Как найти уравнение вектора нормали к плоскости



5.2.3. Вектор нормали плоскости (нормальный вектор)

Вектор нормали плоскости – это вектор, который перпендикулярен данной плоскости. Очевидно, что у любой плоскости бесконечно много нормальных векторов.

Но для решения задач нам будет хватать и одного: если плоскость задана общим уравнением  в прямоугольной (!) системе координат, то вектор  является нормальным вектором данной плоскости.

Просто до безобразия! – всё, что нужно сделать – это «снять» коэффициенты из уравнения плоскости. И чтобы хоть как-то усложнить практику рассмотрим тоже простую, но очень важную задачу, которая часто встречается, причём, не только в геометрии:

Задача 134

Найти единичный нормальный вектор плоскости .

Решение: принципиально ситуация выглядит так:

Сначала из уравнения плоскости «снимем» вектор нормали: .

И эту задачку мы уже решали: для того чтобы найти единичный вектор , нужно каждую координату вектора  разделить на длину вектора .

Вычислим длину вектора нормали:

Таким образом:

Контроль:, ОК

Ответ:

Вспоминаем, что координаты этого вектора  – есть в точности направляющие косинусы вектора : .

И, как говорится, обещанного три страницы ждут   – вернёмся к Задаче 130, чтобы выполнить её проверку. Напоминаю, что там требовалось построить уравнение плоскости по точке  и двум векторам , и в результате решения мы получили уравнение .

Проверяем:

Во-первых, подставим координаты точки  в полученное уравнение:

 – получено верное равенство, значит, точка  лежит в данной плоскости.

На втором шаге из уравнения плоскости «снимаем» вектор нормали: . Поскольку векторы  параллельны плоскости, а вектор  ей перпендикулярен, то должны иметь место следующие факты: . Ортогональность векторов элементарно проверяется с помощью скалярного произведения:

Вывод: уравнение плоскости найдено правильно.

В ходе проверки я фактически процитировал следующее утверждение теории: вектор  параллелен плоскости  в том и только том случае, когда .

Итак, с «выуживанием» нормального вектора разобрались, теперь ответим на противоположный вопрос:

5.2.4. Как составить уравнение плоскости по точке и вектору нормали?

5.2.2. Как составить уравнение плоскости по трём точкам?

| Оглавление |



Автор: Aлeксaндр Eмeлин

Для того, чтобы однозначно построить плоскость, необходимы три точки, которые не лежат на одной прямой.

Общее уравнение плоскости принимает вид:

Общее уравнение плоскости

Ax+By+Cz+D=0Ax+By+Cz+D=0,

где A,B,C,DA, B, C, D — коэффициенты, задающие плоскость. Они не могут быть одновременно равны нулю.

Здесь будет калькулятор

Составление уравнения плоскости по трем точкам

Текст цитаты

Заголовок

Текст цитаты

В случае, когда известны координаты всех трех точек, уравнение плоскости, проходящей через эти точки составляется с помощью определителя:

Уравнение плоскости через определитель

∣x−x1x2−x1x3−x1y−y1y2−y1y3−y1z−z1z2−z1z3−z1∣=0begin{vmatrix}
x-x_1 & x_2-x_1 & x_3-x_1 \
y-y_1 & y_2-y_1 & y_3-y_1 \
z-z_1 & z_2-z_1 & z_3-z_1 \
end{vmatrix}=0,

где (x1;y1;z1),(x2;y2;z2),(x3;y3;z3)(x_1;y_1;z_1), (x_2;y_2;z_2), (x_3;y_3;z_3) — координаты точек, через которые проходит данная плоскость, а (x;y;z)(x; y; z) — всевозможные координаты точек этой плоскости.

Задача 1

Составить уравнения плоскости проходящей через три точки с координатами (1;3;0),(5;6;4),(−1;−4;0)(1;3;0), (5;6;4), (-1;-4;0).

Решение

Пусть:

x1=1x_1=1
y1=3y_1=3
z1=0z_1=0
x2=5x_2=5
y2=6y_2=6
z2=4z_2=4
x3=−1x_3=-1
y3=−4y_3=-4
z3=0z_3=0

Составляем определитель:

∣x−x1x2−x1x3−x1y−y1y2−y1y3−y1z−z1z2−z1z3−z1∣=0begin{vmatrix}
x-x_1 & x_2-x_1 & x_3-x_1 \
y-y_1 & y_2-y_1 & y_3-y_1 \
z-z_1 & z_2-z_1 & z_3-z_1 \
end{vmatrix}=0

∣x−15−1−1−1y−36−3−4−3z−04−00−0∣=0begin{vmatrix}
x-1 & 5-1 & -1-1 \
y-3 & 6-3 & -4-3 \
z-0 & 4-0 & 0-0 \
end{vmatrix}=0

∣x−14−2y−33−7z40∣=0begin{vmatrix}
x-1 & 4 & -2 \
y-3 & 3 & -7 \
z & 4 & 0 \
end{vmatrix}=0

28x−8y−22z−4=028x-8y-22z-4=0 — уравнение искомой плоскости.

Ответ

28x−8y−22z−4=028x-8y-22z-4=0

Уравнение плоскости по точке и вектору нормали

Если дана точка, лежащая на плоскости и вектор нормали к этой плоскости, то сама плоскость задается уравнением:

Уравнение плоскости по точке и нормали

(x−x0)⋅n1+(y−y0)⋅n2+(z−z0)⋅n3=0(x-x_0)cdot n_1+(y-y_0)cdot n_2+(z-z_0)cdot n_3=0,

где (x0;y0;z0)(x_0;y_0;z_0) — координаты точки, принадлежащей плоскости, а (n1;n2;n3)(n_1;n_2;n_3) — координаты вектора нормали к этой плоскости.

Задача 2

Выпишите уравнение плоскости, если даны: координата точки плоскости (8;−2;9)(8;-2;9) и вектор нормали (1;3;5)(1;3;5).

Решение

x0=8x_0=8
y0=−2y_0=-2
z0=9z_0=9
n1=1n_1=1
n2=3n_2=3
n3=5n_3=5

(x−x0)⋅n1+(y−y0)⋅n2+(z−z0)⋅n3=0(x-x_0)cdot n_1+(y-y_0)cdot n_2+(z-z_0)cdot n_3=0

(x−8)⋅1+(y−(−2))⋅3+(z−9)⋅5=0(x-8)cdot 1+(y-(-2))cdot 3+(z-9)cdot 5=0

x−8+3y+6+5z−45=0x-8+3y+6+5z-45=0

x+3y+5z−47=0x+3y+5z-47=0 — уравнение плоскости.

Проверка

Чтобы убедиться в том, что задача решена правильно, без ошибок, необходимо в полученное уравнение подставить координаты точки, которые даны в условии задачи:

8+3⋅(−2)+5⋅9−47=08+3cdot(-2)+5cdot9-47=0

0=00=0 — верно, значит ответ правильный.

Ответ

x+3y+5z−47=0x+3y+5z-47=0

Нормальный вектор плоскости, координаты нормального вектора плоскости

Существует ряд заданий, которым для решения необходимо нормальный вектор на плоскости, чем саму плоскость. Поэтому в этой статье получим ответ на вопрос определения нормального вектора с примерами и наглядными рисунками. Определим векторы трехмерного пространства и плоскости по уравнениям.

Нормальный вектор плоскости – определение, примеры, иллюстрации

Чтобы материал легко усваивался, необходимо предварительно изучить теорию о прямой в пространстве и представление ее на плоскости и векторы.

Нормальным вектором плоскости считается любой ненулевой вектор, который лежит на перпендикулярной к данной плоскости прямой.

Отсюда следует, что имеет место существование большого количества нормальных векторов в данной плоскости. Рассмотрим на рисунке, приведенном ниже.

Нормальные векторы располагаются на параллельных прямых, поэтому они все коллинеарны. То есть, при нормальном векторе n → , расположенном в плоскости γ , вектор t · n → , имея ненулевое значение параметра t , также нормальный вектор плоскости γ . Любой вектор может быть рассмотрен как направляющий вектор прямой, которая перпендикулярна этой плоскости.

Имеются случаи совпадения нормальных векторов плоскостей из-за перпендикулярности одной из параллельных плоскостей, так как прямая перпендикулярна и второй плоскости. Отсюда следует, что нормальные векторы перпендикулярных плоскостей должны быть перпендикулярными.

Рассмотрим на примере нормального вектора на плоскости.

