Как найти уравнение серединного перпендикуляра отрезка

Была ли эта статья полезной?

Светило науки — 12 ответов — 0 раз оказано помощи

Выведение уравнения прямой

Для выведения уравнения прямой проведем эту прямую как серединный перпендикуляр к некоторому отрезку с данными координатами конечных точек отрезка.

Все точки серединного перпендикуляра находятся на равных расстояниях от концов отрезка.

Рис. 1. Серединный перпендикуляр к отрезку

Пусть  – это произвольная точка на прямой  (см. Рис. 1), которая является серединным перпендикуляром к отрезку  (точка  имеет координаты , точка  имеет координаты ). Тогда , отсюда следует, что , то есть справедливо равенство:

 — это равенство и есть уравнением прямой.

Возведем в квадрат выражения в скобках и приведем подобные слагаемые:

 

 

 

Введем новые обозначения:

 

 

 

Следовательно, уравнение прямой будет иметь следующий вид:

 

Уравнение вертикальной прямой

 

 – уравнение вертикальной прямой

На рис. 2 изображены вертикальные прямые, уравнение которых выглядят следующим образом:

а) . Это означает, что все точки на этой прямой имеют координату .

б) . Это означает, что все точки на этой прямой имеют координату .

в) . Это означает, что все точки на этой прямой имеют координату , то есть это уравнение оси .

Рис. 2. Вертикальные прямые

Уравнение горизонтальной прямой

 

 – уравнение горизонтальной прямой

На рис. 3 изображены горизонтальные прямые, уравнения которых выглядят следующим образом:

а) . Это означает, что все точки на этой прямой имеют координату .

б) . Это означает, что все точки на этой прямой имеют координату .

в) . Это означает, что все точки на этой прямой имеют координату , то есть это уравнение оси .

Рис. 3. Горизонтальные прямые

Уравнение наклонной прямой к оси  ()

 

 

 

Введем новые обозначения:

 

 

Таким образом, уравнение наклонной к оси  прямой выглядит следующим образом:

, где

 – угловой коэффициент (если , то функция возрастает, если  – убывает);

 – ордината точки пересечения прямой с осью .

Примеры

1. Дано уравнение прямой: .

В этом случае ; . Следовательно, данная функция возрастает, прямая пересекает ось в точке с координатами  (см. Рис. 4). 

Рис. 4. Прямая

2. Дано уравнение прямой: .

В этом случае ; . Следовательно, данная функция убывает, прямая пересекает ось  в точке с координатами  (см. Рис. 5). 

Рис. 5. Прямая

Условия параллельности и перпендикулярности наклонных прямых

Даны две прямые:

 

 

1. Данные прямые будут параллельными, если выполняются следующие условия:

 

То есть эти прямые должны быть наклонены под одним углом к оси , но проходить через разные точки на оси .

2. Данные прямые будут перпендикулярными, если выполняется следующее условие:

 

Уравнение прямой, проходящей через заданную точку

Дана точка  с координатами . Уравнение наклонной прямой: , следовательно, условие того, что точка  лежит на прямой, – это .

 

 – уравнение любой наклонной прямой, проходящей через точку .

Задавая коэффициент , можно выбрать конкретную прямую, проходящую через точку.

Задача 1

Дано: прямая ; точка .

Найти: а) уравнение прямой, которая проходит через точку  и параллельна заданной прямой; б) уравнение прямой, которая проходит через точку  и перпендикулярна заданной прямой.

Решение

Все наклонные прямые, которые проходят через точку , имеют уравнение:

 

1. Угловые коэффициенты параллельных прямых равны. Поэтому уравнение прямой, проходящей через точку  и параллельной заданной прямой, имеет угловой коэффициент . Следовательно, уравнение такой прямой имеет следующий вид:

 

 

 

2. Произведение угловых коэффициентов перпендикулярных прямых равно . Следовательно, угловой коэффициент прямой, перпендикулярной, равен:

 

 

Подставляем данный коэффициент в уравнение прямых, проходящих через точку :

 

 

Ответ: а) ; б)  .

Задача 2

Дано: точка ; точка .

Найти: уравнение прямой  и точки ее пересечения с осями координат.

Решение

Уравнение прямой имеет вид:

 

Необходимо определить числа , , . Подставим координаты точек  и  в уравнение прямой, получим систему из двух уравнений:

 

Решим эту систему, выразив  и  через :

 

 

 

 

Подставим это значение в равенство:

 

 

Найденные значения  и  подставляем в общее выражение прямой:

 

При  разделим это выражение на  и умножим на :

 

Мы получили уравнение прямой, которая проходит через две данные точки ( и ). Запишем это уравнение в таком виде:

 

Это уравнение наклонной прямой, которая имеет угловой коэффициент  и пересекает ось  в точке с координатой  (на рисунке 6 точка ).

Определим координаты точки пересечения прямой с осью , для этого приравняем к нулю :

 

 

 

Следовательно, координаты точки пересечения прямой с осью  –  (на рисунке 6 точка ).

Рис. 6. Иллюстрация к задаче

Ответ: ; ; .

Задача 3

Дано: точка ; точка .

Найти: уравнение серединного перпендикуляра к отрезку .

Рис. 7. Иллюстрация к задаче

Решение

Пусть  (см. Рис. 7) – это произвольная точка на серединном перпендикуляре к отрезку . Тогда , отсюда следует, что , то есть справедливо равенство:

 

Подставим в данное равенство соответствующие координаты:

 

 

 

Разделим обе части уравнения на 4 и получим искомое уравнение серединного перпендикуляра:

 

Ответ: .

---

Уравнение прямой в отрезках

Пусть  – уравнение наклонной прямой, которая пересекает оси  и  в точках  и . Тогда уравнение этой прямой можно представить в виде:

 

Такое уравнение называется уравнением прямой в отрезках. В данном случае отрезок , а отрезок .

Выведем данное уравнение.

Дано: точка ; точка ; ,  (прямая не пересекает начало координат) (см. Рис. 8).

Требуется: вывести уравнение прямой .

Решение

Рис. 8. Иллюстрация к доказательству

Прямая  – это наклонная прямая, следовательно, ее уравнение записывается в виде .

Необходимо найти коэффициент  и свободный член . Для этого подставляем координаты точек  и , лежащих на прямой, в уравнение наклонной прямой:

  

 

 

Подставляем полученные значения в уравнение наклонной прямой:

 

Обе части уравнения умножаем на :

 

 

Обе части уравнения делим на произведение :

 

 

Мы получили уравнение прямой в отрезках:  

Пример

Дано: точка ; точка .

Найти: уравнение прямой .

Решение

Уравнение прямой в отрезках выглядит следующим образом:

 

В данном случае: ; . Подставляем эти значения в уравнение:

 

Ответ: .

---

Задача типа С5 из ЕГЭ по математике

Найдите значение параметра , при котором система неравенств имеет единственное решение.

 

Решение

1. Рассмотрим первое неравенство.

Неравенство  задает круг с центром в точке  и радиуса  (см. Рис. 9).

Координаты точки  зависят от параметра: .

Радиус  также зависит от параметра: .

Обе части этого неравенства неотрицательны, следовательно, его можно возвести в квадрат:

 

Рис. 9. Иллюстрация к задаче

2. Рассмотрим второе неравенство.

Неравенство  задает полуплоскость под прямой , так как:

 

 

 

Эта полуплоскость фиксированна, не зависит от параметра .

3. Необходимо расположить круг так, чтобы он находился над прямой и касался ее. Общая точка прямой и окружности находится из системы:

 

Подставим значение  в первое уравнение:

 

Сделаем замену:

 

 

Тогда:

 

 

 

Нам требуется единственность решения данного уравнения, следовательно, его дискриминант должен быть равен нулю.

 

 

Так как , то:

 

 

 

 

 

Выполним проверку этих значений параметра .

а) Если , то координаты центра окружности равны . Подставим координату  в уравнение прямой и сравним получившееся значение  со второй координатой центра окружности:

 

 

Следовательно, точка  лежит над прямой , и значение  нам подходит.

б) Можно выполнить проверку другим способом.

Если , то координаты центра окружности равны .

Подставим значения  и в неравенство :

 

 – неверно, следовательно, точка  также не лежит в полуплоскости, задаваемой неравенством .

Таким образом, искомые значения параметра равны: , .

Ответ: , .

---

Уравнение прямой, проходящей через две точки. Первый способ вывода

Ранее мы вывели общее уравнение прямой, проходящей через две точки:

 

Выведем уравнение наклонной прямой, проходящей через две точки.

Дано: точки  и  на наклонной прямой  (см. Рис. 10).

Требуется: вывести уравнение наклонной прямой .

Рис. 10. Наклонная прямая, проходящая через две точки

Решение

Выберем произвольную точку , находящуюся на прямой . Вектор  коллинеарен вектору  (см. Рис. 10), следовательно:

 

В координатном виде это выглядит следующим образом:

 

Векторное равенство дает систему из двух уравнений:

 

 

Это и есть уравнение наклонной прямой, проходящей через две точки, при .

Ответ: .

Если , то это вертикальная прямая.

Если , то это горизонтальная прямая.

Пример

Даны две точки , . Написать уравнение наклонной прямой, проходящей через эти точки.

Решение

Уравнение наклонной прямой, проходящей через две точки, в общем виде выглядит следующем образом:

 

Подставляем значение координат данных в условии точек в уравнение:

 

 

 

 

В итоге мы получили уравнение прямой в отрезках.

---

Уравнение прямой, проходящей через две точки. Второй способ вывода

Дано: точки  и  на наклонной прямой  (см. Рис. 11).

Требуется: вывести уравнение наклонной прямой .

Рис. 11. Наклонная прямая, проходящая через две точки

Решение

Подставляем координаты первой точки в уравнение наклонной прямой:

 

Получаем систему уравнений:

 

Вычтем из первого уравнения второе:

 

Необходимо найти , для этого подставляем координаты двух точек в уравнение наклонной прямой:

 

Вычтем из первого уравнения второе:

 

 

Следовательно:

 

 

Ответ: , где  и .

Список литературы

1. Атанасян Л.С. и др. Геометрия 7–9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2010.

2. Фарков А.В. Тесты по геометрии: 9 класс. К учебнику Л.С. Атанасяна и др. – М.: Экзамен, 2010.

3. Погорелов А.В. Геометрия, уч. для 7–11 кл. общеобр. учрежд. – М.: Просвещение, 1995.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-сайт mathprofi.ru (Источник)

2. Интернет-сайт mathelp.spb.ru (Источник)

3. Интернет-сайт YouTube (Источник)

Домашнее задание

1. Задачи 972, 977, 982 – Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. Геометрия, 7-9 (Источник)

2. Докажите, что прямые, заданные уравнениями  и , параллельны.

3. Составить уравнение прямой, проходящей через точки , .

Выведение уравнения прямой

Для
выведения уравнения прямой проведем эту прямую как серединный перпендикуляр к
некоторому отрезку с данными координатами конечных точек отрезка.

Все
точки серединного перпендикуляра находятся на равных расстояниях от концов
отрезка.

Рис.
1. Серединный перпендикуляр к отрезку

Пусть  –
это произвольная точка на прямой  (см.
Рис. 1), которая является серединным перпендикуляром к отрезку  (точка  имеет
координаты ,
точка  имеет
координаты ).
Тогда ,
отсюда следует, что ,
то есть справедливо равенство:

 —
это равенство и есть уравнением прямой.

Возведем
в квадрат выражения в скобках и приведем подобные слагаемые:

 

 

 

Введем
новые обозначения:

 

 

 

Следовательно,
уравнение прямой будет иметь следующий вид:

 

Уравнение вертикальной прямой

 

 – уравнение
вертикальной прямой

На
рис. 2 изображены вертикальные прямые, уравнение которых выглядят следующим
образом:

а) .
Это означает, что все точки на этой прямой имеют координату .

б) .
Это означает, что все точки на этой прямой имеют координату .

в) .
Это означает, что все точки на этой прямой имеют координату ,
то есть это уравнение оси .

Рис.
2. Вертикальные прямые

Уравнение горизонтальной прямой

 

 – уравнение
горизонтальной прямой

На
рис. 3 изображены горизонтальные прямые, уравнения которых выглядят следующим
образом:

а) .
Это означает, что все точки на этой прямой имеют координату .

б) .
Это означает, что все точки на этой прямой имеют координату .

в) .
Это означает, что все точки на этой прямой имеют координату ,
то есть это уравнение оси .

Рис.
3. Горизонтальные прямые

Уравнение наклонной прямой к оси  ()

 

 

 

Введем
новые обозначения:

 

 

Таким
образом, уравнение наклонной к оси  прямой
выглядит следующим образом:

, где

 –
угловой коэффициент (если ,
то функция возрастает, если  –
убывает);

 –
ордината точки пересечения прямой с осью .

Примеры

1.
Дано уравнение прямой: .

В
этом случае ; .
Следовательно, данная функция возрастает, прямая пересекает ось в
точке с координатами  (см.
Рис. 4). 

Рис.
4. Прямая 

2.
Дано уравнение прямой: .

В
этом случае ; .
Следовательно, данная функция убывает, прямая пересекает ось  в
точке с координатами  (см.
Рис. 5). 

Рис.
5. Прямая 

Условия параллельности и перпендикулярности
наклонных прямых

Даны
две прямые:

 

 

1.
Данные прямые будут параллельными, если выполняются следующие условия:

 

То
есть эти прямые должны быть наклонены под одним углом к оси ,
но проходить через разные точки на оси .

2.
Данные прямые будут перпендикулярными, если выполняется следующее условие:

 

Уравнение прямой, проходящей через заданную
точку

Дана
точка  с
координатами .
Уравнение наклонной прямой: ,
следовательно, условие того, что точка  лежит
на прямой, – это .

 

 –
уравнение любой наклонной прямой, проходящей через точку .

Задавая
коэффициент ,
можно выбрать конкретную прямую, проходящую через точку.

Задача 1

Дано:
прямая ;
точка .

Найти:
а) уравнение прямой, которая проходит через точку  и
параллельна заданной прямой; б) уравнение прямой, которая проходит через
точку  и
перпендикулярна заданной прямой.

Решение

Все
наклонные прямые, которые проходят через точку ,
имеют уравнение:

 

1.
Угловые коэффициенты параллельных прямых равны. Поэтому уравнение прямой,
проходящей через точку  и
параллельной заданной прямой, имеет угловой коэффициент .
Следовательно, уравнение такой прямой имеет следующий вид:

 

 

 

2.
Произведение угловых коэффициентов перпендикулярных прямых равно .
Следовательно, угловой коэффициент прямой, перпендикулярной,
равен:

 

 

Подставляем
данный коэффициент в уравнение прямых, проходящих через точку :

 

 

Ответ:
а) ;
б)  .

Задача 2

Дано:
точка ;
точка .

Найти:
уравнение прямой  и
точки ее пересечения с осями координат.

Решение

Уравнение
прямой имеет вид:

 

Необходимо
определить числа , , .
Подставим координаты точек  и  в
уравнение прямой, получим систему из двух уравнений:

 

Решим
эту систему, выразив  и  через :

 

 

 

 

Подставим
это значение в равенство:

 

 

Найденные
значения  и  подставляем
в общее выражение прямой:

 

При  разделим
это выражение на  и
умножим на :

 

Мы
получили уравнение прямой, которая проходит через две данные точки ( и ).
Запишем это уравнение в таком виде:

 

Это
уравнение наклонной прямой, которая имеет угловой коэффициент  и
пересекает ось  в
точке с координатой  (на
рисунке 6 точка ).

Определим
координаты точки пересечения прямой с осью ,
для этого приравняем к нулю :

 

 

 

Следовательно,
координаты точки пересечения прямой с осью  –  (на
рисунке 6 точка ).

Рис.
6. Иллюстрация к задаче

Ответ: ; ; .

Задача 3

Дано:
точка ;
точка .

Найти:
уравнение серединного перпендикуляра к отрезку .

Рис.
7. Иллюстрация к задаче

Решение

Пусть  (см.
Рис. 7) – это произвольная точка на серединном перпендикуляре к отрезку .
Тогда ,
отсюда следует, что ,
то есть справедливо равенство:

 

Подставим
в данное равенство соответствующие координаты:

 

 

 

Разделим
обе части уравнения на 4 и получим искомое уравнение серединного
перпендикуляра:

 

Ответ: .

Уравнение
прямой в отрезках

Пусть  –
уравнение наклонной прямой, которая пересекает оси  и  в
точках  и .
Тогда уравнение этой прямой можно представить в виде:

 

Такое
уравнение называется уравнением прямой в отрезках. В данном случае
отрезок ,
а отрезок .

Выведем
данное уравнение.

Дано:
точка ;
точка ; ,  (прямая
не пересекает начало координат) (см. Рис. 8).

Требуется:
вывести уравнение прямой .

Решение

Рис.
8. Иллюстрация к доказательству

Прямая  –
это наклонная прямая, следовательно, ее уравнение записывается в виде .

Необходимо
найти коэффициент  и
свободный член .
Для этого подставляем координаты точек  и ,
лежащих на прямой, в уравнение наклонной прямой:

  

 

 

Подставляем
полученные значения в уравнение наклонной прямой:

 

Обе
части уравнения умножаем на :

 

 

Обе
части уравнения делим на произведение :

 

 

Мы
получили уравнение прямой в отрезках:  

Пример

Дано:
точка ;
точка .

Найти:
уравнение прямой .

Решение

Уравнение
прямой в отрезках выглядит следующим образом:

 

В
данном случае: ; .
Подставляем эти значения в уравнение:

 

Ответ: .

Задача
типа С5 из ЕГЭ по математике

Найдите
значение параметра ,
при котором система неравенств имеет единственное решение.

 

Решение

1.
Рассмотрим первое неравенство.

Неравенство  задает
круг с центром в точке  и
радиуса  (см.
Рис. 9).

Координаты
точки  зависят
от параметра: .

Радиус  также
зависит от параметра: .

Обе
части этого неравенства неотрицательны, следовательно, его можно возвести в
квадрат:

 

Рис.
9. Иллюстрация к задаче

2.
Рассмотрим второе неравенство.

Неравенство  задает
полуплоскость под прямой ,
так как:

 

 

 

Эта
полуплоскость фиксированна, не зависит от параметра .

3.
Необходимо расположить круг так, чтобы он находился над прямой и касался ее.
Общая точка прямой и окружности находится из системы:

 

Подставим
значение  в
первое уравнение:

 

Сделаем
замену:

 

 

Тогда:

 

 

 

Нам
требуется единственность решения данного уравнения, следовательно, его
дискриминант должен быть равен нулю.

 

 

Так
как ,
то:

 

 

 

 

 

Выполним
проверку этих значений параметра .

а)
Если ,
то координаты центра окружности равны .
Подставим координату  в
уравнение прямой и сравним получившееся значение  со
второй координатой центра окружности:

 

 

Следовательно,
точка  лежит
над прямой ,
и значение  нам
подходит.

б)
Можно выполнить проверку другим способом.

Если ,
то координаты центра окружности равны .

Подставим
значения  и в
неравенство :

 

 –
неверно, следовательно, точка  также
не лежит в полуплоскости, задаваемой неравенством .

Таким
образом, искомые значения параметра равны: , .

Ответ: , .

Уравнение
прямой, проходящей через две точки. Первый способ вывода

Ранее
мы вывели общее уравнение прямой, проходящей через две точки:

 

Выведем
уравнение наклонной прямой, проходящей через две точки.

Дано:
точки  и  на
наклонной прямой  (см.
Рис. 10).

Требуется:
вывести уравнение наклонной прямой .

Рис.
10. Наклонная прямая, проходящая через две точки

Решение

Выберем
произвольную точку ,
находящуюся на прямой .
Вектор  коллинеарен
вектору  (см.
Рис. 10), следовательно:

 

В
координатном виде это выглядит следующим образом:

 

Векторное
равенство дает систему из двух уравнений:

 

 

Это и
есть уравнение наклонной прямой, проходящей через две точки, при .

Ответ: .

Если ,
то это вертикальная прямая.

Если ,
то это горизонтальная прямая.

Пример

Даны
две точки , .
Написать уравнение наклонной прямой, проходящей через эти точки.

Решение

Уравнение
наклонной прямой, проходящей через две точки, в общем виде выглядит следующем
образом:

 

Подставляем
значение координат данных в условии точек в уравнение:

 

 

 

 

В
итоге мы получили уравнение прямой в отрезках.

Уравнение
прямой, проходящей через две точки. Второй способ вывода

Дано:
точки  и  на
наклонной прямой  (см.
Рис. 11).

Требуется:
вывести уравнение наклонной прямой .

Рис.
11. Наклонная прямая, проходящая через две точки

Решение

Подставляем
координаты первой точки в уравнение наклонной прямой:

 

Получаем
систему уравнений:

 

Вычтем
из первого уравнения второе:

 

Необходимо
найти ,
для этого подставляем координаты двух точек в уравнение наклонной прямой:

 

Вычтем
из первого уравнения второе:

 

 

Следовательно:

 

 

Ответ: ,
где  и .

Список
литературы

1.
Атанасян Л.С. и др. Геометрия 7–9 классы. Учебник для общеобразовательных
учреждений. – М.: Просвещение, 2010.

2.
Фарков А.В. Тесты по геометрии: 9 класс. К учебнику Л.С. Атанасяна и др. – М.:
Экзамен, 2010.

3.
Погорелов А.В. Геометрия, уч. для 7–11 кл. общеобр. учрежд. – М.: Просвещение,
1995.

Комментарии преподавателя

 Уравнение прямой

Пря­мой, к при­ме­ру, яв­ля­ет­ся се­ре­дин­ный пер­пен­ди­ку­ляр к от­рез­ку. Для за­да­ния пря­мой сле­ду­ет за­фик­си­ро­вать концы от­рез­ка и на­пи­сать урав­не­ние се­ре­дин­но­го пер­пен­ди­ку­ля­ра, ис­поль­зуя тот факт, что се­ре­дин­ный пер­пен­ди­ку­ляр яв­ля­ет­ся гео­мет­ри­че­ским ме­стом точек, рав­но­уда­лен­ных от кон­цов от­рез­ка.

Вы­ве­дем урав­не­ние пря­мой – се­ре­дин­но­го пер­пен­ди­ку­ля­ра р к от­рез­ку АВ, 

Рис. 1. Урав­не­ние пря­мой

Пусть точка М(х;у) – про­из­воль­ная точка се­ре­дин­но­го пер­пен­ди­ку­ля­ра, тогда она рав­но­уда­ле­на от точек А и В (рис. 2).

Рис. 2. Ил­лю­стра­ция к при­ме­ру

 это урав­не­ние се­ре­дин­но­го пер­пен­ди­ку­ля­ра.

Если точка , то ее ко­ор­ди­на­ты удо­вле­тво­ря­ют по­лу­чен­но­му урав­не­нию.

Упро­стим урав­не­ние – рас­кро­ем скоб­ки и при­ве­дем по­доб­ные сла­га­е­мые:

Обо­зна­чим:

 хотя бы одно из чисел a и b не равно 0, так как точки А и В раз­ные.

Тогда урав­не­ние пря­мой при­мет вид:

фик­си­ро­ван­ные числа. Такое урав­не­ние на­зы­ва­ет­ся общим урав­не­ни­ем пря­мой.

 Частные случаи уравнения прямой

а) Вер­ти­каль­ная пря­мая (рис. 3).

Рис. 3. Вер­ти­каль­ная пря­мая

Если через точку  про­ве­сти вер­ти­каль­ную пря­мую, то есть пря­мую, пер­пен­ди­ку­ляр­ную оси х, то ее урав­не­ние будет . Ана­ло­гич­но,  и т. д. (рис. 4).

Рис. 4. Ил­лю­стра­ция к при­ме­ру

Об­ра­тим вни­ма­ние на по­след­нюю пря­мую . Вся пря­мая про­ек­ти­ру­ет­ся на ось х в точку 3. На этой пря­мой много точек, но абс­цис­са каж­дой из них равна 3.

Урав­не­ние вер­ти­каль­ной пря­мой:  или  .

Урав­не­ние оси Oy.

б)             Го­ри­зон­таль­ная пря­мая (рис. 5).

Рис. 5. Го­ри­зон­таль­ная пря­мая

Если го­ри­зон­таль­ная пря­мая про­хо­дит через точку , то ее урав­не­ние , любая точка этой пря­мой имеет ор­ди­на­ту .

Урав­не­ние го­ри­зон­таль­ной пря­мой  или .

Урав­не­ние оси .

 Решение задач

За­да­ча 1.

На­пи­ши­те урав­не­ние пря­мой, про­хо­дя­щей через две дан­ные точки  и . Най­ди­те точки пе­ре­се­че­ния этой пря­мой с осями ко­ор­ди­нат.

Ре­ше­ние (рис. 6):

Рис. 6. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

1. Урав­не­ние ис­ко­мой пря­мой будем ис­кать в виде: 

Пря­мая про­хо­дит через точки А и В, зна­чит, ко­ор­ди­на­ты этих точек удо­вле­тво­ря­ют урав­не­нию пря­мой. Под­ста­вим ко­ор­ди­на­ты точек в урав­не­ние и по­лу­чим си­сте­му:

Это си­сте­ма из двух урав­не­ний с тремя неиз­вест­ны­ми, при ре­ше­нии ее будем счи­тать, что с из­вест­но.

Под­ста­вим в урав­не­ние:

 по­это­му на с можно со­кра­тить: 

2. На­хо­дим точки пе­ре­се­че­ния с осями (рис. 7, 8).

точка 

Рис. 7. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

точка 

Рис. 8. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

Ответ: 

За­да­ча 2.

а) На­пи­ши­те урав­не­ние пря­мой CD, про­хо­дя­щей через две дан­ные точки C(2; 5) и D(5; 2) .

б) Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка, об­ра­зо­ван­но­го пря­мой CD и осями ко­ор­ди­нат.

Ре­ше­ние (рис. 9):

Рис. 9. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

а)  ис­ко­мое урав­не­ние пря­мой. Ко­ор­ди­на­ты точек C и D под­ста­вим в урав­не­ние и по­лу­чим си­сте­му:

б)             На­хо­дим точки пе­ре­се­че­ния с осями ко­ор­ди­нат и пло­щадь тре­уголь­ни­ка (рис. 10):

Рис. 10. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

Ответ: 

 Уравнение наклонной прямой

общее урав­не­ние пря­мой.

Рас­смот­рим слу­чай 

Обо­зна­чим

и по­лу­чим урав­не­ние на­клон­ной пря­мой:

В этом урав­не­нии m – ор­ди­на­та точки пе­ре­се­че­ния пря­мой с осью y, k – уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент.

 Решение задач

Для при­ме­ра решим вто­рым спо­со­бом преды­ду­щую за­да­чу. На­пи­ши­те урав­не­ние пря­мой CD, про­хо­дя­щей через две дан­ные точки  C(2; 5) и D(5; 2) .

Будем ис­кать урав­не­ние пря­мой в виде , ко­ор­ди­на­ты точек C и D удо­вле­тво­ря­ют урав­не­нию:

За­да­ча 3.

а) На­пи­ши­те урав­не­ние пря­мой MN, где M(0; 1), N(-4; —5).

б) В тре­уголь­ни­ке, об­ра­зо­ван­ном пря­мой MN и осями ко­ор­ди­нат, найти длину ме­ди­а­ны OD, про­ве­ден­ной из вер­ши­ны О(0;0).

Ре­ше­ние (рис. 11):

Рис. 11. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

а) Урав­не­ние пря­мой будем ис­кать в виде  Под­ста­вим в урав­не­ние ко­ор­ди­на­ты точек M и N:

б) Опре­де­лим ко­ор­ди­на­ты точек пе­ре­се­че­ния пря­мой с осями ко­ор­ди­нат: точка M нам из­вест­на; ко­ор­ди­на­ты точки А опре­де­лим как ко­ор­ди­на­ты точки пе­ре­се­че­ния с осью Ох из си­сте­мы (рис. 12):

Рис. 12. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

Те­перь най­дем ко­ор­ди­на­ты точки D как се­ре­ди­ны от­рез­ка AM:

и вы­чис­лим длину от­рез­ка  OD:

Ответ: 

Решим эту же за­да­чу вто­рым спо­со­бом. Со­ста­вим урав­не­ние пря­мой, про­хо­дя­щей через точки M(0; 1) и N(-4; —5), ис­поль­зуя урав­не­ние на­клон­ной пря­мой в виде . Под­ста­вим ко­ор­ди­на­ты точек в урав­не­ние и по­лу­чим си­сте­му:

За­да­ча 4.

На­пи­ши­те урав­не­ние се­ре­дин­но­го пер­пен­ди­ку­ля­ра к от­рез­ку АВ, где А(-7; 5), В(3; -1) (рис. 13).

Рис. 13. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

Ре­ше­ние:

В на­ча­ле этого урока мы вы­ве­ли урав­не­ние пря­мой как урав­не­ние се­ре­дин­но­го пер­пен­ди­ку­ля­ра к от­рез­ку, ис­поль­зуя то, что любая точка се­ре­дин­но­го пер­пен­ди­ку­ля­ра рав­но­уда­ле­на от его кон­цов. Если , то .

Рис. 14. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

Рас­кро­ем скоб­ки и при­ве­дем по­доб­ные члены:

Ответ: 

 Заключение

Итак, мы вы­ве­ли урав­не­ние пря­мой и ис­поль­зо­ва­ли его для ре­ше­ния про­стей­ших задач. На сле­ду­ю­щем уроке мы про­дол­жим ре­шать за­да­чи по теме «Урав­не­ние пря­мой».

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/9-klass/metod-koordinat/uravnenie-pryamoy

http://www.youtube.com/watch?v=aWrWel3jDAA

http://www.mathprofi.ru/uravnenie_pryamoi_na_ploskosti.html

http://www.cleverstudents.ru/line_and_plane/forms_of_equation_of_line_on_plane.html

http://www.mathelp.spb.ru/book1/line_on_plane.htm