Как найти уровни ряда динамики

Определение среднего уровня ряда динамики.

В
качестве обобщенной характеристики
уровней ряда динамики служит средний
уровень ряда динамики
.
В зависимости от типа ряда динамики
используются различные расчетные
формулы.

Интервальный
ряд абсолютных величин с равными
периодами (интервалами времени):

Моментный
ряд с равными интервалами между датами:

Моментный
ряд с неравными интервалами между
датами:

где
— уровни ряда, сохраняющиеся без
изменения на протяжении интервала
времени.

Показатели изменения уровней ряда динамики.

Одним
из важнейших направлений анализа рядов
динамики является изучение особенностей
развития явления за отдельные периоды
времени.

С
этой целью для динамических рядов
рассчитывают ряд показателей:

К
— темпы роста;

—
абсолютные приросты;

—
темпы прироста.

Темп
роста
— относительный показатель, получающийся
в результате деления двух уровней
одного ряда друг на друга. Темпы роста
могут рассчитываться как цепные, когда
каждый уровень ряда сопоставляется с
предшествующим ему уровнем:
,
либо как базисные, когда все уровни
ряда сопоставляются с одним и тем же
уровнем,
выбранным за базу сравнения:. Темпы роста могут быть представлены
в виде коэффициентов либо в виде
процентов.

Абсолютный
прирост
— разность между двумя уровнями ряда
динамики, имеет ту же размерность, что
и уровни самого ряда динамики. Абсолютные
приросты могут быть цепными и базисными,
в зависимости от способа выбора базы
для сравнения:

цепной
абсолютный прирост —
;

базисный
абсолютный прирост —
.

Для
относительной оценки абсолютных
приростов рассчитываются показатели
темпов прироста.

Темп
прироста
— относительный показатель, показывающий
на сколько процентов один уровень ряда
динамики больше (или меньше) другого,
принимаемого за базу для сравнения.

Базисные
темпы прироста:
.

Цепные
темпы прироста:
.

и

—
абсолютный базисный или цепной прирост;

—
уровень ряда динамики, выбранный за
базу для определения базисных абсолютных
приростов;

—
уровень ряда динамики, выбранный за
базу для определения i-го цепного
абсолютного прироста.

Существует
связь между темпами роста и прироста:

К
= К — 1 или
К
= К — 100 % (если темпы роста определены в
процентах).

Если
разделить абсолютный прирост (цепной)
на темп прироста (цепной) за соответствующий
период, получим показатель, называемый
— абсолютное
значение одного процента
прироста:
.

Определение среднего абсолютного прироста, средних темпов роста и прироста.

По
показателям изменения уровней ряда
динамики (абсолютные приросты, темпы
роста и прироста), полученным в результате
анализа исходного ряда, могут быть
рассчитаны обобщающие показатели в
виде средних величин — средний абсолютный
прирост, средний темп роста, средний
темп прироста.

Средний
абсолютный прирост может быть получен
по одной из формул:

или
,

где
n — число уровней ряда динамики;

—
первый уровень ряда динамики;

—
последний уровень ряда динамики;

—
цепные абсолютные приросты.

Средний
темп роста можно определить, пользуясь
формулами:

где
n — число рассчитанных цепных или базисных
темпов роста;

—
уровень ряда, принятый за базу для
сравнения;

—
последний уровень ряда;

—
цепные темпы роста (в коэффициентах);

—
первый базисный темп роста;

—
последний базисный темп роста.

Между
темпами прироста
и темпами роста К существует соотношение=
К — 1, аналогичное соотношение верно и
для средних величин.

Определение
в рядах динамики общей тенденции
развития.

Определение
уровней ряда динамики на протяжении
длительного периода времени обусловлено
действием ряда факторов, которые
неоднородны по силе и направлению
воздействия, оказываемого на изучаемое
явление.

Рассматривая
динамические ряды, пытаются разделить
эти факторы на постоянно действующие
и оказывающие определяющее воздействие
на уровни ряда, формирующие основную
тенденцию развития, и случайные
факторы, приводящие к кратковременным
изменениям уровней ряда динамики.
Наиболее важна при анализе ряда
динамики его основная тенденция развития,
но часто по одному лишь внешнему виду
ряда динамики ее установить невозможно,
поэтому используют специальные методы
обработки, позволяющие показать основную
тенденцию ряда. Методы обработки
используются как простые, так и достаточно
сложные. Простейший способ обработки
ряда динамики, применяемый с целью
установления закономерностей развития
— метод
укрупнения интервалов.

Суть
метода в том, чтобы от интервалов, или
периодов времени, для которых определены
исходные уровни ряда динамики, перейти
к более продолжительным периодам времени
и посмотреть, как уровни ряда изменяются
в этом случае.

Другой
способ определения тенденции в ряду
динамики —
метод скользящих средних.
Суть метода заключается в том, что
фактические уровни ряда заменяются
средними уровнями, вычисленными по
определённому правилу, например:

—исходные
или фактические уровни ряда динамики
заменяются средними уровнями:

…

…

…

В
результате получается сглаженный ряд,
состоящий из скользящих пятизвенных
средних уровней
.
Между расположением уровнейиустанавливается соответствие:

— —
— —,

сглаженный
ряд короче исходного на число уровней
,
где k — число уровней, выбранных для
определения средних уровней ряда.

Сглаживание
методом скользящих средних можно
производить по четырём, пяти или другому
числу уровней ряда, используя
соответствующие формулы для усреднения
исходных уровней.

Полученные
при этом средние уровни называются
четырёхзвенными скользящими средними,
пятизвенными скользящими средними и
т.д.

При
сглаживании ряда динамики по чётному
числу уровней выполняется дополнительная
операция, называемая центрированием,
поскольку, при вычислении скользящего
среднего, например по четырём уровням,
относится к временной точке между
моментами времени, когда были зафиксированы
фактические уровнии.
Схема вычислений и расположений уровней
сглаженного ряда становится сложнее:

…
— исходные уровни;

— —
…
— сглаженные уровни;

— —
…
— центрированные сглаженные уровни;

.

Метод
скользящих средних не позволяет получить
численные оценки для выражения основной
тенденции в ряду динамики, давая лишь
наглядное графическое представление.

Наиболее
совершенным способом определения
тенденции развития в ряду динамики
является метод аналитического
выравнивания. При этом методе исходные
уровни ряда динамики
заменяются теоретическими или расчетными,
которые представляют из себя некоторую
достаточно простую математическую
функцию времени, выражающую общую
тенденцию развития ряда динамики. Чаще
всего в качестве такой функции выбирают
прямую, параболу, экспоненту и др.

Например,
,

где
— коэффициенты, определяемые в методе
аналитического выравнивания;

—
моменты времени, для которых были
получены исходные и соответствующие
теоретические уровни ряда динамики,
образующие прямую, определяемую
коэффициентами
.

Расчет
коэффициентов
ведется на основе метода наименьших
квадратов:

Если
вместо
подставить(или соответствующее выражение для
других математических функций), получим:

Это
функция двух переменных
(всеиизвестны), которая при определенныхдостигает минимума. Из этого выражения
на основе знаний, полученных в курсе
высшей математики об экстремуме функций
n переменных, получают значения
коэффициентов.

Для
прямой:

где
n — число моментов времени, для которых
были получены исходные уровни ряда
.

Если
вместо абсолютного времени
выбрать
условное время таким образом, чтобы,
то записанные выражения для определенияупрощаются:

Определение
в рядах внутригодовой динамики.

Многие
процессы хозяйственной деятельности,
торговли, сельского хозяйства и других
сфер человеческой деятельности подвержены
сезонным изменениям, например, продажа
мороженого, потребление электроэнергии,
производство молока, сахара, продажа
сельхозпродукции и др.

Для
анализа рядов динамики, подверженных
сезонным изменениям, используются
специальные методы, позволяющие
установить и описать особенности
изменения уровней ряда. Прежде, чем
использовать методы изучения сезонности,
необходимо подготовить данные, приведённые
в сопоставимый вид, за несколько лет
наблюдения по месяцам или кварталам.
Изменения сезонных колебаний производится
с помощью индексов сезонности. В
зависимости от существующих в ряду
динамики тенденций используются
различные правила построения индексов.

1.
Ряд динамики не имеет общей тенденции
развития, либо она не велика.

Индекс
сезонности:
,

где
— средний уровень ряда, полученный в
результате осреднения уровней ряда за
одноимённые периоды времени (например,
средний уровень января за все годы
наблюдения);

—общий
средний уровень ряда за всё время
наблюдения.

Вывод
о наличии или отсутствия в ряду динамики
ярко выраженной тенденции может
производиться, например, при помощи
метода укрупнения интервалов.

2.
Ряд динамики имеет общую тенденцию, и
она определена либо методом скользящего
среднего, либо методом аналитического
выравнивания.

Индекс
сезонности
,

где
— исходные уровни ряда:

—уровни
ряда, полученные в результате определения
скользящих средних для тех же периодов
времени, что и исходные уровни:

I
— номер месяца или квартала, для которого
определяется индекс сезонности:

n
— число лет наблюдения за процессом.

В
случае, если тенденция развития
определялась методом аналитического
выравнивания, расчетная формула получения
индексов сезонности совершенно аналогична
предыдущей, но вместо
— уровней, полученных методом скользящих
средних, используются— полученные методом аналитического
выравнивания.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Показатели ряда динамики

Примеры решения задач

---

Задача 1

По АО
«Керамик» имеются данные о производстве кирпича за год. Рассчитайте все
недостающие в таблице уровни ряда и цепные показатели анализа динамики.
Рассчитайте средний уровень ряда, средние абсолютный прирост и темп роста.

Месяцы	Произведено кирпича, тыс.р.	Цепные показатели
абсолютный	темп роста, %	темп прироста, %	абсолютное значение 1% прироста
Январь	450
Февраль				100
Март			80
Апрель		-30
Май			250
Июнь				-30
Июль
Август		300			5,0
Сентябрь			150
Октябрь				80
Ноябрь		-60
Декабрь			300

Решение

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Формулы цепных показателей динамики

Абсолютный цепной прирост можно
найти по формуле:

 -уровень ряда;

 -предыдущий
уровень ряда

Цепной темп роста:

Темп прироста:

Абсолютное
содержание 1% прироста:

Расчет недостающих уровней ряда динамики

Исходя из формул, заполним
недостающие показатели:

Февраль: 

Март:

Апрель:

Май:

Июнь:

Июль:

Август: 

Сентябрь:

Октябрь:

Ноябрь:

Декабрь:

Вычисление цепных показателей динамики

Абсолютные приросты цепные:	Темпы роста цепные:
Темпы прироста цепные:	Абсолютное содержание 1% прироста:

Показатели динамики производства кирпича

Месяцы	Произведено кирпича, тыс.р.	Цепные показатели
абсолютный	темп роста, %	темп прироста, %	абсолютное значение 1% прироста
Январь	450	—-	100	—-	——
Февраль	900	450	200	100	4.5
Март	720	-180	80.0	-20.0	9,0
Апрель	690	-30	95.8	-4.2	7.2
Май	1725	1035	250.0	150.0	6.9
Июнь	1208	-517	70.0	-30.0	17.25
Июль	500	-708	41.4	-58.6	12.08
Август	800	300	160.0	60.0	5,0
Сентябрь	1200	400	150.0	50.0	8,0
Октябрь	2160	960	180.0	80.0	12,0
Ноябрь	2100	-60	97.2	-2.8	21.6
Декабрь	6300	4200	300	200	21,0

Расчет средних уровней ряда динамики

Средний
уровень исследуемого динамического ряда найдем по формуле средней
арифметической:

Среднегодовой
абсолютный прирост:

Среднегодовой
темп роста:

Среднегодовой
темп прироста:

Вывод к задаче

Среднемесячный
показатель производства составил 1562,8 тыс.р. В среднем за месяц показатель
увеличивался на 531,8 тыс.р. или на 27,1% в относительном выражении.

---

Задача 2

Для
изучения динамики товаропотока рассчитайте:

• Абсолютные и относительные показатели динамики по годам периода (абсолютные
  приросты – базисные и цепные; темпы роста – базисные и цепные).
• Динамические средние за период в целом – среднегодовой уровень ряда,
  среднегодовой абсолютный прирост, среднегодовой темп роста. Объясните их смысл.
• Выполните прогнозы уровня ряда на следующий год, используя среднегодовой
  абсолютный прирост и среднегодовой темп роста. Сделайте выводы о развитии
  изучаемого процесса.
• Постройте график динамики изучаемого процесса.

Динамика
экспорта РФ в Португалию, млрд. долл. США

Годы	2004	2005	2006	2007	2008	2009	2010
Экспорт	0.62	1.14	1.38	1.25	0.21	0.13	0.20

Решение

1)

Абсолютные приросты цепные:	Абсолютные приросты базисные:
Темпы роста цепные:	Темпы роста базисные:
Темпы прироста цепные:	Темпы прироста базисные:

Показатели динамики экспорта 2004-2010 гг.

Годы	Экспорт, млрд.долл	Абсолютные приросты, млрд.долл	Темпы роста, %	Темпы прироста, %
цепные	базисные	цепные	базисные	цепные	базисные
2004	0.62	——	——	100.0	100.0	——	——
2005	1.14	0.52	0.52	183.9	183.9	83.9	83.9
2006	1.38	0.24	0.76	121.1	222.6	21.1	122.6
2007	1.25	-0.13	0.63	90.6	201.6	-9.4	101.6
2008	0.21	-1.04	-0.41	16.8	33.9	-83.2	-66.1
2009	0.13	-0.08	-0.49	61.9	21.0	-38.1	-79.0
2010	0.20	0.07	-0.42	153.8	32.3	53.8	-67.7

 

2)
Средний уровень исследуемого динамического ряда найдем по формуле средней
арифметической:

Среднегодовой
абсолютный прирост:

Среднегодовой
темп роста:

Среднегодовой
темп прироста:

Таким
образом в среднем за исследуемый период экспорт
составлял 0,704 млрд. долл. в год. В среднем показатель уменьшался на 0,07 млрд.долл. в год или на 17,2% в
относительном выражении.

3)
Прогноз на 2011 год с помощью среднего абсолютного прироста:

Прогноз
на 2011 год с помощью среднегодового темпа роста:

На
2011 год показатель, прогнозируемый с помощью среднего
абсолютного прироста составил 0,13 млрд. долл., а с помощью
среднегодового темпа роста – 0,166 млрд. долл.

4)

График динамики экспорта 2004-2010 гг.

Содержание курса лекций «Статистика»

Статистическое изучение динамики социально-экономических явлений

Процессы и явления социально-экономической жизни общества, являющиеся предметом изучения статистики, находятся в постоянном движении и изменении. Для того, чтобы выявить тенденции и закономерности социально-экономического развития явлений, статистика строит особые ряды статистических показателей, которые называются рядами динамики (иногда их называют временными рядами), то есть ‑ это ряды изменяющихся во времени значений статистического показателя, расположенных в хронологическом порядке. В англоязычной литературе для временных рядов используется термин «time series». Ряды динамики получаются в результате сводки и обработки материалов периодического статистического наблюдения. Повторяющиеся во времени (по отчетным периодам) значения одноименных показателей в ходе статистической сводки систематизируются в хронологической последовательности. Значения показателя, составляющие ряд динамики, называются уровнями ряда.

Каждый ряд динамики характеризуется двумя параметрами: значениями времени и соответствующими им значениями уровней ряда. Уровни ряда обычно обозначаются «y_t»: y₁, y₂ и т.д. В качестве показателя времени в рядах динамики могут указываться отдельные периоды (сутки, месяцы, кварталы, годы и т.д.) времени или определенные моменты (даты). Время в рядах динамики обозначается через «t».

Ряд динамики состоит из двух элементов:

1) уровня ряда (значения изучаемого показателя);

2) моментов (периодов) времени, когда фиксируется этот показатель.

Основные способы обработки рядов динамики:

1) укрупнение интервалов и расчет для них средних показателей;

2) сглаживание уровней способом скользящей средней;

3) выравнивание по аналитическим формулам.

Суть последнего способа заключается в том, что по эмпирическим данным находят теоретические (вероятностные) уровни, которые рассматриваются как некая функция времени.

Ряды динамики, как правило, представляют в виде таблицы или графически.

Ряды динамики могут быть классифицированы по следующим признакам:

В зависимости от способа выражения уровней ряды динамики подразделяются на ряды абсолютных, относительных и средних величин. При этом ряды динамики абсолютных величин рассматриваются как исходные, а ряды относительных и средних величин ‑ как производные.

Ряды динамики абсолютных величин наиболее полно характеризуют развитие процесса или явления, например, грузооборота транспорта, инвестиций в основной капитал, добычи топлива, уставного капитала коммерческих банков и т.д.

Ряды относительных величин могут характеризовать во времени темпы роста (или снижения) определенного показателя; изменение удельного веса того или иного показателя в совокупности или изменение показателей интенсивности отдельных явлений, например, удельного веса приватизированных предприятий в той или иной отрасли; производ­ства продукции на душу населения; структуры инвестиций в основной капитал по отраслям экономики, индекса потребительских цен и т.д.

Ряды динамики средних величин служат для характеристики изменения уровня явления, отнесенного к единице совокупности, например: данные о среднегодовой численности занятых в экономике; о средней урожайности отдельных сельскохозяйственных культур, о средней заработной плате в отдельных отраслях и т.д.

В зависимости от характера временного параметра ряды динамики делятся на моментные и интервальные.

Уровни моментных рядов динамики характеризуют явление по состоянию на определенный момент времени.

Пример. Моментный ряд динамики, характеризующий численность персонала строительной фирмы на 1-е число каждого месяца за первое полугодие 2009 г., представлен в таблице 13.1.

Таблица 13.1 ‑ Численность персонала строительной фирмы на 1-е число каждого месяца за первое полугодие 2009 г

Дата	1.01	1.02	1.03	1.04	1.05	1.06
Численность персонала, чел.	780	810	880	930	940	970

Следует помнить, что моментные ряды абсолютных величин нельзя суммировать. Бессмысленно, например, складывать численность персонала по состоянию на 1 января, 1 февраля и т.д. Полученная сумма ничего не выражает, так как в ней многократно повторяются одни и те же единицы совокупности.

---

Ряд, в котором уровни характеризуют результат, накопленный или вновь произве­денный за определенный интервал времени, называется интервальным.

Пример. Интервальный ряд динамики, представлен в таблице 13.2.

Таблица 13.2. ‑ Характеристика динамики объема розничного товарооборота

Дата	2004	2005	2006	2007	2008
Товарооборот, млн. руб.	28,3	31,9	38,3	42,3	45,2

Важное аналитическое отличие моментных рядов от интервальных состоит в том, что сумма уровней интервального ряда вполне реальный показатель, например, общий объем розничного товарооборота за 2004-2008 г.г.

---

В зависимости от расстояния между уровнями, ряды динамики подразделяются на ряды с равноотстоящими уровнями и не равноотстоящими уровнями во времени.

Ряды динамики следующих друг за другом периодов или следующих через оп­ределенные промежутки дат называются равноотстоящими, пример (табл. 13.1 и табл. 13.2).

Если же в рядах даются прерывающиеся периоды или неравномерные промежутки между датами, то ряды называются не равноотстоящими, пример(табл. 13.3).

Пример. Рядом динамики с не равноотстоящими уровнями во времени может служить объем экспорта продукции предприятия, представленный в таблице 13.3.

Таблица 13.3. – Динамика объема экспорта продукции предприятия

Годы	1993	1996	1998	2000	2004
Объем экспорта, млн. долл.	1110	1220	1320	1450	1640

---

По числу показателей можно выделить изолированные (одномерные) и  комплексные (многомерные) ряды динамики.

Если ведется анализ во времени одного показателя ряда, то ряд динамики изолированный (например, данные о производст­ве газа по годам). В многомерном ряду представлена динамика нескольких показателей, характеризующих одно явление.

---

Сопоставимость уровней и смыкание рядов динамики

Важнейшим условием правильного построения рядов динамики является сопоста­вимость всех входящих в него уровней. Данное условие решается либо в процессе сбора и обработки данных, либо путем их пересчета.

---

Рассмотрим основные причины несопоставимости уровней ряда динамики.

Несопоставимость уровней ряда может возникнуть вследствие изменения единиц измерения и единиц счета.

Пример. Нельзя сравнивать и анализировать цифры о производстве тканей, если за одни годы оно дано в погонных метрах, а за другие ‑ в квадратных метрах.

---

На сопоставимость уровней ряда динамики непосредственно влияет методоло­гия учета или расчета показателей.

Например, если в одни годы среднюю урожайность считали с засеянной площади, а в другие ‑ с убранной, то такие уровни будут не­сопоставимы.

---

В процессе развития во времени, прежде всего, происходят количественные измерения явлений, а затем на определенных ступенях совершаются качественные скачки, приводящие к изменению закономерностей явления. Поэтому научный подход к изучению рядов динамики заключается в том, чтобы ряды, охватывающие большие периоды времени, разделять на такие, которые бы объединяли лишь однокачественные периоды развития совокупности, характеризующейся одной закономерностью развития.

---

Важно также, чтобы в ряду динамики интервалы или моменты, по которым определены уровни, имели одинаковый экономический смысл.

Например, при изучении роста поголовья скота бессмысленно сравнивать цифры поголовья по состоянию на 1 октября с данными 1 января, так как первая цифра включает не только скот, оставшийся на зимовку, но и предназначенный к убою, а вторая цифра включает только скот, оставленный на зимовку. Уровни ряда динамики могут оказаться несопоставимыми по кругу охватываемых объектов вследствие перехода ряда объектов из одного подчинения в другое.

---

Несопоставимость уровней ряда может возникнуть вследствие изменений территориальных  границ областей, районов и так далее.

---

Для того, чтобы привести уровни ряда динамики к сопоставимому виду, иногда приходится прибегать к приему, который носит название смыкание рядов динамики. Под смыканием понимают объединение в один ряд (более длинный) двух или нескольких рядов динамики, уровни которых являются несопоставимыми. Для осуществления смыкания необходимо, чтобы для одного из периодов (переходного) имелись данные, исчисленные по разной методологии (или в разных границах).

Пример. Предположим, что в N-ом регионе имеются данные об общем объеме оборота розничной торговли за 2013-2015 гг. в фактически действующих ценах, и за 2015-2018 гг. ‑ в сопоставимых ценах (табл. 13.4.).

Таблица 13.4 ‑ Динамика общего объема оборота розничной торговли (млрд. руб.) цифры условные

Годы	2013	2014	2015	2016	2017	2018
Оборот розничной торговли, млрд. руб. (в фактически действующих ценах)	19,7	20	21,2
Оборот розничной торговли, млрд. руб. (в сопоставимых ценах)			22,8	24,6	25,2	26,1
Сомкнутый ряд абсолютных величин (в сопоставимых ценах; млрд. руб.)	21,3	21,5	22,8	24,6	25,2	26,1
Сопоставимый ряд относительных величин (в % к 2005 г.)	92,9	94,3	100	107,9	110,5	114,5

Решение. Чтобы проанализировать динамику общего объема розничной торговли за 2013-2018 гг., необходимо сомкнуть (объединить) приведенные выше два ряда в один. А чтобы уровни нового ряда были сопоставимы, необходимо пересчитать данные 2003-2005 гг. в сопоставимые цены. Для этого на основе данных об объеме розничной торговли за 2005 г. в фактических и сопоставимых ценах находим соотношение между ними: 22,8:21,2 = 1,08. Умножая на полученный коэффициент данные за 2003-2005 гг., приводим их, таким образом, к сопоставимому виду с последующими уровнями. Сомкнутый (сопоставимый) ряд динамики показан в предпоследней строке таблицы 13.4.

---

Другой способ смыкания рядов заключается в том, что уровни года, в котором произошли изменения (в нашем примере ‑ уровни 2005 г.), как до изменений, так и после изменений (для нашего примера ‑ в фактических и сопоставимых ценах, т.е. 21,2 и 22,8) принимаются за 100%, а остальные пересчитываются в процентах по отношению к этим уровням соответственно (в нашем примере в фактических ценах ‑ по отношению к 21,2, в сопоставимых ценах ‑ к 22,8). В результате получаем сомкнутый ряд динамики, который показан в последней строке таблицы 13.4.

---

Та же проблема приведения к сопоставимому виду возникает и при параллельном анализе развития во времени экономических показателей отдельных стран, администра­тивных и территориальных районов. Это, во-первых, вопрос о сопоставимости цен срав­ниваемых стран, во-вторых, вопрос о сопоставимости методики расчета сравниваемых показателей. В таких случаях ряды динамики приводятся к одному основанию, то есть к одному и тому же периоду или моменту времени, уровень которого принимается за базу сравнения, а все остальные уровни выражаются в виде коэффициентов или в процентах по отношению к нему.

---

---

Аналитические показатели ряда динамики

На практике для количественной оценки динамики явлений широко применяется ряд основных аналитических показателей. К таким показателям относятся, абсолютный прирост при этом принято сравниваемый уровень называть отчетным, а уровень, с которым происходит сравнение – базисным.

---

Абсолютный прирост (∆y ) характеризует размер увеличения (или уменьшения) уровня ряда за определенный промежуток времени. Он равен разности двух сравниваемых уровней и выражает абсолютную скорость роста.

∆y – абсолютный прирост – это разность между уровнями ряда динамики. Может быть цепным или базисным:

---

---

Показатель интенсивности изменения уровня ряда ‑ в зависимости от того, выражается ли он в виде коэффициента или в процентах, принято называть коэффициентом роста или темпом роста.

Коэффициент роста показывает, во сколько раз данный уровень ряда больше базисного уровня (если этот коэффициент больше единицы) или какую часть базисного уровня составляет уровень текущего периода за некоторый промежуток времени (если он меньше единицы).

---

Тр– темп роста – относительный показатель, получающийся в результате сопоставления двух уровней одного ряда динамики. Темпы роста могут рассчитываться как цепные, когда каждый уровень ряда сопоставляется с предшествующим ему уровнем:

---

либо как базисные, когда все уровни сопоставляются с одним и тем же уровнем, выбранным за базу сравнения (при умножении на 100 – в процентном выражении):

---

Между цепными и базисными темпами роста существует взаимосвязь: произведение всех цепных темпов роста равно последнему базисному.

---

 Т пр – темп прироста – относительный показатель, показывающий, насколько один уровень ряда динамики больше или меньше другого, принимаемого за базу сравнения:

---

При делении абсолютного прироста (цепного) на темп прироста (цепной) получим показатель, называемый значением одного процента прироста – А:

---

Пример. Произведем расчет и анализ динамики заключения браков в Омской области за 2000–2003 гг., используя формулы вышеизложенных показателей и данные табл. 13.5.  За базу сравнения примем уровень 2000 года.

Таблица 13.5 – Показатели изменения уровней ряда динамики

Показатели	Год
2000	2001	2002	2003
Заключение браков, единиц	13277	15130	15880	16458

Абсолютные приросты,  ∆y

Далее в табл. 13.6 приведем всю совокупность показателей ряда динамики, позволяющую посмотреть взаимосвязи между ними.

Таблица 13.6 – Показатели изменения уровней ряда динамики

Показатели	Год
2000	2001	2002	2003
1. Заключение браков, единиц	13277	15130	15880	16458
2. Темпы роста базисные:	−	1,14	1,196	1,24
2.1. коэффициенты
2.2. проценты	−	114	119,6	124
3. Темпы роста цепные:	−	1,14	1,05	1,036
3.1. коэффициенты
3.2. проценты	−	114	105	103,6
4. Абсолютные приросты, ед.	−	1853	2603	3181
4.1. базисные (2000 г.)
4.2. цепные (по годам)	−	1853	750	578
5. Темпы прироста базисные	−	0,14	0,196	0,24
5.1. коэффициенты
5.2. проценты	−	14	19,6	24
6. Темпы прироста цепные	−	0,14	0,05	0,036
6.1. коэффициенты
6.2. проценты	−	14	5	3,6
7. Абсолютное значение 1 % пр.	−	132,36	150	160,6

При изучении ряда динамики важно проследить за направлением и размером изменений уровня ряда во времени. С этой целью для динамических рядов рассчитываются следующие показатели.

Среднегодовой темп роста, ориентированный на достижение конечного уровня (y_n) в исследуемом периоде, можно рассчитать как среднюю геометрическую из годовых темпов роста по следующим формулам:

(13.7)

Если же ориентация берется на достижение суммарного значения (объема) исследуемого показателя за определенный период, то для расчета среднего коэффициента (темпа) роста используется так называемая средняя параболическая вида

(13.8)

где значение k определяется по специальной таблице для расчета средних коэффициентов роста (снижения) по средней параболической.

Пример. Таблица 13.7 – Данные о вводе в действие жилой площади в городе N

Год	2002	2003-2008
Введено млн. кв. м общей площади, уi	62,5	394,7

Определим среднегодовой темп роста ввода в действие жилой площади за 2003‑2008 гг. (т.е. за 6 лет), ориентированный на достижение общей суммы введенного жилья за указанный период (т.е. 394, 7 млн. кв.м).

Решение. Используем формулу (13.8) средней параболической:

далее по таблице для расчета средних коэффициентов роста (снижения) по средней параболической в графе n=6 находим значение, наиболее близкое к полученному отношению (6,315). Это число 6,323, которому соответствует =1,015. Это искомый среднегодовой коэффициент роста ввода жилья за 6 лет. Отсюда, среднегодовой темп роста ввода в действие жилой площади за указанный период составлял 101,5%, а среднегодовой темп прироста был равен 101,5% ‑ 100% =1,5%.

Пример. Таблица 13.8 – Данные о прибыли на предприятии за 2000‑2005 гг.

Год	2000	2001	2002	2003	2004	2005
Валовая прибыль, млн руб.	566	521	447	428	391	367

Рассчитаем среднегодовой темп роста(снижения) за 2000‑2005 гг., ориентированный:

• достижение фактического уровня в 2005 г. по формуле (13.7)

или 91,7%, т.е. ежегодно объем прибыли уменьшался в среднем на 8,3%;

• если при расчете ориентироваться на общий объем, за 5 лет, то применим для расчета формулу (13.8):

Пример. Имеются данные о численности мужской части населения Омской области за 5 лет на начало года (табл. 10.11):

далее по таблице =0,91, т.е. среднегодовое снижение прибыли при общем объеме за 5 лет составило 9%.

На практике, т.к конечный уровень ряда может быть случайным(нехарактерным), чаще применяется расчет по формуле (13.8), где учитывается сумма уровней за n лет.

Прогнозирование на основе рядов динамики

Суть нижеприведенного способа (выравнивание по аналитическим формулам) заключается в том, что по эмпирическим данным находят теоретические (вероятностные) уровни, которые рассматриваются как некая функция времени, т.е.

Таблица 13.9 – Численность мужской части населения в 1999–2003 гг. (на 1.01.),

Год	1999	2000	2001	2002	2003
Численность тыс. чел.	1028,8	1020,1	1010,7	999,6	989,8

Найдем линию тренда и, используя полученное уравнение, сделаем прогноз на будущее (определим численность мужской части населения в Омской области в 2006 году).

Предположим, что численность населения изменяется во времени по прямой:

(13.9)

Для нахождения параметров а₀ и а₁ решим систему нормальных уравнений, отвечающих требованию способа наименьших квадратов

(13.10)

Далее в табл. 10.12 рассчитаны необходимые для решения системы уравнения суммы: ∑, ∑t, ∑t², ∑yt. Годы последовательно обозначим как 1, 2, 3, 4, 5 (n=5).

Таблица 13.10 – Расчетные данные для определения параметров уравнения тренда

Год	Число мужчин, тыс. чел. yi	Условное обозначение времени, t	t2	y·t	Уравнение тренда
1999	1028,8	1	1	1028,8	1029,5
2000	1020,1	2	4	2040,2	1019,65
2001	1010,7	3	9	3032,1	1009,8
2002	999,6	4	16	3998,4	999,95
2003	989,8	5	25	4949	990,1
∑	5049	15	55	15048,5	5049

Из системы уравнений получим a₁ = −9,85; а₀ = 1039,35;

Отсюда искомое уравнение тренда

Для 2006 года t = 8; следовательно,  То есть по прогнозу численность мужской части населения в Омской области в 2006 году составит 960,55 тыс. чел.

Для решения данной задачи можно использовать и второй способ, упрощенный. Если время t обозначить так, чтобы ∑t = 0, т.е. счет вести от середины ряда, то система упростится и примет вид

(13.11)

В этом случае каждое уравнение решается самостоятельно:

(13.12)

(13.13)

Необходимые для расчета параметров уравнения суммы приведем в табл. 10.13.

Таблица 13.11 – Расчетные данные для определения параметров уравнения тренда

Год	Число мужчин, тыс. чел. yi	Условное обозначение времени, t	t2	yt	Уравнение тренда
1999	1028,8	-2	4	-2058	1029,5
2000	1020,1	-1	1	-1020	1019,65
2001	1010,7	0	0	0	1009,8
2002	999,6	1	1	999,6	999,95
2003	989,8	2	4	1979,6	990,1
Итого	5049	0	10	-98,5	5049

Тогда  и

Уравнение тренда в этом случае будет имеет вид

Для 2006 г. t = 5; следовательно,

Эта величина условная, рассчитанная при предположении, что линейная закономерность изменения численности мужской части населения, принятая для 1999–2003 гг., сохранится на последующий период до 2006 г.

Контрольные задания.

По данным статистических ежегодных изданий: «Российский статистический ежегодник», «Россия в цифрах» и т.п. выберите несколько показателей, постройте и проанализируйте ряды динамики, найдите линию тренда и, используя полученное уравнение, сделайте прогноз на 3 года вперед.

АНОНС…полный текст будет опубликован позднее… в соответствии с графиком занятий

Содержание курса лекций «Статистика»