Как найти варианты егэ прошлых лет - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

МАТЕМАТИКА

Варианты О. А. Иванова

2022—2023 УЧЕБНЫЙ ГОД

Демонстрационная версия ЕГЭ по математике 2023 года с решениями.

ЕГЭ по математике 27.03.2023. Досрочная волна. Дальний Восток (подборка Школково).

ЕГЭ по математике 27.03.2023. Досрочная волна. Урал (вариант Э. Ковалева).

ЕГЭ по математике 27.03.2023. Досрочная волна. Урал (вариант П. Слащева).

ЕГЭ по математике 27.03.2023. Досрочная волна. Москва (вариант Профиматики).

ЕГЭ по математике 27.03.2023. Досрочная волна. Санкт-Петербург, Самара (вариант Е. Пифагора).

ЕГЭ по математике 27.03.2023. Досрочная волна. Санкт-Петербург (часть 2).

ЕГЭ по математике 27.03.2023. Досрочная волна. Вариант ФИПИ.

ЕГЭ по математике 19.04.2023. Досрочная волна, резервный день. Вариант (часть 2).

Все экзаменационные задания № 12 из ЕГЭ–2023.

Все экзаменационные задания № 13 из ЕГЭ–2023.

Все экзаменационные задания № 14 из ЕГЭ–2023.

Все экзаменационные задания № 15 из ЕГЭ–2023.

Все экзаменационные задания № 16 из ЕГЭ–2023.

Все экзаменационные задания № 17 из ЕГЭ–2023.

Все экзаменационные задания № 18 из ЕГЭ–2023.

Пробный экзамен Москва, 06.04.2023. Вариант 1.

Пробный экзамен Москва, 06.04.2023. Вариант 2.

2021—2022 УЧЕБНЫЙ ГОД

Демонстрационная версия ЕГЭ по математике 2022 года с решениями.

ЕГЭ по математике 28.03.2022. Досрочная волна. Вариант 1.

ЕГЭ по математике 28.03.2022. Досрочная волна. Вариант 2.

ЕГЭ по математике 28.03.2022. Досрочная волна. Вариант 3.

ЕГЭ по математике 28.03.2022. Досрочная волна. Вариант 4.

ЕГЭ по математике 02.06.2022. Основная волна. Санкт-Петербург, Москва, центр. Вариант 337 (часть 2).

ЕГЭ по математике 02.06.2022. Основная волна. Санкт-Петербург, Москва, центр. Вариант 338 (часть 2).

ЕГЭ по математике 02.06.2022. Основная волна. Санкт-Петербург. Вариант 319 (часть 2).

ЕГЭ по математике 02.06.2022. Основная волна. Санкт-Петербург. Вариант 321 (часть 2).

ЕГЭ по математике 02.06.2022. Основная волна. Санкт-Петербург, Москва, центр. Вариант 401 (часть 2).

ЕГЭ по математике 02.06.2022. Основная волна. Санкт-Петербург, Москва, центр. Вариант 402 (часть 2).

ЕГЭ по математике 02.06.2022. Основная волна. Санкт-Петербург, Москва, центр. Вариант 403 (часть 2, сборка из 401 и 402).

ЕГЭ по математике 02.06.2022. Основная волна. Санкт-Петербург, Москва, центр. Вариант 404 (часть 2, сборка из 401 и 402).

ЕГЭ по математике 02.06.2022. Основная волна. Санкт-Петербург, Москва, центр. Вариант 405 (часть 2, сборка из 401 и 402).

ЕГЭ по математике 02.06.2022. Основная волна. Санкт-Петербург, Москва, центр. Вариант 406 (часть 2, сборка из 401 и 402).

ЕГЭ по математике 02.06.2022. Основная волна. Дальний Восток.

ЕГЭ по математике 02.06.2022. Основная волна. Краснодар.

ЕГЭ по математике 02.06.2022. Основная волна. Вариант 991 (часть 2).

ЕГЭ по математике 27.06.2022. Основная волна, резервный день. Вариант 501 (часть 2).

ЕГЭ по математике 27.06.2022. Основная волна, резервный день. Вариант 502 (часть 2).

ЕГЭ по математике 27.06.2022. Основная волна, резервный день. Вариант 992 (часть 2).

Все экзаменационные задания № 12 из ЕГЭ–2022.

Все экзаменационные задания № 13 из ЕГЭ–2022.

Все экзаменационные задания № 14 из ЕГЭ–2022.

Все экзаменационные задания № 15 из ЕГЭ–2022.

Все экзаменационные задания № 16 из ЕГЭ–2022.

Все экзаменационные задания № 17 из ЕГЭ–2022.

Все экзаменационные задания № 18 из ЕГЭ–2022.

2020—2021 УЧЕБНЫЙ ГОД

Демонстрационная версия ЕГЭ по математике 2021 года с решениями.

ЕГЭ по математике 2021 года. Досрочная волна. Вариант.

ЕГЭ по математике 07.06.2021. Основная волна. Подмосковье.

ЕГЭ по математике 07.06.2021. Основная волна. Урал.

ЕГЭ по математике 07.06.2021. Основная волна. Сибирь.

ЕГЭ по математике 07.06.2021. Основная волна. Вологодская область.

ЕГЭ по математике 07.06.2021. Основная волна. Санкт-Петербург.

ЕГЭ по математике 07.06.2021. Основная волна. Санкт-Петербург, Москва, другие города. Вариант 358 (часть 2).

ЕГЭ по математике 07.06.2021. Основная волна. Санкт-Петербург, Москва, другие города. Вариант 359 (часть 2).

ЕГЭ по математике 07.06.2021. Основная волна. Санкт-Петербург, Москва, центр. Вариант 991 (частично).

ЕГЭ по математике 29.06.2021. Основная волна, резервный день. Центр. Вариант 401.

ЕГЭ по математике 29.06.2021. Основная волна, резервный день. Центр. Вариант 402.

Все экзаменационные задания № 13 из ЕГЭ–2021.

Все экзаменационные задания № 14 из ЕГЭ–2021.

Все экзаменационные задания № 15 из ЕГЭ–2021.

Все экзаменационные задания № 16 из ЕГЭ–2021.

Все экзаменационные задания № 17 из ЕГЭ–2021.

Все экзаменационные задания № 18 из ЕГЭ–2021.

Все экзаменационные задания № 19 из ЕГЭ–2021.

Пробный экзамен Санкт-Петербург, 18.03.2021. Вариант 1.

Пробный экзамен Санкт-Петербург, 18.03.2021. Вариант 2.

2019—2020 УЧЕБНЫЙ ГОД

Демонстрационная версия ЕГЭ по математике 2020 года с решениями.

ЕГЭ по математике 27.03.2020. Досрочная волна. Вариант 1.

ЕГЭ по математике 27.03.2020. Досрочная волна. Вариант 2.

ЕГЭ по математике 10.07.2020. Основная волна. Москва.

ЕГЭ по математике 10.07.2020. Основная волна. Санкт-Петербург (часть 2).

ЕГЭ по математике 10.07.2020. Основная волна. Краснодар. (часть 2).

ЕГЭ по математике 10.07.2020. Основная волна. Вариант 313 (часть 2).

ЕГЭ по математике 10.07.2020. Основная волна. Вариант 406 (часть 2).

ЕГЭ по математике 10.07.2020. Основная волна. Вариант 409 (часть 2)

ЕГЭ по математике 10.07.2020. Основная волна. Вариант 991 (часть 2).

ЕГЭ по математике 24.07.2020. Резервный день. Санкт-Петербург (часть 2).

ЕГЭ по математике 24.07.2020. Резервный день. Смоленск (часть 2).

ЕГЭ по математике 25.07.2020. Резервный день. Вариант А. Ларина (часть 2).

ЕГЭ по математике 25.07.2020. Резервный день. Санкт-Петербург. Вариант 1 (часть 2).

ЕГЭ по математике 25.07.2020. Резервный день. Санкт-Петербург. Вариант 2 (часть 2).

Все экзаменационные задания № 13 из ЕГЭ–2020.

Все экзаменационные задания № 14 из ЕГЭ–2020.

Все экзаменационные задания № 15 из ЕГЭ–2020.

Все экзаменационные задания № 16 из ЕГЭ–2020.

Все экзаменационные задания № 17 из ЕГЭ–2020.

Все экзаменационные задания № 18 из ЕГЭ–2020.

Все экзаменационные задания № 19 из ЕГЭ–2020.

2018—2019 УЧЕБНЫЙ ГОД

Демонстрационная версия ЕГЭ по математике 2019 года с решениями.

ЕГЭ по математике 29.03.2019. Досрочная волна. Вариант 1.

ЕГЭ по математике 29.03.2019. Досрочная волна. Вариант 2.

ЕГЭ по математике 29.03.2019. Досрочная волна. Вариант 3 (часть 2).

ЕГЭ по математике 29.03.2019. Досрочная волна. Вариант 4.

ЕГЭ по математике 10.04.2019. Досрочная волна, резервный день. Запад.

ЕГЭ по математике 29.05.2019. Основная волна. Дальний восток (вариант Имаева-Зубовой).

ЕГЭ по математике 29.05.2019. Основная волна. Центр (вариант Имаева-Зубовой).

ЕГЭ по математике 29.05.2019. Основная волна. Санкт-Петербург.

ЕГЭ по математике 29.05.2019. Основная волна. Вариант 316 (часть 2).

ЕГЭ по математике 29.05.2019. Основная волна. Вариант 324 (часть 2).

ЕГЭ по математике 29.05.2019. Основная волна. Вариант 405 (часть 2).

ЕГЭ по математике 29.05.2019. Основная волна. Вариант 409 (часть 2).

ЕГЭ по математике 29.05.2019. Основная волна. Вариант 991 (часть 2).

ЕГЭ по математике 24.06.2019. Основная волна, резервный день. Вариант 992 (часть 2).

ЕГЭ по математике 24.06.2019. Основная волна, резервный день. Кавказ (часть 2).

ЕГЭ по математике 24.06.2019. Основная волна, резервный день. Вариант 503 (часть 2).

Все экзаменационные задания ЕГЭ 2019 13 (C1).

Все экзаменационные задания ЕГЭ 2019 14 (C2).

Все экзаменационные задания ЕГЭ 2019 15 (C3).

Все экзаменационные задания ЕГЭ 2019 16 (C4).

Все экзаменационные задания ЕГЭ 2019 17 (C5).

Все экзаменационные задания ЕГЭ 2019 18 (C6).

Все экзаменационные задания ЕГЭ 2019 19 (C7)

Пробный экзамен Санкт-Петербург, 19.03.2019. Вариант 1.

Пробный экзамен Санкт-Петербург, 19.03.2019. Вариант 2.

2017—2018 УЧЕБНЫЙ ГОД

Демонстрационная версия ЕГЭ по математике 2018 года с решениями.

ЕГЭ по математике 30.03.2018. Досрочная волна. Запад.

ЕГЭ по математике 11.04.2018. Досрочная волна, резервный день. Запад.

ЕГЭ по математике 01.06.2018. Основная волна. Центр. Вариант 301 (часть 2).

ЕГЭ по математике 01.06.2018. Основная волна. Центр. Вариант 302 (часть 2).

ЕГЭ по математике 01.06.2018. Основная волна. Центр. Вариант 401 (часть 2).

ЕГЭ по математике 01.06.2018. Основная волна. Центр. Вариант 402 (часть 2).

ЕГЭ по математике 01.06.2018. Основная волна. Центр. Вариант 991 (часть 2).

ЕГЭ по математике 25.06.2018. Основная волна, резервный день. Центр. Вариант 501 (часть 2).

ЕГЭ по математике 25.06.2018. Основная волна, резервный день. Центр. Вариант 502 (часть 2).

ЕГЭ по математике 25.06.2018. Основная волна, резервный день. Центр. Вариант 751 (часть 2).

ЕГЭ по математике 25.06.2018. Основная волна, резервный день. Центр. Вариант 992 (часть 2).

Все экзаменационные задания ЕГЭ 2018 13 (C1).

Все экзаменационные задания ЕГЭ 2018 14 (C2).

Все экзаменационные задания ЕГЭ 2018 15 (C3)

.Все экзаменационные задания ЕГЭ 2018 16 (C4).

Все экзаменационные задания ЕГЭ 2018 17 (C5).

Все экзаменационные задания ЕГЭ 2018 18 (C6).

Все экзаменационные задания ЕГЭ 2018 19 (C7)

Пробный экзамен Санкт-Петербург, 04.03.2018. Вариант 1.

Пробный экзамен Санкт-Петербург, 04.03.2018. Вариант 2.

2016—2017 УЧЕБНЫЙ ГОД

Демонстрационная версия ЕГЭ по математике 2017 года с решениями.

ЕГЭ по математике 31.03.2017. Досрочная волна. Запад.

ЕГЭ по математике 14.04.2017. Досрочная волна, резервный день. Запад.

ЕГЭ по математике 02.06.2017. Основная волна. Центр. Вариант 301 (часть 2).

ЕГЭ по математике 02.06.2017. Основная волна. Центр. Вариант 302 (часть 2).

ЕГЭ по математике 02.06.2017. Основная волна. Центр. Вариант 303 (часть 2).

ЕГЭ по математике 02.06.2017. Основная волна. Центр. Вариант 401 (часть 2).

ЕГЭ по математике 02.06.2017. Основная волна. Центр. Вариант 402 (часть 2).

ЕГЭ по математике 02.06.2017. Основная волна. Центр. Вариант 419 (часть 2).

ЕГЭ по математике 02.06.2017. Основная волна. Центр. Вариант 431 (часть 2).

ЕГЭ по математике 02.06.2017. Основная волна. Центр. Вариант 432 (часть 2).

ЕГЭ по математике 02.06.2017. Основная волна. Центр. Вариант 991 (часть 2).

ЕГЭ по математике 28.06.2017. Основная волна, резервный день. Центр. Вариант 501 (часть 2).

ЕГЭ по математике 28.06.2017. Основная волна, резервный день. Центр. Вариант 502 (часть 2).

ЕГЭ по математике 28.06.2017. Основная волна, резервный день. Центр. Вариант 992 (часть 2).

ЕГЭ по математике 28.06.2017. Основная волна, резервный день. Восток (часть 2).

Все экзаменационные задания ЕГЭ 2017 13 (C1).

Все экзаменационные задания ЕГЭ 2017 14 (C2).

Все экзаменационные задания ЕГЭ 2017 15 (C3).

Все экзаменационные задания ЕГЭ 2017 16 (C4).

Все экзаменационные задания ЕГЭ 2017 17 (C5).

Все экзаменационные задания ЕГЭ 2017 18 (C6).

Все экзаменационные задания ЕГЭ 2017 19 (C7).

Пробный экзамен Санкт-Петербург, 11.04.2017. Вариант 1.

Пробный экзамен Санкт-Петербург, 11.04.2017. Вариант 2.

Типовые тестовые задания по математике под редакцией И. В. Ященко, 2017. Задания С1.

Типовые тестовые задания по математике под редакцией И. В. Ященко, 2017. Задания С2, С4.

Типовые тестовые задания по математике под редакцией И. В. Ященко, 2017. Задания С3.

Типовые тестовые задания по математике под редакцией И. В. Ященко, 2017. Задания С5.

Типовые тестовые задания по математике под редакцией И. В. Ященко, 2017. Задания С6.

Типовые тестовые задания по математике под редакцией И. В. Ященко, 2017. Задания С7.

2015—2016 УЧЕБНЫЙ ГОД

Демонстрационная версия ЕГЭ по математике 2016 года с решениями.

ЕГЭ по математике. Досрочная волна. Вариант А. Ларина (часть 2).

ЕГЭ по математике. Досрочная волна. Вариант (часть 2).

ЕГЭ по математике 28.03.2016. Досрочная волна. Вариант 1.

ЕГЭ по математике 28.03.2016. Досрочная волна. Вариант 2 (часть 2).

ЕГЭ по математике 28.03.2016. Досрочная волна. Вариант 3.

ЕГЭ по математике 28.03.2016. Досрочная волна. Вариант 201 (часть 2).

ЕГЭ по математике 28.03.2016. Досрочная волна. Вариант 202 (часть 2).

ЕГЭ по математике 06.06.2016. Основная волна. Запад. Вариант 410 (часть 2).

ЕГЭ по математике 06.06.2016. Основная волна. Запад. Вариант 412 (часть 2).

ЕГЭ по математике 06.06.2016. Основная волна. Запад (часть 2).

ЕГЭ по математике 06.06.2016. Основная волна. Юг. Вариант 437.

ЕГЭ по математике 06.06.2016. Основная волна. Юг (часть 2).

ЕГЭ по математике 06.06.2016. Основная волна. Вариант 509 (часть 2).

ЕГЭ по математике 06.06.2016. Основная волна. Вариант 512 (часть 2).

ЕГЭ по математике 30.06.2016. Основная волна, резервный день. Запад. Вариант 601 (часть 2).

ЕГЭ по математике 30.06.2016. Основная волна, резервный день. Запад. Вариант 605 (часть 2).

ЕГЭ по математике 30.06.2016. Основная волна, резервный день. Юг. Вариант 608 (часть 2).

ЕГЭ по математике 30.06.2016. Основная волна, резервный день. Юг. Вариант 610 (часть 2).

ЕГЭ по математике 30.06.2016. Основная волна, резервный день. Запад. Вариант 701 (часть 2).

ЕГЭ по математике 30.06.2016. Основная волна, резервный день. Запад. Вариант 703 (часть 2).

Все экзаменационные задания ЕГЭ 2016 13 (C1).

Все экзаменационные задания ЕГЭ 2016 14 (C2).

Все экзаменационные задания ЕГЭ 2016 15 (C3).

Все экзаменационные задания ЕГЭ 2016 16 (C4).

Все экзаменационные задания ЕГЭ 2016 17 (C5).

Все экзаменационные задания ЕГЭ 2016 18 (C6).

Все экзаменационные задания ЕГЭ 2016 19 (C7).

2014—2015 УЧЕБНЫЙ ГОД

Демонстрационная версия ЕГЭ по математике 2015 года с решениями.

ЕГЭ по математике 26.03.2015. Досрочная волна. Восток.

ЕГЭ по математике 26.03.2015. Досрочная волна. Запад.

ЕГЭ по математике 04.06.2015. Основная волна. Вариант 537.

ЕГЭ по математике 04.06.2015. Основная волна. Вариант 538.

Все экзаменационные задания ЕГЭ 2015 13 (C1).

Все экзаменационные задания ЕГЭ 2015 14 (C2).

Все экзаменационные задания ЕГЭ 2015 15 (C3).

Все экзаменационные задания ЕГЭ 2015 16 (C4).

Все экзаменационные задания ЕГЭ 2015 17 (C5).

Все экзаменационные задания ЕГЭ 2015 18 (C6).

Все экзаменационные задания ЕГЭ 2015 19 (C7).

Пробный экзамен Санкт-Петербург 2015. Вариант 1.

Пробный экзамен Санкт-Петербург 2015. Вариант 2.

Пробный экзамен Санкт-Петербург 2015. Кировский район. Вариант 1.

Пробный экзамен Санкт-Петербург 2015. Кировский район. Вариант 2.

2013—2014 УЧЕБНЫЙ ГОД

Проект демонстрационной версии ЕГЭ по математике 2014 года с решениями.

Демонстрационная версия ЕГЭ по математике 2014 года с решениями.

ЕГЭ по математике 28.04.2014. Досрочная волна. Вариант 1.

ЕГЭ по математике 28.04.2014. Досрочная волна. Вариант 2.

ЕГЭ по математике 08.05.2014. Досрочная волна, резервный день. Запад. Вариант 201 (часть 2).

ЕГЭ по математике 08.05.2014. Досрочная волна, резервный день. Запад. Вариант 202 (часть 2).

ЕГЭ по математике 05.06.2014. Основная волна. Запад.

ЕГЭ по математике 05.06.2014. Основная волна. Восток. Вариант А. Ларина.

ЕГЭ по математике 05.06.2014. Основная волна. Восток. Вариант (часть 2).

ЕГЭ по математике 05.06.2014. Основная волна. Запад. Вариант 301 (часть 2).

ЕГЭ по математике 05.06.2014. Основная волна. Запад. Вариант 302 (часть 2).

ЕГЭ по математике 05.06.2014. Основная волна. Запад. Вариант 901 (часть 2).

ЕГЭ по математике 19.06.2014. Основная волна, резервный день. Запад (часть 2).

Все экзаменационные задания ЕГЭ 2014 13 (C1).

Все экзаменационные задания ЕГЭ 2014 14 (C2).

Все экзаменационные задания ЕГЭ 2014 15 (C3).

Все экзаменационные задания ЕГЭ 2014 16 (C4).

Все экзаменационные задания ЕГЭ 2014 18 (C6).

Все экзаменационные задания ЕГЭ 2014 19 (C7).

Пробный экзамен Санкт-Петербург 2014. Вариант 1.

Пробный экзамен Санкт-Петербург 2014. Вариант 2.

2012—2013 УЧЕБНЫЙ ГОД

Демонстрационная версия ЕГЭ по математике 2013 года с решениями.

ЕГЭ по математике 23.04.2013. Досрочная волна. Запад.

ЕГЭ по математике 23.04.2013. Досрочная волна. Восток.

ЕГЭ по математике 03.06.2013. Основная волна. Центр. Вариант 101.

ЕГЭ по математике 03.06.2013. Основная волна. Центр. Вариант 102.

ЕГЭ по математике 03.06.2013. Основная волна. Центр.

ЕГЭ по математике 03.06.2013. Основная волна. Урал. Вариант 203.

ЕГЭ по математике 03.06.2013. Основная волна. Сибирь. Вариант 302.

ЕГЭ по математике 03.06.2013. Основная волна. Восток. Вариант 402.

ЕГЭ по математике 03.06.2013. Основная волна. Восток. Вариант 701.

ЕГЭ по математике 03.06.2013. Основная волна. Восток. Вариант 702.

ЕГЭ по математике 19.06.2013. Основная волна, резервный день. Центр. Вариант 501.

ЕГЭ по математике 19.06.2013. Основная волна, резервный день. Центр. Вариант 502.

ЕГЭ по математике 10.07.2013. Вторая волна. Центр. Вариант 601.

ЕГЭ по математике 10.07.2013. Вторая волна. Центр. Вариант 602.

ЕГЭ по математике. Досрочная волна. Вариант 901.

ЕГЭ по математике. Досрочная волна. Вариант 902.

Все экзаменационные задания ЕГЭ 2013 13 (C1).

Все экзаменационные задания ЕГЭ 2013 14 (C2).

Все экзаменационные задания ЕГЭ 2013 15 (C3).

Все экзаменационные задания ЕГЭ 2013 16 (C4).

Все экзаменационные задания ЕГЭ 2013 18 (C6).

Все экзаменационные задания ЕГЭ 2013 19 (C7).

Источник

Главная
>
Варианты ЕГЭ по математике

Варианты

1. Вспоминай формулы по каждой теме

2. Решай новые задачи каждый день

3. Вдумчиво разбирай решения

Подробнее

Тренировочные варианты ЕГЭ-2018

Вариант № 1 от 11.11.2017

Вариант № 2 от 27.11.2017

Вариант № 3 от 13.01.2018

Вариант № 4 (вторая часть)

Вариант №5 от 06.04.2018

Вариант №6 от 15.04.2018

Пробные ЕГЭ центра «Школково»

Пробный ЕГЭ 03.04.2017

Пробный ЕГЭ 10.04.2017

Тренировочные варианты. Первая часть.

Тренировочный вариант №1

Тренировочный вариант №2

Тренировочный вариант №3

Тренировочный вариант №4

Тренировочный вариант №5

Тренировочный вариант №6

Тренировочные варианты «Школково». Уровень школьник

Тренировочный вариант №1

Тренировочный вариант №2

Тренировочный вариант №3

Тренировочный вариант №4

Тренировочный вариант №5

Тренировочный вариант №6

Тренировочные варианты «Школково». Уровень составитель ЕГЭ

Тренировочный вариант №1

Тренировочный вариант №2

Тренировочный вариант №3

Тренировочный вариант №4

Тренировочный вариант №5

Тренировочный вариант №6

Тренировочный вариант №7

Тренировочный вариант №8

Тренировочный вариант №9

Тренировочный вариант №10

Тренировочные варианты «Школково». Уровень Максим Олегович

Тренировочный вариант №1

Тренировочный вариант №2

Тренировочный вариант №3

Тренировочный вариант №4

Тренировочный вариант №5

Тренировочный вариант №6

Тренировочный вариант №7

ДВИ в МГУ им. М. В. Ломоносова

Вариант 111, июль 2011 года.

Вариант Москва, июль 2014 года.

Вариант Москва, июль 2015 года.

Вариант Ф22, июль 2015 года.

Вариант КМ-15, июль 2015 года.

Вариант Москва, июль 2017 года.

Реальные варианты ЕГЭ 2015

Основная волна

Резервный день. Задания с развернутым ответом

Досрочная волна

Реальные варианты ЕГЭ 2016

Резервный день. Задания с развернутым ответом

Основная волна

Досрочная волна

Реальные варианты ЕГЭ 2017

Досрочная волна. 31 марта 2017

Официальный пробный ЕГЭ. 21 апреля 2017

Досрочная волна. Резерв. 14 апреля 2017

Основная волна. 2 июня 2017. Вторая часть. Вариант 1

Основная волна. 2 июня 2017. Первая и вторая часть. Вариант 2

Основная волна. 2 июня 2017. Первая и вторая часть. Вариант 3

Основная волна. 2 июня 2017. Первая и вторая часть. Вариант 4

Основная волна. 2 июня 2017. Вторая часть. Вариант 5

Резервная волна. 28 июня 2017. Первая и вторая часть. Вариант 1

Резервная волна. 28 июня 2017. Вторая часть. Вариант 2

Реальные варианты ЕГЭ 2018

СтатГрад. Москва. 11 октября 2017

СтатГрад. Москва. 26 января 2018

Досрочная волна. 30 марта 2018

Досрочная волна. Резервный день. 11 апреля 2018

СтатГрад. Москва. 19-23 апреля 2018

Основная волна. Вариант №1. 1 июня 2018

Источник

Критерии

Оценивание

№ задания	1-11	12, 14, 15	13, 16	17, 18	Всего
Баллы	1	2	3	4	31

Экзаменационная работа состоит из двух частей, включающих в себя 18 заданий. Часть 1 содержит 11 заданий базового уровня сложности с кратким ответом. Часть 2 содержит 7 заданий с развёрнутым ответом повышенного и высокого уровней сложности.

На выполнение экзаменационной работы по математике отводится 3 часа 55 минут (235 минут).

Ответы к заданиям 1–11 записываются в виде целого числа или конечной десятичной дроби. Числа запишите в поля ответов в тексте работы, а затем перенесите в бланк ответов № 1, выданный на экзамене!

При выполнении работы Вы можете воспользоваться справочными материалами, выдаваемыми вместе с работой.
Разрешается использовать только линейку, но можно сделать циркуль своими руками. Запрещается использовать инструменты с нанесёнными на них справочными материалами. Калькуляторы на экзамене не используются.

На экзамене при себе надо иметь документ удостоверяющий личность (паспорт), пропуск и капиллярную или гелевую ручку с черными чернилами! Разрешают брать с собой воду (в прозрачной бутылке) и еду (фрукты, шоколадку, булочки, бутерброды), но могут попросить оставить в коридоре.

№ задания	1-11	12, 14, 15	13, 16	17, 18	Всего
Баллы	1	2	3	4	31

На выполнение экзаменационной работы по математике отводится 3 часа 55 минут (235 минут).

Шкалирование

Первичный	Тестовый	Оценка
5-6	27-34	3
7-8	40-46	4
9-10	52-58
11-12-13	64-66-68	5
14-15-16	70-72-74
17-18-19	76-78-80
20-21-22	82-84-86
23-24-25	88-90-92
26-27-28	94-96-98
29-30-31	100

Первичный балл / Тестовый балл	5/27	6/34	7/40	8/46	9/52	10/58	11/64	12/66	13/68	14/70
15/72	16/74	17/76	18/78	19/80	20/82	X / 2X+42	29+ / 100

Источник

Тема 12.

Решение уравнений

Задачи из ЕГЭ прошлых лет

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.

Готовиться с нами — ЛЕГКО!

Подтемы раздела

решение уравнений

Решаем задачи

а) Решите уравнение 27x− 10 ⋅3x+1 + 81-= 0.
3x

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

(ЕГЭ 2023, резерв досрочной волны)

Показать ответ и решение

а) Домножим обе части уравнения на Получим

x x 2x+1
27 ⋅3 − 10⋅3 +81 =0

Преобразуем левую часть:

x x 2x+1 4x 2x
27 ⋅3 − 10⋅3 + 81= 3 − 10 ⋅3 ⋅3+ 81

Заметим, что а Сделаем замену 9x = t. Тогда
получим

pict

Сделаем обратную замену:

pict

б) Сравним полученные корни с концами отрезка Для этого
представим их в виде логарифма по основанию 7:

pict

Теперь нам осталось сравнить √ -
7 и √---
343 с 2 и 15. Вместо этого мы можем
сравнивать квадраты этих положительных чисел, то есть 7 и 343 с 4 и 225. Тогда
имеем:

Таким образом, на отрезке лежит только корень

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Комментарий.

Ответ в задании с развёрнутым ответом – это решение и вывод (называемый
ответом).

a) Решите уравнение ( √- )
log13 cos2x − 9 2cosx− 8 = 0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [ ]
−2π;− π .
2

(ЕГЭ 2023, досрочная волна)

Показать ответ и решение

а) Уравнение равносильно

√- 0
cos2x− 9 2cosx − 8 = 13

Заметим, что в этом уравнении аргумент логарифма равен то есть
положительному числу, следовательно, ограничение «аргумент логарифма должен
быть положительный» выполнено. Преобразуем это уравнение, воспользовавшись
формулой косинуса двойного угла.

Сделаем замену Тогда

√-
2t2− 9 2t− 10= 0
D = 162+ 4⋅2⋅10 =242
√ - √-
9-2±-11-2-
t= 4
√2- √ -
t= − 2 ; 5 2

Сделаем обратну замену. Заметим, что √ -
cosx ⁄=5 2, значит,

√-
-2- 3π-
cosx= − 2 ⇔ x= ± 4 + 2πk, k ∈ ℤ

б) Отберем корни, принадлежащие отрезку [− 2π;− π],
2 с помощью
тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую
отрезку [ π]
− 2π;− 2 , концы этой дуги и принадлежащие ей решения из серий
пункта а).

π5π3π
−−−−2π244-

Следовательно, на отрезке [ ]
− 2π;− π-
2 лежат корни x= − 5π;
4 − 3π-.
4

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Комментарий.

Ответ в задании с развёрнутым ответом – это решение и вывод (называемый
ответом).

a) Решите уравнение: (√- ( ) )
log3 2 cos π− x + sin 2x+ 81 = 4.
2

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [ 5π]
π;2- .

(ЕГЭ 2023, досрочная волна)

Показать ответ и решение

а) Уравнение равносильно

√- (π- ) 4
2 cos 2 − x + sin 2x + 81= 3

Заметим, что в этом уравнении аргумент логарифма равен 34, то есть
положительному числу, следовательно, ограничение «аргумент логарифма должен
быть положительный» выполнено. Преобразуем это уравнение:

√ -
2sin(x√ +2 sinxcos)x= 0
sinx 2+ 2cosx = 0
⌊
⌈sinx =0 √ -
cosx = −--2
⌊ 2
| x= πk, k ∈ℤ
⌈ 3π
x= ± 4-+ 2πk, k ∈ ℤ

б) Отберем корни, принадлежащие отрезку [ 5π ]
π;-2 , с помощью
тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую
отрезку [ 5π ]
π; 2 , концы этой дуги и принадлежащие ей решения из серий пункта
а).

π552πππ
24

Следовательно, на отрезке [ 5π ]
π; 2 лежат корни x = π; 5π
4 ; 2π.

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Комментарий.

Ответ в задании с развёрнутым ответом – это решение и вывод (называемый
ответом).

а) Решите уравнение ( √- )
log4 22x− 3 cosx − sin2x = x.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [ ]
7π
π;2 .

(ЕГЭ 2023, досрочная волна)

Показать ответ и решение

а) Данное уравнение равносильно

2x √- x
2 − 3 cosx − sin2x= 4

Заметим, что в этом случае аргумент логарифма равен положительному числу
4x, следовательно, он больше нуля, то есть выполнено ОДЗ уравнения.
Преобразуем полученное уравнение, заметив, что

√3-cosx +2 sinxcosx =0
√ -
c⌊osx(2sinx + 3)= 0
cosx = 0
|⌈ √3
sinx= − -2-
⌊ x= π-+ πk, k ∈ ℤ
|| 2
|| x= − 2π + 2πk, k ∈ ℤ
|⌈ 3
x= − π-+ 2πk, k ∈ ℤ
3

Полученные значения и есть ответ в пункте а).

б) Отберем корни, принадлежащие отрезку [ ]
π; 7π ,
2 с помощью
тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую
отрезку концы этой дуги и принадлежащие ей решения из серий пункта
а).

π34535πππππ
3322
717π0ππ
3π223-

Следовательно, на отрезке [ 7π ]
π;-2 лежат корни 4π
x = 3-; 3π
-2 ; 5π
-3 ; 5π
2-;
10π
3 ; 7π
2 .

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Комментарий.

Ответ в задании с развёрнутым ответом – это решение и вывод (называемый
ответом).

а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [ ]
π; 5π .
2

(ЕГЭ 2023, досрочная волна)

Показать ответ и решение

а) Сделаем замену Тогда уравнение примет вид

2 1
2t − 5t+ 2= 0 ⇔ t = 2;2

Сделаем обратную замену:

⌊
log3(2 cosx)= 1 [2 cosx = √3
⌈ 2 ⇔ 2 cosx = 9
log3(2 cosx)= 2

Первое уравнение совокупности равносильно

√ -
cosx= --3 ⇔ x = ±π-+ 2πk, k ∈ ℤ
2 6

Второе уравнение не имеет решений, так как Следовательно,
ответ в пункте а): x = ±π-+ 2πk, k ∈ℤ.
6

б) Отберем корни, принадлежащие отрезку [ 5π ]
π;-2 , с помощью
тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую
отрезку [ ]
5π
π; 2 , концы этой дуги и принадлежащие ей решения из серий пункта
а).

511π13ππ
π266-

Следовательно, на отрезке [ ]
π; 5π
2 лежат корни x = 11π
6 и x = 13π.
6

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Комментарий.

Ответ в задании с развёрнутым ответом – это решение и вывод (называемый
ответом).

а) Решите уравнение

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [ ]
3π; 9π .
2

(ЕГЭ 2022, основная волна)

Показать ответ и решение

а) По формуле синуса двойного угла Тогда

б) Проведём отбор корней на числовой окружности:

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Комментарий.

Ответ в задании с развёрнутым ответом – это решение и вывод (называемый
ответом).

а) Решите уравнение

б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку [ ]
5π;4π .
2

(ЕГЭ 2022, основная волна)

Показать ответ и решение

а) По формуле косинуса двойного угла

Отсюда Так как то

2cos2x − 3 sin(− x)− 3= 0
2
2 − 2 sin x+ 3sin x− 3= 0
2sin2x − 3sinx +1 = 0

Пусть Тогда 2 2
sin x = t. Решим уравнение относительно новой
переменной:

2
2t − 3t+ 1 =0
D = 32− 4⋅2⋅1= 1

t1,2 = 3±-1
4
t1 = 1
1
t2 = 2

Сделаем обратную замену:

⌊
⌊sinx = 1 x= π2 + 2πk, k ∈ ℤ
⌈ ⇔ |⌈x= π6 + 2πk, k ∈ ℤ
sinx = 12 x= 5π6 +2πk, k ∈ ℤ

б) Проведём отбор корней на числовой окружности:

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Комментарий.

Ответ в задании с развёрнутым ответом – это решение и вывод (называемый
ответом).

а) Решите уравнение

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [ ]
π-;2π .
2

(ЕГЭ 2022, основная волна)

Показать ответ и решение

а) По формуле косинуса двойного угла Так как
то

Решим уравнение:

1− 2sin2x − sinx− 1 =0

2sin2x + sinx =0
sin x(2 sinx+ 1)= 0
[
sinx = 0
2sin x+ 1= 0
[
sin x= 0
sin x= − 12
⌊
x =πk, k ∈ ℤ
|⌈x = 7π6-+ 2πk, k ∈ ℤ
x = 116π-+2πk, k ∈ ℤ

б) Длина отрезка [π ]
2;2π равна π
2π− 2-= 1,5π.

Рассмотрим решения вида x= πk. Разность между соседними членами серии
равна значит, на отрезке [ ]
π;2π
2 не более двух корней. Это числа и 2π,
так как

π π
2 ≤ π ≤ 2π и 2-≤ 2π ≤ 2π

Соседние члены серий и отличаются на 2πk,
значит, в каждой серии не более одного решения уравнения, принадлежащего
отрезку [π ]
-2;2π .

π-≤ 7π≤ 2π и π-≤ 11π≤ 2π,
2 6 2 6

следовательно, эти числа — корни уравнения, принадлежащие данному
отрезку.

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Комментарий.

Ответ в задании с развёрнутым ответом – это решение и вывод (называемый
ответом).

а) Решите уравнение 2
2sin x − cos(−x)− 1= 0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [ π]
−π;2- .

(ЕГЭ 2022, основная волна)

Показать ответ и решение

a) Пользуясь четностью косинуса и основным тригонометрическим тождеством, имеем:

2 2
2sin x− cos(−x)− 1= 0 ⇔ 2sin x− cosx − 1= 0 ⇔

( 2 ) 2
⇔ 2 1 − cos x − cosx − 1= 0 ⇔ 2cos x+ cosx − 1= 0 ⇔

⌊ 1 ⌊ π
⇔ ⌈cosx = 2 ⇔ ⌈x = ±3-+ 2πk, k ∈ℤ
cosx = −1 x = π+ 2πk, k ∈ℤ

б) Отметим данный отрезок на тригонометрической окружности:

В указанном отрезке находятся π π
x = −π;−-3;3.

Ответ:

а) π-
± 3 + 2πk, π+ 2πk, k ∈ ℤ

б) − π, ±π-
3

а) Решите уравнение 2log2(sinx) ---5----
5 2 = 5log2(sinx).

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [ ]
π; 5π .
2

(ЕГЭ 2022, основная волна)

Показать ответ и решение

а) Пользуясь свойством степени, имеем:

Так как — возрастающая функция, можем перейти к уравнению на показатели степеней:

Получили обычное квадратное уравнение относительно которое можно решить введением замены

⌊
2 ( 1 ) t= −1
2t = 1− t ⇔ (t+1) t− 2 = 0 ⇔ ⌈ 1
t= 2

Сделаем обратную замену, учитывая, что ОДЗ изначального уравнения

У полученного уравнения нет решений, так как .

б) Отметим отрезок [ 5π]
π;2 на тригонометрической окружности:

В указанный отрезок попадает только π- 13π
x = 2π+ 6 = 6 .

Ответ:

а) π- 5π-
6 + 2πk, 6 + 2πk, k ∈ℤ

б) 13π
6

а) Решите уравнение

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [ ]
2π; 7π .
2

(ЕГЭ 2022, основная волна)

Показать ответ и решение

a) Запишем исходное уравнение в виде:

Отсюда имеем:

или

1 π 5π
sinx= − 2 ⇒ x = −6-+ 2πk, k ∈ ℤ или x= − 6-+ 2πk, k ∈ℤ

б) Определим, какие корни в каждой из серий решений принадлежат отрезку [ ]
2π; 7π .
2

Пусть Тогда

Значит,
Пусть Тогда

Такого целого не существует.
Пусть Тогда

Значит,

Значит, на отрезке [ ]
2π; 7π
2 лежат только корни x= 2π и x = 19π.
6

Ответ:

а) π- 5π
2πk, −6 + 2πk, − 6 + 2πk, k ∈ℤ

б) 2π, 19π-
6

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Комментарий.

Ответ в задании с развёрнутым ответом – это решение и вывод (называемый
ответом).

а) Решите уравнение

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [ ]
3π; 9π .
2

(ЕГЭ 2022, основная волна)

Показать ответ и решение

а) Пользуясь формулой косинуса двойного угла и нечетностью синуса, имеем:

pict

б) Определим, какие корни в каждой из серий решений принадлежат отрезку

Пусть Тогда

Значит,
Пусть Тогда

Значит,
Пусть Тогда

Такого целого не существует.

Значит, на отрезке [ 9π]
3π;2- лежат только корни 25π
x= -6- и 9π
x= -2 .

Ответ:

а) π- π- 5π-
2 + 2πk, 6 + 2πk, 6 + 2πk, k ∈ℤ

б) 25π, 9π
6 2

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Комментарий

Ответ в задании с развёрнутым ответом – это решение и вывод (называемый ответом).

а) Решите уравнение

б) Определите, какие из его корней принадлежат отрезку [ ]
−4π;− 5π .
2

(ЕГЭ 2022, досрочная волна)

Показать ответ и решение

а) Пусть Тогда

cosx ( 2)cosx cosx2 2
81 = 9 = (9 ) = t

Решим уравнение относительно новой переменной:

2
t− 12t+ 27= 0
D = 122 − 4 ⋅27 = 36= 62
12± 6
t1,2 =--2--

t1 = 9
t2 = 3

Сделаем обратную замену:

⌊ ⌊
9cosx = 9 9cosx = 91
⌈ cosx ⇔ ⌈ cosx 1 ⇔
9 = 3 9 = 92
⌊ [
⇔ ⌈cosx = 1 ⇔ x = 2πk, k ∈ℤ
cosx = 12 x = ±π3 + 2πk, k ∈ ℤ

б) Проведём отбор корней на числовой окружности:

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Комментарий.

Ответ в задании с развёрнутым ответом – это решение и вывод (называемый
ответом).

a) Решите уравнение cosx cosx
2⋅16 − 9⋅4 + 4= 0.

б) Определите, какие из его корней принадлежат отрезку [ ]
−3π;− 3π .
2

(ЕГЭ 2022, досрочная волна)

Показать ответ и решение

а) Обозначим cosx
t= 4 , тогда имеем:

cosx ( 2)cosx cosx 2 2
16 = 4 =(4 ) = t

Уравнение примет вид:

pict

Сделаем обратную замену:

pict

б)

[ ]
x∈ −3π;− 3π ⇔ −3π ≤x ≤ − 3π
2 2

Отберем корни с помощью неравенств:

pict

Ответ:

а) 2π 2π
2πk; 3 + 2πk; − 3 +2πk, k ∈ ℤ

б) − 8π ; −2π
3

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Комментарий.

Ответ в задании с развёрнутым ответом – это решение и вывод (называемый
ответом).

a) Решите уравнение sinx sin(π+x) 5
4 + 4 = 2.

б) Определите, какие из его корней принадлежат отрезку [ ]
5π;4π .
2

(ЕГЭ 2022, досрочная волна)

Показать ответ и решение

а) Заметим, что по формуле приведения , тогда имеем:

sinx − sinx 5
4 + 4 = 2

Обозначим , тогда . Уравнение примет вид:

pict

Найдем корни квадратного уравнения:

pict

Тогда решаемая система равносильна системе

pict

Сделаем обратную замену:

pict

б)

[ 5π ] 5π
x ∈ 2-;4π ⇔ 2- ≤x ≤ 4π

Отберем подходящие корни методом неравенств:

pict

Ответ:

а) π- π-
x = 6 +πk, k ∈ ℤ; − 6 + πk, k ∈ ℤ

б) 17π, 19π, 23π
6 6 6

а) Решите уравнение

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [ ]
− 4π;− 5π .
2

(ЕГЭ 2022, резервная волна)

Показать ответ и решение

а)

log(sin x+ sin2x+ 16)= 2
4 4
sin x+ sin2x +16 =2
sin x+ 2sinx cosx +16 = 16
sinx+ 2sin xcosx= 0

sin x(1 +2 cosx)= 0
[sinx = 0
1+ 2cosx= 0
[
sin x= 0
cosx= − 12
[
x= πk, k ∈ ℤ
x= ± 2π3-+ 2πk, k ∈ ℤ

б) Отберём корни с помощью двойных неравенств.

Найдём решения вида принадлежащие отрезку [ ]
−4π;− 5π :
2

2π 5π-
−4π ≤ 3 + 2πk ≤ − 2
−24π ≤ 4π +12πk ≤− 15π

−28π ≤ 12πk ≤− 19π
− 28≤ 12k ≤ −19

− 7≤ k ≤ − 19
3 12

Так как то единственное удовлетворяющее неравенству, — это
Тогда x = 2π − 4π = − 10π.
3 3

Найдём решения вида 2π
x = − 3 + 2πk, принадлежащие отрезку [ ]
5π
− 4π;− 2 :

−4π ≤ − 2π +2πk ≤ − 5π
3 2
−24π ≤ −4π+ 12πk ≤ −15π
−20π ≤ 12πk ≤− 11π

− 20≤ 12k ≤ −11
5 11
− 3 ≤ k ≤ −12

Так как то единственное удовлетворяющее неравенству, — это
В этом случае 2π
x =− -3 − 2π = −d8π3 .

Найдём решения вида принадлежащие отрезку [ 5π ]
−4π;− 2 :

− 4π ≤ πk ≤ − 5π
2
−4 ≤k ≤ − 5
2

и соответствуют данному промежутку. Значит, и
— решения серии, принадлежащие данному отрезку.

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Комментарий.

Ответ в задании с развёрнутым ответом – это решение и вывод (называемый
ответом).

а) Решите уравнение (√ - )
log6 3cosx+ sin2x+ 6 = 1.

б) Укажите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [ ]
π; 5π .
2

(ЕГЭ 2022, резервная волна)

Показать ответ и решение

а) Исходное уравнение равносильно системе

({ √-
√3cosx +sin 2x+ 6= 6 ⇔ √3-cosx + sin2x= 0 ⇔ cosx(√3+ 2sinx)= 0
( 3cosx +sin 2x+ 6> 0

Решением уравнения являются π-
x= 2 + πn, n ∈ ℤ.

Решением уравнения √ -
sinx = −--3
2 являются x= − π-+2πn
3 и x= − 2π-+ 2πn, n ∈ℤ.
3

б) Отберем корни по окружности.

В указанном отрезке лежат точки π- 4π 3π π- 5π 5π
π + 3 = 3 ; 2 ; 2π− 3 = 3 ; 2 .

Ответ:

а) π- π- 2π
2 + πn, −3 + 2πn, − 3 + 2πn, n ∈ ℤ

б) 4π, 3π , 5π, 5π
3 2 3 2

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Комментарий.

Ответ в задании с развёрнутым ответом – это решение и вывод (называемый
ответом).

a) Решите уравнение

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [ 7π ]
− 2 ;−2π .

(ЕГЭ 2021, основная волна)

Показать ответ и решение

3 √- √-
2sin x+ 2cos2x+ sinx= 2

Распишем косинус двойного угла по формуле: и подставим в уравнение:

pict

Ответ: πk;π+ 2πk;3π-+ 2πk,k∈ ℤ
4 4

б) Отберем подходящие корни с помощью неравенств.

− 7π ≤x ≤− 2π
2

pict

Ответ: 13π
− 2π;− 3π;− -4-

Ответ:

a) πk;π +2πk;3π+ 2πk,k ∈ℤ
4 4

б) 13π
− 2π;−3π;− 4

a) Решите уравнение 3 √ - √-
4cosx − 2 3cos2x+ 3cosx= 2 3.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [ ]
2π; 7π .
2

(ЕГЭ 2021, основная волна)

Показать ответ и решение

a) Распишем косинус по формуле двойного угла 2
cos2x =2 cos x− 1 и подставим в исходное уравнение:

pict

б) Отберем подходящие корни с помощью неравенств.

pict

Ответ:

a) π- π- 11π-
6 + 2πk; 2 + πk; 6 + 2πk, k ∈ℤ

б) 5π; 13π; 7π
2 6 2

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Комментарий.

Ответ в задании с развёрнутым ответом – это решение и вывод (называемый
ответом).

a) Решите уравнение ( π) √-
cos 2x− 2 = 3cosx.

6) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [ ]
π; 5π .
2

(ЕГЭ 2021, основная волна)

Показать ответ и решение

а) Преобразуем левую часть уравнения:

( π) (π )
cos 2x− 2- = cos 2-− 2x = sin2x= 2sinxcosx

Подставим полученное выражение в исходное уравнение:

pict

б) Отберем подходящие корни с помощью неравенств.

pict

Ответ:

a) π- π- 2π
πk + 2; 3 + 2πk; 3 + 2πk, k ∈ℤ

б) 3π; 5π ; 7π
2 2 3

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Комментарий

Ответ в задании с развёрнутым ответом – это решение и вывод (называемый ответом).

Источник

МАТЕМАТИКА

2022—2023 УЧЕБНЫЙ ГОД

2021—2022 УЧЕБНЫЙ ГОД

2020—2021 УЧЕБНЫЙ ГОД

2019—2020 УЧЕБНЫЙ ГОД

2018—2019 УЧЕБНЫЙ ГОД

2017—2018 УЧЕБНЫЙ ГОД

2016—2017 УЧЕБНЫЙ ГОД

2015—2016 УЧЕБНЫЙ ГОД

2014—2015 УЧЕБНЫЙ ГОД

2013—2014 УЧЕБНЫЙ ГОД

2012—2013 УЧЕБНЫЙ ГОД

Критерии

Оценивание

Шкалирование

ЕГЭ (АРХИВ)

Задачники ЕГЭ 2022 — базовый уровень

Задание 01. Действия с дробями

Задание 02. Текстовые задачи (простейшие)

Задание 03. Размеры и единицы измерения

Задание 04. Графики и диаграммы

Задание 05. Площадь

Задание 06. Текстовые задачи (проценты)

Задание 07. Вычисления и преобразования

Задание 08. Преобразование выражений (формулы)

Задание 09. Уравнения

Задание 10. Прикладная планиметрия

Задание 11. Теория вероятностей

Задание 12. Выбор оптимального варианта

Задание 13. Прикладная стереометрия

Задание 14. Анализ графиков и таблиц

Задание 15. Планиметрия

Задание 16. Стереометрия

Внимание! Скачивая материалы с этого сайта, Вы принимаете условия Пользовательского Соглашения!

Задачники ЕГЭ 2022 — профильный уровень

Задание 01. Простейшие уравнения

Задание 02. Теория вероятностей

Задание 03. Планиметрия

Задание 04. Значение выражения

Задание 05. Стереометрия

Задание 06. Производная и первообразная

Задание 07. Задачи с прикладным содержанием

Задание 08. Текстовые задачи

Задание 09. Функции

Задание 10. Теория вероятностей (повыш. сложность)

Задание 11. Исследование функций

Задание 12. Уравнения

Задание 13. Стереометрия

Задание 14. Неравенства

Задание 15. Финансовая математика

Задание 01-15. ЕГЭ 2022 Задачники

Задание 17. Числа и неравенства

Задание 18. Анализ утверждений

Задание 19. Цифровая запись числа

Задание 20. Текстовая задача

Задание 21. Задачи на смекалку

Задание 01-21. ЕГЭбаз 2022 Задачники

Задачники ЕГЭ 2021 — базовый уровень

Задание 01. Действия с дробями

Задание 02. Действия со степенями

Задание 03. Простейшие текстовые задачи (проценты)

Задание 04. Преобразование выражений (формулы)

Задание 05. Вычисления и преобразования

Задание 06. Простейшие текстовые задачи

Задание 07. Уравнения

Задание 08. Прикладная планиметрия

Задание 09. Единицы измерения

Задание 10. Начала теории вероятностей

Задание 11. Графики и диаграммы

Задание 12. Выбор оптимального варианта

Задание 13. Прикладная стереометрия

Задание 14. Анализ графиков и диаграмм

Задание 15. Планиметрия

Задание 16. Стереометрия

Задание 17. Числа и неравенства

Задание 18. Анализ утверждений

Задание 19. Цифровая запись числа

Задание 20. Задачи на смекалку

Задание 01-21. ЕГЭбаз 2021 Задачники

Задачники ЕГЭ 2021 — профильный уровень

Внимание!
Скачивая материалы с этого сайта, Вы принимаете условия
Пользовательского Соглашения!