Как найти ускорение перемычки

2018-05-14   

Система отличается от рассмотренной в задаче 7595 (см. рис.) лишь тем, что вместо сопротивления $R$ к концам шин подключен конденсатор емкости $C$. Найти ускорение перемычки.

Решение:

Из закона Ленца ток через медную перемычку направлен от 1 до 2 или, другими словами, индуцированный ток в цепи направлен по часовой стрелке.

Разность потенциалов на пластинах конденсаторов,

$frac{q}{C} = mathcal{E}_{ин}$ или, $q = C mathcal{E}_{ин}$

Следовательно, индуцированный ток в контуре,

$i = frac{dq}{dt} = C frac{d mathcal{E}_{ин} }{dt}$

Но изменение магнитного потока через контур вызвано движением стержня. Таким образом, индуцированный ЭДС $mathcal{E}_{ин} = Blv$

а также, $frac{d mathcal{E}_{in} }{dt} = Bl frac{dv}{dt} = Blw$

Следовательно, $i = C frac{d mathcal{E}}{dt} = CBlw$

Тогда силы, действующие на стержни, представляют собой силу Ампера, где $F_{амп} = ilB (CBlw)B = Cl^{2} B^{2} w$

Из второго закона Ньютона для стержня $F_{x} = mw_{x}$

или, $mg sin alpha — Cl^{2}B^{2} w = mw$

Следовательно $w = frac{mg sin alpha}{Cl^{2}B^{2} + m } = frac{g sin alpha}{1 + frac{l^{2}B^{2}C }{m} }$

Магнитное поле: перемычки на рельсах — 1

В этой статье мы рассмотрим перемещающиеся по рельсам перемычки в магнитном поле .  Рельсы будут как горизонтальными, так и наклонными, замкнутыми на резистор или на конденсатор. Статья является третьей в серии «Магнитное поле». Конспект занятий Пенкина М.А.

Задача 1.

Два идеальных проводящих рельса (), расположенных вертикально, находятся в магнитном поле с индукцией , и замкнуты сопротивлением . Расстояние между рельсами . На рельсах удерживается перемычка массой , которую отпускают. Через некоторое время скорость перемычки устанавливается. Найти эту постоянную скорость.

Перемычка начнет двигаться под действием силы тяжести. Свободные заряды в ней, следовательно, будут иметь скорость перемычки. А на движущиеся в магнитном поле заряды действует сила Лоренца. Таким образом, движущаяся перемычка будет источником питания для цепи, которую она замыкает, с ЭДС индукции, которую можно определить. Эта ЭДС породит ток, а ток в свою очередь – силу Ампера, которая будет противодействовать силе тяжести, потому и скорость установится. Первым шагом мы определим эту ЭДС индукции, вторым – рассчитаем электрическую цепь, и, наконец, обратимся к механике, чтобы определить скорость.

Шаг 1. Определение ЭДС. Берем промежуточное положение перемычки.

На концах проводника, движущегося в магнитном поле, индуцируется ЭДС, определяемая формулой:

У нас , .

Таким образом, ЭДС – постоянная (скорость же постоянна).

Шаг 2. Расчет схемы.

Ток тоже постоянный.

Шаг 3. Обратимся теперь ко второму закону Ньютона:

При этом условии и скорость постоянна.

Распишем это подробнее:

У нас угол между линиями поля и током , поэтому

Теперь можно приравнять токи:

Откуда скорость перемычки

Ответ: .

Задача 2.

Два горизонтально расположенных рельса замкнуты с двух сторон: справа – перемычкой с сопротивлением , слева – перемычкой с сопротивлением . Линии поля направлены вертикально вниз. Расстояние между рельсами . На рельсах перпендикулярно им лежит перемычка с сопротивлением . Перемычку толкают, придавая ей скорость , и спустя некоторое время перемычка останавливается. Какой путь она пройдет до остановки? Трения нет, масса перемычки .

Начинаем с шага 1 – определения ЭДС. На концах проводника, движущегося в магнитном поле, индуцируется ЭДС, определяемая формулой:

У нас .

Шаг 2. Расчет схемы.

Заменяем схему эквивалентной, замечая, что сопротивления и соединены параллельно. Не забываем, что у перемычки есть сопротивление .  Тогда

Скорость перемычки падает, следовательно, ток тоже не остается постоянным: он уменьшается.

Шаг 3. Пришло время механики. На проводник (перемычку) действует сила Ампера, в результате чего у перемычки есть ускорение (она тормозит):

Распишем это подробнее:

У нас угол между линиями поля и током , поэтому

Тогда

Подставляем ток:

Домножим на :

Заменим произведение — на элементарное перемещение:

И просуммируем это выражение за весь тормозной путь :

Откуда тормозной путь

Ответ: .

Задача 3.

Два идеально проводящих  рельса расположены под углом к горизонту и замкнуты на конденсатор . Линии поля направлены вертикально вниз. Расстояние между рельсами . На рельсах перпендикулярно им лежит перемычка. Перемычку отпускают, и она скользит по рельсам. Какое расстояние   она пройдет за время ? Трения нет, масса перемычки .

Шаг первый. Определяем ЭДС, которой эквивалентна движущаяся перемычка.

Для этого определяем направление силы Лоренца (она направлена к нам, как показано на рисунке). На концах проводника, движущегося в магнитном поле, индуцируется ЭДС, определяемая формулой:

У нас угол между скоростью и направлением линий магнитного поля , поэтому  .

Шаг 2. Рисуем схему:

Ток в емкости равен

Поэтому

Шаг третий. Обращаемся к механике.

По второму закону Ньютона

Где , .

Подставим ток:

Тогда ускорение

Ускорение будет постоянным. Путь, пройденный перемычкой до остановки легко найти:

Ответ: .

Задача 4.

Два идеальных параллельных друг другу рельса замкнуты перемычкой с и , конденсатор заряжен до  . Перемычка содержит ключ. На рельсах лежит перемычка массой . Трения нет. Расстояние между рельсами неизвестно, линии индукции магнитного поля направлены перпендикулярно плоскости рельсов к наблюдателю. Найти  ускорение перемычки сразу после замыкания ключа, если при принудительном перемещении перемычки со скоростью на конденсаторе устанавливается напряжение .

Шаг 1. Сразу после замыкания ключа напряжение на конденсаторе скачком не изменится и останется равным .

Шаг 2. Скорость перемычки скачком не изменится, поэтому вначале .

Из-за протекающего тока возникнет сила Ампера:

Шаг 3: по второму закону Ньютона

В этом выражении нам неизвестны ни индукция, ни расстояние между рельсами. Возвращаемся к условию задачи: при принудительном движении перемычки

Ток в емкости – производная от напряжения на ней. Так как напряжение постоянно, то производная равна нулю и тока нет. Следовательно, .

То есть

Откуда

Тогда

Ответ: .

В данном случае движение с постоянной скоростью невозможно. Действительно, при постоянной скорости ЭДС индукции также постоянна, поэтому когда конденсатор зарядится до напряжения, равного ЭДС индукции, ток прекратится, исчезнет тормозящая сила Ампера и перемычка начнет двигаться ускоренно.

Если пренебречь сопротивлением перемычки и рельсов, то напряжение на конденсаторе в любой момент времени равно ЭДС индукции:

Вldv = dq/C.
I = dq/dt = CBl dv/dt = СBl dv/dt = СBla.

Сила тока оказывается пропорциональной ускорению (!) перемычки.

Уравнение движения по закону Ньютона имеет вид:

ma = mg − IBl = mg − CBlaBl,

откуда:

a = mg / (m + C(Bl)²).

Обратите внимание, магнитное поле и конденсатор как бы увеличивают массу перемычки.

Показательная задача.

Да набросать-то недолго, только потом ведь придется:
1) самому же и доделывать этот набросок.
2) Рисовать картинку.
3) Писать формулы в редакторе.
4) Проверять вычисления.
5) Объяснять вам формулы и рисунки.
Так? Так!
А время на это есть не у всех.

Да и задача старая, ей уже две недели. Никто о ней не спрашивает, значит, никому уже не нужна.

Другое дело, если бы вы здесь дали свое решение. Его тут же поправили бы, объяснили ваши ошибки, сказали, как правильно.

Если хотите быстро получить помощь,

приносите сюда не условия, а решения.

По этой задаче.
Стержень движется в магн. поле, пересекает линии индукции. Между его концами возникает напряжение U = Blv (докажите!). Растет энергия конденсатора CU^2/2, растет кинетическая энергия mv^2/2. Потенциальная mgh — убывает. Их сумма = const. Взять производную, найти ускорение.

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

---

---