Шестиугольник представляет собой геометрическую фигуру, многоугольник, который имеет шесть углов и
шесть сторон.
Также существует правильный шестиугольник. Он обладает следующим свойством: все ребра и углы равны.
Каждый угол составляет 120 градусов. А также он состоит из шести правильных и равных
треугольников.
- Длинная диагональ правильного шестиугольника через
площадь - Котроткая диагональ правильного шестиугольника через
площадь - Длинная диагональ правильного шестиугольника через
сторону - Короткая диагональ правильного шестиугольника через
сторону
Длинная диагональ через площадь
Длинной диагональю на рисунке являются отрезки ВЕ, AD и CF. Все диагонали будут равны между собой.
Это свойство касается как правильной фигуры, так и неправильной. Для нахождения длинной диагонали
правильного шестиугольника понадобится площадь полной фигуры (правильного шестиугольника), которую
можно найти по формуле S = (a * a * √3 * 6) / 4. А диагональ находится по
следующим образом:
D = √((S / 3√3) * 
где S — площадь правильного шестиугольника.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример. Сторона шестиугольника равна 6 см. Тогда площадь: S = (6 * 6 * √3 * 6) / 4 = 54√3 см. D = √((54√3 / 3√3) * = 12 см.
Короткая диагональ через площадь
Короткими диагоналями можно назвать BD, BF, AE или же DF. Для нахождения неизвестной стороны также,
как и в прошлой ситуации, понадобится площадь фигуры, которую возможно найти по следующей формуле:
S = (a * a * √3 * 6) / 4. После этого найденная величина подставляется в
готовую формулу:
D = √((S / √3) * 2)
где S — площадь правильного многоугольника.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример. Как и в прошлой задаче, ребро равно 6 см. Тогда площадь правильного
шестиугольника = 54√3 см. Далее можно находить и искомую диагональ: D = √((54√3 / √3) * 2) = 6√3
Длинная диагональ через сторону
Длинной диагональю на рисунке являются отрезки ВЕ, AD и CF. Длинную диагональ правильно
шестиугольника можно вычислить и без нахождения площади. Для выполнения математических действий и
нахождения неизвестной переменной надо знать лишь ребро многоугольника:
D = 2a
где a — сторона правильного шестиугольника.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Длинная диагональ состоит из двух сторон треугольников, прилегающих друг к другу, поэтому сторону
умножаем на 2.
Пример. В задаче дан правильный шестиугольник. Его ребро равно 3 см. Тогда длинная
диагональ равна 6 см.
Короткая диагональ через сторону
Также существует и другой способ нахождения короткой диагонали, равностороннего шестиугольника.
Например, диагонали BD. Для нахождения достаточно лишь знание стороны фигуры:
D = √(3 * a * a)
где a — сторона правильного шестиугольника.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример. Сторона АВ равна 10 см. Тогда BD = D = √(3 * 10 * 10) = 10√3 см = 17 см.
Для более простого понимания такой темы, как вычисление диагонали правильного шестиугольника, стоит
для начала увидеть, что данный многоугольник состоит из шести равносторонних и равных между собой
треугольников. (Неправильный шестиугольник условно можно разделить на шесть равнобедренных
треугольник). О – это центр правильного шестиугольника. Он делит диагонали на равные отрезки. Также
точка пересечения длинных диагоналей является центром вписанной и описанных окружностей. Все
диагонали также равны между собой и делят углы на две равные части, то есть выполняют функцию
биссектрисы, а также высоты или медианы, так как были проведены в равнобедренном треугольнике. Таким
образом будет легче находить какие-то неизвестные отрезки.
Однако существует и более сложный метод – через нахождение площади фигуры. Данную формулу запомнить
просто: S = (a * a * √3) / 4 – она необходима, чтобы вычислить площадь
равностороннего треугольника, где величина а является стороной. А вышеупомянутая фигура состоит из
шести таких геометрических фигур, поэтому конечная формула будет выглядеть так: S = (a * a * √3 * 6) / 4
Таким образом, шестиугольник является не такой уж и сложной фигурой, как кажется на первый взгляд.
Достаточно изучить элементарные свойства и запомнить их.
Правильный шестиугольник
-
$alpha=120^circ$.
-
$R=a$, $r=dfrac{asqrt{3}}{2}$
-
$d_1=2a, d_2=asqrt{3}$
-
Малая диагональ правильного шестиугольника перпендикулярна его стороне.
-
Противоположные стороны правильного шестиугольника параллельны между собой, а также параллельны большой диагонали.
-
$S=dfrac{3a^2sqrt{3}}{2}$.
Доказательство
1. $alpha=dfrac{180^circ(6-2)}{6}=120^circ.$
2. Так как $BO$ и $CO$ – биссектрисы, то $angle CBO=angle BCO=60^circ.$
Следовательно, треугольник $BOC$ равносторонний.
Значит $R=a, r=dfrac{asqrt{3}}{2}$.
3. $angle BOC+angle COD+angle DOE=3cdot60^circ=180^circ.$
Следовательно, точки $B, O$ и $E$ лежат на одной прямой, значит $BE$ – диагональ, и $BE=2R=2a$.
4. Четырёхугольник $OABC$ – ромб, следовательно, $OBperp AC$.
Четырёхугольник $OBCD$ – ромб, поэтому $BOparallel CD$.
Следовательно $ACperp CD$.
5. $S=6cdot S_{AOB}=6cdotdfrac{1}{2}a^2sin{60^circ}=dfrac{3a^2sqrt{3}}{2}.$
Правильный шестиугольник
Вам тоже становится страшно, когда вы видите в условии задачи «правильный шестиугольник»? Вам хочется сразу перейти к другой задаче? Вы не знаете, как с ним работать ?
Страх перед задачами подобного рода возникает по простой причине — незнание свойств правильного шестиугольника. Ознакомившись с ними, вы с легкостью будете решать задачи с шестиугольниками. В них нет ничего сложного. Давайте разбираться.
Правильный шестиугольник — многоугольник с шестью равными сторонами и углами. Правильный шестиугольник состоит из шести правильных треугольников. Правильный треугольник = равносторонний треугольник. А в равностороннем треугольнике все углы равны 60 градусам.
Площадь и периметр
1. Периметр равен сумме длин всех его сторон.
P = 6a, где a — длина стороны шестиугольника
1. Для того, чтобы найти площадь правильного шестиугольника, необходимо найти площадь равностороннего треугольника и умножить её на шесть.
S = 6 * (площадь треугольника)
Диагональ правильного шестиугольника
Диагонали в правильном шестиугольнике бывают двух типов: малые (d) и большие (D).
Радиусы вписанной и описанной окружностей
r — радиус вписанной окружности
R — радиус описанной окружности
! Обратите внимание на то, что радиус окружностей в 2 раза меньше, чем диагонали.
Пример
Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 12, высота равна 9. Найдите длину бокового ребра пирамиды.
Решение
1. Так как в основании лежит правильный шестиугольник, то он состоит из правильных треугольников, у которых все стороны равны FO = 12;
2. Рассмотрим треугольник SOF и найдём в нём по теореме Пифагора длину гипотенузы SF;
3. В правильных пирамидах все боковые рёбра равны SF = 15.
The diagonals of hexagons may be calculated by understanding hexagon structure and correlating the side of a hexagon to its radius. Keep reading to find out how to do the math.
Properties of Regular Hexagons
A hexagon is a six-sided polygon or 6-gon. The word hexagon comes from the Greek hex, meaning six, and gonia, meaning corner or angle.
Properties of regular hexagons:
- interior angles of 120 degrees
- the total of the interior angles of a hexagon is 720 degrees
- each side and the interior angles are equal to each other
- there are no curved sides
- all lines connect to make the shape closed
An irregular hexagon has six unequal sides. A convex hexagon has no angles pointing inward. A concave hexagon has an angle greater than 180 degrees (pointing inward).
Diagonals of Hexagons
To find the diagonals of hexagons, use the formula:
n (n-3)/2, where n is the number of sides of a polygon.
For a hexagon, n = 6, and 6 (6-3) / 2 equals nine diagonals.
A regular hexagon shape has a radius that equals the side length. This creates six triangles. Recall that a radius of a hexagon is the center point of the hexagon to one of its corners.
Also recall that a diagonal is a line joining two opposite corners of a straight-sided shape. For regular hexagons, the nine diagonals form into six equilateral triangles.
Determining the Length of Diagonals in Hexagons
Since the nine diagonals form into six equilateral triangles, and the radius equals the side length, this makes it straightforward to determine the length of each diagonal line. If one side of the hexagon is known, then all sides are known, and the diagonals are calculated using the following basic steps:
Step 1: Determine the Length of One Side of the Hexagon
All the sides are equal in a regular hexagon. If the length of one side is known, then all are. The known, or given, is labeled as «g» (given side).
Step 2: Calculate Diagonal of Hexagon
Note the equation for finding the diagonal of a regular hexagon:
d (diagonal) = 2g (given side)
Multiply the known or given side of the hexagon by two. The product is the length of the diagonal of a regular hexagon.
For example, if the given side equals 10 meters, then the diagonal is: 2(10 meters), or 20 meters.
Diagonals of an Irregular Hexagon
There is no standard formula for finding the diagonals of irregular hexagons.
Although you can calculate the number of diagonals in an irregular hexagon, finding the diagonal measurement of an irregular would require splitting the hexagon into triangles. However, if they are not right triangles, there is not a format for finding the length of the interior side, the diagonal. The Pythagorean Theorem applies only to right triangles.
If each side and angle were given along with the area, then the diagonals could be determined; however, it is unlikely so many variables would be specified in a problem.
The Hexagon in Nature
A beehive is one of the most easily identifiable hexagon structures in nature. In a beehive, there are interconnected hexagons, and this structure was found to be good for packing as it leaves no empty space within the hive. For the same reason, soap bubbles, when lining up, create hexagonal shapes.
When water spins at high velocity, it takes the shape of a hexagon. Likewise, there is a perpetual storm-like cloud in the shape of a hexagon at Saturn’s north pole.
A carbon ring is a hexagon shape with a carbon at each corner. Dragonfly eyes have a hexagonal shape and so do the patterns on a tortoise shell.
поделиться знаниями или
запомнить страничку
- Все категории
-
экономические
43,662 -
гуманитарные
33,654 -
юридические
17,917 -
школьный раздел
611,978 -
разное
16,905
Популярное на сайте:
Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.
Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.
Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.
Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.