Задана прямоугольная система координат О х у z в трехмерном пространстве. Координатные векторы i → , j → , k → считаются нормальными векторами плоскостей O y z , O x z и O x y . Это суждение верно, так как i → , j → , k → ненулевые и расположены на координатных прямых O x , O y и O z . Эти прямые перпендикулярны координатным плоскостям O y z , O x z и O x y .

Координаты нормального вектора плоскости – нахождение координат нормального вектора плоскости из уравнения плоскости

Статья предназначена для того, чтобы научить находить координаты нормального вектора плоскости при известном уравнении плоскости прямоугольной системы координат О х у z . Для определения нормального вектора n → = ( A , B , C ) в плоскости необходимо наличие общего уравнения плоскости, имеющее вид A x + B y + C z + D = 0 . То есть достаточно иметь уравнение плоскости, тогда появится возможность для нахождения координат нормального вектора.

Найти координаты нормального вектора, принадлежащего плоскости 2 x — 3 y + 7 z — 11 = 0 .

По условию имеем уравнение плоскости. Необходимо обратить внимание на коэффициенты, так как они и являются координатами нормального вектора заданной плоскости. Отсюда получаем, что n → = ( 2 , — 3 , 7 ) — это нормальный вектор плоскости. Все векторы плоскости задаются при помощи формулы t · n → = 2 · t , — 3 · t , 7 · t , t является любым действительным числом не равным нулю.

Ответ: n → = ( 2 , — 3 , 7 ) .

Определить координаты направляющих векторов заданной плоскости x + 2 z — 7 = 0 .

По условию имеем, что дано неполное уравнение плоскости. Чтобы увидеть координаты, необходимо преобразовать уравнение x + 2 z — 7 = 0 к виду 1 · x + 0 · y + 2 z — 7 = 0 . Отсюда получим, что координаты нормального вектора данной плоскости равны ( 1 , 0 , 2 ) . Тогда множество векторов будет иметь такую форму записи ( t , 0 , 2 · t ) , t ∈ R , t ≠ 0 .

Ответ: ( t , 0 , 2 · t ) , t ∈ R , t ≠ 0 .

При помощи уравнения плоскости в отрезках, имеющего вид x a + y b + z c = 1 , и общего уравнения плоскости возможна запись нормального вектора этой плоскости, где координаты равны 1 a , 1 b , 1 c .

Знания о нормальном векторе позволяют с легкостью решать задачи. Часто встречающимися задачами являются задания с доказательствами параллельности или перпендикулярности плоскостей. Заметно упрощается решение задач на составление уравнений заданной плоскости. Если имеется вопрос о нахождении угла между плоскостями или между прямой и плоскостью, то формулы нормального вектора и нахождения его координат помогут в этом.

Уравнение плоскости.

Общее уравнение плоскости

Любую плоскость можно задать уравнением плоскости первой степени вида

A x + B y + C z + D = 0

где A, B и C не могут быть одновременно равны нулю.

Уравнение плоскости в отрезках

Если плоскость пересекает оси OX, OY и OZ в точках с координатами ( a , 0, 0), (0, b , 0) и (0, 0, с ), то она может быть найдена, используя формулу уравнения плоскости в отрезках

x	+	y	+	z	= 1
a	b	c

Уравнение плоскости, проходящей через точку, перпендикулярно вектору нормали

Чтобы составить уравнение плоскости, зная координаты точки плоскости M( x ₀, y ₀, z ₀) и вектора нормали плоскости n = < A; B; C >можно использовать следующую формулу.

Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки, не лежащие на одной прямой

Если заданы координаты трех точек A( x ₁, y ₁, z ₁), B( x ₂, y ₂, z ₂) и C( x ₃, y ₃, z ₃), лежащих на плоскости, то уравнение плоскости можно найти по следующей формуле

x — x 1	y — y 1	z — z 1	= 0
x 2 — x 1	y 2 — y 1	z 2 — z 1
x 3 — x 1	y 3 — y 1	z 3 — z 1

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Вектор нормали: расчет и пример

Содержание:

В нормальный вектор Он определяет направление, перпендикулярное рассматриваемому геометрическому объекту, который может быть, например, кривой, плоскостью или поверхностью.

Это очень полезная концепция для позиционирования движущейся частицы или какой-либо поверхности в пространстве. На следующем графике можно увидеть, как вектор нормали к произвольной кривой C:

Рассмотрим точку P на кривой C. Точка может представлять движущуюся частицу, которая движется по траектории C. Касательная линия к кривой в точке P нарисована красным.

Обратите внимание, что вектор Т касается C в каждой точке, а вектор N перпендикулярно Т y указывает на центр воображаемого круга, дуга которого является сегментом C. Векторы выделены жирным шрифтом в печатном тексте, чтобы отличать их от других не векторных величин.

Вектор Т он всегда указывает, куда движется частица, следовательно, указывает ее скорость. Вместо вектора N всегда указывает в том направлении, в котором вращается частица, отмечая, таким образом, вогнутость кривой C.

Как получить вектор нормали к плоскости?

Вектор нормали не обязательно является единичным вектором, то есть вектором с модулем 1, но если это так, он называется нормальный единичный вектор.

Во многих приложениях необходимо знать вектор нормали к плоскости вместо кривой. Этот вектор показывает ориентацию указанной плоскости в пространстве. Например, рассмотрим самолет п (желтый) рисунка:

К этой плоскости есть два нормальных вектора: п₁ Y п₂. Использование того или другого будет зависеть от контекста, в котором находится упомянутый самолет. Получить вектор нормали к плоскости очень просто, если вы знаете его уравнение:

ах + по + cz + d = 0, с участием к, б, c Y d вещественные числа.

Ну, нормальный вектор к указанной плоскости задается следующим образом:

N = а я + b j + c k

Здесь вектор N Он выражается через единичные векторы и перпендикулярно друг другу. я, j Y k, направленных по трем направлениям, определяющим пространство X и Zсм. рисунок 2 справа.

Вектор нормали из векторного произведения

Очень простая процедура нахождения вектора нормали использует свойства векторного произведения между двумя векторами.

Как известно, три разные точки, не лежащие на одной прямой, определяют плоскость Р. Теперь можно получить два вектора или Y v которые принадлежат упомянутой плоскости, имеющей эти три точки.

Когда у вас есть векторы, векторный продуктили Икс v — операция, результатом которой, в свою очередь, является вектор, который имеет свойство быть перпендикулярным плоскости, определяемой или Y v.

Известный этот вектор, он обозначается как N, и из него можно будет определить уравнение плоскости благодаря уравнению, указанному в предыдущем разделе:

N = или Икс v

На следующем рисунке показана описанная процедура:

пример

Найти уравнение плоскости, определяемой точками A (2,1,3); В (0,1,1); С (4.2.1).

Решение

Это упражнение иллюстрирует описанную выше процедуру. Имея 3 точки, одна из них выбирается как общее начало двух векторов, которые принадлежат плоскости, определенной этими точками. Например, точка A устанавливается в качестве начала координат и строятся векторы AB Y AC.

Вектор AB — вектор, начало которого — точка A, а конец — точка B. Координаты вектора AB определяются соответственно вычитанием координат B из координат A:

AB = (0-2) я + (1-1) j + (1-3) k = -2я + 0j -2 k

Таким же образом поступаем и находим вектор AC:

AC = (4-2) я + (2-1) j + (1-3) k = 2я + j -2 k

Расчет векторного произведения AB x AC

Существует несколько процедур для нахождения векторного произведения между двумя векторами. В этом примере используется мнемоническая процедура, которая использует следующий рисунок для поиска векторных произведений между единичными векторами. я, j Y k:

Для начала следует помнить, что векторные произведения между параллельными векторами равны нулю, поэтому:

я Икс я = 0; j Икс j = 0; k Икс k = 0

А поскольку векторное произведение — это еще один вектор, перпендикулярный участвующим векторам, двигаясь в направлении красной стрелки, мы имеем:

я Икс j = k ; j Икс k = я; k Икс я = j

Если вам нужно двигаться в направлении, противоположном стрелке, добавьте знак (-):

j Икс я = – k; k Икс j = –я; я Икс k = –j

Всего можно составить 9 векторных произведений с единичными векторами. я, j Y k, из которых 3 будут нулевыми.

AB Икс AC = (-2я + 0j -2 k) х (2я + j -2 k)= -4(я Икс я) -2(я Икс j)+4 (я Икс k)+0 (j Икс я) + 0 (j Икс j) – 0 (j Икс k) – 4 (k Икс я)-2 (k Икс j) + 4 (k Икс k) = -2k-4j-4j+2я = 2я -8j-2k

Уравнение плоскости

Вектор N был определен с помощью предварительно рассчитанного векторного произведения:

N = 2я -8j-2k

Следовательно, a = 2, b = -8, c = -2, искомая плоскость:

ах + по + cz + d = 0 → 2x-8y-2z + d = 0

Значение d. Это легко сделать, если значения любой из имеющихся точек A, B или C подставить в уравнение плоскости. Выбор C, например:

2,4 — 8,2 — 2,1 + d = 0

Вкратце, искомая карта:

Пытливый читатель может задаться вопросом, был бы такой же результат, если бы вместо выполнения AB Икс AC они бы предпочли произвести AC Икс AB. Ответ: да, плоскость, определяемая этими тремя точками, уникальна и имеет два вектора нормали, как показано на рисунке 2.

Что касается точки, выбранной в качестве исходной точки векторов, нет проблем с выбором любого из двух других.

ЛЕКЦИЯ

по
учебной дисциплине

МАТЕМАТИКА

Тема
№ 2. Основы аналитической геометрии

Занятие
.Плоскость в пространстве

Введение

В лекции рассмотрим
различные виды уравнения плоскости в
пространстве, докажем, что уравнение
первой степени определяет в пространстве
плоскость, по уравнениям плоскостей
научимся определять их взаимное
расположение в пространстве.

1.
Основные понятия

Определение.
Пусть задана прямоугольная система
координат, любая поверхность S
и уравнение

F(x,
y,
z)
= 0
(1)

Будем
говорить, что уравнение является (1)
является уравнением поверхности S
в заданной системе координат, если ему
удовлетворяют координаты каждой точки
этой поверхности и не удовлетворяют
координаты никакой точки, которая не
принадлежит этой поверхности. С точки
зрения данного определения поверхность
есть множество точек пространства R³
.

Пример.
Уравнение

x²
+ y²
+ z²
= 5²

поверхность,
которая является сферой радиуса 5, с
центром в точке 0(0,0,0).

2.
Уравнения плоскости в пространстве

2.1. Общее уравнение
плоскости

Определение.
Плоскостью
называется
поверхность, вес точки которой
удовлетворяют общему уравнению:

Ax
+ By
+ Cz
+ D
= 0,

где
А, В, С – координаты вектора
–
вектор нормали
к плоскости.

Возможны
следующие частные случаи:

А
= 0 – плоскость параллельна оси Ох

В
= 0 – плоскость параллельна оси Оу

С
= 0 – плоскость параллельна оси Оz

D
= 0 – плоскость проходит через начало
координат

А
= В = 0 – плоскость параллельна плоскости
хОу

А
= С = 0 – плоскость параллельна плоскости
хОz

В
= С = 0 – плоскость параллельна плоскости
yOz

А
= D
= 0 – плоскость проходит через ось Ох

В
= D
= 0 – плоскость проходит через ось Оу

С
= D
= 0 – плоскость проходит через ось Oz

А
= В = D
= 0 – плоскость совпадает с плоскостью
хОу

А
= С = D
= 0 – плоскость совпадает с плоскостью
xOz

В
= С = D
= 0 – плоскость совпадает с плоскостью
yOz

2.2. Уравнение
плоскости, проходящей через три точки

Для
того, чтобы через три какие- либо точки
пространства можно было провести
единственную плоскость, необходимо,
чтобы эти точки не лежали на одной
прямой.

Рассмотрим
точки М₁(x₁,
y₁,
z₁),
M₂(x₂,
y₂,
z₂),
M₃(x₃,
y₃,
z₃)
в общей декартовой системе координат.

Для
того, чтобы произвольная точка М(x,
y,
z)
лежала в одной плоскости с точками М₁,
М₂,
М₃
необходимо, чтобы векторы

были компланарны.

()
= 0

Таким
образом,

Уравнение
плоскости, проходящей через три точки:

2.3.Уравнение
плоскости по двум точкам и вектору,
коллинеарному плоскости.

Пусть
заданы точки М₁(x₁,
y₁,
z₁),
M₂(x₂,
y₂,
z₂)
и вектор
.

Составим
уравнение плоскости, проходящей через
данные точки М₁
и М₂
и произвольную точку М(х, у, z)
параллельно вектору
.

Векторы
и
вектор

должны быть компланарны, т.е.

()
= 0

Уравнение
плоскости:

2.4.Уравнение
плоскости по одной точке и двум векторам,

коллинеарным
плоскости.

Пусть
заданы два вектора

и
,
коллинеарные плоскости. Тогда для
произвольной точки М(х,
у, z),
принадлежащей плоскости, векторы

должны быть компланарны.

Уравнение
плоскости:

2.5.Уравнение
плоскости по точке и вектору нормали.

Теорема.
Если в пространстве задана точка М₀(х₀,
у₀,
z₀),
то уравнение плоскости, проходящей
через точку М₀
перпендикулярно вектору нормали
(A,
B,
C)
имеет вид:

A(x
– x₀)
+ B(y
– y₀)
+ C(z
– z₀)
= 0.

Доказательство.
Для произвольной точки М(х, у, z),
принадлежащей плоскости, составим
вектор
.
Т.к. вектор

— вектор нормали, то он перпендикулярен
плоскости, а, следовательно, перпендикулярен
и вектору
.
Тогда
скалярное
произведение

=
0.

Таким
образом, получаем уравнение плоскости

Теорема
доказана.

2.6.Уравнение
плоскости в отрезках.

Если
в общем уравнении Ах
+ Ву + Сz
+ D
= 0 поделить
обе части на –D

,

заменив
,
получим уравнение плоскости в отрезках:

Числа
a,
b,
c
являются точками пересечения плоскости
соответственно с осями х,
у, z.

2.7.Расстояние от
точки до плоскости.

Расстояние
от произвольной точки М₀(х₀,
у₀,
z₀)
до плоскости Ах+Ву+Сz+D=0
равно:

Пример.
Найти уравнение плоскости, зная, что
точка Р(4; –3; 12) – основание перпендикуляра,
опущенного из начала координат на эту
плоскость.

Таким
образом, A
= 4/13; B
= –3/13; C
= 12/13, воспользуемся формулой:

A(x
– x₀)
+ B(y – y₀)
+ C(z – z₀)
= 0.

Пример.
Найти уравнение плоскости, проходящей
через две точки P(2;
0; –1) и Q(1;
–1; 3) перпендикулярно плоскости 3х + 2у
– z
+ 5 = 0.

Вектор
нормали к плоскости 3х + 2у – z
+ 5 = 0
параллелен
искомой плоскости.

Получаем:

Пример.
Найти уравнение плоскости, проходящей
через точки А(2, –1, 4) и В(3, 2, –1)
перпендикулярно плоскости х
+ у
+ 2z
– 3 = 0.

Искомое
уравнение плоскости имеет вид: Ax
+ By
+ Cz
+ D
= 0, вектор нормали к этой плоскости
(A,
B,
C).
Вектор
(1,
3, –5) принадлежит плоскости. Заданная
нам плоскость, перпендикулярная искомой
имеет вектор нормали
(1,
1, 2). Т.к. точки А и В принадлежат обеим
плоскостям, а плоскости взаимно
перпендикулярны, то

Таким
образом, вектор нормали
(11,
–7, –2). Т.к. точка А принадлежит искомой
плоскости, то ее координаты должны
удовлетворять уравнению этой плоскости,
т.е. 112
+ 71
– 24
+ D
= 0; D
= –21.

Итого,
получаем уравнение плоскости: 11x
– 7y
– 2z
– 21 = 0.

Пример.
Найти уравнение плоскости, зная, что
точка Р(4, -3, 12) – основание перпендикуляра,
опущенного из начала координат на эту
плоскость.

Находим
координаты вектора нормали
=
(4, -3, 12). Искомое уравнение плоскости
имеет вид: 4x
– 3y
+ 12z
+ D
= 0. Для нахождения коэффициента D
подставим в уравнение координаты точки
Р:

16
+ 9 + 144 + D
= 0.

D
= –169.

Итого,
получаем искомое уравнение: 4x
– 3y
+ 12z
– 169 = 0

Пример.
Даны координаты вершин пирамиды А₁(1;
0; 3), A₂(2;
–1; 3), A₃(2;
1; 1), A₄(1;
2; 5).

1. Найти
   длину ребра А₁А₂.

1. Найти
   угол между ребрами А₁А₂
   и А₁А₄.

Найти
угол между ребром А₁А₄
и гранью А₁А₂А₃.

Сначала
найдем вектор нормали к грани А₁А₂А₃

как векторное произведение векторов
и.

=
(2–1;
1–0;
1–3)
= (1; 1; –2);

Найдем
угол между вектором нормали и вектором
.

–4
– 4 = –8.

Искомый
угол 
между вектором и плоскостью будет равен

= 90⁰
– .

1. Найти
   площадь грани А₁А₂А₃.

1. Найти
   объем пирамиды.

(ед³).

1. Найти
   уравнение плоскости А₁А₂А₃.

Воспользуемся
формулой уравнения плоскости, проходящей
через три точки.

2x
+ 2y
+ 2z
– 8 = 0

x
+ y
+ z
– 4 = 0;

3.
Взаимное расположение плоскостей

Пусть
заданы две плоскости

3.1.
Угол между плоскостями

₁


0

Рис.
3

Угол
между двумя плоскостями в пространстве

связан с углом между нормалями к этим
плоскостям ₁
соотношением: 
= ₁
или 
= 180⁰
– ₁,
т.е.

cos
= cos₁.

Определим
угол ₁.
Известно, что плоскости могут быть
заданы соотношениями:

,

где

(A₁,
B₁,
C₁),

(A₂,
B₂,
C₂).

Угол
между векторами нормали найдем из их
скалярного произведения:

.

Таким
образом, угол между плоскостями находится
по формуле:

Выбор
знака косинуса зависит от того, какой
угол между плоскостями следует найти
– острый, или смежный с ним тупой.

3.2. Условия
параллельности и перпендикулярности
плоскостей.

На
основе полученной выше формулы для
нахождения угла между плоскостями можно
найти условия параллельности и
перпендикулярности плоскостей.

Для
того, чтобы плоскости были перпендикулярны
необходимо и достаточно, чтобы косинус
угла между плоскостями равнялся нулю.
Это условие выполняется, если:

.

Плоскости
параллельны, векторы нормалей коллинеарны:

.Это
условие выполняется, если:
.

7

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Нормальный вектор плоскости — наиболее компактный и наглядный способ определить плоскость в трехмерной системе координат.

Для каждой плоскости существует бесконечное множество коллинеарных друг по отношению к другу нормальных векторов.

В качестве примера плоскостей, задаваемых нормальными векторами, можно рассматривать координатные плоскости системы координат $Oxyz$: $Oxy$, $Oxz$, $Oyz$. Для них нормальными векторами будут, векторы, направляющие оси, т.е., соответственно, $Oz$, $Oy$ и $Ox$ ($vec{k}, vec{j}, vec{i}$).

Рассмотрим основные математические закономерности, показываюшие как найти вектор нормали к плоскости.

Формула нормального вектора выводится из общего уравнения плоскости, которое имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$.

Плоскости, в уравнениях которых один из коэффициентов равен $0$, соответствуют базовым плоскостям системы координат ($Oxy, Oxz, Oyz$).

Уравнения вида

$Ax + D = 0 \ By + D = 0 \ Cz + D = 0$

описывают плоскости, параллельные $Oxy, Oxz, Oyz$ и отстоящие от них на расстояние, равное отношению свободного члена $D$ к соответствующему коэффициенту, например:

$x = frac{D}{A}$

Нормальный вектор плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$ можно выразить как $bar{n}(A; B; C)$. Существует бесконечное множество плоскостей, перпендикулярных данному вектору. Для определения плоскости нужна еще точка на ней. Через любую точку также можно провести бесконечное количество плоскостей (их совокупность называется связкой). Нормальный вектор и точка взаимодополняют друг друга, определяя единственную плоскость.

«Нормальный вектор плоскости» 👇

Точку на плоскости можно обозначить как $M_1(x; y; z)$. Вектор, соединяющий ее с любой другой точкой $M$ данной плоскости, при скалярном умножении на вектор нормали к плоскости $N$ дает ноль:

$overline{M_1M} cdot N = 0$

Переписав уравнение через проекции, получим

$overline{M_1M} cdot N = A(x — x_1) + B(y — y_1) + C(z — z_1) = 0$

Это дает нам возможность выводить уравнение плоскости через координаты точки и параметры нормального вектора плоскости.

С помощью нормального вектора плоскости как ее определителя могут быть решены задачи на доказательство параллельности или перпендикулярности плоскостей, на составление уравнения плоскости, на нахождение угла между прямой и плоскостью, на нахождение угла между плоскостями.