При изучении основ электротехники приходится сталкиваться с необходимостью расчета тех или иных параметров различных схем. И самое простое, что приходится делать – это расчет токов ветвей в цепях постоянного тока.
Существует несколько наиболее применяемых методов расчетов для таких цепей: с помощью законов Кирхгофа, методом контурных токов, узловых потенциалов, методом эквивалентного генератора, эквивалентного источника тока, методом наложения. Для расчета более сложных цепей, например, в нелинейных схемах, могут применяться метод аппроксимации, графические методы и другие.
В данном разделе рассмотрим один из методов определения токов в цепи постоянного тока – метод узловых потенциалов.
Важно отличать метод узловых напряжений (потенциалов) от метода узлового напряжения (метод двух узлов).
Метод узловых потенциалов примеры решения задач
Для того, чтобы лучше разобраться в этом вопросе, рассмотрим конкретный пример схемы, показанной на рис.1.
Для начала обозначают направления токов в ветвях. Направление можно выбирать любым. Если в результате вычислений какой-то из токов получится с отрицательным значением, значит, его направление в действительности будет направлено в противоположную сторону относительно ранее обозначенного. Если в ветви имеется источник, то для удобства лучше обозначить направление тока в этой ветви совпадающим с направлением источника в этой ветви, хотя и не обязательно. Далее один из узлов схемы заземляем. Заземленный узел будет называться опорным, или базисным. Такой метод заземления на общее токораспределение в схеме влияния не оказывает.
Какой именно узел заземлять, значения не имеет. Заземлим, например, узел 4 φ4 = 0.
Каждый из этих узлов будет обладать своим значением потенциала относительно узла 4. Именно значения этих потенциалов для дальнейшего определения токов и находят. Соответственно, для удобства этим потенциалам присваивают номера в соответствии с номером узла, т.е. φ1, φ2, φ3. Далее составляется система уравнений для оставшихся узлов 1, 2, 3.
В общем виде система имеет вид:
Использованные в этой системе уравнений буквенно-цифровые обозначения
имеют следующий смысл:
– сумма проводимостей ветвей, сходящихся в узле 1. В данном случае
– сумма проводимостей ветвей, сходящихся в узле 2. В данном случае
– сумма проводимостей ветвей, сходящихся в узле 3. В данном случае
– сумма проводимостей ветвей, соединяющих узлы 1 и 2, взятая со знаком «минус». Для этого единица и взята с отрицательным знаком:
– сумма проводимостей ветвей, соединяющих узлы 1 и 3, взятая со знаком «минус». Для этого единица и в этом случае взята с отрицательным знаком:
Аналогично находятся и остальные проводимости:
J11 – узловой ток узла 1, в котором участвуют ветви, подходящие именно к этому узлу, и содержащие в своем составе ЭДС. При этом, если ЭДС ветви, входящий в узел, направлена к рассматриваемому узлу (в данном случае к узлу 1), то такой узловой ток записывается с плюсом, если от узла, то с минусом. В данном случае
Аналогично
В результате всех ранее приведенных вычисленных значений исходная система уравнений примет вид:
Решать данную систему можно всеми доступными методами, мы же для упрощения решим ее в пакете Mathcad:
В результате получены следующие значения потенциалов в узлах цепи:
Токи в ветвях находятся в соответствии с законом Ома. Поясним это простыми словами.
В ветви с сопротивлением и источником, учитывая ранее обозначенное направление тока в рассматриваемой ветви, необходимо из потенциала узла, находящегося у начала стрелки направления тока, вычесть потенциал узла, находящегося у конца стрелки направления тока, а затем прибавить значение ЭДС в этой ветви. Далее все это разделить на сопротивление, имеющееся в ветви. Если бы ток и ЭДС в рассматриваемой ветви не совпадали по направлению, тогда значение ЭДС вычиталось. В ветви без ЭДС действует то же самое правило, только ЭДС в числителе, разумеется, отсутствует. В нашем примере получим, что
Значение тока первой ветви, как видно из расчета, получилось отрицательным. Значит, в действительности, этот ток направлен в противоположную сторону относительно его обозначенного направления на рис.1.
Правильность расчетов можно проверить, например, составлением баланса мощностей либо, к примеру, моделированием, схемы. Выполним моделирование в программе Multisim.
Как видим, результаты моделирования совпадают с расчетными значениями. Незначительная разница в тысячных долях из-за округлений промежуточных вычислений.
Главная
→
Примеры решения задач ТОЭ
→
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ТОЭ — МЕТОДЫ, АЛГОРИТМЫ, ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ
→
1 Методы расчета электрических цепей при постоянных токах и напряжениях
→
1.4 Метод узловых потенциалов. Метод узлового напряжения (метод двух узлов)
1.4 Метод узловых потенциалов. Метод узлового напряжения (метод двух узлов)
Методы и примеры решения задач ТОЭ
→
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ТОЭ — МЕТОДЫ, АЛГОРИТМЫ, ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ
→
1 Методы расчета электрических цепей при постоянных токах и напряжениях
1.4 Метод узловых потенциалов. Метод узлового напряжения (метод двух узлов)
В методе узловых потенциалов за вспомогательные расчетные величины принимают потенциалы узлов схемы. При этом потенциалом одного из узлов задаются, обычно считая его равным нулю (заземляют). Этот узел называют опорным узлом. Затем для каждого узла схемы, кроме опорного узла, составляют систему уравнений методом узловых потенциалов. По найденным потенциалам узлов находят токи ветвей по обобщенному закону Ома (закону Ома для ветви с ЭДС).
Отметим, что метод узловых потенциалов без предварительного преобразования схемы не применим к схемам с взаимной индукцией.
Для схем, содержащих несколько ветвей только с идеальными источниками ЭДС (без пассивных элементов), не имеющих общего узла нужно применять особые способы составления системы уравнений метода узловых потенциалов.
Для схем, содержащих несколько ветвей только с идеальными источниками ЭДС (без пассивных элементов), имеющих общий узел, этот общий узел принимают за опорный узел (заземляют). Тогда потенциалы узлов, соединенных этими идеальными источниками ЭДС без пассивных элементов с опорным узлом, равны ЭДС этих идеальных источников (+E, если идеальный источник ЭДС направлен от опорного узла и –E в противном случае).
Метод двух узлов является частным случаем метода узловых потенциалов. Он применяется для определения токов в ветвях схемы с двумя узлами и произвольным числом параллельных активных и пассивных ветвей.
Решение задач методом узловых потенциалов и методом двух узлов
Задача 1.4.1 Рассчитать цепь рис. 1.4.1 методом узловых, потенциалов.
Рис. 1.4.1
Решение. В рассматриваемой схеме четыре узла. Заземлим узел 4 (опорный узел)
φ 4 =0.
Тогда
φ 3 = φ 4 + E 2 =200 B.
Необходимо найти потенциалы узлов 1 и 2. Составим систему уравнений по методу узловых потенциалов для узлов 1 и 2.
Рассматривая узел 1, получим
φ 1 ⋅ g 11 − φ 2 ⋅ g 12 − φ 3 ⋅ g 13 =J+ E 1 R 1 + R ′ 1
или
φ 1 ⋅ g 11 − φ 2 ⋅ g 12 =J+ E 1 R 1 + R ′ 1 + E 1 ⋅ g 13 .
В правой части этого уравнения оба слагаемых учтены со знаком плюс, так как J и E1 направлены к узлу 1.
Рассматривая узел 2 (правая часть уравнения равна нулю, так как в ветвях, подсоединенных к узлу 2, нет источников энергии), получим
Индивидуалка Лиза (25 лет) т.8 929 529-57-81 Москва, метро Полянка. газификатор — вся актуальная информация на нашем сайте.
− φ 1 ⋅ g 21 + φ 2 ⋅ g 22 − φ 3 ⋅ g 23 =0
или
− φ 1 ⋅ g 21 + φ 2 ⋅ g 22 = E 2 ⋅ g 23 .
Найдем собственную проводимость первого узла
g 11 = 1 R 6 + 1 R 1 + R ′ 1 + 1 R ИТ + 1 R 2 + 1 R 5 = 1 20 + 1 25 + 1 25 + 1 40 =0,155 См.
Проводимость ветви с идеальным источником тока равна нулю, так как внутреннее сопротивление идеального источника тока RИТ равно бесконечности.
Собственная проводимость узла 2
g 22 = 1 R 2 + 1 R 3 + 1 R 4 = 1 25 + 1 30 + 1 35 =0,102 См.
Взаимные проводимости между узлами
g 13 = 1 R 6 + 1 R 1 + R ′ 1 = 1 20 + 1 25 =0,09 См; g 21 = g 12 = 1 R 2 = 1 25 =0,04 См; g 23 = 1 R 3 = 1 30 =0,033 См.
Подставив в уравнения известные величины, получим
{ φ 1 ⋅0,155− φ 2 ⋅0,04=39 − φ 1 ⋅0,04+ φ 2 ⋅0,102=6,6
Для решения этой системы используем метод определителей. Главный определитель системы
Δ=| 0,155 −0,04 −0,04 0,102 |=0,01421.
Частные определители
Δ 1 =| 39 −0,04 6,6 0,102 |=4,242; Δ 2 =| 0,155 39 −0,04 6,6 |=2,583.
