Как найти уровень нормального распределения

Нормальное распределение

где a -математическое ожидание, — среднее квадратическое отклонение.

Тестирование данных на нормальность является достаточно частым этапом первичного анализа данных, так как большое количество статистических методов использует тот факт, что данные распределены нормально. Если выборка не подчиняется нормальному закону, тогда предположении о параметрических статистических тестах нарушаются, и должны использоваться непараметрические методы статистики

Нормальное распределение естественным образом возникает практически везде, где речь идет об измерении с ошибками. Например, координаты точки попадания снаряда, рост, вес человека имеют нормальный закон распределения. Более того, центральная предельная теорема вообще утверждает, что сумма большого числа слагаемых сходится к нормальной случайной величине, не зависимо от того, какое было исходное распределение у выборки. Таким образом, данная теорема устанавливает условия, при которых возникает нормальное распределение и нарушение которых ведет к распределению, отличному от нормального.

Можно выделить следующие этапы проверки выборочных значений на нормальность

• Подсчет основных характеристик выборки. Выборочное среднее, медиана, коэффициенты асимметрии и эксцесса.

• Графический. К этому методу относится построение гистограммы и график квантиль-квантиль или кратко QQ

• Статистические методы. Данные методы вычисляют статистику по данным и определяют, какая вероятность того, что данные получены из нормального распределения

При нормальном распределении, которое симметрично, значения медианы и выборочного среднего будут одинаковы, значения эксцесса равно 3, а асимметрии равно нулю. Однако ситуация, когда все указанные выборочные характеристики равны именно таким значениям, практически не встречается. Поэтому после этапа подсчета выборочных характеристик можно переходить к графическому представлению выборочных данных.

Гистограмма позволяет представить выборочные данные в графическом виде – в виде столбчатой диаграммы, где данные делятся на заранее определенное количество групп. Вид гистограммы дает наглядное представление функции плотности вероятности некоторой случайной величины, построенной по выборке.

 График QQ (квантиль-квантиль) является графиком вероятностей, который представляет собой графический метод сравнения двух распределений путем построения их квантилей. QQ график сравнивает наборы данных теоретических и выборочных (эмпирических) распределений. Если два сравниваемых распределения подобны, тогда точки на графике QQ будут приблизительно лежать на линии y=x. Основным шагом в построении графика QQ является расчет или оценка квантилей.

Существует множество статистических тестов, которые можно использовать для проверки выборочных значений на нормальность. Каждый тест использует разные предположения и рассматривает разные аспекты данных.

Чтобы применять статистические критерии сформулируем задачу. Выдвигаются две гипотезы H0 и H1, которые утверждают 

H0 — Выборка подчиняется нормальному закону распределения

H1 — Выборка не подчиняется нормальному распределению

Установи уровень значимости alpha=0,05.

Теперь задача состоит в том, чтобы на основании какого-то критерия отвергнуть или принять основную нулевую гипотезу при уровне значимости

Критерий Шапиро-Уилка

Критерий Шапиро-Уилка основан на отношении оптимальной линейной несмещенной оценки дисперсии к ее обычной оценке методом максимального правдоподобия. Статистика критерия имеет вид

Числитель является квадратом оценки среднеквадратического отклонения Ллойда. Коэффициенты и критические значения статистики являются табулированными значениями.  Если , то нулевая гипотеза нормальности распределения отклоняется на уровне значимости .

В Python функция содержится в библиотеке scipy.stats и возвращает как статистику, рассчитанную тестом, так и значение p. В Python можно использовать выборку до 5000 элементов. Интерпретация вывода осуществляется следующим образом

Если значение , тогда принимается гипотеза H0, в противном случае, т.е. если, , тогда принимается гипотеза H1, т.е. что выборка не подчиняется нормальному закону.

Критерий Д’Агостино

В данном критерии в качестве статистики для проверки нормальности распределения используется отношение оценки Даутона для стандартного отклонения к выборочному стандартному отклонению, оцененному методом максимального правдоподобия 

В качестве статистики критерия Д’Агостино используется величина

значение которой рассчитывается на основе центральной предельной теоремы, которая утверждает, что при

гдестандартная нормальная случайная величина.

Критические значения являются табулированными значениями. Гипотеза нормальности принимается, если значение статистики лежит в интервале критических значений. Данный критерий показывает хорошую мощность против большого спектра альтернатив, по мощности немного уступая критерию Шапиро-Уилка.

В Python функция normaltest() также содержится в библиотеке scipy.stats и возвращает статистику теста и значение p. Интерпретация результата аналогична результатам в критерии Шапиро-Уилка.

Критерий согласия— Пирсона

Данный критерий является одним из наиболее распространенных критериев проверки гипотез о виде закона распределения и позволяет проверить значимость расхождения эмпирических (наблюдаемых) и теоретических (ожидаемых) частот. Таким образом, данный критерий позволяет проверить гипотезу о принадлежности наблюдаемой выборки некоторому теоретическому закону. Можно сказать, что критерий является универсальным, так как позволяет проверить принадлежность выборочных значений практическому любому закону распределения.

Для решения задачи используется статистика — Пирсона

          

где — эмпирические частоты (подсчитывается число элементов выборки, попавших в интервал), — теоретические частоты. Подсчитывается критическое значение . Если , отклоняется гипотеза  о принадлежности выборки нормальному распределению и принимается, если .

