Как найти уравнение прямой проходящей через точки

Получить уравнение прямой, проходящей через две точки помогут созданные нами калькуляторы. Предлагаем найти каноническое и параметрическое уравнение прямой, а также уравнение прямой с угловым коэффициентом как на плоскости, так и в пространстве.

Прямая — это бесконечная линия, по которой проходит кратчайший путь между любыми двумя её точками.

Уравнения прямой, проходящей через две точки могут быть следующих видов:

  • каноническое уравнение,
  • параметрическое уравнение,
  • общее уравнение прямой,
  • уравнение прямой с угловым коэффициентом,
  • уравнение прямой в полярных координатах и другие.

Для получения уравнений введите координаты двух точек прямой. Онлайн-калькулятор найдет уравнения и выдаст результат с подробным решением.

Каноническое уравнение прямой на плоскости

{dfrac{x-x_a}{x_b-x_a} = dfrac{y-y_a}{y_b-y_a}}

xa и ya — координаты первой точки A,

xb и yb — координаты второй точки B

Параметрическое уравнение прямой на плоскости

{begin{cases} x=l cdot t + x_a \ y=m cdot t + y_a end{cases}}

xa, ya — координаты точки, лежащей на прямой,

{l;m} — координаты направляющего вектора прямой,

t — произвольный параметр, аналогичный параметру в векторно-параметрическом уравнении.

Каноническое уравнение прямой в пространстве

{dfrac{x-x_a}{x_b-x_a} = dfrac{y-y_a}{y_b-y_a} = dfrac{z-z_a}{z_b-z_a}}

xa, ya и za — координаты первой точки A,

xb, yb и zb — координаты второй точки B

Параметрическое уравнение прямой в пространстве

{ begin{cases} x=l cdot t + x_a \ y=m cdot t + y_a \ z=n cdot t + z_a end{cases} }

xa, ya и za — координаты точки, лежащей на прямой,

{l;m;n} — координаты направляющего вектора прямой,

t — произвольный параметр, аналогичный параметру в векторно-параметрическом уравнении.

Пример нахождения уравнения прямой, проходящей через две точки

Найдем уравнения прямой, проходящей через точки A(1,2) и B(3,8).

Каноническое уравнение прямой

Каноническое уравнение прямой, проходящей через две точки имеет вид {dfrac{x-x_a}{x_b-x_a} = dfrac{y-y_a}{y_b-y_a}}

Подставим в формулу координаты точек A и B: {dfrac{x-1}{3-1} = dfrac{y-2}{8-2}}

Получаем каноническое уравнение прямой: {dfrac{x-1}{2} = dfrac{y-2}{4}}

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Из канонического уравнения получаем уравнение прямой с угловым коэффициентом: {y=3x-1}

Параметрическое уравнение прямой

Параметрическое уравнение прямой имеет вид:

{ begin{cases} x=l cdot t + x_a \ y=m cdot t + y_a end{cases} }

где {x_a, y_b} — координаты точки, лежащей на прямой, {{l;m}} — координаты направляющего вектора прямой, t — произвольный параметр, аналогичный параметру в векторно-параметрическом уравнении. В качестве координат используем координаты точки {A(x_a, y_b)}.

Найдем координаты направляющего вектора:

overline{AB} = {x_b — x_a; y_b — y_a} = {3-1; 8-2} = {2; 6}

Получаем параметрическое уравнение:

begin{cases} x=2 t + 1 \ y=6 t + 2 end{cases}

Используем калькулятор для проверки полученного ответа.

Источник

Прямая имеет несколько видов задающих ее уравнений. Рассмотрим некоторые из них и разберем примеры.

Здесь будет калькулятор

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

y=kx+by=kx+b,

где kk — угловой коэффициент, а bb — свободный коэффициент.

Уравнения данного вида составляются следующим образом по формуле:

y−y0=k(x−x0)y-y_0=k(x-x_0),

где (x0;y0)(x_0; y_0) — координаты любой точки, лежащей на данной прямой.

Задача 1

Составить уравнение прямой, если координаты точки, принадлежащей данной прямой, таковы: x0=1,y0=2x_0=1, y_0=2. Угловой коэффициент принять равным 11.

Решение

Подставляем значения в формулу:

y−y0=k(x−x0)y-y_0=k(x-x_0)

y−2=1⋅(x−1)y-2=1cdot(x-1)

Приводим подобные слагаемые:

y=x+1y=x+1

Ответ

y=x+1y=x+1

Общее уравнение прямой

Для приведения прямой к такому виду из предыдущего вида достаточно просто перенести все слагаемые в одну часть. Возьмем уравнение прямой из предыдущей задачи y=x+1y=x+1. Тогда общее уравнение этой прямой запишется в виде:

y−x−1=0y-x-1=0

Уравнение прямой по двум точкам

Если в задаче даны координаты двух точек и необходимо составить уравнение прямой, то это делается при помощи такой формулы:

Уравнение прямой по двум точкам

x−x2x1−x2=y−y2y1−y2frac{x-x_2}{x_1-x_2}=frac{y-y_2}{y_1-y_2},

где (x1;y1),(x2;y2)(x_1; y_1), (x_2; y_2) — координаты двух точек, через которые проходит данная прямая.

Задача 2

Найти уравнение прямой, если координаты точек имеют значения: (2;3)(2;3) и (4;−1)(4;-1).

Решение

x1=2x_1=2
y1=3y_1=3
x2=4x_2=4
y2=−1y_2=-1

x−x2x1−x2=y−y2y1−y2frac{x-x_2}{x_1-x_2}=frac{y-y_2}{y_1-y_2}

x−42−4=y−(−1)3−(−1)frac{x-4}{2-4}=frac{y-(-1)}{3-(-1)}

x−4−2=y+14frac{x-4}{-2}=frac{y+1}{4}

x−4=−y−12x-4=frac{-y-1}{2}

y+1=2⋅(4−x)y+1=2cdot(4-x)

y=8−2x−1y=8-2x-1

y=−2x+7y=-2x+7

Ответ

y=−2x+7y=-2x+7

Уравнение прямой при помощи точки и вектора нормали

Уравнение прямой по точке и нормали

(x−x0)⋅n1+(y−y0)⋅n2=0(x-x_0)cdot n_1+(y-y_0)cdot n_2=0,

где (x0;y0)(x_0; y_0) — координаты точки, лежащей на данной прямой, а (n1;n2)(n_1; n_2) — координаты вектора нормали к этой прямой.

Задача 3

Составить уравнение прямой, если координаты нормального вектора — (1;−5)(1;-5), а точка, через которую проходит данная прямая имеет координаты (7;8)(7;8).

Решение

x0=7x_0=7
y0=8y_0=8
n1=1n_1=1
n2=−5n_2=-5

(x−x0)⋅n1+(y−y0)⋅n2=0(x-x_0)cdot n_1+(y-y_0)cdot n_2=0,

(x−7)⋅1+(y−8)⋅(−5)=0(x-7)cdot 1+(y-8)cdot (-5)=0,

x−7+40−5y=0x-7+40-5y=0

x−5y=−40+7x-5y=-40+7

x−5y=−33x-5y=-33

5y=x+335y=x+33

y=x5+335y=frac{x}{5}+frac{33}{5}

Проверка

Чтобы проверить правильность решения, достаточно подставить координаты точки в данное уравнение и, если оно будет верным, то задача решена верно.

8=75+3358=frac{7}{5}+frac{33}{5}

8=88=8 — верно, ответ правильный.

Ответ

y=x5+335y=frac{x}{5}+frac{33}{5}

Прямая в пространстве

Уравнение прямой, заданной в пространстве имеет такой вид:

Уравнение прямой в пространстве

x−x0ν1=y−y0ν2=z−z0ν3frac{x-x_0}{nu_1}=frac{y-y_0}{nu_2}=frac{z-z_0}{nu_3},

где (x0;y0;z0)(x_0;y_0;z_0) — координаты точки, через которую проходит прямая, а (ν1,ν2,ν3)(nu_1,nu_2,nu_3) — координаты напрявляющего вектора данной прямой.

Задача 4

Написать уравнение прямой по заданной точке (1;5;−23)(1;5;-23) и вектору направления (3;11;7)(3;11;7).

Решение

x0=1x_0=1
y0=5y_0=5
z0=−23z_0=-23
ν1=3nu_1=3
ν2=11nu_2=11
ν3=7nu_3=7

x−x0ν1=y−y0ν2=z−z0ν3frac{x-x_0}{nu_1}=frac{y-y_0}{nu_2}=frac{z-z_0}{nu_3}

x−13=y−511=z−(−23)7frac{x-1}{3}=frac{y-5}{11}=frac{z-(-23)}{7}

Проверка

Проверим, удовлетворяет ли это уравнение прямой точке (x0;y0;z0)(x_0;y_0;z_0). Для этого подставим в него координаты этой точки:

1−13=5−511=−23−(−23)7frac{1-1}{3}=frac{5-5}{11}=frac{-23-(-23)}{7} — верно, значит ответ правильный.

Такой вид уравнения прямой называется каноническим.

Ответ

x−13=y−511=z−(−23)7frac{x-1}{3}=frac{y-5}{11}=frac{z-(-23)}{7}

Тест по теме “Составление уравнения прямой”

Источник

Получить уравнение прямой по двум точкам бывает необходимо, когда мы решаем задачи, связанные с анализом различных фигур на плоскости. В этом случае бывает полезно знать уравнение прямой, проходящей через две точки. Например, составляя такое уравнение мы уже знаем – как проходит прямая, с какие углом наклона к осям координат и можем рассчитать расположение прямой по отношению к другим прямым или к фигурам.

Составляем уравнение прямой по двум точкам

Итак, пусть нам даны две точки A(x_1, y_1) и B(x_2, y_2). Наша прямая проходит через две эти точки, давайте получим уравнение этой прямой. Уравнение пучка прямых, проходящих через точку с координатами A(x_1, y_1) имеет вид:

    [y-y_1=k(x-x_1) eqno (1)]

То есть если прямая проходит через две точки A и B она – одна из этого пучка прямых, проходящих через точку A и эта прямая имеет определенный коэффициент k. Значит, координаты точки B должны удовлетворять уравнению (1), то есть

    [y_2-y_1=k(x_2-x_1) eqno (2)]

.

Находим из (2) k:

    [k=frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}]

и подставим в уравнение (1):

    [y-y_1=frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} (x-x_1) eqno (3)]

.

Преобразовывая уравнение (3) получим:

    [frac{y-y_1}{y_2-y_1}=frac{x-x_1}{x_2-x_1}]

Это и есть уравнение прямой, проходящей через две точки A(x_1, y_1) и B(x_2, y_2).

Примечание: если точки A и B лежат на прямой, которая параллельна оси Ox (y_2-y_1=0) или оси Oy x_2-x_1=0, то уравнение прямой будет иметь вид y=y_1 или x=x_1 соответственно.

Зная координаты любых двух точек прямой, мы всегда сможем определить угловой коэффициент прямой:

    [k=frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}]

Геометрический вывод уравнения прямой

Действительно, давайте нарисуем прямую в системе координат xOy и отметим на прямой две точки A и B, координаты которых известны A(x_1, y_1) и B(x_2, y_2) и отметим на этой прямой произвольную точку M(x,y).

К выводу уравнения прямой через две дочки

Из подобия треугольников AMD и ABC находим:

    [frac{DM}{CB}=frac{AD}{AC}]

Из рисунка видно, что:

    [DM=y-y_1]

    [CB=y_2-y_1]

    [AD=x-x_1]

    [AC=x_2-x_1]

,

Таким образом, получаем уравнение прямой по двум точкам:

    [frac{y-y_1}{y_2-y_1}=frac{x-x_1}{x_2-x_1}]

Задача

Составим уравнение прямой, проходящей через две точки A(1,2) и B(3,7).

Решение: Имеем x_1=1, x_2=3, y_1=2, y_2=7. Подставим эти значения в уравнение прямой, проходящей через две заданные точки:

    [frac{y-2}{7-2}=frac{x-1}{3-1}]

    [frac{y-2}{5}=frac{x-1}{2}]

Умножим левую и правую части уравнения на 5, получим:

y-2=frac{5x-5}{2}

y=2+2,5x-2,5

y=2,5x-0,5 – получившееся уравнение прямой.

Давайте сделаем проверку – если мы все решили правильно, то при подстановке координат точек A и B мы получим верное равенство. Итак, подставим сначала координаты точки A:

y_1=2,5x_1-0,5

2=2,5 cdot 1-0,5

2=2

Теперь координаты точки B:

y_2=2,5x_2-0,5

7=2,5 cdot 3-0,5

7=7

Значит, уравнение прямой мы нашли верно.

Ответ: y=2,5x-0,5

Условие прохождения прямой через три заданные точки

Если нам в задаче нужно убедиться, что три точки с заданными координатами лежат на одной прямой, можно рассуждать так:

  1. Если две точки с заданными координатами образуют прямую, то их координаты удовлетворяют уравнению прямой, проходящей через две точки.
  2. Если третья точка также лежит на этой прямой, то и ее координаты будут удовлетворять этому уравнению.

Таким образом, если нам даны три точки A(x_1, y_1), B(x_2, y_2) и C(x_3, y_3), лежащие на одной прямой, то их координаты будут удовлетворять условию:

    [frac{y_3-y_1}{y_2-y_1}=frac{x_3-x_1}{x_2-x_1}]

Теперь вы легко сможете составить уравнение прямой по двум точкам, а также найти угловой коэффициент прямой и проверить – принадлежит ли третья точка этой прямой.

Источник

Рассмотрим, как составить уравнение прямой, проходящей через две точки, на примерах.

Пример 1.

Составить уравнение прямой, проходящей через точки A(-3; 9) и B(2;-1).

Решение:

1 способ — составим уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид y=kx+b. Подставив координаты точек A и B в уравнение прямой (x= -3 и y=9 — в первом случае, x=2 и y= -1 — во втором), получаем систему уравнений, из которой находим значения k и b:

    [left{ begin{array}{l} 9 = k cdot ( - 3) + b;___left| { cdot ( - 1)} right. \ - 1 = k cdot 2 + b; \ end{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l} - 9 = 3k - b; \ - 1 = 2k + b; \ end{array} right.]

Сложив почленно 1-е и 2-е уравнения, получим: -10=5k, откуда k= -2. Подставив во второе уравнение k= -2, найдём b: -1=2·(-2)+b, b=3.

Таким образом, y= -2x+3 — искомое уравнение.

2 способ — составим общее уравнение прямой.

Общее уравнение прямой имеет вид ax+by+c=0. Подставив координаты точек A и B в уравнение, получаем систему:

    [left{ begin{array}{l} a cdot ( - 3) + b cdot 9 + c = 0; \ a cdot 2 + b cdot ( - 1) + c = 0; \ end{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l} - 3a + 9b + c = 0; \ 2a - b + c = 0. \ end{array} right.]

Поскольку количество неизвестных больше количества уравнений, система не разрешима. Но можно все переменные выразить через одну. Например, через b.

Умножив первое уравнение системы на -1 и сложив почленно со вторым:

    [left{ begin{array}{l} - 3a + 9b + c = 0;___left| { cdot ( - 1)} right. \ 2a - b + c = 0; \ end{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l} 3a - 9b - c = 0; \ 2a - b + c = 0; \ end{array} right.]

получим: 5a-10b=0. Отсюда a=2b.

Подставим полученное выражение во второе уравнение: 2·2b -b+c=0; 3b+c=0; c= -3b.
Подставляем a=2b, c= -3b в уравнение ax+by+c=0:

2bx+by-3b=0. Осталось разделить обе части на b:

2x+y-3=0.

Общее уравнение прямой легко приводится к уравнению прямой с угловым коэффициентом:

y= -2x+3.

3 способ — составим уравнение прямой, проходящей через 2 точки.

Уравнение прямой, проходящей через две точки, имеет вид:

    [frac{{y - y_1 }}{{y_2 - y_1 }} = frac{{x - x_1 }}{{x_2 - x_1 }}]

Подставим в это уравнение координаты точек A(-3; 9) и B(2;-1)

(то есть x1= -3, y1=9, x2=2, y2= -1):

    [frac{{y - 9}}{{ - 1 - 9}} = frac{{x - ( - 3)}}{{2 - ( - 3)}}]

и упростим:

    [frac{{y - 9}}{{ - 10}} = frac{{x + 3}}{5}, Rightarrow frac{{y - 9}}{{ - 2}} = frac{{x + 3}}{1}]

По основному свойству пропорции

    [- 2(x + 3) = 1(y - 9), Rightarrow - 2x - 6 = y - 9,]

откуда 2x+y-3=0.

В школьном курсе чаще всего используется уравнение прямой с угловым коэффициентом. Но самый простой способ — вывести и использовать формулу уравнения прямой, проходящей через две точки.

Замечание.

Если при подстановке координат заданных точек один из знаменателей уравнения

    [frac{{y - y_1 }}{{y_2 - y_1 }} = frac{{x - x_1 }}{{x_2 - x_1 }}]

окажется равным нулю, то искомое уравнение получается приравниваем к нулю соответствующего числителя.

Пример 2.

Составить уравнение прямой, проходящей через две точки C(5; -2) и D(7;-2).

Решение:

Подставляем  в уравнение прямой, проходящей через 2 точки, координаты точек C и D:

    [frac{{y - y_1 }}{{y_2 - y_1 }} = frac{{x - x_1 }}{{x_2 - x_1 }}, Rightarrow frac{{y - ( - 2)}}{{ - 2 - ( - 2)}} = frac{{x - 5}}{{7 - 5}},]

    [ frac{{y + 2}}{0} = frac{{x - 5}}{2}, Rightarrow y + 2 = 0, Rightarrow y = - 2.]

Пример 3.

Составить уравнение прямой, проходящей через точки M (7; 3) и N (7; 11).

Решение:

    [frac{{y - y_1 }}{{y_2 - y_1 }} = frac{{x - x_1 }}{{x_2 - x_1 }}, Rightarrow frac{{y - 3}}{{11 - 3}} = frac{{x - 7}}{{7 - 7}},]

    [frac{{y - 3}}{8} = frac{{x - 7}}{0}, Rightarrow x - 7 = 0, Rightarrow x = 7.]

Источник

Уравнение прямой, проходящей через две точки

Пусть
прямая проходит через точки М1
(х1;
у1)
и М2
(х2;
у2).
Уравнение прямой, проходящей через
точку М1,
имеет вид у— у1
= k
(х — х1),
(10.6)

где
k
— пока неизвестный коэффициент.

Так
как прямая проходит через точку М2(х2
у2),
то координаты этой точки должны
удовлетворять уравнению (10.6): у2—у1
= k
(х2—х1).

Отсюда
находим
Подставляя найденное значениеk
в уравнение (10.6), получим уравнение
прямой, проходящей через точки М1
и М2:

Предполагается,
что в этом уравнении х1
≠ х2,
у1
≠ у2

Если
х1
= х2,
то прямая, проходящая через точки М1
(х1
,уI)
и М2
(х2,у2)
параллельна оси ординат. Ее уравнение
имеет вид х
= х1.

Если
у2
= уI,
то уравнение прямой может быть записано
в виде у = у1,
прямая М1
М2
параллельна оси абсцисс.

Уравнение прямой в отрезках

Пусть
прямая пересекает ось Ох в точке М1(а;0),
а ось Оу – в точке М2(0;b).
Уравнение примет вид:
т.е..
Это уравнение называетсяуравнением
прямой в отрезках, т.к. числа а и b
указывают, какие отрезки отсекает прямая
на осях координат.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору

Найдем
уравнение прямой, проходящей через
заданную точку Мо (хО;
уо)
перпендикулярно данному ненулевому
вектор n = (А; В).

Возьмем
на прямой произвольную точку М(х; у) и
рассмотрим вектор М0М
(х — х0;
у — уо)
(см. рис.1). Поскольку векторы n и МоМ
перпендикулярны, то их скалярное
произведение равно нулю: то есть

А(х
— хо) + В(у — уо) = 0.
(10.8)

Уравнение
(10.8) называется уравнением
прямой, проходящей через заданную точку
перпендикулярно заданному вектору.

Вектор
n= (А; В), перпендикулярный прямой,
называется нормальным нормальным
вектором этой прямой.

Уравнение
(10.8) можно переписать в виде Ах
+ Ву + С =0,
(10.9)

где
А и В координаты нормального вектора,
С = —Ахо
— Вуо
— свободный член. Уравнение (10.9) есть
общее уравнение прямой
(см. рис.2).

Рис.1
Рис.2

Канонические уравнения прямой

,

Где
— координаты точки, через которую проходит
прямая, а— направляющий вектор.

Кривые второго порядка Окружность

Окружностью
называется множество всех точек
плоскости, равноотстоящих от данной
точки, которая называется центром.

Каноническое
уравнение круга радиуса R с
центром в точке
:

В частности, если
центр кола совпадает с началом координат,
то уравнение будет иметь вид:

Эллипс

Эллипсом
называется множество точек плоскости,
сумма расстояний от каждой из которых
до двух заданных точек и,
которые называются фокусами, есть
величина постоянная,
большая чем расстояние между фокусами.

x

Каноническое уравнение эллипса,
фокусы которого лежат на оси Ох, а начало
координат посредине между фокусами
имеет видгдеa длина большой полуоси; b– длина
малой полуоси (рис. 2).

Зависимость
между параметрами эллипса
ивыражается соотношением:

(4)

Эксцентриситетом
эллипса называется отношение
межфокусного расстояния 2с к
большой оси 2а:

Директрисами
эллипса называются прямые, параллельные
оси Оу, которые находятся от этой оси
на расстоянии.
Уравнения директрис:.

Если в уравнении
эллипса
,
тогда фокусы эллипса находятся на оси
Оу.

Итак,

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
Источник

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Как найти машину sabre в gta
  • Как составить объявление на курсы
  • Исправить более аккуратно или аккуратнее как правильно
  • Как найти долю в процентах эксель
  • Механическая работа как найти путь