Как найти уравнение высоты в векторе

Как составить уравнение высоты треугольника по координатам его вершин?

Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону.

Следовательно, для составления уравнения высоты треугольника нужно:

1. Найти уравнение стороны треугольника.
2. Составить уравнение прямой, перпендикулярной этой стороне и проходящей через противолежащую вершину треугольника.

Пример.

Дано: ΔABC, A(-7;2), B(5;-3), C(1;8).

Написать уравнения высот треугольника.

Решение:

1) Составим уравнение стороны BC треугольника ABC.

Прямая y=kx+b проходит через точки B(5;-3), C(1;8), значит, координаты этих точек удовлетворяют уравнению прямой. Подставив координаты B и C в уравнение прямой, составляем систему уравнений и решаем её:

   

Таким образом, уравнение прямой BC —

   

Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной BC,

   

Значит, уравнение высоты, проведённой к стороне BC, имеет вид

   

Поскольку эта прямая проходит через точку A(-7;2), подставляем координаты точки в уравнение и находим b:

   

Итак, уравнение высоты, проведённой к стороне BC:

   

2) Составим уравнение стороны AB треугольника ABC. A(-7;2), B(5;-3):

   

Уравнение прямой AB:

   

Угловой коэффициент перпендикулярной ей прямой

   

Значит уравнение перпендикулярной AB прямой имеет вид y=2,5x+b. Подставляем в это уравнение координаты точки C(1;8): 8=2,5·1+b, откуда b=5,5.
Получили уравнение высоты, проведённой из точки C к стороне BC: y=2,5x+5,5.
3) Составим уравнение стороны AC треугольника ABC. A(-7;2), C(1;8):

   

Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной AC,

   

Таким образом, уравнение перпендикулярной AC прямой имеет вид

   

Подставив в него координаты точки B(5;-3), найдём b:

   

Итак, уравнение высоты треугольника ABC, опущенной из вершины B:

   

Уравнение высоты треугольника

Как составить уравнение высоты треугольника по координатам его вершин?

Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону.

Следовательно, для составления уравнения высоты треугольника нужно:

1. Найти уравнение стороны треугольника.
2. Составить уравнение прямой, перпендикулярной этой стороне и проходящей через противолежащую вершину треугольника.

Дано: ΔABC, A(-7;2), B(5;-3), C(1;8).

Написать уравнения высот треугольника.

1) Составим уравнение стороны BC треугольника ABC.

Прямая y=kx+b проходит через точки B(5;-3), C(1;8), значит, координаты этих точек удовлетворяют уравнению прямой. Подставив координаты B и C в уравнение прямой, составляем систему уравнений и решаем её:

Таким образом, уравнение прямой BC —

Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной BC,

Значит, уравнение высоты, проведённой к стороне BC, имеет вид

Поскольку эта прямая проходит через точку A(-7;2), подставляем координаты точки в уравнение и находим b:

Итак, уравнение высоты, проведённой к стороне BC:

2) Составим уравнение стороны AB треугольника ABC. A(-7;2), B(5;-3):

Уравнение прямой AB:

Угловой коэффициент перпендикулярной ей прямой

Значит уравнение перпендикулярной AB прямой имеет вид y=2,5x+b. Подставляем в это уравнение координаты точки C(1;8): 8=2,5·1+b, откуда b=5,5.
Получили уравнение высоты, проведённой из точки C к стороне BC: y=2,5x+5,5.
3) Составим уравнение стороны AC треугольника ABC. A(-7;2), C(1;8):

Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной AC,

Таким образом, уравнение перпендикулярной AC прямой имеет вид

Подставив в него координаты точки B(5;-3), найдём b:

Итак, уравнение высоты треугольника ABC, опущенной из вершины B:

Высота треугольника онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти высоту треугольника. Для нахождения высоты треугольника введите известные элементы треугольника и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть смотрите ниже.

Открыть онлайн калькулятор

Высота треугольника. Определение

Определение 1. Отрезок, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется высотой треугольника.

Высота треугольника может содержаться внутри треугольника (Рис.1), совпадать со стороной треугольника (при прямоугольном треугольнике высота совпадает с катетом (Рис.2) ), проходить вне треугольника (при тупоугольном треугольнике(Рис.3)).

Теорема о пересечении высот треугольника

Теорема 1. Все три высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.

Доказательство. Рассмотрим произвольный треугольник ABC (Рис.4). Докажем, что высоты ( small AA_1 ,) ( small BB_1 ,) ( small CC_1 ) пересекаются в одной точке. Из каждой вершины треугольника проведем прямую, параллельно противоположной стороне. Получим треугольник ( small A_2B_2C_2. ) Покажем, что точки ( small A, B, C ) являются серединами сторон треугольника ( small A_2B_2C_2. ) ( small AB=A_2C ) так как они являются противоположными сторонами параллелограмма ( small ABA_2C. ) ( small AB=CB_2 ) так как они являются противоположными сторонами параллелограмма ( small ABCB_2. ) Тогда ( small CB_2=CA_2, ) то есть точка ( small C ) является серединой стороны ( small A_2B_2 ) треугольника ( small A_2B_2C_2. ) Аналогично доказывается, что точки ( small A ) и ( small B ) являются серединами сторон ( small B_2C_2 ) и ( small A_2C_2, ) соответственно.

Далее из ( small AA_1⊥BC ) следует, что ( small AA_1⊥B_2C_2 ) поскольку ( small BC ǁ B_2C_2 ). Аналогично, ( small BB_1⊥A_2C_2, ) ( small CC_1⊥A_2B_2. ) Получили, что ( small AA_1,) ( small BB_1, ) ( small CC_1) являются серединными перпендикулярами сторон ( small B_2C_2, ) ( small A_2C_2, ) ( small A_2B_2, ) соответственно. Но серединные перпендикуляры треугольника пересекаются в одной точке (см. статью Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника). Следовательно высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке.

Точка пересечения высот треугольника называется ортоцентром.

Высота треугольника по основанию и площади

Пусть известны сторона треугольника и площадь. Найти высоту треугольника, отпущенная на известную сторону (Рис.5).

Решение. Площадь треугольника по основанию и высоте вычисляется из формулы:

.

.

(1)

Пример 1. Сторона треугольника равна ( small a=5 ) а площадь ( small S=7. ) Найти высоту треугольника.

Применим формулу (1). Подставляя значения ( small a ) и ( small S ) в (1), получим:

Ответ:

Высота треугольника по трем сторонам

Формула площади треугольника по трем сторонам имеет следующий вид (см. статью на странице Площадь треугольника онлайн):

(2)

где ( small a, b, c ) стороны треугольника а полупериод ( small p ) вычисляется из формулы:

(3)

Высота треугольника, отпущенная на сторону ( small a) вычисляется из формулы (1). Подставляя (2) в (1), получим формулу вычисления высоты треугольника по трем сторонам:

.

(4)

Пример 2. Известны стороны треугольника: ( small a=5, ) ( small b= 4, ) ( small c=7. ) Найти высоту треугольника, отпущенная на сторону ( small a. )

Решение: Найдем, сначала полупериод ( small p ) треугольника из формулы (3):

Подставляя значения ( small a , b, c ) и ( small p ) в (4), получим:

Ответ:

Высота треугольника по двум сторонам и радиусу описанной окружности

Рассмотрим треугольник на рисунке 6. Из теоремы синусов имеем:

(5)

(6)

Далее, из теоремы синусов имеем:

(7)

Подставляя (6) в (7), получим:

(8)

Отметим, что радиус описанной окружности должен удовлетворять следующему неравенству:

(small max (b,c) ≤2R Пример 3. Известны стороны треугольника: ( small b=7, ) ( small c= 3 ) и радиус описанной окружности ( small R=4. ) Найти высоту треугольника, отпущенная на сторону ( small a. )

Решение: Проверим сначала условие (9):

(small max (7,3) ≤2 cdot 4 Ответ: ( small 2frac<5><8>. )

Высота треугольника по стороне и прилежащему к ней углу

Найдем высоту ( small h_a ) треугольника на рисунке 7. Из теоремы синусов имеем:

( small frac<large h_a><large sin angle B>=frac<large c><large sin 90°>, )

( small h_a=c cdot sin angle B. )

(11)

Пример 4. Известны сторона ( small c=12 ) треугольника и прилежащий угол ( small angle B=30°. ) Найти высоту треугольника, отпущенная на сторону ( small a. )

Решение: Для нахождения высоты треугольника подставим значения ( small c=12 ) и ( small angle B=30° ) в (11). Имеем:

Уравнение высоты треугольника по координатам формула

Как составить уравнение высоты треугольника по координатам его вершин?

Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону.

Следовательно, для составления уравнения высоты треугольника нужно:

1. Найти уравнение стороны треугольника.
2. Составить уравнение прямой, перпендикулярной этой стороне и проходящей через противолежащую вершину треугольника.

Дано: ΔABC, A(-7;2), B(5;-3), C(1;8).

Написать уравнения высот треугольника.

1) Составим уравнение стороны BC треугольника ABC.

Прямая y=kx+b проходит через точки B(5;-3), C(1;8), значит, координаты этих точек удовлетворяют уравнению прямой. Подставив координаты B и C в уравнение прямой, составляем систему уравнений и решаем её:

Таким образом, уравнение прямой BC —

Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной BC,

Значит, уравнение высоты, проведённой к стороне BC, имеет вид

Поскольку эта прямая проходит через точку A(-7;2), подставляем координаты точки в уравнение и находим b:

Итак, уравнение высоты, проведённой к стороне BC:

2) Составим уравнение стороны AB треугольника ABC. A(-7;2), B(5;-3):

Уравнение прямой AB:

Угловой коэффициент перпендикулярной ей прямой

Значит уравнение перпендикулярной AB прямой имеет вид y=2,5x+b. Подставляем в это уравнение координаты точки C(1;8): 8=2,5·1+b, откуда b=5,5.
Получили уравнение высоты, проведённой из точки C к стороне BC: y=2,5x+5,5.
3) Составим уравнение стороны AC треугольника ABC. A(-7;2), C(1;8):

Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной AC,

Таким образом, уравнение перпендикулярной AC прямой имеет вид

Подставив в него координаты точки B(5;-3), найдём b:

Итак, уравнение высоты треугольника ABC, опущенной из вершины B:

Даны координаты вершин треугольника .

1) Вычислить длину стороны .

2) Составить уравнение линии .

3) Составить уравнение высоты, проведенной из вершины А, и найти ее длину.

4) Найти точку пересечения медиан.

5) Найти косинус внутреннего угла при вершине В.

6) Найти координаты точки М, расположенной симметрично точке А, относительно прямой ВС.

А

1. Длина стороны ВС равна модулю вектора .

; .

2. Уравнение прямой ВС: ; ; .

3. Уравнение высоты АК запишем как уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору :

. Длину высоты АК можно найти как расстояние от точки А до прямой ВС: .

4. Найдем координаты точки N – середины стороны ВС:

; ; .

Точка пересечения медиан О делит каждую медиану на отрезки в отношении .

Используем формулы деления отрезка в данном отношении :

.

5. Косинус угла при вершине В найдем как косинус угла между векторами и ;

.

6. Точка М, симметричная точке А относительно прямой ВС, расположена на прямой АК, перпендикулярной к прямой ВС, на таком же расстоянии от прямой, как и точка А. Координаты точки К найдем как решения системы Систему решим по формулам Крамера:

.

Точка К является серединой отрезка АМ.

.

Контрольные варианты к задаче 2

Даны координаты вершин треугольника АВС. Требуется:

1) вычислить длину стороны ВС;

2) составить уравнение линии ВС;

3) составить уравнение высоты, проведенной из вершины А;

4) вычислить длину высоты, проведенной из вершины А;

5) найти точку пересечения медиан;

6) вычислить внутренний угол при вершине В;

7) найти координаты точки М, расположенной симметрично точке А относительно прямой ВС.

1.	.	2.	.
3.	.	4.	.
5.	.	6.	.
7.	.	8.	.
9.	.	10.	.
11.	.	12.	.
13.	.	14.	.
15.	.	16.	.
17.	.	18.	.
19.	.	20.	.
21.	.	22.	.
23.	.	24.	.
25.	.	26.	.
27.	.	28.	.
29.	.	30.	.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Учись учиться, не учась! 10637 – | 8008 – или читать все.

Вы можете заказать решение работы
по адресу , вместо бульдога ставьте @

Нужны сторона AB, высота CD, медиана AE и площадь. Координаты вершин А(-8;-3) В(4;-12) С(8;10)

Уравнение прямой, проходящей через две точки (x1,y1) и (x2,y2), описывается уравнением:

Для прямой AB:
(x+8)·(-9)-(y+3)·12 = 0
-9x-72-12y-36 = 0
9x+12y+108 = 0
3x + 4y + 36 = 0

Для отыскания уравнения высоты CD найдем сначала уравнение прямой, которая ей перпендикулярна. Это прямая AB (уравнение у нас есть). Выразим y через x явно:
y = -(3/4)x-9

Если прямая задана уравнением y = kx+b, то перпендикулярная ей прямая будет иметь вид y = (-1/k)x + d. Поэтому искомая высота имеет уравнение:

y = (4/3)x + d. Постоянную d найдем из условия, что высота проходит через точку С.

10 = (32/3) + d,
d = -2/3

Таким образом, уравнение высоты CD: y = (4/3)x – 2/3, или, что то же, 4x-3y-2 = 0

Медиана AE проходит через две точки – точку А и середину отрезка BC. Найдем координаты середины BC по формуле:
X = (x1+x2)/2, Y = (y1+y2)/2. Искомые координаты: X_E = 6, Y_E = -1

Теперь ищем уравнение прямой, идущей через две точки: A(-8;-3) и E(6;-1) по указанному выше уравнению.

(x+8)·2-(y+3)·14 = 0
x+8-7y-21 = 0
x-7y-13 = 0

Это уравнение медианы AE.

Площадь треугольника, заданного на плоскости координатами вершин (x1,y1) (x2,y2) (x3,y3) определяется выражением:

S = (1/2)·|(x3-x1)·(y2-y1) – (y3-y1)·(x2-x1)|
S = (1/2)·|16·(-9)-13·12| = 300/2 = 150 (кв. ед.)

Уравнение высоты треугольника по координатам его вершин

Чтобы составить уравнение высоты треугольника по координатам его вершин нужно:

1. Составить уравнение прямой, на которой лежит высота треугольника:

Так как высота треугольника – это перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону, то угловые коэффициенты перпендикулярных прямых связаны записанной выше пропорцией.

Уравнение высоты треугольника по координатам его вершин

Составить уравнение высоты треугольника. Пример

Дан треугольник АВС. Вершины треугольника имеют следующие координаты:

На сторону АС опущена высота ВН.

Составить уравнение высоты ВН.

Пример на составление уравнения высоты треугольника

Шаг 1

Составим уравнение прямой, проходящей через точки А и С.

Для этого воспользуемся уравнением прямой с угловым коэффициентом:

Подставим в это уравнение координаты точек А и С:

Уравнение стороны АС имеет вид:

Составить уравнение высоты треугольника. Шаг 1

Шаг 2

Так как прямые АС и ВН перпендикулярны, то, зная угловой коэффициент прямой АС, можем составить уравнение прямой ВН с угловым коэффициентом.

Итак, угловой коэффициент АС равен:

Отсюда, угловой коэффициент ВН будет равен:

Теперь можем записать уравнение высоты ВН:

Точка В(2,4) лежит на прямой ВН, значит, ее координаты удовлетворяют уравнению прямой ВН:

Таким образом, уравнение высоты ВН имеет вид:

Составить уравнение высоты треугольника. Шаг 2

Уравнение высоты треугольника

Как составить уравнение высоты треугольника по координатам его вершин?

Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону.

Следовательно, для составления уравнения высоты треугольника нужно:

1. Найти уравнение стороны треугольника.
2. Составить уравнение прямой, перпендикулярной этой стороне и проходящей через противолежащую вершину треугольника.

Дано: ΔABC, A(-7;2), B(5;-3), C(1;8).

Написать уравнения высот треугольника.

1) Составим уравнение стороны BC треугольника ABC.

Прямая y=kx+b проходит через точки B(5;-3), C(1;8), значит, координаты этих точек удовлетворяют уравнению прямой. Подставив координаты B и C в уравнение прямой, составляем систему уравнений и решаем её:

Таким образом, уравнение прямой BC —

Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной BC,

Значит, уравнение высоты, проведённой к стороне BC, имеет вид

Поскольку эта прямая проходит через точку A(-7;2), подставляем координаты точки в уравнение и находим b:

Итак, уравнение высоты, проведённой к стороне BC:

2) Составим уравнение стороны AB треугольника ABC. A(-7;2), B(5;-3):

Уравнение прямой AB:

Угловой коэффициент перпендикулярной ей прямой

Значит уравнение перпендикулярной AB прямой имеет вид y=2,5x+b. Подставляем в это уравнение координаты точки C(1;8): 8=2,5·1+b, откуда b=5,5.
Получили уравнение высоты, проведённой из точки C к стороне BC: y=2,5x+5,5.
3) Составим уравнение стороны AC треугольника ABC. A(-7;2), C(1;8):

Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной AC,

Таким образом, уравнение перпендикулярной AC прямой имеет вид

Подставив в него координаты точки B(5;-3), найдём b:

Итак, уравнение высоты треугольника ABC, опущенной из вершины B:

Решить треугольник Онлайн по координатам

1) длины и уравнения сторон, медиан, средних линий, высот, серединных перпендикуляров, биссектрис;

2) система линейных неравенств, определяющих треугольник;

2) уравнения прямых, проходящих через вершины параллельно противолежащим сторонам;

3) внутренние углы по теореме косинусов;

4) площадь треугольника;

5) точка пересечения медиан (центроид) и точки пересечения медиан со сторонами;

10) параметры вписанной и описанной окружностей и их уравнения.

Внимание! Этот сервис не работает в браузере IE (Internet Explorer).

Запишите координаты вершин треугольника и нажмите кнопку.

A ( ; ), B ( ; ), C ( ; )

Примечание: дробные числа записывайте через точку, а не запятую. Округлять до -го знака после запятой. источники: http://www.treugolniki.ru/uravnenie-vysoty-treugolnika/ http://mathhelpplanet.com/static.php?p=onlain-reshit-treugolnik



2.9. Типовая задача с треугольником

Многие помнят из школы признаки равенства треугольников, признаки подобия треугольников и мучительное заучивание доказательств теорем. Как в

сердцАх сказал один мой одноклассник, «не понимаю, на### доказывать равенство треугольников, если и так видно, что они одинаковые». Мы тоже не

будем ничего доказывать, поскольку аналитическая геометрия рассматривает треугольник совсем с другой стороны.

Типовая задача, как правило, формулируется так: Даны три вершины треугольника. Требуется найти… много чего требуется

найти…. Повезёт, если будет пункта 3-4, но чаще всего их 5-6 и даже больше. И вам повезло – разберём всё! Или почти всё:

Задача 95

Даны вершины треугольника . Требуется:

1) составить уравнения сторон  и найти их угловые коэффициенты;
2) найти длину стороны ;
3) найти ;
4) составить прямой , проходящей через точку  параллельно прямой ;
5) составить уравнение высоты и найти её длину;
6) вычислить площадь треугольника ;
7) составить уравнение медианы ;
найти точку пересечения .
и для особо опасных энтузиастов:
9) найти уравнение биссектрисы ;
10) найти центр тяжести  треугольника;
11) составить систему линейных неравенств, определяющих треугольник.

С чего начать решение? Начать целесообразно с выполнения чертежа. По условию этого можно не делать, но для самоконтроля и

самопроверки всегда строим чертёж на черновике, не устану это рекомендовать:

Ещё раз напоминаю, что самый выгодный масштаб 1 единица = 1

см (2 тетрадные клетки). Всё хорошо видно, и расстояния удобно измерять линейкой.

Вперёд без страха и сомнений:

1) Составим уравнения сторон  и найдём их угловые

коэффициенты.
Поскольку известны вершины треугольника, то уравнения каждой стороны составим по двум

точкам.

Составим уравнение стороны  по точкам :

Для проверки мысленно либо на черновике подставляем координаты каждой точки в полученное уравнение.

Теперь

найдём угловой коэффициент. Для этого перепишем общее уравнение в виде уравнения с угловым коэффициентом:

Таким образом, угловой коэффициент:

Самостоятельно разбираемся со сторонами  и сверяемся, что

получилось:

2) Найдём длину стороны .  Используем соответствующую формулу для точек :

Сторону легко измерить обычной линейкой, хотя это не сильно строгая проверка

3) Найдём . Это Задача 31, повторим:

Используем формулу .
Найдём векторы:

Таким образом:
, и сам угол:
, ну что же, похоже на правду, желающие могут приложить транспортир, у кого

он есть.

Внимание! При выполнении этого пункта лучше не использовать формулы ориентированного угла

между прямыми, так как они всегда дают острый угол.

4) Составим уравнение прямой , проходящей через точку  параллельно прямой . Это стандартная задача, и мы ленимся отработать её вновь!

Из общего уравнения прямой  вытащим направляющий вектор .

Составим уравнение прямой  по точке  и направляющему вектору :

5) Составим уравнение высоты и найдём её длину.
Первую часть задания мы тоже решали:

Из уравнения стороны  снимаем вектор нормали . Уравнение высоты

 составим по точке  и направляющему вектору :

Обратите внимание, что координаты точки  нам не известны.

Иногда уравнение высоты находят из соотношения угловых коэффициентов перпендикулярных прямых: . В данном случае , тогда: . Уравнение высоты  составим по точке  и угловому коэффициенту :

Длину высоты можно найти двумя способами.

Существует окольный путь:

а) находим  – точку

пересечения высоты и стороны ;

б) находим длину отрезка  по двум

известным точкам.

Но зачем? – ведь есть удобная формула расстояния от точки  до прямой :

6) Вычислим площадь треугольника. Используем «школьную» формулу:

7) Уравнение медианы  составим в два шага:

а) Найдём точку  – середину стороны . Используем формулы координат середины отрезка.

Известны концы , и тогда середина:

б) Уравнение медианы  составим по точкам :

 – для проверки подставим координаты точек .

Найдём точку пересечения  высоты и медианы:
      в

Первое уравнение умножили на 5, складываем их почленно:
 – подставим в первое уравнение:

9) Биссектриса делит угол пополам:

Из свойств биссектрисы внутреннего угла следует соотношение длин следующих отрезков:

Длины сторон уже найдены в предыдущих пунктах: .

Таким образом, . Координаты точки  найдём по формулам деления отрезка в данном отношении. Да,

параметр «лямбда» получился просто сказочным, ну а кому сейчас легко? Точки  известны и понеслась нелёгкая:

Примечание: на последнем шаге я умножил числитель и знаменатель на сопряжённое выражение  – чтобы использовать формулу  и

избавиться от иррациональности в знаменателе.

Разбираемся со второй координатой:

аким образом:  

И предчувствие вас не обмануло, уравнение биссектрисы  составим по точкам  по формуле :

обратите внимание на технику упрощений:

Проверил, всё сходится. На практике, конечно, вычисления почти всегда будут проще. Никого не хотел запугать, так уж получилось =)

10) Найдём центр тяжести треугольника.

Но сначала поймём, что такое центр тяжести плоской фигуры. Мысленно вырежьте из тонкого однородного картона любую фигуру. …Почему-то фигура зайца

в голову пришла. Так вот: если слегка насадить данную фигуру центром тяжести (какой же я изверг =)) на вертикально расположенную иголку, то

теоретически фигура не должна свалиться.

Центром тяжести треугольника является точка пересечения его медиан. В треугольнике три медианы и пересекаются они в одной точке.

Из пункта 7 нам уже известна одна из медиан: .  Как решить задачу?

Напрашивается очевидный алгоритм: можно найти уравнение второй медианы (любой из двух оставшихся) и точку пересечения этих медиан. Но есть путь

короче! Нужно только знать полезное свойство:

Точка пересечения медиан делит каждую из медиан в

отношении , считая от вершины треугольника. Поэтому справедливо

отношение
Нам известны концы отрезка – точки  и .
По формулам деления отрезка в данном отношении:

Таким образом, центр тяжести треугольника:
И заключительный пункт задачи, для освоения которого нужно уметь решать недавно разобранные линейные

неравенства:

11) Составим систему линейных неравенств, определяющих треугольник.

Для удобства я перепишу найденные уравнения сторон:

Рассмотрим прямую . Треугольник лежит в полуплоскости, где находится

вершина . Составим вспомогательный многочлен  и вычислим его значение в точке : . Поскольку сторона  принадлежит треугольнику, то неравенство будет нестрогим:

Внимание! Если вам не понятен этот алгоритм, то обратитесь к

Задаче 90.

Рассмотрим прямую . Треугольник расположен ниже данной прямой, поэтому

очевидно неравенство .

И, наконец, для  составим многочлен , в который подставим координаты точки : .
Таким образом, получаем третье неравенство: .

Итак, треугольник  определяется следующей системой линейных

неравенств:

Готово.

Какой можно сделать вывод?

Многие задачи аналитической геометрии прозрачны и просты,
главное, не допустить вычислительных ошибок.

Следует отметить, что по настоящему трудные задачи в аналитической геометрии встречаются редко, и вы справитесь практически с любой из них!

Главное, придерживаться методики решения и проявить маломальское упорство.

Ну что, может ещё задачку? Да ладно, не надо стесняться, я же по глазам вижу, что хотите =) 

Но сейчас на очереди другая увлекательная тема, продолжаем изучать геометрию плоскости:

3.1. Алгебраическая линия и её порядок

2.8. Как научиться решать задачи по геометрии?

| Оглавление |



Автор: Aлeксaндр Eмeлин

9.1. Прямая на плоскости

Рассмотрим
различные случаи задания прямой L
на плоскости.

1. Если
задан ненулевой направляющий
вектор

и радиус-вектор
некоторой фиксированной точкито в этом случае радиус-векторпроизвольной точкизадается формулой

(9.1)

где

Уравнение (9.1)
называется
векторно-параметрическим уравнением
прямой L.

2. Если
– координаты точкикоторая лежит на прямойL,
(l, m)
– координаты направляющего вектора
то прямая задаетсяпараметрическими
уравнениями:

3. Если
– направляющий вектор, такой, чтои– точка, через которую проходит прямая,
то имеемканоническое
уравнение:

(9.2)

4. Если прямая L
не параллельна оси Ox,
то для всех направляющих векторов
отношение
По заданному угловому коэффициентуk
прямой L
и точке
уравнение прямойL
может быть задано в следующем виде:

– это уравнение
прямой с угловым коэффициентом
k,
проходящей
через точку
М₀.

В случае, если
– точка пересечения прямойL
с осью Oy,
это уравнение может быть записано в
следующем виде:

5. Координаты
направляющего вектора
прямойL
могут быть найдены, если известны две
точки
иэтой прямой:

Уравнение
прямой, проходящей через две заданные
точки:

(9.3)

6. Если известны
точки пересечения прямой L
с координатными осями, т. е. точки M₀(a,
0) и M₁(0,
b),
то справедливо уравнение
«в отрезках»:

7. Положение прямой
на плоскости однозначно определено и
в случае, когда задан ненулевой нормальный
вектор
этой прямой и точкаУсловие перпендикулярности векторовпозволяет перейти к векторному уравнению

и затем к его
координатной форме:

или

(9.4)

где

Уравнение (9.4)
называется общим
уравнением прямой
L.

8. Если в качестве
нормального вектора берется единичный
вектор
направленный из начала координат в
сторону прямой, т. е.

то справедливо
нормальное
уравнение
прямой L
на плоскости:

где
– расстояние от начала координат до
прямой.

Величина
δ(M₀,
L)
= x₀cos α
+ y₀cos β
– p,
где

называется отклонением точки М₀
от прямой L.
При этом δ
< 0, если точки M₀
и O(0,
0) лежат по одну сторону от прямой L,
δ
> 0 – если по разные. Расстояние d(M₀,
L)
от точки до прямой равно абсолютному
значению отклонения.

От общего уравнения
прямой к нормальному можно перейти с
помощью умножения на нормирующий
множитель:

где

Расстояние от
точки M₀(x₀,
y₀)
до прямой L:
Ax
+ By
+ C
= 0 может быть
найдено по формуле

(9.5)

Угол между прямыми
легко найти с помощью косинуса угла
между их направляющими или нормальными
векторами, а также по формуле

где k₁
и k₂
– угловые коэффициенты прямых.

При этом возможны
частные случаи:

Здесь L₁
и L₂
– прямые на плоскости, для которых
– угловые коэффициенты соответственно
прямыхи

В полярной системе
координат уравнение прямой имеет вид

ρcos(φ
– φ₀)
= p,

где p
– длина перпендикуляра, проведенного
из полюса к прямой, φ₀
– угол между полярной осью и перпендикуляром.

Пример 1.
Даны вершины треугольника ABC:
A(1, 2),
B(–1, –3),
C(2, –1).
Найти:

1) уравнение прямой
BC;

2) уравнение высоты
AH
и ее длину;

3) уравнение медианы
BM;

4) угол между прямыми
BM
и AH;

5) уравнения
биссектрис внутреннего и внешнего углов
при вершине А.

Решение.
1) Для составления уравнения прямой BC
воспользуемся заданными координатами
точек B,
C
и уравнением прямой (9.3), проходящей
через две заданные точки. Так как B(–1,
–3), C(2,
–1), имеем:

Последнее уравнение
приведем к общему уравнению, использовав
основное свойство пропорции:

2(x
+ 1) = 3(y
+ 3) или 2x
– 3y
– 7 = 0.

Таким образом,
окончательно получаем:

ВС:
2x
– 3y
– 7 = 0.

2) Для построения
уравнения высоты АН
воспользуемся условием перпендикулярности
прямых AH
и ВС:
нормальным вектором прямой ВС
является
,
т. е.Этот вектор можно рассматривать как
направляющий вектор прямойАН.
Следовательно, каноническое уравнение
прямой AH
согласно формуле (9.2) имеет вид:

(9.6)

где А(1,
2)АН.

В общем виде получим
АН:
3х
+ 2у
– 7 = 0.

Чтобы найти длину
высотыАВС,
опущенной из вершины А,
воспользуемся формулой расстояния
(9.5):

3) Для составления
уравнения медианы ВМ
найдем координаты точки М,
являющейся серединой отрезка AC:

Получим M(3/2,
1/2). Запишем уравнение прямой BM
по двум известным точкам B(–1,
–3) и
используя формулу (9.3):

Приведя его к
общему уравнению, получим:

ВМ:
7x
– 5y
– 8 = 0.

4) Угол φ
между прямыми BM
и AH
найдем, используя угол между их нормальными
векторами:

Получаем

5) Пусть точка M(x,
y)
лежит на биссектрисе угла BАС.
Тогда по свойству биссектрисы d(M,
AB)
= d(M,
AC).
Запишем уравнения прямых АВ
и
АС. Имеем:

Следовательно,

Аналогично

т. е.

Используем формулу
расстояния (9.5):

Следовательно,

По основному
свойству пропорции и свойству модуля
имеем:

Итак, получили две
биссектрисы (внутреннего и внешнего
углов при вершине А):

Пример 2.
Даны две точки A(–3,
и B(2,
2). На оси Ox
найти такую точку M,
сумма расстояний от которой до двух
заданных точек была бы наименьшей.

Решение.
Воспользуемся утверждением, смысл
которого состоит в следующем: наименьший
путь между двумя точками достигается
в случае движения по прямой. Тогда задача
будет заключаться в поиске точки
пересечения прямой AB
(рис. 9.1) с осью Ox,
где B
– точка, симметричная точке В
относительно оси Ox
(или в нахождении точки пересечения
прямой AB
с осью Ox,
где A
– точка, симметричная точке А
относительно оси Ox).

Рис. 9.1

Точки B(2,
–2) и A(–3,
определяют прямую AB:

т. е.
или

Значит, для
нахождения координат искомой точки М
осталось решить систему уравнений:

Решаем ее:

Итак, точка М(1,
0) является искомой.

Задания

Соседние файлы в папке Часть 2

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #