Катушка массой m радиусом $%R$% и с моментом инерции $%J$% прикреплена к горизонтальной плоскости. К катушке прикреплен груз массой $%M_{гр}$%. С каким ускорением опускается катушка, трение отсутствует, а вес нити равен нулю?
Вопрос, как найти вращающий момент $%M$%, действующий на вал (зная момент, можно найти ускорение $%omega = M/J$%)?
$begingroup$
I need some help with this problem:
A spool with thread wound on it, of mass $m$, rests on a rough horizontal surface. Its moment of inertia relative to its own axis is
equal to $I= gamma mR^2$ , where $gamma$ is a numerical factor, and $$ is the outside radius of the spool. The radius of the wound thread layer is equal to $r$. The spool is pulled without sliding by the thread with constant force $F$ directed at an angle $alpha$ to the horizontal. Find:
the projection of the acceleration vector of the spool axis on the x-axis.
b)the work performed by the force during the first $t$ seconds after the beginning of motion.
I already did the first part as shown in the picture below:
I ended up with $a=frac{F(r-Rcosalpha)}{Rm(gamma+1)}$, but according to my book the answer is $a=frac{F(cosalpha-frac{r}{R})}{m(1+gamma)}$. I don’t understand why are the signs different, what am I doing wrong?
I don’t have too much of a clue for the second part, maybe can you give me a hint? Hope you can help me.
asked Apr 25, 2019 at 6:44
$endgroup$
$begingroup$
One solution is the above. The other one is from the rotation at the point when the spool touching the ground. For simplicity, let $alpha = 0$:
kinetic relation: $a_{||} = R frac{d omega}{dt}$
Newton law in rotation: $F(R-r) = (gamma + 1) R^2frac{d omega}{dt}$
So that: $a_{||} = frac{1- frac{r}{R}}{gamma + 1} frac{F}{m}$
answered Jul 25, 2020 at 22:03
$endgroup$
$begingroup$
You need to be careful in applying the right hand rule to determine the direction of the torques and the angular acceleration. Notice that since the spool is rolling without slipping, it will have angular acceleration in the clockwise direction. By the right hand rule, this means that the angular acceleration is into the page. If we take both the angular acceleration and horizontal acceleration to be positive, which you’ve done with $a = Ralpha$, then the torque from $F$ is directed out of the page (i.e. negative) while the torque from friction is into the page (i.e. positive). Thus you should have the following equations: $$Fcosalpha-F_f = m a_{||} \ a_{||} = Ralpha \ F_f R — Fr = I alpha.$$ Solving those for $a_{||}$ yields the answer from the book.
The second part is definitely trickier. My suggestion is the following. We know that $$Delta K = W_{ext}.$$ We also know that the force of friction does no work since the spool doesn’t slip. Therefore if we compute $Delta K$ then we know how much work was done by the force. Remember that the kinetic energy has two contributions: one from the horizontal motion and one from the rotational motion. I found a final answer of $$W_{ext} = frac{1}{2} frac{F^2(cosalpha-frac{r}{R})^2}{m(1+gamma)}t^2.$$
Good luck!
answered Apr 25, 2019 at 15:31
WAHWAH
1,1235 silver badges15 bronze badges
$endgroup$
8
Сначала пара слов в продолжение подсказки. Скорость нити U мы определяем относительно неподвижных объектов. В нашем случае такой объект только один — это поверхность, по которой катится катушка. И относительно этой поверхности у катушки всегда есть одна точка, скорость которой равна нулю: точка С — место ее сцепления с поверхностью. Да, эти точки каждый раз разные, но в любой момент времени (если, скажем, сфотографировать) такая точка одна. При условии, конечно, что и катушка, и стол абсолютно твердые, то есть не подвержены деформации. Эту точку и называют мгновенной осью вращения, МОВ (или мгновенным центром скоростей, МЦС).
Вернемся к задаче. Разных решений тут действительно множество и чуть ниже мы некоторые из них разберем, но начнем с применения идеи мгновенной оси вращения.
Разберемся сначала со случаем, в котором нить горизонтальна.
Введем обозначения: V — скорость оси катушки, ɑ — угол нити к горизонту, U — скорость нити, R и r — радиусы внешней и внутренней части катушки, соответственно.
Итак, как мы сказали, точка С — единственная неподвижная точка катушки относительно поверхности в произвольный момент времени. Если при этом тянуть связанную с катушкой нить, это, очевидно, будет вызывать вращение катушки вокруг этой точки как вокруг оси — ведь других неподвижных точек нет. Поэтому ее движение в каждый момент времени хорошо описывается, как вращение вокруг этой мгновенной оси (в «следующий» момент катушка «немного» поворачивается, эта точка чуть-чуть смещается по ее ободу и т. д.). А значит, у катушки есть своя угловая скорость. Обозначим ее, как водится, ω (рис. 3).
Условие, что движение происходит без проскальзывания, позволяет воспользоваться уравнением связи между угловой и линейной скоростью:
[V_x=omega R_x,]
где (V_x) — линейная скорость произвольной точки X на катушке, а (R_x) — расстояние от оси вращения С до этой точки (рис. 4).
Если обозначить буквой A самую верхнюю точку обода катушки, то для точек, лежащих на отрезке АС, значение линейной скорости будет меняться от (V_A=omegacdot2R) до нуля для мгновенного центра скоростей С (рис. 5).
Кстати, если мысленно продолжить отрезок AC ниже поверхности (за точку C), то окажется, что векторы скоростей поменяют направление (рис. 6). Это означает, что если, например, вместо катушки у нас катящийся по направляющим шар (часть которого оказывается ниже направляющих) или колеса поезда (на которых имеются выступающие части, удерживающие поезд на рельсах — так называемые реборды), то в них в каждый момент времени будут области, которые движутся «навстречу» самому объекту (относительно направляющих/рельсов). Именно точки на ребордах — это ответ на популярный шуточный вопрос о наличии в поезде частей, которые едут в обратном направлении.
Вернемся к задаче.
Ось катушки О находится на расстоянии R от мгновенной оси вращения С, поэтому ее линейная скорость равна (V_O=omega R). Скорость точки B (она расположена на внутренней части катушки в месте отрыва нити) будет, в силу нерастяжимости нити, равна U, что дает равенство (U=omega(R-r)), из которого выражается угловая скорость катушки:
[omega=dfrac{U}{R-r}.]
Значит, линейную скорость оси O можно записать так:
[V_O=dfrac{UR}{R-r}.]
Мы рассчитали значение скорости оси катушки относительно земли. Но расчет делался для одного мгновения, в которое данная точка С была неподвижна и могла послужить осью вращения. Будет ли этот результат справедлив для постоянного движения? Как мы уже говорили, такая ось С в каждый момент времени новая. Но она ничем не отличается от предыдущей. Для любой из мгновенных осей С, взятых подряд, мы можем рассчитать значение линейной скорости оси О и получить тот же ответ. Это означает, что (V_O) постоянна в любой точке траектории и в течение всего качения, и соответствует реальному движению (и это подтверждается другими способами решения и — главное — экспериментами, практикой).
Итак, мы получили ответ на первый вопрос. Давайте посмотрим на него внимательнее и предупредим мышей о возможных последствиях такого результата.
R, очевидно, больше, чем ((R-r)), а значит, дробь (frac{R}{R-r}) всегда больше единицы. Следовательно, скорость (V_O), с которой катится катушка по полу, всегда больше скорости U, с которой ее тянут за нитку. То есть катушка всегда нагоняет того, кто тянет нить!
Чем больше внутренний радиус r (то есть чем ближе он по значению к R), тем больше будет скорость катушки и тем быстрее она будет нагонять волшебного мула! И для того, чтобы не ушибить редкое и чувствительное животное, мышкам надо бы хорошо рассчитать длину свободного конца нитки, чтобы правосудие в лице катушки не настигло их прежде, чем они достигнут места назначения.
Когда катушка делает один полный оборот, она проезжает по земле расстояние, равное длине ее окружности, то есть (2pi R). За это же время барабан, сделавший, очевидно, также один оборот, намотает участок нити длины (2pi r). То есть расстояние между катушкой и мулом сокращается на величину (2pi r) за каждый участок пути длиной (2pi R), и это не зависит от скорости мула. Если расстояние до мышиного цирка принять за L, то число оборотов, которое совершит катушка по пути до своего нового места жительства, будет равно (frac{L}{2pi R}), а длина нити, намотанная за время пути на барабан, — (frac{L}{2pi R}cdot2pi r=Lfrac rR) (при условии, конечно, что цирк не очень далеко и радиус r не успеет измениться из-за наматывания нити). Следовательно, для безопасной транспортировки понадобится нитка, равная (frac rR) расстояния до цирка.
Теперь посмотрим, что будет, когда нить тянут под углом α к горизонту.
Нужно выбрать точку, движение которой удобно для отыскания угловой скорости. Точка В здесь, очевидно, — не слишком удачный выбор, так как направление ее движения будет перпендикулярно отрезку СВ (ее радиусу относительно мгновенной оси вращения) и сложно поддается описанию. А вот точка D, лежащая на «продолжении» нити и такая, что угол CDB прямой (другими словами — проекция точки C на линию нити), то ее скорость вокруг МОВ будет совпадать с U и по модулю, и по направлению (рис. 7). Следовательно, скорость точки D как линейная при круговом движении вокруг оси С равна (V_D=omegacdot CD=U).
Теперь немного геометрии. Отрезок ОВ, равный радиусу r, перпендикулярен нити (как радиус к касательной окружности). Достроим на сторонах DС и ВD прямоугольник BECD. Заметим, что углы COE и α равны (как углы со взаимно перпендикулярными сторонами). Из треугольника ОCE следует, что (OE=OCcdotcosalpha=Rcdotcosalpha), а (BE=OE-OB=Rcdotcosalpha-r). Далее, (DC=BE), как противоположные стороны прямоугольника, а линейная скорость точки D, как мы помним, равна U.
Откуда легко найти, что угловая скорость катушки вокруг МОВ равна (omega=frac{U}{Rcdotcosalpha-r}), а искомая скорость оси —
[V_O=omega R=frac{UR}{Rcdotcosalpha-r}.]
Заметим, что знак скорости будет меняться в зависимости от значения угла α — когда его косинус станет меньше отношения радиусов (это произойдет при достаточно большом угле), катушка начнет катиться в сторону, противоположную движению нити (речь о диапазоне значений α от 0 до 90° — при углах, больших 90°, задача переходит в другую, где нить выходит сверху барабана; в этом случае скорость оси всегда будет сонаправлена горизонтальной составляющей скорости нити).
Какой же вывод следует для мышек из всех этих замечательных открытий?
Чтобы катушка покатилась за ними к цирку, им следует тянуть ее за нить либо горизонтально, либо под углом, для которого верно неравенство (cosalpha<frac rR). Как определить его на глаз, мы поговорим в послесловии.
Здравствуйте!
Подскажите, пожалуйста, решение к задаче. Извините, что формула визуализирована не по правилам форума.
«На шероховатой горизонтальной плоскости лежит катушка ниток массой m. ее момент инерции относительно собственной оси I=γ*m*R^2, где γ-числовой коэффициент, R-внешний радиус катушки,r-радиус намотанного слоя ниток. катушку без скольжения начали тянуть силой F, направленной под углом к горизонту. найдите ускорение оси катушки. «
Правильно ли, что начать нужно с второго закона Ньютона:
F*cosα-Fтрения=ma
и как дальше это связать с моментом инерции?
Примеры решения задач по классической механике Порядок решения задачи на уравнение траектории
Задача. Даны законы поступательного
движения тела по осям
и
:
,
.
Найти уравнение траектории
.
Решение.
Из первого или из второго уравнения,
где это проще, выражаем время
и подставляем в другое уравнение. Если
время находится под знаком синуса или
косинуса, то выражаем из первого и
второго уравнений
и
и используем формулы тригонометрии.
Порядок решения прямой задачи
Задача. Тело массы
движется поступательно и прямолинейно
по закону
,
м. Найти силу, импульс и кинетическую
энергию тела в заданный момент времени
(в частности в момент изменения направления
движения).
Решение.
Сначала находим зависимость скорости
тела от времени
потом зависимость ускорения от времени
Время остановки находим из условия
Все стальные величины найдем по второму
закону Ньютона и другим формулам.
Задача. Тело с моментом инерции
вращается по закону
,
м. Найти момент силы, момент импульса и
кинетическую энергию тела в заданный
момент времени (в частности в момент
изменения направления движения).
Решение.
Сначала находим зависимость угловой
скорости тела от времени
потом зависимость угловго ускорения
от времени
Время остановки находим из условия
Все стальные величины найдем по второму
закону Ньютона и другим формулам.
Порядок решения обратной задачи
Задача. Тело массы
начинает двигаться (
из точки с координатой
под действием силы
.
Найдите скорость и координату тела в
некоторый момент времени
.
Решение.
Из условия задачи можно найти ускорение
тела:
Для решения задачи используем формулы
определения скорости и ускорения тела,
из которых путем взятия определенного
интеграла можно будет найти искомые
зависимости и величины:
Так как начальная скорость
равна нулю,
Итак
Задача. Маховик с заданным моментом
инерции
начал вращаться под действием момента
сил
.
Найдите его угловую скорость, момент
импульса и кинетическую энергию в
некоторый момент времени
.
Решение.
Из условия задачи можно найти угловое
ускорение тела:
Зависимость угловой
скорости от времени находим, как и в
предыдущей задаче:
Момент импульса и
кинетическую энергию считаем по формулам:
Задача 8. Кинетическая энергия
вращающегося маховика зависит от времени
по закону:Екин= 240t4 ,
Дж. Найдите его момент импульса и
вращающий момент сил через времяt= 2 c после начала движения. Момент инерции
маховика равен 20 кг·м2. Ответ: 400
Дж∙с, 400 Н∙м.
Решение.
Используем формулу кинетической энергии
вращающегося тела
и подставим в условие задачи:
Откуда
Найдем зависимость углового ускорения
от времени:
Найдем угловую скорость через время t= 2 c после начала движения:
Момент импульса тела
Найдем угловое ускорение через время
t= 2 c после начала движения:
Вращающий момент сил
Задача 14. Намотанная на нить катушка
висит на этой нити. Нить расположена
строго вертикально. Катушка расположена
строго горизонтально. Масса катушки 25
г, ее момент инерции равен 3,6∙10-6кг∙м2. Радиус катушки равен 1,5 см.
Катушка сматывается с нити без скольжения.
Ускорение свободного падения примите
равным 9,8 м/с2. Найдите ускорение
катушки. Ответ: 6,0 м/с2.
Решение.
Исходя из условия задачи, мы знаем, что
линейное ускорение цилиндрабудет
направлено вертикально вниз, и что при
этом он будет вращаться по часовой
стрелке, и при этом егоугловое ускорениетакже будет направлено по часовой
стрелке. Сделаем рисунок.
На цилиндр действуют два
тела: Земля и нить. Активной
силой является сила, с которой Земля
действует на цилиндр. Эта сила есть сила
тяжести
.
Она направлена вертикально вниз. Сила
тяжести тянет цилиндр вертикально вниз.
Цилиндр при этом растягивает нить.
В ответ на свое растяжение
нить действует на цилиндр с силой
реакции
,
направленной вдоль нити вертикально
вверх.
Применим уравнение второго
закона Ньютона в векторной форме:
Исходя из условия
задачи, мы знаем, что линейное ускорение
цилиндра
будет направленовертикально
вниз.Поэтому запишемуравнение
второго закона Ньютона в проекции на
ось, совпадающую с направлением ускорения,
то есть вертикально вниз. Это первое
уравнение справа от рисунка.
Этого уравнения недостаточно для
решения задачи, поскольку в нем две
неизвестных величины:
и
.
Это естественно, потому что цилиндр еще
и вращается. Поэтому запишемуравнение
второго закона Ньютона для вращательного
движения в проекции на направление
вращения. Это второе уравнение справа
от рисунка.
Появилось новая неизвестная
величина – угловое ускорение
.
Формула связи между угловым и линейным
ускорением (третье уравнение справа от
рисунка) замкнет систему уравнений.
После преобразований, сделанных справа
от рисунка, мы получили решение задачи,
то есть нашли формулы для расчета
линейного ускорения цилиндра.
Посчитаем величину линейного ускорения
цилиндра:
Если цилиндр сплошной, применим формулу
для расчета момента инерции сплошного
цилиндра:
Получим для расчета ускорения
Задача 19. Найдите
зависимость скорости цилиндра от
времени, если он скатывается с наклонной
плоскости с углом наклона
= 300к горизонту. Масса цилиндраm= 3 кг, его момент инерции равен
2 кг·м2, радиусR= 0,8 м.
Ускорение
принять равным 9,8 м/с2. Ответ: 2,4t,
м/с.
Решение.
Исходя из условия задачи, мы знаем, что
линейное ускорение цилиндрабудет
направлено вниз вдоль наклонной
плоскости, и что при этом он будет
вращаться по часовой стрелке, и при этом
егоугловое ускорениетакже будет
направлено по часовой стрелке. Сделаем
рисунок.
На цилиндр действуют два
тела: Земля и наклонная плоскость.
Активной
силой является сила, с которой Земля
действует на цилиндр. Эта сила есть сила
тяжести
.
Она направлена вертикально вниз. Эта
сила тяжести имеет две проекции (две
составляющие):
,перпендикулярную наклонной
плоскости, и
,
направленную вниз вдоль наклонной
плоскости. Сила тяжести
оказывает двойное действие на цилиндр:
прижимает его к наклонной плоскости
перпендикулярно ей с силой
и стаскивает его вдоль наклонной
плоскости с силой
.
Ответ – реакциюна эти двесоставляющие
дает наклонная плоскость. В ответ на
прижимающую силу
наклонная плоскость действует с силой
нормальной реакции
,
направленной противоположно прижимающей
силе. Прижатый к наклонной плоскости
цилиндр по условию не скользит вдоль
наклонной плоскости. Это потому, что в
ответ на стаскивающуюсилу
наклонная плоскость действует на цилиндр
с силой трения.
,
направленной вдоль наклонной в
противоположном направлении.
Применим уравнение второго
закона Ньютона в векторной форме:
Исходя из условия
задачи, мы знаем, что линейное ускорение
цилиндра
будет направлено вдоль наклонной
плоскости, перпендикулярно наклонной
плоскости ускорения нет. Поэтом запишемуравнение второго закона
Ньютона в проекции на ось, совпадающую
с направлением ускорения, то есть вдоль
наклонной плоскости вниз. Это первое
уравнение справа от рисунка.
Этого уравнения недостаточно для
решения задачи, поскольку в нем две
неизвестных величины:
и
.
Это естественно, потому что цилиндр еще
и вращается. Поэтому запишемуравнение
второго закона Ньютона для вращательного
движения в проекции на направление
вращения. Это второе уравнение справа
от рисунка.
Появилось новая неизвестная
величина – угловое ускорение
.
Формула связи между угловым и линейным
ускорением (третье уравнение справа от
рисунка) замкнет систему уравнений.
После преобразований, сделанных справа
от рисунка, мы получили решение задачи,
то есть нашли формулы для расчета
линейного ускорения и скорости цилиндра.
Найдем зависимость скорости цилиндра
от времени:
Если цилиндр полый, как в условии задачи
18, применим формулу для расчета момента
инерции полого цилиндра:
Получим для расчета ускорения
Задача
24. Пуля, масса которой
10 г и скорость 500 м/с, попадает в дверь
ширины l
= 120 см и застревает в ней на расстоянии
a
= 80 см от оси. Масса двери равна 60 кг.
Найдите угловую скорость двери после
попадания в нее пули (скорость пули
перпендикулярна плоскости двери). Ответ:
0,14 1/с.
Решение.
Сделаем рисунок.
Летящая пуля обладает
импульсом
и моментом импульса
относительно оси, на которой закреплена
дверь. Плечо импульса пули равно
.
Пуля, попав в дверь и застряв
в ней, толкнет дверь. Но дверь закреплена
на своей оси, и сила реакции, возникшая
со стороны этой оси, подействует на
дверь и поменяет суммарный импульс пули
и двери. Однако у этой силы реакции нет
плеча, поскольку она проходит через
ось. Следовательно, эта сила не сможет
создать вращающий момент.
Только момент внешних сил
может изменить суммарный момент импульса
пули и двери. И поскольку момент внешних
сил равен нулю сохраняется суммарный
момент импульса пули и двери. До удара
момент импульса был только у пули, а
после удара и у пули, и у двери. Причем,
поскольку пуля застряла в двери, вращаться
они будут с одной и той же угловой
скоростью
.
Запишем уравнение сохранения
момента импульса:
где
– момент инерции пули (как материальной
точки на расстоянии
от оси),
– момент инерции двери.
Из этой формулы выразим угловую скорость:
Задача.
Найти энергию, перешедшую в тепло при
абсолютно неупругом соударении шаров,
в двух случаях: шары движутся в одну
сторону или навстречу друг другу.
Решение.
Предполагается, что при ударе шары
слипнутся, образовав одно тело с массой
.
При этом часть кинетической энергии
шаров перейдет в тепло и превратится
во внутреннюю энергию образовавшегося
тела. Разность между суммой кинетических
энергий двух шаров до удара и кинетической
энергией образовавшегося тела будет
равна количеству теплоты:
Чтобы посчитать это количество теплоты,
нужно сначала вычислить скорость
образовавшегося при ударе тела.
При ударе суммарный импульс тел
сохранитсяв соответствии с уравнением
Если шары до удара двигались в одном
направлении, то проекция этого
векторного уравнения на направление
движения будет выглядеть так:
откуда
Если шары до удара двигались навстречу
друг другу, то проекция этого векторного
уравнения на направление движения
первого шара будет выглядеть так:
откуда
Теперь можно будет посчитать и количество
теплоты.
Задача.
Найти новую угловую скорость вращения
легкого жесткого стержня при изменении
положения грузиков с массами
и
,
если задана первоначальная скорость
вращения. Или найти, во сколько раз
изменится угловая скорость вращения.
Решение.
Предполагается, что изменение
положения грузов произошло без воздействия
внешней силы, грузы взаимодействуют
только со стержнем. В этом случае
сохраняется момент импульса двух грузов
(момент инерции и момент импульса стержня
равны нулю, так как по условию он не
имеет массы):
Моменты инерции грузов
считаем по формуле для материальных
точек на расстоянии
от оси:
Задача.
Найти максимальную или минимальную
скорость движения планеты или их
отношение, если даны максимальное или
минимальное расстояние до звезды или
их отношение, и наоборот.
Решение.
1
2 
При движении спутника
вокруг притягивающего массивного тела
сохраняется момент импульса спутника.
Модуль момента импульса равен
,
где
– плечо импульса. Скорость спутника
всегда направлена по касательной к
орбите. Только в двух точках орбиты: на
минимальном (1) и максимальном (2)
расстояниях от притягивающего тела
плечо импульса
равно соответствующим расстояниям
.
Для этих двух точек1 и2
запишем равенство моментов импульса:
На минимальном расстоянии
спутника от притягивающего тела его
скорость максимальна, а на максимальном
расстоянии – минимальна. Максимальная
скорость спутника во столько же раз
больше минимальной, во сколько максимальное
расстояние больше минимального.