Теперь перейдем к практической части. Для демонстрации функций будем использовать Dataset, взятый с сайта kaggle.com по прогнозированию инсульта по 11 клиническим характеристикам.

Загружаем необходимые библиотеки

import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns
import numpy as np

 Загружаем датасет

data_healthcares = pd.read_csv('E:/vika/healthcare-dataset-stroke-data.csv')

Набор состоит из 5110 строк и 12 столбцов.

Посмотрим на основные характеристики, каждого признака.
data_healthcares.describe()

Из данных характеристик можно увидеть, что есть пропущенные значения в показателях индекс массы тела. Посчитаем количество пропущенных значений.

Если бы нам необходимо было делать модель для прогноза, то пропущенные значения bmi являются достаточно большой проблемой, в которой возникает вопрос как их восстановить. Поэтому будем предполагать, что значения столбца bmi (индекс массы тела) подчиняются нормальному закону распределения (предварительно был построен график распределения, поэтому сделано такое предположение). Но так как, на данный момент, у нас нет необходимости в построении модели для прогноза, то удалим все пропущенные значения

new_data=data_healthcares.dropna()

Теперь можем приступать к проверке выборочных значений показателя bmi на нормальность. Вычислим основные выборочные характеристики

После вычислений основных характеристик мы видим, что выборочное среднее и медиана можно сказать принимают одинаковые значения и коэффициент эксцесса равен 3. Но, к сожалению коэффициент асимметрии равен 1, что вводить нас в некоторое замешательство, т.е. мы уже можем предположить, что значения bmi не подчиняются нормальному закону. Продолжим исследования, перейдем к построению графиков.

Строим гистограмму

fig = plt.figure
fig,ax= plt.subplots(figsize=(7,7))
sns.distplot(new_data.bmi,color='red',label='bmi',ax=ax)
plt.show()

Гистограмма достаточно хорошо напоминает нормальное распределение, кроме конечно, небольшого выброса справа, но смотрим дальше. Тут скорее, можно предположить, что значения bmi подчиняются распределению .

Строим QQ график. В python есть отличная функция qqplot(), содержащаяся в библиотеке statsmodel, которая позволяет строить как раз такие графики.

from statsmodels.graphics.gofplots import qqplot
from matplotlib import pyplot
qqplot(new_data.bmi, line=’s’)
Pyplot.show

Что имеем из графика QQ? Наши выборочные значений имеют хвосты слева и справа, и также в правом верхнем углу значения становятся разреженными. 

 На основе данных графика можно сделать вывод, что значения bmi не подчиняются нормальному закону распределения. Рядом приведен пример QQ графика распределения хи-квадрат с 8 степенями свободы из выборки в 1000 значений.

Для примера построим график QQ для выборки из нормального распределения с такими же показателями стандартного отклонения и среднего, как у bmi.

std=new_data.bmi.std() # вычисляем отклонение
mean=new_data.bmi.mean() #вычисляем среднее
Z=np.random.randn(4909)*std+mean # моделируем нормальное распределение
qqplot(Z,line='s') # строим график
pyplot.show()

Продолжим исследования. Перейдем к статистическим критериям. Будем использовать критерий Шапиро-Уилка и Д’Агостино, чтобы окончательно принять или опровергнуть предположение о нормальном распределении. Для использования критериев подключим библиотеки

from scipy.stats import shapiro
from scipy.stats import normaltest
shapiro(new_data.bmi)
ShapiroResult(statistic=0.9535483717918396, pvalue=6.623218133972133e-37)
Normaltest(new_data.bmi)
NormaltestResult(statistic=1021.1795052962864, pvalue=1.793444363882936e-222)

После применения двух тестов мы имеем, что значение p-value намного меньше заданного критического значения alpha , значит выборочные значения не принадлежат нормальному закону.

Конечно, мы рассмотрели не все тесты на нормальности, которые существуют. Какие можно дать рекомендации по проверке выборочных значений на нормальность. Лучше использовать все возможные варианты, если они уместны.

На этом все. Еще хочу порекомендовать бесплатный вебинар, который 15 июня пройдет на платформе OTUS в рамках запуска курса Математика для Data Science. На вебинаре расскажут про несколько часто используемых подходов в анализе данных, а также разберут, какие математические идеи работают у них под капотом и почему эти подходы вообще работают так, как нам нужно. Регистрация на вебинар доступна по этой ссылке.

Как определить, является ли распределение нормальным?

Если
установлено, что исследуемые значения
имеют количественный характер, следует
проверить выборку на нормальность
распределения. Это можно сделать
несколькими способами.

Первый
способ проверки выборки на нормальность
распределения

Прежде
всего, нужно вычислить показатели
асимметрии и эксцесса, используя
программу Excel,
имеющуюся практически на всех компьютерах.
Для этого в таблицу программы следует
поместить результаты измерений. Пусть
это будет ряд значений, полученных на
выборке из 25 объектов: 9 10 10 10 11
11 11 11 12 12 12 12 12 12 12 13 13 13 13
14 14 15 15 16 17

Данные
могут располагаться как в виде строки,
так и в виде колонки. Далее, нажатием
кнопки с символами f_x,
расположенной
ниже панели инструментов, вызываем
мастер функций. В верхнем окне выбираем
категорию «Статистические», а в нижнем
— пункт «Скос». Возвращаемся к таблице
с результатами измерений, и, выделяя
набранные ранее цифры, помещаем их
значения в открывшееся окно «Аргументы
функций». На правой стороне окна
появляется результат вычислений –
0,579. Это и есть значение показателя
асимметрии, характеризующего степени
отклонения вершины кривой распределения
от его центра. Можно сказать, что
показатель асимметрии отражает отклонение
вершины реальной кривой распределения
от идеальной по оси абсцисс.

По
схожему алгоритму вычисляем величину
показателя эксцесса характеризующего
подъем или снижение вершины распределения,
то есть – отклонения по оси ординат.
Для того, чтобы произвести расчет данного
показателя, следует выбрать пункт
«эксцесс». В окне «Аргументы функций»
получим его значение – 0,116.

При
наличии статистических таблиц критических
значений асимметрии и эксцесса (в данном
учебном пособии это таблицы 9 и 10)
вычисленные значения сравниваются с
табличными. Если оба
(!) показателя окажутся меньше табличных
величин, то распределение может считаться
нормальным.

Для
нашего примера табличное значение
показателя асимметрии находим на
пересечении строки n
= 25 и колонки
р ≤ 0,01
(предположим,
что мы
анализируем
результаты
достаточно важных экспериментов и
считаем, что вероятность ошибки
статистического заключения не должна
превышать 1%). Это число составляет 1,061.
Так как вычисленное значение показателя
асимметрии 0,579 оказывается гораздо
меньше табличной величины 1,061, можно
сделать заключение, что отклонение
вершины распределения по оси абсцисс
не столь значительно, чтобы отказаться
от применения параметрических методов.

В
таблице 10 находим критическое значение
показателя эксцесса.
Для
n
= 26 (так как
в таблице
отсутствует строка для n
= 25, переходим
к ближайшей строке)
и

р
≤ 0,01 оно
составляет 0,869.
И снова
фактическое значение показателя 0,116
оказывается меньше табличного 0, 869.
Отсюда следует, что отклонение вершины
распределения по оси ординат также
несущественно и его можно считать
нормальным. То, что оба показателя
оказались меньше критических табличных
величин, дает основание для последующего
применения параметрических критериев.

Второй
способ проверки выборки на нормальность
распределения

При
отсутствии таблиц критических значений
асимметрии и эксцесса следует произвести
расчеты не только этих показателей, но
и их выборочных ошибок.

Ошибка
показателя асимметрии производится по
формуле:

Для
нашего примера
она составит:

Выборочная
ошибка эксцесса рассчитывается по
другой формуле:

в
результате получим:

Далее
следует разделить показатели асимметрии
и эксцесса на их ошибки.

Частное
от деления показателей асимметрии и
эксцесса на их ошибки определяется как
t_ф (фактическое
значение) и сравнивается с t_т,табличное
значение),
взятым из
таблицы Стьюдента (таблица 6), при
соответствующем уровне значимости и
числе степеней свободы. Если фактическое
значение критерия Стьюдента окажется
меньше табличного, распределение
признается нормальным, и, наоборот, если
фактическое значение окажется больше
табличного, следует сделать вывод о
несоответствии распределения нормальному
закону.

Для
показателя асимметрии получаем следующее
значение t-критерия:

Число
степеней свободы (df),
определяющее строку в таблице Стьюдента,
находим как n-1.
Следовательно, df
= 25-1=24. Уровень значимости (вероятность
ошибки статистического заключения),
определяющий колонку в таблице Стьюдента,
оставляем 1%. На пересечении строки df
=24 и колонки р
≤ 0,01 находим
табличное значение критерия t_т
= 2,80_.
Так как t_ф (1,25)
оказывается
гораздо
меньше чем t_т
(2,80), можно
заключить, что и второй способ проверки
указывает на незначительность асимметрии
кривой распределения.

Фактическое
значения t-критерия
для показателя эксцесса рассчитываем
по формуле
Таким образом, не только для асимметрии,
но и для эксцесса t_ф
(0,129)
оказывается
существенно
меньше чем t_т
(2,80), что опять
же указывает на нормальность распределения.

Третий
способ проверки выборки на нормальность
распределения

Проще всего задача
решается, если имеется компьютер с
установленной на ней программой
Statistica. После ввода данных в таблицу
вызывается стартовая панель модуля
Основные
статистики и таблицы
(Basic
Statistics/Tables).
В средней части окна Descriptive
Statistics
(Описательные статистики) слева находится
блок проверки распределений (Distribution).
Чтобы проверить, относятся ли показатели
выбранной переменной к распределяемым
по нормальному закону, нужно поставить
галочку в окне возле пункта K-S
and Lilliefors test for normality (Критерий
Колмогорова-Смирнова и Лилиефорса для
нормальности)
и нажать на кнопку Histograms
(гистограммы). В появившемся окне
приводятся гистограмма распределения
значений переменной и наложенная на
нее кривая нормального распределения,
сопоставление которых позволяет
визуально оценить характер распределения.

В
верхней части окна указывается
достоверность отличия проверяемого
распределения от нормального,
характеризуемая уровнем значимости р
(вероятность неправильного отвержения
гипотезы, если она верна). Если уровень
значимости р<0,05, то распределение
отлично от нормального на основании
соответствующего критерия. И наоборот,
если р>0,05, как на рисунке, то наблюдаемая
величина распределена нормально. Зная
вид распределения, в дальнейшей обработке
можно применить оптимальные статистические
методы.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Электронный учебник

Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины

, плотность которого имеет вид:

где

 –
математическое ожидание,

 –
среднее квадратическое отклонение

.

Вероятность того, что

 примет
значение, принадлежащее интервалу

:

где  

 – функция Лапласа:

Вероятность того, что абсолютная
величина отклонения меньше положительного числа

:

В частности, при

 справедливо
равенство:

Асимметрия, эксцесс,
мода и медиана нормального распределения соответственно равны:

,  где

Правило трех сигм

Преобразуем формулу:

Положив

. В итоге получим

если

, и, следовательно,

, то

то есть вероятность того, что
отклонение по абсолютной величине будет меньше утроенного среднего квадратического отклонение, равна 0,9973.

Другими словами, вероятность того,
что абсолютная величина отклонения превысит утроенное среднее квадратическое отклонение, очень мала, а именно равна
0,0027. Это означает, что лишь в 0,27% случаев так может произойти. Такие
события исходя из принципа невозможности маловероятных
событий можно считать практически невозможными. В этом и состоит
сущность правила трех сигм: если случайная величина распределена нормально, то
абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит
утроенного среднего квадратического отклонения.

На практике правило трех сигм
применяют так: если распределение изучаемой случайной величины неизвестно, но
условие, указанное в приведенном правиле, выполняется, то есть основание
предполагать, что изучаемая величина распределена нормально; в противном случае
она не распределена нормально.

Смежные темы решебника:

• Таблица значений функции Лапласа
• Непрерывная случайная величина
• Показательный закон распределения случайной величины
• Равномерный закон распределения случайной величины

Пример 2

Ошибка
высотометра распределена нормально с математическим ожиданием 20 мм и средним
квадратичным отклонением 10 мм.

а) Найти
вероятность того, что отклонение ошибки от среднего ее значения не превзойдет 5
мм по абсолютной величине.

б) Какова
вероятность, что из 4 измерений два попадут в указанный интервал, а 2 – не
превысят 15 мм?

в)
Сформулируйте правило трех сигм для данной случайной величины и изобразите
схематично функции плотности вероятностей и распределения.

Решение

а) Вероятность того, что случайная величина, распределенная по
нормальному закону, отклонится от среднего не более чем на величину

:

В нашем
случае получаем:

б) Найдем
вероятность того, что отклонение ошибки от среднего значения не превзойдет 15
мм:

Пусть событие

 – ошибки 2
измерений не превзойдут 5 мм и ошибки 2 измерений не превзойдут 0,8664 мм

 – ошибка не
превзошла 5 мм;

 – ошибка не
превзошла 15 мм

в)
Для заданной нормальной величины получаем следующее правило трех сигм:

Ошибка высотометра будет лежать в интервале:

Функция плотности вероятностей:

График плотности распределения нормально распределенной случайной величины

Функция распределения:

График функции
распределения нормально распределенной случайной величины

Задача 1

Среднее
количество осадков за июнь 19 см. Среднеквадратическое отклонение количества
осадков 5 см. Предполагая, что количество осадков нормально-распределенная
случайная величина найти вероятность того, что будет не менее 13 см осадков.
Какой уровень превзойдет количество осадков с вероятностью 0,95?

---

Задача 2

Найти
закон распределения среднего арифметического девяти измерений нормальной
случайной величины с параметрами m=1.0 σ=3.0. Чему равна вероятность того, что
модуль разности между средним арифметическим и математическим ожиданием
превысит 0,5?

Указание:
воспользоваться таблицами нормального распределения (функции Лапласа).

---

Задача 3

Отклонение
напряжения в сети переменного тока описывается нормальным законом
распределения. Дисперсия составляет 20 В. Какова вероятность при изменении
выйти за пределы требуемых 10% (22 В).

---

Задача 4

Автомат
штампует детали. Контролируется длина детали Х, которая распределена нормально
с математическим ожиданием (проектная длинна), равная 50 мм. Фактическая длина
изготовленных деталей не менее 32 и не более 68 мм. Найти вероятность того, что
длина наудачу взятой детали: а) больше 55 мм; б) меньше 40 мм.

---

Задача 5

Случайная
величина X распределена нормально с математическим ожиданием a=10и средним
квадратическим отклонением  σ=5. Найти
интервал, симметричный относительно математического ожидания, в котором с
вероятностью 0,9973 попадает величина Х в результате испытания.

---

Задача 6

Заданы
математическое ожидание a_x=19 и среднее квадратическое отклонение σ=4
нормально распределенной случайной величины X. Найти: 1) вероятность
того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (α=15;
β=19); 2) вероятность того, что абсолютная величина отклонения значения
величины от математического ожидания окажется меньше δ=18.

---

Задача 7

Диаметр
выпускаемой детали – случайная величина, распределенная по нормальному закону с
математическим ожиданием и дисперсией, равными соответственно 10 см и 0,16 см².
Найти вероятность того, что две взятые наудачу детали имеют отклонение от
математического ожидания по абсолютной величине не более 0,16 см.

---

Задача 8

Ошибка
прогноза температуры воздуха есть случайная величина с m=0,σ=2℃. Найти вероятность
того, что в течение недели ошибка прогноза трижды превысит по абсолютной
величине 4℃.

---

Задача 9

Непрерывная
случайная величина X распределена по нормальному 
закону: X∈N(a,σ).

а) Написать
плотность распределения вероятностей и функцию распределения.

б) Найти
вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значение
из интервала (α,β).

в) Определить
приближенно минимальное и максимальное значения случайной величины X.

г) Найти
интервал, симметричный относительно математического ожидания a, в котором с
вероятностью 0,98 будут заключены значения X.

a=5; σ=1.3; 
α=4; β=6

---

Задача 10

Производится измерение вала без
систематических ошибок. Случайные ошибки измерения X
подчинены нормальному закону с σ_x=10.  Найти вероятность того, что измерение будет
произведено с ошибкой, превышающей по абсолютной величине 15 мм.

---

Задача 11

Высота
стебля озимой пшеницы — случайная величина, распределенная по нормальному закону
с параметрами a = 75 см, σ = 1 см. Найти вероятность того, что высота стебля:
а) окажется от 72 до 80 см; б) отклонится от среднего не более чем на 0,5 см.

---

Задача 12

Деталь,
изготовленная автоматом, считается годной, если отклонение контролируемого
размера от номинала не превышает 10 мм. Точность изготовления деталей
характеризуется средним квадратическим отклонением, при данной технологии
равным 5 мм.

а)
Считая, что отклонение размера детали от номинала есть нормально распределенная
случайная величина, найти долю годных деталей, изготовляемых автоматом.

б) Какой
должна быть точность изготовления, чтобы процент годных деталей повысился до
98?

в)
Написать выражение для функции плотности вероятности и распределения случайной
величины.

---

Задача 13

Диаметр
детали, изготовленной цехом, является случайной величиной, распределенной по
нормальному закону. Дисперсия ее равна 0,0001 см, а математическое ожидание –
2,5 см. Найдите границы, симметричные относительно математического ожидания, в
которых с вероятностью 0,9973 заключен диаметр наудачу взятой детали. Какова
вероятность того, что в серии из 1000 испытаний размер диаметра двух деталей
выйдет за найденные границы?

---

Задача 14

Предприятие
производит детали, размер которых распределен по нормальному закону с
математическим ожиданием 20 см и стандартным отклонением 2 см. Деталь будет
забракована, если ее размер отклонится от среднего (математического ожидания)
более, чем на 2 стандартных отклонения. Наугад выбрали две детали. Какова вероятность
того, что хотя бы одна из них будет забракована?

---

Задача 15

Диаметры
деталей распределены по нормальному закону. Среднее значение диаметра равно d=14 мм
, среднее квадратическое
отклонение σ=2 мм
. Найти вероятность того,
что диаметр наудачу взятой детали будет больше α=15 мм и не меньше β=19 мм; вероятность того, что диаметр детали
отклонится от стандартной длины не более, чем на Δ=1,5 мм.

---

Задача 16

В
электропечи установлена термопара, показывающая температуру с некоторой
ошибкой, распределенной по нормальному закону с нулевым математическим
ожиданием и средним квадратическим отклонением σ=10℃. В момент когда термопара
покажет температуру не ниже 600℃, печь автоматически отключается. Найти
вероятность того, что печь отключается при температуре не превышающей 540℃ (то
есть ошибка будет не меньше 30℃).

---

Задача 17

Длина
детали представляет собой нормальную случайную величину с математическим
ожиданием 40 мм и среднеквадратическим отклонением 3 мм. Найти:

а)
Вероятность того, что длина взятой наугад детали будет больше 34 мм и меньше 43
мм;

б)
Вероятность того, что длина взятой наугад детали отклонится от ее
математического ожидания не более, чем на 1,5 мм.

---

Задача 18

Случайное
отклонение размера детали от номинала распределены нормально. Математическое
ожидание размера детали равно 200 мм, среднее квадратическое отклонение равно
0,25 мм, стандартами считаются детали, размер которых заключен между 199,5 мм и
200,5 мм. Из-за нарушения технологии точность изготовления деталей уменьшилась
и характеризуется средним квадратическим отклонением 0,4 мм. На сколько
повысился процент бракованных деталей?

---

Задача 19

Случайная
величина X~N(1,2²). Найти P{2

---

Задача 20

Заряд пороха для охотничьего ружья
должен составлять 2,3 г. Заряд отвешивается на весах, имеющих ошибку
взвешивания, распределенную по нормальному закону со средним квадратическим
отклонением, равным 0,2 г. Определить вероятность повреждения ружья, если максимально
допустимый вес заряда составляет 2,8 г.

---

Задача 21

Заряд
охотничьего пороха отвешивается на весах, имеющих среднеквадратическую ошибку
взвешивания 150 мг. Номинальный вес порохового заряда 2,3 г. Определить
вероятность повреждения ружья, если максимально допустимый вес порохового
заряда 2,5 г.

---

Задача 21

Найти
вероятность попадания снарядов в интервал (α₁=10.7; α₂=11.2).
Если случайная величина X распределена по
нормальному закону с параметрами m=11; 
σ=0.2.

---

Задача 22

Плотность
вероятности распределения случайной величины имеет вид

Найти
вероятность того, что из 3 независимых случайных величин, распределенных по
данному закону, 3 окажутся на интервале (-∞;5).

---

Задача 23

Непрерывная
случайная величина имеет нормальное распределение. Её математическое ожидание
равно 12, среднее квадратичное отклонение равно 2. Найти вероятность того, что
в результате испытания случайная величина примет значение в интервале (8,14)

---

Задача 24

Вероятность
попадания нормально распределенной случайной величины с математическим
ожиданием m=4 в интервал (3;5) равна 0,6. Найти дисперсию данной случайной
величины.

---

Задача 25

В
нормально распределенной совокупности 17% значений случайной величины X
 меньше 13% и 47% значений случайной величины X
больше 19%. Найти параметры этой совокупности.

---

Задача 26

Студенты
мужского пола образовательного учреждения были обследованы на предмет
физических характеристик и обнаружили, что средний рост составляет 182 см, со
стандартным отклонением 6 см. Предполагая нормальное распределение для роста,
найдите вероятность того, что конкретный студент-мужчина имеет рост более 185
см.

Содержание:

Нормальный закон распределения:

Нормальный закон распределения имеет плотность вероятности

где

График функции плотности вероятности (2.9.1) имеет максимум в точке а точки перегиба отстоят от точки на расстояние При функция (2.9.1) асимптотически приближается к нулю (ее график изображен на рис. 2.9.1).

Помимо геометрического смысла, параметры нормального закона распределения имеют и вероятностный смысл. Параметр равен математическому ожиданию нормально распределенной случайной величины, а дисперсия Если т.е. X имеет нормальный закон распределения с параметрами и то 

где – функция Лапласа

Значения функции можно найти по таблице (см. прил., табл. П2). Функция Лапласа нечетна, т.е. Поэтому ее таблица дана только для неотрицательных График функции Лапласа изображен на рис. 2.9.2. При значениях  она практически остается постоянной. Поэтому в таблице даны значения функции только для При значениях можно считать, что

Если то

Пример:

Случайная величина X имеет нормальный закон распределения Известно, что а  Найти значения параметров и

Решение. Воспользуемся формулой (2.9.2):

Так как  По таблице функции Лапласа (см. прил., табл. П2) находим, что   Поэтому или

Аналогично  Так как то По таблице функции Лапласа (см. прил., табл. П2) находим, что Поэтому или Из системы двух уравнений и находим, что а   т.е. Итак, случайная величина X имеет нормальный закон распределения N(3;4).

График функции плотности вероятности этого закона распределения изображен на рис. 2.9.3.

Ответ.

Пример:

Ошибка измерения X имеет нормальный закон распределения, причем систематическая ошибка равна 1 мк, а дисперсия ошибки равна 4 мк². Какова вероятность того, что в трех независимых измерениях ошибка ни разу не превзойдет по модулю 2 мк?

Решение. По условиям задачи Вычислим сначала вероятность того, что в одном измерении ошибка не превзойдет 2 мк. По формуле (2.9.2)

Вычисленная вероятность численно равна заштрихованной площади на рис. 2.9.4.

Каждое измерение можно рассматривать как независимый опыт. Поэтому по формуле Бернулли (2.6.1) вероятность того, что в трех независимых измерениях ошибка ни разу не превзойдет 2 мк, равна

Ответ. 

Пример:

Функция плотности вероятности случайной величины X имеет вид

Требуется определить коэффициент найти и определить тип закона распределения, нарисовать график функции вычислить вероятность

Замечание. Если каждый закон распределения из некоторого семейства законов распределения имеет функцию распределения , где – фиксированная функция распределения, a  то говорят, что эти законы распределения принадлежат к одному виду или типу распределений. Параметр называют параметром сдвига, – параметром масштаба.

Решение. Так как (2.9.4) функция плотности вероятности, то интеграл от нее по всей числовой оси должен быть равен единице:

Преобразуем выражение в показателе степени, выделяя полный квадрат:

Тогда (2.9.5) можно записать в виде

Сделаем замену переменных так, чтобы  т.е. Пределы интегрирования при этом останутся прежними. Тогда (2.9.6) преобразуется к виду

Умножим и разделим левую часть равенства на Получим равенство 

Так как   как интеграл по всей числовой оси от функции плотности вероятности стандартного нормального закона распределения N(0,1), то приходим к выводу, что

Поэтому

Последняя запись означает, что случайная величина имеет нормальный закон распределения с параметрами и График функции плотности вероятности этого закона изображен на рис. 2.9.5. Распределение случайной величины X принадлежит к семейству нормальных законов распределения. По формуле (2.9.2)

Ответ. 

Пример:

Цех на заводе выпускает транзисторы с емкостью коллекторного перехода  Сколько транзисторов попадет в группу  если в нее попадают транзисторы с емкостью коллекторного перехода от 1,80 до 2,00 пФ. Цех выпустил партию в 1000 штук.

Решение.

Статистическими исследованиями в цеху установлено, что  можно трактовать как случайную величину, подчиняющуюся нормальному закону.

Чтобы вычислить количество транзисторов, попадающих в группу  необходимо учитывать, что вся партия транзисторов имеет разброс параметров, накрывающий всю (условно говоря) числовую ось. То есть кривая Гаусса охватывает всю числовую ось, центр ее совпадает с  (т. к. все установки в цеху настроены на выпуск транзисторов именно с этой емкостью). Вероятность попадания отклонений параметров всех транзисторов на всю числовую ось равна 1. Поэтому нам необходимо фактически определить вероятность попадания случайной величины  в интервал  а затем пересчитать количество пропорциональной вероятности.

Для расчета этой вероятности надо построить математическую модель. Экспериментальные данные говорят о том, что нормальное распределение можно принять в качестве математической модели. Эмпирическая оценка (установлена статистическими исследованиями в цеху) среднего значения 

дает  оценка среднего квадратического отклонения 

Обозначая  подставим приведенные значения в (6.3):

Тогда количество транзисторов  попавших в интервал [1,8; 2,0] пФ, можно найти так:  Таким образом можно планировать и рассчитывать количество транзисторов, попадающих в ту или иную группу.

Нормальное распределение и его свойства

Если выйти на улицу любого города и случайным образом выбранных прохожих спросить о том, какой у них рост, вес, возраст, доход, и т.п., а потом построить график любой из этих величин, например, роста… Но не будем спешить, сначала посмотрим, как можно построить такой график.

Сначала, мы просто запишем результаты своего исследования. Потом, мы отсортируем всех людей по группам, так чтобы каждый попал в свой диапазон роста, например, «от 180 до 181 включительно».

После этого мы должны посчитать количество людей в каждой подгруппе-диапазоне, это будет частота попадания роста жителей города в данный диапазон. Обычно эту часть удобно оформить в виде таблички. Если затем эти частоты построить по оси у, а диапазоны отложить по оси х, можно получить так называемую гистограмму, упорядоченный набор столбиков, ширина которых равна, в данном случае, одному сантиметру, а длина будет равна той частоте, которая соответствует каждому диапазону роста. Если

Вам попалось достаточно много жителей, то Ваша схема будет выглядеть примерно так:

Дальше можно уточнить задачу. Каждый диапазон разбить на десять, жителей рассортировать по росту с точностью до миллиметра. Диаграмма станет глаже, но уменьшится по высоте, «оплывет» вниз, т.к. в каждом маленьком диапазоне количество жителей уменьшается. Чтобы избежать этого, просто увеличим масштаб по вертикальной оси в 10 раз. Если гипотетически повторить эту процедуру несколько раз, будет вырисовываться та знаменитая колоколообразная фигура, которая характерна для нормального (или Гауссова) распределения. В результате, относительная частота встречаемости каждого конкретного диапазона роста может быть посчитана как отношение площади «ломтика» кривой, приходящегося на этот диапазон к площади подо всей кривой. Стандартизированные кривые нормального распределения, значения функций которых приводятся в таблицах книг по статистике, всегда имеют суммарную площадь под кривой равную единице. Это связано с тем, что, как Вы помните из курса теории вероятности, вероятность достоверного события всегда равна 100% (или единице), а для любого человека иметь хоть какое-то значение роста — достоверное событие. А вот вероятность того, что рост произвольного человека попадет в определенный выбранный нами диапазон, будет зависеть от трех факторов.

Во-первых, от величины такого диапазона — чем точнее наши требования, тем меньше вероятности, что нам повезет.

Во-вторых, от того, насколько «популярен» выбранный нами рост. Напомним, что мода — самое часто встречающееся значение роста. Кстати для нормального распределения мода, медиана и среднее значение совпадают. Кривая нормального распределения симметрична относительно среднего значения.

И, в-третьих, вероятность попадания роста в определенный диапазон зависит от характеристики рассеивания случайной величины. Отчасти это связано с единицами измерения (представьте, что мы бы измеряли людей в дюймах, а не в миллиметрах, но сами люди и их рост были бы теми же). Но дело не только в этом. Просто некоторые процессы кучнее группируются возле среднего значения, в то время как другие более разбросаны.

Например, рост собак и рост домашних кошек имеют разный разброс значений, их кривые нормального распределения будут выглядеть по-разному (напомним еще раз, что площадь под обеими кривыми будет единичной).

Так, кривая для роста кошек будет более узкой и высокой, а для роста собак кривая будет ниже и шире. Для характеристики разброса конечного ряда данных в прошлом разделе мы использовали величину среднего квадратического отклонения. Аналогичная величина используется для характеристики кривой нормального распределения. Она обозначается буквой s и называется в этом случае стандартным отклонением. Это очень важная величина для кривой нормального распределения. Кривая нормального распределения полностью задана, если известно среднее значение и отклонение s. Кроме того, любой житель города с вероятностью 68% попадет в диапазон роста с вероятностью 95% — в диапазон и с вероятностью 99,7% — в диапазон

Для вычисления других значений вероятности, которые могут Вам понадобиться, можно воспользоваться приведенной таблицей:

Таблица вероятности попадания случайной величины в отмеченный (заштрихованный) диапазон

Нормальный закон распределения

Нормальный закон распределения случайных величин, который иногда называют законом Гаусса или законом ошибок, занимает особое положение в теории вероятностей, так как 95 % изученных случайных величин подчиняются этому закону. Природа этих случайных величин такова, что их значение в проводимом эксперименте связано с проявлением огромного числа взаимно независимых случайных факторов, действие каждого из которых составляет малую долю их совокупного действия. Например, длина детали, изготавливаемой на станке с программным управлением, зависит от случайных колебаний резца в момент отрезания, от веса и толщины детали, ее формы и температуры, а также от других случайных факторов. По нормальному закону распределения изменяются рост и вес мужчин и женщин, дальность выстрела из орудия, ошибки различных измерений и другие случайные величины.

Определение: Случайная величина X называется нормальной, если она подчиняется нормальному закону распределения, т.е. ее плотность распределения задается формулой — средне-квадратичное отклонение, a m = М[Х] — математическое ожидание.

Приведенная дифференциальная функция распределения удовлетворяет всем свойствам плотности вероятности, проверим, например, свойство 4.:

Выясним геометрический смысл параметров Зафиксируем параметр и будем изменять параметр m. Построим графики соответствующих кривых (Рис. 8).

Рис. 8. Изменение графика плотности вероятности в зависимости от изменения математического ожидания при фиксированном значении средне-квадратичного отклонения. Из рисунка видно, кривая получается путем смещения кривой вдоль оси абсцисс на величину m, поэтому параметр m определяет центр тяжести данного распределения. Кроме того, из рисунка видно, что функция достигает своего максимального значения в точке Из этой формулы видно, что при уменьшении параметра значение максимума возрастает. Так как площадь под кривой плотности распределения всегда равна 1, то с уменьшением параметра кривая вытягивается вдоль оси ординат, а с увеличением параметра кривая прижимается к оси абсцисс. Построим график нормальной плотности распределения при m = 0 и разных значениях параметра (Рис. 9):

Рис. 9. Изменение графика плотности вероятности в зависимости от изменения средне-квадратичного отклонения при фиксированном значении математического ожидания.

Интегральная функция нормального распределения имеет вид:

График функции распределения имеет вид (Рис. 10):

Рис. 10. Графика интегральной функции распределения нормальной случайной величины.

Вероятность попадания нормальной случайной величины в заданный интервал

Пусть требуется определить вероятность того, что нормальная случайная величина попадает в интервал Согласно определению пересчитаем пределы интегрирования Следовательно,

Рассмотрим основные свойства функции Лапласа Ф(х):

1. Ф(0) = 0 — график функции Лапласа проходит через начало координат.
2. Ф (-х) = — Ф(х) — функция Лапласа является нечетной функцией, поэтому
3. таблицы для функции Лапласа приведены только для неотрицательных значений аргумента.
4. — график функции Лапласа имеет горизонтальные асимптоты

Следовательно, график функции Лапласа имеет вид (Рис. 11):

Рис. 11. График функции Лапласа.

Пример №1

Закон распределения нормальной случайной величины X имеет вид: Определить вероятность попадания случайной величины X в интервал (-1;8).

Решение:

Согласно условиям задачи Поэтому искомая вероятность равна: 0,4772 + 0,3413 = 0,8185.

Вычисление вероятности заданного отклонения

Вычисление вероятности заданного отклонения. Правило .

Если интервал, в который попадает нормальная случайная величина X, симметричен относительно математического ожидания то, используя свойство нечетности функции Лапласа, получим

Данная формула показывает, что отклонение случайной величины Х от ее математического ожидания на заданную величину l равна удвоенному значению функции Лапласа от отношения / к среднему квадратичному отклонению. Если положить случаях нормальная случайная величина X отличается от своего математического ожидания на величину равную среднему квадратичному отклонению. Если то вероятность отклонения равна Наконец, в случае то вероятность отклонения равна

Из последнего равенства видно, что только приблизительно в 0.3 % случаях отклонение нормальной случайной величины X от своего математического ожидания превышает Это свойство нормальной случайной величины X называется правилом “трех сигм”. На практике это правило применяется следующим образом: если отклонение случайной величины X от своего математического ожидания не превышает то эта случайная величина распределена по нормальному закону.

Показательный закон распределения

Определение: Закон распределения, определяемый фу нкцией распределения:

называется экспоненциальным или показательным.

График экспоненциального закона распределения имеет вид (Рис. 12):

Рис. 12. График функции распределения для случая экспоненциального закона.

Дифференциальная функция распределения (плотность вероятности) имеет вид: а ее график показан на (Рис. 13):

Рис. 13. График плотности вероятности для случая экспоненциального закона.

Пример №2

Случайная величина X подчиняется дифференциальной функции распределения Найти вероятность того, что случайная величина X попадет в интервал (2; 4), математическое ожидание M[Х], дисперсию D[X] и среднее квадратичное отклонение Проверить выполнение правила “трех сигм” для показательного распределения.

Решение:

Интегральная функция распределения следовательно, вероятность того, что случайная величина X попадет в интервал (2; 4), равна: Математическое ожидание Вычислим значение величины М тогда дисперсия случайной величины X равна а средне-квадратичное

отклонение Для проверки правила “трех сигм” вычислим вероятность заданного отклонения: