая
задана уравнением
.
Составить уравнение параллельной
прямой, которая проходит через точку
.

Решение:
Обозначим неизвестную прямую буквой
.

Прямая
проходит
через точку
.
А если прямые параллельны, то очевидно,
что направляющий вектор прямой c
подойдёт и для
построения прямой d.

Направляющий
вектор берем из уравнения
:

Уравнение
прямой
составим
по точке
и
направляющему вектору
:

Ответ:

Иллюстрация
примера:

Как найти точку пересечения двух прямых?

Если
прямые
пересекаются
в точке
,
то её координаты являются решением
СЛАУ:

Как
найти точку пересечения прямых? Решить
систему.

Геометрический
смысл системы двух линейных уравнений
с двумя неизвестными –
это две пересекающиеся (чаще всего)
прямые на плоскости.

Пример

Найти
точку пересечения прямых

Решение:
Существуют два способа решения –
графический и аналитический.

Графический
способ состоит в том, чтобы просто
начертить данные прямые и узнать точку
пересечения непосредственно из
чертежа:

Получилась
точка
.
Для проверки следует подставить её
координаты в каждое уравнение прямой,
они должны подойти и там, и там. Иными
словами, координаты точки
являются
решением системы
.

Точку
пересечения
целесообразнее
искать аналитическим методом. Решим
систему:

Ответ:

Как построить прямую, перпендикулярную данной?

Пример

Прямая
задана уравнением
.
Составить уравнение перпендикулярной
прямой
,
проходящей через точку
.

Решение:
По условию известно, что
.
Надо найти направляющий вектор прямой

Из
уравнения
находим
вектор нормали:
,
который будет направляющим вектором
прямой
.

Уравнение
прямой
составим
по точке
и
направляющему вектору
:

Ответ:

Расстояние от точки до прямой

Расстояние
от точки до прямой – это длина
перпендикулярного отрезка.

Расстояние
в геометрии традиционно обозначают
греческой буквой «ро», например:
–
расстояние от точки «эм» до прямой «дэ».

Расстояние
от точки
до
прямой
выражается
формулой

Пример

Найти
расстояние от точки
до
прямой

Решение:

Ответ:

Как найти угол между двумя прямыми?

Существуют
две формулы.

Первый
способ.

Рассмотрим
две прямые, заданные уравнениями в общем
виде:

Если
прямые не
перпендикулярны, то
угол
между
ними можно вычислить с помощью формулы:

Рассмотрим
знаменатель – это скалярное произведение
направляющих векторов прямых:

Если
,
то знаменатель формулы обращается в
ноль, а векторы будут ортогональны и
прямые перпендикулярны. Именно поэтому
сделана оговорка о неперпендикулярности
прямых в формулировке.

Второй
способ.

Если
прямые заданы уравнениями с угловым
коэффициентом
и не
перпендикулярны,
то угол
между
ними можно найти с помощью формулы:

Условие
перпендикулярности прямых выражается
равенством
,
откуда следует полезная взаимосвязь
угловых коэффициентов перпендикулярных
прямых:
,
которая используется в некоторых
задачах.

Пример

Найти
угол между прямыми

Решение первым
способом

Решение
удобно оформить в два этапа:

1)
Вычислим скалярное произведение
направляющих векторов прямых:

,
значит, прямые не перпендикулярны.

2)
Угол между прямыми найдём по формуле:

С
помощью обратной функции легко найти
и сам угол. При этом используем нечётность
арктангенса:

Ответ:

Решение
вторым способом

Алгоритм
решения похож на предыдущий пункт. Но
сначала перепишем прямые в нужном
виде:

Таким
образом, угловые коэффициенты:

1)
Проверим, будут ли прямые перпендикулярны:

,
значит, прямые не перпендикулярны.

2)
Используем формулу:

Ответ:

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

2.5.2. Как найти прямую, параллельную данной?

За незнание этой простейшей задачи сурово наказывает Соловей-Разбойник.

Задача 75

Прямая задана уравнением . Составить уравнение параллельной прямой, которая

проходит через точку .

Решение: обозначим неизвестную прямую буквой . Что о ней

сказано в условии? Прямая проходит через точку . А если прямые параллельны, то очевидно, что направляющий вектор прямой «цэ» подойдёт и для

построения прямой «дэ».

Вытаскиваем направляющий вектор из уравнения :

Уравнение искомой прямой составим по точке и направляющему вектору :

Ответ:

Геометрия задачи выглядит незатейливо:

Аналитическая же проверка состоит в следующих шагах:

1) Проверяем, что у прямых один и тот же направляющий вектор (если

уравнения не упрощены должным образом, то векторы будут коллинеарны). Да что тут векторы?! – посмотрим на коэффициенты:
– параллельность прямых понятна без всякого чертежа!

2) Проверяем, удовлетворяет ли точка полученному уравнению . И это тоже устный пункт!

Примеры для самостоятельного решения сегодня будут творческими. Потому что вам ещё придётся тягаться с Бабой-Ягой, а она, знаете, любительница

всяких загадок.

Задача 76

Составить уравнение прямой, проходящей через точку , параллельную прямой , если

Существует рациональный и не очень рациональный способ решения. Самый короткий путь в конце книги.

С параллельными прямыми немного поработали и к ним ещё вернёмся. Случай совпадающих прямых малоинтересен, поэтому перейдём к задаче, которая

хорошо знакома вам из школьной программы:

2.5.3. Как найти точку пересечения прямых?

2.5.1. Взаимное расположение двух прямых

| Оглавление |

Автор: Aлeксaндр Eмeлин

Источник