Как найти установившееся напряжение на конденсаторе

Государственное учреждение образования

“Средняя школа №16 г. Пинска”

Конденсаторы
в переходных процессах: до, во время, и после…

Методическое пособие для подготовки к олимпиадам по физике

Пинск 2018

        ББК 22.3            Ф 57 

     УДК 53(075)

     Ф57       Конденсаторы
в переходных процессах: до, во время и после…                     — Методическое
пособие для подготовки к ЦТ и олимпиадам по физике. Пинск: Учебное издание
кафедры довузовской подготовки государственного учреждения образования «Средняя
школа № 16 г. Пинска»  г. Пинск, 2018. — 100 с. 

Составитель:

     учитель высшей категории в ГУО
СШ № 16, отличник образования     Федорино Сергей Иванович  

Рецензент:

      учащаяся
профильного физико-математического класса в ГУО СШ № 16, победитель  и
дипломант олимпиад по физике  Троцкая Дарина Витальевна

В пособии представлены решения более 50
избранных задач по физике,  предложенных на вступительных экзаменах в
Московский физико-технический институт (Государственный университет). Выбранная
тема касается поведения конденсаторов в цепи постоянного тока в моменты
коммутации. Решения всех задач оформлены  составителем пособия, при этом
формулировки задач частично изменены. 

Пособие предназначено
для учащихся 10 – 11 классов средних школ, гимназий и лицеев, и будет полезно
при подготовке к олимпиадам по физике различного уровня и сдаче ЦТ повышенной
сложности. Представленное пособие может вызвать интерес учителей и
преподавателей физики, студентов младших курсов технических вузов, а также всех
тех, кто увлекается физикой и занимается самообразованием.

                  Компьютерный набор и вёрстка материалов
пособия: — Троцкая Д.В.

ISBN  978-985-533-561-1                                           
© Федорино С.И., Троцкая Д.В., 2018 Слово к читателю

Физика – безгранично увлекательная
наука, открывающая новые горизонты. Но как это обычно бывает, чем больше ты
узнаешь, тем больше возникает новых вопросов. И если в вас горит желание искать
на их ответы, каждый раз смело затрагивая совершенно незнакомую или не до конца
понятную вам тему, то это пособие станет отличным помощником. Возможно, раньше
вас не особо интересовала тема связанная с поведением конденсатора в цепи
постоянного тока и знаний, которые предоставляет обычный школьный учебник,
казалось вполне достаточно, то после прочтения нескольких страниц вы, скорее
всего, переубедитесь в этом. 

Не трудно предположить, что у читателя
мог возникнуть вопрос: чем еще, кроме теории, позволяющей глубже понимать
предложенную тему, мне может быть полезно данное пособие? Стоит отметить, что
книга содержит подробный разбор разнообразных задач, которые могут предлагаться
на олимпиадах и профильных экзаменах. Кроме того формулировки пояснений к
задачам отличаются своей доступностью для понимания, поэтому учащийся 10-11
класса, при наличии базовых знаний, касающихся данной темы, не будет
обескуражен обилием замысловатых фраз или неожиданных  математических
преобразований.

Надеемся, что изучение данного пособия
станет для вас приятным и увлекательным, ответы на возникшие вопросы будут
получены, а желание глубже окунуться в мир, который открывает нам физика,
станет в несколько раз сильнее.      

Содержание

Глава 1

Коротко о главном………………………………………………………………………………………. 5

 Глава 2 ………………………………………………………………………………………………………..

Сразу после коммутации…………………………………………………………………………….. 11

Глава 3

Переходный процесс
…………………………………………………………………………………………….
33

Глава 4

Установившийся режим
………………………………………………………………………………………
49

Глава 5

До и после коммутации
………………………………………………………………………………………..
75

Глава 1 

Коротко о главном

В упрощенном виде конденсатор
представляет собой систему двух проводников, разделенных диэлектриком, толщина
которого мала по сравнению с размерами проводников. Такая система проводников
обладает способностью накапливать электрический заряд: на одной обкладке
положительный, а на другой отрицательный, в целом же конденсатор остается
электрически нейтральным. Количественной характеристикой накопительной
способности таких систем является электроёмкость. Для ориентировки в величинах
электроемкости приведем два примера: электроемкость уединенного проводящего
шара радиусом, равным радиусу нашей планеты (R ~ 6371 км), составляет
примерно 10^–3 Ф, а электроемкость уединенного куска провода
диаметром 2 мм и длиной 1 м равна приблизительно 10^–12 Ф. (В этих
примерах вторая обкладка уединенных проводников находится в бесконечности, т.
е. силовые линии электрического поля уходят с данных проводников на
бесконечность.)

Основное внимание в статье будет уделено
поведению конденсаторов в электрических цепях с источниками постоянного тока.
Помимо конденсаторов, в таких цепях обычно присутствуют и резисторы. Весь
промежуток времени с момента замыкания цепи и до момента установления
стационарного состояния можно разбить на три этапа.

Первый этап — это очень короткий
промежуток времени (его можно оценить, разделив линейный размер схемы на
скорость света) сразу после замыкания ключа. За это время в цепи установится
некоторый начальный ток, но, поскольку в реальных схемах величина этого тока
конечна, за бесконечно малое время во всех участках цепи протекут бесконечно
малые заряды и изменения зарядов и напряжений на конденсаторах можно будет
пренебречь. Итак, на первом этапе, сразу после замыкания цепи, сохраняются
напряжения на конденсаторах, которые были до замыкания, и устанавливаются
начальные токи, величины которых определяются законом Ома для замкнутых цепей и
не зависят от ёмкостей конденсаторов. 

На втором этапе идет переходной процесс
— выход на стационарным режим, во время которого в участках цепи текут
переменные токи и происходит разрядка или подзарядка конденсаторов. Скорость
нарастания напряжения во время зарядки (или убыли во время разрядки) измеряется
величиной произведения RC, которое выражает постоянную времени ёмкостной
цепи: τ = RC

Легко убедиться, что произведение RC
имеет размерность времени. Постоянная времени RC-цепи характеризует
степень заряда и разряда конденсатора. При заряде τ показывает время,
необходимое для того, чтобы конденсатор зарядился до 63% приложенного
напряжения. При разряде τ показывает время, в течение которого конденсатор
успевает разрядится до 37% первоначального напряжения на его зажимах. Принято
считать, что после 5τ конденсатор практически полностью заряжается или
полностью разряжается.

Таким образом, постоянная времени τ
имеет смысл: если время, прошедшее после замыкания цепи, много меньше, можно
считать, что переходной процесс и не начался, а если время много больше, то
переходное процесс закончился и установился стационарный режим. Как в первом,
так и во втором процессах через конденсаторы текут переменные токи, но в первом
случае это очень быстро изменяющиеся токи и поэтому реактивные сопротивления
конденсаторов практически равны нулю, а во втором случае скоро-

Глава 1: Коротко о главном

сти изменения тока существенно меньше и зависят как от
омического сопротивления цепи, так и от её ёмкости.

И наконец, третий (и последний) этап,
когда устанавливается стационарный режим. Здесь реактивные сопротивления
конденсаторов равны бесконечности, токи через конденсаторы равны нулю,
напряжения на конденсаторах равны установившимся значениям, которые
определяются законом Ома для замкнутой цепи.

Задача 0. В
электрической схеме, изображенной на рисунке 0а, в начальный момент ключ К
разомкнут, а конденсатор не заряжен. Параметры схемы указаны на рисунке.
Найдите зависимость от времени  тока через  батарею после замыкания ключа.
Внутренним сопротивлением батареи пренебречь.  

 

                                  Рис. 0а                                                                    
Рис. 0б

1) Рассмотрим момент сразу после замыкания ключа. За
очень малое время установления начальных токов заряд на конденсаторе не
изменится и разность потенциалов на нём останется такой, какой она была
замыкания ключа (до коммутации). То есть, согласно закону коммутации:

U_C(0_–) = U_C(0₊)

Эквивалентная схема для этого промежутка
времени будет иметь вид, изображенный на рисунке 0б. Так как до коммутации
конденсатор не был заряжен, то в момент после коммутации напряжение на
конденсаторе равно нулю:

U_C = 0

Такая схема позволяет с помощью законов
Кирхгофа определить начальный ток через батарею:

I =
I₁ +
I₂

E =
I₁ ⋅R₁

E −U_C =
I₂ ⋅R₂

Выражая из двух последних уравнений токи I₁,
I₂ и подставляя в верхнее уравнение, окончательно получим:

I1 = RE1

I2 = E −R^U₂ C =
R^E₂

                                                                                           I E       E          ( R +
R )⋅E

3) Рассмотрим электрическую схему через длительный
промежуток времени, когда установится стационарный режим. При этом ветвь,
содержащую конденсатор можно удалить, так как он через себя не пропускает
постоянный ток. В этом случае (см. рис. 0в) в цепи через батарею протекает
ток: 

I ₌
E

R₁

                        Рис.
0в                                                                        Рис.
0г

2) Рассмотрим переходный процесс, при котором
происходит выход на стационарный режим. Сразу оговоримся, что решение этой
задачи выходит за рамки школьной программы, но интерес представляет не само
решение, а физическая сторона переходных процессов и та роль, которую выполняют
конденсаторы в подобных цепях. Рассмотрим произвольный момент времени после
замыкания ключа, причём за начало отсчёта времени возьмём момент окончания
первого этапа — установления начальных значений токов и напряжений. Именно
начиная с этого момента, в цепи будет идти квазистационарный процесс. Согласно
рисунку 0б, для произвольного момента времени можно записать  законы Кирхгофа:

I =
I₁ +
I₂

E =
I₁ ⋅R₁

Глава 1: Коротко о главном

E −U_C =
I₂ ⋅R₂

Сила тока, протекающая через конденсатор —
это связь между током в конденсаторе и изменением напряжения на конденсаторе:

I2 = dqdt = C dUdtC

Продифференцировав третье уравнение по времени и решая его
совместно с остальными тремя уравнениями, получим дифференциальное уравнение
относительно тока через батарею:

                                                                                                     dI +
1 ⋅I ₌       E    

                                                                                                  dt     R2C         R1R2C

Общее решение этого дифференциального уравнения имеет вид:

I(t ) =
A⋅e−tt +
E ,

R₁

где τ = R₂C —
постоянная времени. Постоянную интегрирования  А можно определить по
начальным условиям (при t = 0), которые мы уже находили ранее в пункте 1):

                                                                                                  I        ^E .

1 2

И тогда, частное решение дифференциального
уравнения, а именно зависимость тока через батарею от времени примет вид:

                                                                                                            E                

                                                                                            I(t ) =    ⋅1+ R1 ⋅e−R2tC .

                                                                                                          R1 _     R2                   _

Постоянная времени τ = R₂C
является характерным временем данного переходного процесса. При t
<< τ ток через батарею практически не успевает заметно измениться, а при t
>> τ можно считать, что переходный процесс закончился и через батарею
течёт постоянный ток, рассчитанный выше в пункте 3):

I =
E .

R₁

График зависимости силы тока через батарею от времени I(t),
показан на рисунке 0г. На примере разобранной схемы мы рассмотрели все три
процесса. До замыкания ключа ток через батарею равен нулю:

I(0₋ ) = 0.

Сразу после замыкания ток скачком возрастает до значения:

                                                                                                I           ^E
,

1 2

затем по экспоненте спадает до установившегося значения:

I(∞ ) = E

R₁

Глава 2 

Сразу после коммутации

Задача 1. В
электрической схеме, изображенной на рисунке 1а, в начальный момент ключ К
разомкнут, а конденсатор не заряжен. Параметры схемы указаны на рисунке.
Определите начальные токи через резисторы и через батарею сразу после замыкания
ключа.

                                  Рис.
1а                                                                     Рис. 1б 

Решение. За очень малое время установления начальных
токов (не путать с установившимися стационарными токами) заряд на конденсаторе
не изменится и разность потенциалов на нём останется равной нулю. Эквивалентная
схема для этого промежутка времени будет иметь вид, изображенный на рисунке 1б.
Такая схема позволяет с помощью закона Ома для замкнутой цепи определить
начальные токи. Начальный ток через батарею:

I = R1 ⋅ RE2 + r = r ⋅( R(1R+1 +R2R)2+)⋅RE1 ⋅ R2 R1 +
R2

а начальные токи через резисторы, соединённые параллельно:

I1 =
I ⋅
R1R+2R2 =
r ⋅( R1 +RR22⋅)E+ R1 ⋅ R2

и

I2 =
I ⋅
R1R+1R2 =
r ⋅(R1 +RR12⋅)E+ R1 ⋅ R2

Следует отметить, что полученные значения
начальных токов не зависят от ёмкости конденсатора С.

Задача 2. В
электрической схеме, изображённой на рисунке 2а, в начальный момент ключ К
разомкнут, а конденсатор не заряжен. Параметры схемы указаны на рисунке.
Определите начальные токи через ключ и через батарею сразу после замыкания
ключа.

Решение. Сразу после замыкания ключа
К напряжение на конденсаторе остаётся равным нулю, поэтому начальный ток
через резистор сопротивлением 3R будет равен нулю. 

UC = I3 ⋅R3

Эквивалентная схема для этого момента времени изображена на
рисунке 2б.

                              Рис.
2а                                                                     Рис. 2б 

Начальный ток через батарею, очевидно, будет равен:

                                                                                             I ₌
R⋅2ER    r ₌
3r3+E2R

₊
R +
2R

Такой же ток течёт и через конденсатор. А начальный ток
через ключ равен начальному току, протекающему через резистор сопротивлением 2R:

                                                                                                       I2 = I = r +E2R

3 3

“Очевидные” рассуждения можно заменить классическими
методами решения данной задачи, применив  закон коммутации. Напряжение на
конденсаторе после замыкания ключа К скачком изменится не может. По
условию задачи до замыкания конденсатор не был заряжен, следовательно, после
замыкания напряжение на конденсаторе остаётся равным нулю:

U_C(0_–) = U_C(0₊)
= 0

Изобразим цепь и направим соответствующие токи: ток I
— в ветви с батареей Е; ток I₁

— через резистор сопротивлением R,
ток I₂ — через резистор сопротивлением 2R; ток I₃
— через резистор сопротивлением 3R; I_C — ток через
конденсатор в момент замыкания ключа К (рис. 2в). Запишем первый закон
Кирхгофа для верхнего узла:

I =
I₁ +
I₂ .

Запишем первый закон Кирхгофа для нижнего узла:

I =
I_C +
I₃.

                                                                        I

 2R

   3R

Рис. 2в

Теперь запишем второй закон Кирхгофа для верхнего маленького
контура:

0 = −I₁R + I₂
⋅2R,

откуда

I₁ =2I₂

и для нижнего маленького контура:

U_C =
I₃ ⋅3R = 0,

откуда

I₃ =
0

Тогда сила тока через батарею равна:

I =
2I₂ +
I₂ =
3I₂

I₂ = ^I , 3

а ток через конденсатор

I_C =
I

Записав второй закон Кирхгофа для внешнего контура,
окончательно получим:

E =
I ⋅r + I₂ ⋅2R +
I₃ ⋅3R

E =
I ⋅r + I ⋅2R +
0

3

E ₌
^I _⋅(3r ₊ 2R)

3

Ток, протекающий через батарею в момент сразу после
замыкания ключа:

                                                                                                              I ₌
3E      

3r +
2R

и равен току, протекающему через конденсатор. Если ток через
резистор сопротивлением 3R не протекает, то ключ К оказывается в
цепи резистора сопротивлением 2R. Применяя законы параллельного
соединения, определим ток через резистор сопротивлением

2R: 

I2 = I ⋅ R +R2R =
3r +E2R

Задача 3.  В
электрической схеме,  состоящей из батареи с ЭДС Е = 15 В, резисторов R₁

= 10 Ом, R₂
= 30 Ом и конденсатора (см. рис. 3а), замыкают ключ К. Найти ток I₀
через резистор R₂ сразу после замыкания ключа. Внутренним
сопротивлением батареи пренебречь.

                          Рис.
3а                                                                                  
Рис. 3б 

Решение. За очень малое время установления начальных
токов заряд на конденсаторе не изменится и разность потенциалов на нём останется
равной нулю. Эквивалентная схема для этого промежутка времени будет иметь вид,
изображенный на рисунке 3б. Такая схема позволяет с помощью закона Ома для
замкнутой цепи определить начальные токи.

Начальный ток через батарею:

                                                                                           I E       (R +R )⋅E

Начальный ток через резистор сопротивлением
R₂ (он же и через конденсатор) можно определить, используя
законы параллельного соединения проводников:

I0 =
I ⋅
R1R+1R2 =
RE2 = 1530 = 0,5 А

Задача 4.  В
электрической схеме,  состоящей из батареи с ЭДС Е = 30 В, резисторов R₁
= 10 Ом, R₂ = 20 Ом, R₃ = 30 Ом и конденсатора (см. рис.
4а), замыкают ключ К. Найти ток I₀ через резистор R₂
сразу после замыкания ключа. Внутренним сопротивлением батареи пренебречь.

Решение. За очень малое время установления начальных
токов заряд на конденсаторе не изменится и разность потенциалов на нём
останется равной нулю. Схема для этого промежутка времени с токами будет иметь
вид, изображенный на рисунке 4б.

                              Рис.
4а                                                                        Рис.
4б

Согласно закону коммутации:              U_C(0_–)
= U_C(0₊) = 0

Запишем первый закон Кирхгофа для узла а: 

I =
I₁ +
I₀.

Запишем первый закон Кирхгофа для узла б:

I0 = IC + I3.

Запишем второй закон Кирхгофа для крайнего правого контура:

U_C =
I₃ ⋅
R₃ = 0,

откуда

I₃ =
0

Тогда сила тока через резистор, сопротивлением R₂
равна:

I0 = IC

Записав второй закон Кирхгофа для внешнего контура,
окончательно получим:

E =
I₀ ⋅R₂

I₀ =
^E ₌
³⁰
= 1,5 А

R₂ 20

Задача 5.  В электрической схеме,  состоящей
из батареи с ЭДС Е = 20 В, резисторов R₁ = 10 Ом, R₂ = 20
Ом, R₃ = 30 Ом и конденсатора (см. рис. 5а), замыкают ключ К. Найти
ток I₀ через резистор R₃ сразу после замыкания ключа.
Внутренним сопротивлением батареи пренебречь.

Решение. За очень малое время установления начальных
токов заряд на конденсаторе не изменится и разность потенциалов на нём
останется такой, какой она была до замыкания ключа:

                               Рис.
5а                                                                          
Рис. 5б 

Определим напряжение на конденсаторе до коммутации:

U_C =
I_Б ⋅R₂,

где I_Б — ток через
батарею и двух последовательно соединенных резистора с сопротивлениями R₁
и R₂ (ток в ветви с конденсатором и резистором сопротивлением
R₃ отсутствует). По закону Ома для замкнутой цепи:

                                                                                                           IБ =      ^E     

R1 + R2

и тогда

U_C =
E ^⋅R2

R1 + R2

После коммутации, схема для этого промежутка времени с
токами будет иметь вид, изображенный на рисунке 5б. Запишем второй закон
Кирхгофа для крайнего правого контура, содержащего конденсатор:

U_C =
I₀ ⋅R₃,

откуда

                                                                                               I      U   E ⋅R       

                                                                                                            3                        1 +
2 ⋅
3

                                                                                         I = 0,44 А

 Задача 6. В электрической схеме, изображенной на
рисунке, в                  K2         K1

начальный момент
времени ключи К₁ и К₂ разомкнуты, а конденсатор С
(большой ёмкости) не заряжен. После замыкания ключа К₁ амперметр А
показывает постоянный ток силой I₁

= 3 мкА. Затем
замыкают ключ К₂. Чему будет равно R₁ показание
амперметра сразу после замыкания ключа К₂, если известно, что R₂/R₁
= 2? Внутренним сопротивлением амперметра пренебречь.

Решение. Рассмотрим электрическую цепь, в которой
ключ К₁ замкнут. За очень малое время установления начальных
токов заряд на конденсаторе не изменится и разность потенциалов на нём
останется такой, какой она была до замыкания ключа:

                                 Рис.
6а                                                       Рис. 6б 

Выразим силу тока I₁,
которую показывает амперметр, записав закон Ома для полной цепи (см. рис. 6а):

I1 = R1 +ER2

откуда E =
I ⋅( R₁ +
R₂ )

Теперь замкнём ключ К₂.
Схема для этого промежутка времени с токами будет иметь вид, изображенный на
рисунке 6б. Для нижнего узла запишем первый закон Кирхгофа:

I =
I_C +
I₂.

Теперь запишем второй закон Кирхгофа для левого контура,
содержащего конденсатор:

U_C =
I₂ ⋅R₂ = 0,

откуда
следует, что I₂ =0     и     I = I_C

Значит для внешнего контура, как это следует из второго
закона Кирхгофа, искомый ток через резистор сопротивлением R₁
будет равен:

E =
I ⋅
R₁

I ₌
E

R₁

или

                                                                      I  = 9 мкА

                                                                                         R₁                                        R₁ 

Задача 7. В
электрической схеме, изображенной на рисунке 7а, ключ К разомкнут, а
конденсатор заряжен до некоторого значения U_C. Параметры схемы
указаны на рисунке 7а. Определите величину напряжения U_C, при
которой ток через батарею сразу после замыкания  ключа останется неизменным.

Решение. За очень малое время установления начальных
токов заряд на конденсаторе не изменится и разность потенциалов на нём
останется такой, какой она была до замыкания ключа:

                                   Рис.
7а                                                                    Рис.7б

До замыкания ключа через батарею течёт ток, силой:

                                                                                                             I ₌    E   

R₁ +
r

Сразу после замыкания ключа напряжение на
конденсаторе остаётся неизменным и равным U_C. Пусть в этот
момент текут токи, как показано на рисунке 7б. Запишем второй закон Кирхгофа
для левого контура, содержащего резистор сопротивлением R₁:

E =
I ⋅r + I₁ ⋅
R₁

E =
RE₁ +⋅rr + I1 ⋅ R1

RE1 = R1(ER1⋅r+ r) + _I1,

откуда

I1 = RE1 − R1(ER1⋅r+ r ) =
RE1 ⋅1− R1r+ r  = RE1 R1R+1 r = R1E+ r  и  равен току I  !!!

Так как сила тока через резистор
сопротивлением R₁ равна силе тока через батарею, то по
первому закону Кирхгофа ток I₂ = 0. Записав второй закон
Кирхгофа для правого контура, содержащего конденсатор:

U_C =
I₁ ⋅
R₁ −
I₂ ⋅
R₂,

окончательно получим:

UC = I1 ⋅ R1 = RE1⋅+Rr1

Задача 8. В электрической схеме, изображенной на
рисунке, в              Е              R

начальный момент
времени ключи К₁ и К₂ разомкнуты, а конденсатор С
(большой ёмкости) не заряжен. Через некоторое время после замыкания ключа К₁
амперметр А показывает постоянный ток силой I₁ = 1 мкА. В этот
момент замыкают ключ К₂. Какую величину силы тока покажет амперметр
сразу после замыкания ключа К₂, если известно, что R₂ = 2
R₁ = 100 МОм, а ЭДС батареи Е = 100 В? Внутренними сопротивлениями
амперметра и батареи пренебречь. R₂

Решение. Рассмотрим электрическую цепь, в которой
ключ К₁ замкнут, а ключ К₂ разомкнут. За
очень малое время установления начальных токов заряд на конденсаторе не
изменится и разность потенциалов на нём останется такой, какой она была до
замыкания ключа К₂:

U_C(0_–) = U_C(0₊)

                            
Рис. 8а                                                           Рис. 8б 

Выразим напряжение на конденсаторе до
коммутации через силу тока I₁, которую показывает амперметр,
записав второй закон Кирхгофа (см. рис. 8а):

E −U_C =
I₁ ⋅
R₁

откуда

U_C =
E −
I₁ ⋅
R₁

Теперь замкнём ключ К₂.
Схема для этого промежутка времени с токами будет иметь вид, изображенный на
рисунке 8б. Для правого узла запишем первый закон Кирхгофа:

I_A =
I −
I₂ .

Теперь запишем второй закон Кирхгофа для внешнего контура:

E =
I ⋅
R₁ +
I₂ ⋅
R₂,

откуда следует, что

I =
E −
I2 ⋅ R2

R₁

Далее, запишем второй закон Кирхгофа для нижнего контура:

U_C =
I₂ ⋅
R₂,

откуда следует, что

I2 = ^URC₂

И тогда, искомый ток I_A,
протекающий через амперметр, сразу после замыкания ключа К₂,
будет равен:

IA = I − I2 = E −RI2 ⋅ R2 − URC2 = RE1 − I2 ⋅ RR12 − URC2 = RE1 − URC2 ⋅ RR12 − URC2

1

IA = RE1 − URC1 − URC2

IA = R^E₁ −
( E −RI1₁ ^⋅
R1 ⁾ −
( E −RI1₂ ^⋅
R1 ⁾ =
R^E₁ −
R^E₁ +
I1 − R^E₂ +
I1 ⋅ RR1₂

IA = I1 − RE2 + I1 ⋅ RR12 = I1 ⋅1+ RR12  − RE2

IA =1⋅10−6 ⋅1+ 1  − 100 6 = 0,5⋅10−6 = 0,5 мкА

 2_ 100⋅10

Задача 9. В
электрической схеме, изображенной на рисунке, в      Е       R1 начальный момент времени
ключи К₁ и К₂ разомкнуты, а кон-

денсатор С (большой
ёмкости) не заряжен. Через некоторое K₁

время после
замыкания ключа К₁ амперметр А показывает величину силы тока I = 2
мкА. В этот момент замыкают

ключ К₂.
Сразу после замыкания ключа К₂ амперметр K₂

показывает
нулевое значение силы тока. Чему равна ЭДС батареи, если известно, что R₁ = R₂ = 10⁸
Ом? Внутренними

сопротивлениями амперметра и батареи пренебречь.                                 R₂

Решение. Рассмотрим электрическую цепь, в которой
ключ К₁ замкнут, а ключ К₂ разомкнут. За
очень малое время установления начальных токов заряд на конденсаторе не
изменится и разность потенциалов на нём останется такой, какой она была до
замыкания ключа К₂:

U_C(0_–) = U_C(0₊)
= 0

Выразим искомое ЭДС батареи, записав второй закон Кирхгофа
для замкнутого контура (см. рис. 9а):

E −U_C =
I ⋅
R₁,

откуда

                                   Рис.
9а                                                             Рис. 9б 

Теперь замкнём ключ К₂. Схема для этого
промежутка времени с токами будет иметь вид, изображенный на рисунке 9б. Так
как по условию задачи, ток через амперметр не проходит, то по первому закону
Кирхгофа, ток идёт по внешнему контуру и его величина:

I2 = R1 +ER2 .

Теперь запишем второй закон Кирхгофа для нижнего контура, из
которого определим напряжение на конденсаторе:

UC = I2 ⋅ R2 = RE1 +⋅ RR22 . И тогда, окончательно:

E =
I ⋅
R1 + RE1 +⋅ RR22

E −
RE1 +⋅ RR22 = I ⋅ R1

E ⋅1− R1R+2R2  = I ⋅ R1

E ⋅ R1R+1R2  = I ⋅ R1



E =
I ⋅( R₁ +
R₂ )

E =
2⋅10−6 ⋅(108 +108 )
= 400 В

Задача 10. Две
батареи с ЭДС Е₁ и Е₂ включены в схему, параметры которой
указаны на рисунке 10а, причём R₁ = R₂ = R₃ =
R. В начальный момент времени ключи К1 и К2 разомкнуты, а конденсаторы не заряжены. Ключи одновременно
замыкают. Найдите ток через резистор R₁.

Решение. За очень малое время установления начальных
токов заряды на конденсаторах не изменяются и разность потенциалов на них
останется такой, какой она была до замыкания ключа:

U_C(0_–) = U_C(0₊)
= 0

                              
Рис. 10а                                                            Рис.10б 

Теперь замкнём ключи. Схема для этого промежутка времени с
токами будет иметь вид, изображенный на рисунке 10б. По двум законам Кирхгофа,
составим систему из трёх уравнений:

I1 =
I2 + I3

E1 =
I1 ⋅ R1 + I2 ⋅ R2

E2 =
I1 ⋅ R1 + I3 ⋅ R3

Выразим из второго уравнения системы ток I₂,
из третьего уравнений системы — ток I₃ и подставим в первое
уравнение:

I2 = E1 −RI21 ⋅
R1 = RE21 −
I1 ⋅ RR12

I3 = E2 −RI31 ⋅R1 = ER32 − I1 ⋅ RR13

I1 = RE21 −
I1 ⋅ RR12 + ER32 − I1 ⋅ RR13

I1 ⋅1+ RR12 + RR13  = RE21 +
ER32

Учитывая, что все резисторы одинакового сопротивления,
окончательно получим:

I

I1 = E1₃+_RE2

Задача 11. В
электрической схеме, изображённой на рисунке 11а, в начальный момент времени
ключ К разомкнут, а в замкнутом контуре течёт установившийся ток. Определите
величину и направление тока через конденсатор С сразу после замыкания ключа.
Параметры схемы: ЭДС первой батареи Е₁ = 40 В, её внутреннее
сопротивление r₁ = 200 Ом, ЭДС второй батареи Е₂ = 80 В,
её внутреннее сопротивление r₂ = 50 Ом, сопротивление резистора R =
150 Ом.

Решение. За очень малое время установления начальных
токов заряд на конденсаторе не изменится и разность потенциалов на нём
останется такой, какой она была до замыкания ключа К:

U_C(0_–) = U_C(0₊)

                                Рис.
11а                                                                Рис. 11б 

До замыкания ключа через батарею Е₂ и
резистор сопротивлением R течёт ток, силой:

                                                                                         I = E2       =
80 = 0,4 А

R +
r₂ 150+50

Тогда напряжение на конденсаторе будет равно разности
потенциалов на резисторе:

                                                                              UC E ⋅ R 80⋅150 = 60 В

Сразу после замыкания ключа напряжение на
конденсаторе остаётся неизменным и равным U_C. Пусть в этот
момент текут токи, как показано на рисунке 11б. Запишем первый закон Кирхгофа
для правого узла:

IC = I1 + I2 − IR

Запишем второй закон Кирхгофа среднего контура, содержащего
резистор и конденсатор:

U_C =
I_R ⋅
R,

откуда

IR = URC =
RE2+⋅rR2 R1 = RE+2r2 =
15080+ 50 = 0,4 А

То есть, в момент сразу после замыкания ключа ток через
резистор не изменился! Теперь запишем второй закон Кирхгофа для нижнего
контура:

E2 = I2 ⋅r2 + IR ⋅ R

или

                                                                                                E₂ ^E R,

откуда

^{I2 =} E2 −rRE₂ 2+⋅rR2 = (RE+2r⋅₂r)2⋅r₂ = RE+2r₂ = 15080+
50 = 0,4 А

Таким образом, ток через конденсатор в момент замыкания
ключа равен току через батарею с ЭДС Е₂, то есть этот ток
тоже не изменился! И наконец, записывая второй закон Кирхгофа для внешнего
контура, получим выражение для тока I₁:

E2 − E1 = I2 ⋅r2 − I1 ⋅r1

                                                                                            E2 E r1

                                                                                            I1 E E1

                                                 I      = –
0,1 А

                                                                     2         1              1               1

То есть ток через батарею с ЭДС Е₁
течёт противоположно показанному на рисунке 11б. и тогда окончательно, ток
через конденсатор:

IC = I1 + I2 − IR = RE+2r2 ⋅
rr12 − Er12 + Er11 + RE+2r2 −
RE+2r2

IC = RE+2r2 ⋅
rr12 − Er12 + Er11 = I1 = – 0,1 А

Это означает, что ток через конденсатор в
момент замыкания ключа К равен току через батарею с ЭДС Е₁:

I_C = I₁ = – 0,1 А

и направлен слева направо.

Задача 12. Батарея
с ЭДС Е и внутренним сопротивлением r включена через ключ К в схему, параметры
которой указаны на рисунке 12а. В начальный момент времени ключ разомкнут, а
конденсаторы не заряжены. Ключ замыкают. Определите начальный ток (сразу после
замыкания ключа) через батарею.

Решение. За очень малое время
установления начальных токов заряды на конденсаторах не изменяются и разность
потенциалов на них останется такой,  какой она была до замыкания ключа К:

U_C(0_–) = U_C(0₊)
= 0

                                                                                                              I

                                     Рис.
12а                                                       Рис. 12б 

Теперь замкнём ключ К. Схема для
этого промежутка времени с токами будет иметь вид, изображенный на рисунке 12б.
По второму закону Кирхгофа, какой бы мы ни взяли замкнутый контур в мостовой
схеме, получим:

U_C =
I₁ ⋅
R₁ =
0      и     U_C =
I₂ ⋅
R₂ =
0,

откуда следует, что токи через резисторы не
протекают. Тогда по первому закону Кирхгофа следует, что I_C =
I. Записав второй закон Кирхгофа для внешнего контура, окончательно
получим:

E =
I ⋅r

откуда

I ₌
E

r

Задача 13. В
электрической схеме, представленной на рисунке 13а, в начальный момент времени
ключи К₁ и К₂ разомкнуты. Ключ К₁ замыкают и,
когда ток через резистор с сопротивлением R достигает значения I₀,
замыкают ключ К₂. Найдите ток через конденсатор ёмкостью С сразу
после замыкания ключа К₂. ЭДС батарей Е₁ и Е₂
и их внутренние сопротивления r₁ и r₂ известны.

Решение. За очень малое время установления начальных
токов заряд на конденсаторе не изменится и разность потенциалов на нём
останется такой, какой она была до замыкания ключа К₂:

U_C(0_–) = U_C(0₊)

                                Рис.
13а                                                                Рис. 13б 

До замыкания ключа К₂
через резистор сопротивлением R течёт ток силой I₀.
Следовательно в момент замыкания ключа К₂ напряжение скачком
на конденсаторе не изменяется и будет равно:

U_C =
I₀ ⋅
R

Запишем первый закон Кирхгофа для верхнего узла
электрической схемы:

I1 + I2 − IC − I0 = 0

откуда

I_C =
I₁ +
I₂ −
I₀                                                           
( 1 )

Запишем второй закон Кирхгофа для крайнего левого контура:

E1 −UC = I1 ⋅r1

откуда выразим ток I₁:

I₁ =
^{E1 −}_r1^UC ₌
^{E1 −}_r1^{I0 ⋅
R}                                                     
( 2 )

Запишем второй закон Кирхгофа для контура, содержащего
конденсатор и батарею с ЭДС Е₂:

E2 −UC = I2 ⋅r2

откуда выразим ток I₂:

I₂ =
^{E2 −}_r2^UC ₌
^{E2 −}_r2^{I0 ⋅
R}                                                   
( 3 )

Подставляя выражения (2), (3) для токов I₁
и I₂ в равенство (1), окончательно получим:

IC = E1 −r1I0 ⋅
R +
E2 −r2I0 ⋅
R −
I0

IC = Er11 + Er22 − I0 ⋅1+ rR1 + rR2 

Задача 14. Определите
ток I, текущий через резистор с сопротивлением R₁ в схеме, параметры
которой даны на рисунке 14а, в первый момент после замыкания ключа, если до
этого напряжение на конденсаторе было постоянным.

 

                                       Рис.
14а                                                    Рис. 14б   

Решение. За очень малое время установления начальных
токов заряд на конденсаторе не изменится и разность потенциалов на нём
останется такой, какой она была до замыкания ключа К:

U_C(0_–) = U_C(0₊)

До коммутации (см. рис. 14а) ток в цепи отсутствовал,
поэтому напряжение на конденсаторе равно ЭДС источника тока:

U_C = E

Сразу после замыкания ключа напряжение на
конденсаторе остаётся неизменным и равным U_C. Пусть в этот
момент текут токи, как показано на рисунке 14б. Запишем первый закон Кирхгофа
для правого узла:

I =
I2 + IC

Запишем второй закон Кирхгофа для контура, содержащего
батарею и конденсатор:

E −U_C =
I₂ ⋅
R₂,

E −
E =
I₂ ⋅
R₂ = 0,

откуда следует, что ток через батарею сразу после замыкания
ключа не протекает:

I₂ = 0

Следовательно, ток через резистор
сопротивлением R₁ равен току через конденсатор. Записав
второй закон Кирхгофа для внешнего контура, окончательно получим:

E =
I₂ ⋅
R₂ +
I ⋅
R₁

E =
0 +
I ⋅
R₁

I ₌
E

R₁

Задача 15. В
электрической схеме, представленной на рисунке 15а, в начальный момент времени
ключи К₁ и К₂ разомкнуты. Ключ К₁ замыкают и,
когда ток через конденсатор ёмкостью С достигает значения I₀,
замыкают ключ К₂. Найдите ток через конденсатор сразу после
замыкания ключа К₂. ЭДС батарей Е₁ и Е₂, их
внутренние сопротивления r₁ и r₂, а также сопротивление R
резистора известны.

Решение. За очень малое время установления начальных
токов заряд на конденсаторе не изменится и разность потенциалов на нём
останется такой, какой она была до замыкания ключа К:

U_C(0_–) = U_C(0₊)

                                   K1                K₂
                                     I

                                        
Рис. 15а                                                      Рис. 15б 

До замыкания ключа К₂, по условию задачи,
через конденсатор ёмкостью С протекает ток силой I₀.
Определим силу тока I_R, проходящего через резистор
сопротивлением R. Для этого рассмотрим электрическую цепь (см. рис.
15б), в которой расставим соответствующие токи. Запишем первый закон Кирхгофа
для верхнего узла электрической схемы:

I =
I0 + IR

Так как до замыкания ключа К₂
через резистор сопротивлением R протекает ток, то на конденсаторе будет
начальное напряжение U_C0. Поэтому запишем второй закон
Кирхгофа для внешнего контура электрической схемы (см. рис. 15б):

E₁ =
I ⋅r₁ +
I_R ⋅
R

E₁ =
(I₀ +
I_R )⋅r₁ +
I_R ⋅
R

E1 = I0 ⋅r1 + IR ⋅r1 + IR ⋅ R

откуда

IR = E1r1−+I0R⋅r1

За очень малое время установления начальных токов заряд на
конденсаторе не изменится и разность потенциалов на нём останется такой, какой
она была до замыкания ключа К₂:

U_C(0_–) = U_C(0₊)

Следовательно в момент замыкания ключа К₂
напряжение скачком на конденсаторе не изменяется и будет равно:

UC = IR ⋅ R = E1r1−+I0R⋅r1 ⋅ R

Сразу после замыкания ключа напряжение на
конденсаторе остаётся неизменным и равным U_C. Тогда, записав
второй закон Кирхгофа для внутреннего контура, можно показать, что ток через
резистор сопротивлением R не изменился:

UC = IR ⋅ R = E1r1−+I0R⋅r1 ⋅ R ,

откуда

I_R =
^U_R^C ₌
^E1_r1⁻₊^I0_R^⋅r1                                                       
( 1 )

Пусть в этот момент текут токи, как показано на рисунке 15в.

                                                         I₁
                         I2

Запишем первый закон Кирхгофа для верхнего узла:

I1 + I2 − IC − IR = 0

откуда

I_C =
I₁ +
I₂ −
I_R                                                           
( 2 )

Запишем второй закон Кирхгофа для крайнего левого контура:

E1 −UC = I1 ⋅r1

откуда выразим ток I₁:

I₁ =
^{E1 −}_r1^UC ₌
^{E1 −}_r^I1^{R ⋅
R}                                                   
( 3 )

Запишем второй закон Кирхгофа для контура, содержащего
конденсатор и батарею с ЭДС Е₂:

E2 −UC = I2 ⋅r2

откуда выразим ток I₂:

I₂ =
^{E2 −}_r2^UC ₌
^{E2 −}_r2^{IR ⋅
R}                                                   
( 4 )

Подставляя выражения (3), (4) для токов I₁
и I₂ в равенство (2), окончательно получим:

IC = E1 −rI1R ⋅
R +
E2 −r2IR ⋅
R −
IR

IC = Er11 − IRr1⋅ R +
Er22 − IRr2⋅ R −
IR

IC = Er11 + Er22 − IR ⋅1+ rR1 + rR2 

Учитывая выражение (1), окончательно получим:

IC = Er11 + Er22 − E1r1−+I0R⋅r1 ⋅1+ rR1 + rR2 

Глава 3 

Переходный процесс

Задача 16. В
электрической схеме, изображенной на рисунке 16а, ключ К разомкнут, а
конденсатор не заряжен. ЭДС источника равна Е, внутреннее сопротивление r,
ёмкость конденсатора С. Ключ замыкают. Найдите силу тока в цепи в тот момент,
когда заряд на конденсаторе составляет треть от максимально возможного заряда кон-

 

                                 Рис.
16а                                                   Рис. 16б

Решение. Максимально возможный
заряд, который может получить конденсатор, очевидно равен: 

Q =
E ⋅C

Это произойдёт через бесконечно длительный промежуток
времени после замыкания ключа, когда электрический ток в цепи прекратиться. В
этом случае, после полной зарядки конденсатора, напряжение на его обкладках
будет равно ЭДС батареи.

Теперь рассмотрим
переходный процесс, когда в цепи протекает электрический ток силой I и
происходит зарядка конденсатора. В этот момент времени заряд конденсатора
равен:

                                                                                                      q ^C ,

а напряжение на его обкладках:

UC = Cq =
E3

Эквивалентная схема для этого промежутка
времени будет иметь вид, изображенный на рисунке 16б. Такая схема позволяет с
помощью закона Кирхгофа для замкнутой цепи определить искомую силу тока:

E −U_C =
I ⋅r

E r

r

I E

Задача 17.  В
электрической схеме,  состоящей из батареи с ЭДС Е = 1 В, резисторов R₁
= 30 Ом, R₂ = 10 Ом и конденсатора (см. рис. 17а), замыкают ключ К.
Найти ток I_Б через батарею в тот момент, когда напряжение на
конденсаторе равно Е/3. Внутренним сопротивлением батареи пренебречь. 

                            Рис.
17а                                                                Рис. 17б 

Решение. Эквивалентная схема с
электрическими токами для этого промежутка времени будет иметь вид,
изображенный на рисунке 17б. Запишем первый закон Кирхгофа для верхнего узла:

IБ = I1 + I2

Запишем второй закон Кирхгофа для контуров, содержащих ток
через батарею и и неизвестные токи I₁, I₂:

E =
I₁ ⋅
R₁

E −U_C =
I₂ ⋅
R₂

Выразим токи I₁, I₂ и
подставим в верхнее уравнение: 

I1 = RE1    и   I2 = E −RU2 C

                                                      IБ            E     E −U        E      E −
E / 3 ₌
E ₊
2E _{=     ⋅}
2R +
3R

                                                                   1                      2                      1                         2                         1                  2                                     1
2

I_Б =
E ⋅

Подставив числовые значения заданных величин, окончательно
получим:

                                                                                         I_Б     = 0,1 А

Задача 18.  В электрической схеме,  состоящей
из батареи с ЭДС Е = 10 В, резисторов R₁ = 50 Ом, R₂ =
100 Ом и конденсатора (см. рис. 18а), замыкают ключ К. Найдите ток через
батарею в тот момент, когда напряжение на конденсаторе достигло значения Е/2.
Внутренним сопротивлением батареи пренебречь.

 

                                 Рис.
18а                                                                Рис. 18б 

Решение. Эквивалентная схема с
электрическими токами для этого промежутка времени будет иметь вид,
изображенный на рисунке 18б. Для решения задачи достаточно записать второй
закон Кирхгофа для внешнего контура:

E −U_C =
I ⋅
R₁

E  

 

I ₌
E

2R₁

Подставим числовые значения всех заданных величин и
произведём вычисление:

                                                                                                    I  = 0,1 А

Задача 19.  В
электрической схеме,  состоящей из батареи с ЭДС Е = 30 В, резисторов R₁
= 10 Ом, R₂ = 20 Ом, R₃ = 30 Ом и конденсатора (см. рис.
19а), замыкают ключ К. Найдите ток I_Б через батарею в тот момент
времени, когда ток через резистор R₃ равен I = 0,3А. Внутренним
сопротивлением батареи пренебречь.

Решение. Схема с электрическими
токами для этого промежутка времени будет иметь вид, изображенный на рисунке
19б.

                              Рис. 19а                                                                    
Рис. 19б

Запишем первый закон Кирхгофа для верхнего левого узла:

IБ = I1 + I2

Запишем второй закон Кирхгофа для крайнего левого контура,
содержащего батарею:

E =
I₁ ⋅
R₁,

откуда

I1 = RE1

Ток I₂ выразим, записав
второй закон Кирхгофа для крайнего левого и среднего контуров: 

E =
I₂ ⋅
R₂ +
I ⋅
R₃,

откуда

I₂ =
E −R^I₂^⋅
R3

В результате будем иметь:

I1 = RE1    и   I2 = E −RI2⋅ R3

Подставив найденные значения токов I₁ и I₂
в верхнее уравнение, окончательно получим:

IБ = E +
E −
I ⋅
R3

                                                                                                              R1                    R2

                                                                                    I_Б     = 4,05  А

Задача 20.  В
электрической схеме,  состоящей из батареи с ЭДС Е = 20 В, резисторов R₁
= 10 Ом, R₂ = 20 Ом, R₃ = 30 Ом и конденсатора (см. рис.
20а), замыкают ключ К.

Найдите ток I_Б
через батарею в тот момент времени, когда напряжение на конденсаторе равно
0,6Е. Внутренним сопротивлением батареи пренебречь.

                                 Рис.
20а                                                                      Рис.
20б 

Решение. Сначала необходимо выяснить, в каком режиме
находится наша схема в заданный момент времени: то ли это будет переходный
процесс, то ли стационарный режим. Для этого найдём установившееся напряжение
на конденсаторе в стационарном режиме. Схема, соответствующая этому случаю,
будет иметь вид, изображённый на рисунке 20б. При этом эквивалентное
сопротивление цепи будет равно:

RЭ = R1 + RR22+⋅RR33

Через резистор R₁, равно, как и через
батарею, течёт ток силой:

                                                                     I = REЭ = R     ER2R3 = R1 ⋅(ER⋅2(+R2R+3 )R+3R)2R3

1 +
R2 + R3

Зная ток в неразветвленной части цепи, можно найти токи в
параллельных её ветвях:

I2 = I ⋅ R2R+3R3 = R1 ⋅(R2 E+⋅RR33)+ R2R3

I3 = I ⋅ R2R+2R3 = R1 ⋅(R2E+⋅RR32)+ R2R3

Напряжение на резисторах R₂
и R₃ такое же, как на конденсаторе в установившемся режиме:

U3 =U3 =UC = R1 ⋅(R2E+⋅ RR23R)3+ R2R3

После подстановки числовых значений, получим:

                                                                             U_C     = 10,9  В

Поскольку в задаче речь идёт о напряжении
на конденсаторе, равном 0,6Е = 12В, то очевидно, что состояние системы
соответствует переходному процессу. Рассмотрим в этот момент времени
электрическую цепь, представленную на рисунке 20в.

                                                      R1          I_{Б                 3}

 R₃

  I3

Рис. 20в

Для решения задачи достаточно записать второй закон Кирхгофа
для контура, содержащего батарею и конденсатор:

E −U_C =
I_Б ⋅
R₁,

E −
0,6E =
I_Б ⋅
R₁

0,4E
=
I_Б ⋅
R₁

откуда

                                                                                         I_Б     = 0,8 А

Задача 21.  Электрическая
цепь состоит из батареи с ЭДС Е, конденсатора ёмкости С и переменного
резистора, начальное значение сопротивления которого равно R₀ (см.
рис. 21а). Через некоторое время после замыкания ключа К в цепи течёт ток силой
I₀. Начиная с этого момента времени сопротивление R изменяется таким
образом, что ток в цепи остаётся постоянным и равным I₀. 1)
Определите ток в цепи сразу после замыкания ключа К. 2) Найдите зависимость
сопротивления от времени. Внутреннее сопротивление батареи не учитывать.

Решение. Ток в цепи сразу после замыкания ключа имеет
максимальное значение, так как на конденсаторе напряжение отсутствует.
Следовательно, по второму закону Кирхгофа можно определить его значение:

E −U_C =
I ⋅R₀,

I ₌
E

R₀

                                 Рис.
21а                                                          Рис. 21б

Рассмотрим момент времени, когда в цепи
протекает ток, силой I₀ (см. рис. 21б). Согласно второму
закону Кирхгофа:

E −U_C =
I₀ ⋅
R,

E =
I₀ ⋅
R +U_C

Напряжение на конденсаторе для этого момента времени можно
выразить через заряд:

E =
I₀ ⋅
R +
C^q ,

который изменяется с течением времени:

E =
I0 ⋅ R + I0C⋅t

E =
R ₊
t

                                                                                                            I₀                        C

Но по условию задачи в начальный момент
времени сопротивление переменного резистора равно R₀,
следовательно:

R₀ =
R +
C^t ,

откуда, окончательно:

R(t ) =
R₀ −
C^t

Задача 22 В
цепи, изображённой на рисунке 22а первоначально ключ К замкнут и в ней течёт
постоянный ток. Ключ размыкают. Через какое приблизительно время заряд на
конденсаторе уменьшится на 1/1000 своей первоначальной величины? ЭДС батареи Е
= 4,5 В, её внутреннее сопротивление r = 1 Ом, ёмкость конденсатора С = 12 мкФ,
сопротивление резистора R = 500 кОм.   

                                 Рис.
22а                                                                  Рис. 22б 

Решение: сразу после размыкания
ключа,  по резистору сопротивлением R потечёт ток, мгновенное значение
которого будет равно:

i =
UC ,

R

где U_C — разность потенциалов на
конденсаторе, которая равна:

UC = _C^q

Так как в задаче речь идёт об изменении очень малых зарядов,
то мы не будем учитывать, что и ток, и разность потенциалов зависит от времени.
Таким образом, за бесконечно малый интервал времени Δt заряд на
конденсаторе уменьшится на величину:

∆q = i⋅∆t

Тогда: ∆q = i⋅∆t = U^C ⋅∆t = q ⋅∆t ,

                                                                                                                    R            RC

Откуда:

RC

Подставив числовые значения заданных величин, окончательно
получим:

= 0,006 с = 6 мс

Задача 23  Электрическая
цепь состоит из батареи с ЭДС Е, резистора, сопротивлением R и конденсатора
переменной ёмкости, начальное значение которой равно С₀ (см. рис.
23а). Через некоторое время после замыкания ключа К в цепи течёт ток силой I₀.
Начиная с этого момента времени ёмкость конденсатора изменяется таким образом,
что ток в цепи остаётся постоянным и равным I₀. 1) Определите ток в
цепи сразу после замыкания ключа К. 2) Найдите зависимость ёмкости конденсатора
от времени. Внутреннее сопротивление батареи не учитывать. Конденсатор вначале
не заряжен.

Решение. Ток в цепи сразу после замыкания ключа имеет
максимальное значение, так как на конденсаторе напряжение отсутствует.
Следовательно, по второму закону Кирхгофа можно определить его значение:

E −U_C =
I ⋅
R,

Рис.
23а                                                          Рис. 23б

Рассмотрим момент времени, когда в цепи
протекает ток, силой I₀ (см. рис. 23б). Согласно второму
закону Кирхгофа:

E −U_C =
I₀ ⋅
R,

E =
I₀ ⋅
R +U_C

Напряжение на конденсаторе для этого момента времени можно
выразить через заряд:

E =
I₀ ⋅
R +
C^q ,

который изменяется с течением времени:

E =
I0 ⋅ R + I0C⋅t ,

откуда

I0C⋅t =
E −
I0 ⋅ R

                                                                                                        C =      I0 ^⋅t     

E −
I₀ ⋅
R

Но по условию задачи в начальный момент времени ёмкость
переменного конденсатора равна С₀, следовательно:

C(t ) =
C0 + E −II00 ⋅ R ⋅t

Задача 24 В изображённой
на рисунке 24а цепи конденсаторы одинаковые, ёмкость каждого С = 100 мкФ,
резистор имеет сопротивление R = 100 кОм, батарея с ЭДС Е = 10 В обладает
внутренним сопротивлением r = 1 Ом. Ключ К замыкают. Какой ток течёт по
резистору через время τ = 0,1 с после замыкания ключа К?

Решение. После замыкания цепи конденсаторы очень
быстро заряжаются, а ток через резистор очень мал. Покажем это. Токи заряда в
самом начале определяются маленьким внутренним сопротивлением батареи.
Характерное время заряда цепи равно произведению эквивалентной ёмкости батареи
и внутреннего сопротивления источника тока:

 t_r = r ⋅C_ЭКВ =
r ⋅0,6C =1⋅0,6⋅100⋅10⁻⁶ = 6^.10^–5
_с,

что намного меньше заданного времени τ = 0,1 с в условии
задачи. С другой стороны, постоянная времени заданной цепи:

t_R = R⋅C_ЭКВ =
R⋅0,6C =100⋅10³ ⋅0,6⋅100⋅10⁻⁶ = 6 с,

что намного больше заданного интервала времени τ = 0,1.

Рис.
24а                                                               Рис. 24б

Обозначим на схеме потенциалы всех обкладок конденсаторов и
их заряды. Потенциал точки о примем за нуль, тогда потенциал точки е
будет равен ЭДС батареи:

ϕ_o = 0  и ϕ_e =
E

Пусть через резистор протёк заряд q_R от
точки с потенциалом е к точке с потенциалом b.

Тогда для узла b можно записать:

−
q₃ −
q_R +
q₄ =
0 Откуда:

−C(ϕ_a −ϕ_b )+ C(ϕ_b −ϕ_o ) = q_R

 q^R

−ϕ_a +ϕ_b +ϕ_b =
C

Следовательно, потенциал точки а:

ϕ_a = 2ϕ_b −
qC^R

Суммарный заряд обкладок конденсаторов, соединённых в точке а
равен нулю:

− q₁ + q₂ + q₃ = 0

−C(ϕ_e −ϕ_a )+ C(ϕ_a −ϕ_o )+ C(ϕ_a −ϕ_b ) = 0

− E +ϕ_a +ϕ_a +ϕ_a −ϕ_b =
0

ϕ_b = 3ϕ_a −
E

С учётом найденного выражения для потенциала точки а,
будем иметь:

ϕ_b = 3⋅^2ϕ_b −
qC^{R }_
−
E

ϕ_b = 6ϕ_b −
3Cq^R −
E

5ϕ_b =
E +
3Cq^R

E 3q^R ϕ_b =
5 +
5C

Из последнего выражения видно, что в момент
времени τ = 0,1 с, т.е. когда q_R = 0, потенциал точки b
будет равен:

E , ϕ_b =
5

а разность потенциалов на резисторе:

U _R =ϕ_e −ϕ_b =
E −
E5 = 45E

Таким образом, ток через резистор в заданный момент времени
будет равен:

IR = URR =
45RE =
5⋅1004⋅10⋅103 = 8·10–5 
А

Ответ:  I_R = 80 мкА.

Задача 25.  В
плоский конденсатор, закороченный на резистор сопротивлением R, помещена
аналогичная проводящая пластина, имеющая заряд q (см. рис. 25а) на расстоянии а
от левой пластины (а < d/2). Где d — расстояние между обкладками
конденсатора. Какой ток потечёт через резистор, если пластину двигать с
постоянной скоростью υ? 

Решение. При движении заряженной пластины с
постоянной скоростью на обкладках конденсатора появляются заряды,
обеспечивающие такую разность потенциалов между пластинами, чтобы ток в цепи а,
следовательно, и напряжение на резисторе оставались постоянными.

                                       Рис.
25а                                                  Рис. 25б 

Пусть в некоторый момент времени расстояние между
перемещаемой заряженной пластиной и левой пластиной конденсатора равно х.
Обозначим заряды левой и правой обкладок конденсатора в этот момент через q₁
и q₂. В силу закона сохранения электрического заряда: q₁
+ q₂ = 0,

или q₁ = – q₂.

Эти заряды создают внутри конденсатора электрическое поле,
напряженность которого равна:

E,

а заряд q уединённой пластины создаёт поле
напряжённостью:

E  ,

                                                                     0                   0

где S — площадь обкладок конденсатора и внесённой в
него пластины (по условию задачи они равны). Согласно принципу суперпозиции
электрических полей (см. рис 25б), разность потенциалов на обкладках
конденсатора равна:

U_C =
( E₁ +
E )⋅
x +( E₁ −
E )⋅(d − x).

Положив х = а + υt,
найдём временную зависимость зарядов, возникающих на обкладках конденсатора:

U_C =
E₁ ⋅
x +
E ⋅
x −
E₁ ⋅
x +
E ⋅
x +
E₁ ⋅d − E ⋅d

U_C =
d ⋅( E₁ −
E )+
2E ⋅
x

Напряжение на плоском конденсаторе будет изменяться со
временем по закону

UC =qC_C(t⁾ .

Воспользуемся формулой для плоского конденсатора:

C=εε0 ⋅S

d

Учитывая взаимодействия, происходящие в воздухе (ε = 1),
получим зависимость напряжения от времени:

UC ₌
qCε(0t⋅⁾S^⋅d

Приравнивая между собой правые части двух зависимостей
напряжения от времени и от координаты, получим:

qC (t)S⋅d =d⋅(E1 −E)+2E⋅x

ε₀ ⋅

q_C(t ) =ε₀ ⋅S ⋅( E₁ −
E )+ε₀ ⋅S ⋅ ²d^E ⋅
x

qC(t ) =ε0 ⋅S ⋅ε0q⋅1S − 2ε0q⋅S  +ε0 ⋅S ⋅ 2ε0q⋅S d2 ⋅ x



                                                                                              qC 2 _         d x

_

При этом координата х зависит от скорости движения пластины,
поэтому

q_C(t ) =
^q₁ − ^q2 ^_
+
d^q ⋅(a +υt ) _

qC (t ) =
q1 − q2 + qad  + qdυt

Видно, что окончательная зависимость представляет собой
линейную зависимость, так как величины, стоящие в круглых скобках являются
постоянными и не зависят от времени. Взяв производную электрического заряда по
времени, определим искомую силу тока через резистор:

I =
dqdt = qC/ (t ) =
_q1 − q2 + qad _
+
qd^υt__^/ =
_q1 − q2 + qad _^/ +
_
qd^υt_^/ _

I = qυ
d

Ответ:   I = ^qυ.
d

Глава 4

Установившийся режим

Задача 26. Определите
заряды конденсаторов в установившемся режиме в цепи, изображенной на рисунке
26а:  2_С   

Рис. 26а

Решение. На примере, достаточно
простой задачи покажем несколько способов её решения. 

I                    
способ, назовём его, школьный. Находим
эквивалентную ёмкость батареи конденсаторов, подключенных к источнику тока:

CЭКВ 2C ^⋅(C ⁺C⁾ = _С

2C (C
C)

Тогда электрический заряд, накопленный батареей
конденсаторов, будет равен:

Q =
C ⋅E

Очевидно, что заряд на конденсаторе ёмкостью 2С равен
заряду батареи:

 q₁ =
Q =
CE

На двух параллельно соединённых конденсаторах равной
ёмкости, очевидно, заряды будут одинаковыми и равными половине заряда батареи:

q2 = q3 = Q =
CE

                                                                                                                          2       2

Ответ:    q_{1 =}
Q ₌
CE, q₂ =
q₃ =
^Q₂ =
^CE₂ .

II                
способ, назовём его, потенциальный. Этот способ
очень удобен, если необходимо определить разность потенциалов между любыми
двумя точками цепи. Для этого:

1)      
Расставляем произвольным образом заряды на обкладках
конденсаторов (см. рис. 26б).

2)       Обозначаем
дополнительные точки на схеме между обкладками конденсаторов.

                                                          C₁

                                             B

 C3

Рис. 26б

3)       Принимаем
потенциал точки А равным нулю:

ϕ_A = 0        и  тогда       ϕ_B =
E

4)      
Для связанных зарядов (точка О — узел — точка соединения
трёх пластин конденсаторов) выполним закон сохранения электрического заряда, а
именно:

− q₁ + q₂ + q₃ = 0

5)      
Подставляем в последнее равенство заряды, выраженные через
разность потенциалов (по рисунку вычитают от большего потенциала меньший
потенциал):

−C₁(ϕ_B −ϕ_O )+C₂(ϕ_O −ϕ_A )+C₃(ϕ_O −ϕ_A )= 0

−C₁ ⋅ϕ_B +C₁ ⋅ϕ_O +C₂ ⋅ϕ_O +C₃ ⋅ϕ_O =
0

откуда

ϕO = C1 +C1C⋅ϕ2 +B C3 = C1 +CC1 ⋅2E+C3

или

                                                                                                                  2C ⋅E         E

ϕO = C +C +C = 2

2

Теперь, зная потенциалы все точек легко определить заряды на
конденсаторах:

q₁ =
C₁ ⋅(ϕ_B −ϕ_O )= 2C ⋅^E − E ^
= CE

                                                                                                                                       2 

q₂ =
C₂ ⋅(ϕ_O −ϕ_A )= C ⋅^_
E −0^_
=
CE

                                                                                                                                 
2        
2

q₃ =
C₃ ⋅(ϕ_O −ϕ_A )= C ⋅^_
E −0_^
=
CE

                                                                                                                                 
2        
2

Так как заряды получились положительными, то с расстановкой
знаков угадали.

Ответ:    q_{1 =}
CE ,
q₂ =
q₃ =
^CE₂ .

Способ достаточно громоздкий по сравнению
со школьным, но очень надёжный — всегда найдены потенциалы обкладок
конденсаторов.

III способ, назовём его, кирхгофный.
Очень удобен, особенно, когда цепь с конденсаторами содержит несколько
источников ЭДС. Для этого:

1)      Расставляем
произвольным образом заряды на обкладках конденсаторов (см. рис.

26в).

2)     
Пользуемся правилом направление ЭДС _r Е и
напряжённости электростатического поля заряженного конденсатора E :

                                                       Е                          Er

3)     
Выбираем положительный обход замкнутых контуров, например, по
ходу часовой стрелки. Записываем закон Кирхгофа для выбранного контура:

ΣE_i =ΣU_Ci

Для левого замкнутого контура:

E =UC1 +UC2 = Cq11 + Cq22 ,

откуда

C^q22 = E − C^q11   или    q₂ =
EC₂ −
q₁ ^CC₁²

Для общего внешнего замкнутого контура:

E =UC1 +UC3 = Cq11 + Cq33 ,

откуда

C^q33 = E − C^q11   или    q₃ =
EC₃ −
q₁ ^CC₁³

Для узла — точки соединения трёх пластин
конденсаторов, запишем закон сохранения электрического заряда:

− q₁ + q₂ + q₃ = 0

Или с учётом полученных выражений:

− q1 +
EC2 − q1 CC12 +
EC3 − q1 CC13 =
0

EC2 + EC3 = q1 + q1 CC12 +
q1 CC13

E ⋅(C2 +C3 )= q1 ⋅C1 +CC21 +C3 

q1 = EC1 ⋅C1C+2C+2C+3C3 


или

q1 = E ⋅2C ⋅
2CC++CC+C  = EC


И тогда: q₂ =
EC₂ −
q₁ ^CC1² = EC − EC ⋅ 2^CC = ^EC2

q₃ =
EC₃ −
q₁ ^CC1³ = EC − EC ⋅ 2^CC = ^EC2

Ответ:    q_{1 =}
CE ,
q₂ =
q₃ =
^CE₂ .

Задача 27. Определите
заряды конденсаторов в установившемся режиме в цепи, изображенной на рисунке
27а.

                                Рис.
27а                                                                Рис. 27б 

Решение. Расставляем знаки зарядов на пластинах
конденсаторов, а так же указываем направление ЭДС и направление векторов
напряженности электрических полей в конденсаторах (см. рис. 27б). Запишем для
нижнего узла закон сохранения электрического заряда: 

q₁ +
q₂ −
q₃ =
0

Для внешнего замкнутого контура:

E1 − E2 = Cq11 − Cq22 ,

откуда

Cq2 = Cq1 + E2 − E1      или     q2 =
q1 CC12
+
C2E2 −C2E1

                                                                 2               1

Для левого замкнутого контура:

E1 = Cq1₁ +
Cq3₃ ,

откуда

C^q33 = E₁ −
C^q11       или      q₃ =
C₃E₁ −
q₁ ^C_C1³

Подставим в первое уравнение и определим заряд на первом
конденсаторе:

q1 + q1 CC12 +
C2E2 −C2E1 −C3E1 +
q1 CC13
=
0

                                                             q1 C + C +
C      C2E2

q1 = C1 ⋅ E1 ^⋅(C^C₁2₊+C^C₂3₊)−C₃C2E2

С учётом последнего выражения, определятся заряды на
оставшихся конденсаторах:

q2 = q1 CC12 +
C2E2 −C2E1 =
C1 ⋅ E1 ⋅(CC12++CC23+)−C3C2E2 ⋅ CC12 + C2E2 −C2E1

q2 = E1 ⋅(CC12++CC23+)−C3C2E2 ⋅C2 + C2E2 ⋅(C1 + C2(+CC1 +3 )C−2C+2CE31 ⋅)(C1 + C2 + C3 )

q2 = C2C2E1 +C2C3E1 −C2C2E2 −C1C2E1C−1C+2CC22E+1C−3C2C3E1 +C1C2E2 +C2C2E2 +C2C3E2

q2 = −C1C2E1C+1 +C1CC22+E2C+3 C2C3E2 = C2 ⋅ C1EC21++CC3E2 +2 −CC3 1E1

q2 = C2 ⋅ E2 ^⋅(C^C₁1₊+C^C₂3₊⁾C−₃C1E1

q3 = C3E1 −q1 ^CC₁3 =
C3E1 −C1⋅ E1^⋅(C^C₁2₊+C^C₂3₊)−C₃C2E2 ⋅ ^CC₁3

q3 = C1C3E1C+1C+2CC23E+1C+3C3C3E1 − E1 ⋅(C2C+1C+3C)2⋅C+3C−3C2C3E2 = C1CC13E+1C+2C+2CC33E2

q3 = C3 ⋅ CC11E+1C+2C+2EC23

Ответ:        q1 =
C1 ⋅ E1 ⋅(CC12++CC23+)−C3C2E2 ;    q2 = C2 ⋅ E2 ⋅(CC11++CC23+)C−3C1E1 ;   
q3 = C3 ⋅ CC11E+1C+2C+2EC23 .

Ответы, представленные в первоисточнике: Горбунов А.К.,
Панаиотти Э.Д. «Сборник задач по физике для поступающих в ВУЗ» Издательство
МГТУ им. Н.Э. Баумана, имеют следующие выражения:

q1 = C1 ⋅ C2E2C−1 +E1C⋅2(+C2C+3 C3 ) ;    q2 = C2 ⋅ C1E1C−1 +E2C⋅2(+C1C+3 C3 ) ;    q3 = C3 ⋅ CC11E+1C+2C+2EC23 .

Как видно, отличаются знаками. В связи с этим следующая
задача…

Задача 28. Определите
заряд и напряжение конденсаторов в установившемся режиме в цепи, изображенной
на рисунке 28а. Ёмкости конденсаторов: С₁ = 5 мкФ, С₂ = 4
мкФ, С₃ = 3 мкФ, ЭДС источников тока: Е₁ = 20 В, Е₂
= 5 В.

                             Рис.
28а                                                                    Рис.
28б 

Решение. Расставляем знаки зарядов на пластинах
конденсаторов, а так же указываем направление ЭДС и направление напряженностей
электрических полей в конденсаторах (см. рис. 28б). Запишем для нижнего узла
закон сохранения электрического заряда: 

− q₁ − q₂ + q₃ = 0

Для внешнего замкнутого контура:

E1 − E2 = Cq11 − Cq22 ,

откуда

Cq2 = Cq1 + E2 − E1      или     q2 =
q1 CC12
+
C2E2 −C2E1

                                                                 2               1

Для левого замкнутого контура:

E1 = Cq1₁ +
Cq3₃ ,

откуда

Cq3₃ =
E1 − Cq11       или      q3 =
C3E1 −
q1 CC13

Подставим в первое уравнение и определим заряд на первом
конденсаторе (см. решение задачи № 27):

q1 = C1 ⋅ E1 ^⋅(C^C₁2₊+C^C₂3₊)−C₃C2E2

q1 = 5⋅ 20⋅(54++43+)−34⋅5 =  50 мкКл;         U1 = Cq11 = 505 = 10 В

q2 = q1 CC12 +
C2E2 −C2E1

q₂ =
50⋅
₅⁴ +
4⋅5− 4⋅20 = – 20 мкКл;       U₂ =
_C^q22 ₌ ²⁰₄ = 5 

q3 = C3E1 −
q1 CC13

q₃ =
3⋅20 −50⋅ 5³ = 30  мкКл;       
U₃ =
C^q3_{3 =}
³⁰₃ = ^{10 В.}

Таким образом, в зависимости от значений ЭДС источников
тока, возможны любые распределения зарядов на конденсаторах, как, например,
невозможно сразу предугадать направление сил токов в цепях с несколькими
источниками ЭДС.

Задача 29. В
некоторой цепи имеется участок АВ, показанный на рисунке 29а. ЭДС источника Е =
10 В, ёмкости конденсаторов С₁ = 1,0 мкФ, С₂ = 2,0 мкФ и
разность потенциалов φ_А – φ_В = 5,0 В. Найдите напряжение
на каждом конденсаторе.

                               Е                                                           С₁          Е           С2         В

                 С1                       С₂                                           q1                        q2

                           Рис.
29а                                                                  Рис. 29б 

Решение. Если пластины нескольких конденсаторов
соединены в один узел, не связанный непосредственно с источником тока, то алгебраическая
сумма зарядов на этих пластинах равна нулю (закон сохранения электрического
заряда).

Рис.
29в                                                            Рис. 29г

Например, для цепи, представленной на рисунке 29в:  –q₁
+ q₂ + q₃ = 0. Это соотношение справедливо
и тогда, когда перед конденсаторами имеются источники ЭДС (см. рис. 29г): –q₁
+ q₂ + q₃ = 0. Для нашей заданной схемы
(см. рис. 29б), согласно записанной теории, тоже будет выполняться закон
сохранения электрического заряда: –q₁ + q₂
= 0. Откуда следует, что: q₁ =
q₂ =
q

Принимая потенциал точки В равным
нулю, можно записать чему будет равен потенциал точки А:

ϕA −ϕB =UC2 − E +UC1

или

ϕA −ϕB = Cq2 − E + Cq1

Откуда можно определить заряд на конденсаторах:

                                                                                                                                 
1    1 



q =
(ϕAC−1ϕ+BC)2+ E ⋅C1C2

Тогда искомые напряжения на конденсаторах будут равны:

U1 = Cq₁ =
(ϕAC−1ϕ+BC)2+ E ⋅C2 = 51++102 ⋅2 = 10 В

U2 = C^q₂ =
(ϕAC−₁^ϕ₊BC⁾₂^+
E ⋅C1 = ⁵1+₊¹⁰2 ⋅1 = 5 В

Задача 30. Определите
заряды конденсаторов в установившемся режиме в цепи, изображенной на рисунке
30а.

Если решение задач № 27 и № 28 законами Кирхгофа весьма
громоздкое по сравнению с потенциальным способом, то представленная задача
решается “почти устно”.

Решение. Расставляем знаки зарядов на пластинах
конденсаторов, а так же указываем направление вектора напряженности
электростатического поля конденсаторов (см. рис 30б).

                                   
Рис. 30а                                                          Рис. 30б 

Обходим контуры по ходу часовой стрелки, содержащие
источники тока и только один из конденсаторов:

E₁ =
C^q1₁ ,     откуда       q₁ =E₁C₁

E₁ +
E₂ =
C^q2₂ ,     откуда       q₂ =(E₁ +E₂ )⋅C₂

E₁ +
E₂ −
E₃ =
C^q3₃ ,     откуда       q₃ =
(E₁ +
E₂ −
E₃ )⋅C₃

Задача 31. Найдите
заряды конденсаторов в установившемся режиме в цепи, изображенной на рисунке
31а. Ёмкость каждого конденсатора равна С.

Решение. Расставляем знаки зарядов на пластинах
конденсаторов, а так же указываем направление вектора напряженности
электростатического поля конденсаторов (см. рис 31б).

                                    Рис.
31а                                                        Рис. 31б  Воспользуемся
тем, то если пластины нескольких конденсаторов соединены в один узел, не
связанный непосредственно с источником ЭДС (это соотношение справедливо и
тогда, когда перед конденсаторами имеются источники ЭДС — см. решение зад. №
29), то алгебраическая сумма зарядов равна нулю:

q₁ −
q₂ −
q₃ −
q₄ =
0

Составим по второму закону Кирхгофа такие уравнения,
чтобы при обходе контура всегда присутствовал заряд на конденсаторе 1:

E1 =qC1 +qC2 ,     

откуда

^qC² =
E₁ −
^q_C¹       или      q_{2 =}
CE_{1 −}
q₁

E1 + E2 = qC1 + qC3 ,     

откуда

^qC³ =
E₁ +
E₂ −
^q_C¹       или      q_{3 =}
CE_{1 +}
CE_{2 −}
q₁

E1 + E2 + E3 = qC1 + qC4 ,     

откуда

^qC⁴ =E₁ +E₂ +E₃ −^qC¹       или      q_{4 =}
CE_{1 +}
CE_{2 +}
CE_{3 −}
q₁

Подставляем выражения для зарядов в первое уравнение:

q₁ −CE₁ +
q₁ −CE₁ −CE₂ +
q₁ −CE₁ −CE₂ −CE₃ +
q₁ =
0

4q₁ =
3CE₁ +
2CE₂ +
CE₃

q

И тогда, окончательно:

q2 = CE1 − q1 = CE1 − 3CE4 1 −  −
CE43

q2 = 4CE1 −3CE14− 2CE2 −CE3

q

q3 = CE1 + CE2 − q1 = CE1 + CE2 − 3CE4 1 −  −
CE43

q3 = 4CE1 + 4CE2 −3CE4 1 − 2CE2 −CE3

q

q4 = CE1 + CE2 + CE3 − q1 = CE1 + CE2 + CE3 − 3CE4 1 −  −
CE43

 _q4 ₌ 4CE₁ +
4CE₂ +
4CE₃₄−3CE₁ −
2CE₂ ⁻CE₃

q

Ответ:      q;        q;

                                             q;          q.

Задача 32. В
цепи, изображенной на рисунке 32а известны ёмкости конденсаторов С₁,
С₂, С₃ и ЭДС источника тока Е. Кроме того, известно, что
заряд первого конденсатора равен Q₁. Найдите ЭДС Е₂
второго источника тока в установившемся режиме.

                                 Рис.
32а                                                             Рис. 32б 

Решение. Расставляем знаки зарядов на пластинах
конденсаторов, а так же указываем направление ЭДС и направление напряженностей
электрических полей в конденсаторах (см. рис. 32б). Запишем для правого узла
закон сохранения электрического заряда: 

−Q₁ − q₂ + q₃ = 0,

откуда

q₃ =
Q₁ +
q₂

Для верхнего замкнутого контура:

E = q2 − Q1 , C2 C1

откуда

C^q22 = E + ^QC1¹      или     q₂ = EC₂ +
Q₁ ^C_C1²

Для внешнего замкнутого контура:

E2 = QC11 + Cq33 ,

Подставляем в последнее выражение заряды q₂
и q₃:

E2 = ^QC₁1 + Q1C+₃q2 = ^QC₁1 + CQ1₃ +
Cq2₃

E2 = QC11 + CQ13 + C13 ⋅EC2 + Q1 CC12 
= CC13CQ31 + CC11CQ13 + ECC32 + CC12CQ31

E2 = E ^CC₂₃ +
Q1 C1 +C^C₁C2₃⁺
C3

Задача 33. В
цепи, изображенной на рисунке 33а известны ёмкости конденсаторов С, С₁,
С₂ и ЭДС источника тока Е. Определите разность потенциалов между
точками а и b в установившемся режиме.

                             С                                    С
                                 1                     3

 o

                                  Рис.
33а                                                          Рис. 33б

Решение. Расставляем знаки зарядов
на пластинах конденсаторов (см. рис. 33б). Для узлов а и b можно
записать закон сохранения электрического заряда: 

−q₁ + q₃ = 0    и    − q₂ +
q₄ =
0,

откуда

q₁ =
q₃    и    q_{2 =}
q₄

C₁ ⋅(ϕ_f −ϕ_a ) = C ⋅(ϕ_a −ϕ_o )       и       C₂ ⋅(ϕ_f −ϕ_b )= C ⋅(ϕ_b −ϕ_o )

Примем потенциал точки о равным нулю, тогда потенциал
точки  f  будет равен Е:

C₁ ⋅(ϕ_f −ϕ_a )= C ⋅ϕ_a       и       C₂ ⋅(ϕ_f −ϕ_b ) = C ⋅ϕ_b

C₁ ⋅(E −ϕ_a ) = C ⋅ϕ_a      и       C₂ ⋅(E −ϕ_b )= C ⋅ϕ_b

   C₁ ⋅E = C ⋅ϕ_a +C₁ ⋅ϕ_a      и       C₂ ⋅
E =
C ⋅ϕ_b +
C₂ ⋅ϕ_b

 ϕ_a = C^C₁ ¹₊^EC      и       ϕ_b =
C^C₂²₊^EC

И тогда окончательно:

                                                                                                 C1E −
C2E =       C1C −C2C      

                                                                      ϕa −ϕb = C1 +C     C2 +C      (C1 +C)(C2 +C)

Ответ:  
ϕ_a −ϕ_b =
(C₁C₊¹CC)(⁻
CC²₂C₊
C)

Задача 34. В
цепи, изображенной на рисунке 34а известны ёмкости конденсаторов С₁,
С₂ и ЭДС источников тока Е₁, Е₂. Определите
разность потенциалов между точками а и b в установившемся режиме.

                                                      С1                  С2                           С1                   С2

 е

                                       
Рис. 34а                                           Рис. 34б 

Решение. Расставляем знаки зарядов
на пластинах конденсаторов (см. рис. 34б). Пусть потенциал точки а будет
равен нулю, тогда искомая разность потенциалов φ_b – φ_а
= φ_b. 

Для узла а можно записать закон сохранения
электрического заряда:

− q₁ + q₂ = 0,

откуда q₁ =
q₂

или

C₁ ⋅(ϕ_f −ϕ_a ) = C₂ ⋅(ϕ_a −ϕ_e )

C₁ ⋅ϕ_f =
−C₂ ⋅ϕ_e

 С другой
стороны, ϕ_f −ϕ_b =
E₁     и    ϕ_b −ϕ_e =
E₂,

откуда ϕ_f =
E₁ +ϕ_b     и    ϕ_e =ϕ_b −
E₂.

Подставим полученные выражения в равенство, записанное выше:

C₁ ⋅(E₁ +ϕ_b ) = −C₂ ⋅(ϕ_b −
E₂ )

C₁ ⋅E₁ +C₁ ⋅ϕ_b =
−C₂ ⋅ϕ_b +C₂ ⋅E₂

C₁⋅ϕ_b +C₂ ⋅ϕ_b =
C₂ ⋅E₂ −C₁⋅E₁

ϕb =Uab = C2CE12+−CC21E1

Задача 35. В
цепи, изображенной на рисунке 35а известны ёмкости конденсаторов С₁,
С₂, С₃ и ЭДС источников тока Е₁, Е₂.
Определите разность потенциалов между точками b и k в установившемся режиме.

С1   

  f

                                     Рис.
35а                                                     Рис. 35б

Решение. Расставляем знаки зарядов
на пластинах конденсаторов (см. рис. 35б). Пусть потенциал точки b будет
равен нулю, тогда искомая разность потенциалов φ_k – φ_b
= φ_k и Е₁ > Е₂.  Для
узла b можно записать закон сохранения электрического заряда:

q₁₂ −
q₃ =
0,

откуда

q21 = q3

или

(C₁ +C₂ )⋅(ϕ_b −ϕ_e ) = C₃ ⋅(ϕ_f −ϕ_b )

−(C₁ +C₂ )⋅ϕ_e =
C₃ ⋅ϕ_f

 С другой
стороны, ϕ_k −ϕ_e =
E₁     и    ϕ_k −ϕ_f =
E₂,

откуда ϕ_e =ϕ_k −
E₁     и    ϕ_f =ϕ_k −
E₂.

Подставим полученные выражения в равенство, записанное выше:

−(C₁ +C₂ )⋅(ϕ_k −
E₁ ) = C₃ ⋅(ϕ_k −
E₂ )

−C1ϕk +C1E1 −C2ϕk +C2E1 =
C3ϕk −C3E2

C1E1 +C2E1 +C3E2 =
C1ϕk +C2ϕk +C3ϕk

ϕk =Ukb = E1(CC11 ++CC22 )++CC33E2

Задача 36. Найдите
силу притяжения между пластинами плоского конденсатора С₁ в схеме,
изображенной на рисунке 36а в установившемся режиме. Ёмкости конденсаторов С₁
= С₀, С₂ = 2С₀, и ЭДС источников тока Е₁
= Е₀, Е₂ = 2Е₀, а расстояние между пластинами
конденсатора С₁ равно d.

Решение. Электрический заряд q_{1 r}одной
пластины конденсатора С₁ находится в однородном
электростатическом поле E
второй пластины этого же конденсатора (см. рис. 36б).

                          Рис.
36а                                                                   Рис. 36б

Поэтому:

                                                                                      F σ   q         

Электрическая ёмкость плоского конденсатора определяется
выражением:

C1 = ε0dεS ,

откуда ε₀εS = C₁d

И тогда искомая сила притяжения между пластинами
конденсатора сводится к нахождению электрического заряда на этом конденсаторе:

                                                                                                              F = q₁2       

2C₁d

Расставляем знаки зарядов на пластинах конденсаторов (см.
рис. 36в).

                                                                    Е1  

                                                                    С1 С2

                                                                             2

Рис. 36в По
второму закону Кирхгофа:

E1 + E2 −UC1 −UC2 = 0,

или

E1 + E2 = Cq11 + Cq22

Но так как заряды на обкладках обоих конденсаторов
одинаковые, то:

E1 + E2 = q1⋅C11 +
C12  = q1⋅ CC11+CC22 

q

Последнюю формулу можно было получить и школьным способом — это
заряд эквивалентной батареи конденсаторов, соединённых последовательно. И
тогда, окончательно, искомая сила будет равна:

                                                     F = (E1 +C1E+2 C)⋅2C1C2  2C1d = 2(C1 +C2 )2d       



F  

Ответ:    F = 2C0E02 . d

Задача 37. В
схеме, изображенной на рисунке 37а в установившемся режиме, сила притяжения
между пластинами плоского конденсатора С₁ равна F. Найдите
расстояние между пластинами этого конденсатора, если С₁ = 2С₀,
С₂ = С₀, и ЭДС источников тока Е₁ = 2Е₀,
Е₂ = Е₀.

Решение. Рассуждения, описанные в
задаче № 36, могут быть использованы при решении данной задачи:

                                                                                                             F = q12        ,

2C₁d

откуда

                                                                                                              d ₌
q₁2        

2C₁F

                           С₁               С₂                                            С1              С2

                                Рис.
37а                                                       Рис. 37б 

Расставляем знаки зарядов на пластинах
конденсаторов (см. рис. 37б). По второму закону Кирхгофа:

E1 − E2 −UC1 −UC2 = 0,

или

E1 − E2 = Cq11 + Cq22

Но так как заряды на обкладках обоих конденсаторов
одинаковые, то:

E1 − E2 = q1 ⋅C11 + C12  = q1 ⋅ CC11+CC22

q

d =
(E1 −C1E+2 )C⋅2C1C2 2 2C11F =
(E21(C−1E+2C)22⋅)C21FC22 

d  

Ответ:    d
=
C E² .

Задача 38. В
цепи, изображенной на рисунке 38а известны ёмкости конденсаторов С₁,
С₂, С₃ и ЭДС источников тока Е₁, Е₂,
Е₃. Определите разность потенциалов между точками а и b в
установившемся режиме.

                                                                                                                                                                       1

 b

                                  Рис.
38а                                                            Рис. 38б 

Решение. Пусть Е₁
> E₂ > Е₃. В связи с этим расставляем
знаки зарядов на пластинах конденсаторов (см. рис. 38б). Пусть потенциал точки b
будет равен нулю, тогда искомая разность потенциалов φ_a – φ_b
= φ_a. Для узла b можно записать закон сохранения
электрического заряда:

− q₁ − q₂ + q₃ = 0,

откуда q3 = q1 + q2

или

C₃ ⋅(ϕ_b −ϕ_f ) = C₁ ⋅(ϕ_a −ϕ_b )+C₂ ⋅(ϕ_m −ϕ_b )

−C₃ ⋅ϕ_f =
C₁ ⋅ϕ_a +C₂ ⋅ϕ_m

 С другой стороны, ϕ_a −ϕ_d ⁼
E₁,     откуда    ϕ_a ⁼
E₁ +ϕ_d

ϕ_m −ϕ_d ⁼
E₂,     откуда    ϕ_m ⁼
E₂ +ϕ_d

ϕ_f −ϕ_d ⁼
E₃,     откуда    ϕ_f ⁼
E₃ +ϕ_d

Подставим полученные выражения в равенство, записанное выше:

−C₃ ⋅(E₃ +ϕ_d ) = C₁ ⋅(E₁ +ϕ_d )+C₂ ⋅(E₂ +ϕ_d )

−C₃ ⋅E₃ −C₃ ⋅ϕ_d =
C₁ ⋅E₁ +C₁ ⋅ϕ_d +C₂ ⋅E₂ +C₂ ⋅ϕ_d

−C₁⋅E₁ −C₂ ⋅E₂ −C₃ ⋅E₃ = C₁⋅ϕ_d +C₂ ⋅ϕ_d +C₃ ⋅ϕ_d

ϕd = − C1 ^⋅E1C+₁^C₊2C⋅₂^E₊2 C+₃C3 ^⋅E3

Очевидно, что φ_а – φ_d = E₁,
поэтому, окончательно будем иметь:

ϕa =Uab = E1 −
C1⋅E1C+1C+2C⋅2E+2 C+3C3 ⋅E3

Кроме этого, можно записать:

ϕm =Umb = E2 −
C1 ⋅E1C+1C+2C⋅2E+2 C+3C3 ⋅E3 ,

и

,

                                                                                                                              1             2             3

что соответствует решению задачи № 3.125, представленному в
сборнике задач по общей физике И.Е. Иродов — 1979 год.

Задача 39. Найдите
эквивалентную ёмкость батареи конденсаторов изображенных на рисунке 39а.
Ёмкости всех конденсаторов известна.

Решение. Очевидно, что задача решается устно, так как
выполняется равенство произведения плеч мостовой схемы: ЭКВ 3С

                                                                                                            С     =

2

С                                             _С                                              1                                         2

                              Рис. 39а                                                                   Рис.
39б 

Однако рассмотрим способ, при помощи которого можно
определить эквивалентную ёмкость батареи при любых соотношениях ёмкостей
конденсаторов. Для этого мысленно подключим к батарее конденсаторов источник
тока так, чтобы потенциал левой клеммы был положительным и равным φ, а
потенциал правой клеммы (точка о) примем равным нулю. Расставим знаки
зарядов на пластинах конденсаторов (см. рис. 39б). Тогда, очевидно, что: C_ЭКВ =
q ϕ

Заряд q всей батареи конденсаторов равен сумме
зарядов:

q = q₁ + q₃

(или q = q₂ + q₄).
Как в случае общего тока I, который расходится из ветви, содержащей
источник, в параллельные ветви, выражаем заряды на всех конденсаторах, через
ёмкости и разность потенциалов: q₁ =
C₁(ϕ−ϕ_a ) = C(ϕ−ϕ_a )

q₂ =
C₂(ϕ_a −ϕ_o ) = Cϕ_a

q₃ =
C₃(ϕ−ϕ_b ) = 2C(ϕ−ϕ_b )

q₄ =
C₄(ϕ_b −ϕ_o ) = 2Cϕ_b

q₅ =
C₅(ϕ_a −ϕ_b ) = 3C(ϕ_a −ϕ_b )

Запишем закон сохранения электрического заряда для узлов а
и b:

− q₁ + q₂ + q₅ = 0      или    q₁ = q₂ + q₅

−q₃ + q₄ −q₅ = 0     или    q₄ = q₃ + q₅

С учётом верхних выражений, можно составить систему
уравнений:

                                                                                  C(ϕ−ϕ_a ) = Cϕ_a +3C(ϕ_a −ϕ_b ⁾   

2Cϕ_b =
2C(ϕ−ϕ_b )+3C(ϕ_a −ϕ_b )

                                                                                         ϕ−ϕ_a =ϕ_a +3ϕ_a −3ϕ_b            

_2ϕ_b =
2ϕ−
2ϕ_b +3ϕ_a −3ϕ_b

ϕ=
5ϕ_a −3ϕ_b

_7ϕ_b =
2ϕ+3ϕ_a

                                                                                                    

ϕ7ϕa b== 2ϕ+ϕ3bϕ5 + 53ϕb _





                                                                                                   ϕa =ϕb                               

7ϕ_b =
2ϕ+
ϕ+
ϕ_b



ϕa =ϕb

26ϕ_b =
135 ϕ

_ 5

 ϕ ϕ ϕ



ϕb =

ϕa =ϕb =

Что вытекает из равенства произведения плеч мостовой схемы.
И тогда, окончательно:

                                                  CЭКВ = q1 + q3 = C(ϕ−ϕa )+
2C(ϕ−ϕb ) =
C(ϕ−                  (ϕ−

                                                                     ϕ                     ϕ

CЭКВ = C

Ответ:   C_ЭКВ =
^3C

2

Задача 40. Найдите
эквивалентную ёмкость батареи конденсаторов изображенных на рисунке 40а.
Ёмкость каждого конденсатора равна С.

Решение. Преобразуем электрическую цепь, удалив из
неё “недоветви”. Мысленно подключим к батарее конденсаторов источник тока так,
чтобы потенциал левой клеммы был положительным и равным φ, а потенциал нижней
клеммы (точка о) примем равным нулю. Расставим знаки зарядов на
пластинах конденсаторов (см. рис. 40б):

                              Рис.
40а                                                                 Рис. 40б

Тогда, очевидно, что:

СЭКВ = q =
q4 + q5 + q6 ϕ         ϕ

Выражаем заряды на всех конденсаторах, через ёмкости и
разность потенциалов:

q₁ =
C₁(ϕ−ϕ_p )= C(ϕ−ϕ_p )

q₂ =
C₂(ϕ−ϕ_n ) = C(ϕ−ϕ_n )

q₃ =
C₃(ϕ_n −ϕ_p ) = C(ϕ_n −ϕ_p )

q₄ =
C₄(ϕ−ϕ_o ) = Cϕ

q₅ =
C₅(ϕ_n −ϕ_o ) = Cϕ_n

q₆ =
C₆(ϕ_p −ϕ_o ) = Cϕ_p

Запишем закон сохранения электрического заряда для узлов n
и р:

− q₂ + q₃ + q₅ = 0      или    q₂ = q₃ + q₅

− q₁ − q₃ + q₆ = 0     или    q₆ = q₁ + q₃

С учётом верхних выражений, можно составить систему
уравнений:

C(ϕ−ϕ_n ) = C(ϕ_n −ϕ_p )+Cϕ_n

_Cϕ_p =
C(ϕ−ϕ_p )+C(ϕ_n −ϕ_p )

_ϕ−ϕ_n =ϕ_n −ϕ_p +ϕ_n

_ϕ_p =ϕ−ϕ_p +ϕ_n −ϕ_p

_ϕ=
3ϕ_n −ϕ_p

_3ϕ_p =ϕ+ϕ_n

                                                                                               ϕ_p =
3ϕ_n −ϕ        

_3⋅(3ϕ_n −^ϕ) =ϕ+ϕ_n

ϕ_p =
3ϕ_n −ϕ
_9ϕ_n −3ϕ=ϕ+ϕ_n

ϕp = 3⋅ϕ2 −ϕ


ϕ_n =
^ϕ2

ϕn =ϕp =

И тогда, окончательно:

ϕ

CЭКВ = q4 + q5 + q6 = Cϕ+Cϕn +Cϕp = Cϕ+C        +C 2 = 2C ϕ      ϕ       ϕ

Ответ:   C_ЭКВ =
2C