Как найти уравнение высоты опущенной на плоскость

Уравнение высоты треугольника

Как составить уравнение высоты треугольника по координатам его вершин?

Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону.

Следовательно, для составления уравнения высоты треугольника нужно:

1. Найти уравнение стороны треугольника.
2. Составить уравнение прямой, перпендикулярной этой стороне и проходящей через противолежащую вершину треугольника.

Дано: ΔABC, A(-7;2), B(5;-3), C(1;8).

Написать уравнения высот треугольника.

1) Составим уравнение стороны BC треугольника ABC.

Прямая y=kx+b проходит через точки B(5;-3), C(1;8), значит, координаты этих точек удовлетворяют уравнению прямой. Подставив координаты B и C в уравнение прямой, составляем систему уравнений и решаем её:

Таким образом, уравнение прямой BC —

Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной BC,

Значит, уравнение высоты, проведённой к стороне BC, имеет вид

Поскольку эта прямая проходит через точку A(-7;2), подставляем координаты точки в уравнение и находим b:

Итак, уравнение высоты, проведённой к стороне BC:

2) Составим уравнение стороны AB треугольника ABC. A(-7;2), B(5;-3):

Уравнение прямой AB:

Угловой коэффициент перпендикулярной ей прямой

Значит уравнение перпендикулярной AB прямой имеет вид y=2,5x+b. Подставляем в это уравнение координаты точки C(1;8): 8=2,5·1+b, откуда b=5,5.
Получили уравнение высоты, проведённой из точки C к стороне BC: y=2,5x+5,5.
3) Составим уравнение стороны AC треугольника ABC. A(-7;2), C(1;8):

Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной AC,

Таким образом, уравнение перпендикулярной AC прямой имеет вид

Подставив в него координаты точки B(5;-3), найдём b:

Итак, уравнение высоты треугольника ABC, опущенной из вершины B:

Как найти уравнение высоты опущенной на плоскость

Внимание! Если вы делали заказ после 19.08.2021, вход в новый Личный кабинет — тут

Неправильный логин или пароль.

Укажите электронный адрес и пароль.

Пожалуйста, укажите электронный адрес или номер телефона, который вы использовали при регистрации. Вам будет отправлено письмо со ссылкой на форму изменения пароля или SMS сообщение с новым паролем.

Инструкция по изменению пароля отправлена на почту.

Чтобы зарегистрироваться, укажите ваш email и пароль

Нажимая кнопку «Зарегистрироваться» вы даете согласие на обработку персональных данных в соответствии с политикой конфеденциальности.

Примеры решений по аналитической геометрии в пространстве

В этом разделе вы найдете бесплатные примеры решений задач по аналитической геометрии в пространстве, которые относятся к исследованию пирамиды. Обычно в такой задаче нужно найти длины ребер, углы между ребрами, уравнения граней пирамиды и их площади, объем пирамиды, угол между ребром и гранью, уравнение высоты, длину высоты пирамиды и т.д.

Решения задачи о пирамиде онлайн

Задача 1. Для пирамиды с вершинами в точках $A_1, A_2, A_3, A_4$ найти:
А) длину ребра $A_1A_2$;
Б) угол между ребрами $A_1A_2$ и $A_1A_4$;
В) уравнение плоскости $A_1A_2A_3$;
Г) площадь грани $A_1A_2A_3$;
Д) угол между ребрами $A_1A_4$ и плоскостью $A_1A_2A_3$;
Е) уравнение высоты, опущенной из точки $A_4$ на грань $A_1A_2A_3$;
Ж) объем пирамиды $A_1A_2A_3A_4$.

Задача 2. Даны координаты вершин пирамиды $$A(12;11;17), B(14;12;14), C(13;14;15), D(12;21;12).$$ Найти:
— объем пирамиды;
— площадь грани $ABC$;
— уравнение плоскости, проходящей через точки $B,C,D$;
— длину высоты пирамиды, опущенной на грань $ABC$.

Задача 3. Пирамида $АВСD$ задана координатами своих вершин: $$А(4, -1,0), B(2, 3, 4), C(-1, 4, 1), D(4, -3, 5).$$ Найдите:
1. угол между ребрами $АВ$ и $АС$,
2. уравнение ребра $АВ$,
3. уравнение грани $АВС$,
4. уравнение высоты, опущенной из вершины $D$, на грань $АВС$,
5. выясните, образуют ли векторы $АВ, АС, АD$ линейно независимую систему,
6. координаты вектора $MN$, если $М$ – середина ребра $AD$, $N$ – середина ребра $ВC$,
7. разложите вектор $MN$ по базису $AB, AC, AD$, если он таковым является.