Находим потенциалы узлов
φ 1 = Δ 1 Δ = 4,242 0,01421 =298,6 В; φ 2 = Δ 2 Δ = 2,583 0,01421 =181,8 В.
Определяем токи в ветвях (положительные направления токов в ветвях с ЭДС выбираем по направлению ЭДС, в остальных ветвях произвольно)
I 1 = φ 3 − φ 1 + E 1 R 1 + R ′ 1 = 200−298,6+150 10+15 =2,056 А.
В числителе этого выражения от потенциала узла 3, из которого вытекает ток I1, вычитается потенциал узла 1, к которому ток подтекает. Если ЭДС ветви совпадает (не совпадает) с выбранным направлением тока, то она учитывается со знаком плюс (минус). В знаменателе выражения учитываются сопротивления ветви.
Аналогично определяем другие токи (направления токов указаны на схеме рис. 1.4.1)
I 1 = φ 3 − φ 1 R 6 = 200−298,6 20 =−4,93 А; I 2 = φ 1 − φ 2 R 2 = 298,6−181,8 25 =4,67 А; I 3 = φ 3 − φ 2 R 3 = 200−181,8 30 =0,607 А; I 4 = φ 2 − φ 4 R 4 = 181,8−0 35 =5,194 А.
Для определения тока в ветви с идеальной ЭДС зададимся направлением тока I7. По первому закону Кирхгофа для узла 3 составим уравнение
− I 7 + I 3 + I 1 + I 6 =0.
Откуда
I 7 = I 3 + I 1 + I 6 =0,607+2,056−4,98=−2,317 A.
Задача 1.4.2 Определить токи в схеме рис. 1.4.2 методом узлового напряжения.
Рис. 1.4.2
Решение
1 Находим напряжение между двумя узлами по методу двух узлов
U ab = φ a − φ b = E 1 ⋅ g 1 +J g 1 + g 2 + g 3 = 32⋅ 1 1 +18 1 1 + 1 6 + 1 2 =30 B.
При составлении этого уравнения по методу двух узлов в числителе необходимо брать произведение ЭДС на проводимость своей ветви со знаком плюс, если ЭДС направлена к узлу a, и минус — если направлена от узла a к узлу b.
Аналогичное правило определяет и знаки токов источников тока.
2 Находим токи по закону Ома (по закону Ома для ветви с ЭДС)
I 1 = E 1 + φ b − φ a R 1 = E 1 − U ab R 1 = 32−30 1 =2 А; I 2 = U ab R 2 = 30 6 =5 А; I 3 = U ab R 3 = 30 2 =15 А.
Правильность решения проверим по первому закону Кирхгофа
I 1 − I 2 + I 3 +J=0; 2−5−15+18=0.
Метод узловых потенциалов в статье ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА. Основные положения и соотношения. Упражнения и задачи
опорный узел,
метод двух узлов,
метод узловых напряжений,
метод узловых потенциалов,
собственная проводимость,
взаимная проводимость
Метод узловых (потенциалов) напряжений
При изучении основ электротехники приходится сталкиваться с необходимостью расчета тех или иных параметров различных схем. И самое простое, что приходится делать – это расчет токов ветвей в цепях постоянного тока.
Существует несколько наиболее применяемых методов расчетов для таких цепей: с помощью законов Кирхгофа, методом контурных токов, узловых потенциалов, методом эквивалентного генератора, эквивалентного источника тока, методом наложения. Для расчета более сложных цепей, например, в нелинейных схемах, могут применяться метод аппроксимации, графические методы и другие.
В данном разделе рассмотрим один из методов определения токов в цепи постоянного тока – метод узловых потенциалов.
Метод узловых потенциалов примеры решения задач
Для того, чтобы лучше разобраться в этом вопросе, рассмотрим конкретный пример схемы, показанной на рис.1.
Рис.1. Схема постоянного тока
Для начала обозначают направления токов в ветвях. Направление можно выбирать любым. Если в результате вычислений какой-то из токов получится с отрицательным значением, значит, его направление в действительности будет направлено в противоположную сторону относительно ранее обозначенного. Если в ветви имеется источник, то для удобства лучше обозначить направление тока в этой ветви совпадающим с направлением источника в этой ветви, хотя и не обязательно. Далее один из узлов схемы заземляем. Заземленный узел будет называться опорным, или базисным. Такой метод заземления на общее токораспределение в схеме влияния не оказывает.
Каждый из этих узлов будет обладать своим значением потенциала относительно узла 4. Именно значения этих потенциалов для дальнейшего определения токов и находят. Соответственно, для удобства этим потенциалам присваивают номера в соответствии с номером узла, т.е. φ1, φ2, φ3. Далее составляется система уравнений для оставшихся узлов 1, 2, 3.
В общем виде система имеет вид:
Использованные в этой системе уравнений буквенно-цифровые обозначения
имеют следующий смысл:
– сумма проводимостей ветвей, сходящихся в узле 1. В данном случае
– сумма проводимостей ветвей, сходящихся в узле 2. В данном случае
– сумма проводимостей ветвей, сходящихся в узле 3. В данном случае
– сумма проводимостей ветвей, соединяющих узлы 1 и 2, взятая со знаком «минус». Для этого единица и взята с отрицательным знаком:
– сумма проводимостей ветвей, соединяющих узлы 1 и 3, взятая со знаком «минус». Для этого единица и в этом случае взята с отрицательным знаком:
Аналогично находятся и остальные проводимости:
J11 – узловой ток узла 1, в котором участвуют ветви, подходящие именно к этому узлу, и содержащие в своем составе ЭДС. При этом, если ЭДС ветви, входящий в узел, направлена к рассматриваемому узлу (в данном случае к узлу 1), то такой узловой ток записывается с плюсом, если от узла, то с минусом. В данном случае
В результате всех ранее приведенных вычисленных значений исходная система уравнений примет вид:
Решать данную систему можно всеми доступными методами, мы же для упрощения решим ее в пакете Mathcad:
В результате получены следующие значения потенциалов в узлах цепи:
Токи в ветвях находятся в соответствии с законом Ома. Поясним это простыми словами.
В ветви с сопротивлением и источником, учитывая ранее обозначенное направление тока в рассматриваемой ветви, необходимо из потенциала узла, находящегося у начала стрелки направления тока, вычесть потенциал узла, находящегося у конца стрелки направления тока, а затем прибавить значение ЭДС в этой ветви. Далее все это разделить на сопротивление, имеющееся в ветви. Если бы ток и ЭДС в рассматриваемой ветви не совпадали по направлению, тогда значение ЭДС вычиталось. В ветви без ЭДС действует то же самое правило, только ЭДС в числителе, разумеется, отсутствует. В нашем примере получим, что
Значение тока первой ветви, как видно из расчета, получилось отрицательным. Значит, в действительности, этот ток направлен в противоположную сторону относительно его обозначенного направления на рис.1.
Правильность расчетов можно проверить, например, составлением баланса мощностей либо, к примеру, моделированием, схемы. Выполним моделирование в программе Multisim.
Рис.2. Моделирование в Multisim
Как видим, результаты моделирования совпадают с расчетными значениями. Незначительная разница в тысячных долях из-за округлений промежуточных вычислений.
Метод узловых напряжений
Содержание:
Метод узловых напряжений:
Метод узловых напряжений (узловых потенциалов) является наиболее общим. Он базируется на первом законе Кирхгофа (ЗТК) и законе Ома. В отличие от методов, рассмотренных в лекции 4, метод позволяет уменьшить число уравнений, описывающих схему, до величины, равной количеству рёбер (ветвей) дерева (2.1)
Идея метода состоит в следующем:
- Выбирается базисный узел — один из узлов цепи, относительно которого рассчитываются напряжения во всех узлах; базисный узел помечается цифрой 0.
- Потенциал базисного узла принимается равным нулю.
- Рассчитываются напряжения во всех узлах относительно базисного.
- По закону Ома находятся токи и напряжения в соответствующих ветвях.
Напряжения в узлах цепи, отсчитанные относительно базисного, называют узловыми напряжениями.
Определение:
Метод анализа колебаний в электрических цепях, в котором неизвестными, подлежащими определению, являются узловые напряжения, называется методом узловых напряжений.
В дальнейшем будем полагать, что цепь имеет 
Предварительно покажем, что при известных узловых напряжениях можно найти напряжения на всех элементах цепи, а потому и все токи. Действительно, напряжение на любой ветви определяется по второму закону Кирхгофа (ЗНК) как разность соответствующих узловых напряжений, а токи в элементах найдутся по закону Ома. Для контура, включающего элементы 
(рис. 5.1), по ЗНК имеем:
Аналогично можно записать
что и требовалось показать.
Составление узловых уравнений
При составлении уравнений для, схемы рис. 5.1 будем полагать, что задающие токи 
и 
источников тока (их на схеме два) известны.
Тогда согласно первому закону Кирхгофа для узлов 1 и 2 в предположении, что в общем случае они связаны со всеми другими узлами, получим:
Выразим токи в уравнениях через узловые напряжения, как показано в разд. 5.1:
Раскрыв скобки и приведя подобные члены, получаем узловые уравнения:
Полученный результат позволяет сделать следующие выводы:
— ый и -ый узлы; все эти слагаемые входят в уравнение с отрицательным знаком.
Аналогично записываются узловые уравнения для всех других узлов цепи, в результате чего образуется система узловых уравнений вида:
— собственная проводимость -го узла цепи, являющаяся арифметической суммой проводимостей всех элементов, подключённых одним из зажимов к -му узлу;
— взаимная проводимость -го и -го узлов цепи, являющаяся проводимостью элемента, включённого между -ым и -ым узлами;
— задающий ток -го узла цепи, являющийся алгебраической суммой задающих токов источников тока, подключённых одним из зажимов к -му узлу цепи; слагаемые этой суммы входят в правые части уравнений со знаком «+», если направление отсчёта задающего тока источника ориентировано в сторону к-го узла, и со знаком в противном случае.
Систему узловых уравнений принято записывать в канонической форме, а именно:
- токи, как свободные члены, записываются в правых частях уравнений;
- неизвестные напряжения записываются в левых частях уравнений с последовательно возрастающими индексами;
- уравнения располагаются в соответствии с порядковыми номерами узлов. Такая запись применена в (5.2).
Система (5.2) является линейной неоднородной системой независимых уравнений, поэтому позволяет найти искомые узловые напряжения. Методы решения таких систем широко известны (Крамера, Гаусса, Гаусса—Жордана).
Метод узловых напряжений даёт существенное сокращение необходимого числа уравнений по сравнению с методом токов элементов. Выигрыш оказывается тем значительнее, чем больше независимых контуров имеет цепь.
Система называется неоднородной, если хотя бы один из свободных членов (в данном случае это ) не равен нулю.
Особенности составления узловых уравнений
Метод узловых напряжений можно применять и в тех случаях, когда в анализируемой цепи имеются источники напряжения. При этом:
- напряжение между любой парой узлов, к которым подключён источник напряжения, известно;
- в качестве базисного желательно выбирать узел, к которому одним из своих зажимов подключён источник напряжения — тогда узловое напряжение, отсчитываемое между базисным узлом и вторым зажимом источника, равно ЭДС источника или отличается от него знаком; кроме того, базисным может быть выбран узел, к которому подключено наибольшее число элементов, если этот выбор не противоречит первой рекомендаций;
- уменьшается число независимых узловых напряжений, а потому понижается и порядок системы, т. е. число входящих в систему независимых уравнений;
- если цепь содержит источников напряжения, имеющих один общий зажим, то число узловых уравнений, которое можно составить для такой цепи, равно
Пример 5.1.
Записать систему узловых уравнений для удлинителя(рис. 5.2), рассмотренного в лекции 4.
Решение. Удлинитель содержит четыре узла и один источник тока, поэтому согласно (5.3) достаточно составить всего два узловых уравнения
Положим узел 0 базисным, поскольку к нему одним из своих зажимов подключён источник напряжения. Узловое напряжение узла 1 известно и равно. ЭДС источника напряжения поэтому остаётся записать уравнения для узлов 2 и 3 по правилам, рассмотренным в разд. 5.1. Предварительно запишем собственные и взаимные проводимости узлов.
Такое обращение справедливо,-поскольку удлинители применяются для построения магазина затуханий, или аттенюатора.
Собственная проводимость второго узла
взаимные проводимости второго узла
собственная проводимость третьего узла
взаимные проводимости третьего узла
Теперь получим систему узловых уравнений, записав узловые уравнения для второго и третьего узлов:
Поскольку запишем эту систему уравнений в каноническом виде
Эта система уравнений и является окончательным результатом решения задачи, поставленной в примере.
Если содержащиеся в цепи источники напряжения не имеют общего зажима, то задачу анализа следует решать или методом узловых напряжений в сочетании с принципом наложения или путём эквивалентных преобразований перейти к другой модели цепи.
При составлении узловых уравнений для цепей, содержащих многополюсники (например, транзисторы, операционные усилители
и т. д), следует прежде всего заменить эти многополюсники их схемами замещения.
Метод узлового напряжения
Расчет сложных разветвленных электрических цепей с несколькими источниками и двумя узлам, можно осуществить методом узлового напряжения. Напряжение межи узлами и называется узловым. UAB R3 узловое напряжение цепи (рис. 4.9) Для различных ветвей (рис. 4.9) узловое напряжение UAB можно опредо лить следующим образом.
1. Поскольку для первой ветви источник работает в режиме генератор:
Величина тока определяется как
где — проводимость
2.Для второй ветви источник работает в режиме потребителя следовательно
3.Для третьей ветви
(Потенциал точки В для третьей ветви больше, чем потенций точки А, так как ток направлен из точки с большим потенциалом в точку с меньшим потенциалом)
Величину тока можно определить по закону Ома
По первому закону Кирхгофа для узловой точки А (или В):
Подставив в уравнение (4.6) значения токов из уравнений (4.3), .4) и (4.5) для рассматриваемой цепи, можно записать
Решив это уравнение относительно узлового напряжения UAB, можно определить его значение
Следовательно, величина узлового напряжения определяется отношением алгебраической суммы произведений ЭДС и проводимости ветвей с источниками к сумме проводимостей всех ветвей:
Для определения знака алгебраической суммы направление токов во всех ветвях выбирают одинаковым, т.е. от одного узла другому (рис. 4.9). Тогда ЭДС источника, работающего в режиме генератора, берется со знаком «плюс», а источника, работающего в режиме потребителя, со знаком «минус». Таким образом, для определения токов в сложной цепи с двумя узлами вычисляется сначала узловое напряжение по выражению 4.9), а затем значения токов по формулам (4.3), (4.4), (4.5). Узловое напряжение UAB может получиться положительным или отрицательным, как и ток в любой ветви.
Знак «минус» в вычисленном значении тока указывает, что реальное направление тока в данной ветви противоположно словно выбранному.
Пример 4.7
В ветвях схемы (рис. 4.10) требуется определить токи, если:
Решение
Узловое напряжение
где
тогда
Токи в ветвях будут соответственно равны
Как видно из полученных результатов, направление токов противоположно выбранному. Следовательно, источник £ работает в режиме потребителя.
Пример 4.8
Два генератора (рис. 4.11), ЭДС и внутреннее сопротивление которых одинаковы: , питают потребитель (нагрузку) с сопротивлением R= 5,85 Ом.
Как изменится ток второго генератора: 1) при увеличении его ЭДС (£2) на 1 %; » 2) при увеличении узлового напряжения (UAB) на 1 %.
Решение
Определяется узловое напряжение UAB цепи (рис. 4.11)
=
Тогда ток второго генератора
При увеличении Е2 на 1 %, его величина станет равной
При этом
Следовательно, увеличение ЭДС генератора Е2 на 1 % приводит увеличению тока этого генератора на 24 %.
2. При увеличении узлового напряжения на 1% его величины станет равной
При этом Таким образом, ток второго генератора при увеличении узлового напряжения на 1 % уменьшится на 23,4 %.
Знак «минус» означает уменьшение, а не увеличение тока .
Определение метода узловых напряжений
Метод узловых напряжений заключается в том, что на основании первого закона Кирхгофа определяются потенциалы в узлах электрической цепи относительно некоторого базисного узла. Эти разности потенциалов называются узловыми напряжениями, причем положительное направление их указывается стрелкой от рассматриваемого узла к базисному.
Напряжение на какой-либо ветви равно, очевидно, разности узловых напряжений концов данной ветви; произведение же этого напряжения на комплексную проводимость данной ветви равно току в этой ветви. Таким образом, зная узловые напряжения в электрической цепи, можно найти токи в ветвях.
Если принять потенциал базисного узла равным нулю, то напряжения между остальными узлами и базисным узлом будут равны также потенциалам этих узлов. Поэтому данный метод называется также методом узловых потенциалов.
На рис. 7-7 в виде примера изображена электрическая схема с двумя источниками тока, имеющая три узла: 1, 2 и 3. Выберем в данной схеме в качестве базиса узел 3 и
обозначим узловые напряжения точек 1 и 2 через Согласно принятым на рис. 7-7 обозначениям комплексные проводимости ветвей равны соответственно:
Для заданной электрической цепи с тремя узлами могут быть записаны два уравнения по первому закону Кирхгофа, а именно: для узла 1
Величина представляющая собой сумму комплексных проводимостей ветвей, сходящихся в узле 1, называется собственной проводимостью узла 1 величина равная комплексной проводимости ветви между узлами 1 и 2, входящая в уравнения со знаком минус, называется об-, щей проводимостью между узлами 1 и 2.
Если заданы токи источников тока и комплексные проводимости ветвей, то узловые напряжения находятся совместным решением уравнений.
В общем случае если электрическая схема содержит q узлов, то на основании первого закона Кирхгофа получается система из q — 1 уравнений (узел q принят за базисный):
Здесь ток источника тока, подходящий к узлу, берется со знаком плюс, а отходящий от узла — со знаком минус; — собственная проводимость всех ветвей, сходящихся в данном узле — общая проводимость между узламп входящая со знаком минус при выбранном направлении всех узловых напряжений к базису, независимо от того, является ли данная электрическая цепь планарной или непланарной.
Решив систему уравнений (7-5) при помощи определителей получим формулу для узлового напряжения относительно базиса:
где — определитель системы
— алгебраическое дополнение элемента данного определителя.
Первый индекс i алгебраического дополнения, обозначающий номер строки, вычеркиваемой в определителе системы, соответствует номеру узла, заданный ток источника тока которого умножается на данное алгебраическое дополнение. Второй индекс обозначающий номер столбца, вычеркиваемого в определителе системы, соответствует номеру узла, для которого вычисляется узловое напряжение.
Уравнения (7-5), выражающие первый закон Кирхгофа, записаны в предположении, что в качестве источников электрической энергии служат источники тока. При наличии в электрической схеме источников э. д. с. последние должны быть заменены эквивалентными источниками тока.
Если в схеме имеются ветви, содержащие только э. д, с. (проводимости таких ветвей бесконечно велики), то эти ветви следует рассматривать как источники неизвестных токов, которые затем исключаются при сложении соответствующих уравнений. Дополнительными связями между неизвестными узловыми напряжениями будут являться известные напряжения между узлами, равные заданным э. д. с.
Определитель снабжен индексом у, так как его элементами являются комплексные проводимости.
При наличии только одной ветви с э. д. с. и бесконечной проводимостью целесообразно принять за базисный узел один из узлов, к которому примыкает данная ветвь; тогда напряжение другого узла становится известным и число неизвестных сокращается на одно.
Метод узловых напряжений имеет преимущество перед методом контурных токов в том случае, когда число уравнений, записанных по первому закону Кирхгофа, меньше числа уравнений, записанных по второму закону Кирхгофа. Если заданная электрическая схема имеет q узлов и р ветвей, то в соответствии со сказанным выше, метод узловых напряжений представляет преимущество при q — 1
При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org
Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи
Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей
Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.
Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.
Задачи по ТОЭ с решением и примерами
Содержание:
Метод преобразования схем
Метод преобразования электрических схем применяют для расчета сложных испей путем преобразований треугольника сопротивлений в эквивалентную звезду или звезды сопротивлений в эквивалентный треугольник.
Контур, состоящий из трех сопротивлений , имеющий три узловые точки , образует треугольник сопротивлений (рис. 4.6а).
Электрическая цепь, состоящая из трех сопротивлений соединенных в одной узловой точке О, образует звезду сопротивлений (рис. 4.66).
Расчет некоторых сложных цепей значительно упрощается, если соединение звездой в них заменить соединением треуголь-• ником или наоборот.
Преобразование схемы должно производиться так, чтобы при неизменном напряжении между точками токи звезды и треугольника оставались без изменений.
Треугольник и звезда, удовлетворяющие этому условию, называются эквивалентными.
Для такого преобразования рекомендуется изображать схему цепи без заменяемого треугольника (или звезды), но с обозначенными вершинами и к этим обозначенным вершинам подсоединить эквивалентную звезду (или треугольник).
При замене треугольника эквивалентной звездой сопротивления звезды определяются следующими выражениями:
Таким образом, каждое сопротивление эквивалентной звезды равно отношению произведения двух примыкающих к соответствующей узловой точке сопротивлений треугольника к сумме трех его сопротивлений.
При замене звезды эквивалентным треугольником каждое сопротивление треугольника определяется следующими выражениями:
Каждое сопротивление эквивалентного треугольника равно сумме трех слагаемых: двух примыкающих к соответствующим точкам сопротивлений звезды и отношению произведения этих сопротивлений к третьему сопротивлению звезды.
Пример задачи с решением 4.4
с Определить токи во всех ветвях цепи (рис. 4.7а) при следующих Исходных данных:
Решение
Дчя расчета этой цепи заменим треугольник сопротивлений, Подключенных к точкам , эквивалентной звездой, подключенной к тем же точкам (рис. 4.76).
Определим величины сопротивлений эквивалентной звезды:
Пример задачи с решением 4.6
Определить токи во всех ветвях цепи, схема которой приведена на рис. 4.8а, если задано:
Решение
Количество ветвей и соответственно различных токов в цепи (рис. 4.8а) равно пяти. Произвольно выбирается направление этих токов.
Расчетных схем две, так как в цепи два источника с ЭДС и . Вычисляются частичные токи, созданные в ветвях первым источником . этого изображается та же цепь, только вместо — его внутреннее сопротивление . Направление частичных токов в ветвях указаны в схеме рис. 4.86.
Вычисление сопротивлений и токов производится методом свертывания.
Первые частичные токи в цепи (рис. 4.86), созданные источником , имеют следующие значения:
Вычисляются частичные токи, созданные вторым источником. Для этого изображается исходная цепь, в которой источник :ЭДС заменен его внутренним сопротивлением . Направления частичных токов в ветвях указаны на схеме рис. 4.8в. 1 Сопротивления и токи определяются методом свертывания.
Вторые частичные токи в цепи (рис. 4.8в) имеют следующие значения:
Искомые токи в рассматриваемой цепи (рис. 4.8а) определяют алгебраической суммой частичных токов (см. рис. 4.8):
Ток имеет знак «минус», следовательно, его направлен и противоположно произвольно выбранному, он направлен из точ ки А в точку В.
Метод узлового напряжения
Расчет сложных разветвленных электрических цепей с несколькими источниками и двумя узлам, можно осуществить методом узлового напряжения. Напряжение между узлами и называется узловым. -узловое напряжение цепи (рис. 4.9)
Для различных ветвей (рис. 4.9) узловое напряжение можно определить следующим образом.
1. Поскольку для первой ветви ис точник работает в режиме генератор;
Величина тока определяется как
где проводимость 1-й ветви.
2. Для второй ветви источник работает в режиме потребителя следовательно
3. Для третьей ветви
(Потенциал точки для третьей ветви больше, чем потенции, точки А, так как ток направлен из точки с большим потенциалов в точку с меньшим потенциалом.)
Величину тока можно определить по закону Ома
По первому закону Кирхгофа для узловой точки А (или В):
Подставив в уравнение (4.6) значения токов из уравнений (4.3), (4.4) и (4.5) для рассматриваемой цепи, можно записать
Решив это уравнение относительно узлового напряжения , ожно определить его значение
Следовательно, величина узлового напряжения определяется от-ошением алгебраической суммы произведений ЭДС и проводимости етвей с источниками к сумме проводимостей всех ветвей.
Для определения знака алгебраической суммы направление токов во всех ветвях выбирают одинаковым, т. е. от одного узла другому (рис. 4.9). Тогда ЭДС источника, работающего в режиме генератора, берется со знаком «плюс», а источника, работающего в режиме потребителя, со знаком «минус».
Таким образом, для определения токов в сложной цепи с двумя злами вычисляется сначала узловое напряжение по выражению 4.9), а затем значения токов по формулам (4.3), (4.4), (4.5).
Узловое напряжение может получиться положительным или ггринательным, как и ток в любой ветви.
Знак «минус» в вычисленном значении тока указывает, что реальное направление тока в данной ветви противоположно ‘словно выбранному.
Пример задачи с решением 4.7
В ветвях схемы (рис. 4.10) требуется определить токи, если:
Решение
I. Узловое напряжение
где
тогда
Токи в ветвях будут соответственно равны
Как видно из полученных результатов, направление токов противоположно выбранному. Следовательно, источник работает в режиме потребителя.
Пример задачи с решением 4.8
Два генератора (рис. 4.11), ЭДС и внутреннее сопротивление которых одинаковы: , питают потребитель (нагрузку) с сопротивлением
Как изменится ток второго генератора:
1) при увеличении его ЭДС на 1 %;
2) при увеличении узлового напряжения на 1 %.
Решение
Определяется узловое напряжение цепи (рис. 4.11)
Тогда ток второго генератора
I. При увеличении на 1 %, его величина станет равной
тогда
При этом |;довательно, увеличение ЭДС генератора на 1 % приводит личению тока этого генератора на 24 %.
2. При увеличении узлового напряжения на 1 % его величина станет равной
При этом
мм образом, ток второго генератора при увеличении узлово-.пряжения на 1 % уменьшится на 23,4 %.
Знак «минус» означает уменьшение, а не увеличение тока
Параллельное соединение генераторов
Как видно из решения примера 4.8, незначительное изменение ЭДС одного из параллельно работающих генераторов значительно изменяет ток этого генератора.
Причиной значительного изменения тока генератора может также незначительное изменение узлового напряжения 4.11), что связано с изменением сопротивлений участков или ЭДС источников.
Параллельное соединение генераторов нашло широкое примере в электрических сетях энергоснабжения потребителей осветительная и силовая нагрузка).
Значительные изменения токов генераторов, вызванные незна-пьными изменениями параметров схемы электропитания постелей от параллельно включенных генераторов, необходимо ывать при проектировании и эксплуатации электроустано-в частности тот факт, что в различное время суток работает ое количество параллельно включенных генераторов.
Увеличение ЭДС какого-либо из параллельно работающих генераторов приведет к тому, что ток этого генератора окажется в олько раз больше тока остальных генераторов. Этим обстоятельством пользуются, когда хотят «перевести нагрузку» с одного генератора на другой.
Генераторы окажутся также неодинаково загруженными при равых ЭДС, но при различных внутренних сопротивлениях. Более загруженными окажутся генераторы с меньшим внутренним сопротивлением.
И снижении ЭДС какого-либо из параллельно включенных раторов до величины узлового напряжения цепи ток в цепи этого генератора падает до нуля: . Генератор, находящийся в таком режиме, называется уравновешенным (скомпенсированным). Если ЭДС генератора станет меньше углового напряжения, то такой генератор начнет работать в режим потребителя.
Метод узловых и контурных уравнений
Метод узловых и контурных уравнений для расчета сложных электрических цепей подразумевает составление системы уравнений по законам Кирхгофа. При составлении системы уравнения должно учитываться следующее.
1. Число уравнений равно числу токов в цепи (число токов paвно числу ветвей в рассчитываемой цепи). Направление токов на ветвях выбирается произвольно.
2. По первому закону Кирхгофа составляется уравнение где n —число узловых точек в схеме.
3. Остальные уравнения составляются по второму закону Кирхгофа.
В результате решения системы уравнений определяются иске мые величины для сложной электрической цепи (например, вс токи при заданных значениях ЭДС источников и сопротивл
Пример задачи с решением 4.9
Составить необходимое и достаточное количество уравнени* по законам Кирхгофа для определения всех токов в цепи (рис. 4.12) методом узловых и контурный уравнений.
Решение
В рассматриваемой сложной цепи имеется 5 ветвей, сдедовательно, 5 различных токов, поэтому для расчета необходимо соста вить 5 уравнений, причем 2 уравнения — по первому закон: Кирхгофа (в цепи узловых точки ) и 3 уравнения по второму закону Кирхгофа (внутренним сопротивлением ис точников пренебрегаем, т. е. = О).
Обход по часовой стрелке.
Пример задачи с решением 4.10
Определить токи в примере 4.7 методом узловых и контурных уравнений (схема рис. 4.10) при тех же заданных условиях.
Решение
При выбранном в схеме рис. 4.10 направлении токов составим необходимое и достаточное количество уравнений по законам Кирхгофа:
1.
2. (обход по часовой стрелке)
3. (обход против часовой стрелки)
К уравнение (2) подставляются значения тока из уравнения и числовые значения заданных величин. Тогда уравнения (2) будут выглядеть так:
Иля сокращения тока при суммировании уравнений (2) и (3) К числовые значения уравнения (3) умножаются на 2 (два).
Откуда
Из уравнения
И из уравнения (1):
Очевидно, что полученный результат совпадает с результатом полученным методом узлового напряжения.
Метод контурных токов
При расчете сложных цепей методом узловых и контурных уравнений (по законам Кирхгофа) необходимо решать систему из большого количества уравнений, что значительно затрудняет вычисления.
Так, для схемы рис. 4.13 необходимо составить и рассчитать систему из 7-ми уравнений.
Ту же задачу можно решить, записав только 4 уравнения по второму закону Кирхгофа, если воспользоваться методом контурных токов.
Суть метода состоит в том, что в схеме выделяют т независимых контуров, в каждом из которых произвольно направлены (см. пунктирные стрелки) контурные токи . Контурный ток — это расчетная величина, измерить которую невозможно.
Как видно из рис. 4.13, отдельные ветви схемы входят в два смежных контура. Действительный ток в такой ветви определяется алгебраической суммой контурных токов смежных контуров.
Для определения контурных токов составляют m уравнений по второму закону Кирхгофа. В каждое уравнение входит алгебраическая сумма ЭДС, включенных в данный контур (по одну сторону от знака равенства), и общее падение напряжения в данном контуре, созданное контурным током данного контура и контурными токами смежных контуров (по другую сторону знака равенства).
Для данной схемы (рис. 4.13) необходимо составить 4 уравнено знаком «плюс» записываются ЭДС и падения напряжению разные стороны знака равенства), действующие в направлении контурного тока, со знаком «минус» — направленные против контурного тока.
схема уравнений для схемы (рис. 4.13):
Решением системы уравнений вычисляются значения контурных токов, которые и определяют действительные токи в каждой схемы (рис. 4.13).
Пример задачи с решением 4.11
Определить токи во всех участках сложной цепи (рис. 4.14), если:
Решение
бходимо составить 3 уравнения по второму закону Кирхгофа для определения контурных токов (направление рных токов выбрано произвольно указано пунктирными линиями).
Подставляются числовые значения величин
Из уравнения (2) определяется ток
Значение тока (выражение (2’)) подставляется в уравнение
То же значение тока подставляется в уравнение (3):
Из полученного уравнения (3) вычитается полученное уравнение (1). В результате получим
Откуда контурный ток
Из уравнения (3) определяется контурный ток
Из уравнения (2′) определяется ток
Вычисляются реальные токи в заданной цепи:
Проверяется правильность решения для 1-го контура (рис. 4.14).
Такую же проверку можно произвести и для других контуров (2-го и 3-го):
Проверка показала правильность решения.
Метод эквивалентного генератора
Метод эквивалентного генератора рационально применять в случае необходимости определения тока (напряжения, мощности и др.) только одной ветви сложной электрической цепи.
Для этой цели разбивают сложную электрическую цепь на две части — на сопротивление , ток которого нужно определить, и всю остальную цепь, ее называют активным двухполюсником, так как эта часть имеет две клеммы , к которой и подключается сопротивление (рис. 4.15).
Активным этот двухполюсник называют потому, что в нем имеется источник ЭДС. Этот активный двухполюсник обладает определенной ЭДС и определенным внутренним сопротивлением азывается эквивалентным генератором.
Ток в резисторе с сопротивлением R определяют по закону Ома
Таким образом, определение тока I сводится к вычислению ЭДС эквивалентного гора и его внутреннего сопротивления
чина ЭДС определяется любым методом расчета цепей постоянного тока относительно точек при разомкнутых клеммах, т. е. в режиме холостого хода. Практически эту ЭДС можно измерить вольтметром, подключенным к клеммам лостом ходе.
реннее сопротивление эквивалентного генератора Лж вы-тся относительно точек А и В после предварительной ,i всех источников сложной схемы эквивалентного генера-х внутренними сопротивлениями.
ггически для определения внутреннего сопротивления эк-нтного генератора измеряют амперметром ток между точ-4 и В работающего двухполюсника при коротком замыка-ак как сопротивление амперметра настолько мало, что им I пренебречь. Тогда
где — напряжение холостого хода, — ток короткого замыкания
Такой метод практического определения внутреннего сопротивления эквивалентного генератора называется методом холостого хода и короткого замыкания.
Расчет параметров эквивалентного генератора, его ЭДС и ннего сопротивления , рассматриваются в примерах 4.12
Пример задачи с решением 4.12
Определить ток в сопротивлении , подключенном к точкам А ектрической цепи (рис. 4.8а) примера 4.6 методом эквивалентного генератора.
Решение
Для определения тока в сопротивлении определим ЭДС эквивалентного генератора (рис. 4.16а) и его внутреннее сопро тивление (рис. 4.166) при холостом ходе, т. е. разомкнутой цеш (между точками ).
Знак «минус» обусловлен тем, что источники в схеме включень встречно и потенциал в точке А больше потенциала в точке В, так как (см. пример 4.6).
Следовательно,
Внутреннее сопротивление эквивалентного генератора
Искомый ток
такой же ток получен в примере 4.6 на сопротивлении
Пример задачи с решением 4.13
На схеме рис. 4.17а сопротивления плеч моста равны
Сопротивление гальванометра ЭДС источника . Методом эквивалентного генератора определить в ветви гальванометра (между точками А и В).
Решение
Для определения тока в цепи гальванометра методом эквивалентного генератора необходимо вычислить ЭДС эквивалентного генератора между точками А и В (рис. 4.176) и внутреннее сопротивление эквивалентного генератора относительно точек А и В при (отсутствии гальванометра, заменив в схеме (рис. 4.17в) источник ЭДС , его внутренним сопротивлением равным нулю.
Для определения ЭДС эквивалентного генератора принимают потенциал точки С схемы (рис. 4.176) равным нулю, т. е.
При замене источника ЭДС его внутренним сопротивле-нием, равным нулю, замыкаются накоротко точки С и D схемы (рис. 4.17в). При этом (рис. 4.17г) сопротивления соединены между собой параллельно. Также параллельно соединены между собой сопротивления . Между точками А и В сопротивления соединены последовательно. Следовательно, сопротивление эквивалентного генератора относительно точек А и В будет равно
Тогда ток в ветви с гальванометром, который направлен из точки В в точку А, т. е. из точки с большим потенциалом в точку с меньшим потенциалом (рис. 4.17а), будет равен
Эти страницы вам могут пригодиться:
На странице -> решение задач по электротехнике собраны решения задач и заданий с решёнными примерами по всем темам теоретических основ электротехники (ТОЭ).
Услуги:
Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔
Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.
Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.
Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.
http://www.evkova.org/metod-uzlovyih-napryazhenij
http://natalibrilenova.ru/toe-zadachi-s-resheniem-i-primerami/
Содержание:
Метод узловых напряжений:
Метод узловых напряжений (узловых потенциалов) является наиболее общим. Он базируется на первом законе Кирхгофа (ЗТК) и законе Ома. В отличие от методов, рассмотренных в лекции 4, метод позволяет уменьшить число уравнений, описывающих схему, до величины, равной количеству рёбер (ветвей) дерева (2.1)
Идея метода состоит в следующем:
- Выбирается базисный узел — один из узлов цепи, относительно которого рассчитываются напряжения во всех узлах; базисный узел помечается цифрой 0.
- Потенциал базисного узла принимается равным нулю.
- Рассчитываются напряжения во всех узлах относительно базисного.
- По закону Ома находятся токи и напряжения в соответствующих ветвях.
Напряжения в узлах цепи, отсчитанные относительно базисного, называют узловыми напряжениями.
Определение:
Метод анализа колебаний в электрических цепях, в котором неизвестными, подлежащими определению, являются узловые напряжения, называется методом узловых напряжений.
В дальнейшем будем полагать, что цепь имеет
Предварительно покажем, что при известных узловых напряжениях можно найти напряжения на всех элементах цепи, а потому и все токи. Действительно, напряжение на любой ветви определяется по второму закону Кирхгофа (ЗНК) как разность соответствующих узловых напряжений, а токи в элементах найдутся по закону Ома. Для контура, включающего элементы (рис. 5.1), по ЗНК имеем:
откуда
Аналогично можно записать
что и требовалось показать.
Составление узловых уравнений
При составлении уравнений для, схемы рис. 5.1 будем полагать, что задающие токи и источников тока (их на схеме два) известны.
Тогда согласно первому закону Кирхгофа для узлов 1 и 2 в предположении, что в общем случае они связаны со всеми другими узлами, получим:
Выразим токи в уравнениях через узловые напряжения, как показано в разд. 5.1:
Раскрыв скобки и приведя подобные члены, получаем узловые уравнения:
Полученный результат позволяет сделать следующие выводы:
— ый и 
-ый узлы; все эти слагаемые входят в уравнение с отрицательным знаком.
Аналогично записываются узловые уравнения для всех других узлов цепи, в результате чего образуется система узловых уравнений вида:
где:
— собственная проводимость -го узла цепи, являющаяся арифметической суммой проводимостей всех элементов, подключённых одним из зажимов к -му узлу;
— взаимная проводимость -го и -го узлов цепи, являющаяся проводимостью элемента, включённого между -ым и -ым узлами;
— задающий ток -го узла цепи, являющийся алгебраической суммой задающих токов источников тока, подключённых одним из зажимов к -му узлу цепи; слагаемые этой суммы входят в правые части уравнений со знаком «+», если направление отсчёта задающего тока источника ориентировано в сторону к-го узла, и со знаком 
в противном случае.
Систему узловых уравнений принято записывать в канонической форме, а именно:
- токи, как свободные члены, записываются в правых частях уравнений;
- неизвестные напряжения записываются в левых частях уравнений с последовательно возрастающими индексами;
- уравнения располагаются в соответствии с порядковыми номерами узлов. Такая запись применена в (5.2).
Система (5.2) является линейной неоднородной
системой независимых уравнений, поэтому позволяет найти искомые узловые напряжения. Методы решения таких систем широко известны (Крамера, Гаусса, Гаусса—Жордана).
Метод узловых напряжений даёт существенное сокращение необходимого числа уравнений по сравнению с методом токов элементов. Выигрыш оказывается тем значительнее, чем больше независимых контуров имеет цепь.
Система называется неоднородной, если хотя бы один из свободных членов (в данном случае это 
) не равен нулю.
Особенности составления узловых уравнений
Метод узловых напряжений можно применять и в тех случаях, когда в анализируемой цепи имеются источники напряжения. При этом:
- напряжение между любой парой узлов, к которым подключён источник напряжения, известно;
- в качестве базисного желательно выбирать узел, к которому одним из своих зажимов подключён источник напряжения — тогда узловое напряжение, отсчитываемое между базисным узлом и вторым зажимом источника, равно ЭДС источника или отличается от него знаком; кроме того, базисным может быть выбран узел, к которому подключено наибольшее число элементов, если этот выбор не противоречит первой рекомендаций;
- уменьшается число независимых узловых напряжений, а потому понижается и порядок системы, т. е. число входящих в систему независимых уравнений;
- если цепь содержит
источников напряжения, имеющих один общий зажим, то число узловых уравнений, которое можно составить для такой цепи, равно
источников напряжения, имеющих один общий зажим, то число узловых уравнений, которое можно составить для такой цепи, равно
Пример 5.1.
Записать систему узловых уравнений для удлинителя
(рис. 5.2), рассмотренного в лекции 4.
Решение. Удлинитель содержит четыре узла и один источник тока, поэтому согласно (5.3) достаточно составить всего два узловых уравнения
Положим узел 0 базисным, поскольку к нему одним из своих зажимов подключён источник напряжения. Узловое напряжение узла 1 известно и равно. ЭДС источника напряжения 
поэтому остаётся записать уравнения для узлов 2 и 3 по правилам, рассмотренным в разд. 5.1. Предварительно запишем собственные и взаимные проводимости узлов.
Такое обращение справедливо,-поскольку удлинители применяются для построения магазина затуханий, или аттенюатора.
Собственная проводимость второго узла
взаимные проводимости второго узла
собственная проводимость третьего узла
взаимные проводимости третьего узла
Теперь получим систему узловых уравнений, записав узловые уравнения для второго и третьего узлов:
Поскольку 
запишем эту систему уравнений в каноническом виде
Эта система уравнений и является окончательным результатом решения задачи, поставленной в примере.
Если содержащиеся в цепи источники напряжения не имеют общего зажима, то задачу анализа следует решать или методом узловых напряжений в сочетании с принципом наложения или путём эквивалентных преобразований перейти к другой модели цепи.
При составлении узловых уравнений для цепей, содержащих многополюсники (например, транзисторы, операционные усилители
и т. д), следует прежде всего заменить эти многополюсники их схемами замещения.
Метод узлового напряжения
Расчет сложных разветвленных электрических цепей с несколькими источниками и двумя узлам, можно осуществить методом узлового напряжения. Напряжение межи узлами и называется узловым. UAB R3 узловое напряжение цепи (рис. 4.9) Для различных ветвей (рис. 4.9) узловое напряжение UAB можно опредо лить следующим образом.
1. Поскольку для первой ветви источник работает в режиме генератор:
Величина тока определяется как
где 
— проводимость
2.Для второй ветви источник работает в режиме потребителя следовательно
Тогда ток
3.Для третьей ветви
(Потенциал точки В для третьей ветви больше, чем потенций точки А, так как ток направлен из точки с большим потенциалом в точку с меньшим потенциалом)
Величину тока 
можно определить по закону Ома
По первому закону Кирхгофа для узловой точки А (или В):
Подставив в уравнение (4.6) значения токов из уравнений (4.3), .4) и (4.5) для рассматриваемой цепи, можно записать
Решив это уравнение относительно узлового напряжения UAB, можно определить его значение
Следовательно, величина узлового напряжения определяется отношением алгебраической суммы произведений ЭДС и проводимости ветвей с источниками к сумме проводимостей всех ветвей:
Для определения знака алгебраической суммы направление токов во всех ветвях выбирают одинаковым, т.е. от одного узла другому (рис. 4.9). Тогда ЭДС источника, работающего в режиме генератора, берется со знаком «плюс», а источника, работающего в режиме потребителя, со знаком «минус». Таким образом, для определения токов в сложной цепи с двумя узлами вычисляется сначала узловое напряжение по выражению 4.9), а затем значения токов по формулам (4.3), (4.4), (4.5). Узловое напряжение UAB может получиться положительным или отрицательным, как и ток в любой ветви.
Знак «минус» в вычисленном значении тока указывает, что реальное направление тока в данной ветви противоположно словно выбранному.
Пример 4.7
В ветвях схемы (рис. 4.10) требуется определить токи, если: 
Решение
Узловое напряжение 
где 
тогда 
Токи в ветвях будут соответственно равны
Как видно из полученных результатов, направление токов 
противоположно выбранному. Следовательно, источник £ работает в режиме потребителя.
Пример 4.8
Два генератора (рис. 4.11), ЭДС и внутреннее сопротивление которых одинаковы: 
, питают потребитель (нагрузку) с сопротивлением R= 5,85 Ом.
Как изменится ток второго генератора: 1) при увеличении его ЭДС (£2) на 1 %; » 2) при увеличении узлового напряжения (UAB) на 1 %.
Решение
Определяется узловое напряжение UAB цепи (рис. 4.11)
где
=
Тогда ток второго генератора
При увеличении Е2 на 1 %, его величина станет равной
тогда
При этом 
Следовательно, увеличение ЭДС генератора Е2 на 1 % приводит увеличению тока этого генератора на 24 %.
2. При увеличении узлового напряжения на 1% его величины станет равной
При этом 
Таким образом, ток второго генератора при увеличении узлового напряжения на 1 % уменьшится на 23,4 %.
Знак «минус» означает уменьшение, а не увеличение тока 
.
Определение метода узловых напряжений
Метод узловых напряжений заключается в том, что на основании первого закона Кирхгофа определяются потенциалы в узлах электрической цепи относительно некоторого базисного узла. Эти разности потенциалов называются узловыми напряжениями, причем положительное направление их указывается стрелкой от рассматриваемого узла к базисному.
Напряжение на какой-либо ветви равно, очевидно, разности узловых напряжений концов данной ветви; произведение же этого напряжения на комплексную проводимость данной ветви равно току в этой ветви. Таким образом, зная узловые напряжения в электрической цепи, можно найти токи в ветвях.
Если принять потенциал базисного узла равным нулю, то напряжения между остальными узлами и базисным узлом будут равны также потенциалам этих узлов. Поэтому данный метод называется также методом узловых потенциалов.
На рис. 7-7 в виде примера изображена электрическая схема с двумя источниками тока, имеющая три узла: 1, 2 и 3. Выберем в данной схеме в качестве базиса узел 3 и
обозначим узловые напряжения точек 1 и 2 через 
Согласно принятым на рис. 7-7 обозначениям комплексные проводимости ветвей равны соответственно:
Для заданной электрической цепи с тремя узлами могут быть записаны два уравнения по первому закону Кирхгофа, а именно: для узла 1
для узла 2
Величина 
представляющая собой сумму комплексных проводимостей ветвей, сходящихся в узле 1, называется собственной проводимостью узла 1 величина 
равная комплексной проводимости ветви между узлами 1 и 2, входящая в уравнения со знаком минус, называется об-, щей проводимостью между узлами 1 и 2.
Если заданы токи источников тока и комплексные проводимости ветвей, то узловые напряжения находятся совместным решением уравнений.
В общем случае если электрическая схема содержит q узлов, то на основании первого закона Кирхгофа получается система из q — 1 уравнений (узел q принят за базисный):
Здесь ток источника тока, подходящий к узлу, берется со знаком плюс, а отходящий от узла — со знаком минус;
— собственная проводимость всех ветвей, сходящихся в данном узле 
— общая проводимость между узламп 
входящая со знаком минус при выбранном направлении всех узловых напряжений к базису, независимо от того, является ли данная электрическая цепь планарной или непланарной.
Решив систему уравнений (7-5) при помощи определителей
получим формулу для 
узлового напряжения относительно базиса:
где
— определитель системы
— алгебраическое дополнение элемента 
данного определителя.
Первый индекс i алгебраического дополнения, обозначающий номер строки, вычеркиваемой в определителе системы, соответствует номеру узла, заданный ток источника тока которого умножается на данное алгебраическое дополнение. Второй индекс 
обозначающий номер столбца, вычеркиваемого в определителе системы, соответствует номеру узла, для которого вычисляется узловое напряжение.
Уравнения (7-5), выражающие первый закон Кирхгофа, записаны в предположении, что в качестве источников электрической энергии служат источники тока. При наличии в электрической схеме источников э. д. с. последние должны быть заменены эквивалентными источниками тока.
Если в схеме имеются ветви, содержащие только э. д, с. (проводимости таких ветвей бесконечно велики), то эти ветви следует рассматривать как источники неизвестных токов, которые затем исключаются при сложении соответствующих уравнений. Дополнительными связями между неизвестными узловыми напряжениями будут являться известные напряжения между узлами, равные заданным э. д. с.
Определитель снабжен индексом у, так как его элементами являются комплексные проводимости.
При наличии только одной ветви с э. д. с. и бесконечной проводимостью целесообразно принять за базисный узел один из узлов, к которому примыкает данная ветвь; тогда напряжение другого узла становится известным и число неизвестных сокращается на одно.
Метод узловых напряжений имеет преимущество перед методом контурных токов в том случае, когда число уравнений, записанных по первому закону Кирхгофа, меньше числа уравнений, записанных по второму закону Кирхгофа. Если заданная электрическая схема имеет q узлов и р ветвей, то в соответствии со сказанным выше, метод узловых напряжений представляет преимущество при q — 1 < р — q + 1. или, что то же, при 2 (q — 1) < р.
Здесь имеется в виду общий случай, когда число уравнений не сокращается за счет известных контурных токов
или узловых напряжении.
Пример 7-3.
Пользуясь методом узловых напряжений определить ток в диагонали мостовой схемы (см. рис. 7-6).
В результате замены заданного источника э. д. с. .эквивалентным источником тока получается схема (рис. 7-8), содержащая четыре узла. Для этой схемы по первому закону Кирхгофа записывают 4—1 = 3 уравнения (по числу независимых узлов). Если выбрать в данной схеме в качестве базиса узел 4 и направить узловые напряжения к базису, то уравнения примут вид:
для узла 1
для узла 2
для узла 3
Решение полученной системы уравнений относительно 
даст
где
Умножив найденное узловое напряжение 
на проводимость 
диагональной ветви мостовой схемы и изменив знак в соответствии с выбранным ранее направлением тока 
(см. рис. 7,-3), найдем искомый ток:
- Метод узловых потенциалов
- Принцип и метод наложения
- Входные и взаимные проводимости
- Преобразование треугольника сопротивлений в эквивалентную звезду
- Электрическая цепь
- Электрический ток
- Электрические цепи постоянного тока
- Методы анализа сложных электрических цепей
В дополнение к выводу метода рассмотрим методику расчёта электрических цепей по методу узловых потенциалов.
Воспользуйтесь программой онлайн-расчёта электрических цепей. Программа позволяет рассчитывать электрические цепи по закону Ома, по законам Кирхгофа, по методам контурных токов, узловых потенциалов и эквивалентного генератора, а также рассчитывать эквивалентное сопротивление цепи относительно источника питания.
Последовательность расчёта следующая.
- Пронумеровать все узлы и задать произвольное направление токов в схеме.
- Стянуть узлы с одинаковым потенциалом. Узлы будут иметь одинаковый потенциал, если между ними находится чистая ветвь с нулевым сопротивлением – закоротка (ветви между узлами 2 − 4 и 3 − 5 на рис. 1). Перерисовывать схему со стянутыми узлами не обязательно, но тогда следует учесть, что потенциалы узлов по концам закоротки будут одинаковыми.
Рис. 1. Пример объединения узлов с одинаковым потенциалом
- Выбрать базисный узел (рис. 2) и приравнять его потенциал нулю $ underline{varphi}_{3} = 0 space textrm{В} $. В качестве базисного узла можно выбрать любой, за исключением случая, когда имеются особые ветви. Если в схеме есть хотя бы одна особая ветвь, то за базисный узел следует принимать один из концов одной из таких ветвей. При этом потенциал другого конца будет равен ЭДС $ underline{varphi}_{1} = underline{E}_{1} $, если источник напряжения направлен в этот узел, и равен минус ЭДС $ underline{varphi}_{6} =- underline{E}_{2} $, если источник направлен к базисному узлу.
Рис. 2. Выбор базисного узла
Примечание. Зачастую для обозначения базисного узла используют символ заземления, так как принято считать, что «земля» имеет нулевой потенциал.
- Составить уравнения для узлов без особых ветвей, потенциалы которых неизвестны. Уравнения записываются по следующему принципу:
- потенциал рассматриваемого узла умножается на сумму проводимостей всех примыкающих к нему ветвей;
- вычитаются потенциалы узлов, находящихся на противоположных концах примыкающих ветвей, умноженные каждый на свою проводимость соединяющей их ветви;
- приравнивается алгебраической сумме примыкающих к данному узлу источников тока и источников ЭДС, последние умножаются на проводимость ветви, в которой они расположены.
Под алгебраической суммой подразумевается необходимость учёта направленности источников, если источник направлен в рассматриваемый узел, то он записывается со знаком «+», в противном случае со знаком «-».
В случае, если имеется более одной особой ветви, и они не имеют общие узлы, то уравнения для узлов, в состав которых входит особая ветвь, не примыкающая к базисному узлу, записываются следующим образом:
- потенциал рассматриваемого узла умножается на сумму проводимостей всех примыкающих к нему ветвей и проводимостей ветвей, примыкающих к узлу противоположного конца особой ветви;
- вычитаются потенциалы узлов, находящихся на противоположных концах примыкающих ветвей к узлам особой ветви, умноженные каждый на свою проводимость примыкающей ветви;
- приравнивается алгебраической сумме примыкающих к узлам особой ветви источников тока и источников ЭДС, последние умножаются на проводимость ветви, в которой они расположены, за исключением источника ЭДС особой ветви, который умножается на сумму проводимости ветвей, примыкающих к узлу противоположного конца особой ветви.
- При составлении уравнения проводимость особой ветви не учитывается (1/0=∞). Следует также учитывать, что направление ЭДС особой ветви и соответственно её знак учитываются относительно рассматриваемого узла.
- Рассчитать токи в ветвях по закону Ома как алгебраическую сумму разности потенциалов и ЭДС в ветви с искомым током, делённую на сопротивление этой ветви. Вычитаемым будет тот потенциал, в который направлен ток, а знак ЭДС выбирается в зависимости от направления: в случае сонаправленности с током ЭДС берётся со знаком «+», в противном случае со знаком «-». Ток в закоротке следует искать по первому закону Кирхгофа, составленному для одного из узлов рассматриваемой ветви в исходной схеме, после расчета всех остальных токов в схеме.
- Правильность расчёта по методу узловых потенциалов проще всего проверить по первому закону Кирхгофа для уникальных узлов без особых ветвей, подставив полученные значения токов. Под уникальными узлами подразумеваются те узлы, при рассмотрении которых имеется хотя бы одна ветвь, не примыкающая к другим из рассмотренных узлов.
Пример решения. В качестве примера рассмотрим схему с двумя особыми ветвями и источником тока (рис. 3). Количество уравнений составляемых для нахождения узловых потенциалов равно
6 (всего узлов) – 1 (базисный узел) – 2 (узла особых ветвей) = 3.
Произвольно обозначим узлы и токи на схеме. Один из узлов одной из особой ветви (1-4 и 3-6) примем за базисный, к примеру узел 4, в таком случае $ underline{varphi}_{4} = 0 $, а $ underline{varphi}_{1} = underline{E}_{1} $.
Рис. 3. Пример расчёта электрической схемы
В ветви 3-6 необходимо найти потенциал только одного из узлов (рассчитаем для узла 6), так как второй (потенциал узла 3) будет отличаться на значение ЭДС, т.е. $ underline{varphi}_{3} = underline{varphi}_{6}- underline{E}_{2} $. Далее необходимо составить уравнения для нахождения оставшихся потенциалов в узлах 2, 5 и 6. Следует отметить, что ёмкость ветви с источником тока не повлияет на расчёты, поскольку проводимость этой ветви бесконечно большая, а ток задаётся самим источником.
$$ begin{cases} underline{varphi}_{5} cdot (underline{Y}_{7} + underline{Y}_{5} + underline{Y}_{8})- underline{varphi}_{4} cdot underline{Y}_{7}- underline{varphi}_{2} cdot underline{Y}_{5}- underline{varphi}_{6} cdot underline{Y}_{8} = 0 \ underline{varphi}_{2} cdot (underline{Y}_{2} + underline{Y}_{5} + underline{Y}_{3})- underline{varphi}_{1} cdot underline{Y}_{2}- underline{varphi}_{5} cdot underline{Y}_{5}- underline{varphi}_{3} cdot underline{Y}_{3} = 0 \ underline{varphi}_{6} cdot (underline{Y}_{8} + underline{Y}_{3} + underline{Y}_{1})- underline{varphi}_{5} cdot underline{Y}_{8}- underline{varphi}_{2} cdot underline{Y}_{3}- underline{varphi}_{1} cdot underline{Y}_{1} = underline{E}_{2} cdot (underline{Y}_{3} + underline{Y}_{1}) + underline{J}_{1} end{cases} $$
где
$$ {{underline{Y}}_{1}}=frac{1}{{{underline{Z}}_{1}}}=frac{1}{{{R}_{1}}+jomega cdot {{L}_{1}}}; $$
$$ {{underline{Y}}_{2}}=frac{1}{{{underline{Z}}_{2}}}=-jomega cdot {{C}_{1}}; $$
$$ {{underline{Y}}_{3}}=frac{1}{{{underline{Z}}_{3}}}=jfrac{1}{omega cdot {{L}_{2}}}; $$
$$ {{underline{Y}}_{5}}=frac{1}{{{underline{Z}}_{5}}}=-jomega cdot {{C}_{2}}; $$
$$ {{underline{Y}}_{7}}=frac{1}{{{underline{Z}}_{7}}}=frac{1}{{{R}_{3}}}; $$
$$ {{underline{Y}}_{8}}=frac{1}{{{underline{Z}}_{8}}}=frac{1}{{{R}_{4}}}. $$
Подставим известные значения потенциалов, сократив количество неизвестных:
$$ begin{cases} underline{varphi}_{5} cdot (underline{Y}_{7} + underline{Y}_{5} + underline{Y}_{8})- 0 cdot underline{Y}_{7}- underline{varphi}_{2} cdot underline{Y}_{5}- underline{varphi}_{6} cdot underline{Y}_{8} = 0 \ underline{varphi}_{2} cdot (underline{Y}_{2} + underline{Y}_{5} + underline{Y}_{3})- underline{E}_{1} cdot underline{Y}_{2}- underline{varphi}_{5} cdot underline{Y}_{5}- (underline{varphi}_{6}- underline{E}_{2}) cdot underline{Y}_{3} = 0 \ underline{varphi}_{6} cdot (underline{Y}_{8} + underline{Y}_{3} + underline{Y}_{1})- underline{varphi}_{5} cdot underline{Y}_{8}- underline{varphi}_{2} cdot underline{Y}_{3}- underline{E}_{1} cdot underline{Y}_{1} = underline{E}_{2} cdot (underline{Y}_{3} + underline{Y}_{1}) + underline{J}_{1} end{cases} $$
Перенесём все свободные составляющие в правую часть равенств и получим конечную систему уравнений с тремя неизвестными узловыми потенциалами:
$$ begin{cases} underline{varphi}_{5} cdot (underline{Y}_{7} + underline{Y}_{5} + underline{Y}_{8})- underline{varphi}_{2} cdot underline{Y}_{5}- underline{varphi}_{6} cdot underline{Y}_{8} = 0 \ underline{varphi}_{2} cdot (underline{Y}_{2} + underline{Y}_{5} + underline{Y}_{3})- underline{varphi}_{5} cdot underline{Y}_{5}- underline{varphi}_{6} cdot underline{Y}_{3} = underline{E}_{1} cdot underline{Y}_{2}- underline{E}_{2} cdot underline{Y}_{3} \ underline{varphi}_{6} cdot (underline{Y}_{8} + underline{Y}_{3} + underline{Y}_{1})- underline{varphi}_{5} cdot underline{Y}_{8}- underline{varphi}_{2} cdot underline{Y}_{3} = underline{E}_{1} cdot underline{Y}_{1} + underline{E}_{2} cdot (underline{Y}_{3} + underline{Y}_{1}) + underline{J}_{1} end{cases} $$
Для решения системы уравнений с неизвестными узловыми потенциалами, можно воспользоваться Matlab. Для этого представим систему уравнений в матричной форме:
$$ begin{bmatrix} underline{Y}_{7} + underline{Y}_{5} + underline{Y}_{8} & -underline{Y}_{5} & -underline{Y}_{8} \ -underline{Y}_{5} & underline{Y}_{2} + underline{Y}_{5} + underline{Y}_{3} & -underline{Y}_{3} \ -underline{Y}_{8} & -underline{Y}_{3} & underline{Y}_{8} + underline{Y}_{3} + underline{Y}_{1} end{bmatrix} cdot begin{bmatrix} underline{varphi}_{5} \ underline{varphi}_{2} \ underline{varphi}_{6} end{bmatrix} = \ = begin{bmatrix} 0 \ underline{E}_{1} cdot underline{Y}_{2}- underline{E}_{2} cdot underline{Y}_{3} \ underline{E}_{1} cdot underline{Y}_{1} + underline{E}_{2} cdot (underline{Y}_{3} + underline{Y}_{1}) + underline{J}_{1} end{bmatrix} $$
Запишем скрипт в Matlab для нахождения неизвестных:
>> syms Y1 Y2 Y3 Y5 Y7 Y8 E1 E2 J1;
>> A = [Y7+Y5+Y8 -Y5 -Y8;
-Y5 Y2+Y5+Y3 -Y3;
-Y8 -Y3 Y8+Y3+Y1];
>> B = [ 0;
E1*Y2-E2*Y3;
E1*Y1+E2*(Y3+Y1)+J1];
>> fi=AB
Примечание. Для решения в численном виде необходимо заменить символьное задание переменных реальными значениями проводимостей, ЭДС и тока источника.
В результате получим вектор-столбец $ underline{boldsymbol{varphi}} $ из трёх элементов, состоящий из искомых узловых потенциалов, при этом токи в ветвях через потенциалы узлов:
$$ {{underline{I}}_{1}}=frac{{{underline{varphi }}_{1}}-{{underline{varphi }}_{3}}}{{{underline{Z}}_{1}}}, $$
$$ {{underline{I}}_{2}}=frac{{{underline{varphi }}_{1}}-{{underline{varphi }}_{2}}}{{{underline{Z}}_{2}}}, $$
$$ {{underline{I}}_{3}}=frac{{{underline{varphi }}_{2}}-{{underline{varphi }}_{3}}}{{{underline{Z}}_{3}}}, $$
$$ {{underline{I}}_{5}}=frac{{{underline{varphi }}_{2}}-{{underline{varphi }}_{5}}}{{{underline{Z}}_{5}}}, $$
$$ {{underline{I}}_{7}}=frac{{{underline{varphi }}_{4}}-{{underline{varphi }}_{5}}}{{{underline{Z}}_{7}}}, $$
$$ {{underline{I}}_{8}}=frac{{{underline{varphi }}_{5}}-{{underline{varphi }}_{6}}}{{{underline{Z}}_{8}}}, $$
где
$$ underline{varphi}_{3} = underline{varphi}_{6}- underline{E}_{2}. $$
Для проверки правильности расчёта можно воспользоваться уравнениями по первому закону Кирхгофа: если суммы токов в узлах 2 и 5 равны нулям, значит расчёт выполнен верно:
$$ underline{I}_{5} + underline{I}_{3}- underline{I}_{2} = 0, $$
$$ underline{I}_{5} + underline{I}_{7}- underline{I}_{8} = 0. $$
Итак, метод узловых потенциалов позволяет рассчитывать меньшее количество сложных уравнений для расчёта электрической цепи в сравнении с другими методами при меньшем числе узлов в сравнении с количеством контуров.