Как найти условное отклонение

Основные свойства средней величины:

1.имеется абстрактный характер так как
является обобщающей величиной, в ней
стираются

случайные колебания

2.занимает срединное положение в ряду
(в строго симметричном ряду)

3.сумма отклонений всех вариант от
средней величины равна нулю. Данное
свойство средней

величины используется для проверки
правильности расчета средней величины.

Виды средних величин

1. Мода (Мо) — варианта, наиболее часто
встречающая и в вариационном ряду.

2. Медиана (Ме) — варианта занимающая в
вариационном ряду срединное

положение, т.е., центральная варианта,
делящая вариационный ряд на две

равные части.

М_ои М_е — условные средние.

3. Средняя арифметическая:

а).Средняя арифметическая простая

б).Средняя арифметическая взвешенная

в). Средняя арифметическая, вычисленная
по способу моментов.

Вычисление средней арифметической , простой и взвешенной

В случаях, когда мы имеем простой
вариационный ряд, в котором каждой
варианте

соответствует частота (Р) равная 1,
вычисляется средняя арифметическая
простая по

формуле:

где М средняя арифметическая - знак суммирования V — варианта, n — число
наблюдений

Таким образом, средняя арифметическая
простая равна сумме всех вариант,
деленной на число

наблюдений.

Пример: Определение средней массы тела
юношей в возрасте 18 лет (в кг)

V(в кг)	Р
64	1
63	1
62	1
61	1
60	1
59 V =369	1 п =6

Однако чаще всего приходится вычислять
среднюю арифметическую взвешенную,
которая

получается из взвешенных рядов, где
каждая вариантавстречается
различное количество раз

или, как говорят, имеет различный вес.

Средняя арифметическая взвешенная
вычисляется по формуле:

М = VР,

n где М средняя арифметическая
- знак суммирования
, V — варианта,

Р -частота встречаемости, n — число
наблюдений

Таким образом, средняя арифметическая
взвешенная равна сумме произведений
вариант на их

частоты, деленной на число всех наблюдений.

Пример: определение средней массы тела
юношей в возрасте 18 лет (в кг.)

V(в кг)	Р	VР	кг.
64	2	128
63	3	189
62	9	558
61	6	366
60	4	240
59	1 п =25	59 V Р=1540

Вычисление средней арифметической по способу моментов

При большом числе наблюдений или при
большом числовом значении вариант
применяют

упрощенный способ вычисления средней
арифметической- способ моментов.

М = А+ iар

п

где М — средняя арифметическая; А —
условная средняя; i — интервал между
группами вариант;

 — знак суммирования.; а- условное
отклонение каждой варианты от условной
средней;

р — частота встречаемости вариант; n —
число наблюдений.

Пример вычисления средней арифметической
по способу моментов (средней массы тела

юношей в возрасте 18 лет)

V(в кг)	Р	а (V-А)	а .Р
64	2	+2	+4
63	3	+1	+3
Мо=62	9	0	0
61	6	-1	-6
60	4	-2	-8
59	1	-3	-3
	п = 25		ар = — 10кг

Этапы расчета средней по способу
моментов:

1) за условную среднюю А рекомендуется
принять Моду или Медиану, например А =
62кг, так как 62 кг было у 9 юношей из 25;

2) определяем «а» — условное отклонение
варианты от условной средней, для этого
из каждой варианты вычитаем условную
среднюю: а = V — А, ( например, а = 64 — 62 = +2 и
т.д.).

3) умножаем условное отклонение «а»
на частоту «р» каждой варианты и
получаем произведение а р;

4) находим сумму а
. р = — 10кг

5) рассчитываем среднюю арифметическую
по способу моментов:

М = А + i аР = 62 — 10,4 = 61,6кг

п

Таким образом, можно сделать вывод, что
в изучаемой нами группе юношей средняя
масса тела

61,6 кг.

Средняя арифметическая сама по себе
ничего не говорит о том вариационном
ряде, из которого

она была вычислена. На ее типичность
(достоверность) влияет однородность
рассматриваемого

материала и колеблемость ряда.

Пример: даны два одинаковых по числу
наблюдений вариационных ряда, в которых

представлены данные измерений окружности
головы детей в возрасте от 1 года до 2-х
лет

	Ряд 1	Ряд 2
Окружность головы(в см) Частота	41, 45, 46, 47, 48 7, 8, 25, 6, 2	42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50 1, 2, 4, 6, 14, 10, 3, 0, 2

Имея одинаковое число наблюдений и
одинаковые средние арифметические (М=
46 см), ряды

имеют различия в распределении внутри.
Так варианты первого ряда отклоняются
в целом от

средней арифметической с меньшим
значением, чем варианты второго ряда,
что дает

возможность предположить, что средняя
арифметическая (46 см) более типична для
первого

ряда, чем для второго.

В статистике для характеристики
разнообразия вариационного ряда
употребляют среднее

квадратическое отклонение()

Существует два способа расчета среднего
квадратического отклонения:
среднеарифметический

способ и способ моментов. При
среднеарифметическом способе расчета
применяют формулу:

где d истинное отклонение каждой варианты
от истиной средней М. Формула используется
при

небольшом числе наблюдений (п 30)

Формула для определения по способу моментов:

где а — условное отклонение варианты
от условной средней
;

момент второй степени, а
момент первой степени, возведенный в
квадрат.

Теоретически и практически доказано,
что если при большом числе наблюдений
к средней

арифметической прибавить и отнять от
нее 1(М1), то в пределах
полученных величин

будет находится 68,3% всех вариант
вариационного ряда. Если к средней
арифметической

прибавить и отнять 2(М2),
то в пределах полученных величин будет
находиться 95,5%

всех вариант. М 3включает в себя 99,7% всех вариант
вариационного ряда.

Исходя из этого положения можно проверить
типичность средней арифметической для

вариационного ряда, из которого она
была вычислена. Для этого надо к средней

арифметической прибавить и от нее отнять
утроенную (М3). Если в полученные
пределы

данный вариационный ряд укладывается,
то средняя арифметическая типична, т.е.
она

выражает основную закономерность ряда
и ей можно пользоваться.

Указанное положение широко применяется
при выработке различных стандартов
(одежды,

обуви, школьной мебели и т.д).

Степень разнообразия признака в
вариационном ряду можно оценить покоэффициенту

вариации(отношение среднего
квадратического отклонения к средней
арифметической,

умноженное на 100% )

С_v= х
100

М

При С_vменее 10% отмечается слабое
разнообразие, при С_v10-20% — среднее,
а при более 20% —

сильное разнообразие признака.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ СЧЕТНАЯ ОБРАБОТКА ПОЛУЧЕННЫХ ДАННЫХ Расчет средних величин

Актуальность темы. В практической деятельности часто возникает необходимость обобщения больших массивов числовых данных. средних величин. Широко используются средние величины при: — изучении физического развития различных групп населения (средний рост, вес, окружность грудной клетки и т. д. ); — характеристике физиологического состояния органов и систем организма человека (средняя частота пульса, средняя величина артериального давления, жизненной емкости легких, среднее содержание белка крови и т. д. ); — изучении закономерностей течения различных процессов в здоровом и больном организме; — оценке эффективности применения лекарственных препаратов; — гигиенической характеристике внешней среды (среднее содержание пыли и газов в воздухе производственных помещений и в атмосфере, средний уровень шума, вибрации и т. д. ). Средние величины удобно сравнивать между собой и выявлять закономерности.

Различают несколько видов средних величин: • средняя арифметическая, • средняя геометрическая, • средняя гармоническая, • средняя квадратическая, • средняя прогрессивная, • мода, • медиана и д. р. К показателям разнообразия (вариации, колеблемости) относятся: • амплитуда (Am), • лимит (lim) • среднее квадратическое отклонение (δ) • дисперсия (δ 2) • коэффициент вариации (CV)

• Вариационный ряд – это ряд числовых значений изучаемого признака, отличающихся друг от друга по своей величине и расположенных в определенной последовательности (в восходящем или убывающем порядке). • Каждое числовое значение ряда называют вариантой (V). • Числа, показывающие, как часто встречается та или иная варианта в составе данного ряда, называется частотой (р). • Общее число случаев наблюдений, из которых вариационный ряд состоит, обозначают буквой n. • Различие в значении изучаемых признаков называется вариацией.

Если варьирующий признак не имеет количественной меры, вариацию называют качественной, а ряд распределения – атрибутивным (например, распределение по исходу заболевания, по состоянию здоровья и т. д. ). Если варьирующий признак имеет количественное выражение, такую вариацию называют количественной, а ряд распределения – вариационным. Построить вариационный ряд – означает имеющиеся числовые значения (варианты) систематизировать, упорядочить, т. е. расположить в определенной последовательности (в восходящем или убывающем порядке) с соответствующими им частотами.

— по характеру количественного признака (прерывные и непрерывные). Если количественный признак носит непрерывный характер, т. е. между целыми величинами имеются промежуточные дробные величины, вариационный ряд называется непрерывным. Если количественный признак носит прерывный характер, т. е. отдельные его значения (варианты) отличаются друг от друга на целое число и не имеют промежуточных дробных значений, вариационный ряд называют прерывным или дискретным. — по частоте встречаемости вариант (простые и взвешенные). В простом вариационном ряду каждая варианта встречается только один раз (р=1), во взвешенном – одна и та же варианта встречается несколько раз (р>1).

Например, у 21 студентов-медиков исследовалась частота пульса (число ударов в минуту), которая составила: 80, 66, 74, 70, 64, 80, 74, 68, 70, 74, 68, 66, 84, 80, 74, 84. Распределение студентов-медиков по частоте пульса (уд/мин)

При большом количестве наблюдений (n>30) число встречающихся вариант может быть очень большим, в этом случае составляется интервальный или сгруппированный вариационный ряд, в котором для упрощения последующей обработки и выяснения характера распределения варианты объединены в группы. Обычно число групповых вариант колеблется от 8 до 15. Их должно быть не меньше 5, т. к. иначе это будет слишком грубое, но не более 20 -25, т. к. существенно искажаются особенности варьирования признака и усложняется математическая обработка. При составлении сгруппированного ряда необходимо учесть, что: — группы вариант должны располагаться в определенном порядке (в восходящем или нисходящем); — интервалы в группах вариант должны быть одинаковыми; — значения границ интервалов не должны совпадать, т. к. неясно будет, в какие группы относить отдельные варианты; — не рекомендуется оставлять открытых интервалов (50 лет и старше, до 0, 6 мг % и т. д. ).

Построим сгруппированный (интервальный) ряд, характеризующий данные о частоте пульса (число ударов в минуту) у 55 студентов-медиков перед экзаменом: 64, 66, 60, 62, 64, 68, 70, 66, 70, 68, 62, 68, 70, 72, 60, 70, 74, 62, 70, 72, 64, 70, 72, 76, 68, 70, 58, 76, 74, 76, 82, 76, 74, 79, 78, 74, 78, 76, 80, 80, 78. Для построения сгруппированного ряда необходимо: 1. Определить величину интервала; 2. Определить середину, начало и конец групп вариант вариационного ряда.

● Величина интервала (i) определяется по числу предполагаемых групп (r), количество которых устанавливается в зависимости от числа наблюдений (n) по специальной таблице. Число групп в зависимости от числа наблюдений Величина интервала (i) определяется по следующей формуле: в нашем примере величина интервала равна (82 – 58)/ 8=3 Если величина интервала представляет собой дробное число, полученный результат следует округлить до целого числа.

Оптимальное число групп, на которое следует разбить конкретную совокупность, можно определить и по формуле Стерджеса: Где lg n – десятичный логарифм общего число единиц данной совокупности.

Для того, чтобы правильно сгруппировать варианты, необходимо определить середину 1 -ой группы вариант, величина которой должна быть ближайшей к максимальному значению изучаемого признака и должна делиться на размер интервала. В нашем примере, размер максимальной варианты равен 82, но эта величина не делится на интервал, равный 3, поэтому серединой 1 ой группы будет значение 81, т. к. эта величина близка к максимальному значению ряда (82) и делится на 3. Чтобы найти середины для других групп необходимо от середины каждой предыдущей группы отнять величину интервала. Для определения начала группы к ее середине прибавляют величину (i – 1)/2, вычитая же ее из середины, получают конец группы.

Распределение студентов-медиков по частоте пульса перед экзаменами Таким образом, мы научились составлять, строить вариационные ряды, в том числе сгруппированные, без которых нельзя определить среднюю величину изучаемого количественного признака.

Различают несколько видов средних величин: ● средняя арифметическая, ● средняя геометрическая, ● средняя гармоническая, ● средняя квадратическая, ● средняя прогрессивная, ● мода, ● медиана и д. р. Средняя арифметическая величина (М или Х) является обобщающей величиной, которая определяет то типичное, что характерно для всей совокупности. Основными способами расчета М (Х) являются: среднеарифметический способ и способ моментов (условных отклонений). Среднеарифметический способ применяется для вычисления средней арифметической простой и средней арифметической взвешенной.

В случае простого вариационного ряда, в котором каждая варианта встречается только один раз, определяется средняя арифметическая простая по формуле: где: М – средняя арифметическая величина; V – значение варьирующего признака (варианты); Σ – указывает действие – суммирование; n – общее число наблюдений. Средняя арифметическая взвешенная определяется по формуле: где n – число наблюдений, равное сумме частот – Σр.

Способ моментов. Этот более простой способ вычисления средней арифметической взвешенной величины применяется при большом числе наблюдений и вариантах, выраженных большими числами. Он основан на том, что алгебраическая сумма отклонений отдельных вариант вариационного ряда от средней арифметической равна нулю, т. е. Σ(– d)=Σ(+ d), где d – истинные отклонения варианты от истинной средней арифметической величины. Средняя арифметическая по способу моментов определяется по формуле: где: А – условно принятая средняя; а – условное отклонение каждой варианты от условной средней (V – А); i – величина интервала, т. е. разность между соседними вариантами.

Для расчета средней арифметической взвешенной по способу моментов : 1. Построить вариационный ряд, расположив варианты в возрастающем или убывающем порядке с соответствующими им частотами. 2. Выбрать условную среднюю (А). За условную среднюю можно взять любую варианту ряда, но чаще всего принимают наиболее часто встречающуюся варианту. 3. Определить условные отклонения. Условное отклонение (a) вычисляется как разность между каждой вариантой и условной средней (V–А). 4. Перемножить значение каждого условного отклонения с соответствующей частотой (ар), и найти их сумму (Σар). 5. Подставить все значения в формулу:

Средняя величина может быть рассчитана не только на основе абсолютных данных, но и среди относительных показателей. При одинаковых числах наблюдений ее находят как среднюю простую, т. е. достаточно суммировать размеры показателей и затем поделить на их число. При разных числах наблюдений среднюю величину среди показателей следует определять всегда как среднюю взвешенную.

Пример 1. В результате измерения длины тела (в см) при рождении у 47 девочек были получены следующие данные: 48, 51, 53, 49, 51, 53, 51, 48, 52, 51, 53, 49, 50, 53, 48, 52, 50, 51, 52, 53, 47, 52, 48, 50, 52, 46, 54, 55, 56, 48, 52, 51, 53, 48, 50, 54, 48, 50. Пример 2. Результаты измерения температуры тела у 22 новорожденных были следующими: 37, 0; 36, 6; 37, 2; 36, 9; 36, 6; 37, 0; 37, 1; 36, 8; 37, 0; 36, 9; 37, 2; 37, 1; 36, 8; 36, 7; 36, 9; 36, 6; 37, 0; 36, 9; 36, 7; 36, 8; 37, 0; 36, 6. Используя методику расчета средней арифметической взвешенной по способу моментов, определим среднюю длину тела у девочек при рождении и среднюю температуру тела у новорожденных. Для этого необходимо: • Построить вариационный ряд, расположив варианты в возрастающем или убывающем порядке с соответствующими им частотами. В нашем примере варианты расположены в убывающем порядке (табл. 6, графы 1, 2).

• Выбрать условную среднюю (А). За условную среднюю можно взять любую варианту ряда, но чаще всего принимают наиболее часто встречающуюся варианту. В примере № 1 наиболее часто встречается варианта 52, она встречается у 9 девочек, т. е. А=52. В примере № 2 условная средняя равна 37°С. • Определить условные отклонения (графа 3). Условное отклонение (a) вычисляется как разность между каждой вариантой и условной средней (V–А). Вычисленные значения условных отклонений занесем в графу 3 табл. 6 с учетом алгебраических знаков. Условным отклонениям (а) в графе 7 приданы порядковые номера. • Перемножить значение каждого условного отклонения с соответствующей частотой (ар), результаты занести в графу 4 и 8 табл. 6 и найти их сумму (Σар). • Подставить все значения в формулы:

Средняя арифметическая взвешенная по способу моментов в случае сгруппированного (интервального) вариационного ряда В сгруппированном ряду расчет средней арифметической начинается с определения середины интервала (центральной варианты). Центральная варианта в непрерывных вариационных рядах определяется как полусумма наименьших значений двух соседних групп. Например: Группы вариант 10, — 10, 9 Центральная варианта

В качестве примера рассчитаем среднюю частоту пульса перед экзаменом у студентов-медиков (по способу моментов), используя данные полученные нами ранее.

Ниже сведены некоторые данные причем, для упрощения расчетов разность между соседними центральными вариантами принята за 1, вместо действительной разности, равной 3 (81 – 78)

где: А –условная средняя (наиболее часто встречающаяся варианта, в нашем примере А=75, такая частота пульса встречалась у 16 студентов); i – величина интервала, т. е. разность между соседними центральными вариантами, в нашем примере i=3. Остальные обозначения известны. Вывод. Частота пульса у студентов-медиков перед экзаменом составляла в среднем 71, 9 (≈72) удара в минуту.

Мода (Мо) – наиболее часто встречающаяся варианта в вариационном ряду. Для распределения, представленного в таблице, моде соответствует варианта, равная 10, она встречается чаще других – 6 раз. Распределение больных по длительности пребывания на больничной койке (в днях)

Медиана (Ме) – непараметрический показатель, делящий вариационный ряд на две равные половины: в обе стороны от медианы располагается одинаковое число вариант. Например, для распределения, указанного в таблице выше, медиана равна 10, т. к. по обе стороны от этой величины располагается по 14 вариант, т. е. число 10 занимает центральное положение в этом ряду и является его медианой. Учитывая, что число наблюдений в этом примере четное (n=34), медиану можно определить таким образом:

Таблица 9 Содержание и применение средних величин Средняя арифметическая величина Мода и Медиана – является обобщающей величиной, результативной суммой всех влияний, в формировании ее принимают участие все без исключения варианты, в том числе и крайние, часто нетипичные для данного явления или совокупности; – характеризует всю массу наблюдений; – занимает серединное положение в вариационном ряду. В строго симметричном ряду М=Мо=Ме – не зависят от величины всех индивидуальных значений варьирующего признака (значений крайних вариант и степени рассеяния ряда); – характеризуют основную массу наблюдений; – применяются в случае незамкнутой совокупности, т. е. когда не имеют точной количественной характеристики наименьшая или наибольшая варианты (до, свыше). В этом случае нельзя рассчитать параметрическую среднюю. – применение медианы целесообразно, когда ничего неизвестно о характере распределения результатов эксперимента, т. е. нет достаточных оснований для выбора конкретной средней

При изучении варьирующего признака, особенно в биологии и медицине, где изучаются живые организмы и их жизнедеятельность в норме и патологии, нельзя ограничиваться вычислением только средних величин, какими универсальными они были. Средняя величина, рассчитанная математическим путем, – это величина, вокруг которой расположены на разном удалении варианты, вошедшие в вариационный ряд, из которого она была рассчитана. Чем ближе друг к другу по значению отдельные варианты, тем меньше колеблемость (рассеянность) вариационного ряда, тем типичнее для характеристики изучаемого признака его средняя величина.

Различают показатели характеризующие: колеблемости, · границы изучаемой совокупности (lim, Am); · внутреннюю ее структуру (δ, δ 2, CV).

Лимиты (пределы) – минимальная и максимальная варианты изучаемой совокупности, определяются крайними значениями вариант в вариационном ряду. Показывая фактические границы варьирования признака, лимиты имеют определенное значение в метеорологии, где показывают минимальную и максимальную температуру, а также в микробиологии для характеристики размеров микроорганизмов. Записываются лимиты следующим образом: Lim=Vmax ÷ Vmin

Амплитуда (размах вариации) – разность лимитов (крайних вариант) (Am=Vmax – Vmin). С амплитуды можно оценить колеблемость одного вариационного ряда с амплитудой другого вариационного ряда. если Am первого вариационного ряда равна 5, а второго – 11, можно сделать вывод о том, что колеблемость второго вариационного ряда вдвое больше первого, при одинаковом значении средних величин, средняя рассчитанная из второго вариационного ряда, менее типична из-за резкой колеблемости.

Наиболее точной мерой варьирования, колеблемости вариационного ряда (изучаемого признака) являются дисперсия и среднее квадратическое отклонение (δ). СРЕДНЕЕ КВАДРАТИЧЕСКОЕ ОТКЛОНЕНИЕ – показатель рассеивания значений случайной величины относительно её математического ожидания (среднего арифметического совокупности выборок), это именованная величина, поэтому она должна иметь размерность общую для вариант и средней арифметической величины. Способы расчета среднего квадратического отклонения: • среднеарифметический • способ моментов • и по амплитуде вариационного ряда

1. СРЕДНЕАРИФМЕТИЧЕСКИЙ СПОСОБ РАСЧЕТА Когда число наблюдений небольшое (n≤ 30), а все частоты в вариационном ряду р=1, применяется формула: где d – истинные отклонения вариант от истинной сред-ней (V – М).

Последовательность расчета δ: 1. Построить вариационный ряд. 2. Определить среднеарифметическую величину (М) : 3. Найти истинные отклонения d (d=V – M). Например, d 1= 2– 7= – 5 и т. д. Возвести каждое отклонение в квадрат (d 2). 5. Найти произведение (d 2 P) по всем строкам ряда. 6. Определить сумму Σd 2 P. 7. Рассчитать δ по формуле:

Пример Распределение больных с острыми респираторными заболеваниями по длительности нетрудоспособности (в днях)

Пример расчета δ : 1. Построить вариационный ряд (графы 1, 2). 2. Найти произведение вариант и их частоты встречаемости (графа 3). Определить среднеарифметическую величину (М) : 3. Найти истинные отклонения d (d=V – M). Например, d 1=2– 7= – 5 и т. д. , данные записать в графу 4. 4. Возвести каждое отклонение в квадрат(d 2), графа 5. 5. Найти произведение (d 2 P) по всем строкам ряда (графа 6). 6. Определить сумму Σd 2 P, графа 6. 7. Рассчитать δ по формуле:

2. СРЕДНЕЕ КВАДРАТИЧЕСКОЕ ОТКЛОНЕНИЕ ПО СПОСОБУ МОМЕНТОВ где: a – условное отклонение вариант от условной средней (a =V – А). При числе наблюдений, равном 30 и менее, в формуле n заменяют на (n – 1) и тогда δ определяется по формуле

Последовательность расчета δ по способу моментов: 1. Найти условную среднюю А. 2. Определить условные отклонения (a) каждой варианты от условной средней (a =V – А). 3. Получить произведения (ар), а затем их просуммировать ( Σар). 4. Рассчитать истинную среднюю арифметическую по формуле: 5. Получить произведения а 2 р по всем строкам вариационного ряда и просуммировать их (Σа 2 р). 6. Рассчитать δ по способу моментов по формуле:

Пример Распределение больных с острыми респираторными заболеваниями по длительности нетрудоспособности

Пример расчета δ по способу моментов: 1. Найти условную среднюю А(А=6). 2. Определить условные отклонения (a) каждой варианты(графа 3) от условной средней (a =V – А). 3. Получить произведения (ар), а затем их просуммировать(графа 4). В нашем примере Σар=23. 4. Рассчитать истинную среднюю арифметическую по формуле: В нашем примере М=6, 7 дней. 5. Получить произведения а 2 р по всем строкам вариационного ряда и просуммировать их(графа 5). В нашем примере Σа 2 р=210. 6. Рассчитать δ по способу моментов по формуле:

3. МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ СРЕДНЕГО КВАДРАТИЧЕСКОГО ОТКЛОНЕНИЯ – ПО АМПЛИТУДЕ РЯДА Применяется, если отсутствуют необходимые данные для вычисления среднего квадратического отклонения обычным путем или нет необходимости в получении высокой точности показателя колеблемости вариационного ряда: где: К – коэффициент, определяемый по таблице С. И. Ермолаева в зависимости от числа наблюдений.

4. СРЕДНЕЕ КВАДРАТИЧЕСКОЕ ОТКЛОНЕНИЕ ДЛЯ ОТНОСИТЕЛЬНОЙ ВЕЛИЧИНЫ (Р) где: Р – величина относительного показателя, выраженного в % или ‰ и т. д. ; q – величина альтернативы (обратная величина Р), т. е. q=100 – Р или q=1000 – Р.

Одним из обязательных этапов методики статистической обработки вариационных рядов является графическое изображение вариационного ряда, которое позволяет определить, какому закону распределения подчиняется данное явление. в качестве меры колеблемости показатель среднеквадратического отклонения. Чаще всего встречается нормальное распределение, подчиняющееся закону Гаусса. Лапласа. Для нормального распределения характерна симметричность, т. е. крайние варианты (наибольшие и наименьшие) встречаются редко. Чем ближе значения варьирующего признака к величине средней арифметической, тем чаще они встречаются. График плотности вероятности нормального распределения и процент попадания случайной величины на отрезки, равные среднеквадратическому отклонению.

Правило трёх сигм — практически все значения нормально распределённой случайной величины лежат в интервале Более строго — приблизительно с 0, 9973 вероятностью значение нормально распределённой случайной величины лежит в указанном интервале. Таким образом, при нормальном распределении при различных значениях средней и среднеквадратического отклонения, всегда 68, 3% наблюдений находятся в пределах ± 1δ; 95, 5% наблюдений находятся в пределах ± 2δ; 99, 7% – в пределах ± 3δ. И только 0, 3% (3 случая на 1000) наблюдений имеют значения, отличные от среднего больше чем на 3δ. При помощи δ определяют типичность средней величины и меру ее точности. Если 95% всех вариант находятся в пределах М± 2δ, то средняя является характерной для данного ряда, и не требуется увеличивать число наблюдений в выборочной совокупности.

Для нормального распределения характерна симметричность. Наиболее точным показателем, характеризующим симметричность распределения, является коэффициент асимметрии, который рассчитывается по формуле: Коэффициент асимметрии оценивается по специальной таблице. Критические значения коэффициента асимметрии As (Р+=0, 95) Если рассчитанный As≤As 0, 95 (табличного), отвергается предположение о наличии асимметрии, т. е. распределение можно считать нормальным. При As≥As 0, 95 распределение асимметрично. Знак As указывает направление асимметрии ( «–» – левосторонняя, «+» – правостороння).

В качестве относительной коэффициент вариации если: меры вариабельности применяется 1. Сравниваются не только однородные совокупности (одноименные) или признаки. 2. Средние уровни сравниваемых признаков незначительно отличаются друг от друга. Коэффициент вариации рассчитывается по формуле: Коэффициент вариации является критерием надежности средней арифметической. Если СV≥ 40%, то средняя арифметическая неустойчива и ненадежна. Оценка степени колеблемости изучаемых признаков по коэффициенту вариации:

Расчет средних показателей способом моментов.

Вычисление средней арифметической часто сопряжено с большими затратами времени и труда. Однако в ряде случаев процедуру расчетов средней можно упростить и облегчить, если воспользоваться ее свойствами:

1. если все индивидуальные значения признака (все вварианты) уменьшить в i раз, то среднее значение нового признака соответственно уменьшится или увеличитсяв i раз.

2. Если вес варианты осредняемого признака уменьшить на число А, то средняя арифметическая соответственно увеличится на это же число А.

3. Если веса всех осредняемых вариантов уменьшить или увеличить в К раз, то средняя арифметическая не изменится.

В качестве весов средней вместо абсолютных показателей можно использовать удельные веса в общем итоге (доли или проценты). Тем самым достигается упрощение расчетов средней.

Для упрощения расчетов средней идут по пути уменьшения значений вариантов и частот. Наибольшее упрощение достигается, когда в качестве А выбирается значение одного из центральных вариантов, обладающего наибольшей частотой, в качестве i – величина интервала (для рядов с одинаковыми интервалами). Величина А называется началом отчета, поэтому такой метод вычисления средней называется “способом отчета от условного нуля” или “способом моментов”.

Допустим, что все варианты X сначала уменьшены на одно и то же чило А, а затем уменьшены в i раз. Получим новый вариационный ряд распределения новых вариантов x.

Тогда новые варианты будут выражаться ,

а их новая средняя арифметическая

m ₁ – момент первого порядка- формулой и будет равна средней из первоначальных вариантов, уменьшенной сначала на А, а затем в i раз, т.е.

Для получения действительной средней надо момент первого порядка m ₁ умножить на i и прибавить А.

Данный способ вычисления средней арифметической из вариционного ряда называют «способом моментов». Применяется этот способ в рядах с равными интервалами.

Источник

Вычисление средней арифметической по способу моментов

При большом числе наблюдений или при большом числовом значении вариант применяют

упрощенный способ вычисления средней арифметической- способ моментов.

где М — средняя арифметическая; А — условная средняя; i — интервал между группами вариант;

S — знак суммирования.; а- условное отклонение каждой варианты от условной средней;

р — частота встречаемости вариант; n — число наблюдений.

Пример вычисления средней арифметической по способу моментов (средней массы тела

юношей в возрасте 18 лет)

V(n в кг)	Р	а (V-А)	а . Р
+2	+4
+1	+3
Мо=62
-1	-6
-2	-8
-3	-3
п = 25	Sар = — 10кг

Этапы расчета средней по способу моментов:

1) за условную среднюю А рекомендуется принять Моду или Медиану, например А = 62кг, так как 62 кг было у 9 юношей из 25;

2) определяем «а» — условное отклонение варианты от условной средней, для этого из каждой варианты вычитаем условную среднюю: а = V — А, ( например, а = 64 — 62 = +2 и т.д.).

3) умножаем условное отклонение «а» на частоту «р» каждой варианты и получаем произведение а р;

4) находим сумму Sа . р = — 10кг

5) рассчитываем среднюю арифметическую по способу моментов:

М = А + i SаР = 62 — 1×0,4 = 61,6кг

Таким образом, можно сделать вывод, что в изучаемой нами группе юношей средняя масса тела

Средняя арифметическая сама по себе ничего не говорит о том вариационном ряде, из которого

она была вычислена. На ее типичность (достоверность) влияет однородность рассматриваемого

материала и колеблемость ряда.

Пример: даны два одинаковых по числу наблюдений вариационных ряда, в которых

представлены данные измерений окружности головы детей в возрасте от 1 года до 2-х лет

Ряд 1	Ряд 2
Окружность головы(в см) Частота	41, 45, 46, 47, 48 7, 8, 25, 6, 2	42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50 1, 2, 4, 6, 14, 10, 3, 0, 2

Имея одинаковое число наблюдений и одинаковые средние арифметические (М= 46 см), ряды

имеют различия в распределении внутри. Так варианты первого ряда отклоняются в целом от

средней арифметической с меньшим значением, чем варианты второго ряда, что дает

возможность предположить, что средняя арифметическая (46 см) более типична для первого

ряда, чем для второго.

В статистике для характеристики разнообразия вариационного ряда употребляют среднее

квадратическое отклонение (s)

Существует два способа расчета среднего квадратического отклонения: среднеарифметический

способ и способ моментов. При среднеарифметическом способе расчета применяют формулу:

где d истинное отклонение каждой варианты от истиной средней М. Формула используется при

Источник

Способ моментов

Применяя этот способ, среднюю ариф­метическую рассчитывают по формуле:

Эта формула технически упрощает расчеты, особенно в тех случаях, когда варианты состоят из многозначных чисел, а совокупность — из большого числа наблюдений.

Например: Методика расчета средней арифметической величины по способу моментов Таблица 8.

V кг	p	а	а ×р
64	2	+2	+4
63	3	+1	+3
62	9	0	0
61	6	-1	-6
60	4	-2	-8
59	1	-3	-3
n =25	Sа × р = -10 кг

Этапы расчета М по способу моментов:

1) за условную среднюю Ао рекомендуется принять варианту, чаще других повторяющуюся в вариационном ряду. В нашем примере: Ао = М = 62 кг., так как 62 кг было у 9 юношей из 25;

2) определяем а — условное отклонение от условной средней. Для этого из каждой варианты вычитаем условную среднюю а = (V — Ао).

В нашем примере: а = 64 — 62 = + 2 и т. д.;

3) умножаем условное отклонение (а) на частоту (р) каждой варианты и получаем произведения

(а × р).

В нашем примере: 2 ×(+2) = 4 и т.д.

4) получаем сумму S а × р

В нашем примере: — 10кг;

5) определяем интервал между группами вариант ( I)

В нашем примере: i = 1 кг;

6) момент первой степени

В нашем примере: -10 кг / 25× 1 = — 0,4

7)рассчитываем среднюю арифметическую по способу моментов:

В нашем примере: М = 62 кг – 0,4 = 61,6 кг

Есливариационный ряд предварительно был сгруппирован, то в качестве ряда(V)используются середины групп.

Средняя арифметическая величина обладает тремя свой­ствами.

1. Средняя занимает серединное положение в вариационном ряду. В строго симметричном ряду: М = Мо = Ме.

2. Средняя является обобщающей величиной и за ней не видны колебания, различия индивидуальных данных.

3. Сумма отклонений всех вариант от средней равна нулю. Sd = S (V-M) = 0

Величина того или иного признака неодинакова у всех членов совокупности, несмотря на ее относительную однородность.

Наиболее полную характеристику разноо­бразию признака в совокупности дает так называемое среднее квадратическое отклоне­ние, обозначаемое греческой буквой «сигма» — s.

Существует два способа расчета среднего квадратического отклонения: среднеарифметический и способ моментов. При сред­неарифметическом способе расчета применяют формулу: s =

где d— истинное отклонение вариант от истинной средней (V-М). Эта формула используется при небольшом числе наблюдений (n 1 используют формулу такого вида:

s = ;

При Р>1 и N>30 — s =

Следующая формула предназначена для определения s по способу моментов: s =i×

где а — условное отклонение вариант от условной средней: а =V — А; Sa 2 ×p/n момент второй степени, а (Sa×p/n) 2 — момент первой степени, возведённый в квадрат. Этот способ применяется в тех случаях, когда нет вычислитель­ной техники, а вариационный ряд громоздкий как за счет большого числа наблюдений, так и за счет вариант, выраженных многознач­ными числами. При числе наблюдений, равном 30 и менее, в момен­те второй степени n заменяют на (n-1).

Например: Расчет среднего квадратического отклонения по среднеарифметическому способу. Таблица 9.

Рост мальчиков 12 лет.	Число детей (р)	V • Р	d	d 2	d 2 × Р
155	1	155	+2	4	4
154	4	616	+1	1	4
153	6	918	0	0	0
152	4	608	—1	1	4
151	1	151	—2	4	4
М = 153	n = 16	SV ×p = 1448	S d 2 × Р = 16

Последовательность расчета s.

1.Определить М (по среднеарифметическому способу).

В нашем примере: = 153см.

2.Найти истинное отклонение d =(V-M).

В нашем примере:155-153=+2; 154-153= +1 и т.д.

3.Возвести каждое отклонение в квадрат d 2.

4.Найти произведение (d 2 × р) по всем строкам ряда.

5.Определить сумму (S d 2 ×р).

В нашем примере: 4+4+0+4+4=16

6.Рассчитать s по формуле:

В нашем примере: Ö16/16-1 =1,05 см. =1,05

Например: Расчет среднего квадратического отклоненияпо способу моментов Таблица 10.

Рост, см (V)	Число детей (р)	а	а×р а×р	a 2 ×р
155	1	+2	2	4
154	4	+ 1	4	4
153	6	0	0	0
152	4	-1	-4	4
151	1	-2	-2	4
n = 16	Sар = 0	Sa 2 ×р = 16

Последовательность расчета s по способу моментов.

1.Найти условную среднюю А

В нашем примере: А =153 cм.

2.Определить условное отклонение (а) каждой варианты от условной средней: а =V — А.

3.Получить произведения а × р, а затем их просуммировать.

В нашем примере: =0.

4.Рассчитать истинную среднюю арифметическую по формуле

=153 см, так как сумма отклонений равна 0, то поэтому М=А.

5.Получить произведения а 2 ×p по всем строкам вариационного ряда и просуммировать их.

В нашем примере:Sa 2 ×p =16.

6. Рассчитать по способу моментов по формуле: s =i×

В нашем примере:s =1× = 1,05

Ошибка репрезентативности (m) является важнейшей стати­стической величиной, необходимой для оценки достоверности ре­зультатов исследования. Эта ошибка возникает в тех случаях, когда требуется по части охарактеризовать явление в целом. Эти ошибки неизбежны. Они проистекают из сущности выбороч­ного исследования: генеральная совокупность может быть охарак­теризована по выборочной совокупности только с некоторой по­грешностью, измеряемой ошибкой репрезентативности.

По величине ошибки репрезентативности определяют, насколько результаты, полученные при выборочном наблюдении, отличаются от результатов, которые могли бы быть получены при проведении сплошного исследования всех без исключения элементов генераль­ной совокупности.

Ошибки репрезентативности можно свести к достаточно малой величине, т. е. к величине допустимой погрешности. Делается это путем привлечения в выборку достаточ­ного количества наблюдений (n):

· – для выборочного исследования, в котором будут рассчитываться относительные величины.

· – для выборочного исследования, в котором будут рассчитываться средние величины.

p– вероятность наступления явления (выбирается по данным аналогичных исследований)

q— вероятность не наступления явления, q =100-p

t— доверительный критерий – таблица 11.

D— предельная ошибка, вытекает из таблицы 6, исходя из выбранного t.

Степень безошибочного прогноза (Р)	Доверительный критерий (t)	Предельная ошибка (D)
68%	—
95%	5%
99%	1%

Если аналогичных исследований нет, то p и q принимаются как 50% на 50%.

Ошибки репрезентативности рассчитываются по следующим формулам:

· – для относительных величин;

· – для средних величин.

В медицине и здравоохранении по разности параметров оценивают средние и относительные величины, полученные для разных групп населения по полу, возрасту, а также групп больных и здоровых и т. д. Во всех случаях при сопоставлении двух сравниваемых величин возникает необходимость не только определить их раз­ность, но и оценить ее достоверность. Достоверность разности величин, полученных при выборочных исследованиях, означает, что вывод об их различии может быть перенесен на соответствующие генеральные совокупности. Достоверность различия сравниваемых величин измеряется доверительным критерием (критерием точности t), который рассчитывается по специальным формулам для средних и относительных величин.

Формула оценки достоверности разности сравниваемых величин такова:

· — для средних величин;

· — для относительных величин.

Разность величин считается достоверной при значениях, равных или больших 2. Р₁ всегда выбирается больше, чем Р_2.

Например: При изучении влияния анаболических гормонов при инфаркте миокарда на белковый обмен были получены следующие данные: общий белок до лечения (Р) составил 7,14% (m-±0,17%), после лечения (Р) 8,04% (m-±0,12%).

1. Определяем большую величину как Р_1, а меньшую как Р_2.

2.Возводим ошибки репрезентативности в квадраты:

В нашем примере: 0,17 2 =0,0289;0,12 2 = 0,0144.

3.Складываем квадраты и извлекаем квадратный корень.

В нашем примере: Ö0,0289+0,0144=Ö0,0433 = 0,2.

4.Находим разность сравниваемых величин и делим на знаменатель.

В нашем примере:8,04-7,14=0,9/0,2=4,5.

В нашем примере: 4,5>2, значит разность величин достоверна, т.е, анаболические гормоны действительно увеличивают уровень общего белка.

Источник

4. Четные и нечетные.

В чётных вариационных рядах сумма частот или общее
число наблюдений выражено чётным числом, в нечётных ― нечётным.

5.
Симметричные и асимметричные.

В
симметричном вариационном ряду все виды средних величин совпадают или очень
близки (мода, медиана, среднее арифметическое).

В
зависимости от характера изучаемых явлений, от конкретных задач и целей
статистического исследования, а также от содержания исходного материала, в
санитарной статистике применяются следующие виды средних величин:

·  структурные
средние (мода, медиана);

·
 средняя арифметическая;

·
 средняя гармоническая;

·
 средняя геометрическая;

·
 средняя прогрессивная.

Мода (М_о) — величина
варьирующего признака, которая более часто встречается в изучаемой совокупности
т.е. варианта, соответствующая наибольшей частоте. Находят ее непосредственно
по структуре вариационного ряда, не прибегая к каким-либо вычислениям. Она
обычно является величиной очень близкой к средней арифметической и весьма удобна
в практической деятельности.

Медиана (М_е) —
делящая вариационный ряд (ранжированный, т.е. значения вариант располагаются в
порядке возрастания или убывания) на две равные половины. Медиана вычисляется
при помощи так называемого нечетного ряда, который получают путем
последовательного суммирования частот. Если сумма частот соответствует четному
числу, тогда за медиану условно принимают
среднюю арифметическую из двух средних значений.

Мода и медиана применяются в случае незамкнутой
совокупности, т.е. когда наибольшая или наименьшая варианты не  имеют точной
количественной характеристики (например, до 15 лет, 50 и старше и т.п.). В этом
случае среднюю  арифметическую (параметрические характеристики) рассчитать
нельзя.

Средняя арифметическая —
самая распространенная величина. Средняя арифметическая обозначается чаще через
М.

Различают
среднюю арифметическую простую и взвешенную.

Средняя арифметическая простая вычисляется:

― в тех случаях, когда совокупность представлена
простым перечнем знаний признака у каждой единицы;

― если число повторений каждой
варианты нет возможности определить;

― если числа повторений каждой варианты близки между
собой.

Средняя
арифметическая простая исчисляется по формуле:

,

где V — индивидуальные значения признака; n —
число индивидуальных значений;  — знак суммирования.

Таким образом, простая средняя представляет собой
отношение суммы вариант к числу наблюдений.

Пример: определить среднюю длительность пребывания на
койке 10 больных пневмонией:

16 дней — 1 больной; 17–1; 18–1;
19–1; 20–1; 21–1; 22–1; 23–1; 26–1; 31–1.

койко-дня.

Средняя арифметическая взвешенная исчисляется
в тех случаях, когда индивидуальные значения признака повторяются. Ее можно
вычислять двояким способом:

1. Непосредственным (среднеарифметическим или прямым
способом) по формуле:

,

где P — частота (число случаев) наблюдений каждой варианты.

Таким образом, средняя арифметическая взвешенная
представляет собой отношение суммы
произведений вариант на частоты к числу наблюдений.

2. С помощью вычисления отклонений от условной средней (по способу моментов).

Основой для вычисления взвешенной средней
арифметической является:

― сгруппированный материал по
вариантам количественного признака;

―
все варианты должны располагаться в порядке возрастания или убывания величины
признака (ранжированный ряд).

Для вычисления по способу моментов обязательным
условием является одинаковый размер всех интервалов.

По способу
моментов средняя арифметическая вычисляется по формуле:

,

где М_о — условная средняя, за которую чаще
принимают величину признака, соответствующую
наибольшей частоте, т.е. которая чаще повторяется (Мода).

i  — величина интервала.

a   — условное отклонение от условий средней,
представляющее собой последовательный ряд чисел (1, 2 и т.д.) со знаком + для
вариант больших условной средней и со знаком–(–1, –2 и т.д.) для вариант,
которые ниже условной средней. Условное же отклонение от варианты, принятой за
условную среднюю равно 0.

P      — частоты.

 — общее
число наблюдений или n.

Пример: определить средний рост
мальчиков 8 лет непосредственным способом (таблица1).

Т а б л и ц а 1

                                    n = 100     
                                                   12234

  Центральная варианта ― середина интервала ― определяется
как полу сумма начальных значений двух соседних групп:

;  и т.д.

Произведение VP получают путем умножения центральных
вариант на частоты ;  и
т.д. Затем полученные произведения складывают и получают , которую делят на число наблюдений
(100) и получают среднюю арифметическую взвешенную.

 см.

Эту же задачу решим по способу моментов, для чего
составляется следующая таблица 2:

Т а б л и ц а 2

n=100 

В качестве М_о
принимаем 122, т.к. из 100 наблюдений у 33 человек рост был 122см. Находим
условные отклонения (a) от условной средней в соответствии с вышесказанным.
Затем получаем произведение условных отклонений на частоты (aP) и суммируем
полученные величины (). В итоге получится 17. Наконец,
данные подставляем в формулу: