Как найти уравнение третьей стороны в треугольнике

Как составить уравнение сторон треугольника по  координатам его вершин?

Зная координаты вершин треугольника, можно составить уравнение прямой, проходящей через 2 точки.

Пример.

Дано: ΔABC, A(-5;1), B(7;-4), C(3;7)

Составить уравнения сторон треугольника.

Решение:

1) Составим уравнение прямой AB, проходящей через 2 точки A и B.

Для этого в уравнение прямой y=kx+b подставляем координаты точек A(-5;1), B(7;-4) и из полученной системы уравнений находим k и b:

    [left{ begin{array}{l} 1 = k cdot ( - 5) + b; \ - 4 = k cdot 7 + b; \ end{array} right. Rightarrow k = - frac{5}{{12}};b = - frac{{13}}{{12}}.]

Таким образом, уравнение стороны AB

    [y = - frac{5}{{12}}x - frac{{13}}{{12}}.]

2) Прямая BC проходит через точки B(7;-4) и C(3;7):

    [left{ begin{array}{l} - 4 = k cdot 7 + b; \ 7 = k cdot 3 + b; \ end{array} right. Rightarrow k = - frac{{11}}{4};b = frac{{61}}{4}.]

Отсюда уравнение стороны BC —

    [y = - frac{{11}}{4}x + frac{{61}}{4}.]

3) Прямая AC проходит через точки A(-5;1) и C(3;7):

    [left{ begin{array}{l} 1 = k cdot ( - 5) + b; \ 7 = k cdot 3 + b; \ end{array} right. Rightarrow k = frac{3}{4};b = frac{{19}}{4}.]

Уравнение стороны AC —

    [y = frac{3}{4}x + frac{{19}}{4}.]

Источник

Triangle is a closed figure which is formed by three line segments. It consists of three angles and three vertices. The angles of triangles can be the same or different depending on the type of triangle. There are different types of triangles based on line and angles properties.

Properties of a Triangle:

1. Each triangle has 3 sides and 3 angles.

2. Sum of all the angles of triangles is 180°

3. Perimeter of a triangle is the sum of all three sides of the triangle.

4. A triangle has 3 vertices.

Types of Triangles based on line Properties

Scalene Triangle: Scalene Triangle is a type of triangle in which all the sides are of different lengths. All the angles of a scalene triangle are different from one another.

Isosceles Triangle: Isosceles Triangle is another type of triangle in which two sides are equal and the third side is unequal. In this triangle, the two angles are also equal and the third angle is different.

Right-angled Triangle: A right-angled triangle is one that follows the Pythagoras Theorem and one angle of such triangles is 90 degrees which is formed by the base and perpendicular. The hypotenuse is the longest side in such triangles.

Equilateral Triangle: An equilateral triangle is a triangle in which all the three sides are of equal size and all the angles of such triangles are also equal.

Finding Third Side of a Triangle given Two Sides

Lets assume that the triangle is Right Angled Triangle because to find a third side provided two sides are given is only possible in a right angled triangle.

We know that the right-angled triangle follows Pythagoras Theorem

According to Pythagoras Theorem, the sum of squares of two sides is equal to the square of the third side. 

(Perpendicular)2 + (Base)2 = (Hypotenuse)2 

Using the above equation third side can be calculated if two sides are known.

Example: Suppose two sides are given one of 3 cm and the other of 4 cm then find the third side.

Lets take perpendicular P = 3 cm and Base B = 4 cm.

using Pythagoras theorem 

P2 + B2 = H2

(3)2 + (4)2 = H2

9 + 16 = H2

25 = H2

H = 5

Sample Questions

Question 1: Find the measure of base if perpendicular and hypotenuse is given, perpendicular = 12 cm and hypotenuse = 13 cm.

Solution: 

Perpendicular = 12 cm

Hypotenuse = 13 cm

Using Pythagoras Theorem 

P2 + B2 = H2

B2 = H2 – P2

B2 = 132 – 122

B2 = 169 – 144

B2 = 25

B = 5

Question 2: Perimeter of the equilateral triangle is 63 cm find the side of the triangle.

Solution: 

Perimeter of an equilateral triangle =  3×side

3×side = 64

side = 63/3

side = 21 cm

Question 3: Find the measure of the third side of a right-angled triangle if the two sides are 6 cm and 8 cm.

Solution: 

Perpendicular = 6 cm

Base = 8 cm

Using Pythagoras Theorem

H2 = P2 + B2 

H2 = P2 + B2

H2 = 62 + 82 

H2 = 36 + 64

H2 = 100

H = 10 cm

Question 4: Find whether the given triangle is a right-angled triangle or not, sides are 48, 55, 73?

Solution: 

A right-angled triangle follows the Pythagorean theorem so we need to check it .

Sum of squares of two small sides should be equal to the square of the longest side

so 482 + 552 must be equal to 732

2304 + 3025 = 5329 which is equal to 732 = 5329

Hence the given triangle is a right-angled triangle because it is satisfying the Pythagorean theorem.

Question 5: Find the hypotenuse of a right angled triangle whose base is 8 cm and whose height is 15 cm?

Solution: 

Using Pythagorean theorem, a2 + b2 = c2

So 82 + 152 = c2  

hence c = √(64 + 225)

          c = √289

          c = 17 cm

Last Updated :
15 Feb, 2022

Like Article

Save Article

Источник

Как составить уравнения сторон треугольника

Есть множество способов определить треугольник. В аналитической геометрии один из этих способов — задать координаты трех его вершин. Эти три точки определяют треугольник однозначно, но для полноты картины нужно еще составить уравнения сторон, соединяющих вершины.

Как составить уравнения сторон треугольника

Инструкция

Вам заданы координаты трех точек. Обозначим их как (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3). Предполагается, что эти точки являются вершинами некоторого треугольника. Задача состоит в том, чтобы составить уравнения его сторон — точнее уравнения тех прямых, на которых лежат эти стороны. Эти уравнения должны иметь вид:
y = k1*x + b1;
y = k2*x + b2;
y = k3*x + b3.Таким образом, вам предстоит найти угловые коэффициенты k1, k2, k3 и смещения b1, b2, b3.

Убедитесь, что все точки различны между собой. Если какие-то две совпадают, то треугольник вырождается в отрезок.

Найдите уравнение прямой, проходящей через точки (x1, y1), (x2, y2). Если x1 = x2, то искомая прямая вертикальна и ее уравнение x = x1. Если y1 = y2, то прямая горизонтальна и ее уравнение y = y1. В общем случае эти координаты не будут равны друг другу.

Подставляя координаты (x1, y1), (x2, y2) в общее уравнение прямой, вы получите систему из двух линейных уравнений:k1*x1 + b1 = y1;
k1*x2 + b1 = y2.Вычтите одно уравнение из другого и решите полученное уравнение относительно k1:k1*(x2 — x1) = y2 — y1, следовательно, k1 = (y2 — y1)/(x2 — x1).

Подставляя найденное выражение в любое из исходных уравнений, найдите выражение для b1:((y2 — y1)/(x2 — x1))*x1 + b1 = y1;
b1 = y1 — ((y2 — y1)/(x2 — x1))*x1.Поскольку уже известно, что x2 ≠ x1, можно упростить выражение, умножив y1 на (x2 — x1)/(x2 — x1). Тогда для b1 вы получите следующее выражение:b1 = (x1*y2 — x2*y1)/(x2 — x1).

Проверьте, не лежит ли третья из заданных точек на найденной прямой. Для этого подставьте значения (x3, y3) в выведенное уравнение и посмотрите, соблюдается ли равенство. Если оно соблюдается, следовательно, все три точки лежат на одной прямой, и треугольник вырождается в отрезок.

Тем же способом, что описан выше, выведите уравнения для прямых, проходящих через точки (x2, y2), (x3, y3) и (x1, y1), (x3, y3).

Окончательный вид уравнений для сторон треугольника, заданного координатами вершин, выглядит так:(1) y = ((y2 — y1)*x + (x1*y2 — x2*y1))/(x2 — x1);
(2) y = ((y3 — y2)*x + (x2*y3 — x3*y2))/(x3 — x2);
(3) y = ((y3 — y1)*x + (x1*y3 — x3*y1))/(x3 — x1).

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.

Источник

Уравнение длины сторон треугольника


Уравнение длины сторон треугольника

4.7

Средняя оценка: 4.7

Всего получено оценок: 181.

4.7

Средняя оценка: 4.7

Всего получено оценок: 181.

Уравнение длин сторон треугольника – это первые вкрапления высшей математики в математику школьного курса. Понимание данной тематики приближает ученика к университетскому уровню, вместе с тем делая более понятной тему функции.

Функция

Что такое функция? Это зависимость одной величины от другой. В математической функции чаще всего две неизвестных: независимая и зависимая или х и у соответственно.

Что это значит? Это значит, что х может принимать абсолютно любое значение, а у будет под него подстраиваться, меняясь в соответствии с коэффициентами функции.

Существуют ситуации, когда функция имеет несколько переменных. Зависимая у всегда 1, но факторов, которые влияют на неё может быть несколько. Не всегда такую функцию получается отразить на графике. В лучшем случае графически можно отобразить зависимость у от 2 переменных.

Как проще всего представить зависимость у(х)?

Да очень просто. Представьте себе избалованного ребенка и богатую любящую мать. Они вместе приходят в магазин и начинают клянчить конфеты. Кто знает, сколько конфет мальчик потребует сегодня?

Никто, но в зависимости от количества конфет увеличится сумма, которую мама оплатит на кассе. В этом случае, зависимой величиной является сумма в чеке, а независимой – количество конфет, которое захочет мальчик сегодня.

Очень важно понимать, что одному значению функции у, всегда соответствует 1 значение аргумента х. Но, как и с корнями квадратного уравнения, эти значения могут совпадать.

Уравнение прямой линии

Зачем нам нужно уравнение прямой, если мы говорим об уравнении длин сторон треугольника?

Да затем, что каждая из сторон треугольника это отрезок. А отрезок это ограниченная часть прямой. То есть мы можем задать уравнения прямых. А в точках их пересечения ограничить линии, тем самым обрезав прямые и превратив их в отрезки.

Уравнение прямой выглядит следующим образом:

$$y_1=a_1x+b_1$$

$$y_2=a_2x+b_2$$

$$y_3=a_3x+b_3$$

Уравнение сторон треугольника

Необходимо найти уравнение длин сторон треугольника с вершинами в точках А(3,7) ; В(5,3); С(12;9)

Все координаты положительны, значит, треугольник будет расположен в 1 координатной четверти.

Поочередно составим уравнения каждой из линий треугольника.

  • Первой будет линия АВ. Координаты точек подставим в уравнение прямой на место х и у. Таким образом мы получим систему из двух линейных уравнений. Решив ее можно найти значение коэффициентов для функции:

А(3,7) ; В(5,3):

7=3а+b

3=5a+b

Из первого уравнения выразим b и подставим во второе.

b=7-3a

3=5a+7-3a

2a=-4

a=-2

Подставим значение а и найдем b.

b=7-3a=7-3*(-2)=7+6=13

Составим уравнение прямой.

у=-2х+13

  • Аналогично составим два оставшихся уравнения.

В(5,3); С(12;9)

3=5а+b

9=12a+b

b=3-5a

9=12a+b=12a+3-5a

9=7a+3

7a=6

$$a={6over7}$$

$$b=3-5*{6over7}=-{9over7}$$

$$y={6over7}x-{9over7}$$

  • А(3,7) ; С(12;9)

7=3а+b

9=12a+b

b=7-3a

9=12a+b=12a+7-3a=9a+7

9a=2

$$a={2over9}$$

$$b=7-{6over9}={57over9}$$

$$y={2over9}x+{57over9}$$

  • Запишем уравнение длин сторон треугольника:

у=-2х+13

$$y={6over7}x-{9over7}$$

$$y={2over9}x+{57over9}$$

Заключение

Что мы узнали?

Мы узнали, что такое функция, поговорили у функции прямой линии и научились выводить уравнения сторон треугольника по координатам его вершин.

Тест по теме

Доска почёта

Доска почёта

Чтобы попасть сюда — пройдите тест.

    Пока никого нет. Будьте первым!

Оценка статьи

4.7

Средняя оценка: 4.7

Всего получено оценок: 181.

А какая ваша оценка?

Источник

Решить треугольник Онлайн по координатам

Данный онлайн-сервис вычисляет (показываются промежуточные расчёты) следующие параметры треугольника:

1) длины и уравнения сторон, медиан, средних линий, высот, серединных перпендикуляров, биссектрис;

2) система линейных неравенств, определяющих треугольник;

2) уравнения прямых, проходящих через вершины параллельно противолежащим сторонам;

3) внутренние углы по теореме косинусов;

4) площадь треугольника;

5) точка пересечения медиан (центроид) и точки пересечения медиан со сторонами;

10) параметры вписанной и описанной окружностей и их уравнения.

Внимание! Этот сервис не работает в браузере IE (Internet Explorer).

Запишите координаты вершин треугольника и нажмите кнопку.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Кнопка "Поделиться"

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Источник

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Как найти на iphone скрытые приложения
  • Operation flashpoint как найти
  • Как найти знакомых по всему миру
  • Как найти человека на видео вконтакте
  • Как найти список приложений виндовс 10