Как найти вектор электрического смещения

3.4. Вектор электрического смещения

Разобравшись с поведением диэлектрика на микроскопическом уровне, вернемся к плоскому конденсатору, изображенному на рис. 3.3. Откуда же взялись поляризационные заряды на поверхности диэлектрической пластины между обкладками?

Теперь мы знаем, что во внешнем поле, создаваемом обкладками, единица объема диэлектрика приобретает дипольный момент Р. Скажем, положительные заряды смещаются по направлению поля (вверх на рис. 3.3), а отрицательные — вниз. При полной однородности поля и диэлектрика объемные нескомпенсированные заряды внутри диэлектрика не появляются. Но такой сдвиг приводит к возникновению нескомпенсированных зарядов на поверхности диэлектрической пластины. Дипольный момент пластины равен VР, где V = Sd — ее объем. С другой стороны, полный поверхностный заряд на пластине равен

а расстояние между центрами положительных и отрицательных зарядов равно d (см. рис. 3.3). Поэтому дипольный момент пластины можно также записать как

Сравнивая эти два выражения, находим связь поверхностной плотности поляризационных зарядов с вектором поляризации

Напряженность Е суммарного поля внутри диэлектрика меньше напряженности поля E₀, создаваемого обкладками. Именно поле Е действует на молекулы диэлектрика, именно его они «чувствуют», и потому для него справедливо соотношение (3.22)

Используя связь (3.3) напряженности поля Е ‘ поляризационных зарядов с суммарным полем Е

мы находим связь между диэлектрической проницаемостью и диэлектрической восприимчивостью

В общем случае вектор поляризации Р не параллелен вектору напряженности суммарного поля Е: в анизотропных диэлектриках вектор поляризации может поворачиваться относительно напряженности поля. Однако всегда мы можем записать соотношение

называется вектором электрического смещения (вектором электрической индукции).

В частном случае линейной зависимости поляризации от напряженности поля

вектор электрического смещения равен

где — диэлектрическая проницаемость среды. Соотношение

имеет место для изотропных диэлектриков. В общем случае вектор D не параллелен Е. Поле вектора D можно графически изобразить линиями электрического смещения, которые определяются так же, как и линии напряженности электрического поля (рис 3.23 и 3.24).

Рис. 3.23. Условия на плоской границе двух диэлектриков для напряженности и электрического смещения

Рис. 3.24. Линии напряженности и электрического смещения электрического поля
от точечного заряда, расположенного на границе раздела двух диэлектриков

В СИ единицей измерения электрического смещения является:

Вектор электрической индукции

Вектором электрической индукции (электрического смещения) D → называют физическую величину, определяемую по системе С И :

D → = ε 0 E → + P → , где ε 0 — электрическая постоянная, E → — вектор напряженности, P → — вектор поляризации.

Вектор электрического смещения в СНС определяется как:

Вектор индукции

Значение вектора D → не является только полевым, потому как он учитывает поляризованность среды. Имеется связь с объемной плотностью заряда, выражаемая соотношением:

По уравнению d i v D → = ρ видно, что для D → единственным источником будут являться свободные заряды, на которых данный вектор начинается и заканчивается. В точках с отсутствующими свободными зарядами вектор электрической индукции является непрерывным. Изменения напряженности поля, вызванные наличием связанных зарядов, учитываются в самом векторе D → .

Связь вектора напряженности и вектора электрического смещения

При наличии изотропной среды запись связи вектора напряженности и вектора электрического смещения запишется как:

D → = ε 0 E → + ε 0 χ E → = ε 0 + ε 0 χ E → = ε ε 0 E → .

Где ε – диэлектическая проницаемость среды.

Наличие D → способствует облегчению анализа поля при наличии диэлектрика. Используя теорему Остроградского-Гаусса в интегральном виде с диэлектриком, фиксируется как:

Проходя через границу разделов двух диэлектриков для нормальной составляющей, вектор D → может быть записан:

D 2 n — D 1 n = σ

n 2 → D 2 → — D 1 → = σ ,

где σ – поверхностная плотность распределения зарядов на границе диэлектриков, n 2 → — нормаль, проведенная в сторону второй среды.

Формула тангенциальной составляющей:

D 2 τ = ε 2 ε 1 D 1 τ .

Единица вектора электрической индукции измеряется в системе С И как К л м 2 .

Поле вектора D → изображается при помощи линий электрического смещения.

Определение направления и густоты идет аналогично линиям вектора напряженности. Но линии вектора электрической индукции начинаются и заканчиваются только на свободных зарядах.

Имеются пластины плоского конденсатора с зарядом q . Произойдет ли изменение вектора электрической индукции при заполненном воздухом пространстве между пластинами и диэлектрика с диэлектрической проницаемостью ε ≠ ε υ o z d .

Поле конденсатора в первом случае характеризовалось вектором смещения ε v o z d = 1 , то есть D 1 → = ε v o z d ε 0 E 1 → = ε 0 E 1 → .

Необходимо заполнить пространство между пластинами конденсатора однородным и изотропным диэлектриком. При наличии поля в конденсаторе диэлектрик поляризуется. Тогда начинают появляться связанные заряды с плотностью σ s υ на его поверхности. Создается дополнительное поле с напряженностью:

Векторы полей E → ‘ и E 1 → имеют противоположные направления, причем:

Запись результирующего поля с диэлектриком примет вид:

E = E 1 — E ‘ = σ ε 0 — σ s υ ε 0 = 1 ε 0 σ — σ s υ .

Формула плотности связанных зарядов:

Произведем подстановку σ s υ = χ ε 0 E в E = E 1 — E ‘ = σ ε 0 — σ s υ ε 0 = 1 ε 0 σ — σ s υ , тогда:

Далее выражаем из ( 1 . 6 ) напряженность поля Е . Формула принимает вид:

E = E 1 1 + χ = E 1 ε .

Отсюда следует, что значение вектора электрической индукции в диэлектрике равняется:

D = ε ε 0 E 1 ε = ε 0 E 1 = D 1 .

Ответ: вектор электрической индукции не изменяется.

Была внесена пластина из диэлектрика с диэлектрической проницаемостью ε без свободных зарядов в зазор между разноименными заряженными пластинами. На рисунке 1 показана при помощи штриховой линии замкнутая поверхность. Определить поток электрической индукции Φ D через эту поверхность.

Рисунок 1 . Замкнутая поверхность

Формула записи потока вектора электрического смещения Φ D через замкнутую поверхность S :

Φ D = ∫ S D → · d S → .

Используя теорему Остроградского-Гаусса, можно сказать, что Φ D равняется суммарному свободному заряду, находящемуся внутри заданной поверхности. Из условия видно отсутствие свободных зарядов в диэлектрике и в имеющемся пространстве между пластинами конденсатора, а поток вектора индукции равняется нулю.

Изображена замкнутая поверхность S , проходящая с захватом части пластины изотропного диэлектрика на рисунке 2 . Поток вектора электрической индукции через нее равняется нулю, а поток вектора напряженности > 0 . Какой вывод можно сделать из данной задачи?

Рисунок 2 . Замкнутая поверхность с захватом части пластины изотропного диэлектрика

Из условия имеем, что поток вектора электрического смещения Φ D через замкнутую поверхность равняется нулю, то есть:

Если использовать теорему Остроградского-Гаусса, то значение Φ D – это суммарный свободный заряд, находящийся внутри заданной поверхности. Следует, что внутри такой поверхности отсутствуют свободные заряды:

Φ D = ∫ S D → · d S → = Q = 0 .

Имеем, что поток вектора напряженности не равен нулю, но он считается как сумма свободных и связанных зарядов. Отсюда вывод – диэлектрик содержит связанный заряды.

Ответ: свободные заряды отсутствуют, а связанные есть, причем с положительной их суммой.

Векторы поляризованности и смещения

В предыдущей статье было показано, что вследствие поляризации диэлектрика, т. е. смещения его связанных зарядов, изменяется напряженность электрического поля. Результирующее влияние диэлектрика на электрическое поле оценивают векторной величиной, называемой поляризованностью Р (вектором поляризации).

Средняя интенсивность поляризации P_ср определяется как сумма дипольных моментов в единице объема диэлектрика, а чтобы найти поляризованность в данном месте поля, надо выбрать достаточно малый объем ΔV:

Единица измерения поляризованности

[P] = [ql/V] = Кл*м/м 3 = Кл/м 2.

Вектор поляризации направлен навстречу вектору напряженности электрического поля связанных зарядов E_п.(рис. 4.12).
Вектор поляризации для большинства диэлектриков (за исключением группы сегнетоэлектриков) пропорционален напряженности электрического поля:

и его направление совпадает с направлением внешнего E_вн и результирующего Е полей (риc. 4.12).

Коэффициент k называется электрической восприимчивостью диэлектрика и характеризует его способность поляризоваться.

При расчетах электрических полей в диэлектриках с различными диэлектрическими проницаемостями пользуются еще вектором электрического смещения.

Электрическое смещение D связано с напряженностью электрического ноля простым соотношением

откуда можно определить единицу намерения электрического смещения:

которая такая же, как у вектора, поляризации и у поверхностной плотности зарядов на электродах.

Электрическое смещение и поверхностная плотность свободных зарядов численно одинаковы на поверхности всех проводящих тел, находящихся в электростатическом поле. Например, у внутренней поверхности пластины плоского конденсатора (рис. 4.8) напряженность однородного электрического поля, как и в любой точке однородного поля (4.10),

а электрическое смещение в любой точке поля, в том числе и у металлической поверхности,

т. е. совпадает с поверхностной плотностью заряда на пластине.

Из (2а) следует, что при заданной плотности поверхностных свободных зарядов на электродах электрическое смещение в однородном диэлектрике с диэлектрической проницаемостью ε_a не зависит от ε_a, а напряженность электрического поля зависит. Поэтому можно сказать, что на напряженность электрического поля определяется и свободными (на электродах) и связанными (в диэлектриках) зарядами, т. е. поляризацией диэлектрика, а электрическое смещение в однородном диэлектрике не зависит от связанных зарядов.

Связь между тремя векторными величинами, характеризующими электрическое поле в диэлектрике, выражается равенством

Приняв во внимание (1) и (2), получим

откуда диэлектрическая проницаемость

а электрическая восприимчивость

Рис.1 Поле заряженного шара

Рассмотрим еще неоднородное электрическое поле заряженного металлическою шара (рис. 1), радиус которого R_ш. Известно, что электрический заряд Q находится на поверхности такого шара. Поверхностная плотность заряда

Поле металлического шара с зарядом Q совпадает вне шара с полем равного ему по значению точечного заряда Q, расположенного в центре шара (4.8); поэтому напряженность поля на расстоянии R от центра шара и в частности, у его наружной поверхности, т.е. при R = R_ш,

а электрическое смещение

т. е. равно поверхностной плотности заряда.

Внутри металлического шара поля нет, как и во всяком проводнике в условиях электростатики , Поэтому потенциалы всех точек шара одинаковые, т. е. шар — эквипотенциальное тело, как и всякое металлическое тело в электростатическом поле.

Аналогично потоку вектора напряженности поля (4.7) применяется понятие потока вектора электрического смешения.

Поток вектора смещения N_D в однородном поле равен произведению численного значения вектора смещения D и площадки S, во всех точках которой вектор смещения имеет одинаковое значение и направлен перпендикулярно к ней, т. е.

При неоднородном поле произвольную поверхность площадью S разбивают на элементарные, в пределах каждой на которых смещение одинаково; так что поток вектора
смещения через такую элементарную площадку

где D_n— нормальная составляющая вектора смещения (перпендикулярная к элементарной площадке).

Поток вектора смещения через произвольную замкнутую поверхность находится суммированием элементарных потоков:
Так как D = ε_aE и соответственно D_n = ε_aE_n, то поток вектора смещения

В частности, в случае шаровой поверхности

Таким образом, поток вектора электрического смещения через шаровую поверхность равен заряду, расположенному внутри поверхности.

Полученное выражение N_D = Q справедливо для замкнутой поверхности любой формы, охватывающей заряд как в однородной среде с ε_r = const, так и в среде, диэлектрическая проницаемость которой неодинакова в различных участках среды, например в двухслойном конденсаторе.

На поверхности шара,

откуда определяется электрическое смещение у поверхности шара: что согласуется с (5).

Электрическое
поле в диэлектрической среде создается
как свободными, так и связанными зарядами,
так что вектор напряженности E,
характеризующий результирующее поле
в диэлектрике,

.

Если
обозначить объемную плотность свободных
зарядов ,
а связанных зарядов,
то присутствие связанных зарядов
отразится в теореме Гаусса следующим
образом:

,

в
дифференциальной форме, либо в интегральной
форме

.

С
учетом выражения (2.1)

,

откуда
для вектора электрического смещения
(индукции) находим

.

Последнее
выражение показывает, что вектор
электрической индукции учитывает
поляризованность среды. Возвращаясь к
соответствующим формулировкам теоремы
Гаусса

; ,

можно
видеть, что вектор
электрического смещения
характеризует источники
электрического поля, т. е. свободные
заряды,
на которых этот вектор начинается и
заканчивается. Так как ,
то.Напряженность
электрического поля характеризует как
свободные, так и связанные заряды,
поэтому вектор напряженности терпит
разрывы на границах областей, где
присутствуют связанные заряды, например
на границе раздела двух диэлектриков
с различными .

10. Равновесие зарядов на проводнике.

Все
вещества в соответствии с их способностью
проводить электрический ток подразделяются
на проводники, диэлектрики и полупроводники.
Проводниками называют вещества, в
которых электрически заряженные частицы
— носители
заряда—
способны свободно перемещаться по всему
объему вещества. К проводникам относятся
металлы, растворы солей, кислот и щелочей,
расплавленные соли, ионизированные
газы.Ограничим
рассмотрение твердыми
металлическими проводниками,
имеющимикристаллическую
структуру.
Эксперименты показывают, что при очень
малой разности потенциалов, приложенной
к проводнику, содержащиеся в нем электроны
проводимости, приходят в движение и
перемещаются по объему металлов
практически свободно.В
отсутствие внешнего электростатического
поля электрические поля положительных
ионов и электронов проводимости взаимно
скомпенсированы, так что напряженность
внутреннего результирующего поля равна
нулю.При
внесении металлического проводника во
внешнее электростатическое поле с
напряженностью Е₀ на
ионы и свободные электроны начинают
действовать кулоновские силы, направленные
в противоположные стороны. Эти силы
вызывают смещение заряженных частиц
внутри металла, причем в основном
смещаются свободные электроны, а
положительные ионы, находящиеся в узлах
кристаллической решетки, практически
не меняют своего положения. В результате
внутри проводника возникает электрическое
поле с напряженностью Е^‘.Смещение
заряженных частиц внутри проводника
прекращается тогда, когда суммарная
напряженность поля Е в
проводнике, равная сумме напряженностей
внешнего и внутреннего полей, станет
равной нулю:

Представим
выражение, связывающее напряженность
и потенциал электростатического поля,
в следующем виде:

где Е —
напряженность результирующего поля
внутри проводника; n —
внутренняя нормаль к поверхности
проводника. Из равенства нулю результирующей
напряженности Е следует,
что в пределах
объема проводника потенциал имеет одно
и то же значение: .Полученные
результаты позволяют сделать три важных
вывода:1.
Во всех точках внутри проводника
напряженность поля ,
т. е. весь объем проводникаэквипотенциален.2.
При статическом распределении зарядов
по проводнику вектор напряженности Ена
его поверхности должен быть направлен
по нормали к поверхности ,
в противном случае под действием
касательной к поверхности проводника
компоненты напряженности заряды
должны перемещаться по проводнику.3.
Поверхность проводника также
эквипотенциальна, так как для любой
точки поверхности

 

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Что такое вектор электрической индукции

«Вектор электрической индукции» 👇

Вектор электрической индукции, теория и онлайн калькуляторы

Вектор электрической индукции

Допустим, что одно вещество имеет диэлектрическую проницаемость равную ${varepsilon }_1$, а вторая ${varepsilon }_2$, тогда нормальная составляющая вектора напряженности электростатического поля ($E_n$) уменьшается во столько раз, во сколько увеличивается диэлектрическая проницаемость среды:

[{varepsilon }_1E_{n1}={varepsilon }_2E_{n2}left(1right),]

где $E_{n1}$ — нормальная компонента напряженности поля в веществе 1; $E_{n2}$ — нормальная составляющая электростатического поля во втором веществе. Отметим, что при переходе из одного вещества в другое тангенциальная компонента вектора напряженности ($E_{tau }$) изменяется без скачка. Говорят, что на границе двух веществ происходит «преломление» силовых линий поля.

Для сохранения всех преимуществ, которые дает теорема Остроградского — Гаусса при рассмотрении электростатического поля в вакууме, в веществе вводят физическую величину, которая не испытывает скачка при переходе из одного вещества в другое с разными $varepsilon $.

Так как при переходе из вакуума в вещество с диэлектрической проницаемостью равной $varepsilon $ число силовых линий уменьшается в $varepsilon $ раз, то векторная величина, равная:

[overline{D}=varepsilon {varepsilon }_0overline{E}(2)]

будет оставаться неизменной при переходе из одного вещества в другое.

Определение вектора электрической индукции

Выражение (3) является наиболее общим определение вектора
электрической индукции (вектора электрического смещения). Для большинства диэлектриков (исключением являются,
например, сегнетоэлектрики) вектор поляризации пропорционален напряженности поля:

[overline{P}=left(varepsilon -1right){varepsilon }_0overline{E}left(4right).]

В таком случае от формулы (3) мы приходим к определению вектора электрической индукции вида (2).

Название «вектор индукции» указывает на связь вектора $overline{D}$ и явления электризации по влиянию (явление электростатической индукции).

Физический смысл вектора электрической индукции

Допустим, что в веществе, с диэлектрической проницаемостью равной $varepsilon $ имеется очень тонкий вакуумный зазор, грани которого перпендикулярны направлению поля в точке рассмотрения (рис.1). В эту щель помещают точечный единичный положительный пробный заряд. Сила, с которой поле будет оказывать действие на этот пробный заряд, равна $overline{D}.$

И так, вектор электрической индукции — это сила, которая действует на точечный единичный положительный заряд, находящийся в бесконечно узком зазоре, грани которого перпендикулярны направлению поля.

Силовые линии вектора $overline{D}$ начинаются и заканчиваются на свободных зарядах. Величина $overline{D}$ не зависит от диэлектрической проницаемости вещества.

В некоторых источниках вектор электрической индукции называют формальным, так как он равен сумме физических величин, относящихся к разным объектам к полю и к веществу (см формулу (3), где $overline{E}$ — характеристика электрического поля; $overline{P}$ — характеристика вещества). Тогда говорят, что вектор электрической индукции не имеет физического смысла.

Теорема Гаусса — Остроградского для поля в диэлектрике

Поток вектора электрической индукции равен алгебраической сумме свободных зарядов, которые находятся внутри рассматриваемой замкнутой поверхности:

[ointnolimits_S{overline{D}doverline{S}=q left(5right).}]

По теореме (5) поток вектора $overline{D}$ через любую замкнутую поверхность равен нулю, если внутри данной поверхности нет свободных зарядов. Заряды, находящиеся вне рассматриваемой поверхности на поток вектора $overline{D}$, не влияют.

Примеры задач с решением

Читать дальше: давление идеального газа.

Электрическое смещение

С помощью формулы (Напряженность однородного электрического поля [1]) можно определить только величину, но не направление электрического поля. Так как силовые линии перпендикулярны поверхности проводника, для определения направления поля надо построить нормаль к поверхности.

Из этих соображений вводится векторная величина электрическое смещение, модуль которой D равен поверхностной плотности заряда σ.

Если

то

[ vector{D} = ε_0 · vector{E} ]

Вычислить, найти величину электрического смещения по формуле (1)

Электрическое смещение	стр. 627