Как найти узел на электрической схеме - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

ads

Электрическая схема представляет собой графическое изображение электрической цепи. Она показывает, как осуществляется соединение элементов в рассматриваемой электрической цепи.

Простым языком электрическая схема это упрощенное изображение электрической цепи.

Для отображение электрических компонентов (конденсаторов, резисторов, микросхем и т. д.) в электрических схемах используются их условно графические обозначения.

Для отображения электрических соединений (дорожек, проводов, соединения между радиоэлементами) применяют простую линию соединяющие два условно графических обозначения. Причём все ненужные изгибы дорожек удаляют.

В состав электрической схемы входят: ветвь и условно графические обозначение электрических элементов так же могут входить контур и узел.

Ветвь – участок цепи состоящий из одного или нескольких элементов вдоль которого ток один и тот же.

Ветви присоединённые к одной паре узлов называются параллельными.

Любой замкнутый путь, проходящий по нескольким ветвям называется контуром. На верхнем рисунке, контурами можно считать ABD; BCD; ABC.

Узел – место соединения трёх и более ветвей.

Узел A
Узел B
Узел C
Узел D

Точки К и Е не являются узлами.

Источник

8. Топологические элементы схемы: ветви, узлы, контуры.

Электрическая
схемапредставляет собой графическое
изображение электрической цепи. Она
показывает как осуществляется соединение
элементов рассматриваемой электрической
цепи.

«Электрическими»
элементами схемы служат активные и
пассивные элементы цепи.

«Геометрическими»
элементами схемы являются ветви и узлы.

Ветвь
– участок схемы, расположенный между
двумя узлами и образованный одним или
несколькими последовательно соединенными
электрическими элементами цепи (рис.
11).

Рис. 11. Изображение
ветвей электрической схемы.

Под последовательным
соединением
элементов цепи понимается такое их
соединение, при котором через все эти
элементы проходит один и тот же ток.

Узел
– место соединения трех или большего
числа ветвей. Место соединения двух
ветвей рассматривается как устранимый
узел.

Рис. 12. Изображение
узла электрической схемы.

Ветви присоединенные
к одной паре узлов называются параллельными
(рис. 13).

Рис. 13. Параллельное
соединение двух ветвей.

На рис. 14 изображена
электрическая схема пять ветвей и три
узла.

Стрелкой на рис.
указано направление обхода одного из
контуров.

Рис. 14. Схема
электрической цепи.

Под контуром
понимается любой замкнутый путь,
проходящий по нескольким ветвям.

В зависимости от
числа контуров, имеющихся в схеме,
различают многоконтурные и одноконтурные
схемы.

Одноконтурная
замкнутая схема показана на рис. 15.

Одноконтурная
схема является простейшей.

Рис. 15. Одноконтурная
схема.

9. Распределение потенциала вдоль участка ветви. Потенциальная диаграмма.

Рассмотрим участок
электрической цепи (рис. 16)

Рис. 16.

Участок ветви,
содержащий один или несколько источников
энергии, является активным.

Положительные
направления тока и напряжения указаны
стрелкой.

Определим потенциалы
точек c,
d,
e,
b,
предположив, что известен потенциал
точки a-_a.

Для правильного
выбора знаков следует
помнить,
что:

ток в сопротивлении
всегда направлен от более высокого
потенциала к более низкому, т.е. потенциал
падает по направлению тока.
э.д.с., направленная
от точки «с» к точке «d»,
повышает потенциал последней на величину
E.
напряжение U=Uac
положительно, когда потенциал точки а
выше, чем потенциал точки с.

При обозначении
напряжения (разности потенциалов) на
схемах посредством стрелки она ставится
в направлении от точки высшего потенциала
к точке низшего потенциала.

На рис. 16 ток
протекает от точки «а» к точке «с»,
значит потенциал _с
будет меньше _aна величину
падения напряжения на сопротивлении
R₁,
которое по закону Ома равно IR₁:

_{с =}_a— IR₁

На участке cd
э.д.с. E₁
действует в сторону повышения потенциала,
следовательно:

_d=
_с₊E_1

=_a—
IR₁₊E₁

Потенциал точки
«e»
меньше потенциала точки «d»
на величину падения напряжения на
сопротивлении R₂:

_e=
_d–
IR_{2

=}_a—
IR₁₊E₁–
IR₂

На участке e
в э.д.с. E₂действует
таким образом, что потенциал точки «b»
меньше потенциала точки «e»
на величину E₂:

_b=
_e–E_2

=_a—
IR₁₊E₁–
IR₂–E₂
= _a
– I(R₁+R₂)
+ E₁-E₂
(15)

Чтобы наглядно
оценить распределение потенциала вдоль
участка цепи, полезно построить
потенциальную диаграмму, которая
представляет график изменения потенциала
вдоль участка цепи или замкнутого
контура.

По оси абсцисс
графика откладываются потенциалы точек,
а по оси ординат – сопротивления
отдельных участков цепи. Для участка
цепи рис. 16 распределение потенциала
построено на рис. 17.

Рис. 16. Потенциальная
диаграмма участка цепи.

Потенциальная
диаграмма рис. 16 построена, начиная с
точки a,
которая условно принята за начало
отсчета. Потенциал _aпринят
равным нулю.

Точка цепи, потенциал
которой условно принимается равным
нулю, называется базисной.

Если в условии
задачи не оговорено, какая точка является
базисной, то можно потенциал любой точки
условно приравнивать к нулю. Тогда
потенциалы всех остальных точек будут
определяться относительно выбранного
базиса.

Соседние файлы в папке Конспект 2

Источник

Содержание

Что такое электрическая схема, ветвь, узел, контур.
Методы расчета сложных электрических цепей
Методы расчета сложных электрических цепей
Метод непосредственного применения законов Кирхгофа
Метод контурных токов
Метод узловых потенциалов

Что такое электрическая схема, ветвь, узел, контур.

Простым языком электрическая схема это упрощенное изображение электрической цепи.

Ветвь – участок цепи состоящий из одного или нескольких элементов вдоль которого ток один и тот же.

Ветви присоединённые к одной паре узлов называются параллельными.

Узел – место соединения трёх и более ветвей.

Точки К и Е не являются узлами.

Источник

Методы расчета сложных электрических цепей

Сложной электрической цепью называют разветвленную цепь с несколькими источниками электрической энергии. Применение методов эквивалентных преобразований в таких цепях, как правило, не эффективно, так как не позволяют упростить ее до одноконтурной цепи или цепи с двумя узлами. Для расчета таких цепей используют более общие методы.

Метод непосредственного применения законов Кирхгофа

Метод заключается в составлении системы уравнений с применением первого и второго законов Кирхгофа для заданной электрической цени, решение которой позволяет определить токи всех ветвей цепию.

Реализация этою метода, как и любого другого метода расчета сложной электрической цени, начинается с предварительного анализа ее схемы с целью определения числа узлов , числа ветвей , числа независимых контуров , числа ветвей с источниками токов, выяснения возможности упрощения схемы.

Прежде всего определяют число неизвестных токов, которое равно — . Для каждой ветви задают положительное направление тока.

Далее по первому закону Кирхгофа составляют — 1 независимых уравнений.

Затем по второму закону составляют уравнений. При этом выбирают независимые контуры, не содержащие источников тока.

Общее число составленных по первому и второму законам Кирхгофа должно быть равно числу неизвестных токов.

Рассмотрим применение законов Кирхгофа для определения токов в ветвях цепи, схема которой приведена на рис. 1.25. Пусть ЭДС идеальных источников напряжения , сопротивления . Требуется определить все токи схемы с помощью метода непосредственного применения законов Кирхгофа.

Схема содержит 6 ветвей с неизвестными токами и четыре узла. Па схеме узлы обозначены арабскими цифрами, показаны принятые направления токов и направления обхода контуров А, Б и В.

Составим систему из 6 уравнений. Уравнения по первому закону Кирхгофа запишем для узлов 1, 2, 3, уравнения по второму закону Кирхгофа запишем для контуров А, Б, В:

Решив эту систему уравнений, получим . Отрицательное значение тока , указывает на то, что выбранное при составлении уравнений направление этого тока не соответствует действительности. Правильное направление — от узла 3 к узлу 4.

Для проверки вычислений с помощью программы схемотехнического моделирования Micro Сар выполнен анализ по постоянному току схемы, изображенной на рис. 1.25. Изображенные на рис. 1.26,а значения токов ветвей (в мА) подтверждают правильность выполненных расчетов. Изображенные на рис. 1.26,б узловые потенциалы схемы (в В) позволяют определить направление токов ветвей.

Метод контурных токов

Метод контурных токов наиболее часто применяется на практике для расчета сложных цепей, так как он позволяет находить все неизвестные величины при числе уравнений, меньшем числа неизвестных величин.

По этому методу в каждом независимом контуре схемы вместо действительных токов в ветвях вводят условный контурный ток. Действительный ток в любой ветви, принадлежащей только одному контуру, численно равен контурному току. Действительный ток в любой ветви, принадлежащей нескольким контурам равен алгебраической сумме контурных токов, проходящих через эту ветвь.

Уравнения для расчета контурных токов составляются по второму закону Кирхгофа. При этом учитываются напряжения на всех пассивных элементах контура от собственного контурного тока и в смежных элементах -от контурных токов соседних контуров. Направление контурного тока в независимом контуре выбирают произвольно. Направление обхода контура обычно выбирают совпадающим с направлением собственного контурного тока.

Падение напряжения при прохождении тока смежного контура в элементе принимают положительным, если направление тока в смежном контуре совпадает с направлением обхода, Если направление тока смежного контура не совпадает с направлением обхода, падение напряжения считают отрицательным. Значение ЭДС берется со знаком плюс, если направление обхода контура совпадает с положительным направлением ЭДС, и со знаком минус — если не совпадает.

Метод контурных токов рассмотрим на примере схемы электрической цепи, изображенной на рис. 1.27. Схема имеет три независимых контура: А, Б, В. Через сопротивления каждого контура проходит свой контурный ток . Направления обхода каждого контура совпадает с направлением контурного тока этого контура. ЭДС идеальных источников напряжения , сопротивления и .

Уравнения, составленные по второму закону Кирхгофа, для контуров А, Б и В:

Подставив в эту систему уравнений численные значения ЭДС источников и сопротивлений и решив ее, получим

Действительные токи ветвей схемы:

Полученные значения полностью совпадают с результатами ранее проделанного расчета этой же цени по методу непосредственного применения Законов Кирхгофа.

Метод узловых потенциалов

Потенциал любой точки электрической цепи определяется напряжением между данной точкой и точкой цепи с потенциалом равным нулю.

Метод узловых потенциалов заключается в том, что вначале полагают равным нулю потенциал некоторого базисного узла и для оставшихся ( -1) узлов составляют уравнения по первому закону Кирхгофа: алгебраическая сумма токов всех ветвей, подключенных к рассматриваемому узлу равна нулю. При этом токи ветвей, соединяющих узлы, определяются с помощью обобщенного закона Ома. Решив полученную систему уравнений, определяют потенциалы узлов.

Далее, применив обобщенный закон Ома для ветвей, определяют искомые токи.

Метод узловых потенциалов рассмотрим на примере схемы электрической цепи, изображенной на рис. 1.28 (я). В этой схеме ЭДС идеальных источников напряжения , сопротивления и .

Схема имеет четыре узла. Примем потенциал узла 3 . Составляем уравнения по методу узловых потенциалов. Сумма токов узла 1 приравнивается нулю. Ток каждой ветви, подключенной к узлу 1, записывается в соответствии с обобщенным законом Ома

Подставив в полученную систему уравнений численные значения ЭДС источников и сопротивлений и решив ее, получим . Полученные результаты совпадают с данными (рис. 1.26,6^, полученными при выполнении с помощью программы Micro-Сар анализа по постоянному току схемы, изображенной на рис. 1.28,а.

Применив обобщенный закон Ома для каждой ветви схемы, получим искомые токи:

Полученные значения токов совпадают с результатами расчета этой цепи методом непосредственного применения законов Кирхофа и методом контурных токов.

Направления найденных токов указаны на графе цепи на рис. 1.28,6. Графом цепи называют такое изображение схемы электрической цепи, в котором все ветви заменены линиями, источники напряжения закорочены, а источники тока разомкнуты. Все ветви и все узлы сохраняются.

Метод узловых потенциалов имеет преимущество перед методом контурных токов в том случае, когда число уравнений, записанных по первому закону Кирхгофа, меньше числа уравнений, записанных по второму закону Кирхгофа.

Метод двух узлов является частным вариантом метод узловых потенциалов. Он применяется в тех случаях, когда анализируемая схема содержит только два узла (для определенности узлы и ) и большое число параллельных ветвей, содержащих и не содержащих источники ЭДС. Согласно методу двух узлов межузловое напряжение

где — алгебраическая сумма произведений ЭДС ветвей (ЭДС считаются положительными, если они направлены к узлу , и отрицательными, если от узла к узлу ) на проводимости этих ветвей; — сумма проводимости всех ветвей, соединяющих узлы и .

Эта теория взята со страницы помощи с заданиями по электротехнике:

Возможно эти страницы вам будут полезны:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

Источник

Введём понятие узла. Узел – точка цепи, в которой сходится не менее трёх проводников.

Тогда разветвлённой цепью назовём цепь, имеющую один или более узлов.

Для расчёта таких цепей используются два правила Кирхгофа.

Рис. 1. Первое правило Кирхгофа

Первое правило Кирхгофа: сумма токов, входящих в узел, равна сумме токов, выходящих из узла (рис. 1). A — узел в цепи постоянного тока. Путь в цепи протекают токи $displaystyle {{I}_{4}}$ — $displaystyle {{I}_{4}}$ . Тогда, исходя из первого правила Кирхгофа:

$displaystyle {{I}_{1}}+{{I}_{4}}={{I}_{2}}+{{I}_{3}}$

Или, обобщая:

$displaystyle sumlimits_{i}{{{I}_{i}}}=sumlimits_{j}{{{I}_{j}}}$ (1)

где

Рис. 2. Второе правило Кирхгофа (цепь)

Второе правило Кирхгофа касается такого понятия как контур. Назовём контуром замкнутый участок цепи, содержащий любые элементы цепи. Для визуализации правила введём произвольную цепь с узлами (рис. 2). Пусть наша цепь содержит резисторы $displaystyle {{R}_{3}}$ — , конденсатор ёмкостью $displaystyle {{varepsilon }_{1}}$ и два источника ЭДС $displaystyle {{varepsilon }_{2}}$ , $displaystyle {{r}_{1}}$ с собственными внутренними сопротивлениями $displaystyle {{r}_{2}}$ и $displaystyle {{r}_{2}}$ соответственно.

Рис. 3. Второе правило Кирхгофа (Контур)

По нашей схеме нарисуем контуры (рис. 3). В цепе можно выделить 3 контура обхода: для определённости, красный, синий и зелёный.

Расставим токи для каждого из элементов, обладающих сопротивлением (рис. 4). Направление силы тока выбираем случайным образом.

Рис. 4. Второе правило Кирхгофа (Сила тока)

Тогда второе правило Кирхгофа — сумма падений напряжений на каждом из элементов контура равно сумме ЭДС в этом контуре.

Учитывая закон Ома для участка цепи:

displaystyle U=IR (2)

где

Тогда второе правило Кирхгофа формульно:

$displaystyle sumlimits_{i}{{{I}_{i}}{{R}_{i}}=sumlimits_{j}{{{varepsilon }_{j}}}}$ (3)

где

Тогда составим второе правило Кирхгофа для контуров на рис. 3 при нескольких условиях:

ток считать положительным при совпадении направления обхода и отрицательным при несовпадении;
ЭДС считать положительным при направлении обхода совпадающим с генерацией тока в источнике (от плюса к минусу) и отрицательным в обратном случае.

Итак, зелёный контур:

$displaystyle {{I}_{5}}{{r}_{1}}+{{I}_{3}}{{R}_{3}}-{{I}_{2}}{{R}_{2}}={{varepsilon }_{1}}$ (4)

Для синего контура:

$displaystyle -{{I}_{1}}{{R}_{1}}+{{I}_{4}}{{r}_{2}}-{{U}_{c}}-{{I}_{2}}{{R}_{2}}={{varepsilon }_{2}}$ (5)

Для красного контура:

$displaystyle {{I}_{1}}{{R}_{1}}+{{I}_{5}}{{r}_{1}}+{{I}_{3}}{{R}_{3}}+{{U}_{c}}-{{I}_{4}}{{r}_{2}}={{varepsilon }_{1}}-{{varepsilon }_{2}}$ (6)

Вывод: правила Кирхгофа (1) и (3) можно использовать для любого вида цепей, однако наибольшую пользу они приносят в случае разветвлённых цепей, в которых есть узлы. При использовании правил необходимо опираться на следующие идеи:

ищем узлы и расписываем первое правило Кирхгофа (1) для каждого из них (часть уравнений может получится одинаковым);
по количеству получившихся уравнений и неизвестных узнаём количество добавочных уравнений;
определяем контур (или несколько), который будем использовать во втором правиле Кирхгофа (3);
задаём направление обхода в контуре (произвольно);
обозначаем токи на каждом из элементов, имеющих сопротивление (направление тока выбираем произвольно);
записываем второе правило Кирхгофа для контура (условия выше).

Источник

Электрическая цепь характеризуется совокупностью элементов, из которых она
состоит, и способом их соединения. Соединение элементов электрической цепи наглядно
отображается ее схемой. Рассмотрим для примера две электрические схемы (рис.
1, 2), введя понятие ветви и узла.

Ветвью называется участок цепи, обтекаемый одним и тем же током.

Узел – место соединения трех и более ветвей.

Представленные схемы различны и по форме, и по назначению, но каждая из указанных
цепей содержит по 6 ветвей и 4 узла, одинаково соединенных. Таким образом, в
смысле геометрии (топологии) соединений ветвей данные схемы идентичны.

Топологические (геометрические) свойства электрической цепи не зависят от типа
и свойств элементов, из которых состоит ветвь. Поэтому целесообразно каждую
ветвь схемы электрической цепи изобразить отрезком линии. Если каждую ветвь
схем на рис. 1 и 2 заменить отрезком линии, получается геометрическая фигура,
показанная на рис. 3.

Условное изображение схемы, в котором каждая ветвь заменяется отрезком линии,
называется графом электрической цепи. При этом следует помнить, что ветви
могут состоять из каких-либо элементов, в свою очередь соединенных различным
образом.

Отрезок линии, соответствующий ветви схемы, называется ветвью графа.
Граничные точки ветви графа называют узлами графа. Ветвям графа может
быть дана определенная ориентация, указанная стрелкой. Граф, у которого все
ветви ориентированы, называется ориентированным.

Подграфом графа называется часть графа, т.е. это может быть одна ветвь
или один изолированный узел графа, а также любое множество ветвей и узлов, содержащихся
в графе.

В теории электрических цепей важное значение имеют следующие подграфы:

1. Путь – это упорядоченная последовательность ветвей, в которой каждые
две соседние ветви имеют общий узел, причем любая ветвь и любой узел встречаются
на этом пути только один раз. Например, в схеме на рис. 3 ветви 2-6-5;
4-5; 3-6-4; 1 образуют пути между одной и той же парой узлов 1
и 3. Таким образом, путь – это совокупность ветвей, проходимых непрерывно.

2. Контур – замкнутый путь, в котором один из узлов является начальным
и конечным узлом пути. Например, для графа по рис. 3 можно определить контуры,
образованные ветвями 2-4-6; 3-5-6; 2-3-5-4. Если между любой парой
узлов графа существует связь, то граф называют связным.

3. Дерево – это связный подграф, содержащий все узлы графа, но ни одного
контура. Примерами деревьев для графа на рис. 3 могут служить фигуры на рис.
4.

Рис.4

4. Ветви связи (дополнения дерева) – это ветви графа, дополняющие дерево
до исходного графа.

Если граф содержит m узлов и n
ветвей, то число ветвей любого дерева ,
а числа ветвей связи графа .

5. Сечение графа – множество ветвей, удаление которых делит граф на
два изолированных подграфа, один из которых, в частности, может быть отдельным
узлом.

Сечение можно наглядно изобразить в виде следа некоторой замкнутой поверхности,
рассекающей соответствующие ветви. Примерами таких поверхностей являются для
нашего графа на рис. 3 S₁ иS₂ . При этом
получаем соответственно сечения, образованные ветвями 6-4-5 и
6-2-1-5.

С понятием дерева связаны понятия главных контуров и сечений:

главный контур – контур, состоящий из ветвей дерева и только одной
ветви связи;
главное сечение – сечение, состоящее из ветвей связи и только одной
ветви дерева.

Топологические матрицы

Задать вычислительной машине топологию цепи рисунком затруднительно, так как
не существует эффективных программ распознавания образа. Поэтому топологию цепи
вводят в ЭВМ в виде матриц, которые называют топологическими матрицами.
Выделяют три таких матрицы: узловую матрицу, контурную матрицу и матрицу сечений.

1. Узловая матрица (матрица соединений) – это таблица коэффициентов
уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа. Строки этой матрицы соответствуют
узлам, а столбцы – ветвям схемы.

Для графа на рис. 3 имеем число узлов m=4 и число
ветвей n=6. Тогда запишем матрицу А_Н
, принимая, что элемент матрицы
(i –номер строки; j –номер
столбца) равен 1, если ветвь j
соединена с узлом i и ориентирована от него, -1,
если ориентирована к нему, и 0, если ветвь
j не соединена с узломi . Сориентировав
ветви графа на рис. 3, получим

Данная матрица А_Н записана для всех четырех узлов и называется
неопределенной. Следует указать, что сумма элементов столбцов матрицы А_Н
всегда равна нулю, так как каждый столбец содержит один элемент +1 и
один элемент -1, остальные нули.

Обычно при расчетах один (любой) заземляют. Тогда приходим к узловой матрице
А (редуцированной матрице),
которая может быть получена из матрицы А_Н
путем вычеркивания любой ее строки. Например, при вычеркивании строки “4” получим

Число строк матрицы А
равно числу независимых уравнений для узлов ,
т.е. числу уравнений, записываемых для электрической схемы по первому закону
Кирхгофа. Итак, введя понятие узловой матрицы А,
перейдем к первому закону Кирхгофа.

Первый закон Кирхгофа

Обычно первый закон Кирхгофа записывается для узлов схемы, но, строго говоря,
он справедлив не только для узлов, но и для любой замкнутой поверхности, т.е.
справедливо соотношение

(1)

где
— вектор плотности тока;
— нормаль к участку dS замкнутой поверхности S.

Первый закон Кирхгофа справедлив и для любого сечения. В частности, для сечения
S₂графа на рис. 3, считая, что нумерация и направления токов
в ветвях соответствуют нумерации и выбранной ориентации ветвей графа, можно
записать

Поскольку в частном случае ветви сечения сходятся в узле, то первый закон Кирхгофа
справедлив и для него. Пока будем применять первый закон Кирхгофа для узлов,
что математически можно записать, как:

(2)

т.е. алгебраическая сумма токов ветвей, соединенных в узел, равна нулю.

При этом при расчетах уравнения по первому закону Кирхгофа записываются для
(m-1) узлов, так как при записи уравнений для всех m узлов одно
(любое) из них будет линейно зависимым от других, т.е. не дает дополнительной
информации.

Введем столбцовую матрицу токов ветвей

Тогда первый закон Кирхгофа в матричной форме записи имеет вид:

– где O — нулевая матрица-столбец. Как видим, в качестве узловой
взята матрица А, а не А_Н, т.к. с учетом
вышесказанного уравнения по первому закону Кирхгофа записываются для (m-1)
узлов.

В качестве примера запишем для схемы на рис. 3

Отсюда для первого узла получаем

что и должно иметь место.

2. Контурная матрица (матрица контуров) – это таблица коэффициентов
уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа. Строки контурной матрицы
Всоответствуют контурам, а столбцы – ветвям схемы.

Элемент b_ij матрицы В равен 1, если
ветвь j входит в контур i и ее ориентация совпадает с направлением
обхода контура, -1, если не совпадает с направлением обхода контура,
и 0, если ветвьj не входит в контурi.

Матрицу В, записанную для главных контуров, называют матрицей
главных контуров. При этом за направление обхода контура принимают направление
ветви связи этого контура. Выделив в нашем примере (см. рис. 5) дерево, образуемое
ветвями 2-1-4, запишем коэффициенты для матрицы В.

Перейдем теперь ко второму закону Кирхгофа.

Под напряжением на некотором участке электрической цепи понимается разность
потенциалов между крайними точками этого участка, т.е.

(4)

Просуммируем напряжения на ветвях некоторого контура:

Поскольку при обходе контура потенциал каждой i-ой точки встречается
два раза, причем один раз с “+”, а второй – с “-”, то в целом сумма равна нулю.

Таким образом, второй закон Кирхгофа математически записывается, как:

(5)

— и имеет место следующую формулировку: алгебраическая сумма напряжений на
зажимах ветвей (элементов) контура равна нулю. При этом при расчете цепей с
использованием законов Кирхгофа записывается
независимых уравнений по второму закону Кирхгофа, т.е. уравнений, записываемых
для контуров, каждый из которых отличается от других хотя бы одной ветвью. Значение
топологического понятия “дерева”: дерево позволяет образовать независимые контуры
и сечения и, следовательно, формировать независимые уравнения по законам Кирхгофа.
Таким образом, с учетом (m-1) уравнений, составленных по первому закону
Кирхгофа, получаем систему из
уравнений, что равно числу ветвей схемы и, следовательно, токи в них находятся
однозначно.

Введем столбцовую матрицу напряжений ветвей

Тогда второй закон Кирхгофа в матричной форме записи имеет вид

В качестве примера для схемы рис. 5 имеем

откуда, например, для первого контура получаем

что и должно иметь место.

Если ввести столбцовую матрицу узловых потенциалов

причем потенциал последнего узла ,
то матрица напряжений ветвей и узловых потенциалов связаны соотношением

U=A^Т

(7)

где A^Т — транспонированная узловая матрица.

Для определения матрицы В по известной матрице А=А_ДА_С
, где А_Д – подматрица, соответствующая ветвям некоторого
дерева, А_С— подматрица, соответствующая ветвям связи, может
быть использовано соотношение В= (-А^Т_СА^-1Т_Д1).

3. Матрица сечений – это таблица коэффициентов уравнений, составленных
по первому закону Кирхгофа для сечений. Ее строки соответствуют сечениям, а
столбцы – ветвям графа.

Матрица Q , составленная для главных сечений, называется матрицей
главных сечений. Число строк матрицы Q равно числу независимых
сечений.

Элемент q_ijматрицыQ равен 1,
если ветвьвходит в i-е сечение и ориентирована согласно направлению сечения
(за положительное направление сечения принимают направление ветви дерева, входящей
в него), -1, если ориентирована противоположно направлению сечения, и
0, если ветвьj не входит в i-е сечение.

В качестве примера составим матрицу Q главных сечений для графа
на рис. 5. При указанной на рис. 5 ориентации ветвей имеем

В заключение отметим, что для топологических матриц А, В
и Q, составленных для одного и того же графа, выполняются соотношения

которые, в частности, можно использовать для проверки правильности составления
этих матриц. Здесь 0 – нулевая матрица порядка .

Приведенные уравнения позволяют сделать важное заключение: зная одну из топологических
матриц, по ее структуре можно восстановить остальные.

Литература

1. Теоретические основы электротехники. Т.1. Основы теории линейных
цепей./Под ред. П.А.Ионкина. Учебник для электротехн. вузов. Изд.2-е , перераб.
и доп. –М.: Высш. шк., 1976.-544с.

2. Матханов Х.Н. Основы анализа электрических цепей. Линейные цепи.:
Учеб. для электротехн. и радиотехн. спец. 3-е изд. переработ. и доп. –М.: Высш.
шк., 1990. –400с.

3. Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил,
С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.

Контрольные вопросы и задачи

Сформулируйте основные топологические понятия для электрических цепей.
Что такое узловая матрица?
Что такое контурная матрица?
Что такое матрица сечений?
Токи ветвей некоторой планарной цепи удовлетворяют следующей полной системе
независимых уравнений:

Восстановив граф цепи, составить матрицы главных контуров и сечений, приняв,
что ветвям дерева присвоены первые номера.

Ответ:

Составить матрицу главных контуров для графа на рис. 3, приняв, что дерево
образовано ветвями 2, 1 и 5

Ответ:

Решить задачу 5, используя соотношения (8) и (9).

Источник