1.Определяем уравнение плоскости, проходящей через грань А1А2А3
$$begin{vmatrix}x-x_1 & y-y_1 & z-z_1\
x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1\
x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1end{vmatrix} = 0 ;$$

$$begin{vmatrix}x-8 & y-6 & z-4\
10-8 & 5-6 & 5-4\
5-8 & 6-6 & 8-4end{vmatrix} =
begin{vmatrix}x-8 & y-6 & z-4\
2 & -1 & 1\
-3 & 0 & 4end{vmatrix} = $$
$$=(x-8)(-1times4-1times0)-(y-6)(2times4-1(-3))+(z-4)(2times0-(-1)(-3))=$$
$$= -4(x-8)-11(y-6)-3(z-4) = -4x+32-11y+66-3z+12=$$ $$=-4x-11y-3z+110 = 0$$

Уравнение плоскости: $%-4x-11y-3z+110=0$%
или, если умножить на -1: $%4x+11y+3z-110=0$%

2.Получаем уравнение прямой, перпендикулярной плоскости А1А2А3 и проходящей через точку A4 (т.е. высоту пирамиды)

Из уравнения плоскости $%4x+11y+3z-110=0$% берем коэффициенты при x,y,z и получаем нормальный вектор: {4,11,3}.
Параметрическое уравнение прямой с заданным направляющим вектором {A,B,C} и проходящей через данную точку (x0,y0,z0):

$$left{begin{array}{l}x=x_0+At\y=y_0+Bt\z=z_0+Ctend{array}right.$$

Подставляем нормальный вектор плоскости и точку A4:

$$left{begin{array}{l}x=8+4t\y=10+11t\z=7+3tend{array}right.$$

Получили параметрическое уравнение высоты пирамиды.
Если нужно каноническое уравнение, в каждом уравнении выражаем параметр t, а потом приравниваем:

$$left{begin{array}{l}t=frac{x-8}4\t=frac{y-10}{11}\t=frac{z-7}3end{array}right.$$

$$frac{x-8}4 = frac{y-10}{11} = frac{z-7}3$$

Уравнение высоты: $%frac{x-8}4 = frac{y-10}{11} = frac{z-7}3$%

Как составить уравнение высоты треугольника по координатам его вершин?

Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону.

Следовательно, для составления уравнения высоты треугольника нужно:

1. Найти уравнение стороны треугольника.
2. Составить уравнение прямой, перпендикулярной этой стороне и проходящей через противолежащую вершину треугольника.

Пример.

Дано: ΔABC, A(-7;2), B(5;-3), C(1;8).

Написать уравнения высот треугольника.

Решение:

1) Составим уравнение стороны BC треугольника ABC.

Прямая y=kx+b проходит через точки B(5;-3), C(1;8), значит, координаты этих точек удовлетворяют уравнению прямой. Подставив координаты B и C в уравнение прямой, составляем систему уравнений и решаем её:

   

Таким образом, уравнение прямой BC —

   

Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной BC,

   

Значит, уравнение высоты, проведённой к стороне BC, имеет вид

   

Поскольку эта прямая проходит через точку A(-7;2), подставляем координаты точки в уравнение и находим b:

   

Итак, уравнение высоты, проведённой к стороне BC:

   

2) Составим уравнение стороны AB треугольника ABC. A(-7;2), B(5;-3):

   

Уравнение прямой AB:

   

Угловой коэффициент перпендикулярной ей прямой

   

Значит уравнение перпендикулярной AB прямой имеет вид y=2,5x+b. Подставляем в это уравнение координаты точки C(1;8): 8=2,5·1+b, откуда b=5,5.
Получили уравнение высоты, проведённой из точки C к стороне BC: y=2,5x+5,5.
3) Составим уравнение стороны AC треугольника ABC. A(-7;2), C(1;8):

   

Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной AC,

   

Таким образом, уравнение перпендикулярной AC прямой имеет вид

   

Подставив в него координаты точки B(5;-3), найдём b:

   

Итак, уравнение высоты треугольника ABC, опущенной из вершины B:

   

Аналитическая геометрия — задача на расчет пирамиды (тетраэдра)

Краткая теория

---

Вузовская аналитическая геометрия отличается от курса школьной геометрии. Главное отличие состоит в том, что она основным своим инструментом имеет набор алгебраических формул и методов вычислений. В основе аналитической геометрии лежит метод координат.
Аналитическая геометрия имеет набор формул, готовых уравнений и алгоритмов действия. Для успешного и правильного решения главное — разобраться и уделить задаче достаточно времени.

Данная задача является типовой в курсе аналитической геометрии и требует использования различных методов и знаний, таких как декартовые прямоугольные координаты и вектора в пространстве.

Пример решения задачи

Задача

Даны координаты
вершин пирамиды 
. Найти:

Сделать чертеж.

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Решение

Длина ребра

Длину ребра

 найдем по
формуле расстояния между 2-мя точками:

Угол между ребрами

Угол между ребрами

 и

 найдем как угол
между направляющими векторами

  и

:

Косинус угла между
векторами:

Угол между ребром и гранью. Векторное произведение

Вычислим угол между
ребром

 и гранью

.

Для этого вычислим
координаты нормального вектора плоскости

 –им будет
векторное произведение векторов 

 и

.

 

Найдем векторное произведение. Для этого

вычислим определитель:

Нормальный вектор
плоскости:

  

Синус угла:

Площадь грани

Вычислим площадь
грани

. Она будет численно равна половине модуля векторного
произведения векторов

    и 

:

Искомая площадь:

Объем пирамиды. Смешанное произведение векторов

Вычислим объем
пирамиды. Он будет равен шестой части модуля смешанного произведения векторов

  и

:

Для того чтобы вычислить смешанное произведение, необходимо
найти определитель квадратной матрицы, составленной из координат векторов:

Искомый объем
пирамиды:

Уравнение прямой в пространстве

Вычислим уравнение
прямой

.  Направляющим
вектором искомой прямой является вектор

. Кроме того, прямая проходит через точку

 

Уравнение искомой
прямой:

Уравнение плоскости

Вычислим уравнение
плоскости

. Нормальный вектор плоскости

. кроме того, плоскость проходит через точку

 -уравнение
грани

 

Уравнение высоты, опущенной на грань

Составим уравнение
высоты, опущенной на грань

 из вершины

:

Нормальный вектор

 является
направляющим вектором высоты, кроме того, высота проходит через точку

 

Искомое уравнение
высоты:

Сделаем схематический чертеж:

Пример 1:

Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄.

Найти:

1) координаты и модули векторов А₁ А₂и А₁ А₄;  

2) угол между ребрами А₁ А₂и А₁ А₄;          

3) площадь грани А₁ А₂ А₃;         

4) объем пирамиды;

5) уравнение прямой А₁ А₂;

6) уравнение плоскости А₁ А₂ А₃;

7) уравнение высоты, опущенной из вершины  А₄ на грань А₁ А₂ А_3.

Сделать чертеж.

А₁ (0; 4; -4), А₂ (5; 1; -1), А₃ (-1; -1; 3), А₄ (0; -3; 7).

Решение от преподавателя:

Пример 2:

Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄.

Найти: 1) длину ребра А₁ А₂;

2) угол между ребрами А₁ А₂и А₁ А₄;          

3) угол между ребром А₁ А₄ и гранью А₁ А₂ А₃;

4) площадь грани А₁ А₂ А₃;         

5) объем пирамиды;

6) уравнение прямой А₁ А₂;

7) уравнение плоскости А₁ А₂ А₃;

уравнение высоты, опущенной из вершины  А₄ на грань А₁ А₂ А_3. Сделать чертеж.

1. А₁ (7; 7; 3), А₂ (6; 5; 8), А₃ (3; 5; 8), А₄ (8; 4; 1).

Решение от преподавателя:

Пример 3:

Решение от преподавателя:

 Уравнение плоскости. 
Если точки A₁(x₁; y₁; z₁), A₂(x₂; y₂; z₂), A₃(x₃; y₃; z₃) не лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость представляется уравнением: 

x-x1 y-y1 z-z1 x2-x1 y2-y1 z2-z1 x3-x1 y3-y1 z3-z1

= 0

Уравнение плоскости A₁A₂A₃ 

(x-3)(1*2-0*3) — (y-2)((-2)*2-3*3) + (z+2)((-2)*0-3*1) = 2x + 13y — 3z-38 = 0 

Угол между прямой A₁A₄ и плоскостью A₁A₂A₃. 
Синус угла между прямой с направляющими коэффициентами (l; m; n) и плоскостью с нормальным вектором N(A; B; C) можно найти по формуле: 

Уравнение плоскости A₁A₂A₃: 2x + 13y — 3z-38 = 0 
Уравнение прямой A₁A₄: 

γ = arcsin(0.267) = 15.486^o 

Уравнение высоты пирамиды через вершину A₄(0,2,2) 
Прямая, проходящая через точку M₀(x₀;y₀;z₀) и перпендикулярная плоскости Ax + By + Cz + D = 0 имеет направляющий вектор (A;B;C) и, значит, представляется симметричными уравнениями: 
Уравнение плоскости A₁A₂A₃: 2x + 13y — 3z-38 = 0 

Уравнение плоскости через вершину A₄(0,2,2) 
Плоскость, проходящая через точку M₀(x₀;y₀;z₀) и параллельная плоскости Ax + By + Cz + D = 0 имеет направляющий вектор (A;B;C) и, значит, представляется уравнением: 
A(x-x₀) + B(y-y₀) + C(z-z₀) = 0 
Уравнение плоскости A₁A₂A₃: 2x + 13y — 3z-38 = 0 
2(x-0)+13(y-2)-3(z-2) = 0 
или 
2x+13y-3z-20 = 0

Пример 4:

Решение от преподавателя:

Даны координаты пирамиды: A₁(0,1,1), A₂(3,4,4), A₃(-3,9,3), A₄(0,5,4) 

1. Уравнение плоскости. 
   Если точки A₁(x₁; y₁; z₁), A₂(x₂; y₂; z₂), A₃(x₃; y₃; z₃) не лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость представляется уравнением: 

x-x1 y-y1 z-z1 x2-x1 y2-y1 z2-z1 x3-x1 y3-y1 z3-z1

= 0

Уравнение плоскости A₁A₂A₃ 

(x-0)(3*2-8*3) — (y-1)(3*2-(-3)*3) + (z-1)(3*8-(-3)*3) = -18x — 15y + 33z-18 = 0 
Упростим выражение: -6x — 5y + 11z-6 = 0 

2) Угол между прямой A₁A₄ и плоскостью A₁A₂A₃. 
Синус угла между прямой с направляющими коэффициентами (l; m; n) и плоскостью с нормальным вектором N(A; B; C) можно найти по формуле: 

Уравнение плоскости A₁A₂A₃: -6x — 5y + 11z-6 = 0 
Уравнение прямой A₁A₄: 

γ = arcsin(0.193) = 11.128^o 

3) Уравнение высоты пирамиды через вершину A₄(0,5,4) 
Прямая, проходящая через точку M₀(x₀;y₀;z₀) и перпендикулярная плоскости Ax + By + Cz + D = 0 имеет направляющий вектор (A;B;C) и, значит, представляется симметричными уравнениями: 
Уравнение плоскости A₁A₂A₃: -6x — 5y + 11z-6 = 0 

4) Уравнение плоскости через вершину A₄(0,5,4) 
Плоскость, проходящая через точку M₀(x₀;y₀;z₀) и параллельная плоскости

5)  Координаты вектора  A₁A₄(0;4;3) 

Уравнение прямой, проходящей через точку А₁(0,1,1) параллельно вектору А₁А₂(0,4,3) имеет вид:

Пример 5:

Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄.

Найти: 1) длину ребра А₁ А₂;

2) угол между ребрами А₁ А₂и А₁ А₄;          

3) угол между ребром А₁ А₄ и гранью А₁ А₂ А₃;

4) площадь грани А₁ А₂ А₃;         

5) объем пирамиды;

6) уравнение прямой А₁ А₂;

7) уравнение плоскости А₁ А₂ А₃;

уравнение высоты, опущенной из вершины  А₄ на грань А₁ А₂ А_3. Сделать чертеж.

А₁ (4; 4; 10), А₂ (4; 10; 2), А₃ (2; 8; 4), А₄ (9; 6; 9).

