Как найти ускорение через проекции ускорения

Как найти ускорение — определение и формулы расчета в физике

Содержание:

• Что такое ускорение
  • Единица измерения
• Как рассчитать ускорение: формулы
  • Для прямолинейного движения
  • Для равноускоренного движения
  • Для равнозамедленного движения
  • Нахождение ускорения через массу и силу
• Мгновенное ускорение
• Максимальное ускорение
• Среднее ускорение
• Проекция ускорения

Что такое ускорение

Ускорение (overrightarrow а) — векторная величина в физике, характеризующая быстроту изменения скорости тела.

Ускорение является векторной величиной, показывающей, на сколько изменяется вектор скорости тела при его движении за единицу времени.

Единица измерения

В СИ (системе интернациональной) ускорение измеряется: ( begin{bmatrix}aend{bmatrix}=frac м{с^2})

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Как рассчитать ускорение: формулы

Для прямолинейного движения

Прямолинейное движение — механическое движение, при котором траектория тела — прямая линия.

В этом случае ускорение находится по следующим формулам:

(a;=;frac{mathrm V}t)

(a;=;frac{2S}{t^2})

(a;=;frac{V^2}{2S})

Где (a) — достигнутое ускорение тела, (S) — пройденный путь (расстояние), (t) — затраченное время.

Время отсчитывается от начала движения тела.

При прямолинейном равномерном движении ускорение по модулю равняется нулю.

Для равноускоренного движения

Равноускоренное движение — прямолинейное движение с постоянным положительным ускорением (разгон).

При таком виде движения ускорение определяется по формуле: (a;=;frac{V-V_0}t), где (V_0) и (V) начальная и конечная скорости соответственно, (a) — достигнутое ускорение тела, (t) — затраченное время.

Для равнозамедленного движения

Равнозамедленное движение — прямолинейное движение с постоянным отрицательным ускорением (замедление).

При таком виде движения ускорение находим по формуле: (a;=-;frac{V-V_0}t), где V₀ и V начальная и конечная скорости соответственно, a — достигнутое ускорение тела, t — затраченное время.

Нахождение ускорения через массу и силу

Принцип инерции Галилея:

Если не действовать на тело, то его скорость не будет меняться.

Система отсчета (СО) — система координат, точка отсчета и указание начала отсчета времени.

Инерциальная система отсчета (ИСО) — это СО, в которой наблюдается движение по инерции (соблюдается принцип инерции).

II закон Ньютона:

В инерциальных системах отсчёта ускорение, приобретаемое материальной точкой, прямо пропорционально вызывающей его силе, совпадает с ней по направлению и обратно пропорционально массе материальной точки.

или

(overrightarrow a=frac{overrightarrow F}m)

Мгновенное ускорение

Мгновенное ускорение тела (материальной точки) в данный момент времени — это физическая величина, равная пределу, к которому стремится среднее ускорение при стремлении промежутка времени к нулю. Другими словами — это ускорение, которое развивает тело за максимально короткий отрезок времени.

Выражается по формуле:

( overrightarrow a=lim_{trightarrow0}frac{triangleoverrightarrow V}{triangle t})

Максимальное ускорение

(a_{max}=omega v_{max},) где (a_{max}) — максимальное ускорение, (omega) — круговая (угловая, циклическая) частота, (v_{max}) — максимальная скорость.

Среднее ускорение

Среднее ускорение — это отношение изменения скорости к промежутку времени, за который это изменение произошло.

(overrightarrow{a_{ср}}=frac{triangleoverrightarrow V}{triangle t}), где (overrightarrow{a_{ср}}) — среднее ускорение, (triangleoverrightarrow V) — изменение скорости, ( triangle t) — изменение времени.

Проекция ускорения

Определение проекции ускорения на ось (х):

(a_x=frac{V_x-V_{0x}}t), где где (a_x) — проекция ускорения на ось (х), (V_x) — проекция текущей скорости на ось (х), (V_{0x}) — проекция начальной скорости на ось (х), (t) или (triangle t) — промежуток времени, за который произошло изменение проекции скорости.

Текст с ошибкой:

Расскажите, что не так

Рис. (1). Изменение скорости при прямолинейном равноускоренном движении

Частным (простым) видом неравномерного движения является прямолинейное равноускоренное движение, когда траектория движения тела — прямая линия. Для характеристики изменения скорости вводят новую физическую величину — ускорение.

Рис. (2). Ускорение тела

Ускорение и его составляющие

В случае неравномерного движения важно
знать, как быстро изменяется скорость
с течением времени. Физической величиной,
характеризующей быстроту изменения
скорости по модулю и направлению,
является ускорение.

Рассмотрим плоское движение, т.е.
движение, при котором все участки
траектории точки лежат в одной плоскости.
Пусть вектор v задает скорость точки А
в момент времени t.
За время t
движущаяся точка перешла в положение
В и приобрела скорость, отличную от
v как по модулю, так и
направлению и равную v₁
= v + v.
Перенесем вектор v₁
в точку А и найдем v
(рис. 4).

Средним ускорением неравномерного
движения в интервале от t
до t + t
называется векторная величина, равная
отношению изменения скорости v
к интервалу вре­мени t

Мгновенным ускорением а (ускорением)
материальной точки в момент време­ни
t будет предел среднего
ускорения:

Таким образом, ускорение a
есть векторная величина, равная первой
производной скорости по времени.

Разложим вектор v
на две составляющие. Для этого из точки
А (рис. 4) по направлению скорости v
отложим вектор

,
по модулю равный v₁.
Очевидно, что вектор

,
равный

,
определяет изменение скорости за время
t
по моду­лю:

.
Вторая же составляющая

вектора v
характеризует изменение ско­рости
за время t
по направлению.

1. Тангенциальное и нормальное ускорение.

Тангенциа́льное
ускоре́ние
— компонента ускорения, направленная
по касательной к траектории движения.
Совпадает с направлением вектора
скорости при ускоренном движении и
противоположно направлено при замедленном.
Характеризует изменение модуля скорости.
Обозначается обычно или (, итд в
соответствии с тем, какая буква выбрана
для обозначения ускорения вообще в
данном тексте).

Иногда
под тангенциальным ускорением понимают
проекцию вектора тангенциального
ускорения — как он определен выше — на
единичный вектор касательной к траектории,
что совпадает с проекцией (полного)
вектора ускорения на единичный вектор
касательной то есть соответствующий
коэффициент разложения по сопутствующему
базису. В этом случае используется не
векторное обозначение, а «скалярное»
— как обычно для проекции или координаты
вектора —

.

Величину
тангенциального ускорения — в смысле
проекции вектора ускорения на единичный
касательный вектор траектории — можно
выразить так:

где

— путевая скорость вдоль траектории,
совпадающая с абсолютной величиной
мгновенной скорости в данный момент.

Если
использовать для единичного касательного
вектора обозначение

,
то можно записать тангенциальное
ускорение в векторном виде:

Вывод

Выражение
для тангенциального ускорения можно
найти, продифференцировав по времени
вектор скорости, представленный в виде

через единичный вектор касательной

:

где
первое слагаемое — тангенциальное
ускорение, а второе — нормальное
ускорение.

Здесь
использовано обозначение

для единичного вектора нормали к
траектории и

— для текущей длины траектории (
);
в последнем переходе также использовано
очевидное

и,
из геометрических соображений,

Центростремительное
ускорение(нормальное) —
часть полного ускорения точки,
обусловленного кривизной траектории
и скоростью движения по ней материальной
точки. Такое ускорение направлено к
центру кривизны траектории, чем и
обусловлен термин. Формально и по
существу термин центростремительное
ускорение в целом совпадает с термином
нормальное ускорение, различаясь скорее
лишь стилистически (иногда исторически).

Особенно
часто о центростремительном ускорении
говорят, когда речь идет о равномерном
движении по окружности или при движении,
более или менее приближенном к этому
частному случаю.

Элементарная
формула

или

где

— нормальное (центростремительное)
ускорение,

— (мгновенная) линейная скорость движения
по траектории,

— (мгновенная) угловая скорость этого
движения относительно центра кривизны
траектории,

— радиус кривизны траектории в данной
точке. (Cвязь между первой формулой и
второй очевидна, учитывая ).

Выражения
выше включают абсолютные величины. Их
легко записать в векторном виде, домножив
на — единичный вектор от центра кривизны
траектории к данной ее точки:

Эти
формулы равно применимы к случаю движения
с постоянной (по абсолютной величине)
скоростью, так и к произвольному случаю.
Однако во втором надо иметь в виду, что
центростремительное ускорение не есть
полный вектор ускорения, а лишь его
составляющая, перпендикулярная траектории
(или, что то же, перпендикулярная вектору
мгновенной скорости); в полный же вектор
ускорения тогда входит еще и тангенциальная
составляющая (тангенциальное ускорение)

,
по направлению совпадающее с касательной
к траектории (или, что то же, с мгновенной
скоростью).

вывод

То,
что разложение вектора ускорения на
компоненты — одну вдоль касательного
к траектории вектора (тангенциальное
ускорение) и другую ортогональную ему
(нормальное ускорение) — может быть
удобным и полезным, довольно очевидно
само по себе. Это усугубляется тем, что
при движении с постоянной по величине
скоростью тангенциальная составляющая
будет равной нулю, то есть в этом важном
частном случае остается только нормальная
составляющая. Кроме того, как можно
увидеть ниже, каждая из этих составляющих
имеет ярко выраженные собственные
свойства и структуру, и нормальное
ускорение содержит в структуре своей
формулы достаточно важное и нетривиальное
геометрическое наполнение. Не говоря
уже о важном частном случае движения
по окружности (который, к тому же,
практически без изменения может быть
обобщен и на общий случай).

Формальный
вывод

Разложение
ускорения на тангенциальную и нормальную
компоненты (вторая из которых и есть
центростремительное или нормальное
ускорение) можно найти, продифференцировав
по времени вектор скорости, представленнный
в виде

через единичный вектор касательной

.

Где
первое слагаемое — тангенциальное
ускорение, а второе — нормальное
ускорение.

Здесь
использовано обозначение

для единичного вектора нормали к
траектории и —

для

текущей
длины траектории (
);
в последнем переходе также использовано
очевидное

.

Далее
можно просто формально назвать член

—

нормальным
(центростремительным) ускорением. При
этом его смысл, смысл входящих в него
объектов, а также доказательство того
факта, что он действительно ортогонален
касательному вектору (то есть что —
действительно вектор нормали) — будет
следовать из геометрических соображений
(впрочем, то, что производная любого
вектора постоянной длины по времени
перпендикулярна самому этому вектору,
— достаточно простой факт; в данном
случае мы применяем это утверждение
для ).

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

• Равноускоренное прямолинейное движение — движение по прямой линии с постоянным ускорением (a=const).
• Ускорение — векторная физическая величина, показывающая изменение скорости тела за 1 с. Обозначается как a.
• Единица измерения ускорения — метр в секунду в квадрате (м/с²).
• Акселерометр — прибор для измерения ускорения.

Формула ускорения

Ускорение тела равно отношению изменения вектора скорости ко времени, в течение которого это изменение произошло:

v — скорость тела в данный момент времени, v₀ — скорость тела в начальный момент времени, t — время, в течение которого изменялась скорость

Пример №1. Состав тронулся с места и через 20 секунд достиг скорости 36 км/ч. Найти ускорение его разгона.

Сначала согласуем единицы измерения. Для этого переведем скорость в м/с: умножим километры на 1000 и поделим на 3600 (столько секунд содержится в 1 часе). Получим 10 м/с.

Начальная скорость состава равно 0 м/с, так как изначально он стоял на месте. Имея все данные, можем подставить их в формулу и найти ускорение:

Проекция ускорения

Проекция ускорения на ось ОХ

v_x — проекция скорости тела в данный момент времени, v_0x — проекция скорости в начальный момент времени, t — время, в течение которого изменялась скорость

Знак проекции ускорения зависит от того, в какую сторону направлен вектор ускорения относительно оси ОХ:

• Если вектор ускорения направлен в сторону оси ОХ, то его проекция положительна.
• Если вектор ускорения направлен в сторону, противоположную направлению оси ОХ, его проекция отрицательная.

При решении задач на тему равноускоренного прямолинейного движения проекции величин можно записывать без нижнего индекса, так как при движении по прямой тело изменяет положение относительно только одной оси (ОХ). Их обязательно нужно записывать, когда движение описывается относительно двух и более осей.

Направление вектора ускорения

Направление вектора ускорения не всегда совпадает с направлением вектора скорости!

Равноускоренным движением называют такое движение, при котором скорость за одинаковые промежутки времени изменяется на одну и ту же величину. При этом направления векторов скорости и ускорения тела совпадают (а↑↑v).

Равнозамедленное движение — частный случай равноускоренного движения, при котором скорость за одинаковые промежутки времени уменьшается на одну и ту же величину. При этом направления векторов скорости и ускорения тела противоположны друг другу (а↑↓v).

Пример №2. Автомобиль сначала разогнался, а затем затормозил. Во время разгона направления векторов его скорости и ускорения совпадают, так как скорость увеличивается. Но при торможении скорость уменьшается, потому что вектор ускорения изменил свое направление в противоположную сторону.

График ускорения

График ускорения — график зависимости проекции ускорения от времени. Проекция ускорения при равноускоренном прямолинейном движении не изменяется (a_x=const). Графиком ускорения при равноускоренном прямолинейном движении является прямая линия, параллельная оси времени.

Зависимость положения графика проекции ускорения относительно оси ОХ от направления вектора ускорения:

• Если график лежит выше оси времени, движение равноускоренное (направление вектора ускорения совпадает с направлением оси ОХ). На рисунке выше тело 1 движется равноускорено.
• Если график лежит ниже оси времени, движение равнозамедленное (вектор ускорения направлен противоположно оси ОХ). На рисунке выше тело 2 движется равнозамедлено.

Если график ускорения лежит на оси времени, движение равномерное, так как ускорение равно 0. Скорость в этом случае — величина постоянная.

Чтобы сравнить модули ускорений по графикам, нужно сравнить степень их удаленности от оси времени независимо от того, лежат они выше или ниже нее. Чем дальше от оси находится график, тем больше его модуль. На рисунке график 2 находится дальше от оси времени по сравнению с графиком один. Поэтому модуль ускорения тела 2 больше модуля ускорения тела 1.

Пример №3. По графику проекции ускорения найти участок, на котором тело двигалось равноускорено. Определить ускорение в момент времени t₁ = 1 и t₂ = 3 с.

В промежуток времени от 0 до 1 секунды график ускорения рос, с 1 до 2 секунд — не менялся, а с 2 до 4 секунд — опускался. Так как при равноускоренном движении ускорение должно оставаться постоянным, ему соответствует второй участок (с 1 по 2 секунду).

Чтобы найти ускорение в момент времени t, нужно мысленно провести перпендикулярную прямую через точку, соответствующую времени t. От точки пересечения с графиком нужно мысленно провести перпендикуляр к оси проекции ускорения. Значение точки, в которой пересечется перпендикуляр с этой осью, покажет ускорение в момент времени t.

В момент времени t₁ = 1с ускорение a = 2 м/с². В момент времени t₂ = 3 ускорение a = 0 м/с².

Алиса Никитина | Просмотров: 13.9k