Как найти уравнение высоты тетраэдра

Как написать уравнение высоты тетраэдра

Учасники групи мають 10% знижку при замовленні робіт, і ще багато бонусів!

Контакты

Администратор, решение задач
Роман

Tel. +380685083397
[email protected]
skype, facebook:
roman.yukhym

Решение задач
Андрей

facebook:
dniprovets25

Онлайн решение Пирамиды по координатам вершин

1) чертёж пирамиды по координатам её вершин;

2) длины и уравнения рёбер, медиан, апофем, высот;

3) площади и уравнения граней;

4) система линейных неравенств, определяющих пирамиду;

5) основания и точка пересечения медиан (центроид);

6) уравнения плоскостей, проходящих через вершины параллельно противолежащим граням;

7) объём пирамиды;

основания, площади и уравнения биссекторов;

9) углы между рёбрами, между рёбрами и гранями, двугранные (внутренние между гранями), телесные;

10) параметры и уравнения вписанной и описанной сфер;

Внимание! Этот сервис может не работать в браузере Internet Explorer.

Запишите координаты вершин пирамиды и нажмите кнопку.

A ( ; ; ), B ( ; ; ), C ( ; ; ), D ( ; ; )

Примечание: дробные числа записывайте через точку, а не запятую. Округлять до -го знака после запятой. Как найти высоту тетраэдра формула Высота тетраэдра — равна корню квадратному из двух третих, помноженному на длину ребра тетраэдра (h — высота тетраэдра, a — ребро тетраэдра)

Вывод формулы высоты тетраэдра

Чтобы получить формулу высоты тетраэдра необходимо произвести дополнительные геометрические построения. На рисунке красные линии CF и FS — это высоты соответствующих правильных треугольников ABC и ABS:

Теперь в треугольнике CFS известны все стороны. Высота тетраэдра, как видно из геометрических построений — это высота треугольника CFS. Подставив стороны треугольника в формулу и произведя простые сокращения (используем формулу разность квадратов) получим формулу (1).

Рассмотрим произвольный треугольник ABC и точку D , не лежащую в плоскости этого треугольника. Соединим отрезками эту точку с вершинами треугольника ABC . В результате получим треугольники ADC , CDB , ABD . Поверхность ограниченная четырьмя треугольниками ABC , ADC , CDB и ABD называется тетраэдром и обозначается DABC .
Треугольники, из которых состоит тетраэдр, называются его гранями.
Стороны данных треугольников называют ребрами тетраэдра. А их вершины – вершинами тетраэдра

Тетраэдр имеет 4 грани, 6 ребер и 4 вершины.
Два ребра, которые не имеют общей вершины, называются противоположными.
Зачастую для удобства, одну из граней тетраэдра называют основанием, а оставшиеся три грани боковыми гранями.

Но также верно и утверждение, что любая произвольная треугольная пирамида является тетраэдром. Тогда также верно, что тетраэдром называют пирамиду, в основании которой лежит треугольник.

Высотой тетраэдра называется отрезок, который соединяет вершину с точкой, расположенной на противоположной грани и перпендикулярный к ней.
Медианой тетраэдра называется отрезок, который соединяет вершину с точкой пересечения медиан противоположной грани.
Бимедианой тетраэдра называется отрезок, который соединяет середины скрещивающихся ребер тетраэдра.

Так как тетраэдр – это пирамида с треугольным основанием, то объем любого тетраэдра можно рассчитать по формуле

• S – площадь любой грани,
• H – высота, опущенная на эту грань

Правильный тетраэдр – частный вид тетраэдра

Тетраэдр, у которого все грани равносторонние треугольник называется правильным.
Свойства правильного тетраэдра:

• Все грани равны.
• Все плоские углы правильного тетраэдра равны 60°
• Так как каждая его вершина является вершиной трех правильных треугольников, то сумма плоских углов при каждой вершине равна 180°
• Любая вершина правильного тетраэдра проектируется в ортоцентр противоположной грани (в точку пересечения высот треугольника).

Пусть нам дан правильный тетраэдр ABCD с ребрами равными a . DH – его высота.
Произведем дополнительные построения BM – высоту треугольника ABC и DM – высоту треугольника ACD .
Высота BM равна BM и равна
Рассмотрим треугольник BDM , где DH , являющаяся высотой тетраэдра также и высота данного треугольника.
Высоту треугольника, опущенную на сторону MB можно найти, воспользовавшись формулой

, где
BM=, DM=, BD=a,
p=1/2 (BM+BD+DM)=
Подставим эти значения в формулу высоты. Получим

Вынесем 1/2a. Получим

Применим формулу разность квадратов

После небольших преобразований получим

Объем любого тетраэдра можно рассчитать по формуле
,
где ,

Подставив эти значения, получим

Таким образом формула объема для правильного тетраэдра

где a –ребро тетраэдра

Вычисление объема тетраэдра, если известны координаты его вершин

Пусть нам даны координаты вершин тетраэдра

Из вершины проведем векторы , , .
Для нахождения координат каждого из этих векторов вычтем из координаты конца соответствующую координату начала. Получим

Геометрических смысл смешенного произведения трех векторов заключается в следующем – смешенное произведение трех векторов равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах.
Так как тетраэдр есть пирамида с треугольным основанием, а объем пирамиды в шесть раз меньше объема параллелепипеда, то тогда имеет смысл следующая формула

Свойства

Зная высоту тетраэдра, можно вычислить его ребро, перевернув формулу так, чтобы ребро было равно корню из трех вторых, умноженному на высоту. a=√(3/2) h

Выразив таким образом ребро тетраэдра через его высоту, можно найти периметр тетраэдра, то есть длину всех его ребер, площадь одной грани и площадь полной поверхности тетраэдра. Периметр тетраэдра будет равен шести длинам его ребер, площадь одной грани – ребру в квадрате, умноженному на корень из трех, деленный на четыре, а площадь полной поверхности – четырем площадям одной грани. P=6a=6√(3/2) h S_1=(√3 a^2)/4=(3√3 h^2)/8 S_(п.п.)=4S_1=(3√3 h^2)/2

Через высоту, подставленную вместо ребра в определенном соотношении можно найти соответственно и радиусы вписанной и описанной окружностей в основание тетраэдра. r=h/(2√2) R=h/√2

Апофема тетраэдра проходит из вершины к противоположной стороне грани под прямым углом и рассчитать ее можно как из прямоугольного треугольника с боковым ребром по той же грани, так и из прямоугольного треугольника во внутреннем пространстве тетраэдра с высотой. l=3h/(2√2)

Чтобы вычислить объем тетраэдра, необходимо возвести в куб ребро и разделить полученное значение на шесть корней из двух, либо подставить вместо ребра корень из трех вторых, умноженный на высоту и преобразовать формулу объема для высоты. V=(√3 h^3)/8

В тетраэдр можно вписать сферу или описать сферу около него, тогда, зная высоту, чтобы вычислить радиусы вписанной и описанной сфер, необходимо воспользоваться следующими, уже готовыми формулами. (рис.60.2, 60.3) r_1=h/4 R_1=3h/4

Высота тетраэдра, формула

Высота тетраэдра — равна корню квадратному из двух третьих, помноженному на длину ребра тетраэдра [ h = sqrt{frac{2}{3}} a ] (h — высота тетраэдра, a — ребро тетраэдра)

Вывод формулы высоты тетраэдра

Чтобы получить формулу высоты тетраэдра необходимо произвести дополнительные геометрические построения. На рисунке
красные линии CF и FS — это высоты соответствующих правильных треугольников ABC и ABS:

[CF = FS = frac{sqrt{3}}{2}a ; CS = a ]

Теперь в треугольнике CFS известны все стороны. Высота тетраэдра, как видно из геометрических построений — это высота треугольника CFS. Подставив стороны треугольника в формулу и произведя простые сокращения (используем формулу разность квадратов) получим формулу (1).

[p = frac{1}{2}(a + afrac{sqrt{3}}{2} + afrac{sqrt{3}}{2}) ]

[p = frac{1}{2} a (1 + sqrt{3}) ]

[h = 2 frac{ sqrt{p(p-a)(p-(afrac{sqrt{3}}{2}))(p-(afrac{sqrt{3}}{2}))}}{afrac{sqrt{3}}{2}}]

[h = 2 frac{sqrt{(frac{a}{2})^4 (sqrt{3}+1) (sqrt{3}-1)}}{afrac{sqrt{3}}{2}} = sqrt{frac{2}{3}} a ]

Вычислить, найти высоту тетраэдра по формуле(1)

Высота тетраэдра	стр. 283

Аналитическая геометрия — задача на расчет пирамиды (тетраэдра)

Краткая теория

---

Вузовская аналитическая геометрия отличается от курса школьной геометрии. Главное отличие состоит в том, что она основным своим инструментом имеет набор алгебраических формул и методов вычислений. В основе аналитической геометрии лежит метод координат.
Аналитическая геометрия имеет набор формул, готовых уравнений и алгоритмов действия. Для успешного и правильного решения главное — разобраться и уделить задаче достаточно времени.

Данная задача является типовой в курсе аналитической геометрии и требует использования различных методов и знаний, таких как декартовые прямоугольные координаты и вектора в пространстве.

Пример решения задачи

Задача

Даны координаты
вершин пирамиды 
. Найти:

Сделать чертеж.

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Решение

Длина ребра

Длину ребра

 найдем по
формуле расстояния между 2-мя точками:

Угол между ребрами

Угол между ребрами

 и

 найдем как угол
между направляющими векторами

  и

:

Косинус угла между
векторами:

Угол между ребром и гранью. Векторное произведение

Вычислим угол между
ребром

 и гранью

.

Для этого вычислим
координаты нормального вектора плоскости

 –им будет
векторное произведение векторов 

 и

.

 

Найдем векторное произведение. Для этого

вычислим определитель:

Нормальный вектор
плоскости:

  

Синус угла:

Площадь грани

Вычислим площадь
грани

. Она будет численно равна половине модуля векторного
произведения векторов

    и 

:

Искомая площадь:

Объем пирамиды. Смешанное произведение векторов

Вычислим объем
пирамиды. Он будет равен шестой части модуля смешанного произведения векторов

  и

:

Для того чтобы вычислить смешанное произведение, необходимо
найти определитель квадратной матрицы, составленной из координат векторов:

Искомый объем
пирамиды:

Уравнение прямой в пространстве

Вычислим уравнение
прямой

.  Направляющим
вектором искомой прямой является вектор

. Кроме того, прямая проходит через точку

 

Уравнение искомой
прямой:

Уравнение плоскости

Вычислим уравнение
плоскости

. Нормальный вектор плоскости

. кроме того, плоскость проходит через точку

 -уравнение
грани

 

Уравнение высоты, опущенной на грань

Составим уравнение
высоты, опущенной на грань

 из вершины

:

Нормальный вектор

 является
направляющим вектором высоты, кроме того, высота проходит через точку

 

Искомое уравнение
высоты:

Сделаем схематический чертеж:

8

Даны вершины
треугольника.
Найти:

1. длину стороны ВС;

2. уравнение высоты ВС;

3. уравнение высоты, проведённой из вершины
   А;

4. длину высоты, проведённой из вершины
   А;

5. угол В.

Сделать чертёж.

Дано: А(-8;3), В(4;-2), С(7;2).

РЕШЕНИЕ

1. Длину стороны ВС находим по формуле
   .
   По условию имеем В(4;-2), С(7;2).

1. Найдём уравнение стороны ВС. Найдём
   уравнение прямой, на которой лежит
   сторона ВС. Используем уравнение прямой,
   проходящей через две точки
   ,
   полагая
   

1. Найдём уравнение высоты, проведённой
   из вершины А. При составлении уравнения
   прямой, на которой лежит высота
   треугольника, воспользуемся формулой
   
   и условием перпендикулярности двух
   прямых
   :

Определим угловой коэффициент прямой
ВС. Для этого разрешим уравнение стороны
ВС относительно у:

Следовательно, высота, проведённая из
точки А, имеет угловой коэффициент

Тогда, уравнение высоты, опущенной из
вершины А(-8;3) на сторону ВС:

1. Найдём длину высоты, проведённой из
   вершины А. Она равна расстоянию от точки
   А(-8;3) до прямой ВС заданной уравнением
   .
   По формуле
   
   вычисляем расстояние от точки А до
   прямой ВС, полагая
   

1. Найдём угол В. Угол В равен углу между
   прямыми ВС и АВ и может быть найден с
   помощью формулы
   .
   Угловой коэффициент прямо ВС известен
   и равен
   .
   Найдём угловой коэффициент прямой АВ
   по формуле:
   

Тогда получаем,

И угол равен

Выполним чертёж. В прямоугольной
декартовой системе координат хОу строим
исходные точки и получаем треугольник
АВС. Затем из вершины А опустим
перпендикуляр на сторону ВС, получим
АК.

18

Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄.
Найти:

1. координаты вектора
   
   и длину ребра
   ;

2. угол между рёбрами
   
   и
   ;

3. площадь грани
   ;

4. объём пирамиды;

5. уравнение плоскости
   ;

6. уравнение прямой
   ;

7. угол между ребром
   
   и гранью
   ;

8. уравнение высоты, опущенной из вершины
   
   на грань
   ;

Сделать чертёж.

Дано: А₁(7;2;2), А₂(5;7;7), А₃(5;3;1),
А₄(2;3;7).

РЕШЕНИЕ

1. Вектор
   
   равен

Длину ребра

можно найти как расстояние между двумя
точками

и
,
оно равно

Получаем

1. Угол между рёбрами
   
   и
   
   найдём как угол между векторами
   
   и
   .

Вектор

Таким образом, имеем два вектора

и
,
угол между ними найдём по формуле:

Скалярное произведение двух векторов
в числителе дроби находили как сумму
произведений одноимённых координат
(проекций).

1. Площадь грани
   
   равна половине площади параллелограмма,
   построенного на векторах, как на
   сторонах. И площадь треугольника
   
   можно вычислить через векторное
   произведение
   

Координаты вектора

или

Векторное произведение вычислим через
определитель 3-го порядка, разложив его
по элементам первой строки:

Модуль векторного произведения

1. Объём треугольной пирамиды А₁А₂А₃А₄
   можно рассматривать как одну шестую
   часть объёма параллелепипеда, построенного
   на векторах
   ,
   
   и
   
   как на рёбрах:

Смешанное произведение трёх векторов
равно

1. Уравнение плоскости
   
   имеет вид

или для нашей задачи

Разложим определитель по элементам
первой строки:

1. Уравнения прямой
   
   найдём в канонической форме, для этого
   воспользуемся уравнением прямой,
   проходящей через две заданные точки
   
   и
   :

,

1. Углом ψ между ребром
   
   и гранью
   
   будет острый угол между прямой
   
   и её проекцией на плоскость
   .
   Для нахождения угла ψ воспользуемся
   формулой

Канонические уравнения прямой

получим как:

Отсюда l=5; m=1;
n=-5, где l,
m, n –
координаты направляющего вектора прямой
:

;

Уравнение плоскости

было получено в пункте 5:

Отсюда А=5; В=7; С=-4, где А, В, С – координаты
нормального вектора плоскости
:

Тогда получаем

1. Уравнения высоты, опущенной из вершины
   
   на грань
   .

Канонические уравнения прямой, проходящей
через точку
,
имеют вид
,
где l, m, n
– координаты направляющего вектора
прямой.

Так как высота перпендикулярна плоскости
,
то из условия перпендикулярности прямой
и плоскости

координаты направляющего вектора
прямой, перпендикулярной плоскости
можно заменить координатами нормального
вектора плоскости l=A=5;
m=B=7; n=C=-4.

Окончательно получим

Выполним чертёж пирамиды как пересечения
плоскостей её граней:

Грань А₁А₂А₄:

Грань А₁А₂А₃:

Грань А₁А₃А₄:

Грань А₂А₃А₄:

28

Составить уравнение и построить линию,
каждая точка которой равноотстоит от
оси ординат и от окружности

РЕШЕНИЕ

В системе координат хОу строим ось
ординат х=0 и окружность

Пусть точка М(х; у) – произвольная точка
искомого геометрического места точек.
Опустим перпендикуляры на ось ординат
и на окружность.

Тогда расстояние от произвольной точки
М(х; у) до оси ординат
–
абсцисса точки М(х; у), а расстояние от
точки М(х; у) до окружности
.
Приравнивая эти расстояния и снимая
знак модуля, получаем

Получили уравнение параболы, строим
верхнюю часть окружности и параболы,
так как чертёж симметричный:

Соседние файлы в папке Приборостроителям

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #