Как найти уравнения прямой через три точки

Уравнение прямой

Уравнение прямой на плоскости

Любую прямую на плоскости можно задать уравнением прямой первой степени вида

где A и B не могут быть одновременно равны нулю.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Общее уравнение прямой при B≠0 можно привести к виду

где k — угловой коэффициент равный тангенсу угла, образованного данной прямой и положительным направлением оси ОХ.

Уравнение прямой в отрезках на осях

Если прямая пересекает оси OX и OY в точках с координатами ( a , 0) и (0, b ), то она может быть найдена используя формулу уравнения прямой в отрезках

Уравнение прямой, проходящей через две различные точки на плоскости

Если прямая проходит через две точки M( x ₁, y ₁) и N( x ₂, y ₂), такие что x ₁ ≠ x ₂ и y ₁ ≠ y ₂, то уравнение прямой можно найти, используя следующую формулу

x — x 1	=	y — y 1
x 2 — x 1	y 2 — y 1

Параметрическое уравнение прямой на плоскости

Параметрические уравнения прямой могут быть записаны следующим образом

x = l t + x ₀ y = m t + y ₀

где N( x ₀, y ₀) — координаты точки лежащей на прямой, a = < l , m >- координаты направляющего вектора прямой.

Каноническое уравнение прямой на плоскости

Если известны координаты точки N( x ₀, y ₀) лежащей на прямой и направляющего вектора a = ( l и m не равны нулю), то уравнение прямой можно записать в каноническом виде, используя следующую формулу

Решение. Воспользуемся формулой для уравнения прямой проходящей через две точки

x — 1 2 — 1 = y — 7 3 — 7

Упростив это уравнение получим каноническое уравнение прямой

Выразим y через x и получим уравнение прямой с угловым коэффициентом

Найдем параметрическое уравнение прямой. В качестве направляющего вектора можно взять вектор MN .

Взяв в качестве координат точки лежащей на прямой, координаты точки М, запишем параметрическое уравнение прямой

x = t + 1 y = -4 t + 7

Решение. Так как M _y — N _y = 0, то невозможно записать уравнение прямой проходящей через две точки.

Найдем параметрическое уравнение прямой. В качестве направляющего вектора можно взять вектор MN .

Взяв в качестве координат точки лежащей на прямой, координаты точки М, запишем параметрическое уравнение прямой

Уравнение прямой в пространстве

Уравнение прямой, проходящей через две различные точки в пространстве

Если прямая проходит через две точки M( x ₁, y ₁, z ₁) и N( x ₂, y ₂, z ₂), такие что x ₁ ≠ x ₂, y ₁ ≠ y ₂ и z ₁ ≠ z ₂, то уравнение прямой можно найти используя следующую формулу

x — x 1	=	y — y 1	=	z — z 1
x 2 — x 1	y 2 — y 1	z 2 — z 1

Параметрическое уравнение прямой в пространстве

Параметрические уравнения прямой могут быть записаны следующим образом

	x = l t + x 0
y = m t + y 0
z = n t + z 0

где ( x ₀, y ₀, z ₀) — координаты точки лежащей на прямой, — координаты направляющего вектора прямой.

Каноническое уравнение прямой в пространстве

Если известны координаты точки M( x ₀, y ₀, z ₀) лежащей на прямой и направляющего вектора n = , то уравнение прямой можно записать в каноническом виде, используя следующую формулу

x — x 0	=	y — y 0	=	z — z 0
l	m	n

Прямая как линия пересечения двух плоскостей

Если прямая является пересечением двух плоскостей, то ее уравнение можно задать следующей системой уравнений

Общее уравнение прямой: описание, примеры, решение задач

Данная статья продолжает тему уравнения прямой на плоскости: рассмотрим такой вид уравнения, как общее уравнение прямой. Зададим теорему и приведем ее доказательство; разберемся, что такое неполное общее уравнение прямой и как осуществлять переходы от общего уравнения к другим типам уравнений прямой. Всю теорию закрепим иллюстрациями и решением практических задач.

Общее уравнение прямой: основные сведения

Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат O x y .

Любое уравнение первой степени, имеющее вид A x + B y + C = 0 , где А , В , С – некоторые действительные числа ( А и В не равны одновременно нулю) определяет прямую линию в прямоугольной системе координат на плоскости. В свою очередь, любая прямая в прямоугольной системе координат на плоскости определяется уравнением, имеющим вид A x + B y + C = 0 при некотором наборе значений А , В , С .

указанная теорема состоит из двух пунктов, докажем каждый из них.

1. Докажем, что уравнение A x + B y + C = 0 определяет на плоскости прямую.

Пусть существует некоторая точка М 0 ( x 0 , y 0 ) , координаты которой отвечают уравнению A x + B y + C = 0 . Таким образом: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Вычтем из левой и правой частей уравнений A x + B y + C = 0 левую и правую части уравнения A x 0 + B y 0 + C = 0 , получим новое уравнение, имеющее вид A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) = 0 . Оно эквивалентно A x + B y + C = 0 .

Полученное уравнение A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) = 0 является необходимым и достаточным условием перпендикулярности векторов n → = ( A , B ) и M 0 M → = ( x — x 0 , y — y 0 ) . Таким образом, множество точек M ( x , y ) задает в прямоугольной системе координат прямую линию, перпендикулярную направлению вектора n → = ( A , B ) . Можем предположить, что это не так, но тогда бы векторы n → = ( A , B ) и M 0 M → = ( x — x 0 , y — y 0 ) не являлись бы перпендикулярными, и равенство A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) = 0 не было бы верным.

Следовательно, уравнение A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) = 0 определяет некоторую прямую в прямоугольной системе координат на плоскости, а значит и эквивалентное ему уравнение A x + B y + C = 0 определяет ту же прямую. Так мы доказали первую часть теоремы.

1. Приведем доказательство, что любую прямую в прямоугольной системе координат на плоскости можно задать уравнением первой степени A x + B y + C = 0 .

Зададим в прямоугольной системе координат на плоскости прямую a ; точку M 0 ( x 0 , y 0 ) , через которую проходит эта прямая, а также нормальный вектор этой прямой n → = ( A , B ) .

Пусть также существует некоторая точка M ( x , y ) – плавающая точка прямой. В таком случае, векторы n → = ( A , B ) и M 0 M → = ( x — x 0 , y — y 0 ) являются перпендикулярными друг другу, и их скалярное произведение есть нуль:

n → , M 0 M → = A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) = 0

Перепишем уравнение A x + B y — A x 0 — B y 0 = 0 , определим C : C = — A x 0 — B y 0 и в конечном результате получим уравнение A x + B y + C = 0 .

Так, мы доказали и вторую часть теоремы, и доказали всю теорему в целом.

Уравнение, имеющее вид A x + B y + C = 0 – это общее уравнение прямой на плоскости в прямоугольной системе координат O x y .

Опираясь на доказанную теорему, мы можем сделать вывод, что заданные на плоскости в фиксированной прямоугольной системе координат прямая линия и ее общее уравнение неразрывно связаны. Иначе говоря, исходной прямой соответствует ее общее уравнение; общему уравнению прямой соответствует заданная прямая.

Из доказательства теоремы также следует, что коэффициенты А и В при переменных x и y являются координатами нормального вектора прямой, которая задана общим уравнением прямой A x + B y + C = 0 .

Рассмотрим конкретный пример общего уравнения прямой.

Пусть задано уравнение 2 x + 3 y — 2 = 0 , которому соответствует прямая линия в заданной прямоугольной системе координат. Нормальный вектор этой прямой – это вектор n → = ( 2 , 3 ) . Изобразим заданную прямую линию на чертеже.

Также можно утверждать и следующее: прямая, которую мы видим на чертеже, определяется общим уравнением 2 x + 3 y — 2 = 0 , поскольку координаты всех точек заданной прямой отвечают этому уравнению.

Мы можем получить уравнение λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 , умножив обе части общего уравнения прямой на число λ , не равное нулю. Полученное уравнение является эквивалентом исходного общего уравнения, следовательно, будет описывать ту же прямую на плоскости.

Неполное уравнение общей прямой

Полное общее уравнение прямой – такое общее уравнение прямой A x + B y + C = 0 , в котором числа А , В , С отличны от нуля. В ином случае уравнение является неполным.

Разберем все вариации неполного общего уравнения прямой.

1. Когда А = 0 , В ≠ 0 , С ≠ 0 , общее уравнение принимает вид B y + C = 0 . Такое неполное общее уравнение задает в прямоугольной системе координат O x y прямую, которая параллельна оси O x , поскольку при любом действительном значении x переменная y примет значение — C B . Иначе говоря, общее уравнение прямой A x + B y + C = 0 , когда А = 0 , В ≠ 0 , задает геометрическое место точек ( x , y ) , координаты которых равны одному и тому же числу — C B .
2. Если А = 0 , В ≠ 0 , С = 0 , общее уравнение принимает вид y = 0 . Такое неполное уравнение определяет ось абсцисс O x .
3. Когда А ≠ 0 , В = 0 , С ≠ 0 , получаем неполное общее уравнение A x + С = 0 , задающее прямую, параллельную оси ординат.
4. Пусть А ≠ 0 , В = 0 , С = 0 , тогда неполное общее уравнение примет вид x = 0 , и это есть уравнение координатной прямой O y .
5. Наконец, при А ≠ 0 , В ≠ 0 , С = 0 , неполное общее уравнение принимает вид A x + B y = 0 . И это уравнение описывает прямую, которая проходит через начало координат. В самом деле, пара чисел ( 0 , 0 ) отвечает равенству A x + B y = 0 , поскольку А · 0 + В · 0 = 0 .

Графически проиллюстрируем все вышеуказанные виды неполного общего уравнения прямой.

Известно, что заданная прямая параллельна оси ординат и проходит через точку 2 7 , — 11 . Необходимо записать общее уравнение заданной прямой.

Решение

Прямая, параллельная оси ординат, задается уравнением вида A x + C = 0 , в котором А ≠ 0 . Также условием заданы координаты точки, через которую проходит прямая, и координаты этой точки отвечают условиям неполного общего уравнения A x + C = 0 , т.е. верно равенство:

Из него возможно определить C , если придать A какое-то ненулевое значение, к примеру, A = 7 . В таком случае получим: 7 · 2 7 + C = 0 ⇔ C = — 2 . Нам известны оба коэффициента A и C , подставим их в уравнение A x + C = 0 и получим требуемое уравнение прямой: 7 x — 2 = 0

Ответ: 7 x — 2 = 0

На чертеже изображена прямая, необходимо записать ее уравнение.

Решение

Приведенный чертеж позволяет нам легко взять исходные данные для решения задачи. Мы видим на чертеже, что заданная прямая параллельна оси O x и проходит через точку ( 0 , 3 ) .

Прямую, которая параллельна очи абсцисс, определяет неполное общее уравнение B y + С = 0 . Найдем значения B и C . Координаты точки ( 0 , 3 ) , поскольку через нее проходит заданная прямая, будут удовлетворять уравнению прямой B y + С = 0 , тогда справедливым является равенство: В · 3 + С = 0 . Зададим для В какое-то значение, отличное от нуля. Допустим, В = 1 , в таком случае из равенства В · 3 + С = 0 можем найти С : С = — 3 . Используем известные значения В и С , получаем требуемое уравнение прямой: y — 3 = 0 .

Ответ: y — 3 = 0 .

Общее уравнение прямой, проходящей через заданную точку плоскости

Пусть заданная прямая проходит через точку М 0 ( x 0 , y 0 ) , тогда ее координаты отвечают общему уравнению прямой, т.е. верно равенство: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Отнимем левую и правую части этого уравнения от левой и правой части общего полного уравнения прямой. Получим: A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) + C = 0 , это уравнение эквивалентно исходному общему, проходит через точку М 0 ( x 0 , y 0 ) и имеет нормальный вектор n → = ( A , B ) .

Результат, который мы получили, дает возможность записывать общее уравнение прямой при известных координатах нормального вектора прямой и координатах некой точки этой прямой.

Даны точка М 0 ( — 3 , 4 ) , через которую проходит прямая, и нормальный вектор этой прямой n → = ( 1 , — 2 ) . Необходимо записать уравнение заданной прямой.

Решение

Исходные условия позволяют нам получить необходимые данные для составления уравнения: А = 1 , В = — 2 , x 0 = — 3 , y 0 = 4 . Тогда:

A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) = 0 ⇔ 1 · ( x — ( — 3 ) ) — 2 · y ( y — 4 ) = 0 ⇔ ⇔ x — 2 y + 22 = 0

Задачу можно было решить иначе. Общее уравнение прямой имеет вид A x + B y + C = 0 . Заданный нормальный вектор позволяет получить значения коэффициентов A и B , тогда:

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 · x — 2 · y + C = 0 ⇔ x — 2 · y + C = 0

Теперь найдем значение С, используя заданную условием задачи точку М 0 ( — 3 , 4 ) , через которую проходит прямая. Координаты этой точки отвечают уравнению x — 2 · y + C = 0 , т.е. — 3 — 2 · 4 + С = 0 . Отсюда С = 11 . Требуемое уравнение прямой принимает вид: x — 2 · y + 11 = 0 .

Ответ: x — 2 · y + 11 = 0 .

Задана прямая 2 3 x — y — 1 2 = 0 и точка М 0 , лежащая на этой прямой. Известна лишь абсцисса этой точки, и она равна — 3 . Необходимо определить ординату заданной точки.

Решение

Зададим обозначение координат точки М 0 как x 0 и y 0 . В исходных данных указано, что x 0 = — 3 . Поскольку точка принадлежит заданной прямой, значит ее координаты отвечают общему уравнению этой прямой. Тогда верным будет равенство:

2 3 x 0 — y 0 — 1 2 = 0

Определяем y 0 : 2 3 · ( — 3 ) — y 0 — 1 2 = 0 ⇔ — 5 2 — y 0 = 0 ⇔ y 0 = — 5 2

Ответ: — 5 2

Переход от общего уравнения прямой к прочим видам уравнений прямой и обратно

Как мы знаем, существует несколько видов уравнения одной и той же прямой на плоскости. Выбор вида уравнения зависит от условий задачи; возможно выбирать тот, который более удобен для ее решения. Здесь очень пригодится навык преобразования уравнения одного вида в уравнение другого вида.

Для начала рассмотрим переход от общего уравнения вида A x + B y + C = 0 к каноническому уравнению x — x 1 a x = y — y 1 a y .

Если А ≠ 0 , тогда переносим слагаемое B y в правую часть общего уравнения. В левой части выносим A за скобки. В итоге получаем: A x + C A = — B y .

Это равенство возможно записать как пропорцию: x + C A — B = y A .

В случае, если В ≠ 0 , оставляем в левой части общегь уравнения только слагаемое A x , прочие переносим в правую часть, получаем: A x = — B y — C . Выносим – В за скобки, тогда: A x = — B y + C B .

Перепишем равенство в виде пропорции: x — B = y + C B A .

Конечно, заучивать полученные формулы нет необходимости. Достаточно знать алгоритм действий при переходе от общего уравнения к каноническому.

Задано общее уравнение прямой 3 y — 4 = 0 . Необходимо преобразовать его в каноническое уравнение.

Решение

Запишем исходное уравнение как 3 y — 4 = 0 . Далее действуем по алгоритму: в левой части остаётся слагаемое 0 x ; а в правой части выносим — 3 за скобки; получаем: 0 x = — 3 y — 4 3 .

Запишем полученное равенство как пропорцию: x — 3 = y — 4 3 0 . Так, мы получили уравнение канонического вида.

Ответ: x — 3 = y — 4 3 0 .

Чтобы преобразовать общее уравнение прямой в параметрические, сначала осуществляют переход к каноническому виду, а затем переход от канонического уравнения прямой к параметрическим уравнениям.

Прямая задана уравнением 2 x — 5 y — 1 = 0 . Запишите параметрические уравнения этой прямой.

Решение

Осуществим переход от общего уравнения к каноническому:

2 x — 5 y — 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

Теперь примем обе части полученного канонического уравнения равными λ , тогда:

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 · λ y = — 1 5 + 2 · λ , λ ∈ R

Ответ: x = 5 · λ y = — 1 5 + 2 · λ , λ ∈ R

Общее уравнение можно преобразовать в уравнение прямой с угловым коэффициентом y = k · x + b , но только тогда, когда В ≠ 0 . Для перехода в левой части оставляем слагаемое B y , остальные переносятся в правую. Получим: B y = — A x — C . Разделим обе части полученного равенство на B , отличное от нуля: y = — A B x — C B .

Задано общее уравнение прямой: 2 x + 7 y = 0 . Необходимо преобразовать то уравнение в уравнение с угловым коэффициентом.

Решение

Произведем нужные действия по алгоритму:

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y — 2 x ⇔ y = — 2 7 x

Ответ: y = — 2 7 x .

Из общего уравнения прямой достаточно просто получить уравнение в отрезках вида x a + y b = 1 . Чтобы осуществить такой переход, перенесем число C в правую часть равенства, разделим обе части полученного равенства на – С и, наконец, перенесем в знаменатели коэффициенты при переменных x и y :

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = — C ⇔ ⇔ A — C x + B — C y = 1 ⇔ x — C A + y — C B = 1

Необходимо преобразовать общее уравнение прямой x — 7 y + 1 2 = 0 в уравнение прямой в отрезках.

Решение

Перенесем 1 2 в правую часть: x — 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x — 7 y = — 1 2 .

Разделим на -1/2 обе части равенства: x — 7 y = — 1 2 ⇔ 1 — 1 2 x — 7 — 1 2 y = 1 .

Преобразуем далее в необходимый вид: 1 — 1 2 x — 7 — 1 2 y = 1 ⇔ x — 1 2 + y 1 14 = 1 .

Ответ: x — 1 2 + y 1 14 = 1 .

В общем, несложно производится и обратный переход: от прочих видов уравнения к общему.

Уравнение прямой в отрезках и уравнение с угловым коэффициентом легко преобразовать в общее, просто собрав все слагаемые в левой части равенства:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y — 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y — k x — b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Каноническое уравнение преобразуется к общему по следующей схеме:

x — x 1 a x = y — y 1 a y ⇔ a y · ( x — x 1 ) = a x ( y — y 1 ) ⇔ ⇔ a y x — a x y — a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Для перехода от параметрических сначала осуществляется переход к каноническому, а затем – к общему:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x — x 1 a x = y — y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

Заданы параметрические уравнения прямой x = — 1 + 2 · λ y = 4 . Необходимо записать общее уравнение этой прямой.

Решение

Осуществим переход от параметрических уравнений к каноническому:

x = — 1 + 2 · λ y = 4 ⇔ x = — 1 + 2 · λ y = 4 + 0 · λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y — 4 0 ⇔ x + 1 2 = y — 4 0

Перейдем от канонического к общему:

x + 1 2 = y — 4 0 ⇔ 0 · ( x + 1 ) = 2 ( y — 4 ) ⇔ y — 4 = 0

Ответ: y — 4 = 0

Задано уравнение прямой в отрезках x 3 + y 1 2 = 1 . Необходимо осуществить переход к общему виду уравнения.

Решение:

Просто перепишем уравнение в необходимом виде:

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y — 1 = 0

Ответ: 1 3 x + 2 y — 1 = 0 .

Составление общего уравнения прямой

Выше мы говорили о том, что общее уравнение возможно записать при известных координатах нормального вектора и координатах точки, через которую проходит прямая. Такая прямая определяется уравнением A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) = 0 . Там же мы разобрали соответствующий пример.

Сейчас рассмотрим более сложные примеры, в которых для начала необходимо определить координаты нормального вектора.

Задана прямая, параллельная прямой 2 x — 3 y + 3 3 = 0 . Также известна точка M 0 ( 4 , 1 ) , через которую проходит заданная прямая. Необходимо записать уравнение заданной прямой.

Решение

Исходные условия говорят нам о том, что прямые параллельны, тогда, как нормальный вектор прямой, уравнение которой требуется записать, возьмем направляющий вектор прямой n → = ( 2 , — 3 ) : 2 x — 3 y + 3 3 = 0 . Теперь нам известны все необходимые данные, чтобы составить общее уравнение прямой:

A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) = 0 ⇔ 2 ( x — 4 ) — 3 ( y — 1 ) = 0 ⇔ 2 x — 3 y — 5 = 0

Ответ: 2 x — 3 y — 5 = 0 .

Заданная прямая проходит через начало координат перпендикулярно прямой x — 2 3 = y + 4 5 . Необходимо составить общее уравнение заданной прямой.

Решение

Нормальный вектором заданной прямой будет направляющий вектор прямой x — 2 3 = y + 4 5 .

Тогда n → = ( 3 , 5 ) . Прямая проходит через начало координат, т.е. через точку О ( 0 , 0 ) . Составим общее уравнение заданной прямой:

A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) = 0 ⇔ 3 ( x — 0 ) + 5 ( y — 0 ) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

Прямая линия. Уравнение прямой.

Свойства прямой в евклидовой геометрии.

Через любую точку можно провести бесконечно много прямых.

Через любые две несовпадающие точки можно провести единственную прямую.

Две несовпадающие прямые на плоскости или пересекаются в единственной точке, или являются

параллельными (следует из предыдущего).

В трёхмерном пространстве существуют три варианта взаимного расположения двух прямых:

• прямые пересекаются;

• прямые параллельны;

• прямые скрещиваются.

Прямая линия — алгебраическая кривая первого порядка: в декартовой системе координат прямая линия

задается на плоскости уравнением первой степени (линейное уравнение).

Общее уравнение прямой.

Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка

причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим

уравнением прямой. В зависимости от значений постоянных А, В и С возможны следующие частные случаи:

• C = 0, А ≠0, В ≠ 0 – прямая проходит через начало координат

• А = 0, В ≠0, С ≠0 — прямая параллельна оси Ох

• В = 0, А ≠0, С ≠ 0 – прямая параллельна оси Оу

• В = С = 0, А ≠0 – прямая совпадает с осью Оу

• А = С = 0, В ≠0 – прямая совпадает с осью Ох

Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких – либо заданных

Уравнение прямой по точке и вектору нормали.

Определение. В декартовой прямоугольной системе координат вектор с компонентами (А, В)

перпендикулярен прямой , заданной уравнением

Пример. Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(1, 2) перпендикулярно вектору (3, -1).

Решение. Составим при А = 3 и В = -1 уравнение прямой: 3х – у + С = 0. Для нахождения коэффициента С

подставим в полученное выражение координаты заданной точки А. Получаем: 3 – 2 + C = 0, следовательно

С = -1. Итого: искомое уравнение: 3х – у – 1 = 0.

Уравнение прямой, проходящей через две точки.

Пусть в пространстве заданы две точки M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) и M2 ( x 2, y 2 , z 2 ), тогда уравнение прямой,

проходящей через эти точки:

Если какой-либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю соответствующий числитель. На

плоскости записанное выше уравнение прямой упрощается:

Дробь = k называется угловым коэффициентом прямой.

Пример. Найти уравнение прямой, проходящей через точки А(1, 2) и В(3, 4).

Решение. Применяя записанную выше формулу, получаем:

Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту.

Если общее уравнение прямой Ах + Ву + С = 0 привести к виду:

и обозначить , то полученное уравнение называется

уравнением прямой с угловым коэффициентом k.

Уравнение прямой по точке и направляющему вектору.

По аналогии с пунктом, рассматривающим уравнение прямой через вектор нормали можно ввести задание

прямой через точку и направляющий вектор прямой.

Определение. Каждый ненулевой вектор (α₁, α₂), компоненты которого удовлетворяют условию

Аα₁ + Вα₂ = 0 называется направляющим вектором прямой.

Пример. Найти уравнение прямой с направляющим вектором (1, -1) и проходящей через точку А(1, 2).

Решение. Уравнение искомой прямой будем искать в виде: Ax + By + C = 0. В соответствии с определением,

коэффициенты должны удовлетворять условиям:

1 * A + (-1) * B = 0, т.е. А = В.

Тогда уравнение прямой имеет вид: Ax + Ay + C = 0, или x + y + C / A = 0.

при х = 1, у = 2 получаем С/ A = -3, т.е. искомое уравнение:

Уравнение прямой в отрезках.

Если в общем уравнении прямой Ах + Ву + С = 0 С≠0, то, разделив на –С, получим:

или , где

Геометрический смысл коэффициентов в том, что коэффициент а является координатой точки пересечения

прямой с осью Ох, а b – координатой точки пересечения прямой с осью Оу.

Пример. Задано общее уравнение прямой х – у + 1 = 0. Найти уравнение этой прямой в отрезках.

С = 1, , а = -1, b = 1.

Нормальное уравнение прямой.

Если обе части уравнения Ах + Ву + С = 0 разделить на число , которое называется

нормирующем множителем, то получим

xcosφ + ysinφ — p = 0 – нормальное уравнение прямой.

источники:

http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/prjamaja-ploskost/obschee-uravnenie-prjamoj/

http://www.calc.ru/Uravneniye-Pryamoy.html

2. Условие нахождения трех точек на одной прямой. Уравнение прямой. Взаимное расположение точек и прямой. Пучок прямых. Расстояние от точки до прямой

1. Пусть даны три точки А₁ (х₁, у₁), А₂ (х₂, у₂), А₃ (х₃, у₃), тогда условие нахождения их на одной прямой:

либо (х₂ — х₁) (у₃ — у₁) — (х₃ — x₁) (у₂ — у₁) = 0.

2. Пусть даны две точки А₁ (х₁, у₁), А₂ (х₂, у₂), тогда уравнение прямой, проходящей через эти две точки:

(х₂ — х₁)(у — у₁) — (х — х₁)(у₂ — у₁) = 0 или (х — х₁) / (х₂ — х₁) = (у — у₁) / (у₂ — у₁).

3. Пусть имеются точка М (х₁, у₁) и некоторая прямая L, представленная уравнением у = ах + с. Уравнение прямой, проходящей параллельно данной прямой L через данную точку М:

у — у₁ = а(х — х₁).

Если прямая L задана уравнением Ах + Ву + С = 0, то параллельная ей прямая, проходящая через точку М, описывается уравнением А(х — х₁) + В(у — у₁) = 0.

Уравнение прямой, проходящей перпендикулярно данной прямой L через данную точку М:

у — у₁ = — (х — х₁) / а

или

а(у — у₁) = х₁ — х.

Если прямая L задана уравнением Ах + Ву + С = 0, то параллельная ей прямая, проходящая через точку М(х₁, у₁), описывается уравнением А (у — у₁) — В(х — х₁) = 0.

4. Пусть даны две точки А₁ (х₁, у₁), А₂ (х₂, у₂) и прямая, заданная уравнением Ах + Ву + С = 0. Взаимное расположение точек относительно этой прямой:

1) точки А₁, А₂ лежат по одну сторону от данной прямой, если выражения (Ах₁ + Ву₁ + С) и (Ах₂ + Ву₂ + С) имеют одинаковые знаки;

2) точки А₁, А₂ лежат по разные стороны от данной прямой, если выражения (Ах₁ + Ву₁ + С) и (Ах₂ + Ву₂ + С) имеют разные знаки;

3) одна или обе точки А₁, А₂ лежат на данной прямой, если одно или оба выражения соответственно (Ах₁ + + Ву₁ + С) и (Ах₂ + Ву₂ + С) принимают нулевое значение.

5. Центральный пучок — это множество прямых, проходящих через одну точку М (х₁, у₁), называемую центром пучка. Каждая из прямых пучка описывается уравнением пучка у — у₁ = к (х — х₁) (параметр пучка к для каждой прямой свой).

Все прямые пучка можно представить уравнением: l(y — y₁) = m(x — x₁), где l, m — не равные одновременно нулю произвольные числа.

Если две прямые пучка L₁ и L₂ соответственно имеют вид (А₁х + В₁у + С₁) = 0 и (А₂х + В₂у + С₂) = 0, то уравнение пучка: m₁(А₁х + В₁у + С₁) + m₂(А₂х + В₂у + С₂) = 0. Если прямые L₁ и L₂ пересекающиеся, то пучок центральный, если прямые параллельны, то и пучок параллельный.

6. Пусть даны точка М (х₁, у₁) и прямая, заданная уравнением Ах + Ву + С = 0. Расстояние d от этой точки М до прямой:

Прямая имеет несколько видов задающих ее уравнений. Рассмотрим некоторые из них и разберем примеры.

Здесь будет калькулятор

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

y=kx+by=kx+b,

где kk — угловой коэффициент, а bb — свободный коэффициент.

Уравнения данного вида составляются следующим образом по формуле:

y−y0=k(x−x0)y-y_0=k(x-x_0),

где (x0;y0)(x_0; y_0) — координаты любой точки, лежащей на данной прямой.

Задача 1

Составить уравнение прямой, если координаты точки, принадлежащей данной прямой, таковы: x0=1,y0=2x_0=1, y_0=2. Угловой коэффициент принять равным 11.

Решение

Подставляем значения в формулу:

y−y0=k(x−x0)y-y_0=k(x-x_0)

y−2=1⋅(x−1)y-2=1cdot(x-1)

Приводим подобные слагаемые:

y=x+1y=x+1

Ответ

y=x+1y=x+1

Общее уравнение прямой

Для приведения прямой к такому виду из предыдущего вида достаточно просто перенести все слагаемые в одну часть. Возьмем уравнение прямой из предыдущей задачи y=x+1y=x+1. Тогда общее уравнение этой прямой запишется в виде:

y−x−1=0y-x-1=0

Уравнение прямой по двум точкам

Если в задаче даны координаты двух точек и необходимо составить уравнение прямой, то это делается при помощи такой формулы:

Уравнение прямой по двум точкам

x−x2x1−x2=y−y2y1−y2frac{x-x_2}{x_1-x_2}=frac{y-y_2}{y_1-y_2},

где (x1;y1),(x2;y2)(x_1; y_1), (x_2; y_2) — координаты двух точек, через которые проходит данная прямая.

Задача 2

Найти уравнение прямой, если координаты точек имеют значения: (2;3)(2;3) и (4;−1)(4;-1).

Решение

x1=2x_1=2
y1=3y_1=3
x2=4x_2=4
y2=−1y_2=-1

x−x2x1−x2=y−y2y1−y2frac{x-x_2}{x_1-x_2}=frac{y-y_2}{y_1-y_2}

x−42−4=y−(−1)3−(−1)frac{x-4}{2-4}=frac{y-(-1)}{3-(-1)}

x−4−2=y+14frac{x-4}{-2}=frac{y+1}{4}

x−4=−y−12x-4=frac{-y-1}{2}

y+1=2⋅(4−x)y+1=2cdot(4-x)

y=8−2x−1y=8-2x-1

y=−2x+7y=-2x+7

Ответ

y=−2x+7y=-2x+7

Уравнение прямой при помощи точки и вектора нормали

Уравнение прямой по точке и нормали

(x−x0)⋅n1+(y−y0)⋅n2=0(x-x_0)cdot n_1+(y-y_0)cdot n_2=0,

где (x0;y0)(x_0; y_0) — координаты точки, лежащей на данной прямой, а (n1;n2)(n_1; n_2) — координаты вектора нормали к этой прямой.

Задача 3

Составить уравнение прямой, если координаты нормального вектора — (1;−5)(1;-5), а точка, через которую проходит данная прямая имеет координаты (7;8)(7;8).

Решение

x0=7x_0=7
y0=8y_0=8
n1=1n_1=1
n2=−5n_2=-5

(x−x0)⋅n1+(y−y0)⋅n2=0(x-x_0)cdot n_1+(y-y_0)cdot n_2=0,

(x−7)⋅1+(y−8)⋅(−5)=0(x-7)cdot 1+(y-8)cdot (-5)=0,

x−7+40−5y=0x-7+40-5y=0

x−5y=−40+7x-5y=-40+7

x−5y=−33x-5y=-33

5y=x+335y=x+33

y=x5+335y=frac{x}{5}+frac{33}{5}

Проверка

Чтобы проверить правильность решения, достаточно подставить координаты точки в данное уравнение и, если оно будет верным, то задача решена верно.

8=75+3358=frac{7}{5}+frac{33}{5}

8=88=8 — верно, ответ правильный.

Ответ

y=x5+335y=frac{x}{5}+frac{33}{5}

Прямая в пространстве

Уравнение прямой, заданной в пространстве имеет такой вид:

Уравнение прямой в пространстве

x−x0ν1=y−y0ν2=z−z0ν3frac{x-x_0}{nu_1}=frac{y-y_0}{nu_2}=frac{z-z_0}{nu_3},

где (x0;y0;z0)(x_0;y_0;z_0) — координаты точки, через которую проходит прямая, а (ν1,ν2,ν3)(nu_1,nu_2,nu_3) — координаты напрявляющего вектора данной прямой.

Задача 4

Написать уравнение прямой по заданной точке (1;5;−23)(1;5;-23) и вектору направления (3;11;7)(3;11;7).

Решение

x0=1x_0=1
y0=5y_0=5
z0=−23z_0=-23
ν1=3nu_1=3
ν2=11nu_2=11
ν3=7nu_3=7

x−x0ν1=y−y0ν2=z−z0ν3frac{x-x_0}{nu_1}=frac{y-y_0}{nu_2}=frac{z-z_0}{nu_3}

x−13=y−511=z−(−23)7frac{x-1}{3}=frac{y-5}{11}=frac{z-(-23)}{7}

Проверка

Проверим, удовлетворяет ли это уравнение прямой точке (x0;y0;z0)(x_0;y_0;z_0). Для этого подставим в него координаты этой точки:

1−13=5−511=−23−(−23)7frac{1-1}{3}=frac{5-5}{11}=frac{-23-(-23)}{7} — верно, значит ответ правильный.

Такой вид уравнения прямой называется каноническим.

Ответ

x−13=y−511=z−(−23)7frac{x-1}{3}=frac{y-5}{11}=frac{z-(-23)}{7}

Тест по теме “Составление уравнения прямой”

Содержание:

Аналитическая геометрия

В этой главе все геометрические объекты мы будем определять и изучать с помощью соответствующих уравнений этих объектов и, следовательно, в принципе геометрия может быть изложена без единого чертежа. И, действительно, все чертежи, которые мы будем использовать, будут служить лишь для визуальной иллюстрации наших рассуждений.

Уравнение поверхности в выбранной декартовой системе координат

т. е. в виде связи или зависимости между координатами х, у, z произвольной точки поверхно-аналогично, уравнение

определяет некоторую линию (кривую) в системе координат на плоскости.

Кривая в пространстве может быть задана как пересечение двух поверхностей и, следовательно, она определяется системой из уравнений этих поверхностей:

Кроме того, кривую на плоскости или в пространстве можно также задать с помощью зависимостей координат произвольной то’жи этой кривой от некоторого параметра, т. е. с помощью параметрических уравнений:

где t — действительный параметр.

Плоскость в пространстве. Различные виды уравнения плоскости

Найдем уравнение плоскости в пространстве с выбранной в нем декартовой системой координат . Будем исходить из того, что положение этой плоскости полностью определяется точкой . через которую проходит плоскость и ненулевым вектором . ей перпендикулярным. Вектор называется нормальным вектором плоскости.

Пусть — произвольная точка плоскости П. Тогда вектор ортогонален вектору и, следовательно,

или, учитывая, что запишем в координатах уравнение плоскости П :

Преобразовав полученное уравнение к виду

мы получим тем самым общее уравнение плоскости.

Рассмотрим теперь некоторые частные случаи общего уравнения плоскости. Если в общем уравнении плоскости отсутствует, одна из координат, то нормальный вектор этой плоскости перпендикулярен соответствующей координатной оси и, следовательно, плоскость расположена параллельно этой координатной оси.

Аналогично, если в общем уравнении плоскости отсутствуют две координаты, то нормальный вектор данной плоскости перпендикулярен соответствующей координатной плоскости и, значит, плоскость расположена параллельно этой координатной плоскости.

Научимся теперь находить уравнение плоскости по трем элементам.

1) Плоскость, проходящая через точку, параллельно двум векторам.

Пусть плоскость проходит через точку  параллельно неколлинеарным векторам .

Обозначим через произвольную точку плоскости Для точек данной плоскости и только для них три вектора компланарны и, следовательно (глава II, §5, теорема), их смешанное произведение равно нулю, т. е.

Раскрыв определитель (проще всего, разлагая его по первой строке), получим общее уравнение плоскости 

2)Плоскость, проходящая через две точки, параллельно вектору.

Найдем уравнение плоскости , проходящей через две точки , параллельно ненулевому вектору . Задача сводится к предыдущей, если положить, например,  Тогда

— искомое уравнение плоскости

3)Плоскость, проходящая через три точки.

Если плоскость проходит через три точки , не лежащие на одной прямой, то ее уравнение можно найти, как и в случае 1). положив например,  Следовательно, уравнение плоскости  записать в виде:

Замечание. Во всех трех случаях уравнение плоскости можно найти, вычислив предварительно ее нормальный вектор. Например, в первом случае в качестве нормального вектора можно взять векторное произведение Тогда — уравнение плоскости.

Пример №1

Найти уравнение плоскости 11 ^ — перпендикулярной плоскости

параллельной вектору и проходящей через точку пересечения плоскости с координатного осью

Решение. Из уравнения плоскости находим у = — 2. Следовательно, плоскость проходит через точку Кроме того, , поэтому нормальный вектор плоскости параллелен плоскости . Осталось записать искомое уравнение по трем элементам: точке и векторам . Имеем:

Таким образом, общее уравнение плоскости имеет вид:

Пусть плоскость  не проходит через начало координат и не параллельна ни одной из координатных осей. Тогда, очевидно, все числа A, В, С, D отличны от нуля.

Разделив обе части уравнения плоскости на число D. мы можем записать его в виде:

Числа а, b, с представляют собой величины отрезков, которые плоскость П отсекает на координатных осях. Полученное уравнение называется уравнением плоскости в отрезках.

Найдем теперь формулу для вычисления расстояния от точки до плоскости

Обозначим искомое расстояние через. Очевидно., где точка — основание перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость П. Вычислим скалярное произведение коллинеарных векторов . С одной стороны,

С другой,

так как  и поэтому  Следовательно, расстояние от точки  до плоскости П вычисляется по формуле:

В заключение этого параграфа выясним характер взаимного расположения двух плоскостей. Пусть плоскости заданы своими общими уравнениями:

Очевидно, что угол между этими плоскостями равен углу между их нормальными векторами  и, следовательно,

В частности,

Пример №2

Убедиться в том, что плоскость отсекающая на координатных осях отрезки величиной 2, —1, 2 соответственно и плоскость

параллельны и найти расстояние между ними.

Решение. Запишем уравнение плоскости II| в отрезках:

Преобразовав его к общему виду, получим:

Так как нормальные векторы плоскостей коллинеарны. то эти плоскости параллельны. Возьмем какую-нибудь точку в плоскости  например, . Тогда

Уравнения прямой в пространстве

Пусть прямая L в пространстве с декартовой системой координат проходит через точку и параллельна ненулевому вектору, который называется направляющим вектором прямой.

Обозначим через произвольную точку прямой L. Вектор коллинеарен вектору и, следовательно, их координаты пропорциональны, т. е.

Эта двойная пропорция представляет собой канонические уравнения прямой в пространстве.

Заметим, что в канонических уравнениях прямой формально допускается запись нулей в знаменателях, это означает лишь то, что прямая перпендикулярна соответствующей координатной оси или координатной плоскости.

Если прямая проходит через две точки , то в качестве ее направляющего вектора можно взять вектор и, следовательно, канонические уравнения этой прямой имеют вид:

Коллинеарные векторы линейно связаны (глава II. §1), т.е. существует действительный параметр t такой, что

Если точка М перемещается вдоль прямой, параметр t изменяется в пределах от до . Так как — радиусы-векторы точек и М соответственно, то последнее уравнение мы можем переписать в виде

Это уравнение называется векторным уравнением прямой.

Переходя в полученном векторном уравнении к координатам, запишем параметрические уравнения прямой:

Прямую в пространстве можно задать также как пересечение двух плоскостей.

Система

составленная из уравнений этих плоскостей, дает нам общие уравнения прямой в пространстве. Для перехода от общих к каноническим уравнениям прямой, достаточно найти какую-нибудь точку на ней, решив при фиксированном значении одной из координат систему уравнений плоскостей, а также определить направляющий вектор прямой, которым может служить векторное произведение нормальных векторов плоскостей. т. е. вектор

Пример №3

Найти канонические уравнения прямой

Решение. Полагая в данной системе z = 0, получим

Решив эту систему, найдем х = 1, у = —2. Таким образом, мы получили точку на прямой. Найдем ее направляющий вектор:

Осталось записать канонические уравнения данной прямой:

Научимся теперь вычислять расстояние от точки до прямой в пространстве. Пусть задана точка и прямая L своими каноническими уравнениями

Искомое расстояние равно, очевидно, высоте треугольника, построенного, на векторах Воспользовавшись геометрическим смыслом длины векторного произведения (глава II. §4), найдем:

Пусть нам известны канонические уравнения двух прямых в пространстве:

Очевидно,

Один из углов между этими прямыми равен углу между их направляющими векторами и и, следовательно.

Изучим взаимное расположение прямых . Если направляющие векторы  коллинеарны, то данные прямые параллельны или совпадают. Совпадать они будут в том случае, когда

В случае, когда , прямые пересекаются или являются скрещивающимися.

Прямые пересекаются, очевидно, тогда и только тогда, когда векторы компланарны. В противном случае данные прямые являются скрещивающимися. Таким образом, для того, чтобы выяснить, являются ли две данные непараллельные прямые пересекающимися или скрещивающимися, достаточно вычислить смешанное произведение и, если оно окажется равным нулю, то прямые пересекаются, иначе — скрещиваются.

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми равно, очевидно, расстоянию между параллельными плоскостями, в которых расположены эти прямые и, следовательно, равно высоте параллелепипеда, построенного на векторах Отсюда, использовав геометрический смысл смешанного произведения (глава II. §5), мы и найдем искомое расстояние:

Пример №4

Убедиться в том, что прямые

являются скрещивающимися. Найти расстояние между ними и уравнение общего перпендикуляра к ним.

Решение. Первая прямая проходит через точку параллельно вектору . а вторая — через точку параллельно вектору  Вычислим смешанное произведение векторов

следовательно, прямые являются скрещивающимися. Для вычисления расстояния между ними иенолтьзуем приведенную выше формулу. Так как

Осталось найти уравнение общего перпендикуляра к данным прямым. Заметим, прежде всего, что его направляющим вектором является уже вычисленный нами вектор . Очевидно, указанный перпендикуляр расположен в пересечении двух плоскостей , проходящих через данные прямые параллельно вектору Найдем уравнения этих плоскостей по трем элементам. Первая из них проходит через точку параллельно векторам следовательно (§1),

Таким образом, плоскость имеет уравнение Аналогично, плоскость содержит точку и расположена параллельно векторам поэтому

и, стало быть, — уравнение плоскости . Система из уравнений плоскостей и даст нам общие уравнения перпендикуляра к прямым :

В заключение этого параграфа вычислим угол между прямой L, заданной каноническими уравнениями

и плоскостью П, для которой известно ее общее уравнение 

Очевидно, искомый угол связан с углом между направляющим вектором прямой и нормальным вектором плоскости соотношением следовательно,  откуда,

В частности, если  

Прямая на плоскости

Для прямой на плоскости наблюдается большее разнообразие ее уравнений, так как на плоскости прямая фиксируется точкой, через которую она проходит и, либо вектором ей перпендикулярным (нормальным вектором), либо вектором ей параллельным (направляющим вектором) и, следовательно, для прямой на плоскости можно записывать как уравнения, характерные для плоскости в пространстве (§1), так и аналоги уравнений прямой в пространстве (§2). Перечислим, не повторяя деталей, изложенных в предыдущих двух параграфах, основные уравнения прямой на плоскости и связанные с ними формулы.

Пусть прямая L на плоскости с выбранной в ней системой координат проходит через точку перпендикулярно ненулевому вектору .

Уравнение такой прямой имеет вид:

откуда после очевидных преобразований получим уравнение

которое представляет собой общее уравнение прямой на плоскости.

Пусть прямая L отсекает на координатных осях отрезки величиной а и Ь соответственно.

Тогда, как и для плоскости, мы можем записать уравнение прямой в отрезках:

Если прямая L содержит точку и расположена параллельно ненулевому вектору

то ее каноническое уравнение имеет вид:

По аналогии с прямой в пространстве, прямая на плоскости может быть задана также векторным уравнением

и параметрическими уравнениями

Расстояние от точки  прямой L на плоскости, заданной общим уравнением , может быть вычислено по формуле:

Найдем еще одно уравнение прямой на плоскости, характерное для этого геометрического объекта. Пусть прямая L, заданная своим каноническим уравнением  , непараллельна оси

Тогдаи мы можем записать уравнение прямой L с угловым коэффициентом:

где — угловой коэффициент прямой, b — величина отрезка, который отсекает эта прямая на оси . В частности,

представляет собой уравнение прямой с угловым коэффициентом, которая проходит через точку

Если две прямые на плоскости заданы общими или каноническими уравнениями, то их взаимное расположение исследуется по аналогии с плоскостями или прямыми, заданными такими же уравнениями (§1 или §2). Изучим поэтому взаимное расположение двух прямых, которые заданы уравнениями с угловым коэффициентом. Итак, рассмотрим две прямые

Предположим сначала, что прямые не являются перпендикулярными, обозначим черезострый угол между ними. Тогда, очевидно, и, следовательно,

Если же, то нормальные векторы этих прямых ортогональны, следовательно,

Таким образом, для перпендикулярности прямых необходимо и достаточно, чтобы

Очевидно. прямые параллельны в том и только в том случае, когда равны углы, которые они образуют с осью Ох. Следовательно, для параллельности прямых необходимо и достаточно, чтобы совпадали их угловые коэффициенты, т. е.

Пример №5

Даны прямая и точка А(—2, 1). Найти уравнения прямыхпроходящих через точку А и таких, что

Решение. Прямые имеют общий нормальный вектор , поэтому,

— общее уравнение прямой 

Так как то направляющим вектором прямой является нормальный вектор прямой L, следовательно,

 каноническое уравнение прямой

Из уравнения прямой L находим следовательно, Тогда угловые коэффициенты прямых  удовлетворяют уравнению

откуда, Осталось записать уравнения прямых

Кривые второго порядка на плоскости

В предыдущих трех параграфах нами были изучены линейные геометрические объекты -плоскость и прямая в пространстве и на плоскости. Мы показали, что в декартовой системе координат они определяются алгебраическими уравнениями первой степени, т. е. линейными уравнениями. Предметом нашего исследования в этом параграфе будут являться кривые второго порядка, т. е. линии на плоскости, уравнения которых в декартовой системе координат Оху имеют вид:

где А, В, С, D, Е, F — действительные числа. Мы убедимся в том, что, за исключением случаев вырождения данное уравнение определяет одну из трех замечательных линий — эллипс, гиперболу или параболу. Приведем сначала геометрическое определение каждой из этих линий и найдем их канонические уравнения.

Эллипс

Определение: Эллипсом называется множество точек на плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух фиксированных точек (фокусов эллипса) есть величина постоянная.

Найдем каноническое уравнение эллипса. Обозначим через 2с фокусное расстояние, т. е. расстояние между фокусами, а через 2а — постоянную сумму расстояний от точек эллипса до фокусов. Из неравенства треугольника следует, что . Выберем декартову систему координат на плоскости следующим образом: ось Ох направим через фокусы, а начало координат выберем посередине между ними.

Пусть М(х, у) — произвольная точка эллипса. По определению этой линии,

Упростим последнее уравнение:

откуда, использовав обозначение    , мы и получим каноническое уравнение эллипса :

Построим эту линию. Для этого прежде всего заметим, что она симметрична относительно координатных осей и начала координат, так как переменные x и у входят в каноническое уравнение в квадратах. Отсюда следует, что эллипс достаточно построить в первой координатной четверти и затем отразить его относительно координатных осей. Из канонического уравнения эллипса находим:

Очевидно, эта функция определена и убывает при Кроме того, ее график располагается выше прямой  Из приведенных рассуждений следует, что эллипс представляет собой следующую замкнутую линию на плоскости:

Числа а и b называются соответственно большой и малой полуосями эллипса. Точка O(0,0) -центр эллипса, точки — вершины эллипса, отрезок — большая, — малая оси эллипса.

Форму эллипса характеризует величина . равная отношению фокусного расстояния к длине большой оси. Это число называется эксцентриситетом эллипса. Очевидно, Так как

то при мы имеем , и, следовательно, эллипс по форме мало отличается от окружности. В предельном случае, когда . полуоси совпадают и эллипс превращается в окружность. Если же и эллипс является вытянутым вдоль оси Ох.

Замечание. В уравнении эллипса может оказаться, что Тогда фокусы эллипса находятся на оси — большая, — малая полуоси эллипса.
 
 

Гипербола

Определение: Гипербола представляет собой линию на плоскости, для каждой точки которой абсолютная величина разности расстояний до двух фиксированных точек (фокусов гиперболы) есть величина постоянная.

Обозначим и здесь фокусное расстояние через 2с. а через 2а — постоянную абсолютную величину разности расстояний от точек гиперболы до фокусов. Для гиперболы а < с, что следует из неравенства треугольника. Выберем декартову систему координат на плоскости точно также, как и при выводе канонического уравнения эллипса.

По определению гиперболы для произвольной точки М(х, у) этой линии

Избавляясь от корней в этом уравнении, получим:

Обозначая здесь , получим каноническое уравнение гиперболы:

Как видно из ее уравнения, гипербола симметрична относительно координатных осей и начала координат. Из канонического уравнения гиперболы следует, что в первой четверти

Эта функция возрастает, при всех при больших х.

а    а    а    а

Это означает, что в первой четверти гипербола, выходя из точки (а, 0) на оси Ох, приближается

затем при больших значениях х к прямой  Следовательно, гипербола выглядит следующим образом:

Прямые называются асимптотами гиперболы. Точка O(0,0) — центр гиперболы. Точки называются вершинами гиперболы. Ось симметрии гиперболы, пересекающая ее в вершинах, называется действительной осью. Вторая ось симметрии, не имеющая с гиперболой общих точек, называется мнимой осью гиперболы. Числа а и Ь называются соответственно действительной и мнимой полуосями гиперболы. Если полуоси равны, то гипербола называется равносторонней (равнобочной).

Как и для эллипса, определим эксцентриситет гиперболы как отношение половины фокусного расстояния к действительной полуоси:

Так как

то эксцентриситет гиперболы характеризует величину угла, в котором она располагается. При угол мал и, наоборот, если эксцентриситет велик, то и угол. в котором находится гипербола, близок к развернутому.

Замечание. В каноническом уравнении гиперболы знаки перед квадратами могут располагаться и в обратном порядке:

В этом случае фокусы и вершины находятся на оси

 

Парабола

Определение: Параболой называется множество точек плоскости, равноудаленных от. фиксированной точки (фокуса параболы) и фиксированной прямой (директрисы параболы).

Обозначим расстояние от фокуса до директрисы через р. Число р > 0 называется параметром параболы. Выберем удобную систему координат на плоскости: ось Ох направим через фокус F перпендикулярно директрисе D, а начало координат возьмем посередине между директрисой и фокусом.

Если М(х,у) — произвольная точка параболы, то по определению этой кривой

После возведения в квадрат и очевидных преобразований, получим каноническое уравнение параболы:

Очевидно, парабола проходит через начало координат и симметрична относительно оси Ох. Точка O(0,0) называется вершиной параболы, ось Ох — осью параболы.

Замечание. Если бы при выборе системы координат мы направили ее оси в противоположные стороны, то каноническое уравнение параболы приняло бы вид:

Аналогично, уравнения

также определяют параболы, фокусы которых расположены на оси Оу. а директрисы параллельны оси Ох.

Приведение уравнения кривой второго порядка к каноническому виду

Покажем, что общее уравнение кривой второго порядка на плоскости, кроме случаев вырождения, определяет одну из линий — эллипс, гиперболу или параболу.

Выясним сначала, как преобразуются координаты точки на плоскости при параллельном переносе системы координат. Предположим, что осуществлен параллельный перенос системы координат Оху в точку . Пусть — координаты точки М в старой Оху, а — координаты той же точки в новой системе координат.

Так как то новые и старые точки координаты на плоскости связаны линейными соотношениями:

Рассмотрим теперь уравнение второго порядка на плоскости в частном случае, когда оно не содержит произведения координат ху :

причем коэффициенты А и С не равны одновременно нулю. Здесь возможны три случая.

а) АС > 0. Очевидно, всегда можно считать, тгго А > 0, С > 0. Выделяя в уравнении второго порядка полные квадраты по переменным х и у, получим:

где — некоторые действительные числа. Ясно, что при > 0 ни одна из точек плоскости не удовлетворяет этому уравнению. Если = 0, то единственным решением полученного уравнения является точка . Наконец, при < 0 уравнение приводится к виду

и, следовательно, в смещенной с помощью параллельного переноса в точку системе координат оно является каноническим уравнением эллипса:

b)    АС < 0. Будем считать для определенности, что А > 0. С < 0.

В этом случае исходное уравнение второго порядка также приводится к виду (1). При F = 0 оно определяет пару прямых, проходящих, через точку  :

Если же , то полученное уравнение мы можем преобразовать к виду

и, стало быть, после параллельного переноса системы координат в точку последнее уравнение является каноническим уравнением гиперболы:

c)    АС = 0. Предположим, например, что

Выделяя в данном уравнении второго порядка полный квадрат по переменной у, получим:

С {у ~ Уо)2 + Dx + F1=0.

Если в этом уравнении D = 0, то при > 0 множество решений этого уравнения пусто, а при  < 0 полученное уравнение определяет пару прямых, параллельных оси Ох :

Если же , то мы можем привести уравнение к виду:

т.е. после параллельного переноса системы координат в точку , мы получим тем самым каноническое уравнение параболы:

Аналогично. если в исходном уравнении второго порядка  то, не принимая во внимание вырожденные случаи, это уравнение мы также можем привести к каноническому уравнению параболы:

Пример №6

Привести уравнение второго порядка к каноническому виду, назвать и построить кривую:

Решение. Выделяя полные квадраты по обеим переменным, получим:

что представляет собой каноническое уравнение эллипса в смещенной в точку системе координат. Для этого эллипса и, следовательно, фокусы находятся в точках . Эксцентриситет эллипса равен

Пример №7

Найти каноническое уравнение параболы с вершиной в точке , осью симметрии, параллельной координатной оси Ох и фокусом на оси Оу. Построить параболу.

Решение. Фокус параболы находится в точке F(0 , 2), следовательно, уравнение параболы с учетом смещения имеет вид:

Здесь и, стало быть.

каноническое уравнение параболы.

 

Замечание. Для приведения к каноническому виду уравнения второго порядка, содержащего произведение координат ху, необходимо кроме параллельного переноса выполнить еще и поворот системы координат на определенный угол. Например, для равносторонней гиперболы ху = 1 следует повернуть систему координат Оху вокруг ее начала на угол 45° против часовой стрелки. Поскольку вершины гиперболы находятся на расстоянии от начала координат. то в новой системе координат каноническое уравнение гиперболы имеет вид:

Поверхности второго порядка в пространстве

В заключение этой главы мы изучим поверхности в пространстве, которые в декартовой системе координат задаются алгебраическими уравнениями второй степени. Существуют пять видов таких поверхностей: эллипсоид, гиперболоиды, параболоиды, цилиндры второго порядка и конус второго порядка.

Поверхность вращения

Найдем уравнение поверхности, которая получается вращением некоторой линии вокруг одной из координатных осей. Пусть линия L, которая в координатной плоскости Oyz задается уравнением F(y, z) = 0. вращается вокруг оси Oz.

Пусть M(x,y,z) — произвольная точка на поверхности вращения. Перегоним ее по окружности, расположенной в сечении поверхности плоскостью, проходящей через данную точку перпендикулярно оси Oz, в точку N на линии L. Поскольку расстояние от точки М до оси Oz равно то точка N имеет координаты . Подставив координаты точки N в уравнение линии L. мы и получим тем самым уравнение поверхности вращения:

Найдем теперь уравнения поверхностей, которые получаются вращением кривых второго порядка с последующей линейной деформацией этих поверхностей.

Эллипсоид

Возьмем в плоскости Oyz эллипс

и будем вращать его вокруг оси Oz. В результате, как следует из предыдущего пункта, мы получим поверхность с уравнением

которая называется эллипсоидом вращения. Заменив в найденном уравнении координату х на —, т. е. линейно деформируя поверхность вдоль оси Ох с коэффициентом —, мы получим тем самым уравнение эллипсоида общего вида:

Положительные числа а, b, с называются полуосями эллипсоида.

Очевидно, сечениями эллипсоида плоскостями параллельными координатным, являются эллипсы.

Замечание. В частном случае, когда а = b = с = R эллипсоид превращается в сферу

радиуса R с центром в начале координат.

Гиперболоиды

а) Однополостный гиперболоид.

Вращая гиперболу

вокруг оси Oz, получим однополостный гиперболоид вращения с уравнением

После линейной деформации вдоль оси Ох эта поверхность превращается в однополостный гиперболоид общего вида с осью Oz :

Аналогично, уравнения однополостных гиперболоидов с осями Ох и Оу имеют, соответственно, вид:

Сечениями однополостного гиперболоида плоскостями, перпендикулярными его оси, являются эллипсы, а в сечениях плоскостями, перпендикулярными другим координатным осям, располагаются гиперболы.

Двухполостный гиперболоид

Поверхность, полученная вращением вокруг оси Оz гиперболы

вершины которой расположены на оси вращения, называется двухполостным гиперболоидом вращения. Запишем уравнение двухполостного гиперболоида:

Линейная деформация двухполостного гиперболоида вращения вдоль оси Ох прообразует его в двухполостный гиперболоид общего вида с осью Oz. Уравнение этой поверхности имеет вид:

Двухполостные гиперболоиды с осями Ох и Оу имеют, соответственно, уравнения:

Как и в случае однополостного гиперболоида, сечениями двухполостного гиперболоида плоскостями, параллельными координатным, являются эллипсы и гиперболы.

Параболоиды

а) Эллиптический параболоид

Вращение параболы вокруг ее оси приводит к поверхности, которая называется параболоидом вращения. В частности, если параболу с каноническим уравнением вращать вокруг оси Oz, то, как следует из пункта 0, уравнение полученного параболоида вращения имеет вид:

Линейная деформация параболоида вращения вдоль оси Оу превращает его в эллиптический параболоид с уравнением:

Положительные числа p, q называются параметрами параболоида, точка O(0,0) — вершина, ось Oz — ось эллиптического параболоида.

Уравнения эллиптических параболоидов с осями Ох и Оу имеют, соответственно, вид:

Как следует из уравнения эллиптического параболоида, плоскости, перпендикулярные его оси, пересекают эту поверхность по эллипсам, а в сечениях плоскостями, параллельными другим координатным, находятся параболы.

Замечание. Изменение знака в правой части уравнения эллиптического параболоида приводит к отражению этой поверхности относительно координатной плоскости, перпендикулярной оси параболоида.

b) Гиперболический параболоид.

Будем поступательно перемещать образующую параболу

расположенную в плоскости Oyz, параллельно самой себе вдоль направляющей параболы

находящейся в плоскости Oxz. Полученная таким образом поверхность называется гиперболическим параболоидом или седловидной поверхностью.

Найдем уравнение этой поверхности. Пусть М(х. у, z) — произвольная точка гиперболического параболоида. По его построению точка М принадлежит параболе с вершиной в точке , параллельной параболе Так как координаты произвольной точки этой параболы удовлетворяют уравнению

то, подставив в него координаты точки М, мы и получим после несложных преобразований уравнение гиперболического параболоида:

Здесь, как и для эллиптического параболоида, числа р, q — параметры гиперболического параболоида, точка O(0,0) и ось Oz — соответственно вершина и ось гиперболического параболоида.

Замечание 1. Седловидная поверхность может быть также получена перемещением параболы параллельно самой себе вдоль параболы

Судя по уравнению гиперболического параболоида, в сечениях этой поверхности плоскостями z = h > 0 находятся гиперболы, действительные оси которых параллельны координатной оси Ох. Аналогично, плоскости z = h < 0 пересекают данную поверхность по гиперболам с действительными осями, параллельными оси Оу. Наконец, плоскость Оху пересекает гиперболический параболоид по двум прямым

Гиперболические параболоиды, осями которых служат координатные оси Ох и Оу, имеют, соответственно, уравнения:

Замечание 2. Отразив седловидную поверхность относительно координатной плоскости, перпендикулярной ее оси, получим гиперболический параболоид, уравнение которого отличается знаком правой части от уравнения исходной поверхности.

Цилиндры второго порядка

Цилиндром второго порядка называется поверхность, полученная перемещением некоторой прямой (образующей) вдоль кривой второго порядка (направляющей), расположенной в плоскости, не содержащей образующую, параллельно фиксированному ненулевому вектору в пространстве.

Ограничимся случаем, когда направляющая расположена в одной из координатных плоскостей, а образующая перпендикулярна этой плоскости. Возьмем для определенности в плоскости Оху кривую второго порядка и будем перемещать прямую, параллельную оси Oz, вдоль этой кривой. Так как проекцией любой точки M(x,y,z) полученного таким образом цилиндра на плоскость Оху является точка N(x,y), принадлежащая кривой второго порядка, то координаты точки М удовлетворяют уравнению этой кривой. Следовательно, уравнением построенного цилиндра является уравнение его направляющей.

Перечислим теперь цилиндры второго порядка.

1) — эллиптический цилиндр. 

В частности, при а = b мы получим круговой цилиндр.

2 2 X у

2) — гиперболический цилиндр.

3)  — параболический цилиндр.

Аналогичные уравнения имеют цилиндры второго порядка, образующие которых параллельны осям Ох и Оу, а направляющие расположены в координатных плоскостях Oyz и Oxz, соответственно.

Конус второго порядка

Конус второго порядка представляет собой поверхность, которая может быть получена перемещением прямой (образующей), имеющей неподвижную точку, которая называется вершиной конуса, вдоль кривой второго порядка (направляющей), расположенной в плоскости, не содержащей вершину.

Найдем уравнение конуса, вершина которого совпадает с началом координат, а направляющей служит эллипс с уравнением

расположенный в плоскости z = с, с > 0.

Пусть M(x,y,z) — произвольная точка конуса. Обозначим через точку перс-сечения образующей, проходящей через точку М, с направляющей. Координаты точки удовлетворяют уравнениям

а точки M — уравнениям 

Из последних уравнений мы находим:

Подставив найденные выражения для в уравнение эллипса, получим после несложных преобразований уравнение конуса второго порядка:

Координатная ось Oz называется осью конуса. Если а = b, то конус является круговым.

Конусы второго порядка с осями Ох и Оу имеют, соответственно, уравнения:

Покажем, что вид конуса второго порядка не зависит от выбора направляющей. Действительно, если в качестве направляющей взять гиперболу

находящегося в плоскости 2 = с, то после рассуждений, аналогичных предыдущим, получим поверхность с уравнением

т. е. конус с осью Ох. Если же за направляющую мы выберем в плоскости z = с параболу с уравнением

то построенный таким образом конус имеет уравнение

Наблюдая со стороны положительной полуоси Оу, повернем систему координат Oxz вокруг оси Оу на угол 45° против часовой стрелки. Тогда произведение xz в системе координат

запишется как (§4, пункт 4, замечание). Следовательно, в новой системе координат Oxyz найденное уравнение поверхности приобретает вид

и, стало быть, эта поверхность является конусом с осью

Как следует из уравнения конуса и его построения, плоскости, перпендикулярные его оси, пересекают эту поверхность по эллипсам, сечениями конуса плоскостями, параллельными его оси, являются гиперболы, и, наконец, в сечениях конуса плоскостями, параллельными образующей, располагаются параболы.

Приведение уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду

По аналогии с уравнением кривой второго порядка (§4, пункт 4), уравнение поверхности второго порядка, не содержащее произведений координат, мы можем за счет выделения полных квадратов привести к уравнению одной из рассмотренных в пунктах 1—5 поверхностей. Следовательно, мы получим одну из поверхностей второго порядка в смещенной с помощью параллельного переноса системе координат. Исключение, правда, составляет случай, когда уравнение поверхности содержит полный квадрат и два линейных слагаемых относительно других координат. Такая поверхность представляет собой параболический цилиндр в смещенной с помощью параллельного переноса и повернутой затем вокруг одной из координатных осей системе координат.

Пример №8

Привести уравнение второго порядка

к каноническому виду, назвать и построить поверхность.

Решение. После выделения полных квадратов по переменным у, z получим:

Переписав это уравнение в виде

мы замечаем, что в смещенной с помощью параллельного переноса в точку системе координат, эта поверхность представляет собой гиперболический параболоид с параметрами р = 1, q = 4.

Прямая на плоскости. Общее уравнение прямой на плоскости

Докажем, что всякая прямая на плоскости задается в любой пдск  уравнением первой степени относительно двух переменных. 
Если  A  – некоторая точка на прямой    – вектор, перпендикулярный ей, то, во-первых, через  A  перпендикулярно  проходит единственная прямая на  плоскости,  а,  во-вторых,    для любой  точки    вектор   .  Таким свойством обладают только точки, лежащие на.  

Чтобы вывести уравнение прямой, зададим на плоскости пдск  XOY .  
В этой системе координат  

Пусть M (x, y)  – произвольная точка 
на . Тогда (рис. 22 ) . Так как   , то по свойству 5 скалярного произведения   – векторное уравнение прямой .   
поэтому по формуле (2.5) получим  

Координаты точек, лежащих на прямой, связаны соотношением (3.1). Если же    не перпендикулярен  значит, координаты  M  не  будут  удовлетворять полученному  уравнению.  Поэтому  (3.1)  –  уравнение прямой, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданному вектору. Заметим, что это уравнение линейно относительно переменных   x  и  y . 
 

Определение: Любой ненулевой вектор   , перпендикулярный прямой , называется ее нормальным вектором, или нормалью. 
. Обозначая   , получим 

(3.2) – общее уравнение прямой на плоскости,

Уравнение прямой с направляющим вектором

Определение:  Любой  ненулевой  вектор   ,  параллельный  прямой, называется ее направляющим вектором. 
Если  A  – некоторая точка на прямой  – вектор, параллельный ей, то, во-первых, через  A  параллельно  проходит единственная прямая, а, во-вторых,  для любой точки вектор Таким свойством обладают только точки, лежащие на .  

Чтобы  вывести  уравнение  прямой,  зададим  на  плоскости  пдск  XOY .  В этой системе координат  

Пусть  M (x, y) – произвольная точка на  . Тогда   и . Запишем условие коллинеарности векторов: 

(3.3) – уравнение прямой на плоскости с направляющим вектором.                    
Если   – направляющий вектор прямой   , поэтому уравнение прямой, проходящей через две точки имеет вид: 

 

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Пусть – направляющий вектор прямой  не параллельна оси OY , тогда
 

Определение: Угловым коэффициентом прямой  называется число 

Очевидно, что если  – угол между прямой  и положительным направлением оси ОХ, то  
Рассмотрим уравнение (3.3)  прямой с направляющим вектором
 
Отсюда следует  (3.5) – уравнение прямой с заданным угловым коэффициентом, проходящей через заданную точку

Из (3.5) получим . Обозначим , тогда  

(3.6) – уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Угол между прямыми на плоскости

Определение: Углом между двумя прямыми на плоскости называется  любой  из  двух  смежных  углов,  образованных  ими  при  пересечении.  Если прямые параллельны, то угол между ними равен  0  или  радиан. 
Пусть прямые заданы общими уравнениями. 


Условие параллельности прямых: 

Условие перпендикулярности прямых:   

Рассмотрим случай, когда прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом. 
                                                                     

Так как    (рис. 24  ), то 

Условие параллельности прямых:    

Условие перпендикулярности:     
Так как
не существует, то

Пример №9

Даны  вершины  треугольника:
Написать: 
 а) уравнение медианы  AM , б) высоты  AH , в) найти угол между   AM  и  AH  
(рис. 25).      
                     
Перепишем уравнение  медианы в общем виде:   
 – нормаль АМ. 
б) – нормаль  AH . Уравнение прямой (3.1), проходящей через точку  A  перпендикулярно вектору :  

в). По формуле (3.7)
 

Расстояние от точки до прямой на плоскости

Пусть  в некоторой пдск  XOY  задана прямая    и точка   Найдем расстояние от точки M  до прямой  . 

Пусть   – проекция точки  M  на  (рис.  26),  тогда  . 

Нормаль 

где   d  – искомое расстояние, – скалярное произведение.  
Следовательно,        

Так как . Поэтому    

Отсюда    
(3.8) – формула для вычисления расстояния от точки до прямой на плоскости. 
 

Пример №10

Найти длину высоты  
Уравнение   —
искомая длина высоты АН. 
 

Кривые второго порядка

Окружность

Определение: Кривые второго порядка – плоские линии, которые в пдск   XOY  задаются уравнениями второй степени относительно двух переменных x,y. 
 

Определение: Окружностью называется совокупность точек  плоскости, равноудаленных от фиксированной точки, называемой ее центром. 

Выведем уравнение окружности. Зададим пдск  XOY . Пусть – фиксированная точка (центр окружности), а  R  – расстояние от точек окружности до ее центра (радиус окружности). Если    – произвольная точка окружности, то длина равна R .

Если точка  M (x, y)   не лежит на окружности, то    и ее координаты уравнению (3.9) не удовлетворяют, поэтому, (3.9) – уравнение окружности с центром   радиуса  R . 
Если   , то уравнение окружности примет вид: 

(3.10) – каноническое уравнение окружности.

Пример №11

Показать, что уравнение задает окружность (то есть найти  ее центр и радиус). 
Приведем  данное  уравнение  к  виду (3.9), выделив  полный квадрат по переменной   x : 

 

Пример №12

Написать уравнение линии центров окружностей  

Найдем центр второй окружности:         

Уравнение прямой (3.4), проходящей через две точки: 

 

Эллипс

Определение:  Эллипс  –  совокупность  точек  плоскости,  сумма  расстояний от которых до двух фиксированных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная и большая, чем расстояние между фокусами. 

Чтобы вывести уравнение эллипса, выберем пдск следующим образом: ось абсцисс проведем через фокусы   , а ось ординат – посередине отрезка  перпендикулярно  оси  абсцисс.    Обозначим  расстояние  между  фокусами  тогда . Пусть  M(x, y)  – произвольная точка, лежащая на эллипсе, а  2a  – сумма расстояний от точек на эллипсе до  ,     
                     
2a>2c определению эллипса. 
(рис. 27). 
Запишем  в  виде  уравнения  свойство  точек, принадлежащих эллипсу, сформулированное в определении: 

(3.11) – уравнение эллипса в выбранной системе координат. Преобразуем его к 
более простому (каноническому) виду. Для этого умножим (3.11)  на сопряженное выражение: 

Сложим (3.11) и (3.12) и результат возведем в квадрат: 

Так как по определению  a>c, то есть  , то обозначим . 
Тогда из (3.13) получим:  

(3.14) – каноническое уравнение эллипса. 
 

Исследуем форму эллипса по его каноническому уравнению. Найдем точки пересечения с осями координат:
  

Из (3.14) следует, что 

Значит, эллипс расположен в прямоугольнике со сторонами   .  
Кроме того, из уравнения следует, что он симметричен относительно OX  и OY . O(0,0)  – точка пересечения осей симметрии – центр симметрии  эллипса. 
Ось, на которой лежат фокусы, называется фокальной осью эллипса. Точки  пересечения  эллипса  с  осями  симметрии  называются  его  вершинами.  

– полуфокусное расстояние, – малая полуось,  
– большая полуось эллипса и  (рис. 28). 

Отношение полуфокусного расстояния к длине большой полуоси  называется эсцентриситетом  эллипса. Он характеризует форму эллипса.

Так как , и чем меньше , тем больше эллипс похож на окружность. Для окружности . 
 

ЗАМЕЧАНИЕ  1.  Уравнение  эллипса,  центр  которого  ,  а  оси симметрии параллельны координатным осям, имеет вид:  

 

ЗАМЕЧАНИЕ 2. К кривым второго порядка эллиптического типа относятся также мнимый эллипс 
 и точка 

 

Пример №13

Найти эксцентриситет эллипса   (рис. 29).    
Так как , то фокусы лежат на оси  OY  и поэтому  

 

Гипербола

Определение:  Гипербола  –  совокупность  точек  плоскости,  модуль разности расстояний от которых до двух фиксированных точек этой плоскости, называемых фокусами,  есть величина постоянная, не равная  нулю и меньшая, чем расстояние между фокусами. 

Чтобы вывести уравнение гиперболы, выберем пдск следующим образом: 

ось абсцисс проведем через фокусы , а ось ординат – посередине отрез-
ка перпендикулярно оси абсцисс. Тогда – фокусы гиперболы (рис. 30). Пусть  M(x, y)  – произвольная точка, лежащая на гиперболе.

– расстояние между фокусами, 2a  – модуль разности  расстояний от точек на гиперболе до (рис. 30). 

Запишем свойство точек, принадлежащих гиперболе, сформулированное в определении: 

(3.16) – уравнение гиперболы в выбранной системе координат ( «+» – если разность расстояний  положительна, и «–»  – если отрицательна). Чтобы привести это уравнение к более простому виду, умножим (3.16) на сопряженное выражение и выполним такие  же действия, как при упрощении уравнения эллипса, после чего получим: 

По определению . Обозначим  , тогда (3.17) перепишется в виде:  

(3.18) – каноническое уравнение гиперболы. 

Исследуем форму гиперболы по ее каноническому уравнению.  
Из (3.18) следует, что гипербола симметрична относительно осей координат. Если x=0,  , значит, точек пересечения с  OY  нет; если  y = 0 , то . Точки пересечения с осями симметрии называются вершинами гиперболы.  Кроме  того,  из  (3.18)  следует,  что . Точка  пересечения осей  симметрии  называется  центром  гиперболы.  Ось  симметрии,  на  которой расположены  фокусы,  называется  фокальной  осью.  При  этом  фокальная  ось также называется действительной (с ней гипербола пересекается), а ось симметрии, с которой гипербола не пересекается, называется ее мнимой осью. 

c  – полуфокусное расстояние,   a  – действительная полуось, b  – мнимая полуось.  Отношение  полуфокусного  расстояния  к  длине  действительной  полуоси называется эксцентриситетом  гиперболы: .  Так  как  по  определению 

Считая, что из (3.18) получим, что  – уравнение части гиперболы, расположенной в первой четверти. Заметим, что при неограниченном  возрастании   разность , то есть при достаточно больших   x  гипербола приближается к прямой , 
причем ординаты точек на ней меньше соответствующих ординат точек на этой 
прямой:. Прямая называется асимптотой гиперболы.  

Из симметрии гиперболы следует, что то же самое происходит во второй, третьей и четвертой  четвертях. Поэтому   – также асимптота. 
Итак, прямые  – асимптоты гиперболы (3.18), а гипербола – кривая, состоящая из двух ветвей (рис. 31). 
Если фокусы гиперболы лежат на OY , то ее уравнение имеет вид: 

Гиперболы  (3.18)  и  (3.19)  называются  сопряженными  (рис.  31).  Уравнения асимптот  (3.19) такие же, как и для (3.18), но действительной является ось OY . 
Если  a = b, то гипербола называется равносторонней:  – уравнения ее асимптот (рис. 32 ).     

Очевидно, в этом случае асимптоты перпендикулярны. После поворота осей координат на против часовой стрелки, получим  гиперболу, задаваемую уравнением
 

ЗАМЕЧАНИЕ 1. Если центр гиперболы  в точке , а оси симметрии параллельны координатным осям, то уравнение гиперболы имеет вид         

 ЗАМЕЧАНИЕ 2. К кривым второго порядка гиперболического типа относится также  пара пересекающихся прямых:  
 

Пример №14

Найти координаты центра и написать уравнения асимптот гиперболы
Приведем данное уравнение к виду (3.20): 

Таким образом,  – центр,  – уравнения асимптот данной гиперболы. 
 

Парабола

Определение: Парабола – совокупность точек плоскости, равноудаленных от фиксированной точки этой плоскости, называемой фокусом, и фиксированной прямой, не проходящей через эту точку, называемой директрисой.   Чтобы вывести уравнение параболы, выберем пдск следующим образом: ось абсцисс проведем через фокус перпендикулярно директрисе, а ось ординат посередине между фокусом и директрисой (рис. 33). 

Пусть расстояние между фокусом  F  и директрисой  DK  равно  p . Тогда .  Если  M(x, y)   –  произвольная  точка  на  параболе,  то  по определению 

(3.21) – уравнение параболы в выбранной системе координат. 

Упростим его:                                 

(3.22) – каноническое уравнение параболы;  p  называется ее параметром. 
Из уравнения следует, что парабола симметрична относительно   OX  и проходит через начало координат. Кроме того,  если , поэтому кривая лежит в правой полуплоскости и с ростом величины также растет. Точка пересечения параболы с осью симметрии называется ее вершиной (рис. 34). 

Если фокус параболы на оси ОУ (рис. 35), то ее каноническое уравнение имеет вид

 

ЗАМЕЧАНИЕ 1. Если вершина параболы в точке и ось симметрии параллельна OX , то ее уравнение имеет вид

ЗАМЕЧАНИЕ 2.  К кривым второго порядка параболического типа относятся также  – пара совпадающих прямых;  
– пара параллельных прямых; пара мнимых параллельных прямых.  
 

Пример №15

Написать уравнение геометрического места точек, равноудаленных от прямой  x + y — 1 = 0 и точки F(-3,2). 
По определению множество точек, равноудаленных от данных точки и прямой, является  параболой.  Пусть  M (x, y)   –  произвольная  точка  искомой  параболы, тогда . Расстояние от точки M  до прямой x + y — 1 = 0 вычисляется по формуле (3.8): . Из условия следует, что  
 – уравнение искомого геометрического места точек. 

Если  оси  координат  системы XOY   повернуть на угол  так, чтобы  одна  из  них  стала  параллельна директрисе, а затем перенести  начало координат в точку   – вершину параболы, то в новой  системе   уравнение  параболы  будет  каноническим (рис. 36).  
 

ЗАМЕЧАНИЕ. Можно показать, что, кроме окружности, эллипса, гиперболы, параболы и вырожденных случаев, указанных в замечаниях, других кривых второго порядка не существует.  
 

Преобразования координат на плоскости

Преобразование координат — замена системы координат на плоскости, в пространстве или, в самом общем случае, на заданном n-мерном многообразии.

Параллельный перенос координатных осей

Пусть на плоскости задана пдск ХОУ. Будем называть ее “старой”. “Новая” система координат получена из “старой” параллельным переносом осей в точку .  Выясним, как связаны координаты одной и той же точки М  в этих системах координат.

Пусть  – орты координатных осей системы ХОУ, а  – системы
Тогда

так как по определению  равенства  векторов (рис. 37). 
Так как , то 

или                                                  

(3.23) – формулы параллельного переноса осей пдск. 

 

Поворот координатных осей на угол α

Поворот координатных осей на угол . 

Пусть  “новая”  пдск    получена из  “старой” системы координат XOY поворотом осей ОХ и ОУ на угол (рис. 38) и М(х, у) – произвольная  точка  в  системе XOY . Выясним, какими станут ее координаты в “новой” пдск.  
Из рис. 38 очевидно, что 

Так как , то  

(3.24) – формулы поворота координатных осей на угол  , выражающие старые координаты точки через новые. 
Если обозначить  , то (3.24) можно переписать:  . Так как , то существует   и  

(3.25) – формулы поворота координатных осей на угол , выражающие новые  координаты точки через старые. 

 

Пример №16

Каким  будет  уравнение  прямой  x + y — 1 = 0 после поворота координатных осей на угол 

 новое уравнение прямой (рис. 39). 
 

Линейные  преобразования на плоскости

Рассмотрим систему линейных уравнений: 

Каждой точке  плоскости  M(x, y)  по формулам (3.26) можно поставить в соответствие  единственную точку той же плоскости. При этом точка  N  называется образом точки  M , а точка  M  – прообразом точки  N .  Кроме того,уравнения (3.26) линейны относительно  x  и  y , поэтому будем говорить, что (3.26) определяют линейное преобразование плоскости в себя. 
Преобразование (3.26) определяется матрицей , которая называется  матрицей  линейного  преобразования.  Обозначая  ,
(3.26)  можно  переписать  в  виде .  Можно  показать,  что  определитель  равен  коэффициенту  изменения  площадей  при  линейном  преобразовании (3.26). При этом , если в результате преобразования направление обхода некоторого  контура  не  меняется,  и ,  если  оно  меняется  на  противоположное. Поясним это на примерах. 

 

Пример №17

 – растяжение вдоль 
оси OX  в 2 раза.  
(рис. 40). 

 

Пример №18

при этом направление обхода   от O  к  A , затем к  B  – по часовой стрелке, а соответствующее направление обхода  – против часовой стрелки. Геометрически данное преобразование – растяжение вдоль  OX  и OY  в 2 раза и отражение симметрично относительно оси OY  (рис. 41). 
 

Определение:  Линейное  преобразование  (3.26)  называется  невырожденным, если

В  этом  случае  существует  обратная  матрица  и  можно  найти . То есть, если , то не только у каждого прообраза существует единственный образ, но и наоборот: для каждого образа существует единственный прообраз. В этом случае говорят, что (3.26) устанавливает взаимно однозначное соответствие между точками плоскости, или линейное преобразование плоскости на себя. 
Можно  показать,  что  невырожденное  линейное  преобразование  переводит прямую в прямую, а кривую второго порядка – в кривую второго порядка. 
 

Пример №19

Пусть  преобразование вырожденное. 
Какими будут образы точек, лежащих, например, на прямой  x + y — 1 = 0 
(рис. 42)?

Очевидно, что если , то есть у точки N(1,2) существует  бесконечное  множество  прообразов:  все  они  лежат  на  прямой x + y — 1 = 0.  Потому  данное  вырожденное  линейное  преобразование  не  устанавливает взаимно-однозначного соответствия между точками плоскости. 
 

Пример №20

Рассмотрим формулы (3.25):  

Очевидно, что поворот осей пдск на угол – линейное преобразование. 
Так как это линейное преобразование невырожденное, то существует  

Заметим, что в этом случае
 

Определение: Матрица  A называется ортогональной, если . 
Линейное  преобразование,  матрица  которого  ортогональна,  называется  ортогональным. 

Таким образом, поворот координатных осей – ортогональное линейное преобразование. 

Можно показать, что если  A  – ортогональная матрица, то (доказать самостоятельно). Таким образом, в результате ортогональных линейных преобразований на плоскости площади фигур остаются неизменными.  
 

Произведение линейных преобразований

Рассмотрим  матрицы Каждая  из  них определяет  линейное  преобразование  плоскости.  Если  M(x, y) –  некоторая точка плоскости, то под действием линейного преобразования  с матрицей  B   она перейдет в точку

В свою очередь точка  N  под действием линейного преобразования с матрицей C   перейдет в точку

Такое последовательное выполнение линейных преобразований называется их произведением:

Покажем, что произведение линейных преобразований также линейное преобразование, и найдем его матрицу. Подставим (3.27) в (3.28): 
 
То есть  

(3.29)  – система линейных уравнений, а потому произведение линейных преобразований линейно. Матрица (3.29)  имеет вид: 

Таким образом, матрица произведения линейных преобразований равна произведению их матриц. Само же правило умножения матриц, сформулированное в гл.1, находит объяснение в этом выводе.  
 

Приведение квадратичной формы к каноническому виду

Определение: Квадратичной формой относительно двух переменных  x  и  y  называется однородный многочлен второй степени:  

Уравнение задает на плоскости кривую второго порядка, причем, так как вместе с точкой  M(x, y) , лежащей на этой кривой,  ей  принадлежит  и  точка ,  кривая  симметрична  относительно 
начала  координат,  то  есть  является  центральной  кривой  (эллиптического  или гиперболического типа).

Предположим, что уравнение задает в пдск ХОУ эллипс. Если , то это уравнение не является каноническим уравнением эллипса, а потому, хотя О(0, 0) – его центр, оси симметрии не совпадают с ОХ и ОУ (рис. 43). Тем не менее, заметим, что если оси системы  XOY  повернуть на 

угол , то в системе  эллипс будет  задаваться  каноническим  уравнением:  кривая  симметрична  относительно .  Найдем  линейное преобразование,  соответствующее этому повороту. 

Матрица  называется матрицей квадратичной формы (3.30).  
Пусть  
Вычислим
Таким образом, квадратичная форма может быть записана в матричном виде: 

Пусть  x, y – координаты точек плоскости в системе  XOY , а  – координаты точек  плоскости  в новой системе , где  кривая задается каноническим уравнением. Переход от “старых” координат к “новым” будем искать в виде  

(3.32) – ортогональное линейное преобразование с матрицей  

По определению ортогональной матрицы  

(В  результате  ортогонального  преобразования  не  происходит  изменение  площадей фигур, то есть фигуры не деформируются.) 
Чтобы узнать, как изменится матрица квадратичной формы в результате линейного  преобразования  (3.32),  подставим  (3.32)  в  (3.31): (свойство 5 умножения матриц)
(свойство 2 умножения матриц и равенство (3.33)) – матрица новой квадратичной формы.  

Так как в “новой” системе координат кривая должна задаваться каноническим уравнением, то есть в нем должно отсутствовать произведение координат  xy, то   имеет вид:
, где – неизвестные числа. Умножим равенство  на матрицу T  слева. Так как , то получим: 

По определению равных матриц имеем: 

Системы уравнений (3.34), (3.35) – линейные и однородные. Они имеют нетривиальное решение, если их определители равны 0. 

Это означает, что  являются решениями уравнения 

Уравнение (3.36) называется характеристическим уравнением матрицы  A  (характеристическим  уравнением  квадратичной  формы).  Его  решения  называются собственными значениями матрицы  A (квадратичной формы).  

Покажем, что дискриминант квадратного уравнения (3.36) положителен, то есть любая квадратичная форма двух переменных имеет 2 различных собственных значения. 
Вычислим определитель (3.36):      

Дискриминант
так как  (иначе квадратичная форма будет канонической). 
 

Таким образом, коэффициентами при  в каноническом виде квадратичной формы являются ее собственные значения, то есть решения уравнения (3.36).  

Решим (3.36) и подставим  в (3.34). Система имеет бесконечное множество решений и пусть  – одно их них. Так как система (3.34) однородная, то  – тоже решение. Подберем  k  так, чтобы вектор  
 был единичным:

Векторы   называется  собственными  векторами  квадратичной формы, соответствующими собственному значению   , или первыми собственными  векторами.  Их направление называется  первым  главным  направлением квадратичной формы. Таким образом, первым собственным вектором квадратичной формы называется любое ненулевое решение системы (3.34). 

Аналогично  подставим   в  (3.35)  и  найдем –  второй  собственный вектор, соответствующий собственному значению  r2 . Его направление  называется  вторым  главным  направлением  квадратичной  формы.  – второй единичный собственный вектор, то есть 

Можно показать, что . Кроме того,  – первый собственный вектор, а  – второй собственный 
вектор, поэтому ортами “новой” системы координат  , к которой мы перейдем в результате линейного преобразования с матрицей  T , являются единичные собственные векторы квадратичной формы, найденные как решения систем (3.34), (3.35). Направив оси “новой” системы координат вдоль собственных векторов  , получим систему координат,  в которой квадратичная форма будет иметь канонический вид
 

ВЫВОД.  

Чтобы привести квадратичную форму к каноническому виду, надо: 

1. Составить и решить характеристическое уравнение (3.36); его решения – собственные значения – являются коэффициентами при  в каноническом виде квадратичной формы. 
2. Найти единичные собственные векторы, решив (3.34) и (3.35); они будут ортами новой системы координат .При этом если ось сонаправлена с   – канонический вид, который квадратичная форма имеет в системе .

Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду

Общее уравнение кривой второго порядка имеет вид:  

В результате невырожденного линейного преобразования с матрицей   T  квадратичная форма перейдет в квадратичную форму, линейная – в линейную, а свободный член   не изменится. Каждую группу слагаемых будем преобразовывать отдельно, а именно: найдем ортогональное преобразование, приводящее  квадратичную  форму  к  каноническому  виду, затем  посмотрим, как  в результате этого преобразования изменится линейная форма (ортогональное преобразование в нашем случае – это поворот осей).

После поворота осей подберем параллельный перенос новой системы  так, чтобы после него уравнение кривой стало каноническим. 

Пример №21

Привести к каноническому виду ранее полученное уравнение параболы (стр. 58) и построить ее:  

1) Составим матрицу квадратичной формы: 
2) Составим и решим характеристическое уравнение (3.36):  
– собственные значения. 
3) Найдем первый единичный собственный вектор, то есть решим систему (3.34): 
– первый собственный вектор.  
 – первый единичный  собственный вектор (орт оси ). 
4) Найдем второй единичный собственный вектор, то есть решим (3.35): 
 –  второй    собственный вектор.  
 – второй  единичный  собственный вектор (орт оси ) . 
Заметим, что ,так как скалярное произведение

В полученной таким образом системе координат , взяв несколько контрольных точек, нарисуем параболу (рxис. 44). 
Сравните  эскиз  (рис.  36)  и  данный  рисунок,  являющийся  результатом точных расчетов. 

 

Плоскость

Покажем, что плоскость в пространстве задается в любой пдск линейным уравнением относительно трех переменных  x, y, z. 
Если  A  – некоторая точка на плоскости  – вектор, перпендикулярный ей, то, во-первых, через  A  перпендикулярно  проходит единственная плоскость, а, во-вторых,  для любой точки вектор . Таким свойством обладают только точки, лежащие на .  
Чтобы  вывести  уравнение  плоскости,  зададим  в  пространстве  пдск  OXYZ .  В этой системе координат

Раскрыв скобки в (3.38), получим   
Обозначим , тогда уравнение (3.38) примет вид: 

(3.39) – общее уравнение плоскости в пространстве, – ее нормаль. 
 

Определение: Любой ненулевой вектор  , перпендикулярный плоскости , называется ее нормальным вектором, или нормалью.  

Особые случаи расположения плоскости

Выясним, какие особенности в расположении плоскости влечет за собой равенство нулю одного или нескольких коэффициентов в уравнении (3.39). 

1.  координаты точки O(0,0,0) удовлетворяют уравнению, значит, плоскость проходит через начало  координат. 
2. , так как , значит, плоскость . 
3. ,  так  как .Значит, плоскость .
4. так как . Значит, плоскость . 
5.  проходит через OX . 
6.  проходит через OY . 
7.  проходит через OZ . 
8.  или . 
9.  или . 
10.  или . 
11.  – плоскость YOZ . 
12.  – плоскость XOZ . 
13.  – плоскость XOY . 
     

Уравнение плоскости в отрезках

Пусть плоскость  не параллельна ни одной из координатных осей и не проходит  через  начало  координат.  Тогда  она  отсекает  на  координатных  осях отрезки a,b,c (рис. 46). Выведем уравнение  такой плоскости.  
  

Рассмотрим общее уравнение плоскости. Так как , то   .
Аналогично  

Подставив А, В, С в общее уравнение, получим  

(3.40) – уравнение плоскости в отрезках. 
 

Пример №22

Вычислить объем тетраэдра, образованного плоскостями   


Перепишем уравнение плоскости в виде (3.40):   

уравнение данной плоскости в отрезках. Поэтому (рис. 47) 

 

Уравнение плоскости, проходящей через три точки

Пусть в некоторой пдск заданы три точки, не лежащие на одной прямой: 
.  Известно,  что  через  них  проходит  единственная плоскость  . 

Чтобы вывести  ее уравнение, рассмотрим произвольную точку этой плоскости  M(x,y,z) . Тогда  – компланарные векторы, и их смешанное произведение равно нулю: . Тогда по формуле (2.9) получим 

(3.41) – уравнение плоскости, проходящей через три точки.

ЗАМЕЧАНИЕ. Если точки лежат на одной прямой, то векторы    коллинеарны и   их соответствующие координаты пропорциональны. Поэтому в определителе (3.41) две строки пропорциональны и по свойству 6 определителей он тождественно равен нулю, что означает, что  координаты любой точки   M(x,y,z) удовлетворяют уравнению (3.41). Это иллюстрация того факта, что через прямую и любую точку можно провести плоскость.  
 

Пример №23

Написать уравнение плоскости, проходящей через точки  


 

Угол между плоскостями

Определение: Углом между плоскостями называется любой из двух смежных  двугранных  углов,  образованных  плоскостями  при  их  пересечении. 

Если плоскости параллельны, то угол между ними равен 0  или  радиан. 

Рассмотрим плоскости и 
. 
Очевидно,
или  

Если    –0 условие перпендикулярности плоскостей.  

Если  – условие параллельности плоскостей.

Пример №24

Найти угол между плоскостями  

 плоскости перпендикулярны. 
 

Прямая линия в пространстве

Всякая линия в пространстве есть результат пересечения двух поверхностей. В частности прямую линию можно рассматривать  как результат пересечения  двух плоскостей  

и 

Если  не  параллельна ,  то есть не  коллинеарен ,  то  система уравнений  

определяет прямую линию в пространстве. 
  

Уравнения (3.42) называются общими уравнениями прямой в пространстве. 
Очевидно,  одна  и  та  же  прямая  может  быть результатом пересечения разных  пар плоскостей  (рис.  48),  поэтому  прямую  в  пространстве  можно  задать    различными  способами. 

Уравнения (3.42) неудобны в использовании, так как не дают представления о расположении  прямой  относительно  выбранной  системы координат.  
Поэтому выведем более  удобные  уравнения,  эквивалентные  (3.42),  то  есть  из  бесконечного  множества плоскостей, проходящих через данную прямую, выберем в некотором смысле более заметную пару.

Канонические уравнения прямой в пространстве

Пусть  в  некоторой  пдск  задана  прямая ,  проходящая  через  точку   параллельно  ненулевому  вектору .  Такой  вектор называется направляющим вектором этой прямой.  
                                                                      

Для произвольной точки   вектор   где  t  – не-который  числовой  множитель.  Кроме того,   –  радиус-вектор точки  M ,  – радиус вектор точки  A  
(рис. 49).  

Отсюда                                             
(3.43) – векторное уравнение прямой в пространстве. Из (3.43) получаем: 

(3.44) – параметрические уравнения прямой в пространстве,  – параметр.  

Выразим из каждого уравнения (3.44) параметр:  

Тогда
(3.45)  –  канонические  уравнения  прямой  в  пространстве,  то  есть  уравнения прямой, проходящей через точку параллельно вектору .  

Заметим, что уравнения (3.45) задают прямую  как результат пересечения плоскостей   

одна из которых параллельна OZ , а вторая – OY   или как

где первая плоскость параллельна OZ , а вторая – OX . 

Если прямая  проходит через две заданные точки , то  направляющий вектор этой прямой, поэтому из (3.45) получим: 

(3.46) – уравнения пространственной прямой, проходящей через две заданные точки.  
 

Угол между прямыми в пространстве

Рассмотрим прямые, заданные в некоторой пдск каноническими уравнениями:  

и   

 

Определение:  Углом  между  прямыми  в  пространстве  называется угол между двумя пересекающимися прямыми, проходящими через произвольную точку пространства параллельно данным. 
Из определения следует, что . Если , то  
 
1)–  условие перпендикулярности прямых. 
2)  –  условие  параллельности  прямых  в пространстве.

Пример №25

Найти угол между прямой и прямой , проходящей через точки  . 

Заметим, что уравнение прямой  имеет вид: . В данном случае  ноль  в  знаменателе    писать  принято:  он  означает,  что  направляющий вектор прямой (и сама прямая) параллелен плоскости  XOZ . Эта прямая является результатом пересечения плоскостей
 

Приведение общих уравнений прямой в пространстве к каноническому виду

Рассмотрим  прямую , заданную  общими  уравнениями (3.42) в пространстве:  

Привести эти уравнения к каноническому виду можно двумя способами: 

1. найти  координаты  какой-либо  точки ,  лежащей  на , ее направляющий вектор  s  и написать уравнения (3.45); 
2. найти координаты двух точек, лежащих на , и воспользоваться уравнениями (3.46). 

1 способ.

Координаты точки  A – любое частное решение системы линейных уравнений (3.42). Эта система имеет бесконечное множество решений, так как  ранги  основной  и  расширенной  матриц ,  а  число  неизвестных . 
 – направляющий вектор прямой , поэтому – нормаль плоскости – нормаль плоскости . Из определения векторного произведения векторов следует, что тогда . Так как  – произвольный вектор, параллельный , то будем  считать, что .

Пример №26

Привести уравнения прямой  к каноническому виду. 
Найдем  какое-нибудь  частное  решение  этой  системы:  пусть,  например, 
,  то  есть  точка  A(1,2,0) лежит  на прямой. 

Таким образом,  – канонические уравнения данной прямой. 
 

2  способ.  

Найдем  два  произвольных  частных  решения  системы  уравнений, задающей прямую. 
В рассмотренном примере . Пусть теперь 

тогда  – направляющий вектор  прямой, который  отличается  от  найденного  ранее  только  знаком.  Поэтому  уравнения совпадают (с точностью до знака) с уже найденными. 
 

Угол между прямой и плоскостью

Определение: Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость. 
Пусть в некоторой пдск заданы плоскость  

и прямая

Определение общих точек прямой и плоскости

Чтобы найти общие точки прямой :   и плоскости, надо решить систему  линейных уравнений: 

Решение этой системы будет наименее трудоемким, если перейти  к параметрическим  уравнениям прямой (3.44): 

1) Пусть . Это значит, что прямая не параллельна плоскости, а потому они имеют одну общую точку. Из (3.47) найдем   
 
и по формулам (3.44) M(x,y,z) – их  точку пересечения. 

2) Пусть . Это означает, что в (3.47) решений нет: выполнено  условие  параллельности  прямой  и  плоскости,  при  этом  точка  , но не лежит в плоскости , значит, прямая и плоскость общих точек не имеют. 

3)  Пусть . Тогда любое – решение (3.47) и система имеет бесконечно много решений: выполнено условие параллельности прямой и плоскости и  точка   , лежащая на прямой, лежит в плоскости. Это значит, что прямая лежит в плоскости, то есть имеет с ней бесконечное множество  общих точек. 
 

Пример №27

Найти    проекцию    точки   на    плоскость (рис. 53). 

Пусть прямая проходит через точку  М  перпендикулярно плоскости  . Точка ее пересечения с плоскостью и будет искомой проекцией. В качестве направляющего вектора можно взять нормаль к плоскости . 

Напишем канонические уравнения  прямой  (3.45):

 Подставим   x,y,z   в уравнение плоскости: 

, то есть  P 1,2,0  – искомая проекция.                                                     
 

Цилиндрические поверхности

Уравнение  F(x, y, z)=0  задает в пространстве некоторую поверхность.  

Пусть  уравнение содержит только две переменные, например,  F(x,y)=0.Рассмотренное  в  плоскости  XOY ,  оно  задает  некоторую  кривую.  Но  ему  будут удовлетворять и все точки пространства, которые проецируются в точки  этой кривой, так как в уравнении отсутствует  z , то есть все точки  M(x,y,z)  у которых  х и у  связаны соотношением   – произвольно. 

 

Пример №28

Построить  поверхность  
На  плоскости  это  уравнение  задает окружность  с центром О(0, 0) и  R=1. 
В  пространстве  ему  удовлетворяют координаты  всех  точек,  проекция  которых  на  плоскость  ХОУ  лежит  на этой  окружности.  Очевидно,  что  эта поверхность  –  круговой    цилиндр 
(рис. 54).  
Цилиндрические поверхности бывают не только круговыми.

Определение: Цилиндрической называется поверхность, полученная движением  прямой,  параллельной  некоторому  вектору,  и  пересекающей  при движении некоторую кривую. При этом движущаяся прямая называется образующей,  а  кривая,  которую  она  пересекает,  называется  направляющей  цилиндрической поверхности. 
Для поверхности   образующая параллельна оси OZ  (так как в уравнении  z  отсутствует), а направляющей является окружность в плоскости  XOY . 

ВЫВОД. Если уравнение поверхности содержит только две переменные, то оно задает цилиндрическую поверхность. У поверхности  F(y,z) ,образующая параллельна  OX , а направляющая лежит в плоскости  YOZ . Для поверхности  F(x,z) ,образующая параллельна OY , направляющая в плоскости  XOZ . 
 

Пример №29

Построить и назвать поверхности Эти уравнения задают цилиндрические поверхности. В первом случае направляющей является парабола в плоскости  YOZ , а образующая параллельна  OX  (рис. 55). Во втором – образующая синусоида в плоскости  XOZ , образующая параллельна OY  (рис. 56).

Поверхности вращения

Определение: Поверхностью вращения называется поверхность, полученная  в  результате  вращения  плоской  кривой  вокруг  оси,  лежащей  в  ее 
плоскости. 

Из определения следует, что сечением такой поверхности любой плоскостью, перпендикулярной оси вращения, является окружность.  

Пусть в плоскости  YOZ  задана кривая – координаты точки  в  плоской  системе  координат  YOZ .  Эта  кривая  вращается  вокруг  оси OZ . Выведем уравнение поверхности вращения. 

Пусть  M(x,y,z)  –  произвольная  точка  на  поверхности, ,  z–  центр  окружности сечения,  проходящего  через точку  M ,  а   –  точка, лежащая  на кривой и одновременно в рассматриваемом  сечении (рис. 57). 

Тогда – радиусы сечения. 
Но

Таким образом, уравнение поверхности вращения получим, если в уравнении  кривой  заменим  на  –  на  z.  Тогда  получим: 
 – уравнение поверхности вращения (OZ  – ось вращения). 

Очевидно, что  если  кривая  F(y,z)=0 вращается    вокруг  OY ,  то  уравнение 
поверхности вращения имеет вид:  

Некоторые поверхности второго порядка

1. Пусть эллипс вращается вокруг оси OY .  
 

Полученная поверхность является поверхностью  второго  порядка, так ее уравнение  – второй  степени  относительно  переменных  x,y,z .  Она  называется эллипсоидом вращения (рис. 58). 
Поверхность, задаваемая уравнением   , называется трехосным эллипсоидом. 

2. Если гипербола  вращается вокруг оси OZ , то уравнение 

поверхности вращения имеет вид   

или  

Такая поверхность называется однополостным гиперболоидом вращения (рис. 59). 

3. Если гипербола   вращается вокруг оси  OY , то уравнение поверхности имеет вид   . Такая поверхность называется двуполостным гиперболоидом вращения (рис. 60). 

4. Если пара пересекающихся прямых   вращается вокруг оси OY , то получается  конус вращения с уравнением  или   (рис. 61). 

5. При вращении параболы  вокруг оси OZ  получается поверхность , которая называется эллиптическим параболоидом вращения (рис. 62). 

Лекции по предметам:

1. Математика
2. Алгебра
3. Линейная алгебра
4. Векторная алгебра
5. Геометрия
6. Высшая математика
7. Дискретная математика
8. Математический анализ
9. Теория вероятностей
10. Математическая статистика
11. Математическая логика

План урока:

Уравнение линии в координатах

Уравнение окружности

Уравнение прямой

Задачи на пересечение двух фигур

Уравнение линии в координатах

Если какое-то уравнение содержит две переменные – х и у, то какие-то пары значений этих чисел будут являться его решением, а какие-то нет. Однако каждой такой паре чисел можно сопоставить точку на координатной плоскости. Все вместе такие точки могут образовать линию, которую можно обозначить буквой L. В таком случае исходное уравнение называют уравнением линии L.

Мы уже рассматривали некоторые уравнения линий на плоскости, когда изучали графики функций. Если некоторую функцию у = у(х) рассматривать как уравнение, то тогда график функции у(х) будет той самой линией, которая задается уравнением. Например, парабола может быть задана уравнением у = х².

Однако уравнение линии не обязательно выглядит как функция. Наиболее простой задачей является определение факта, принадлежит ли та или иная точка той линии, которая задана уравнением.

Задание. Какие из точек А (2;1), В (3; 2), С (– 2; 5) и D(0; 0) принадлежат линии, заданной уравнением:

Решение. Надо просто подставить координаты точек в уравнение и посмотреть, превратится ли оно при этом в верное равенство. Сначала подставляем точку А (2; 1):

Получилось верное равенство, значит, А принадлежит заданной линии. Теперь подставляем координаты В (3; 2):

Равенство неверное, следовательно, В на заданной линии не лежит. Проверяем третью точку С (– 2; 5):

Получили, что и С не является частью линии. Проверяем последнюю точку D (0; 0):

Справедливость равенства означает, что D принадлежит линии.

Ответ: А и D.

Использование координат и уравнений линии порождает две обратные друг другу задачи:

1) по заранее заданному уравнению определить геометрический вид линии;

2) для заданной геометрической фигуры, построенной на координатной плоскости, найти уравнение линии.

Геометрия занимается в первую очередь решением второй задачи. Первая же задача рассматривается по большей части в курсе алгебры при изучении графиков функций.

Уравнение окружности

Попытаемся составить уравнение окружности, про которую нам известен ее радиус (обозначим его буквой r) и координаты центра окруж-ти(х₀; у₀). Пусть некоторая точка М с координатами (х; у) лежит на окруж-ти. Тогда, по определению окруж-ти, расстояние между С и М равно радиусу r:

Но расстояние между точками М и С может быть вычислено по формуле

Если же точка М НЕ лежит на окруж-ти, то длина отрезка МС не будет равна r, и потому координаты М не будут удовлетворять уравнению (1). Получается, что (1) как раз и является уравнением окруж-ти.

Задание. Составьте уравнение окружности, имеющей радиус 5, если ее центр находится в точке (6; 7), и проверьте, лежат на ней точки H(2; 10)и Р(3; 8).

Решение. Сначала запишем уравнение окруж-ти в общем виде

Это и есть уравнение окруж-ти. При желании можно раскрыть скобки в правой части, но делать это необязательно. Теперь будем подставлять в полученное уравнение координаты точек Н и Р:

Проверка показала, что Н находится на окруж-ти, а Р – нет.

Задание. Начертите окружность, заданную уравнением

Именно эти значения и являются параметрами окруж-ти, которые нужны нам для ее построения. Ее центр находится в точке (х₀; у₀), то есть в (1; – 2), радиус равен r, то есть 2. В итоге выглядеть она будет так:

Особый случай представляет окруж-ть, центр которой находится в начале координат, то есть в точке (0; 0). В этом случае параметры x₀ и y₀ окруж-ти равны нулю, и уравнение

Например, окруж-ть с радиусом 4, если ее центр совпадает с началом координат, описывается уравнением:

Если при подстановке координат точки в уравнение получилось неверное равенство, то возможны два случая: либо точка находится внутри окруж-ти, либо она находится вне нее. Заметим, что в уравнении окруж-ти

левая часть представляет собой квадрат расстояния между точкой (х; у) и центром окруж-ти (х₀; у₀). Если оно больше квадрата радиуса, то точка находится вне окруж-ти, а если меньше – то внутри нее.

Задание. Определите для точек M(3; 4), N(2; 3), F(4; 4), лежат ли они на окруж-ти

x² + y² = 25

внутри нее или за пределами окруж-ти.

Решение.Снова подставляем координаты точек в уравнение окруж-ти:

Это ошибочное равенство, ведь в реальности левая часть больше:

32 > 25

Это значит, что F(4; 4) лежит вне окруж-ти. Убедиться в правильности сделанных выводов можно, построив заданную окруж-ть и отметив точки M, N и F:

Рассмотрим несколько более сложных задач по данной теме.

Задание.Запишите уравнение окружности с центром С(– 4; 2), и окруж-ть проходит через точку А(0; 5).

Решение. В данном случае радиус окруж-ти явно не указан, и его надо найти. Подставим в уравнение окруж-ти известные нам данные:

Задание. Даны точки К (– 2; 6) и М (2; 0). Запишите уравнение окруж-ти, в которой КМ будет являться диаметром.

Решение. Для составления уравнения нужно знать радиус окруж-ти и координаты ее центра. Обозначим центр буквой С. Ясно, что центр окруж-ти делит любой ее диаметр пополам, на два одинаковых радиуса, то есть является серединой диаметра. То есть С – середина КМ, а потому для поиска координат С используем формулы:

Итак, координаты центра теперь известны, это (0; 3). Чтобы найти радиус, поступим также, как и в предыдущей задаче – подставим координаты точек С и, например, К, в уравнение окруж-ти

Обратите внимание, что нам необязательно вычислять радиус, ведь для уравнении окруж-ти нужна его величина, возведенная в квадрат, и мы ее нашли. Теперь можем записать уравнение окончательно

Задание. Дано уравнение окружности

(x — 2)² + (y — 4)² = 9

Найдите точки этой окруж-ти, абсцисса которых равна 2.

Решение. Напомним, что абсцисса – это координат х точки. Она нам уже известна, х = 2. Остается только найти ординату, то есть координату у. Для этого подставим известное нам значение абсциссы в уравнение и решим его:

Обратите внимание, что у квадратного уравнения нашлось сразу 2 корня, они соответствуют двум точкам, (2; 1) и (2; 7).

Ответ: (2; 1) и (2; 7).

Задание. Составьте уравнение окружности, проходящей через точки D(3; 8), L(6; 7) и K(7; 0).

Решение. Эта задача сложнее предыдущих и потребует громоздких вычислений. Нам надо найти радиус окруж-ти r и ее центр (х₀; у₀). Запишем для точки D(3; уравнение окруж-ти:

Далее раскроем скобки в левой части, используя формулу квадрата разности (это необходимо для упрощения дальнейших расчетов):

В итоге нам удалось составить три уравнения, которые содержат три переменные: r, х₀ и у₀.Вместе они образуют систему уравнений, которую можно попробовать решить:

Далее можно, например, вычесть из (2) уравнение (3):

Нам удалось найти одно из интересующих нас чисел, у₀. С помощью (5) легко найдем и х₀:

x₀ = 7y₀ — 18 = 7*3 — 18 = 21 — 18 = 3

Итак, центр окруж-ти находится в точке (3; 3). Осталось найти радиус окруж-ти. Для этого подставим в уравнение окруж-ти вычисленные нами координаты центра, а также координаты одной из точек из условия, например, K(7; 0):

Радиус окруж-ти равен 5. Теперь мы можем окончательно записать уравнение окруж-ти

Чтобы убедиться в правильности найденного решения, можно подставить в полученное уравнение координаты трех точек из условия и посмотреть, обращают ли они его в верное равенство. Вместо этого мы для наглядности просто построим в координатной плоскости получившуюся окруж-ть и отметим на ней точки из условия:

Ответ: (х – 3)² + (у – 3)² = 25

Уравнение прямой

Пусть на координатной плоскости построена произвольная прямая m. Для составления его уравнения отметим две точки А(х₁; у₁) и В(х₂; у₂) так, чтобы прямая m оказалась серединным перпендикуляром для отрезка АВ:

Тогда, согласно свойству серединного перпендикуляра,про любую точку М(х; у), лежащую на m, можно сказать, что она равноудалена от А и В, и наоборот, любая точка, НЕ лежащая на m, НЕ равноудалена от А и В. Это означает, что для точки M, если она лежит на m, должно выполняться равенство:

Квадратные корни равны, если одинаковы их подкоренные выражения, поэтому

Заметим, что так как точки А и В – различные, то хотя бы одна из разностей (2х₂ – 2х₁) и (2у₂ – 2у₁) будет не равна нулю, поэтому в (2) хотя бы один их коэффициентов а и b точно ненулевой. Это означает, что уравнение (2) является уравнением первой степени. Заметим, что (2) называют общим уравнением прямой, так как оно описывает любую прямую на плоскости. При более глубоком изучении геометрии вы познакомитесь с множеством других видов уравнений прямой (нормальным, каноническим, тангенциальным, параметрическим и т. п.).

В последнем примере коэффициент с равен нулю, поэтому его просто не записали.

Заметим важный аспект – одна и та же прямая может описываться различными уравнениями вида (2). Например, пусть уравнение прямой выглядит так:

Это уравнение равносильно предыдущему, хотя у них и различны коэффициенты а, b и c. Это значит, что однозначно определить эти коэффициенты при решении задач в большинстве случаев невозможно. Поэтому удобней рассмотреть два отдельных случая.

1) Если коэффициент b в уравнении прямой (2) не равен нулю, то его можно привести к виду:

получим линейную функцию:

y = kx + d (3)

Из курса алгебры мы помним, что ее графиком как раз является прямая. В большинстве случаев уравнение прямой удобно записывать именно в таком виде. Напомним, что число k называется угловым коэффициентом прямой.Поэтому (3) так и называют – уравнением прямой с угловым коэффициентом. В качестве примера подобных уравнений можно привести:

Каждое из них описывает вертикальную прямую, параллельную оси Оу.

Задание. Прямая задана уравнением

4x + 2y + 6 = 0

Постройте ее на координатной плоскости

Решение. Для построения прямой надо всего лишь найти две различные точки, лежащие на ней, и соединить их. Мы будем брать произвольные значения координаты х, подставлять их в уравнение и находить соответствующее им значение координаты у. Подставим х = 1:

Получили другую точку (– 1; – 1). Осталось отметить эти две точки на и соединить их:

Задание. Составьте уравнение прямой, проходящей через точки D(1; 10) и Е(– 1; – 4).

Решение. Задачу можно решить разными способами.

Способ 1 – универсальный и более сложный.

В общем виде уравнение прямой выглядит так:

ax + by + c = 0

Нам надо найти коэффициенты а, b и c. Для этого просто подставляем координаты известных точек в уравнение. Начнем с координат D:

Нам удалось выразить коэффициента двумя различными выражениями (1) и (2). Так как в них одинаковы левые части, то можно приравнять и правые части:

Мы можем взять любое значение коэффициента с (кроме нуля), и при этом получатся различные, но равносильные друг другу уравнения. Удобно взять с = 3, тогда в уравнении исчезнут дроби:

Это и есть ответ задания.

Далее рассмотрим более простой способ, который, однако, может потребовать анализа различных вариантов.

Способ 2

Уравнение прямой может иметь либо вид

y = kx + d

если прямая является графиком линейной функции, либо вид

x = C

если прямая параллельна оси Оу. Во втором случае у всех точек прямой абсцисса должна быть одинакова, однако у точек D(1; 10) и Е(– 1; – 4) она различна, поэтому ее точно можно описать уравнением

y = kx + d

Надо найти коэффициенты k и d. Подставим в уравнение координаты D(1; 10):

Итак, уравнение можно записать так:

Задание. Запишите уравнение прямой, если ей принадлежат точки:

Подставим сюда уже известное нам значение d:

В (1) и (2) мы выразили d с помощью разных выражений, которые теперь можно приравнять:

То, что коэффициент k оказался нулевым, означает, что прямая параллельна оси Ох.

в) Попытаемся сделать те же действия, что и в двух предыдущих примерах, подставляя точки в уравнение у = kx + d:

На этот раз мы не смогли найти коэффициент k, а вместо этого получили ошибочное равенство. То есть уравнение просто не имеет решений. Что же это значит? Из этого факта следует, что в этом примере уравнение прямой НЕ может иметь вид

y = kx + b

Значит, оно имеет другой вид:

x = C

Действительно, у обеих точек (2; 7) и (2; одинаковы абсциссы. Это значит, что прямая, проходящая через них, вертикальная. Коэффициент С как раз равен значению этой абсциссы, так что уравнение выглядит так:

x = 2

Ответ а) у = 1,5х + 3; б) у = 8; в) х = 2.

Задание. Найдите площадь треугольника MON, изображенного на рисунке, если известно, что M и N лежат на прямой, задаваемой уравнением:

Решение. ∆MON – прямоугольный, и для вычисления его площади нужно найти длины OM и ON. По рисунку видно, что М лежит на оси Ох, то есть у неё ордината нулевая:

y_M = 0

Зная это, легко найдем и абсциссу М, ведь координаты М при их подстановке в уравнение прямой должны давать верное равенство:

Далее рассмотрим точку N. Она уже лежит на Оу, а потому у нее нулевой оказывается абсцисса:

Напомним, что площадь прямоугольного треугольника может быть вычислена по формуле:

Задачи на пересечение двух фигур

Метод координат помогает находить точки, в которых пересекаются те или иные геометрические фигуры. В большинстве случаев надо просто составить систему из уравнений, задающих эти фигуры, и найти их общее решение. В курсе алгебры мы уже рассматривали как решение простых, в основном линейных систем, так и решение более сложных, нелинейных систем. Рассмотрим несколько задач на эту тему.

Задание. Две прямые заданы уравнениями:

Определите, в какой точке они пересекаются.

Решение. Если точка пересечения прямых существует, то ее координаты являются решением каждого из двух уравнений. Таким, образом, нам надо просто решить систему:

Мы нашли единственное решение системы – это пара чисел (3; – 2). Эта же пара определяет координаты искомой нами точки.

Ответ: (3; – 2).

Задание. Найдите точки пересечения окруж-ти и прямой, если они задаются уравнениями

Решаем квадратное уравнение, используя дискриминант:

Мы нашли два различных значения у. Это значит, что прямая пересекается с окруж-тью в двух различных точках, а найденные нами числа – их ординаты. Отметим, что возможны случаи, когда корень только один (и тогда у окруж-ти с прямой одна общая точка, то есть они касаются), и когда корней вовсе нет (тогда окруж-ть и прямая не пересекаются). В нашем же примере осталось найти абсциссы точек. Для этого используем уравнение (3):

Получили в итоге пары точек (3; и (6; 7), в которых заданная окруж-ть и прямая пересекаются.

Ответ: (3; и (6; 7).

Задание. Две окруж-ти заданы уравнениями:

Для ее решения сначала раскроем скобки в обоих уравнениях и приведем подобные слагаемые:

Нам удалось выразить у через х. Теперь снова запишем одно из исходных уравнений окруж-ти, но заменим в нем у с помощью только что найденного выражения:

Мы нашли абсциссы точек пересечения окруж-тей, теперь можно вернуться к (1), чтобы найти и ординаты:

Получили точки (5; 2) и (4; 3).

Ответ:(5; 2) и (4; 3).

В конце решим одну задачу чуть более высокого уровня сложности.

Задание. К окруж-ти радиусом 5, чей центр совпадает с началом координат, построена касательная в точке (3; 4). Составьте уравнение этой касательной.

Решение. Сначала составим уравнение окруж-ти. Так как ее центр находится в начале координат, а радиус имеет длину 5, то оно примет вид:

Нам надо найти коэффициенты k и d, а для этого надо составить какие-нибудь уравнения с этими переменными. Нам известно, что касательная проходит через точку (3; 4), а потому эти координаты можно подставить в (2):

Обратите внимание, что мы получили квадратное уравнение относительно переменной х. Если бы нам были известны k и d, то мы смогли бы его решить, и тогда мы определили бы точки пересечения прямой и окруж-ти. В этой задаче k и d нам неизвестны, но мы знаем, что окруж-ть и прямая касаются, то есть имеют ровно одну общую точку. Но тогда и квадратное уравнение (4) должно иметь только одно решение! Это означает, что его дискриминант равен нулю. Сначала выпишем коэффициенты квадратного уравнения, используемые при вычислении дискриминанта:

Теперь у нас есть два уравнения, (3) и (5), которые содержат только переменные k и d. Осталось лишь совместно решить их. Для этого подставим (3) в (5):

В рамках урока мы выяснили, как выглядят уравнения окруж-ти и прямой, а также научились решать несколько типовых заданий, в которых эти уравнения необходимо использовать. Хотя формулы, используемые при этом, могут показаться слишком сложными, главное – просто набить руку в их применении, решая как можно больше задач.