Как найти условия монотонности функции

Моното́нная
фу́нкция —
это функция, приращение которой
не меняет знака, то есть либо всегда
неотрицательное, либо всегда
неположительное. Если в дополнение
приращение не равно нулю, то функция
называется стро́го
моното́нной.
Монотонная функция — это функция,
меняющаяся в одном и том же направлении.

Функция
возрастает, если большему значению
аргумента соответствует большее значение
функции. Функция убывает, если большему
значению аргумента соответствует
меньшее значение функции.

Определения

Пусть
дана функция Тогда

• функция называетсявозраста́ющей на ,
  если

.

• функция называетсястро́го
  возраста́ющей на ,
  если

.

• функция называетсяубыва́ющей на ,
  если

.

• функция называетсястро́го
  убыва́ющей на ,
  если

.

(Строго)
возрастающая или убывающая функция
называется (строго) монотонной.

Другая
терминология

Иногда
возрастающие функции называют неубыва́ющими,
а убывающие функции невозраста́ющими.
Строго возрастающие функции тогда зовут
просто возрастающими, а строго убывающие
просто убывающими.

Свойства
монотонных функций

• Монотонная
  функция, определённая
  на интервале, измерима относительно борелевских
  сигма-алгебр.

• Монотонная
  функция, определённая
  назамкнутом интервале, ограничена.
  В частности, она интегрируема
  по Лебегу.

• Монотонная
  функция может иметь разрывы
  только первого рода.
  В частности, множество точек
  разрыва не
  более чем счётно.

• Монотонная
  функция дифференцируема почти
  всюду относительно меры
  Лебега.

Условия
монотонности функции

 не
убывает на тогда
и только тогда, когда

 не
возрастает на тогда
и только тогда, когда

если тострого
возрастает на

если тострого
убывает на

Обратное,
вообще говоря, неверно. Производная
строго монотонной функции может
обращаться в ноль.
Однако, множество точек, где производная
не равна нулю, должно быть плотнона
интервале Точнее
имеет место

Аналогично, строго
убывает на интервалетогда
и только тогда, когда выполнены следующие
два условия:

71. Экстремумы функции. Необходимое условие существования экстремума.

Экстре́мум (лат. extremum —
крайний) в
математике — максимальное или минимальное значение функции на
заданном множестве.
Точка, в которой достигается экстремум,
называется точкой
экстремума.
Соответственно, если достигается
минимум — точка экстремума
называется точкой
минимума,
а если максимум — точкой
максимума.
Вматематическом
анализе выделяют
также понятие локальный
экстремум (соответственно минимум или
максимум).

Определения

Пусть
дана функция и—
внутренняя точка области определенияТогда

Если
неравенства выше строгие, то называется
точкой строгого локального максимума
или минимума соответственно.

•  называется
  точкой абсолютного (глобального)
  максимума, если

•  называется
  точкой абсолютного минимума, если

Значение
функции называют
(строгим) (локальным) максимумом или
минимумом в зависимости от ситуации.
Точки, являющиеся точками (локального)
максимума или минимума, называются
точками (локального) экстремума.

Замечание

Функция определённая
на множествеможет
не иметь на нём ни одного локального
или абсолютного экстремума. Например,

Необходимые
условия существования локальных
экстремумов

• Из леммы
  Ферма вытекает
  следующее:

Пусть
точка является
точкой экстремума функции,
определенной в некоторой окрестности
точки.

Тогда
либо производная не
существует, либо.

(Математический
Анализ. Том 1. Л. Д. Кудрявцев. Москва
«Высшая Школа» 1973 г.)

Общие сведения

Функцией вида р = f(r) называется зависимость ее значения от переменной величины «r» или аргумента. Функциональные тождества бывают простыми и сложными. К первым относится класс выражений, состоящих из одной переменной простого типа. Во втором случае содержится несколько аргументов или аргумент является также функцией, т. е. подчиняется определенному закону.

Монотонной называется функция, постоянно убывающая или возрастающая на заданном промежутке. Если она постоянно убывает или возрастает, то считается строго монотонной. Пусть дана функция р = f(r). Она дифференцируема на некотором интервале (а;b), является возрастающей или убывающей, когда справедливы равенства f(r1) <= f(r2) или f(r1) >= f(r2) соответственно. Кроме того, нужно учитывать, что r1 < r2 или r1 <= r2. Необходимо отметить, что точки r1 и r2 должны принадлежать (а;b).

Когда f(r) является строгой (только убывающей или возрастающей — постоянство), тогда знак «<=» или «>=» следует заменить на строгий «<» или «>»: f(r1) < f(r2) или f(r1) > f(r2) соответственно. Вышеописанные понятия можно записать математическим способом, который считается более компактным:

1. Возрастающая: ∀ r1, r2 ∈ (a;b): r1 < r2 ⇒ f(r1) <= f(r2). Расшифровывается запись таким образом: для любых (∀) точек r1 и r2, принадлежащих (∈) интервалу (a;b), при условии, что r1 < r2, следует (⇒) выполнение неравенства f(r1) <= f(r2).
2. Строго возрастающая: ∀ r1, r2 ∈ (a;b): r1 < r2 ⇒ f(r1) < f(r2).
3. Убывающая: ∀ r1, r2 ∈ (a;b): r1 > r2 ⇒ f(r1) >= f(r2).
4. Строго убывающая: ∀ r1, r2 ∈ (a;b): r1 > r2 ⇒ f(r1) > f(r2).

Следует отметить, что промежутками монотонности функции называются интервалы, на которых она возрастает или убывает. После определений необходимо рассмотреть основные теоремы, позволяющие использовать соотношения для решения различных задач.

Теорема о пределе

Теорема о пределе монотонной функции применяется для решения задач по высшей математике с использованием пределов. Ее формулировка следующая: если функция вида р = f(r) является дифференцируемой и монотонной на интервале (а;b), то в точке r0, принадлежащей заданному интервалу, она имеет конечные пределы с левой и правой стороны, а в точках r0 = a и r0 = b у нее существуют правосторонние и левосторонние границы.

Чтобы доказать утверждение, следует задать некоторую функцию, которая является монотонной. Кроме того, она должна возрастать на некотором интервале [а;b]. После этого нужно выбрать любую точку r0 ∈ (a;b]. В результате этого для ∀ r ∈ [a;r0) ⇒ f(r) <= f(r0) ⇒ f(r) ограничена сверху на [a;r0) ⇒ при существующих (∃ — знак существования) верхних границах (sup) функции f(r) = M <= f(r0). По определению для ∀ r ∈ [a;r0) ⇒ f(r) <= M.

Следует предположить, что существует некоторая переменная «e», которая больше нуля. Она также определена на текущем интервале. Следовательно, выполняется неравенство М — е < f(e). Пусть q = r0 — e и t — значение r0 c левой границей 0 — q. Если выполняется условие ∀ r ∈ (е;r0) = (t;r0), то f(e) <= f(r). В итоге получается, что ∀ е > 0 ∃ q > 0 для r ∈ (t;r0): М — е < f(e) < f(r) <= M < M + e. Следовательно, |f(r) — M| < e. Левый предел, в котором х стремится к точке r0: lim [f(r)] |(r -> r0 — 0) = M. Отсюда следует такое соотношение: f(r0 — 0) = sup f(r), a <= r < r0.

Таким же образом доказывается правосторонний предел в точке r0 ∈ [a;b). Получается такое соотношение: f(r0 + 0) = inf f(r), r0 < r <= b. Теорема доказана. Кроме того, существуют следствия, полученные при доказательстве утверждения о пределе:

1. Возрастание: f(r0 — 0) = lim [f(r)] |(r -> r0 — 0) <= lim [f(r)] |(r -> r0 + 0) = f(r0 + 0).
2. Убывание: f(r0 — 0) = lim [f(r)] |(r -> r0 — 0) >= lim [f(r)] |(r -> r0 + 0) = f(r0 + 0).

Чтобы понять математические обозначения sup и inf, необходимо представить множество значений функции. Первый термин обозначает максимальное значение сверху, а второй — минимальное снизу.

Критерии возрастания и убывания

Существуют определенные признаки, по которым можно определить монотонность функции p = f(r) на некотором интервале (а;b). Для этого в математике есть еще три теоремы:

• Для убывающей и возрастающей.
• Если является строго убывающей или строго возрастающей.
• Определение по точке, производной и интервалу.

Первая теорема имеет такую формулировку: дифференцируемая функция p = f(r) на интервале (а;b) является убывающей, когда выполняется неравенство f'(r) <= 0, а также возрастающей при f'(r) >= 0 соответственно (при r ∈ данному интервалу).

Формулировка следующего утверждения только для строго возрастающей монотонной функции. В первом случае должно выполняться не одно, а два условия: f'(r) > 0 и f'(r) тождественно не эквивалентна нулю на промежутке в любой точке, принадлежащей интервалу. Для строго убывающей условия немного отличаются от предыдущих: f'(r) < 0 и производная f'(r) также не равна нулевому значению на указанном промежутке. Третья теорема позволяет определить характер монотонности p = f(r) в заданной точке r0 ∈ (а;b). Существует два варианта соотношений: для убывающей f'(r0) < 0 и возрастающей: f'(r0) > 0.

Основные свойства

Для функций на интервале (а;b) существуют некоторые утверждения, позволяющие исследовать составные выражения, а также решать различные задачи. К свойствам монотонных функций относятся следующие:

• Сумма двух убывающих (возрастающих) k = f(t) и l = f(v) является возрастающим (убывающим) выражением.
• Если k = f(t) возрастает, то -k = f(t) (противоположная) будет убывать. При убывании первой вторая будет возрастать соответственно.
• Когда у k = f(t) есть обратная вида k2 = 1 / f(t), тогда при убывании первой вторая будет возрастать. Если первая возрастает, то вторая убывает.
• Результатом произведения двух убывающих (возрастающих) является убывающая функция. Также должны выполняться такие условия: k = f(t) >= 0 и l = f(v) >= 0.
• Если k = f(t) возрастает или убывает на (а;b), а l = f(t) возрастает или убывает на (c;d), и (а;b) входит в (c;d), то композиция функций к∘ l (k(l(t))) также возрастает или убывает.

После изучения теорем и основных свойств нужно определить минимум базовых знаний, которые необходимы для исследования на монотонность любого выражения. Кроме того, следует знать графики некоторых функций. Для их построения можно использовать специальные онлайн-калькуляторы и программы, позволяющие выделять результаты разными цветами.

Базовые знания

Для исследования функции на монотонность специалисты рекомендуют руководствоваться некоторыми правилами, которые объединяются в универсальный алгоритм. Он является достаточным для выполнения такого задания и имеет следующий вид:

• Найти производную первого порядка — f'(r).
• Приравнять выражение, полученное в первом пункте, к 0.
• Найти критические точки, решив уравнение во втором пункте.
• Определить знак f'(r) на промежутках, полученных в результате разбиения критическими точками. Найти промежутки убывания и возрастания.

Последний пункт следует реализовывать при помощи таблицы. Необходимо строго придерживаться алгоритма, поскольку неверные действия способны существенно повлиять на результат.

Нахождение производной

Для поиска производной необходимо выполнить такие шаги: вынести константу, упростить выражение и воспользоваться таблицей дифференциалов элементарных функций (рис. 1). Первые два элемента считаются подготовительными, поскольку позволяют оптимизировать процесс вычисления. Для упрощения следует применять формулы сокращенного умножения, свойства дробей, разложение на множители и т. д. После приведения выражения к упрощенному виду нужно воспользоваться таблицей производных элементарных функций.

Рисунок 1. Дифференциалы простых выражений.

Однако при решении задач не всегда попадаются простые выражения. Для составных существуют определенные правила:

• Сумма: [k(t) + l(t)]’ = k'(t) + l'(t).
• Разность: [k(t) — l(t)]’ = k'(t) — l'(t).
• Произведение: [k(t) * l(t)]’ = k'(t) * l(t) + l'(t) * k(t).
• Частное: [k(t) / l(t)]’ = [k'(t) * l(t) — l'(t) * k(t)] / (l(t))^2.
• Сложная: [k(l(t))]’ = l'(t) * k'(t).

Специалисты рекомендуют для проверки использовать программы, но это не значит, что задачи должны решаться только с помощью онлайн-сервисов и математических пакетов.

Корни уравнений и критические точки

Следующим этапом является решение равенства с неизвестным. Необходимо отметить, что уравнения делятся на следующие виды: линейные, квадратные, кубические, биквадратные, тригонометрические, логарифмические, степенные, показательные и иррациональные.

Первый тип решается по очень простому алгоритму: следует перенести неизвестные в одну часть, а известные — в другую. Для решения квадратного уравнения (aw^2 + bw + c = 0) нужно его упростить, разложить на множители или вычислить дискриминант. Последний вычисляется по следующей формуле: D = b^2 — 4ac. Количество корней зависит от значения D и определяется по таким формулам:

1. Два решения при D > 0: w1 = (-b — [D]^(1/2)) / 2a и w2 = (-b + [D]^(1/2)) / 2a.
2. D = 0 (одно): w = (-b) / 2a.
3. Нет корней, когда D < 0.

Используя метод разложения на множители, можно решить без D. Например, в выражении x(x-1)(x-4) = 0 рассматривается три уравнения: x1 = 0, х2 -1 = 0 и х3 — 4 = 0. Решение кубических и биквадратных равенств с неизвестной осуществляется методом разложения на множители. При этом понижается степень до 2, а дальше находятся его корни.

Для нахождения корней других уравнений следует воспользоваться заменой, а затем свести к линейному или квадратному. Следует отметить, что решая трансцендентные (логарифмы и показатели), следует знать правила логарифмирования и свойства степени. Корни также находятся при помощи замены.

Критическими называются точки, в которых функция меняет свое поведение (четность, периодичность, экстремумы и т. д.). При исследовании они записываются в специальную таблицу поведения в виде промежутков.

Пример решения

Задачи бывают нескольких типов. В одних следует найти промежутки монотонности, а во-вторых — доказать на основании теорем, что она возрастает или убывает на заданном промежутке. Например, необходимо найти промежутки монотонности функции z(y) = (y^2 + 1) / y. Следует отметить, что она является дифференцируемой. Ее область определения D(z) = (-бесконечность;0) U (0;+бесконечность). Решать ее нужно по алгоритму:

• Производная: [(y^2 + 1) / y]’ = (y^2 — 1) / y.
• Приравнять к 0: (y^2 — 1) / y = 0.
• Найти корни — критические точки (y — 1)(y + 1) / y = 0: y1 не равен 0, y2 = 1 и у3 = — 1.
• Построить таблицу.

Таблица 1. Интервалы монотонности.

Если функция является четной, то эта особенность не влияет на результат, поскольку ее производная может быть с отрицательным знаком. Примером является обычный тригонометрический косинус.

Таким образом определение монотонности функции на заданном промежутке является одним из элементов исследования ее поведения. Для осуществления этой операции применяются специальный алгоритм, теоремы и свойства.