Как найти в задаче скидку

Прежде чем перейти к задачам на вклады и скидки, необходимо разобраться
зачем вообще люди кладут деньги в банк и как найти
выгодную скидку.

Задачи по вкладам

Естественно, люди кладут деньги в банк (открывают вклад), не по доброте душевной. Вклады открываются с целью получения прибыли.
Банк предлагает следующее: вы кладёте в банк определённую сумму на определённый срок.

Например, на год. В течение года
вы не сможете воспользоваться своими деньгами (ими будет пользоваться банк), но за это банк вам заплатит, вернув через год не только
вложенную вами сумму, но и небольшое вознаграждение.

Какова будет сумма вознаграждения?

Для её нахождения банк
устанавливает процент годовых. Если вы умножите сумму вашего вклада
на процент годовых, вы найдёте, какое вознаграждение
добавит банк к вашему вкладу.

Рассмотрим подрбонее задачи на эти темы.

Разбор примера

Разберем задачу на расчет вклада в банке.

Вкладчик внес в банк 1200 р. В какую сумму вклад превратится через год, если
банк начисляет доход в размере 4% годовых?

Решение:

Теперь найдем общую сумму, которую заберет вкладчик через год.
1200 + 48 = 1248 р. — в такую сумму превратится вклад через год.

Ответ: 1248 р. — в такую сумму превратится вклад через год.

Задачи на скидку (уценку)

Скидка — это понижение цены товара или услуги. Чаще всего скидку указывают в процентах.
Поэтому, чтобы найти на сколько в рублях понизилась цена товара, нужно цену товара умножить на процент скидки.

Разбор примера

Цена изделия составляет 5000 р. На изделие предложена скидка
10%. Найти цену товара с учетом скидки.

Решение:

Найдем скидку в рублях.
10% = 0,1
5000 · 0,1 = 500 р. — скидка в рублях.

Теперь найдем цену товара с учетом скидки.
5000 − 500 = 4500 р. — цена товара с учетом скидки.

Ответ: 4500 р. — цена товара с учетом скидки.

Ваши комментарии

Оставить комментарий:

Уважаемый пользователь! Для получения полного доступа ко всем функциями сайта, пожалуйста, пополните счёт

Задачи с процентами часто попадаются в экзаменационных заданиях. Многих они сбивают с толку – как разобраться с условием и как это решить? И совершенно зря, потому что с задачами на проценты каждый часто встречается в обычной жизни.

Пока такие задачки остаются оторванными от реальности строчками в учебнике, их бывает сложно понять и тем более решить. Чтобы стало понятнее, мы вам сейчас покажем примеры из обычной жизни, где вам могут встретиться проценты. А еще просто и доступно объясним, как решать задачи на проценты. И все у вас станет на свои места.

Задачи про проценты вокруг нас

Давайте оглядимся по сторонам: значения в процентах указаны на упаковках с любыми продуктами. Значок процента «%» смотрит на нас с рекламных плакатов скидок и распродаж. В новостях проценты сразу бросаются в глаза, когда речь идет о повышении цен на товары или коммунальные услуги. Разве вы сможете расшифровать все эти послания, если не научитесь решать задачи с процентами? Но вы, конечно, научитесь – мы в вас верим.

А вот такая ситуация: вы купили что-нибудь через интернет и получили извещение от ближайшего почтового отделения. Или сами собираетесь послать подарок другу в другой город. Вам обязательно надо уметь разбираться с процентами, чтобы узнать, сколько денег почта захочет получить за свои услуги по пересылке.

Или возьмем банковские кредиты и ипотеку. Банки в договорах всегда пишут мелкими буквами всякие вещи, которые полезно понимать. Например, какой процент по кредиту придется заплатить банку кроме тех денег, которые вы у него «одолжили» и обязаны вернуть.

А самый близкий школьникам пример связан с ЕГЭ. Каждый год после экзаменов публикуют официальную статистику. В которой немало задействованы и проценты. И эти проценты имеют прямое отношение к будущим выпускникам. Например, процент ребят, сдавших экзамен по математике на «хорошо» и «отлично» косвенно говорит о том, сколько абитуриентов с высокими баллами могли подать документы в вузы на технические специальности. А еще на программирование, прикладную математику и т.п. Чем их больше, тем выше конкурс. Если сравнивать их результаты со своими оценками, можно прикинуть собственные шансы на поступление.

Что такое процент?

Самое очевидное определение: процент – это десятичная дробь. В жизни редко что-то можно сравнивать целиком, чаще приходится сравнивать разные части чего-то целого. Поэтому мы используем такие понятия, как половина (1/2), треть (1/3), четверть (1/4). Ну да, все так привыкли к слову «четверть» в школе, что забывают о его формальном значении – «четвертая часть учебного года». Сравнивать сотые доли удобнее всего – так появился процент (1/100): pro centum – «за сто» на латыни.

Все задачи по математике на проценты вертятся вокруг сравнения частей одного целого, определения, какую долю составляет часть от целого, нахождения целого исходя из величины его части и т.п.

Проценты можно записать со знакомым всем значком процента: 1%. Можно представить в виде десятичной дроби (или натурального числа). Для этого нужно разделить на 100: 0,01. Можно наоборот: выразить число в процентах. Тогда его следует умножить на 100%.

Типы задач на проценты

Раз мы уже договорились, что задачи на проценты – это задачи на дроби, такой тактики будем придерживаться и дальше.

Тип 1: Находим процент (дробь) от числа.

• Задача. За месяц на предприятии изготовили 500 приборов. 20% изготовленных приборов не смогли пройти контроль качества. Сколько приборов не прошло контроль качества?
• Решение. Нужно найти 20% от общего количества изготовленных приборов (500). 20% = 0,2. 500 * 0,2 = 100. 100 из общего количества изготовленных приборов контроль не прошло.

Тип 2: Находим число по его проценту (дроби).

• Задача. Готовясь к экзамену, школьник решил 38 задач из пособия для самоподготовки. Что составляет 23% числа всех задач в пособии. Сколько всего задач собрано в этом пособии для самоподготовки?
• Решение. Мы не знаем, сколько всего задача в пособии. Но зато нам известно, что 38 задач составляют 25% от общего их количества. Запишем 23% в виде дроби: 0,23. Далее нам следует известную нам часть целого разделить на ту долю, которую она составляет от всего целого: 38/0,25 = 38 * 100/25 = 152. Именно 152 задачи включили в этот сборник.

Тип 3: Находим процентное отношение двух чисел (часть от целого числа).

• Задача. В классе 30 учеников. 14 из них – девочки. Сколько процентов девочек в классе?
• Решение. Чтобы узнать, какой процент составляет одно число от другого, нужно то число, которое требуется найти, разделить на общее количество и умножить на 100%. Значит, 14/30*100% = 7/15*100% = 7*100%/15 = 47%.

Тип 4: Увеличиваем число на процент.

• Задача. На прошлогоднем экзамене по математике 140 старшеклассников получили пятерки. В этом году число отличников выросло на 15%. Сколько человек получили пятерки за экзамен по математике в этом году?
• Решение. Если некое число а увеличено на х%, то оно увеличилось в (1 + х /100) раз. Откуда а * (1 + х /100). Подставим в эту формулу данные нам по условию задачи цифры и получим ответ: 140 * (1 + 15/100) = 161.

Тип 5: Уменьшаем число на процент.

• Задача. Год назад школу закончили 100 ребят. А в это году выпускников на 25 меньше. Сколько выпускников в этом году?
• Решение. Если число а уменьшено на х% и при этом 0 ≤ х ≤ 100, то число уменьшено в (1 – х/100) раз. И нужное нам число находим по формуле а * (1 – х/100). Подставляем цифры из условия задачи и получаем ответ: 100 * (1 – 25/100) = 75.

Тип 6: Задачи на простые проценты.

• Задача. Родители взяли в банке кредит 5000 рублей сроком на год под 15% ежемесячно. Сколько денег они заплатят банку через год?
• Решение. Простые проценты называются так, потому что они начисляются многократно, но всякий раз к исходной сумме. Если обозначить исходную сумму как а, сумму, которая наращивается, как S, процентную ставку как х% и количество периодов начисления процента как у, то формулу можно записать так: S = а * (1 + у * х/100). Теперь подставим сюда цифры из условия задачи и узнаем, сколько денег родители заплатят банку: S = 5000 * (1 + 12 * 15/100) = 14000.

Тип 7: Задачи на сложные проценты.

• Задача. На этот раз сумма кредита 25000 рублей, взятых под те же 15% сроком на 3 месяца. Снова надо узнать, сколько денег придется заплатить банку по истечении срока кредита.
• Решение. Сложные проценты отличаются от простых тем, что процент много раз начисляется не к исходной сумме, а к сумме с уже начисленными раньше процентами. Пускай снова S – наращиваемая сумма, а – исходная, х% — процентная ставка, у – количество периодов начисления процента. В этом случае формула принимает вид: S = а * (1 + х/100)^у. Подставляем цифры из условия: S = 25000 * (1 + 15/100)³ = 38021,875 – искомая сумма.

Кстати, простые задачи на проценты можно очень легко решать с помощью пропорции. Этот метод наглядный и дает такой же результат, так что выбирать можно каждому тот способ решения, который кажется проще. Давайте решим задачу №3 про класс и процент девочек в нем, составив пропорцию.

• Решение. Обозначим искомый процент девочек в классе как х, общее количество учеников примем за 100%. Пропорция выглядит так:

30 – 100%
14 – х%

Перемножим крест накрест левую и правую части пропорции и получим, что 30* х = 14 * 100 («30 относится к х также, как 14 относится к 100»). Откуда найти х уже совсем несложно: х = 14 * 100/30 = 47%.

Задачи на проценты с решением

Давайте решим несколько задач для подготовки к ЕГЭ. Как вы сами видите, решать их совсем несложно. Сейчас просто закрепим материал.

Задача 1. После открытия торгов на бирже в понедельник акции некой компании выросли в цене на неизвестное количество процентов. А во вторник на то же самое количество процентов упали в цене. В итоге они подешевели на 4% по отношению к своей первоначальной стоимости в понедельник. На какой процент акции этой компании поднимались в цене в понедельник?

Решение. Пускай первоначальная стоимость акций это 1. В понедельник акции дорожают на х * 100%. Их стоимость в это время: 1 + х * 1. Во вторник акции дешевеют на х * 100%. Их стоимость после этого: 1 + х – х * (1 + х). После чего они стали дешевле на 4%, т.е. стали стоить 0,96.

Отсюда 1 + х – х * (1 + х) = 0,96 ↔1 – х² = 0,96 ↔ х² = 0,04 ↔ х = 0,2. Т.е. в понедельник акции компании дорожали на 20%.

Задача 2. Четыре пары брюк дешевле одного пальто на 8%. Подсчитайте, на сколько процентов пять пар брюк стоят дороже, чем одно пальто.

Решение. Исходя из условия задачи, стоимость четырех пар брюк – это 92% от стоимости пальто. Легко подсчитать, что стоимость одной пары брюк – это 23% стоимости пальто (92/4 = 23). Теперь умножим стоимость одной пары брюк на пять и узнаем, что пять пар брюк обойдутся в 115% стоимости пальто (23 * 5 = 115). Т.е. пять пар брюк на 15% дороже, чем одно пальто.

Задача 3. Семья состоит из трех человек: муж, жена и дочь-студентка. Если зарплата мужа вырастет в два раза, общий доход семьи возрастет на 67%. Если дочери в три раза урежут стипендию, общий доход этой семьи уменьшится на 4%. Надо вычислить, какой процент в общий доход семьи приносит заработок жены.

Решение. Из условия следует, что общий доход семьи находится в прямой зависимости от доходов мужа. Не так важно, насколько ему поднимут зарплату. В любом случае общий доход семьи вырастет на 67%. Значит, зарплата мужа составляет как раз эти 67% от общего дохода. Если стипендия дочери уменьшится в три раза (т.е. на 1/3), останется 2/3 – это и есть 4%, на которые уменьшился бы семейных доход. Можно составить простую пропорцию и выяснить, что раз 2/3 стипендии – это 4% дохода, то вся стипендия – это 6%. А теперь отнимем от всего дохода вклад мужа и дочери и узнаем, какой процент составляет заработок жены в общем доходе семьи: 100% – 67%  – 6% = 27%.

Задача 4. В емкости находится 5 литров водного раствора с концентраций вещества, равной 12%. В емкость добавили еще 7 литров воды. Раствор какой концентрации (с каким процентным содержанием вещества) получился после этого?

Решение. Опишем концентрацию вещества в растворе такой формулой: С = Vвещества/ Vраствора * 100%. Изначально в растворе содержится 0,12 * 5 = 0,6 литра вещества. Когда были добавлены 7 литров воды, объем раствора в емкости увеличился. Но концентрация вещества понизилась (его объем остался неизменным). Подставим все известные нам цифры в формулу и получим ответ: 0,6/5 + 7 *100% = 0,6 /12 * 100% = 5%.

Задача 5. В свежих абрикосах 90% влаги, а в кураге, которая из них получается, только 5%. Сколько килограммов абрикосов нужно, чтобы получить 20 килограммов кураги?

Решение. Исходя из условия, в абрикосах 10% питательного вещества, а в кураге оно содержится в концентрированном виде – 95%. Поэтому в 20 килограммах кураги 20 * 0,95 = 19 кг питательного вещества. На вопрос задачи мы ответим, если разделим одинаковое количество питательного вещества, которое содержится в разных объемах свежих абрикосов и кураги, на его процентное содержание в абрикосах. Чтобы получить 20 килограммов кураги, нужно взять 19/0,1 = 190 килограммов свежих абрикосов.

Заключение

Сами видите, решать задачи на проценты не так уж сложно. Если усвоить основные правила и подключить воображение, вы сможете щелкать такие задачки как орешки.

Вы даже можете составить задачу на проценты сами по нашим образцам. Кстати, будет очень хорошо, если вы так и поступите. Можете оставить нам свои задачи в комментариях – пускай другие наши читатели решат ваши задачи. А вы сможете решить те, что придумают они. Чтобы задач для подготовки к экзаменам получилось больше, расскажите про эту статью своим друзьям в социальных сетях.

Вот увидите, задачи на проценты вам придется решать еще много раз даже после того, как вы закончите школу. Они встречаются в физике, химии, биологии. Да и в повседневной жизни умение решать их может не раз пригодится. Не бойтесь сложных задач – мы всегда поможем вам найти к ним ключ.

© blog.tutoronline.ru,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Была ли эта статья полезной?

Проценты в задачах на наибольшее-наименьшее значение: используем формулы процентов

14 ноября 2013

В сегодняшнем уроке мы продолжаем изучать задачи B2 на проценты. В этот раз разберем так называемые задачи комбинированного типа, где расчет процента соседствует с округлением в меньшую или большую сторону в зависимости от условия задачи.

Итак первая задача:

Задача 1. Магазин закупает тарелки по оптовой цене 70 рублей за штуку и продает с наценкой 40%. Какое наибольшее число таких тарелок можно купить в этом магазине на 500 рублей?

Как решать такую задачу? В первую очередь надо понять, что решение будет разбито на 2 этапа:

1. Сначала надо найти новую стоимость тарелки. Ведь изначально тарелка стоила 70 рублей, а затем ее стоимость увеличилась на 40%.
2. И только затем, зная стоимость тарелки после повышения цены, мы выясняем: сколько таких тарелок «влезет» в сумму 500 рублей.

Итак, поехали! Первый шаг — выясняем стоимость тарелки с учетом наценки. Для этого воспользуемся стандартной формулой простых процентов. А именно:

Теорема о простых процентах. Пусть нам известна исходная величина x, процент изменения k и итоговая величина y. Тогда итоговая величина y выражается через исходную по формуле:

Плюс или минус перед коэффициентом k ставится в зависимости от того, увеличивается рассматриваемая величина или уменьшается.

Очевидно, что в нашем случае величина x будет увеличиваться, поэтому при k будет стоять плюс. Подставляем:

Это обычное уравнение. Выполняем сложение в числителе. Множитель 70 тоже заносим в числитель. Получаем:

Как видите, все очень легко сокращается и вычисляется. Вот, мы нашли стоимость тарелки с учетом наценки в магазине. Второй шаг — надо узнать: сколько таких тарелок мы купим за 500 рублей. Для этого разделим:

n = 500 : 98 = 5,…

Тут даже не надо ничего придумывать. Думаю, что это очевидно: получится пять целых и что-то там после запятой. Однако нас совершенно не должны интересовать числа после запятой, потому что в задаче требуется найти наибольшее количество таких тарелок. Следовательно, округляем наше число в меньшую сторону и получаем просто n = 5.

Итак, на 500 рублей мы можем купить 5 тарелок. Причем каждая тарелка в магазине будет стоить 98 рублей, т.е. включать в себя наценку. Все, задача решена! Идем дальше.

Задача 2. Пара носков стоит 160 рублей. Какое наибольшее число таких пар носков можно будет купить на 1000 рублей во время распродажи, когда скидка составляет 20%?

Ну, первым шагом опять же найдем: сколько стоит пара носков с учетом распродажи, т.е. скидки 20%. Для этого снова запишем формулу простого процента:

Поскольку в задаче речь идет о скидке, то число k в числителе этой формулы будет стоять с минусом. При этом в качестве x выступает исходная величина, т.е. стоимость носко x = 160 рублей. А величина y — это то, что мы должны найти. Итак, считаем:

Как видите, все очень просто считается. Достаточно внести множитель 160 в числитель, а затем сократить полученную конструкцию со знаменателем. В результате дробь исчезает, поскольку в знаменателе получается единица. Итого y =16 · 8 = 128.

Вторым шагом находим собственно ответ к задаче, который от нас и требуется. Сколько носков по цене 128 рублей за пару мы можем купить, если у нас в распоряжении только 1000 рублей? Просто разделим 1000 на 128:

n = 1000 : 128 = 125 · 8 : 128 = 125 : 16

Осталось разделить 125 на 16. Можно сделать это уголком, а можно немножко схитрить и записать это действие следующим образом:

Поясню, откуда взялись числа 80 и 32. Дело в том, что число 125 не делится нацело на 16 — это очевидно хотя бы потому, что 125 является нечетным числом, а 16 — четным. Однако в числе 125 содержатся числа, которые кратны 16. Например, 80 = 5 · 16. Или 32 = 2 · 16.

Поэтому мы составляем такое разбиение, чтобы максимально сократить дробь. Далее, как следует из записи, мы разбиваем нашу большую дробь на сумму маленьких дробей, считаем их отдельно и вновь складываем. Получаем, что на 1000 рублей мы можем купить чуть меньше 8 носков.

Теперь возвращаемся к вопросу задачи, который звучит следующим образом: какое наибольшее число таких пар носков можно будет купить? Следовательно, округляем наш предположительный ответ в меньшую сторону и получаем просто n = 7. Это и есть итоговый ответ: во время распродажи на 1000 рублей можно купить только 7 носков. Больше никак не получится, потому что 13/16 пары нам никто не продаст.

Все, задача решена. Надеюсь, этот урок поможет тем, кто готовится к ЕГЭ по математике. А у меня на этом все! С вами был Павел Бердов. До новых встреч!:)

Смотрите также:

1. Проценты в задачах на наибольшее-наименьшее значение используем пропорции
2. Тест к уроку «Округление с избытком и недостатком» (1 вариант)
3. Тест на тему «Значащая часть числа»
4. Как считать логарифмы еще быстрее
5. Задача B5: площадь закрашенного сектора
6. Случай четырехугольной пирамиды