Как найти уравнение прямой заданной системой уравнений

Уравнения прямых в пространстве

Уравнение прямой как линии пересечения двух плоскостей

Пусть в координатном пространстве Oxyz (в прямоугольной системе координат) две плоскости заданы общими уравнениями

begin{aligned}rho_{1}colon & ,A_{1}cdot x+B_{1}cdot y+C_{1}cdot z+D_{1}=0;\[2pt] rho_{2}colon & ,A_{2}cdot x+B_{2}cdot y+C_{2}cdot z+D_{2}=0,end{aligned}

в которых коэффициенты при неизвестных непропорциональны, т.е. operatorname{rang}!begin{pmatrix}A_{1}&B_{1}&C_{1}\A_{2}&B_{2}&C_{2}end{pmatrix}=2. Это условие означает, что плоскости rho_{1} и rho_{2}пересекаются (см. условие (4.25)), поскольку их нормали vec{n}_{1}=A_{1}vec{i}+B_{1}vec{j}+C_{1}vec{k} и vec{n}_{2}=A_{2}vec{i}+B_{2}vec{j}+C_{2}vec{k} неколлинеарны (рис.4.25). Тогда линия пересечения плоскостей описывается системой уравнений

begin{cases} A_{1}cdot x+D_{1}cdot y+C_{1}cdot z+D_{1}=0,\ A_{2}cdot x+D_{2}cdot y+C_{2}cdot z+D_{2}=0. end{cases}

(4.31)

Система (4.31) называется общим уравнением прямой в пространстве.

Общее уравнение прямой в пространстве как пересечение двух плоскостей


Пример 4.13. В координатном пространстве Oxyz (в прямоугольной системе координат) заданы вершины A(1;2;3), B(3;0;2), C(7;4;6) треугольника (рис.4.26). Требуется составить уравнение прямой, содержащей высоту AH треугольника.

Решение. Прямая AH является линией пересечения двух плоскостей: плоскости rho_{1}, треугольника ABC и плоскости rho_{2}, проходящей через точку A перпендикулярно вектору overrightarrow{BC} (рис.4.26). По формуле (4.21) составим уравнение плоскости rho_{1}, проходящей через три точки A,,B,,C:

begin{vmatrix}x-1&y-2&z-3\3-1&0-2&2-3\7-1&4-2&6-3end{vmatrix}= begin{vmatrix} x-1&y-2&z-3\ 2&-2&-1\ 6&2&3 end{vmatrix}=0 quad Leftrightarrow quad x+3y-4z+5=0.

По формуле (4.14) составим уравнение плоскости rho_{2}, проходящей через точку A перпендикулярно вектору overrightarrow{BC}=(7-3)vec{i}+(4-0)vec{j}+(6-2)vec{k}=4vec{i}+4vec{j}+4vec{k}:

4cdot(x-1)+4cdot(y-2)+4cdot(z-3)=0 quad Leftrightarrow quad x+y+z-6=0.

Следовательно, общее уравнение (4.31) прямой AH имеет вид begin{cases}x+3y-4z+5=0,\x+y+z-6=0.end{cases}


Параметрическое уравнение прямой в пространстве

Напомним, что направляющий вектором прямой называется ненулевой вектор, коллинеарный этой прямой, т.е. принадлежащий или параллельный ей.

Пусть в координатном пространстве Oxyz заданы точка M_{0}(x_{0}, y_{0}, z_{0}) и ненулевой вектор vec{p}= avec{i}+ bvec{j}+ cvec{k} (рис.4.27). Требуется составить уравнение прямой, коллинеарной вектору vec{p} и проходящей через точку M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0}).

Выберем на прямой произвольную точку M_{0}(x,y,z). Обозначим vec{r}=overrightarrow{OM}, vec{r}_{0}=overrightarrow{OM_{0}} — радиус-векторы точек M(x,y,z) и M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0}) (рис.4.28).

Параметрическое уравнение прямой в пространстве и направляющий вектор прямой

Точка M принадлежит заданной прямой тогда и только тогда, когда векторы overrightarrow{M_{0}M} и vec{p} коллинеарны. Запишем условие коллинеарности: overrightarrow{M_{0}M}=tvec{p}, где t — некоторое действительное число (параметр). Учитывая, что overrightarrow{M_{0}M}=vec{r}-vec{r}_{0}, получим векторное параметрическое уравнение прямой в пространстве:

vec{r}=vec{r}_{0}+tcdotvec{p}, quad tinmathbb{R},,

(4.32)

где vec{p} — направляющий вектор прямой, а vec{r}_{0} — радиус-вектор заданной точки M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0}) принадлежащей прямой.

Координатная форма записи уравнения (4.32) называется параметрическим уравнением прямой в пространстве

begin{cases}x=x_{0}+acdot t,\y=y_{0}+bcdot t,\z=z_{0}+ccdot t,end{cases}tinmathbb{R},,

(4.33)

где a,b,c — координаты направляющего вектора vec{p} прямой. Параметр t в уравнениях (4.32),(4.33) имеет следующий геометрический смысл: величина t пропорциональна расстоянию от заданной точки M_{0}(x_{0}, y_{0}, z_{0}) до точки M(x,y,z)equiv M(x_{0}+at,y_{0}+bt,z_{0}+ct). Физический смысл параметра t в параметрических уравнениях (4.32),(4.33) — это время при равномерном и Прямолинейном движении точки M(x,y,z) по прямой. При t=0 точка M(x,y,z) совпадает с заданной точкой M_{0}. При возрастании параметра t движение происходит в направлении направляющего вектора.


Каноническое уравнение прямой в пространстве

Выразим параметр t из каждого уравнения системы (4.33): t=frac{x-x_{0}}{a},, t=frac{y-y_{0}}{b},, t=frac{z-z_{0}}{c}, а затем исключим этот параметр:

frac{x-x_{0}}{a}=frac{y-y_{0}}{b}=frac{z-z_{0}}{c}, quad a^2+b^2+c^2ne0.

(4.34)

Уравнение (4.34) называется каноническим уравнением прямой в пространстве. В этом уравнении коэффициенты a,b,c не равны нулю одновременно, так как это координаты направляющего вектора прямой.


Замечания 4.6.

1. Если один или два из трех знаменателей дробей в (4.34) равны нулю, то считается, что соответствующий числитель дроби равен нулю. Например:

а) каноническое уравнение frac{x-x_{0}}{0}=frac{y-y_{0}}{0}=frac{z-z_{0}}{c} — это уравнение begin{cases}x=x_{0},\y=y_{0}end{cases} прямой, параллельной оси аппликат (рис.4.29,а);

б) каноническое уравнение frac{x-x_{0}}{a}=frac{y-y_{0}}{b}=frac{z-z_{0}}{0} — это уравнение begin{cases}z=z_{0},\dfrac{x-x_{0}}{a}=dfrac{y-y_{0}}{b}end{cases} прямой, параллельной координатной плоскости Oxy (рис.4.29,б).

Прямые в пространстве, параллельные координатным плоскостям

2. Направляющий вектор vec{p} прямой определяется неоднозначно. Например, любой ненулевой вектор lambdacdotvec{p}, где lambdainmathbb{R}, также является направляющим вектором для той же прямой.

Переход от общего уравнение к каноническому

3. Для перехода от общего уравнения прямой (4.31) к каноническому (4.34) нужно выполнить следующие действия:

1) найти любое решение (x_{0},y_{0},z_{0}) системы begin{cases} A_{1}cdot x+B_{1}cdot y+C_{1}cdot z+D_{1}=0,\ A_{2}cdot x+B_{2}cdot y+C_{2}cdot z+D_{2}=0, end{cases} определяя тем самым координаты точки M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0}), принадлежащей прямой;

2) найти направляющий вектор vec{p} прямой как векторное произведение нормалей vec{n}_{1}=A_{1}vec{i}+B_{1}vec{j}+C_{1}vec{k}, vec{n}_{2}= A_{2}vec{i}+ B_{2}vec{j}+ C_{2}vec{k}, заданных плоскостей:

vec{p}= begin{bmatrix}vec{n}_{1},vec{n}_{2}end{bmatrix}= acdotvec{i}+ bcdotvec{j}+ ccdotvec{k}= begin{vmatrix} vec{i}&vec{j}&vec{k}\ A_{1}&B_{1}&C_{1}\ A_{2}&B_{2}&C_{2} end{vmatrix}.

3) записать каноническое уравнение (4.34) с учетом пунктов 1 и 2.

4. Чтобы перейти от канонического уравнения к общему, достаточно двойное равенство (4.34) записать в виде системы

left{!begin{aligned}frac{x-x_{0}}{a}&=frac{y-y_{0}}{b},,\frac{y-y_{0}}{b}&=frac{z-z_{0}}{c},,end{aligned}right. и привести подобные члены.

5. Чтобы перейти от канонического уравнения к параметрическому, следует приравнять каждую дробь в уравнении (4.34) параметру t и записать полученные равенства в виде системы (4.33):

frac{x-x_{0}}{a}=frac{y-y_{0}}{b}=frac{z-z_{0}}{c}=t quad Leftrightarrow quad begin{cases}x=x_{0}+acdot t,\y=y_{0}+bcdot t,\z=z_{0}+ccdot t,end{cases} tinmathbb{R},.

6. Если в каноническом уравнении (4.34) прямой фиксировать координаты x_{0},y_{0},z_{0} точки M_{0}, а коэффициентам a,b,c придавать произвольные значения (не равные нулю одновременно), то получим уравнение связки прямых с центром в точке M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0}), т.е. совокупность всех прямых, проходящих через точку M_{0}.

7. Параметрическое (4.33) и каноническое (4.34) уравнения прямой, полученные в прямоугольной системе координат, имеют тот же вид в любой другой аффинной системе координат. Геометрический смысл коэффициентов в уравнениях остается прежним.


Пример 4.14. В координатном пространстве Oxyz (в прямоугольной системе координат) заданы вершины A(1;2;3), B(3;0;2), C(7;4;6) треугольника (рис. 4.30). Требуется:

В координатном пространстве Oxyz (в прямоугольной системе координат) заданы вершины A(1,2,3), B(3,0,2), C(7,4,6) треугольника

а) составить каноническое уравнение прямой, содержащей высоту AH треугольника;

б) составить общее уравнение прямой, содержащей биссектрису AL треугольника.

Решение. а) Общее уравнение прямой AH получено в примере 4.13: begin{cases}x+3cdot y-4cdot z+5=0,\x+y+z-6=0.end{cases} Перейдем от общего уравнения к каноническому.

1) Найдем любое решение (x_{0},y_{0},z_{0}) системы, например, x_{0}=1, y_{0}=2, z_{0}=3 (это координаты точки A(1;2;3)).

2) Найдем направляющий вектор vec{p} прямой как векторное произведение нормалей vec{n}_{1}=vec{i}+3vec{j}-4vec{k}, vec{n}_{2}=vec{i}+vec{j}+vec{k} заданных плоскостей

vec{p}= begin{bmatrix}vec{n}_{1},vec{n}_{2}end{bmatrix}= begin{vmatrix} vec{i}&vec{j}&vec{k}\ 1&3&-4\ 1&1&1 end{vmatrix}= 7cdotvec{i}-5cdotvec{j}-2cdotvec{k},.

3) Запишем каноническое уравнение (4.34): frac{x-1}{7}=frac{y-2}{-5}=frac{z-3}{-2}.

б) Сначала составим каноническое уравнение прямой AL. Для этого нужно найти направляющий вектор vec{l} этой прямой. Учитывая, что диагональ ромба является биссектрисой, vec{l}=vec{b}+vec{c}, где vec{b} и vec{c} — единичные векторы, одинаково направленные с векторами overrightarrow{AB} и overrightarrow{AC} соответственно. Находим

begin{gathered}overrightarrow{AB}= 2cdotvec{i}-2cdotvec{j}-1cdotvec{k}, quad begin{vmatrix}overrightarrow{AB}end{vmatrix}=3, quad vec{b}= frac{overrightarrow{AB}}{begin{vmatrix} overrightarrow{AB}end{vmatrix}}= frac{2}{3}cdot vec{i}-frac{2}{3} cdotvec{j}-frac{1}{3}cdot vec{k},;\[3pt] overrightarrow{AC}= 6cdot vec{i}+ 2cdotvec{j}+3cdotvec{k}, quad begin{vmatrix} overrightarrow{AC} end{vmatrix}=7, quad vec{c}= frac{overrightarrow{AC}}{begin{vmatrix} overrightarrow{AC}end{vmatrix}}= frac{6}{7}cdotvec{i}+ frac{2}{7}cdotvec{j}+ frac{3}{7}cdotvec{k},;\[3pt] vec{l}=vec{a}+vec{c}= left(frac{2}{3}cdotvec{i}-frac{2}{3}cdotvec{j}-frac{1}{3}cdotvec{k}right)+ left(frac{6}{7}cdotvec{i}+frac{2}{7}cdotvec{j}+frac{3}{7}cdotvec{k}right)= frac{32}{21}cdotvec{i}-frac{8}{21}cdotvec{j}+frac{2}{21}cdotvec{k},. end{gathered}

Составляем каноническое уравнение прямой ALcolon,frac{x-1}{32/21}=frac{y-2}{-8/21}=frac{z-3}{2/21}.

Записывая двойное равенство в виде системы, получаем общее уравнение прямой AL:

left{!begin{aligned}frac{x-1}{32/21}&=frac{y-2}{-8/21},\ frac{y-2}{-8/21}&=frac{z-3}{2/21},end{aligned}right.  quad Leftrightarrow quad begin{cases}x+4cdot y-9=0,\ y+4cdot z-14=0.end{cases}


Расстояние от точки до прямой, заданной каноническим уравнением

Расстояние от точки до прямой в пространстве

Найдем расстояние d от точки M_{1}(x_{1},y_{1},z_{1}) до прямой l, заданной каноническим уравнением (рис.4.31)):

lcolon, frac{x-x_{0}}{a}= frac{y-y_{0}}{b}= frac{z-z_{0}}{c},.

Искомое расстояние равно высоте параллелограмма, построенного на векторах

vec{p}=avec{i}+bvec{j}+cvec{k} и vec{m}=overrightarrow{M_{0}M_{1}}=(x_{1}-x_{0})vec{i}+(y_{1}-y_{0})vec{j}+(z_{1}-z_{0})vec{k}, то есть.

d=frac{begin{vmatrix}begin{bmatrix}vec{m},vec{p}end{bmatrix}end{vmatrix}}{begin{vmatrix}vec{p}end{vmatrix}}= frac{sqrt{begin{vmatrix}x_{1}-x_{0}&y_{1}-y_{0}\a&bend{vmatrix}^2+ begin{vmatrix}y_{1}-y_{0}&z_{1}-z_{0}\b&cend{vmatrix}^2+ begin{vmatrix}x_{1}-x_{0}&z_{1}-z_{0}\a&cend{vmatrix}^2}}{sqrt{a^2+b^2+c^2}},.

(4.35)


Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две заданные точки

Пусть в координатном пространстве Oxyz заданы две точки M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0}) и M_{1}(x_{1},y_{1},z_{1}). Требуется составить уравнение прямой, проходящей через заданные точки.

Как показано в разд., точка M(x,y,z) принадлежит прямой M_{0}M_{1} тогда и только тогда, когда ее радиус-вектор overrightarrow{OM} удовлетворяет условию (рис.4.32): overrightarrow{OM}= (1-t)cdot overrightarrow{OM_{0}}+ tcdotoverrightarrow{OM_{1}}, где t — некоторое действительное число (параметр). Это уравнение, а также его координатную форму

begin{pmatrix}x\y\zend{pmatrix}= (1-t)cdot!begin{pmatrix}x_{0}\y_{0}\z_{0}end{pmatrix}+tcdot!begin{pmatrix}x_{1}\y_{1}\z_{1}end{pmatrix}! quad Leftrightarrow quad !begin{cases} x=(1-t)cdot x_{0}+tcdot x_{1},\ y=(1-t)cdot y_{0}+tcdot y_{1},\ z=(1-t)cdot z_{0}+tcdot z_{1}.end{cases} tinmathbb{R}

(4.36)

будем называть аффинным уравнением прямой, проходящей через две точки M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0}) и M_{1}(x_{1},y_{1},z_{1}).

Выражая параметр t из каждого уравнения системы (4.36), получаем: frac{x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}=frac{y-y_{0}}{y_{1}-y_{0}}=frac{z-z_{0}}{z_{1}-z_{0}}=t. Исключая параметр t, приходим к уравнению прямой, проходящей через две точки M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0}) и M_{1}(x_{1},y_{1},z_{1}):

frac{x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}=frac{y-y_{0}}{y_{1}-y_{0}}=frac{z-z_{0}}{z_{1}-z_{0}},.

(4.37)

Уравнение (4.37) можно получить из канонического уравнения (4.34), выбирая в качестве направляющего вектора vec{p}=avec{i}+bvec{j}+cvec{k} вектор overrightarrow{M_{0}M_{1}}=(x_{1}-x_{0})vec{i}+(y_{1}-y_{0})vec{j}+(z_{1}-z_{0})vec{k}, т.е. подставляя a=x_{1}-x_{0}, b=y_{1}-y_{0}, c=z_{1}-z_{0}.


Треугольник в пространстве по координатам вершин, его высота и медиана

Пример 4.15. В координатном пространстве Oxyz (в прямоугольной системе координат) заданы вершины A(1;2;3), B(3;0;2), C(7;4;6) треугольника (рис.4.33). Требуется:

а) составить уравнение прямой BC;

б) составить уравнение прямой, содержащей медиану AM треугольника;

в) найти высоту h=|AH| треугольника, опущенную на сторону BC.

Решение. а) Записываем уравнение (4.37) прямой, проходящей через точки B(3;0;2), C(7;4;6):

frac{x-3}{7-3}=frac{y-0}{4-0}=frac{z-2}{6-2}~ Leftrightarrow~ frac{x-3}{1}=frac{y}{1}=frac{z-2}{1},.

б) Находим координаты середины M стороны BCcolon M(5;2;4). Составляем уравнение (4.37) прямой AM:

frac{x-1}{5-1}=frac{y-2}{2-2}=frac{z-3}{4-3}~ Leftrightarrow~ frac{x-1}{4}=frac{y-2}{0}=frac{z-3}{1},.

в) Искомую высоту h находим по формуле (4.35), полагая vec{m}=overrightarrow{BA}=-2vec{i}+2vec{j}+vec{k} и vec{p}=vec{i}+vec{j}+vec{k}:

h=|AH|=frac{begin{vmatrix}begin{bmatrix}vec{m},vec{p}end{bmatrix}end{vmatrix}}{begin{vmatrix}vec{p}end{vmatrix}}= frac{sqrt{begin{vmatrix}-2&2\1&1end{vmatrix}^2+begin{vmatrix}2&1\1&1end{vmatrix}^2+begin{vmatrix}-2&1\1&1end{vmatrix}^2}}{sqrt{1^2+1^2+1^2}}=frac{sqrt{16+1+9}}{sqrt{3}}= sqrt{frac{26}{3}},.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Кнопка "Поделиться"

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

1. Общее уравнение прямой.

Прямая в пространстве
может быть задана как пересечение двух
плоскостей:

.
(1)

О1.
Геометрическое место точек пространства,
удовлетворяющих системе уравнений (1),
называется
прямой
в пространстве
,
а
система уравнений (1) называется общим
уравнением прямой
.

З1. Для того чтобы
система уравнений (1) определяла прямую
в пространстве необходимо и достаточно,
чтобы нормальные вектора плоскостей,

определяющих
прямую,
ибыли неколлинеарными, т.е. выполняется
одно из неравенств:или.

Пусть прямая
проходит через точку

параллельно вектору
,
который называется направляющим
вектором прямой

(см. Лекцию
№ 7
),
тогда ее уравнение называется каноническим
и имеет вид:

.
(2)

З2. Если в уравнении
(2) одна из проекций направляющего вектора
равна 0, то это означает, что прямая
перпендикулярна соответствующей
координатной оси.

Пример 1.
Как расположена прямая
относительно координатных осей.

Согласно замечанию
2 эта прямая будет перпендикулярна осям
абсцисс и ординат (параллельна оси
аппликат) и будет проходить через точку

.

Приравняв каждую
дробь уравнения (2) параметру
,
получимпараметрическое
уравнение прямой:

Пример 2.
Записать уравнение прямой
в параметрическом виде.

Приравняем каждую
дробь к параметру
:.
Если пря-

мая проходит через
две известные точки
и,
то ее уравнение имеет вид (см.Лекцию
№ 7
):
и назы-ваетсяуравнением
прямой
,
проходящей
через две заданные точки
.

2. Основные задачи.

а) Переход
от общего уравнения прямой к каноническому.

Пусть прямая задана общим уравнением
.
Для того, чтобы перейти от этого уравнения
прямой к каноническому, поступают
следующим образом:

находят
координаты любой точки, удовлетворяющие
приведенной системе, для чего одну из
переменных величин, например
,
полагают равной нулю и решают систему
линейных алгебраических уравнений
относительно оставшихся переменных
величин;

направляющий
вектор
прямой находят как векторное произведение
нормальных векторов

и
:

;

зная
точку, через которую проходит прямая,
и направляющий вектор прямой записывают
каноническое уравнение прямой.

Пример 3.
Записать уравнение прямой
в каноническом и параметрическом виде.

Положив
,
получим СЛАУСкладывая уравнения, найдем.
Подставив это значение переменнойво второе уравнение системы, по-лучим.
Таким образом, прямая проходит через
точку
.
Найдем направляющий вектор прямой как
векторное произведение нормальных
векторов заданных плоскостей:

б)
Угол
между пересекающимися прямыми.

Угол
между двумя пересека-ющимися прямыми
определяется как угол между их
направляющими векторами
.
Если прямые
иимеют направляющие вектора

и
,

соответственно,
то угол между прямыми определяется по
формуле:

.

Сл1.
Если
прямые перпендикулярны (),
тоусловием
перпен-дикулярности
прямых
является
равенство:
.

Сл2.
Если прямые параллельны, то направляющие
вектора коллинеарны, следовательно,
условие
параллельности прямых
:

.

в)
Координаты
точки пересечения прямой и плоскости.

Пусть прямая
задана общим уравнением,
а плоскостьуравнением.Так
как точка пересечения прямой и плоскости
принадлежит одновременно обоим этим
объектам, то ее координаты находят из
решения системы уравнений
:

.

Если прямая
задана
каноническим уравнением,

а плоскость
уравнением,
то поступают по следующей

схеме:

переходят
от канонического уравнения прямой к
параметрическому, т.е. записывают
уравнение прямой в виде
;

полученные
выражения подставляют в уравнение
заданной плоскости

и
находят параметр
:
.

Рассмотрим возможные
случаи:

1) если
выполняются условия
,
то прямая не пересекает плоскость
(прямая параллельна плоскости);

2) при
условиях
прямая лежит на плоскости;

3) если
,
прямая пересекает плоскость в одной
точке.

вычисляют
координаты точки пересечения, подставив
найденное значение
в параметрическое уравнение прямой


.

г)
Угол
между прямой и плоскостью.

Пусть дана плоскость
с нормальным вектороми пересекающая ее прямаяс направляющим вектором

(Рис.
53).

Рис.
53.
Угол между
прямой

и
плоскостью.

Угол
является углом между прямойи плоскостью.
Угол между нормальным вектором плоскости
и прямой обозначим через.
Из рисунка видно, что.
Следовательно,

.

Сл1.
Если прямая
перпендикулярна плоскости (),
тоусловие
перпендикулярности прямой и плоскости
имеет вид
:

.

Сл2.
Если прямая
параллельна плоскости (),
то направляющий вектор прямой и нормальный
вектор плоскости перпендикулярны (),
следовательно,условие
параллельности прямой и плоскости
:

.

21

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #

(схема 27)

         Пусть задан
вектор 
, параллельный заданной прямой l (без учета направления) и точка M0, лежащая на данной прямой. Таким образом, прямая l
однозначно определяется в пространстве точкой  
M0(x0;y0;z0) и вектором 
, называемым для l направляющим.
Обозначим
 
 и определим его
с
точностью до коллинеарности (рис. 2.21).

      Пусть точка M(x;y;z) – текущая точка прямой l,
тогда   текущий вектор прямой имеет координаты 
. Значит, векторы  и  коллинеарны. По
следствию из теоремы 2.5 данное  условие
можно 
записать в виде:

                                                     (2.43)

канонические уравнения прямой в
пространстве
. Равенство нулю одного из знаменателей означает обращение
в нуль соответствующего числителя.

Пусть прямая l проходит через две точки,
одна из которых  – уже введенная в
рассмотрение точка
M0(x0;y0;z0). Другую точку обозначим  M1(x1;y1;z1). Тогда в качестве направляющего вектора  прямой  можно взять вектор . При этом уравнения (2.43) принимают вид:  

   –                                                                                                                                                    (2.44) 

уравнения прямой в пространстве, проходящей
через две заданные точки.

Все
соотношения (2.43) равны между собой, следовательно, может быть введен
коэффициент пропорциональности
t,
называемый параметром прямой:

    параметрические уравнения прямой.                                                  (2.45) 

Можно записать
частный случай уравнений (2.45) для плоскости: 
. Они представляют собой параметрические уравнения
прямой линии на плоскости. Проводя аналогичные рассуждения, в качестве
направляющего вектора прямой на плоскости можно взять вектор 
, параллельный прямой (без учета направления), а точку
M0(x0;y0) – в качестве произвольной точки
прямой. Заметим, что канонические уравнения (2.4) прямой на плоскости
представляют собой частный случай уравнений (2.44).

         Чтобы задать прямую l в пространстве в общем виде
надо рассмотреть её как линию пересечения  двух
плоскостей
, которые обозначим через α
и β, и зададим уравнениями соответственно:        
. Это
означает, что прямая задается системой, состоящей из уравнений плоскостей
α и β:

                                                                                                                                                             (2.46)


общее уравнение прямой в пространстве.
Здесь 
 (в противном случае плоскости параллельны
или совпадают).
            

Поставим
задачу – привести общее уравнение (2.46) прямой к  ее каноническим уравнениям (2.43). Решение
состоит из трех этапов.

1.   Отыскание точки  M0(x0;y0;z0), лежащей на данной прямой.

Координаты
точки 
M0 должны удовлетворять системе (2.46), так как
точка  принадлежит обеим плоскостям  α и β.

Ранг
системы (2.46) равен 2, сама система является совместной неопределенной.
Объявим  базисными  переменными, например,
x и y,
тогда
z – свободная переменная. Придадим ей конкретное
значение
z=z0. Система примет вид: 
 при условии, что главный  определитель Так как надо знать только одну точку прямой (одно решение системы (2.46)), то
достаточно найти одно ее частное решение. 
Для простоты вычислений можно придать свободной переменной  нулевое значение, то есть
z0=0.  После этого определенную систему уравнений  решают известными методами. Решение
системы 
x=x0; y=y0
в совокупности со значением свободной переменной представляет собой координаты
искомой точки 
M0(x0;y0;z0).

2.  Рассмотрим нахождение  направляющего вектора  прямой. Так как  перпендикулярен  нормальным векторам  и  плоскостей α и β,
то его можно найти по теореме 2.5 как векторное произведение указанных
векторов:  

.                                                                                                         (2.47)

3. Найденную точку M0 и вектор  подставляем в
уравнение (2.43). Таким образом, задача о приведении общего уравнения прямой к
каноническому виду решена.

Пример 2.16.
Привести общее уравнение прямой в
пространстве   
  к
каноническому виду.

Решение. Найдем точку M0(x0;y0;z0), принадлежащую данной прямой. Достаточно найти одно
частное решение заданной системы, например, при  
z0=0. Решение будет представлять собой координаты точки M0:  
 

. Используем  метод Крамера – вычислим главный и
вспомогательные определители системы: 
 .

По формулам (1.6):        

. Следовательно, точка   – искомая точка
заданной прямой.

Найдем направляющий вектор  прямой. Нормальные векторы плоскостей,
пересечением которых задана прямая, есть 
. Тогда по теореме
2.5: 

.

Подставляя координаты точки M и вектора
 в (2.43), получим искомое каноническое
уравнение прямой
l:

Вопросы
для самопроверки

Общее уравнение прямой: описание, примеры, решение задач

Данная статья продолжает тему уравнения прямой на плоскости: рассмотрим такой вид уравнения, как общее уравнение прямой. Зададим теорему и приведем ее доказательство; разберемся, что такое неполное общее уравнение прямой и как осуществлять переходы от общего уравнения к другим типам уравнений прямой. Всю теорию закрепим иллюстрациями и решением практических задач.

Общее уравнение прямой: основные сведения

Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат O x y .

Любое уравнение первой степени, имеющее вид A x + B y + C = 0 , где А , В , С – некоторые действительные числа ( А и В не равны одновременно нулю) определяет прямую линию в прямоугольной системе координат на плоскости. В свою очередь, любая прямая в прямоугольной системе координат на плоскости определяется уравнением, имеющим вид A x + B y + C = 0 при некотором наборе значений А , В , С .

указанная теорема состоит из двух пунктов, докажем каждый из них.

  1. Докажем, что уравнение A x + B y + C = 0 определяет на плоскости прямую.

Пусть существует некоторая точка М 0 ( x 0 , y 0 ) , координаты которой отвечают уравнению A x + B y + C = 0 . Таким образом: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Вычтем из левой и правой частей уравнений A x + B y + C = 0 левую и правую части уравнения A x 0 + B y 0 + C = 0 , получим новое уравнение, имеющее вид A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) = 0 . Оно эквивалентно A x + B y + C = 0 .

Полученное уравнение A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) = 0 является необходимым и достаточным условием перпендикулярности векторов n → = ( A , B ) и M 0 M → = ( x — x 0 , y — y 0 ) . Таким образом, множество точек M ( x , y ) задает в прямоугольной системе координат прямую линию, перпендикулярную направлению вектора n → = ( A , B ) . Можем предположить, что это не так, но тогда бы векторы n → = ( A , B ) и M 0 M → = ( x — x 0 , y — y 0 ) не являлись бы перпендикулярными, и равенство A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) = 0 не было бы верным.

Следовательно, уравнение A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) = 0 определяет некоторую прямую в прямоугольной системе координат на плоскости, а значит и эквивалентное ему уравнение A x + B y + C = 0 определяет ту же прямую. Так мы доказали первую часть теоремы.

  1. Приведем доказательство, что любую прямую в прямоугольной системе координат на плоскости можно задать уравнением первой степени A x + B y + C = 0 .

Зададим в прямоугольной системе координат на плоскости прямую a ; точку M 0 ( x 0 , y 0 ) , через которую проходит эта прямая, а также нормальный вектор этой прямой n → = ( A , B ) .

Пусть также существует некоторая точка M ( x , y ) – плавающая точка прямой. В таком случае, векторы n → = ( A , B ) и M 0 M → = ( x — x 0 , y — y 0 ) являются перпендикулярными друг другу, и их скалярное произведение есть нуль:

n → , M 0 M → = A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) = 0

Перепишем уравнение A x + B y — A x 0 — B y 0 = 0 , определим C : C = — A x 0 — B y 0 и в конечном результате получим уравнение A x + B y + C = 0 .

Так, мы доказали и вторую часть теоремы, и доказали всю теорему в целом.

Уравнение, имеющее вид A x + B y + C = 0 – это общее уравнение прямой на плоскости в прямоугольной системе координат O x y .

Опираясь на доказанную теорему, мы можем сделать вывод, что заданные на плоскости в фиксированной прямоугольной системе координат прямая линия и ее общее уравнение неразрывно связаны. Иначе говоря, исходной прямой соответствует ее общее уравнение; общему уравнению прямой соответствует заданная прямая.

Из доказательства теоремы также следует, что коэффициенты А и В при переменных x и y являются координатами нормального вектора прямой, которая задана общим уравнением прямой A x + B y + C = 0 .

Рассмотрим конкретный пример общего уравнения прямой.

Пусть задано уравнение 2 x + 3 y — 2 = 0 , которому соответствует прямая линия в заданной прямоугольной системе координат. Нормальный вектор этой прямой – это вектор n → = ( 2 , 3 ) . Изобразим заданную прямую линию на чертеже.

Также можно утверждать и следующее: прямая, которую мы видим на чертеже, определяется общим уравнением 2 x + 3 y — 2 = 0 , поскольку координаты всех точек заданной прямой отвечают этому уравнению.

Мы можем получить уравнение λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 , умножив обе части общего уравнения прямой на число λ , не равное нулю. Полученное уравнение является эквивалентом исходного общего уравнения, следовательно, будет описывать ту же прямую на плоскости.

Неполное уравнение общей прямой

Полное общее уравнение прямой – такое общее уравнение прямой A x + B y + C = 0 , в котором числа А , В , С отличны от нуля. В ином случае уравнение является неполным.

Разберем все вариации неполного общего уравнения прямой.

  1. Когда А = 0 , В ≠ 0 , С ≠ 0 , общее уравнение принимает вид B y + C = 0 . Такое неполное общее уравнение задает в прямоугольной системе координат O x y прямую, которая параллельна оси O x , поскольку при любом действительном значении x переменная y примет значение — C B . Иначе говоря, общее уравнение прямой A x + B y + C = 0 , когда А = 0 , В ≠ 0 , задает геометрическое место точек ( x , y ) , координаты которых равны одному и тому же числу — C B .
  2. Если А = 0 , В ≠ 0 , С = 0 , общее уравнение принимает вид y = 0 . Такое неполное уравнение определяет ось абсцисс O x .
  3. Когда А ≠ 0 , В = 0 , С ≠ 0 , получаем неполное общее уравнение A x + С = 0 , задающее прямую, параллельную оси ординат.
  4. Пусть А ≠ 0 , В = 0 , С = 0 , тогда неполное общее уравнение примет вид x = 0 , и это есть уравнение координатной прямой O y .
  5. Наконец, при А ≠ 0 , В ≠ 0 , С = 0 , неполное общее уравнение принимает вид A x + B y = 0 . И это уравнение описывает прямую, которая проходит через начало координат. В самом деле, пара чисел ( 0 , 0 ) отвечает равенству A x + B y = 0 , поскольку А · 0 + В · 0 = 0 .

Графически проиллюстрируем все вышеуказанные виды неполного общего уравнения прямой.

Известно, что заданная прямая параллельна оси ординат и проходит через точку 2 7 , — 11 . Необходимо записать общее уравнение заданной прямой.

Решение

Прямая, параллельная оси ординат, задается уравнением вида A x + C = 0 , в котором А ≠ 0 . Также условием заданы координаты точки, через которую проходит прямая, и координаты этой точки отвечают условиям неполного общего уравнения A x + C = 0 , т.е. верно равенство:

Из него возможно определить C , если придать A какое-то ненулевое значение, к примеру, A = 7 . В таком случае получим: 7 · 2 7 + C = 0 ⇔ C = — 2 . Нам известны оба коэффициента A и C , подставим их в уравнение A x + C = 0 и получим требуемое уравнение прямой: 7 x — 2 = 0

Ответ: 7 x — 2 = 0

На чертеже изображена прямая, необходимо записать ее уравнение.

Решение

Приведенный чертеж позволяет нам легко взять исходные данные для решения задачи. Мы видим на чертеже, что заданная прямая параллельна оси O x и проходит через точку ( 0 , 3 ) .

Прямую, которая параллельна очи абсцисс, определяет неполное общее уравнение B y + С = 0 . Найдем значения B и C . Координаты точки ( 0 , 3 ) , поскольку через нее проходит заданная прямая, будут удовлетворять уравнению прямой B y + С = 0 , тогда справедливым является равенство: В · 3 + С = 0 . Зададим для В какое-то значение, отличное от нуля. Допустим, В = 1 , в таком случае из равенства В · 3 + С = 0 можем найти С : С = — 3 . Используем известные значения В и С , получаем требуемое уравнение прямой: y — 3 = 0 .

Ответ: y — 3 = 0 .

Общее уравнение прямой, проходящей через заданную точку плоскости

Пусть заданная прямая проходит через точку М 0 ( x 0 , y 0 ) , тогда ее координаты отвечают общему уравнению прямой, т.е. верно равенство: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Отнимем левую и правую части этого уравнения от левой и правой части общего полного уравнения прямой. Получим: A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) + C = 0 , это уравнение эквивалентно исходному общему, проходит через точку М 0 ( x 0 , y 0 ) и имеет нормальный вектор n → = ( A , B ) .

Результат, который мы получили, дает возможность записывать общее уравнение прямой при известных координатах нормального вектора прямой и координатах некой точки этой прямой.

Даны точка М 0 ( — 3 , 4 ) , через которую проходит прямая, и нормальный вектор этой прямой n → = ( 1 , — 2 ) . Необходимо записать уравнение заданной прямой.

Решение

Исходные условия позволяют нам получить необходимые данные для составления уравнения: А = 1 , В = — 2 , x 0 = — 3 , y 0 = 4 . Тогда:

A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) = 0 ⇔ 1 · ( x — ( — 3 ) ) — 2 · y ( y — 4 ) = 0 ⇔ ⇔ x — 2 y + 22 = 0

Задачу можно было решить иначе. Общее уравнение прямой имеет вид A x + B y + C = 0 . Заданный нормальный вектор позволяет получить значения коэффициентов A и B , тогда:

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 · x — 2 · y + C = 0 ⇔ x — 2 · y + C = 0

Теперь найдем значение С, используя заданную условием задачи точку М 0 ( — 3 , 4 ) , через которую проходит прямая. Координаты этой точки отвечают уравнению x — 2 · y + C = 0 , т.е. — 3 — 2 · 4 + С = 0 . Отсюда С = 11 . Требуемое уравнение прямой принимает вид: x — 2 · y + 11 = 0 .

Ответ: x — 2 · y + 11 = 0 .

Задана прямая 2 3 x — y — 1 2 = 0 и точка М 0 , лежащая на этой прямой. Известна лишь абсцисса этой точки, и она равна — 3 . Необходимо определить ординату заданной точки.

Решение

Зададим обозначение координат точки М 0 как x 0 и y 0 . В исходных данных указано, что x 0 = — 3 . Поскольку точка принадлежит заданной прямой, значит ее координаты отвечают общему уравнению этой прямой. Тогда верным будет равенство:

2 3 x 0 — y 0 — 1 2 = 0

Определяем y 0 : 2 3 · ( — 3 ) — y 0 — 1 2 = 0 ⇔ — 5 2 — y 0 = 0 ⇔ y 0 = — 5 2

Ответ: — 5 2

Переход от общего уравнения прямой к прочим видам уравнений прямой и обратно

Как мы знаем, существует несколько видов уравнения одной и той же прямой на плоскости. Выбор вида уравнения зависит от условий задачи; возможно выбирать тот, который более удобен для ее решения. Здесь очень пригодится навык преобразования уравнения одного вида в уравнение другого вида.

Для начала рассмотрим переход от общего уравнения вида A x + B y + C = 0 к каноническому уравнению x — x 1 a x = y — y 1 a y .

Если А ≠ 0 , тогда переносим слагаемое B y в правую часть общего уравнения. В левой части выносим A за скобки. В итоге получаем: A x + C A = — B y .

Это равенство возможно записать как пропорцию: x + C A — B = y A .

В случае, если В ≠ 0 , оставляем в левой части общегь уравнения только слагаемое A x , прочие переносим в правую часть, получаем: A x = — B y — C . Выносим – В за скобки, тогда: A x = — B y + C B .

Перепишем равенство в виде пропорции: x — B = y + C B A .

Конечно, заучивать полученные формулы нет необходимости. Достаточно знать алгоритм действий при переходе от общего уравнения к каноническому.

Задано общее уравнение прямой 3 y — 4 = 0 . Необходимо преобразовать его в каноническое уравнение.

Решение

Запишем исходное уравнение как 3 y — 4 = 0 . Далее действуем по алгоритму: в левой части остаётся слагаемое 0 x ; а в правой части выносим — 3 за скобки; получаем: 0 x = — 3 y — 4 3 .

Запишем полученное равенство как пропорцию: x — 3 = y — 4 3 0 . Так, мы получили уравнение канонического вида.

Ответ: x — 3 = y — 4 3 0 .

Чтобы преобразовать общее уравнение прямой в параметрические, сначала осуществляют переход к каноническому виду, а затем переход от канонического уравнения прямой к параметрическим уравнениям.

Прямая задана уравнением 2 x — 5 y — 1 = 0 . Запишите параметрические уравнения этой прямой.

Решение

Осуществим переход от общего уравнения к каноническому:

2 x — 5 y — 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

Теперь примем обе части полученного канонического уравнения равными λ , тогда:

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 · λ y = — 1 5 + 2 · λ , λ ∈ R

Ответ: x = 5 · λ y = — 1 5 + 2 · λ , λ ∈ R

Общее уравнение можно преобразовать в уравнение прямой с угловым коэффициентом y = k · x + b , но только тогда, когда В ≠ 0 . Для перехода в левой части оставляем слагаемое B y , остальные переносятся в правую. Получим: B y = — A x — C . Разделим обе части полученного равенство на B , отличное от нуля: y = — A B x — C B .

Задано общее уравнение прямой: 2 x + 7 y = 0 . Необходимо преобразовать то уравнение в уравнение с угловым коэффициентом.

Решение

Произведем нужные действия по алгоритму:

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y — 2 x ⇔ y = — 2 7 x

Ответ: y = — 2 7 x .

Из общего уравнения прямой достаточно просто получить уравнение в отрезках вида x a + y b = 1 . Чтобы осуществить такой переход, перенесем число C в правую часть равенства, разделим обе части полученного равенства на – С и, наконец, перенесем в знаменатели коэффициенты при переменных x и y :

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = — C ⇔ ⇔ A — C x + B — C y = 1 ⇔ x — C A + y — C B = 1

Необходимо преобразовать общее уравнение прямой x — 7 y + 1 2 = 0 в уравнение прямой в отрезках.

Решение

Перенесем 1 2 в правую часть: x — 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x — 7 y = — 1 2 .

Разделим на -1/2 обе части равенства: x — 7 y = — 1 2 ⇔ 1 — 1 2 x — 7 — 1 2 y = 1 .

Преобразуем далее в необходимый вид: 1 — 1 2 x — 7 — 1 2 y = 1 ⇔ x — 1 2 + y 1 14 = 1 .

Ответ: x — 1 2 + y 1 14 = 1 .

В общем, несложно производится и обратный переход: от прочих видов уравнения к общему.

Уравнение прямой в отрезках и уравнение с угловым коэффициентом легко преобразовать в общее, просто собрав все слагаемые в левой части равенства:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y — 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y — k x — b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Каноническое уравнение преобразуется к общему по следующей схеме:

x — x 1 a x = y — y 1 a y ⇔ a y · ( x — x 1 ) = a x ( y — y 1 ) ⇔ ⇔ a y x — a x y — a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Для перехода от параметрических сначала осуществляется переход к каноническому, а затем – к общему:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x — x 1 a x = y — y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

Заданы параметрические уравнения прямой x = — 1 + 2 · λ y = 4 . Необходимо записать общее уравнение этой прямой.

Решение

Осуществим переход от параметрических уравнений к каноническому:

x = — 1 + 2 · λ y = 4 ⇔ x = — 1 + 2 · λ y = 4 + 0 · λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y — 4 0 ⇔ x + 1 2 = y — 4 0

Перейдем от канонического к общему:

x + 1 2 = y — 4 0 ⇔ 0 · ( x + 1 ) = 2 ( y — 4 ) ⇔ y — 4 = 0

Ответ: y — 4 = 0

Задано уравнение прямой в отрезках x 3 + y 1 2 = 1 . Необходимо осуществить переход к общему виду уравнения.

Решение:

Просто перепишем уравнение в необходимом виде:

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y — 1 = 0

Ответ: 1 3 x + 2 y — 1 = 0 .

Составление общего уравнения прямой

Выше мы говорили о том, что общее уравнение возможно записать при известных координатах нормального вектора и координатах точки, через которую проходит прямая. Такая прямая определяется уравнением A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) = 0 . Там же мы разобрали соответствующий пример.

Сейчас рассмотрим более сложные примеры, в которых для начала необходимо определить координаты нормального вектора.

Задана прямая, параллельная прямой 2 x — 3 y + 3 3 = 0 . Также известна точка M 0 ( 4 , 1 ) , через которую проходит заданная прямая. Необходимо записать уравнение заданной прямой.

Решение

Исходные условия говорят нам о том, что прямые параллельны, тогда, как нормальный вектор прямой, уравнение которой требуется записать, возьмем направляющий вектор прямой n → = ( 2 , — 3 ) : 2 x — 3 y + 3 3 = 0 . Теперь нам известны все необходимые данные, чтобы составить общее уравнение прямой:

A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) = 0 ⇔ 2 ( x — 4 ) — 3 ( y — 1 ) = 0 ⇔ 2 x — 3 y — 5 = 0

Ответ: 2 x — 3 y — 5 = 0 .

Заданная прямая проходит через начало координат перпендикулярно прямой x — 2 3 = y + 4 5 . Необходимо составить общее уравнение заданной прямой.

Решение

Нормальный вектором заданной прямой будет направляющий вектор прямой x — 2 3 = y + 4 5 .

Тогда n → = ( 3 , 5 ) . Прямая проходит через начало координат, т.е. через точку О ( 0 , 0 ) . Составим общее уравнение заданной прямой:

A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) = 0 ⇔ 3 ( x — 0 ) + 5 ( y — 0 ) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

Общее уравнение прямой на плоскости

В данной статье мы рассмотрим общее уравнение прямой на плоскости. Приведем примеры построения общего уравнения прямой, если известны две точки этой прямой или если известна одна точка и нормальный вектор этой прямой. Представим методы преобразования уравнения в общем виде в канонический и параметрический виды.

Пусть задана произвольная декартова прямоугольная система координат Oxy. Рассмотрим уравнение первой степени или линейное уравнение:

где A, B, C − некоторые постоянные, причем хотя бы один из элементов A и B отлично от нуля.

Мы покажем, что линейное уравнение на плоскости определяет прямую. Докажем следующую теорему.

Теорема 1. В произвольной декартовой прямоугольной системе координат на плоскости каждая прямая линия может быть задана линейным уравнением. Обратно, каждое линейное уравнение (1) в произвольной декартовой прямоугольной системе координат на плоскости определяет прямую линию.

Доказательство. Достаточно доказать, что прямая L определяется линейным уравнением при какой нибудь одной декартовой прямоугольной системе координат, поскольку тогда она будет определяться линейным уравнением и при любом выборе декартовой прямоугольной системы координат.

Пусть на плоскости задана прямая L. Выберем систему координат так, чтобы ось Ox совпадал с прямой L, а ось Oy был перпендикулярной к ней. Тогда уравнение прямой L примет следующий вид:

Все точки на прямой L будут удовлетворять линейному уравнению (2), а все точки вне этой прямой, не будут удовлетворять уравнению (2). Первая часть теоремы доказана.

Пусть задана декартова прямоугольная система координат и пусть задана линейное уравнение (1), где хотя бы один из элементов A и B отличен от нуля. Найдем геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют уравнению (1). Так как хотя бы один из коэффициентов A и B отличен от нуля, то уравнение (1) имеет хотя бы одно решение M(x0,y0). (Например, при A≠0, точка M0(−C/A, 0) принадлежит данному геометрическому месту точек). Подставляя эти координаты в (1) получим тождество

Вычтем из (1) тождество (3):

Очевидно, что уравнение (4) эквивалентно уравнению (1). Поэтому достаточно доказать, что (4) определяет некоторую прямую .

Поскольку мы рассматриваем декартову прямоугольную систему координат, то из равенства (4) следует, что вектор с компонентами <x−x0, y−y0> ортогонален вектору n с координатами <A,B>.

Рассмотрим некоторую прямую L, проходящую через точку M0(x0, y0) и перпендикулярной вектору n (Рис.1). Пусть точка M(x,y) принадлежит прямой L. Тогда вектор с координатами x−x0, y−y0 перпендикулярен n и уравнение (4) удовлетворено (скалярное произведение векторов n и равно нулю). Обратно, если точка M(x,y) не лежит на прямой L, то вектор с координатами x−x0, y−y0 не ортогонален вектору n и уравнение (4) не удовлетворено. Теорема доказана.

Вектор n=<A,B> называется нормальным вектором прямой L.

Замечание 1. Если два общих уравнения прямой

определяют одну и ту же прямую, то найдется такое число λ, что выпонены равенства

A2=A1λ, B2=B1λ, C2=C1λ. (7)
(A1λA2)x0+(B1λB2)x0+(C1λC2)=0. (8)

Так как выполнены первые два равенства из выражений (7), то C1λC2=0. Т.е. C2=C1λ. Замечание доказано.

Заметим, что уравнение (4) определяет уравнение прямой, проходящей через точку M0(x0, y0) и имеющий нормальный вектор n=<A,B>. Поэтому, если известен нормальный вектор прямой и точка, принадлежащая этой прямой, то можно построить общее уравнение прямой с помощью уравнения (4).

Пример 1. Прямая проходит через точку M=(4,−1) и имеет нормальный вектор n=<3, 5>. Построить общее уравнение прямой.

Решение. Имеем: x0=4, y0=−1, A=3, B=5. Для построения общего уравнения прямой, подставим эти значения в уравнение (4):

Упростив получим общее уравнение прямой:

Пример 2. Прямая проходит через точки M1=(−5, 2) и M2=(−2, 3). Построить общее уравнение прямой.

Решение. Вычислим вектор :

Вектор параллелен прямой L и, следовательно, перпердикулярен нормальному вектору прямой L. Построим нормальный вектор прямой L, учитывая, что скалярное произведение векторов n и равно нулю. Можем записать, например, n=<1,−3>.

Для построения общего уравнения прямой воспользуемся формулой (4). Подставим в (4) координаты точки M1 (можем взять также координаты точки M2) и нормального вектора n:

Упростим полученное уравнение:

Подставляя координаты точек M1 и M2 в (9) можем убедится, что прямая заданная уравнением (9) проходит через эти точки.

Приведение общего уравнения прямой на плоскости к каноническому виду

Нам нужно привести уравнение (1) к каноническому виду. Для этого найдем некоторую точку M0(x0,y0) на этой прямой. Тогда имеем:

Вторую слагаемую уравнения (11) переместим на право и разделим обе части уравнения на −AB:

Мы получили каноническое уравнение прямой. Вектор q=<−B, A> является направляющим вектором прямой (12).

Обратное преобразование смотрите здесь.

Пример 3. Прямая на плоскости представлена следующим общим уравнением:

Привести данное уравнение прямой к каноническому виду.

Решение: Найдем некоторую точку на прямой (13). Для этого подставим в (13) y=1 и найдем x. Получим x=2. Запишем уравнение прямой пользуясь формулой (11):

Переместим на право вторую слагаемую и разделим обе части уравнения на 2·5:

Приведение общего уравнения прямой на плоскости к параметрическому виду

В предыдущем параграфе мы привели общее уравнение прямой (1) к каноническому виду (12). Из канонического уравнения легко получить параметрическое уравнение прямой. для этого левый и правый части уравнения (12) обозначим через параметр t. Тогда получим:

Выразив x и y через параметр t, получим параметрическое уравнение прямой:

Обратное преобразование смотрите здесь.

Пример 4. Прямая на плоскости представлена следующим общим уравнением:

Привести данное уравнение прямой к параметрическому виду.

Решение: Найдем некоторую точку на прямой (13). Для этого подставим в (14) x=3 и найдем y. Получим y=11. Запишем уравнение прямой пользуясь формулой (11):

Переместим на право вторую слагаемую и разделим обе части уравнения на 5·2:

Обозначим обе части уравнения через параметр t:

Выразим x и y через параметр t:

Ответ. Параметрическое уравнение прямой имеет следующий вид:

Уравнение прямой

Уравнение прямой на плоскости

Любую прямую на плоскости можно задать уравнением прямой первой степени вида

где A и B не могут быть одновременно равны нулю.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Общее уравнение прямой при B≠0 можно привести к виду

где k — угловой коэффициент равный тангенсу угла, образованного данной прямой и положительным направлением оси ОХ.

Уравнение прямой в отрезках на осях

Если прямая пересекает оси OX и OY в точках с координатами ( a , 0) и (0, b ), то она может быть найдена используя формулу уравнения прямой в отрезках

Уравнение прямой, проходящей через две различные точки на плоскости

Если прямая проходит через две точки M( x 1, y 1) и N( x 2, y 2), такие что x 1 ≠ x 2 и y 1 ≠ y 2, то уравнение прямой можно найти, используя следующую формулу

x — x 1 = y — y 1
x 2 — x 1 y 2 — y 1

Параметрическое уравнение прямой на плоскости

Параметрические уравнения прямой могут быть записаны следующим образом

x = l t + x 0 y = m t + y 0

где N( x 0, y 0) — координаты точки лежащей на прямой, a = < l , m >- координаты направляющего вектора прямой.

Каноническое уравнение прямой на плоскости

Если известны координаты точки N( x 0, y 0) лежащей на прямой и направляющего вектора a = ( l и m не равны нулю), то уравнение прямой можно записать в каноническом виде, используя следующую формулу

Решение. Воспользуемся формулой для уравнения прямой проходящей через две точки

x — 1 2 — 1 = y — 7 3 — 7

Упростив это уравнение получим каноническое уравнение прямой

Выразим y через x и получим уравнение прямой с угловым коэффициентом

Найдем параметрическое уравнение прямой. В качестве направляющего вектора можно взять вектор MN .

Взяв в качестве координат точки лежащей на прямой, координаты точки М, запишем параметрическое уравнение прямой

x = t + 1 y = -4 t + 7

Решение. Так как M y — N y = 0, то невозможно записать уравнение прямой проходящей через две точки.

Найдем параметрическое уравнение прямой. В качестве направляющего вектора можно взять вектор MN .

Взяв в качестве координат точки лежащей на прямой, координаты точки М, запишем параметрическое уравнение прямой

Уравнение прямой в пространстве

Уравнение прямой, проходящей через две различные точки в пространстве

Если прямая проходит через две точки M( x 1, y 1, z 1) и N( x 2, y 2, z 2), такие что x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2 и z 1 ≠ z 2, то уравнение прямой можно найти используя следующую формулу

x — x 1 = y — y 1 = z — z 1
x 2 — x 1 y 2 — y 1 z 2 — z 1

Параметрическое уравнение прямой в пространстве

Параметрические уравнения прямой могут быть записаны следующим образом

x = l t + x 0
y = m t + y 0
z = n t + z 0

где ( x 0, y 0, z 0) — координаты точки лежащей на прямой, — координаты направляющего вектора прямой.

Каноническое уравнение прямой в пространстве

Если известны координаты точки M( x 0, y 0, z 0) лежащей на прямой и направляющего вектора n = , то уравнение прямой можно записать в каноническом виде, используя следующую формулу

x — x 0 = y — y 0 = z — z 0
l m n

Прямая как линия пересечения двух плоскостей

Если прямая является пересечением двух плоскостей, то ее уравнение можно задать следующей системой уравнений

источники:

http://matworld.ru/analytic-geometry/obshchee-uravnenie-prjamoj.php

http://ru.onlinemschool.com/math/library/analytic_geometry/line/

Содержание:

Общее уравнение прямой:

Пусть на плоскости дана декартова система координат. Движение точки с произвольными координатами х и у по этой плоскости порождает линию.

Определение: Любое соотношение Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Определение: Порядок линии определяется по высшему показателю степени переменных х и у или по сумме показателей степени в произведении этих величин.

Пример:

а) 2х + Зу-5 = 0 — линия первого порядка; точка A(l; 1) удовлетворяет этому соотношению, а точка, например, В(1; 0) — ему не удовлетворяет;

б) Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

в) Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения — линии второго порядка.

Рассмотрим другое определение линии:

Определение: Геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют уравнению F(x; у)=0, называется линией, а само уравнение F(x; у) = 0 — уравнением линии.

Определение: Общим уравнением прямой называется уравнение первого порядка вида Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Рассмотрим частные случаи этого уравнения:

а) С = 0; Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения — прямая проходит начало системы координат (Рис. 20):

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Рис. 20. Прямая, проходящая через начало координат.

б) 5 = 0; Ах+С=0 — прямая проходит параллельно оси ординат Оу (Рис. 21):

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Рис. 21. Прямая, проходящая параллельно оси ординат Оу.

в) А = 0; Ву+С=0 — прямая проходит параллельно оси абсцисс Ох (Рис. 22):

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Рис. 22. Прямая, проходящая параллельно оси абсцисс Ох.

Виды уравнений прямой

1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Пусть дано общее уравнение прямой Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения в котором коэффициент Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения Разрешим общее уравнение прямой относительно переменной Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения Обозначим через Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения тогда уравнение примет вид Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения которое называется уравнением прямой с угловым коэффициентом. Выясним геометрический смысл параметров Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения При х = 0, у = b, т.е. параметр b показывает, какой величины отрезок отсекает прямая на оси ординат, считая от начала отсчета. При Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения т.е. прямая отсекает на оси абсцисс отрезок к Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения (Рис. 23, для определенности принято, что Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения):

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Рис. 23. Отрезки, отсекаемые прямой на координатных осях.

Из рисунка видно, что Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения т.е. угловой коэффициент k определяет тангенс угла наклона прямой к положительному направлению оси абсцисс Ох.

2. Уравнение прямой в отрезках.

Пусть в общем уравнении прямой параметр Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения Выполним следующие преобразования Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Обозначим через Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения тогда последнее равенство перепишется в виде Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения. которое называется уравнением прямой в отрезках. Выясним геометрический смысл величин m и n (Рис. 24). При х=0, у=n, т.е. параметр n показывает, какой величины отрезок отсекает прямая на оси ординат, считая от начала отсчета.

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Рис. 24. Отрезки, отсекаемые прямой на координатных осях.

При у=о, х=m, т.е. прямая отсекает на оси абсцисс отрезок m. Следовательно, прямая проходит через 2 точки: Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

3. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. Пусть дано общее уравнение прямой Ах + Ву + С = 0, которая проходит через две известные точки Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения Так как точки Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения лежат на прямой, то их координаты удовлетворяют общему уравнению прямой, т.е. выполняются равенства Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения Вычтем первое из этих равенств из общего уравнения прямой и из второго равенства:

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Пусть Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения тогда полученные равенства можно преобразовать к виду Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения Отсюда находим, что Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения или Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения Полученное уравнение называется уравнением прямой, проходящей через две заданные точки Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения и Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

4. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решенияпараллельно заданному вектору Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения (каноническое уравнение прямой). Пусть прямая проходит через заданную точку Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения параллельно вектору Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Определение: Вектор Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения называется направляющим вектором прямой. Возьмем на прямой произвольную точку Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения и создадим вектор Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения (Рис. 25):

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Рис. 25. Прямая, проходящая через данную точку параллельно направляющему вектору.

В силу того, что вектора Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения коллинеарны, то воспользуемся первым условием коллинеарности: отношения соответствующих проекций равны между собой Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Определение: Полученное уравнение называется либо уравнением, проходящим через заданную точку параллельно направляющему вектору, либо каноническим уравнением прямой.

5. Параметрическое уравнение прямой. Если каждую дробь в каноническом уравнении прямой приравнять некоторому параметру t, то получим параметрическое уравнение прямой Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Основные задачи о прямой на плоскости

1. Координаты точки пересечения двух прямых. Пусть две прямые заданы общими уравнениями Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения Требуется найти координаты точки пересечения этих прямых. Для того чтобы вычислить координаты точки пересечения М(х; у), необходимо решить вышеприведенную систему линейных алгебраических уравнений, так как координаты точки М(х; у) должны одновременно удовлетворять уравнениям прямых Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

2. Угол между двумя пересекающимися прямыми. Пусть даны две пересекающиеся прямые, заданные уравнениями с угловыми коэффициентами

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Требуется найти угол между этими прямыми (Рис. 26):

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Рис. 26. Угол между двумя прямыми.

Из рисунка видно, что Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения ВычислимПрямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Наименьший угол между пересекающимися прямыми определим формулой Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения Из полученной формулы видно:

Отсюда следует условие перпендикулярности прямых: угловые коэффициенты прямых связаны между собой соотношением Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Пример:

Определить угол между прямыми Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Решение:

В силу того, что Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения что прямые параллельны, следовательно, Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Пример:

Выяснить взаимное расположение прямых Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Решение:

Так как угловые коэффициенты Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения и связаны между собой соотношением Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения то прямые взаимно перпендикулярны.

3. Расстояние от точки до прямой. Расстояние от точки до прямой определятся вдоль перпендикуляра, опущенного из точки Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения на прямую Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения Если прямая Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения задана общим уравнением, то расстояние от точки до прямой определяется формулой: Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Если прямая Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения задана уравнением прямой с угловым коэффициентом, то расстояние от точки до прямой определяется формулой: Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Прямая линия на плоскости и в пространстве. Системы координат на плоскости

Рассмотрим произвольную прямую. Выберем на этой прямой начальную точку, обозначаемую буквой О, определим положительное направление, выберем некоторый отрезок в качестве линейной единицы, благодаря чему прямая станет осью. После этого условимся называть координатой любой точки М на этой оси величину отрезка Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения. Точку О будем называть началом координат; ее собственная координата равна нулю. Так вводятся координаты на прямой.

Декартова прямоугольная система координат определяется заданием линейной единицы для измерения длин и двух взаимно перпендикулярных осей, занумерованных в каком-нибудь порядке, т.е. указано, какая из них считается первой, а какая — второй. Точка пересечения осей называется началом координат и обозначается через О, а сами оси — координатными осями, причем первую из них называют также осью абсцисс и обозначают через Ох, а вторую — осью ординат, обозначаемую Оу.

Пусть М- произвольная точка плоскости. Спроектируем точку M на координатные оси, т.е., проведем через М перпендикуляры к осям Ох и Оу; основания этих перпендикуляров обозначим соответственно Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения.

Координатами точки М в заданной системе называются числа Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения, обозначающие величину отрезка Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решенияоси абсцисс и величину отрезка Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения оси ординат, где х — первая координата, а у- вторая координата точки М (рис.7.1). Символически это записывается в виде М(х, у). Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Если задана декартова прямоугольная система координат, то каждая точка М плоскости в этой системе имеет одну вполне определенную пару координат х, у — М(х, у). И обратно, для любых х и у на плоскости найдется одна вполне определенная точка с абсциссой х и ординатой у.

На рис. 7.2 положение точки Р полностью определяется ее координатами (2;3). Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Две координатные оси разделяют всю плоскость на четыре части, называемыми координатными плоскостями, определяемыми соответственно:

Декартова прямоугольная система координат является наиболее употребительной. Однако, в отдельных случаях могут оказаться более удобными или косоугольная декартова или полярная системы координат.

Косоугольная система координат от прямоугольной декартовой системы координат отличается только произвольным углом между осями координат.

Полярная система координат определяется заданием некоторой точки О, называемой полюсом, исходящего из этой точки луча OA, называемого полярной осью, масштаба для измерения длин и направления- вращения в плоскости, считаемого положительным (рис. 7.3). Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Каждая точка М в полярной системе координат задается парой координат Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения.

Декартова прямоугольная система координат связана с полярной системой формулами: Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Основным инструментом аналитической геометрии служит формула для вычисления расстояния между двумя точкамиПрямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решенияи Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения. Числа Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решениямогут быть любыми действительными числами, положительными, отрицательными или 0. На рис. 7.4 все числа выбраны положительными. Проведем через точку Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения горизонтальную прямую, а через точку Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения — вертикальную. Пусть R -точка их пересечения. Тогда по теореме Пифагора

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения или Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения (7.1.1)

Это и есть формула для вычисления расстояния между двумя точками. Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Важно иметь в виду, что эта формула остается в силе независимо от того, как расположены точки Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения. Например, если точка Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения расположена ниже точки Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решенияи справа от нес, как на рис. 7.5, то отрезок Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения можно считать равныму Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения.

Расстояние между точками, вычисляемое по формуле (7.1.1), от этого не изменится, так как Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения. Заметим, что, так как величина Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения в этом случае отрицательна, то разность Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения больше, чемПрямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Если обозначить через Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения угол, образованный положительным направлением оси абсцисс и отрезком Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения , то формулы

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

выражают проекции произвольного отрезка на координатные оси через его длину и полярный угол. Из формул (7.1.2) получаем формулы:

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

позволяющие определить полярный угол отрезка по координатам его конца и начала. Кроме того, если u — произвольная ось, аПрямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения — угол наклона отрезкаПрямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения к этой оси, то проекция отрезка на ось равна его длине, умноженной на косинус угла наклона к этой оси:

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения.

Пусть на плоскости даны две произвольные точки, из которых одна считается первой, другая — второй. Обозначим их в заданном порядке через Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения. Проведем через данные точки ось u. Пусть М- еще одна точка оси и, расположенная на ней как угодно, но не совпадает с точкой Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения.

Определение 7.1.1. Число Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решенияопределяемое равенствомПрямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения где Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения— величины направленных отрезков Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения оси u, называется отношением, в котором точка М делит направленный отрезок Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения .

Число Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения не зависит от направления оси и от масштаба, т.к. при изменении этих параметров будут одновременно меняться величины Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения . Кроме того, Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения будет положительно, если Мнаходится между точками Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения если же М вне отрезка Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения , то Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения -отрицательное.

Задача о делении отрезка в данном отношении формулируется следующим образом:

Считая известными координаты двух точек Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения и Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решенияПрямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения и отношение Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения в котором некоторая неизвестная точка М делит отрезок Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения, найти координаты точки М.

Решение задачи определяется следующей теоремой.

Теорема 7.1.1. Если точка М(х, у) делит направленный отрезок Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения в отношении Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения то координаты этой точки выражаются формулами:

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Доказательство:

Спроектируем точки Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения на ось Ох и обозначим их проекции соответственно через Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения (рис. 7.6). На основании теоремы о пропорциональности отрезков прямых, заключенных между параллельными прямыми (Если две прямые пересечь тремя параллельными прямыми, то отношение двух отрезков, получившихся на одной прямой, равно отношению двух соответствующих отрезков другой прямой), имеем:

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Подставив в (7.1.4) величины отрезков Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решенияи

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения, получимПрямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Разрешая это уравнение относительно х, находим: Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Вторая формула (7.1.3) получается аналогично. Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Если Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения — две произвольные точки и М(х,y) —

середина отрезкаПрямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения , то Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения. Эти формулы

получаются из (7.1.3) при Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения.

Основная теорема о прямой линии на плоскости

Предположим, что в данной плоскости задана прямоугольная система координат и некоторая прямая l.

Всякий ненулевой вектор, коллинеарный данной прямой, называется её направляющим вектором. Всякие два направляющих вектора Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения одной и той же прямой коллинеарны между собой, т.е.

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения, .

Для всех направляющих векторов Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения данной прямой, не параллельной оси ординат, отношение Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения ординаты вектора к его абсциссе имеет одно и то же постоянное значение k, называемое угловым коэффициентом данной прямой.

Действительно, если Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения — два направляющих вектора данной прямой /, то векторы коллинеарны, т.е.

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения их координаты пропорциональны: Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решенияа значит Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Угловой коэффициент прямой можно определить и по-другому: как тангенс угла, образованного положительным направлением оси абсцисс и заданной прямой.

Справедлива следующая теорема.

Теорема 7.3,1. Всякая прямая на плоскости определяется уравнением первой степени с двумя переменными х и у; и обратно, всякое уравнение первой степени с двумя переменными х и у определяет некоторую прямую на плоскости.

Доказательство: Пусть В = (О,b}- точка пересечения прямой L с осью у, а Р = (х,у) — любая другая точка на этой прямой. Проведем через точку В прямую, параллельную оси х, а через точку Р — прямую, параллельную оси у; проведем также прямую х = 1. Пусть k -угловой коэффициент прямой L (см. рис. 7.7). Случай к =0 не исключается.

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Так как треугольники BSQ и BRP подобны, то Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения или после упрощения

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Следовательно, если точка Р принадлежит прямой L, то ее координаты удовлетворяют уравнению (7.2.1). Обратно, нетрудно показать, что если х и у связаны уравнением (7.2.1), то точка Р принадлежит прямой L, проходящей через точку (0;b) и имеющей угловой коэффициент k.

Таким образом, уравнение любой прямой можно записать в виде:

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения (не вертикальная прямая) Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения, (7.2.2), х = а (вертикальная прямая) (7.2.3).

В обоих случаях мы получаем уравнение первой степени. Кроме того, каждое уравнение первой степени ио х и у можно привести к виду (7.2.2) либо (7.2.3).

Докажем обратное утверждение. Предположим, что задано произвольное уравнение первой степени:

Ах+Ву+С=0. (7.2.4)

Если Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения, мы можем записать уравнение (7.2.4) в виде

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

т.е. в виде (7.2.2). При В = 0 уравнение (7.2.3) сводится к уравнению

А х = —С,

или Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения, т.е. к уравнению вида (7.2.3).

Таким образом, любая прямая описывается уравнением первой степени с неизвестными х и у, и обратно, каждое уравнение первой степени с неизвестными х и v определяет некоторую прямую. Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Уравнение (7.2.4) называется общим уравнением прямой. Так

как Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения, то вектор Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения является направляющим вектором прямой (7.2.4). Вектор Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения перпендикулярен прямой (7.2.4) и называется нормальным вектором. Возможны частные случаи:

1. Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения или у =b, где Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения, -это уравнсние прямой, параллельной оси Ох.

2. Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения или х = а, где Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения, — это уравнение прямой, параллельной оси Оу.

3. Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения— это уравнение прямой, проходящей через начало координат.

4. А=0; С=0; Ву-0 или у = 0 — это уравнение оси абсцисс Ох.

5. В=0;С=0; Ах=0 или х = 0 — это уравнение оси ординат Оу.

Различные виды уравнений прямой на плоскости

Положение прямой на плоскости относительно системы координат можно задать различными способами. Например, прямая однозначно определяется: двумя различными точками; точкой и направляющим вектором; отрезками, отсекаемыми прямой на осях координат и др. Однако, обязательно, должна быть точка, лежащая на этой прямой.

Пусть в уравнении (7.2.4) ни один из коэффициентов А, В, С не равен нулю. Перенесем свободные члены вправо и разделим на (-С). Получим уравнение прямой в отрезках:

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

где Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения-длины отрезков, отсекаемых прямой l на осях координат, взятые с соответствующими знаками (в зависимости от того, положительные или отрицательные полуоси координат пересекает прямая l).

Рассмотрим прямую l на плоскости и выберем на этой прямой какие-нибудь точки Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения. Тогда вектор Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения является направляющим вектором этой прямой l.

Геометрическое место концов всевозможных векторов вида Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения где Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения пробегает все вещественные числовые значения, определяет прямую l. Уравнение (7.3.2) называется уравнением прямой в векторной форме (векторным уравнением прямой). Записав векторное уравнение (7.3.2) в координатной форме Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения и воспользовавшись определением равенства векторов, получим параметрические уравнения прямой:

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

где Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения— координаты направляющего вектора.

Система (7.3.3) равносильна уравнению

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

называемым каноническим уравнением прямой на плоскости. Из системы (7.3.3) можно получить уравнение

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения которое называется уравнением прямой, проходящей через две данные точки Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Если абсциссы точек Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения одинаковы, т. е.Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения то прямая Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения параллельна оси ординат и ее уравнение имеет вид: х=а.

Если ординаты точек Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения одинаковы, т. е. Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения, то прямая Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения параллельна оси абсцисс и ее уравнение имеет вид: у=b. Уравнение (7.3.5) можно преобразовать к виду:

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

или

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

где

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

угловой коэффициент прямой.

Уравнение (7.3.6) называется уравнением прямой, проходящей через точку Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения и имеющей угловой коэффициент k.

Пример:

Составить уравнение прямой, проходящей через две точки Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Решение:

I способ. Воспользуемся уравнением (7.3.5). Подставив известные координаты точек Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения, получим искомое уравнение прямой:

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

II способ. Зная координаты точек Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения по формуле (7.3.7) можно найти угловой коэффициент искомой прямой:

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Тогда, воспользовавшись уравнением (7.3.6), найдём искомое уравнение прямой: Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения.

Заметим, что составленное уравнение можно записать как уравнение прямой в отрезках, разделив все члены уравнения

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения.

Взаимное расположение двух прямых на плоскости

Пусть на плоскости заданы две прямые общими уравнениями Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения. Угол между ними можно вычислить как угол между направляющими векторами

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения этих прямых:

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Если прямые параллельныПрямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения, то их нормальные векторы Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решенияколлинеарны, а это значит, что их соответствующих координаты пропорциональны:

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

И обратно, если координаты при неизвестных х и у пропорциональны, то прямые параллельны. Следовательно, можно сформулировать следующую теорему:

Теорема 7.4.1. Две прямыеПрямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения параллельны тогда и только тогда, когда в их уравнениях коэффициенты при соответствующих переменных х и у пропорциональны.

Например, прямые Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения параллельны,

т. к.Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения.

Если прямые перпендикулярны Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения, то их нормальные векторы Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения тоже перпендикулярны, а это значит, что скалярное произведение этих векторов равно нулю: Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения , или в координатной форме

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Справедливо и обратное утверждение: если скалярное произведение нормальных векторов равно нулю, то прямые /, и /2 перпендикулярны.

Теорема 7.4.2. Две прямые Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения перпендикулярны тогда и только тогда, когда коэффициенты при переменных х и у удовлетворяют равенству Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения.

Например, прямые Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения перпендикулярны, так как

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения.

Если прямые заданы уравнениями вида Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решенияи Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения, то угол между ними находится по формуле:

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Для того чтобы прямые были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения (7.4.5)

а для их перпендикулярности необходимо и достаточно, чтобы

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения (7.4.6)

Пример:

Найти проекцию точки Р (2, 3) на прямую, проходящую через точки А (4, 3) и В (6, 5).

Решение:

Проекция точки Р на прямую АВ — это точка пересечения перпендикуляра, проведенного к этой прямой из точки Р.

Вначале составим уравнение прямой АВ. Воспользовавшись уравнением (7.3.5), последовательно получаем:

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Для того, чтобы составить уравнение перпендикуляра, проведенного из точки Р на прямую АВ, воспользуемся уравнением (7.3.6). Угловой коэффициент k определим из условия перпендикулярности двух прямых, т. е. из формулы (7.4.6). Поскольку Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения,то из равенства Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения находим угловой коэффициент перпендикуляра Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения. Подставляя найденное значение углового коэффициента Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения и координаты точки Р (2, 3) в уравнение (7.3.6), получаем:

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения.

Решая систему уравнений, составленную из уравнений прямой АВ и перпендикуляра

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

найдём координаты проекции точки Р на прямую АВ: х=3 у=2, т.е.

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Пример:

Издержки на производство шести автомобилей составляют 1000 млн. ден. ед., а на производство двадцати автомобилей- 15000 млн. ден. ед. Определить издержки на производство 22 автомобилей при условии, что функция К(х) издержек производства линейна, т.е. имеет вид у = ах + b .

Решение:

Обозначим через х количество автомобилей, а через y- издержки производства. Тогда из условия задачи следует, что заданы координаты двух точек- А(6; 1000) и В(20; 15000), принадлежащих линейной функции у = ах +b. Воспользовавшись уравнением (7.3.6 ), найдём искомое уравнение:

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Подставив в найденную функцию х = 22, определим издержки на производство 22 автомобилей:

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения (млн. дсн. ед)

Пример:

Фирма продаёт свои изделия по 10 ден. ед. за единицу. Затраты на изготовление одного изделия составляют 6 ден. ед. Непроизводственные расходы фирмы равны 300 ден. ед. в год. Определить годовой выпуск продукции, необходимой для того, чтобы фирма работала с прибылью.

Решение:

Обозначим через х объём произведенной продукции. Тогда доход фирмы равен D = 10x. Затраты на производство определяются уравнением: Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения. Найдём точку безубыточности. т.е. значение x, при котором доход фирмы равен затратам: D=K, т.е. 10x = 6x + 300. Решив это уравнение, получим значение объёма производства, при котором фирма работает без убытка: х=75. Следовательно, если объём производства Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения то фирма будет работать с прибылью.

Прямая линия в пространстве

Системы координат в пространстве

В трехмерном пространстве система координат определяется тремя взаимно перпендикулярными осями, проходящими через начало координат О. Снабдив каждую ось единицей измерения длин, можно задать тремя упорядоченными числами (называемыми координатами) положение точки в пространстве. Например, точка Р задается упорядоченной тройкой чисел Р( 1,2,3).

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Пусть задано пространствоПрямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения. Важнейшим понятием пространственной аналитической геометрии является понятие уравнения поверхности. Всякая же линия рассматривается как пересечение двух поверхностей. Мы остановимся на изучении поверхности первого порядка — плоскости и прямой линии.

Положение прямой в пространстве вполне определяется заданием какой-либо сё фиксированной точки Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения и вектора Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решенияпараллельного этой прямой.

Вектор Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения, параллельный прямой, называется направляющим вектором этой прямой.

Итак, пусть прямая L проходит через точку Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения, лежащую на прямой, параллельно вектору Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения(см. рис. 7.9).

Рассмотрим произвольную точку M(x,y,z) на этой прямой. Из рисунка видно, что вектор Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения параллельный (коллинеарный) вектору Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения. Поскольку векторыПрямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения коллинеарны, то найдётся такое число t, что Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения , где множитель t может принимать любое числовое значение в зависимости от положения точки М на прямой.

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Уравнение Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения (7.5.1) называется векторным уравнением прямой. Оно показывает, что каждому значению параметра t соответствует радиус-вектор некоторой точки M, лежащей на прямой. Это уравнение можно записать в виде: Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения (см. рис. 7.9). Запишем это уравнение в координатной форме. Подставив координаты векторов Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения в уравнение (7.5.1) и воспользовавшись определением алгебраических операций над векторами и равенством векторов, получим уравнения:

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Полученные уравнения называются параметрическими уравнениями прямой.

При изменении параметра t изменяются координаты х, у и z и точка М перемещается по прямой.

Разрешив уравнения (7.5.2) относительно t

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

и приравняв найденные значенияt получим канонические уравнения прямой:

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Если прямая L в пространстве задается двумя своими точками Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения,то вектор

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

можно взять в качестве направляющего вектора и тогда уравнения (7.5.3) преобразуются в уравнения

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

где Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения. (7.5.4)- это уравнение прямой, проходящей через две заданные точки Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Пример:

Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через точкуПрямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения, перпендикулярно плоскости Oxz.

Решение:

В качестве направляющего вектораПрямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения искомой прямой можно взять единичный вектор оси Оу: Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения • Подставив значения координат точкиПрямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения и значения координат направляющего вектора в уравнения (7.5.2), получаем: Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения.

Пример:

Записать уравнения прямой Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения в параметрическом виде.

ОбозначимПрямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения. Тогда Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения,

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения, откуда следует, что Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения.

Замечание. Пусть прямая перпендикулярна одной из координатных осей, например, оси Ох. Тогда направляющий вектор Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

прямой перпендикулярный оси Ох, имеет координаты (о; n; р) и параметрические уравнения прямой примут вид Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Исключая из уравнений параметр t, получим уравнения прямой в виде

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Однако и в этом случае формально можно записывать канонические уравнения прямой в виде Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения. Таким образом, если в знаменателе одной из дробей стоит нуль, то это означает, что прямая перпендикулярна соответствующей координатной оси.

Аналогично, канонические уравнения

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения определяют прямую перпендикулярную осям О х и О у или параллельную оси О z.

Пример:

Составить канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точку Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения параллельно вектору Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Решение:

Подставив координаты точки Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения, и вектора Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения в (7.5.2) и (7.5.3), находим искомые канонические уравнения:

.Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решенияи параметрические уравнения:

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Пример:

Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку М(2, -1,4) параллельно

а) прямой Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения;

б) оси Ох;

в) оси Оу;

г) оси Oz.

Решение:

а) Поскольку направляющий вектор заданной прямой

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения является направляющим вектором искомой прямой, то

подставив координаты точки М(2; -1; 4) и вектора Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения в (7.5.3) получим уравнение искомой прямой: Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

б) Поскольку единичный вектор оси О х: Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения будет направляющим вектором искомой прямой, то подставив в уравнение

(7.5.3) координаты точки М(2; -1; 4 ) и вектора Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения, получаем:

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

в) В качестве направляющего вектора Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения искомой прямой можно взять единичный вектор оси Оу: Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения. В соответствии с уравнением (7.5.3), получаем Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения или Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения.

г) Единичный вектор оси Oz : Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения будет направляющим вектором искомой прямой. В соответствии с уравнением (7.5.3), получаем

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Пример:

Составить уравнение прямой, проходящей через две заданные точки Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Решение:

Подставив координаты точек Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решенияв уравнение

(7.5.4), получим:Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Взаимное расположение двух прямых в пространстве

Углом между прямыми в пространстве будем называть любой из смежных углов, образованных двумя прямыми, проведенными через произвольную точку параллельно данным. Пусть в пространстве заданы две прямые:

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Очевидно, что за угол Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения между прямыми можно принять угол между их направляющими векторами Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения и

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения, косинус которого находится по формуле:

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых равносильны условиям параллельности и перпендикулярности их направляющих векторовПрямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения:

Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда пропорциональны соответствующие координаты направляющих векторов:

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

т.е. Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения параллельна Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения тогда и только тогда, когда Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения параллелен

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения.

Две прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда сумма произведений соответствующих координат направляющих векторов равна нулю: Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Пример:

Найти угол между прямыми Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения и

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Решение:

Воспользуемся формулой (7.6.1), в которую подставим координаты направляющих векторов Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения и

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения. Тогда Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения, откуда Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения илиПрямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения.

Вычисление уравнения прямой

Пусть PQ — некоторая прямая на плоскости Оху (рис. 22). Через произвольную точку М0 (х0, у0) этой прямой (условно называемую «начальной точкой») проведем прямую М0х параллельную оси Ох и имеющую с ней одинаковое направление. Тогда наименьший неотрицательный угол Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения, образованный полупрямой M0Q, лежащей выше оси М0х’ или совпадающей с ней, называется углом между данной прямой и осью Ох.

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Очевидно, этот угол не зависит от выбора точки М0. Если прямая PQ пересекает ось Ох в некоторой точке А (а, 0), то ф есть обычный угол между направленными прямыми. Если PQ || Ох, то, очевидно, Ф = 0. Начальная точка М0 прямой и угол ф («направление прямой») однозначно определяют положение этой прямой на плоскости.

1) Пусть сначала Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения. Тогда прямая PQ пересекает ось Оу в некоторой точке В (0, b), которую можно принять за начальную.

Ордината у = NM текущей точки М (х, у) прямой (рис. 23) состоит из двух частей:

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

из них первая постоянна, а вторая переменна. Введя угловой коэффициент tg ф = k9 из рис. 23 будем иметь

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

при х > 0.

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Таким образом,

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

при х > 0.

Нетрудно проверить, что формула (3) остается справедливой также и при х < 0.

Мы доказали, что координаты любой точки М (х, у) прямой PQ удовлетворяют уравнению (3). Легко убедиться в обратном: если координаты какой-нибудь точки Ml Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения удовлетворяют уравнению (3), то точка Мх обязательно лежит на прямой PQ. Следовательно, уравнение (3) представляет собой уравнение прямой линии PQ (так называемое уравнение прямой с угловым коэффициентом). Постоянные величины Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения (параметры) имеют следующие значения: b = ОБ — начальный отрезок (точнее, начальная ордината), k = tg ф — угловой коэффициент. Заметим, что если точка В расположена выше оси Ох, то Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения, а если ниже, то b < 0. При 6 = 0 прямая проходит через начало координат и уравнение такой прямой есть

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

При k = 0 получаем уравнение прямой, параллельной оси Ох:

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

2) Если Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения, то с помощью аналогичных рассуждений мы также приходим к уравнению (3).

3) Если Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения, т. е. прямая АВ перпендикулярна оси Ох, то ее уравнение есть

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

где а — абсцисса следа этой прямой на оси Ох (т. е. ее точки пересечения с осью Ох).

Замечание. Как частные случаи получаем уравнения осей координат:

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Прямую легко построить по ее уравнению.

Пример:

Построить прямую, заданную уравнением

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Решение:

Известно, что две точки вполне определяют положение прямой. Поэтому достаточно найти две точки, через которые проходит наша прямая. В данном уравнении b = -4. Следовательно, прямая проходит через точку В (0, -4). С другой стороны, координаты х и у любой точки, лежащей на нашей прямой, связаны заданным уравнением. Поэтому, задав абсциссу некоторой точки, лежащей на прямой, мы из уравнения прямой найдем ее ординату. Положим, например, х = 2; из уравнения прямой получим у = -1. Таким образом, наша прямая проходит через точки А (2, -1) и В (0, -4). Построив эти точки по их координатам и проведя через них прямую (рис. 24), мы получим искомую прямую.

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Из предыдущего видно, что для произвольной прямой на плоскости можно составить ее уравнение; обратно, зная уравнение некоторой прямой, можно построить эту прямую. Таким образом, уравнение прямой полностью характеризует положение ее на плоскости.

Из формул (3) и (5) видно, что уравнение прямой есть уравнение первой степени относительно текущих координат х и у. Справедливо и обратное утверждение.

Теорема: Всякое невырожденное уравнение первой степени

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

представляет собой уравнение некоторой прямой линии на плоскости Оху (общее уравнение прямой линии).

Доказательство: 1) Пусть сначала В ^ 0. Тогда уравнение (7) можно представить в виде

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения Сравнивая с (3), мы получим, что это есть уравнение прямой с угловым коэффициентом k = -А/В и начальной ординатой Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

2) Пусть теперь В = 0; тогда А Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения 0. Имеем Ах + С = 0 и

х = -С/А.

Уравнение (9) представляет собой уравнение прямой, параллельной оси Оу и отсекающей на оси Ох отрезок a = -С/А.

Так как все возможные случаи исчерпаны, то теорема доказана.

  • Заказать решение задач по высшей математике

Угол между двумя прямыми

Рассмотрим две прямые (не параллельные оси Оу)у заданные их уравнениями с угловыми коэффициентами (рис. 25):

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Требуется определить угол 9 между ними. Точнее, под углом 0 мы будем понимать наименьший угол, отсчитываемый против хода часовой стрелки, на который вторая прямая повернута относительно первой (0 < 0 < я). Этот угол 9 (рис. 25) равен углу АСВ треугольника ABC. Далее, из элементарной геометрии известно, что внешний угол треугольника равен сумме внутренних, с ним не смежных. Поэтому ф’ = ф + 0, или

0 = ф’ — ф;

отсюда на основании известной формулы тригонометрии получаем

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Заменяя tg ф и tg ф’ соответственно на к и k окончательно будем иметь

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Формула (3) дает выражение тангенса угла между двумя прямыми через угловые коэффициенты этих прямых.

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Выведем теперь условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.

Если прямые (1) и (2) параллельны, то ф’ = ф и, следовательно,

k’ = к. (4)

Обратно, если выполнено условие (4), то, учитывая, что ф’ и ф заключаются в пределах от 0 до я, получаем

Ф’ — ф, (5)

и, следовательно, рассматриваемые прямые или параллельны, или сливаются (параллельность в широком смысле).

Правило 1. Прямые на плоскости параллельны (в широком смысле) тогда и только тогдау когда их угловые коэффициенты равны между собой.

Если прямые перпендикулярны, то Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения и, следовательно,

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

отсюда 1 + kk’ = 0 и

k’ = -l/k.

Справедливо также и обратное утверждение.

Правило 2. Две прямые на плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку.

Пусть теперь уравнения прямых заданы в общем виде:

Ах + By + С = 0 (7)

и

А’х + В’у + С’ = 0. (8)

Отсюда, предполагая, что Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения, получаем

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Следовательно, угловые коэффициенты этих прямых есть

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Из формулы (3), производя несложные выкладки, находим тангенс угла между этими прямыми:

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Отсюда получаем:

1) условие параллельности прямых (0 = 0)

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

2) условие перпендикулярности прямых Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Отметим, в частности, что прямые

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения взаимно перпендикулярны.

Для прямых, параллельных осям Ох и Оу, условно полагают Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения и Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Пример:

Определить угол между прямыми у = х и у = 1,001Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения + 10. Здесь угловые коэффициенты прямых есть k = 1 и k’ = 1,001.

Решение:

По формуле (3) получаем

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Так как для малых углов 0 справедливо приближенное равенство Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения, то

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении

Пусть прямая РМ образует угол ф с положительным направлением оси Ох (рис. 26) и проходит через заданную точку Р Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения. Выведем уравнение этой прямой, предполагая сначала, что прямая не параллельна оси Оу.

В этом случае, как мы видели, уравнение прямой имеет вид

у = kx + b, (1)

где k = tg ф — угловой коэффициент прямой, а Ь — длина отрезка, отсекаемого нашей прямой на оси Оу. Так как точка Р Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения лежит на прямой РМ, то ее координаты хг и ух должны удовлетворять уравнению (1), т. е.

ух = kxt+ b. (2)

Вычитая из равенства (1) равенство (2), получим

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Это и есть уравнение искомой прямой.

Если прямая, проходящая через точку Р Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения параллельна оси Оу, то ее уравнение, очевидно, будет

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Если k — заданное число, то уравнение (3) представляет вполне определенную прямую. Если же k — переменный параметр, то это уравнение определит пучок прямых у проходящих через точку Р Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения (рис. 27); при этом k называется параметром пучка.

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Пример:

Написать уравнение прямой, проходящей через точку Р (3, 2) и параллельной прямой:

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Решение:

Так как искомая прямая параллельна данной прямой, то ее угловой коэффициент k = 4/3. Следовательно, на основании формулы (3) уравнение этой прямой имеет вид Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения, или

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Пример:

Написать уравнение прямой, проходящей через точку Р (4, 5) и перпендикулярной к прямой:

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Решение:

Так как искомая прямая перпендикулярна прямой с угловым коэффициентом k = -2/3, то ее угловой коэффициент k’ = -l/k = 3/2. Следовательно, на основании формулы (3) уравнение этой прямой таково:

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения, или окончательно

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки

Известно, что через две не совпадающие между собой точки можно провести прямую, и притом только одну. Отыщем уравнение прямой, проходящей через точки Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Предположим сначала, что Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения, т. е. прямая PQ не параллельна оси Оу, Поскольку прямая PQ проходит через точку Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения то ее уравнение имеет вид 

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

где k — неизвестный нам угловой коэффициент этой прямой. Однако так как наша прямая проходит также через точку Q Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения, то координаты Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения этой последней точки должны удовлетворять уравнению (1). Отсюда

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения=Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

и, следовательно, при Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения имеем

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Подставляя выражение (2) для углового коэффициента k в уравнение (1), получим уравнение прямой PQ:

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Это уравнение при Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения можно записать также в виде пропорции:

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Если Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения, т. е. прямая, проходящая через точки Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения и Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения, параллельна оси Оу, то уравнение этой прямой, очевидно, будет

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Пример:

Написать уравнение прямой, проходящей через точки Р(4, -2) и Q(3, -1).

Решение:

На основании уравнения (3) имеем

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Уравнение прямой в «отрезках»

Выведем теперь уравнение прямой, положение которой на плоскости задано ненулевыми отрезками, отсекаемыми ею на осях координат. Предположим, например, что прямая АВ отсекает на оси Ох отрезок OA = а, а на оси Оу — отрезок О В = b (рис. 28), причем ясно, что тем самым положение прямой вполне определено.

Для вывода уравнения прямой АВ заметим, что эта прямая проходит через точки А (а, 0) и Б Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения поэтому уравнение ее легко получается из уравнения (3′), если положить в нем Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения. Имеем

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Отсюда

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

и окончательно

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решенияПрямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Это и есть так называемое уравнение прямой в «отрезках». Здесь х и у, как обычно, — координаты произвольной точки М (х, у), лежащей на прямой АВ (рис. 28).

Пример:

Написать уравнение прямой АВ, отсекающей на оси Ох отрезок OA = 5, а на оси Оу отрезок ОВ = -4.

Полагая в уравнении (1) а = 5 и b = -4, получим Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения, или

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Примечание. Уравнение прямой, проходящей через начало координат или параллельной одной из осей координат, не может быть записано как уравнение прямой в «отрезках».

Точка пересечения двух прямых

Пусть имеем две прямые

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Точка пересечения этих прямых лежит как на первой прямой, так и на второй. Поэтому координаты точки пересечения должны удовлетворять как уравнению первой, так и уравнению второй прямой. Следовательно, для того чтобы найти координаты точки пересечения двух данных прямых, достаточно решить совместно систему уравнений этих прямых.

Последовательно исключая из уравнений (1) и (2) неизвестные у и х, будем иметь

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Отсюда если Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения, то для координат точки пересечения прямых получаем такие выражения: Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения или, введя определители второго порядка, имеемПрямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Для прямых (1) и (2) возможны следующие три случая.

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

На основании  прямые не параллельны. Координаты их единственной точки пересечения определяются из формул (6).

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Прямые параллельны и точки пересечения нет. Аналитически это видно из того, что по меньшей мере одно из уравнений (3) или (4) противоречиво и, значит, система (1) и (2) несовместна.

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Прямые (1) и (2) сливаются, и, таким образом, существует бесчисленное множество точек пересечения. В этом случае левые части уравнений (1) и (2) отличаются только на постоянный множитель и, следовательно, система этих уравнений допускает бесконечно много решений.

Пример:

Решая совместно систему уравнений прямых

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

получаем х = 2 и у = 1. Следовательно, эти прямые пересекаются в точке N(2,1).

Расстояние от точки до прямой

Рассмотрим прямую KL, заданную общим уравнением

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

и некоторую точку МПрямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения. Под расстоянием от точки М до прямой KL понимается длина перпендикуляра d = Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения, опущенного из точки М на прямую KL (рис. 29).

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Уравнение перпендикуляра MN можно записать в виде

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Отсюда для основания перпендикуляра N(x2, у2) будем иметь

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

и, следовательно,

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

где t — коэффициент пропорциональности. Поэтому

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

С другой стороны, учитывая, что точка N(*2, i/2) лежит на прямой KL, причем из (4) имеем Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения получаем

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Следовательно,

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Таким образом, в силу формулы (5) имеем

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

В частности, полагая Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения, получаем расстояние от начала координат до прямой

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Замечание. Разделив обе части уравнения прямой (1) на Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения, получим уравнение

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

свободный член которого Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения численно равен расстоянию от

начала координат до прямой. Такое уравнение прямой будем называть нормированным.

Из формулы (7) получаем правило:

чтобы определить расстояние от точки до прямой, нужно в левую часть нормированного уравнения этой прямой подставить координаты данной точки и взять модуль полученного результата.

Пример:

Определить расстояние от точки М (-2, 7) до прямой

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Решение:

Нормируя уравнение этой прямой, будем иметь

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Отсюда искомое расстояние есть

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

  • Плоскость в трехмерном пространстве
  • Функция одной переменной
  • Производная функции одной переменной
  • Приложения производной функции одной переменной
  • Обратная матрица — определение и нахождение
  • Ранг матрицы — определение и вычисление
  • Определители второго и третьего порядков и их свойства
  • Метод Гаусса — определение и вычисление

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Как найти угол треугольника зная его вершины
  • Как найти потенциал электрического поля в треугольнике
  • Как найти по паспорту приборов их мощность
  • Как найти производителя по mac адресу
  • Grounded как найти сорняк