Решение от преподавателя:

Пример 6:

Решение от преподавателя:

1) Даны координаты  вершин пирамиды: A₁(0,1,1), A₂(3,4,4), A₃(-3,9,3), A₄(0,5,4) 
Координаты векторов. 
Координаты векторов:       A₁A₂(3;3;3)        A₁A₄(0;4;3) 

 Угол между векторами a₁(X₁;Y₁;Z₁), a₂(X₂;Y₂;Z₂) можно найти по формуле: 
   ,    где a₁a₂ = X₁X₂ + Y₁Y₂ + Z₁Z₂ 
Найдем угол между ребрами A₁A₂(3;3;3) и A₁A₃(0;4;3): 

А₁ = arccos(0,808)

Найдем площадь грани с учётом геометрического смысла векторного произведения: 
S =
Найдем векторное произведение

=i(3*2-8*3) — j(3*2-(-3)*3) + k(3*8-(-3)*3) = -18i — 15j + 33k 

3) Объем пирамиды. 
Объем пирамиды, построенный на векторах a₁(X₁;Y₁;Z₁), a₂(X₂;Y₂;Z₂), a₃(X₃;Y₃;Z₃) равен: 

Координатывекторов:A₁A₂(3;3;3)    A₁A₃(-3;8;2) A₁A₄(0;4;3) :      

Пример 7:

Решение от преподавателя:

1. Угол между ребрами. 
   Угол между векторами a₁(X₁;Y₁;Z₁), a₂(X₂;Y₂;Z₂) можно найти по формуле: 
   
   где a₁a₂ = X₁X₂ + Y₁Y₂ + Z₁Z₂ 
   Найдем угол между ребрами A₁A₂(-2;1;3) и A₁A₃(3;0;2): 
   
   γ = arccos(0) = 90.003⁰ 
2. Площадь грани 
   Площадь грани можно найти по формуле: 
   
   где 
   
   Найдем площадь грани A₁A₂A₃ 
   Найдем угол между ребрами A₁A₂(-2;1;3) и A₁A₃(3;0;2): 
   
   
   Площадь грани A₁A₂A₃ 
3. Объем пирамиды, построенный на векторах a₁(X₁;Y₁;Z₁), a₂(X₂;Y₂;Z₂), a₃(X₃;Y₃;Z₃) равен: 

где определитель матрицы равен: 
∆ = (-2)*(0*4-0*2)-3*(1*4-0*3)+(-3)*(1*2-0*3) = -18 

Пример 8:

Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄ . Найти:

1) длину ребра А₁А₂;

2) угол между рёбрами А₁А₂  и А₁А₄ ;

3) угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃;

4) площадь грани А₁А₂А₃;

5) объём пирамиды;

6) уравнение прямой А₁А₂;

7) уравнение плоскости А₁А₂А₃;

уравнение высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃;

Сделать чертёж.

А₁(3; 5; 4),        А₂(8; 7; 4),            А₃(5; 10; 4),          А₄(4; 7; 8).

Решение от преподавателя:

1) Длина ребра A₁A₂;

2) угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄;

3) угол между ребрами А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃;

Найдем уравнение стороны А₁А₄:

Вектор нормали:  к плоскости А₁А₂А₃.

4) площадь грани А₁А₂А₃;

5) объем пирамиды;

6) уравнение прямой А₁А₂;

7) уравнение плоскости А₁А₂А₃;

Итак: z=4 – уравнение плоскости А₁А₂А₃.

уравнение высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃.

A₄O – высота:

Уравнение A₄O:

Т.к. , то

В результате получаем уравнение высоты:

Пример 9:

Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄.

Найти: 1) длину ребра А₁ А₂;

2) угол между ребрами А₁ А₂и А₁ А₄;          

3) угол между ребром А₁ А₄ и гранью А₁ А₂ А₃;

4) площадь грани А₁ А₂ А₃;         

5) объем пирамиды;

6) уравнение прямой А₁ А₂;

7) уравнение плоскости А₁ А₂ А₃;

уравнение высоты, опущенной из вершины  А₄ на грань А₁ А₂ А_3. Сделать чертеж.

А₁ (4; 4; 10), А₂ (4; 10; 2), А₃ (2; 8; 4), А₄ (9; 6; 9).

Решение от преподавателя: