- Главная
- Справочники
- Справочник по математике 5-9 класс
- Геометрия
- Прямоугольник, его периметр и площадь. Ось симметрии фигуры
Прямоугольник — это четырехугольник, у которого все углы прямые.
На рис. 1 изображен прямоугольник АВСD.
Отрезки АВ и СD, АD и ВС — противолежащие стороны прямоугольника. Противолежащие стороны прямоугольника не имеют общих точек. В прямоугольнике противолежащие стороны равны, тогда на рис. 1 в прямоугольнике АВСD: АВ = DС, АD = ВС.
Отрезки АВ и АD, АD и DC, DC и ВС, АВ и ВС — соседние или смежные стороны. Смежные стороны — стороны, которые имеют общую вершину. Смежные стороны прямоугольника имеют специальные названия: длина и ширина.
Отрезки АС и ВD — диагонали прямоугольника. Диагонали прямоугольника соединяют противолежащие вершины. Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам. Так на рис. 1 АС = ВD и ОА = ОВ = ОС = ОD.
Периметр — это сумма длин всех сторон многоугольника. Обозначается периметр буквой 
.
Учитывая, что в прямоугольнике противоположные стороны равны, его периметр вычисляется по формуле: 
или 
, где 
и 
смежные стороны прямоугольника (длина и ширина).
Площадь прямоугольника обозначается буквой 
. Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон, т.е. если и смежные стороны прямоугольника, то его площадь 
.
Каждая диагональ прямоугольника делит его на два равных треугольника. На рис. 2, диагональ АС делит прямоугольник АВСD на два равных треугольника АВС и АDС, т.е. 
АВС = АDС, а на рис. 2, б диагональ ВD делит прямоугольник АВСD на два равных треугольника ВАD и ВСD, т.е.
ВАD = ВСD.
Прямоугольник, у которого все стороны равны, называют квадратом.
Ось симметрии
Прямоугольник имеет ось симметрии. Ось симметрии прямоугольника — это прямая, проходящая через средины противоположных сторон прямоугольника. У прямоугольника две оси симметрии, на рис. 3 прямые 
и 
оси симметрии прямоугольника АВСD.
Если лист бумаги перегнуть по прямым (или ), то две части прямоугольника, лежащие по разные стороны от прямой (или ), совпадут.
Существуют и другие фигуры, которые имеют ось симметрии, такие фигуры называют симметричными относительно прямой. Так, например, квадрат имеет четыре оси симметрии (рис. 4, ), равнобедренный треугольник одну ось симметрии (рис. 4, б), а равносторонний треугольник — три оси симметрии (рис.4, в).
Советуем посмотреть:
Отрезок
Ломаная
Четырехугольники
Единицы измерения площадей. Свойства площадей
Квадрат. Периметр и площадь квадрата.
Многоугольники. Правильные многоугольники. Равенство фигур.
Плоскость
Прямая
Луч
Шкалы и координаты
Прямоугольный параллелепипед. Пирамида.
Объем прямоугольного параллелепипеда
Куб. Площадь поверхности куба
Куб. Объем куба
Угол. Обозначение углов
Прямой и развернутый угол
Чертежный треугольник
Измерение углов. Транспортир. Виды углов
Треугольник и его виды
Окружность, круг, шар
Цилиндр, конус
Отрезок-xx
Геометрия
Правило встречается в следующих упражнениях:
5 класс
Задание 846,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 1401,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 1796,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Номер 364,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 373,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 581,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 587,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 1014,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 1193,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 1197,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
6 класс
Номер 516,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 746,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 750,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 2,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 3,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 4,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Задание 495,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 543,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 721,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 824,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
7 класс
Номер 20,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 378,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 379,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 409,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 601,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 663,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 979,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 1112,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Задание 305,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 502,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
8 класс
Номер 67,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 313,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 450,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Если в четырехугольнике все углы прямые, то его называют прямоугольником.
На рисунке 125 изображен прямоугольник ABCD.
Стороны AB и BC имеют общую вершину B. Их называют соседними сторонами прямоугольника ABCD. Также соседними являются, например, стороны BC и CD.
Соседние стороны прямоугольника называют его длиной и шириной.
Стороны AB и CD не имеют общих вершин. Их называют противоположными сторонами прямоугольника ABCD. Также противолежащими являются стороны BC и AD.
Противолежащие стороны прямоугольника равны.
На рисунке 125 AB = CD, BC = AD. Если длина прямоугольника равна a, а ширина − b, то его периметр вычисляют по уже знакомой тебе формуле:
P = 2a + 2b
Прямоугольник, у которого все стороны равны, называют квадратом (рис. 126).
Проведем прямую l, проходящую через середины двух противолежащих сторон прямоугольника (рис. 127). Если лист бумаги перегнуть по прямой l, то две части прямоугольника, лежащие по разные стороны от прямой l, совпадут.
Аналогичным свойством обладают фигуры, изображенные на рисунке 128. Такие фигуры называют симметричными относительно прямой. Прямую l называют осью симметрии фигуры.
Итак, прямоугольник − это фигура, имеющая ось симметрии. Также ось симметрии имеет равнобедренный треугольник (рис. 129).
Фигура может иметь более одной оси симметрии. Например, прямоугольник, отличный от квадрата, имеет две оси симметрии (рис. 130), а квадрат − четыре оси симметрии (рис. 131). Равносторонний треугольник имеет три оси симметрии (рис. 132).
Изучая окружающий мир, мы часто встречаемся с симметрией. Примеры симметрии в природе показаны на рисунке 133.
Объекты, имеющие ось симметрии, легко воспринимаются и приятные для глаза. Недаром в Древней Греции слово «симметрия» служило синонимом слов «гармония», «красота».
Идея симметрии широко используется в изобразительном искусстве, архитектуре (рис. 134).
|
Произвольный прямоугольник имеет всего две оси симметрии, то есть в его плоскости мы можем найти только две прямых, при обороте вокруг которых, одна часть прямоугольника совпадет со второй частью. Эти прямые проходят через центр пересечения диагоналей прямоугольника и параллельны его сторонам. Иначе говоря проходят через средины противоположных сторон. Вот как это смотрится в рисунке по клеткам, оси симметрии m и l:
В частном случае, если стороны прямоугольника равны, то есть он является квадратом, то у него появляются две дополнительные оси симметрии — те самые диагонали квадрата, на рисунке прямые s и k:
автор вопроса выбрал этот ответ лучшим
Геометрическая фигура прямоугольник относится к самым простым и в то же время является одной из основных фигур в геометрии. Если в прямоугольнике провести диагонали, то их точке пересечения будет и центром фигуры, и центром симметрии. Через центр симметрии можно провести очень много прямых но только две, которые будут параллельны сторонам, будут осями симметрии. В случае, когда прямоугольник является одновременно ромбом, параллелограммом и квадратом, его диагонали (их две) — также будут осями симметрии. Если диагонали прямоугольника пересекаются под прямым углом, то он имеет четыре оси симметрии, в остальных случаях — две оси.
РУДЬКО 5 лет назад Совершенно естественно, что прямоугольник имеет две оси симметрии.Каждая из них проходит через середины противоположных сторон. Есть одно исключение для прямоугольников.Это квадрат.Как известно, квадрат- это прямоугольник , у которого все стороны равны между собой. Так вот, у квадрата будет четыре оси симметрии. Это две линии, соединяющие середины противоположных сторон, а также диагонали квадрата.
На картинке также изображён ромб, но его можно принимать во внимание только в том случае, если ромб является квадратом.В остальных случаях ромб прямоугольником не является. Потому как прямоугольник- это четырёхугольник, у которого все углы прямые.
Nelli4ka 5 лет назад Тут нужно сразу заметить: квадрат тоже можно назвать прямоугольником, у которого, правда, все стороны равны. Потому сделаем поправочку и найдем оси симметрии для прямоугольника, который не является квадратом. Для этого нам нужно разделить пополам сначала две его более короткие стороны и соединить линией — так мы получим первую ось, а потом — разделить пополам более длинные, тогда мы получим вторую ось симметрии, вот так:
А вот в квадрате, кстати, осей симметрии уже больше — не две, а целых четыре (две еще проходят по диагоналям, из угла в угол). У ромба, также как и у прямоугольника, осей симметрии две.
Alexgroovy 5 лет назад Чтобы ответить на вопрос, нужно знать, что из себя представляет ось симметрии прямоугольника. Таким термином обозначается любая прямая, которая проходит через точку пересечения диагоналей и при этом сохраняется параллельность сторонам. Прямоугольник имеет 2 оси симметрии и это доказывается в курсах математики и геометрии.
На рисунке видно как проходят оси симметрии прямоугольника. У квадрата таких осей больше (4), а у равностороннего треугольника — 3.
Если это именно прямоугольник, то он имеет две оси симметрии. Из середин горизонтальных и вертикальных сторон. Если же этот прямоугольник является ещё и квадратом, то тогда у него имеется четыре оси симметрии. Две как у прямоугольника, а две другие являются диагоналями квадрата. Вот рисунок, на котором можно посмотреть где проходят эти оси симметрии в прямоугольнике и в квадрате:
KillNUR 5 лет назад Прямоугольник — плоская фигура у которой противоположные стороны равны и параллельны. Осей симметрии у прямоугольнике две. Каждая из них проходит через середины противоположных сторон. Линии проходящие через противоположные углы прямоугольника не будут осями симметрии, так как при вращении фигуры по таким осям половинки не будут совпадать.
дольфаника 5 лет назад Чтобы убедиться, сколько прямоугольник имеет осей симметрии на самом деле, начертим прямоугольник и отметим центр фигуры, который находится на пересечении прямых, проходящих через середины сторон фигуры. Выходит две оси симметрии, как показано на таблице. Симметричные фигуры равны по всем сторонам и величинам углов.
Rafail 8 лет назад Прямоугольник имеет три оси симметрии второго порядка. Две из них лежат в плоскости прямоугольника и проходят через середины противоположных сторон. Третья ось симметрии перпендикулярна плоскости прямоугольника и проходит через его центр (точку пересечения диагоналей).
PRAVDA911 5 лет назад Из школьного курса геометрии нам известно, что у прямоугольника имеется две оси симметрии и это мы можем проверить на рисунке, начертив оси симметрии.
А вот если взять квадрат — то у него уже мы можем наблюдать все четыре оси симметрии.
alexm12 8 лет назад Обычный прямоугольник имеет две оси симметрии проходяших через середины противоположных сторон. Частный случай прямоугольника — квадрат имеет четыре оси симметрии, две добавочные проходят через противоположные углы. Знаете ответ? |
Какова симметрия прямоугольника? Есть ли у прямоугольника ось симметрии и центр симметрии?
Утверждение
Прямоугольник имеет две оси симметрии.
Осями симметрии прямоугольника являются прямые, проходящие через точку пересечения диагоналей параллельно сторонам.
Доказательство:
Пусть O — точка пересечения диагоналей прямоугольника ABCD, K и F — точки пересечения прямой, проходящей через точку O параллельно стороне AB, со сторонами AD и BC. Тогда
![[FK bot AD]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-55d3ce9ceda2b41586757f167adeae4d_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Прямоугольные треугольники AOK и DOK равны по катету и гипотенузе (OK- общий катет, OA=OD по свойству диагоналей параллелограмма). Следовательно, AK=DK, то есть прямая FK проходит через середину стороны AD.
Отметим на стороне AB произвольную точку X. Проведём прямую через точку X прямую, перпендикулярную прямой FK. Точки пересечения этой прямой с прямыми FK и CD обозначим через P и X1.
Четырёхугольники AXPK и KPX1D — прямоугольники (так как у них все углы прямые). Следовательно, XP=AK, PX1=KD. А так как AK=DK, то и XP=PX1. Значит, X1 — точка, симметричная точке X относительно прямой FK.
Имеем: точка, симметричная относительно прямой FK произвольной точке прямоугольника, также принадлежит прямоугольнику.
Точки F и K симметричны сами себе относительно прямой FK.
Таким образом, FK — ось симметрии прямоугольника.
Аналогично доказывается, что прямая, проходящая через точку O параллельно AD является осью симметрии ABCD.
Что и требовалось доказать.
Утверждение.
Прямоугольник — центрально симметричная фигура.
Центром симметрии параллелограмма является точка пересечения его диагоналей.
Так как параллелограмм — центрально-симметричная фигура с центром симметрии в точке пересечения диагоналей, то это верно и для частного случая параллелограмма — прямоугольника.