Как найти уравнение прямой в треугольнике

Примечание: дробные числа записывайте
через точку, а не запятую.

Округлять до -го знака после запятой.

Уравнение прямой

Уравнение прямой на плоскости

Любую прямую на плоскости можно задать уравнением прямой первой степени вида

где A и B не могут быть одновременно равны нулю.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Общее уравнение прямой при B≠0 можно привести к виду

где k — угловой коэффициент равный тангенсу угла, образованного данной прямой и положительным направлением оси ОХ.

Уравнение прямой в отрезках на осях

Если прямая пересекает оси OX и OY в точках с координатами ( a , 0) и (0, b ), то она может быть найдена используя формулу уравнения прямой в отрезках

Уравнение прямой, проходящей через две различные точки на плоскости

Если прямая проходит через две точки M( x 1, y 1) и N( x 2, y 2), такие что x 1 ≠ x 2 и y 1 ≠ y 2, то уравнение прямой можно найти, используя следующую формулу

x — x 1 = y — y 1
x 2 — x 1 y 2 — y 1

Параметрическое уравнение прямой на плоскости

Параметрические уравнения прямой могут быть записаны следующим образом

x = l t + x 0 y = m t + y 0

где N( x 0, y 0) — координаты точки лежащей на прямой, a = < l , m >- координаты направляющего вектора прямой.

Каноническое уравнение прямой на плоскости

Если известны координаты точки N( x 0, y 0) лежащей на прямой и направляющего вектора a = ( l и m не равны нулю), то уравнение прямой можно записать в каноническом виде, используя следующую формулу

Решение. Воспользуемся формулой для уравнения прямой проходящей через две точки

x — 1 2 — 1 = y — 7 3 — 7

Упростив это уравнение получим каноническое уравнение прямой

Выразим y через x и получим уравнение прямой с угловым коэффициентом

Найдем параметрическое уравнение прямой. В качестве направляющего вектора можно взять вектор MN .

Взяв в качестве координат точки лежащей на прямой, координаты точки М, запишем параметрическое уравнение прямой

x = t + 1 y = -4 t + 7

Решение. Так как M y — N y = 0, то невозможно записать уравнение прямой проходящей через две точки.

Найдем параметрическое уравнение прямой. В качестве направляющего вектора можно взять вектор MN .

Взяв в качестве координат точки лежащей на прямой, координаты точки М, запишем параметрическое уравнение прямой

Уравнение прямой в пространстве

Уравнение прямой, проходящей через две различные точки в пространстве

Если прямая проходит через две точки M( x 1, y 1, z 1) и N( x 2, y 2, z 2), такие что x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2 и z 1 ≠ z 2, то уравнение прямой можно найти используя следующую формулу

x — x 1 = y — y 1 = z — z 1
x 2 — x 1 y 2 — y 1 z 2 — z 1

Параметрическое уравнение прямой в пространстве

Параметрические уравнения прямой могут быть записаны следующим образом

x = l t + x 0
y = m t + y 0
z = n t + z 0

где ( x 0, y 0, z 0) — координаты точки лежащей на прямой, — координаты направляющего вектора прямой.

Каноническое уравнение прямой в пространстве

Если известны координаты точки M( x 0, y 0, z 0) лежащей на прямой и направляющего вектора n = , то уравнение прямой можно записать в каноническом виде, используя следующую формулу

x — x 0 = y — y 0 = z — z 0
l m n

Прямая как линия пересечения двух плоскостей

Если прямая является пересечением двух плоскостей, то ее уравнение можно задать следующей системой уравнений

источники:

http://mathhelpplanet.com/static.php?p=onlain-reshit-treugolnik

http://ru.onlinemschool.com/math/library/analytic_geometry/line/

Источник

Как составить уравнение сторон треугольника по  координатам его вершин?

Зная координаты вершин треугольника, можно составить уравнение прямой, проходящей через 2 точки.

Пример.

Дано: ΔABC, A(-5;1), B(7;-4), C(3;7)

Составить уравнения сторон треугольника.

Решение:

1) Составим уравнение прямой AB, проходящей через 2 точки A и B.

Для этого в уравнение прямой y=kx+b подставляем координаты точек A(-5;1), B(7;-4) и из полученной системы уравнений находим k и b:

    [left{ begin{array}{l} 1 = k cdot ( - 5) + b; \ - 4 = k cdot 7 + b; \ end{array} right. Rightarrow k = - frac{5}{{12}};b = - frac{{13}}{{12}}.]

Таким образом, уравнение стороны AB

    [y = - frac{5}{{12}}x - frac{{13}}{{12}}.]

2) Прямая BC проходит через точки B(7;-4) и C(3;7):

    [left{ begin{array}{l} - 4 = k cdot 7 + b; \ 7 = k cdot 3 + b; \ end{array} right. Rightarrow k = - frac{{11}}{4};b = frac{{61}}{4}.]

Отсюда уравнение стороны BC —

    [y = - frac{{11}}{4}x + frac{{61}}{4}.]

3) Прямая AC проходит через точки A(-5;1) и C(3;7):

    [left{ begin{array}{l} 1 = k cdot ( - 5) + b; \ 7 = k cdot 3 + b; \ end{array} right. Rightarrow k = frac{3}{4};b = frac{{19}}{4}.]

Уравнение стороны AC —

    [y = frac{3}{4}x + frac{{19}}{4}.]

Источник

Уравнение длины сторон треугольника


Уравнение длины сторон треугольника

4.7

Средняя оценка: 4.7

Всего получено оценок: 181.

4.7

Средняя оценка: 4.7

Всего получено оценок: 181.

Уравнение длин сторон треугольника – это первые вкрапления высшей математики в математику школьного курса. Понимание данной тематики приближает ученика к университетскому уровню, вместе с тем делая более понятной тему функции.

Функция

Что такое функция? Это зависимость одной величины от другой. В математической функции чаще всего две неизвестных: независимая и зависимая или х и у соответственно.

Что это значит? Это значит, что х может принимать абсолютно любое значение, а у будет под него подстраиваться, меняясь в соответствии с коэффициентами функции.

Существуют ситуации, когда функция имеет несколько переменных. Зависимая у всегда 1, но факторов, которые влияют на неё может быть несколько. Не всегда такую функцию получается отразить на графике. В лучшем случае графически можно отобразить зависимость у от 2 переменных.

Как проще всего представить зависимость у(х)?

Да очень просто. Представьте себе избалованного ребенка и богатую любящую мать. Они вместе приходят в магазин и начинают клянчить конфеты. Кто знает, сколько конфет мальчик потребует сегодня?

Никто, но в зависимости от количества конфет увеличится сумма, которую мама оплатит на кассе. В этом случае, зависимой величиной является сумма в чеке, а независимой – количество конфет, которое захочет мальчик сегодня.

Очень важно понимать, что одному значению функции у, всегда соответствует 1 значение аргумента х. Но, как и с корнями квадратного уравнения, эти значения могут совпадать.

Уравнение прямой линии

Зачем нам нужно уравнение прямой, если мы говорим об уравнении длин сторон треугольника?

Да затем, что каждая из сторон треугольника это отрезок. А отрезок это ограниченная часть прямой. То есть мы можем задать уравнения прямых. А в точках их пересечения ограничить линии, тем самым обрезав прямые и превратив их в отрезки.

Уравнение прямой выглядит следующим образом:

$$y_1=a_1x+b_1$$

$$y_2=a_2x+b_2$$

$$y_3=a_3x+b_3$$

Уравнение сторон треугольника

Необходимо найти уравнение длин сторон треугольника с вершинами в точках А(3,7) ; В(5,3); С(12;9)

Все координаты положительны, значит, треугольник будет расположен в 1 координатной четверти.

Поочередно составим уравнения каждой из линий треугольника.

  • Первой будет линия АВ. Координаты точек подставим в уравнение прямой на место х и у. Таким образом мы получим систему из двух линейных уравнений. Решив ее можно найти значение коэффициентов для функции:

А(3,7) ; В(5,3):

7=3а+b

3=5a+b

Из первого уравнения выразим b и подставим во второе.

b=7-3a

3=5a+7-3a

2a=-4

a=-2

Подставим значение а и найдем b.

b=7-3a=7-3*(-2)=7+6=13

Составим уравнение прямой.

у=-2х+13

  • Аналогично составим два оставшихся уравнения.

В(5,3); С(12;9)

3=5а+b

9=12a+b

b=3-5a

9=12a+b=12a+3-5a

9=7a+3

7a=6

$$a={6over7}$$

$$b=3-5*{6over7}=-{9over7}$$

$$y={6over7}x-{9over7}$$

  • А(3,7) ; С(12;9)

7=3а+b

9=12a+b

b=7-3a

9=12a+b=12a+7-3a=9a+7

9a=2

$$a={2over9}$$

$$b=7-{6over9}={57over9}$$

$$y={2over9}x+{57over9}$$

  • Запишем уравнение длин сторон треугольника:

у=-2х+13

$$y={6over7}x-{9over7}$$

$$y={2over9}x+{57over9}$$

Заключение

Что мы узнали?

Мы узнали, что такое функция, поговорили у функции прямой линии и научились выводить уравнения сторон треугольника по координатам его вершин.

Тест по теме

Доска почёта

Доска почёта

Чтобы попасть сюда — пройдите тест.

    Пока никого нет. Будьте первым!

Оценка статьи

4.7

Средняя оценка: 4.7

Всего получено оценок: 181.

А какая ваша оценка?

Источник

Раздел V.
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

И В ПРОСТРАНСТВЕ

В раздел включены
задачи, которые рассматриваются в теме
«Аналитическая геометрия на плоскости
и в пространстве»: составление различных
уравнений прямых на плоскости и в
пространстве; определение взаимного
расположения прямых на плоскости,
прямых, прямой и плоскости, плоскостей
в пространстве; изображение кривых
второго порядка. Необходимо отметить,
что в данном разделе представлены задачи
экономического содержания, при решении
которых применяются сведения из
аналитической геометрии на плоскости.

При решении задач
аналитической геометрии целесообразно
воспользоваться учебными пособиями
следующих авторов: Д.В. Клетеника, Н. Ш.
Кремера, Д.Т. Письменного В.И. Малыхина,
т.к. в данной литературе рассматривается
более широкий круг задач, которые можно
использовать для самостоятельной
подготовки по данной теме. Применение
анали­тической геометрии к решению
экономических задач изложено в учебных
изда­ниях М.С. Красса и В.И. Ермакова.

Задача 5.1. Даны
координаты вершин треугольника АВС.
Необходимо

а) написать
уравнения сторон треугольника;

б) написать
уравнение высоты треугольника проведенной
из вершины С
к стороне АВ
и найти ее длину;

в) написать
уравнение медианы треугольника,
проведенной из вершины В
к стороне АС;

г) найти углы
треугольника и установить его вид
(прямоугольный, остроугольный,
тупоугольный);

д) найти длины
сторон треугольника и определить его
тип (разносторонний, равнобедренный,
равносторонний);

е) найти координаты
центра тяжести (точка пересечения
медиан) треугольника АВС;

ж) найти координаты
ортоцентра (точка пересечения высот)
треугольника АВС.

К каждому из
пунктов а) – в) решения сделать рисунки
в системе координат. На рисунках
обозначить соответствующие пунктам
задачи линии и точки.

Данные к условию
задачи, соответствующие вариантам:

1)
;

2)
;

3)
;

7)
;

8)
;

9)
;

10)
;

11)
;

12)
;

13)
;

14)
;

15)
;

16)
;

17)
;

18)

;

4)
;

5)
;

6)
;

19)
;

20)
;

21)
;

22)
;

23)
;

24)
;

25)
;

26)
;

27)
;

28)
;

29)
;

30).

Пример 5.1

Даны координаты
вершин треугольника АВС:

.
Необходимо а) написать уравнения сторон
треугольника; б) написать уравнение
высоты треугольника проведенной из
вершины С
к стороне АВ
и найти ее длину; в) написать уравнение
медианы треугольника, проведенной из
вершины В
к стороне АС;
г) найти длины сторон треугольника и
определить его тип (разносторонний,
равнобедренный, равносторонний); д)
найти углы треугольника и установить
его вид (прямоугольный, остроугольный,
тупоугольный); е) найти координаты центра
тяжести (точка пересечения медиан)
треугольника АВС;
ж) найти координаты ортоцентра (точка
пересечения высот) треугольника АВС.

Решение

а)
Для каждой стороны треугольника известны
координаты двух точек, которые лежат
на искомых линиях, значит уравнения
сторон треугольника – уравнения прямых,
проходящих через две заданные точки

,

(5.1)

где

и

соответствующие координаты точек.

Таким образом,
подставляя в формулу (5.1) координаты
соответствующих прямым точек получаем

,
,
,

откуда после
преобразований записываем уравнения
сторон

,

,

.

На рис. 7 изобразим
соответствующие сторонам треугольника

прямые.

Ответ:

,
,
.

Рис. 7

б)
Пусть

– высота, проведенная из вершины

к стороне
.
Поскольку

проходит через точку

перпендикулярно вектору
,
то составим уравнение прямой по следующей
формуле

,

(5.2)

где

– координаты вектора перпендикулярного
искомой прямой,

– координаты точки, принадлежащей этой
прямой. Найдем координаты вектора,
перпендикулярного прямой
,
и подставим в формулу (5.2)

,
,

,

,

.

Найдем длину высоты
CH
как расстояние от точки

до прямой

,

(5.3)

где

– уравнение прямой
,

– координаты точки
.

В предыдущем пункте
было найдено

.

Подставив данные
в формулу (5.3), получим

,

На рис. 8 изобразим
треугольник и найденную высоту СН.

Ответ:

.

Рис.
8

в)
медиана

треугольника

делит сторону

на две равные части, т.е. точка

является серединой отрезка
.
Исходя из этого, можно найти координаты

точки

,
,

(5.4)

где

и

– координаты соответственно точек

и
,
подставив которые в формулы (5.4), получим

;
.

Уравнение медианы

треугольника

составим как уравнение прямой, проходящей
через точки

и

по формуле (5.1)

,

.

Ответ:

(рис. 9).

Рис.
9

г)
Длины сторон треугольника найдем как
длины соответствующих векторов, т.е.

,
,
.

Стороны

и

треугольника

равны, значит, треугольник является
равнобедренным с основанием
.

Ответ:
треугольник

равнобедренный с основанием
;

,
.

д)
Углы треугольника

найдем как углы между векторами,
исходящими из соответствующих вершин
данного треугольника, т.е.

,
,
.

Поскольку треугольник
равнобедренный с основанием
,
то

,

Углы между векторами
вычислим по формуле (4.4), для которой
потребуются скалярные произведения
векторов
,
.

Найдем координаты
и модули векторов, необходимых для
вычисления углов

,
;

,
,
.

Подставляя
найденные данные в формулу (4.4), получим

,

,

Поскольку значения
косинусов всех найденных углов
положительны, то треугольник

является остроугольным.

Ответ:
треугольник

остроугольный;

,
,
.

е)
Пусть

– центр тяжести треугольника
,
тогда координаты

точки

можно найти, по формулам (5.5)

,
,

(5.5)

где
,

и

– координаты соответственно точек
,

и
,
следовательно,

,
.

Ответ:

– центр тяжести треугольника
.

ж) Пусть

– ортоцентр треугольника
.
Найдем координаты точки

как координаты точки пересечения высот
треугольника. Уравнение высоты

было найдено в пункте б).
Найдем уравнение высоты
:

,
,

,

.

Поскольку
,
то решение системы

является координатами
точки
,
откуда находим
.

Ответ:

– ортоцентр треугольника
.

Задача 5.2.
Фиксированные издержки на предприятии
при выпуске некоторой продукции
составляют F
руб. в месяц, переменные издержки – V0
руб. за
единицу продукции, при этом выручка
составляет R0
руб. за единицу изготовленной продукции.
Составить функцию прибыли P(q)
(q
– количество произведенной продукции);
построить ее график и определить точку
безубыточности.

Данные к условию
задачи, соответствующие вариантам:

1)
;

2)
;

3)
;

4)
;

5)
;

6)
;

7)
;

8)
;

9)
;

10)
;

11)
;

12)
;

13)
;

14)
;

15)
;

16)
;

17)
;

18)
;

19)
;

20)
;

21)
;

22)
;

23)
;

24)
;

25)
;

26)
;

27)
;

28)
;

29)
;

30)
.

Пример 5.2

Фиксированные
издержки на предприятии при выпуске
некоторой продукции составляют

руб. в месяц, переменные издержки –

руб. за единицу
продукции, при этом выручка составляет


руб. за единицу
изготовленной продукции. Составить
функцию прибыли P(q)
(q
– количество произведенной продукции);
построить ее график и определить точку
безубыточности.

Решение

Вычислим совокупные
издержки на производстве при выпуске
q
единиц некоторой продукции

.

Если будет продано
q
единиц продукции, то совокупный доход
составит

.

Исходя из полученных
функций совокупного дохода и совокупных
издержек, найдем функцию прибыли

,

,

.

Точка
безубыточности – точка, в которой
прибыль равна нулю, или точка, в которой
совокупные издержки равны совокупному
доходу

,

,

откуда находим


– точка безубыточности.

Для построения
графика (рис. 10) функции прибыли найдем
еще одну точку

.

Рис. 10

Ответ:
функция прибыли
,
точка безубыточности
.

Задача 5.3. Законы
спроса и предложения на некоторый товар
соответственно определяются уравнениями
p=pD(q),
p=pS(q),
где p
– цена на товар, q
– количество товара. Предполагается,
что спрос определяется только ценой
товара на рынке pС,
а предложение – только ценой pS,
получаемой поставщиками. Необходимо

а) определить
точку рыночного равновесия;

б) точку равновесия
после введения налога, равного t.
Определить увеличение цены и уменьшение
равновесного объема продаж;

в) найти субсидию
s,
которая приведет к увеличению объема
продаж на q0
ед. относительно изначального
(определенного в пункте а));

г) найти новую
точку равновесия и доход правительства
при введении налога, пропорционального
цене и равного N%;

д) определить,
сколько денег будет израсходовано
правительством на скупку излишка при
установлении минимальной цены, равной
p0.

К каждому пункту
решения сделать рисунок в системе
координат. На рисунке обозначить
соответствующие пункту задачи линии и
точки.

Данные к условию
задачи, соответствующие вариантам:

1)
;

2)
;

3)
;

4)
;

5)
;

6)
;

7)
;

8)
;

9)
;

10)
;

11)
;

12)
;

13)
;

14)
;

15)
;

16)
;

17)
;

18)
;

19)
;

20)
;

21)
;

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
Источник

Решить треугольник Онлайн по координатам

Данный онлайн-сервис вычисляет (показываются промежуточные расчёты) следующие параметры треугольника:

1) длины и уравнения сторон, медиан, средних линий, высот, серединных перпендикуляров, биссектрис;

2) система линейных неравенств, определяющих треугольник;

2) уравнения прямых, проходящих через вершины параллельно противолежащим сторонам;

3) внутренние углы по теореме косинусов;

4) площадь треугольника;

5) точка пересечения медиан (центроид) и точки пересечения медиан со сторонами;

10) параметры вписанной и описанной окружностей и их уравнения.

Внимание! Этот сервис не работает в браузере IE (Internet Explorer).

Запишите координаты вершин треугольника и нажмите кнопку.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Кнопка "Поделиться"

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Источник

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Как найти мужчину на один раз
  • Как найти заказы типография
  • Как найти яндекс навигатор на телефоне
  • Как найти повара в семью в москве
  • Памятка как составить доклад