Как найти условный экстремум калькулятор - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Найти экстремумы функции

Данный калькулятор предназначен для нахождения экстремумов функции.
Следует различать понятия точек экстремума и экстремумов функции. Точки экстремума – точки максимума и минимума функции, это значения на оси Ox. Точка x₀ является точкой максимума функции y=f(x), если для всех x из ее окрестности выполняется неравенство f(x₀)≥f(x). Точка x₀ является точкой минимума функции y=f(x), если из ее окрестности для всех x выполняется неравенство f(x₀)≤f(x). Значения функции, которые соответствуют точкам экстремума, называются экстремумами функции, это значения на оси Oy.
Для того чтобы найти экстремумы функции можно использовать любой из трех условий экстремума, если функция удовлетворяет эти условиям.
Первым достаточным условием экстремума являются следующие утверждения: если в точке x₀ функция непрерывна, и в ней производная меняет знак с плюса на минус, то точка x₀ является точкой максимума, а если в данной точке производная меняет знак с минуса на плюс, то x₀ – точка минимума.

Вторым признаком экстремума является следующее утверждение: если производная второго порядка от x₀ больше нуля, то x₀ – точка минимума; если меньше нуля, то x₀ – точка максимума.
Третье достаточное условие экстремума функции заключается в следующем. Пусть функция y=f(x) имеет производные до n-ого порядка в окрестности точки x0 и производные до n+1-ого порядка в самой точке x₀; пусть f’(x₀)= f’’(x₀)= f’’’(x₀)=…=f⁽ⁿ⁾( x₀)=0 и f⁽ⁿ⁺¹⁾( x₀)≠0. Тогда, если n – нечетное, то x₀ – точка экстремума. Если f⁽ⁿ⁺¹⁾( x₀)>0, то x₀ – точка минимума, а, если f⁽ⁿ⁺¹⁾( x₀)<0, то x₀ – точка максимума.
Для того чтобы найти экстремумы функции, введите эту функцию в ячейку. Основные примеры ввода функций для данного калькулятора указаны ниже.

Для получения полного хода решения нажимаем в ответе Step-by-step.

Пожалуйста напишите с чем связна такая низкая оценка:

Для установки калькулятора на iPhone — просто добавьте страницу
«На главный экран»

Для установки калькулятора на Android — просто добавьте страницу
«На главный экран»

Источник

19:45

Найти экстремум функции

Калькулятор для нахождения экстремума функции.

Замечание. Данный калькулятор находит производную функции, решает уравнение f ‘ (x)=0, и выдает точки подозрительные на экстремум (необходимое условие экстремума).

Данные точки будут экстремумами, если также будет выполнятся достаточное условие экстремума:

Если f ^‘(x) при переходе через точку x_о меняет знак плюс на минус, то в точке x_о функция имеет максимум, в противном случае — минимум.

Если при переходе через критическую точку производная не меняет знак, то в точке x_о экстремума нет.

Пример. Найти экстремумы функции

$$y=frac{x^3}{4left ( 2-x right )^2}$$

Решение. Вставляем в калькулятор функцию в виде x^3/(4(2-x)^2), нажимаем «Ok», получаем точки подозрительные на экстремум: x=0, x=6

Проверим достаточное условие экстремумов:

Из рисунка видно, что экстремум функции находится в точке x=6, и называется локальным минимумом, а также получаем интервалы монотонности функции:
(-_∞ ;2) и (6;+∞) — функция возрастает,
(-2;6) — функция убывает

Выполнение достаточного условия можно было проверить и по другому:

Второе достаточное условие. Пусть функция f(x) имеет производную
f ^‘ (x) в окрестности точки x_о и вторую производную в самой точке x_о.

Если f ^‘ (x_о) = 0, f «(x₀)>0 (f «(x₀)<0), то точка x_о является точкой локального минимума (максимума) функции f(x).

Если же f «(x₀)=0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные, см. калькулятор высших производных.

Решенные примеры: Полное исследование функции

Категория: Экстремумы функции | Просмотров: 127092 | | Теги: найти производную, монотонность функции, построить график, исследовать функцию | Рейтинг: 3.3/10

Источник

Данный калькулятор использует метод наименьших квадратов (МНК) для аппроксимации функции одной переменной, аналогично калькулятору Аппроксимация функции одной переменной. Но, в отличии от указанного калькулятора, данный калькулятор поддерживает аппроксимацию функции с использованием ограничений на ее значения. То есть, можно задать условия равенства аппроксимирующей функции определенным значениям в определенных точках. Формулы аппроксимации будут выведены с учетом этих условий.

Используемый метод (метод множителей Лагранжа) накладывает ограничения на набор аппроксимирующих функций, так что этот калькулятор не поддерживает экспоненциальную аппроксимацию, аппроксимацию степенной функцией и показательную аппроксимацию. Одним словом поддерживается только линейная регрессия. Зато в него были добавлены аппроксимация полиномами 4-ой и 5-ой степени. Формулы и немного теории можно найти под калькулятором.

Если не ввести значения x, калькулятор будет считать, что значение x меняется начиная с 0 с шагом 1.

Аппроксимация функции одной переменной методом наименьших квадратов с дополнительными условиями

Ограничения на значения аппроксимирующей функции в точках

	x	y

Аппроксимирующие функции

Квадратичная аппроксимация

Аппроксимация полиномом 4-ой степени

Аппроксимация полиномом 5-ой степени

Аппроксимация полиномом 6-ой степени

Аппроксимация полиномом 7-ой степени

Аппроксимация полиномом 8-ой степени

Логарифмическая аппроксимация

Гиперболическая аппроксимация

Точность вычисления

Знаков после запятой: 4

Средняя ошибка аппроксимации, %

Коэффициент линейной парной корреляции

Средняя ошибка аппроксимации, %

Логарифмическая регрессия

Средняя ошибка аппроксимации, %

Гиперболическая регрессия

Средняя ошибка аппроксимации, %

Результат

Файл очень большой, при загрузке и создании может наблюдаться торможение браузера.

Метод наименьших квадратов для линейной регрессии

Метод наименьших квадратов (МНК) — математический метод, применяемый для решения различных задач, основанный на минимизации суммы квадратов отклонений некоторых функций от искомых переменных. Использованием этого метода для вывода формул аппроксимации для различных аппроксимирующих функций можно посмотреть в теоретической части статьи Аппроксимация функции одной переменной.

Подход, описанный по ссылке, можно обобщить для случая линейной комбинации параметров (для построения линейной регрессии).

Пусть у нас есть набор точек .

Если аппроксимирующая функция является линейной комбинацией параметров, которые нужно определить, например
$y(x;a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6)=a_1+a_2x+a_3 cdot ln(x) + ... + a_6x^{10}$ , то набор значений аппроксимирующей функции в заданных точках можно описать следующим образом

$begin{bmatrix} hat{y}_1 \ ... \ hat{y}_m end{bmatrix} = begin{bmatrix} 1 & x_1 & ln(x_1) & ... & x_{1}^{10} \ ... & ... & ... & ... & ... \ 1 & x_m & ln(x_m) & ... & x_{m}^{10} end{bmatrix} begin{bmatrix} a_1 \ ... \ a_6 end{bmatrix}$

Или, в матричном виде:

При использовании метода наименьших квадратов нам надо найти набор параметров, минимизирующих функцию

$f(mathbf{a})=sum_{i=1}^m[hat{y}(x_i;mathbf{a})-y_i]^2$ , или, в матричном виде

$f(mathbf{a})=|mathbf{Xa-y}|^2$

Значение этой функции есть расстояние от вектора y до вектора Xa. Для минимизации этого значения Xa должно быть проекцией на пространство столбцов матрицы X и вектор Xa-y должен быть ортогонален этому пространству (подробнее можно посмотреть здесь).

Это возможно при выполнении следующего равенства
$(Xmathbf{v})^T(X{mathbf{a}}-mathbf{y})=mathbf{v}^T(X^TX{mathbf{a}}-X^Tmathbf{y})=0$ ,

где v — произвольный вектор в пространстве столбцов. Так как этот вектор может быть любым, очевидно что равенство выполняется только в случае

$X^TX{mathbf{a}}-X^Tmathbf{y}=0$ , или

$X^TX{mathbf{a}}=X^Tmathbf{y}$ , откуда

$mathbf{a}=(X^TX)^{-1}X^Tmathbf{y}$

Последняя формула и используется калькулятором выше для построения линейной регрессии без дополнительных ограничений.

Метод множителей Лагранжа

Теперь разберемся с построением линейной регрессии при наличии ограничений. Такими ограничениями могут быть ограничения на значение функции в заданных точках. Например, нам известно, что функция, которую мы аппроксимируем ДОЛЖНА проходить через ноль (точку с координатами 0;0). Также могут существовать ограничения на значения производной функции в некоторых точках (наклона кривой функции). Наличие дополнительных ограничений говорит о том, что нам надо искать условный экстремум, то есть экстремум (в нашем случае минимум) функции, достигнутый при условии что переменные функции удовлетворяют уравнению связи.

То есть, нам надо минимизировать функцию

$f(mathbf{a})=|mathbf{Xa-y}|^2$

при условии что

$begin{bmatrix} y_{c_1} \ ... \ y_{c_k} end{bmatrix} = begin{bmatrix} 1 & x_{c_1} & ln(x_{c_1}) & ... & x_{c_1}^{10} \ ... & ... & ... & ... & ... \ 1 & x_{c_k} & ln(x_{c_k}) & ... & x_{c_k}^{10} end{bmatrix} begin{bmatrix} a_1 \ ... \ a_6 end{bmatrix}$

Или, в матричном виде

Для решения такой задачи используется метод множителей Лагранжа. В методе множителей Лагранжа осуществляют переход от функции f(a) к функции Лагранжа через добавление множителей Лагранжа

В нашем случае

$F(a, lambda)=|mathbf{Xa-y}|^2+lambda (mathbf{Ca - b})$

Далее ищется экстремум данной функции. После всех вычислений, которые я здесь не привожу (их мало где приводят, да и я тоже мог бы написать что-нибудь вроде «очевидно, что» ), получается следующая формула для нахождения параметров, при которых функция достигает условного экстремума

$begin{bmatrix} a \ lambda end{bmatrix} = begin{bmatrix} 2X^TX & C^T \ C & 0 end{bmatrix}^{-1} begin{bmatrix} 2X^Ty \ b end{bmatrix}$

Именно эту формулу использует калькулятор выше для построения линейной регрессии в случае накладывания дополнительных условий на аппроксимирующую функцию.

Источник

Экстремумом функции
называется точка минимума или максимума функции. Рассмотрим функцию, график которой приведен на рисунке:

Из графика видно, что точки
(x₁,
y₁),
(x₃,
y₃)
являются точками максимума функции, точки
(x₂,
y₂),
(x₄,
y₄)
— точками минимума функции. Вместе эти точки, называются точками экстремума функции.

Характерной особенностью является тот факт, что касательная к функции в точках экстремума параллельна оси абсцисс (геометрический смысл точек экстремума). Отсюда немедленно следует, что производная функции в точках экстремума равна нулю (необходимое условие экстремума). Кроме того, в точках экстремума функция может быть не дифференцируемой.

Иногда, требуется найти минимальное (максимальное) значение функции на некотором интервале
[a,
b].
В этом случае необходимо найти точки
экстремума функции
принадлежащие этому интервалу, а также проверить значения функции на концах интервала.

Источник

The calculator will try to find the maxima and minima of the two- or three-variable function, subject to the given constraints, using the method of Lagrange multipliers, with steps shown.

Related calculator:

Critical Points, Extrema, and Saddle Points Calculator

Your Input

Find the maximum and minimum values of $$$f{left(x,y right)} = 3 x + 4 y$$$ subject to the constraint $$$x^{2} + y^{2} = 25$$$.

Solution

Attention! This calculator doesn’t check the conditions for applying the method of Lagrange multipliers. Use it at your own risk: the answer may be incorrect.

Rewrite the constraint $$$x^{2} + y^{2} = 25$$$ as $$$x^{2} + y^{2} — 25 = 0$$$.

Form the Lagrangian: $$$L{left(x,y,lambda right)} = left(3 x + 4 yright) + lambda left(x^{2} + y^{2} — 25right)$$$.

Find all the first-order partial derivatives:

$$$frac{partial}{partial x} left(left(3 x + 4 yright) + lambda left(x^{2} + y^{2} — 25right)right) = 2 lambda x + 3$$$ (for steps, see partial derivative calculator).

$$$frac{partial}{partial y} left(left(3 x + 4 yright) + lambda left(x^{2} + y^{2} — 25right)right) = 2 lambda y + 4$$$ (for steps, see partial derivative calculator).

$$$frac{partial}{partial lambda} left(left(3 x + 4 yright) + lambda left(x^{2} + y^{2} — 25right)right) = x^{2} + y^{2} — 25$$$ (for steps, see partial derivative calculator).

Next, solve the system $$$begin{cases} frac{partial L}{partial x} = 0 \ frac{partial L}{partial y} = 0 \ frac{partial L}{partial lambda} = 0 end{cases}$$$, or $$$begin{cases} 2 lambda x + 3 = 0 \ 2 lambda y + 4 = 0 \ x^{2} + y^{2} — 25 = 0 end{cases}$$$.

The system has the following real solutions: $$$left(x, yright) = left(-3, -4right)$$$, $$$left(x, yright) = left(3, 4right)$$$.

$$$f{left(-3,-4 right)} = -25$$$

$$$f{left(3,4 right)} = 25$$$

Thus, the minimum value is $$$-25$$$, and the maximum value is $$$25$$$.

Answer

Maximum

$$$25$$$A at $$$left(x, yright) = left(3, 4right)$$$A.

Minimum

$$$-25$$$A at $$$left(x, yright) = left(-3, -4right)$$$A.

Источник